CHỦ ĐỀ 1 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH potx

GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 1
CHƯƠNG I
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
CHỦ ĐỀ 1
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Toạ độ góc
Khi vật rắn quay quanh một trục cố định (hình 1.1) thì:
- Mỗi điểm trên vật vạch một đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc
với trục quay, có bán kính r bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay, có
tâm O ở trên trục quay.
- Mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng
thời gian.
Trên hình 1, vị trí của vật tại mỗi thời điểm được xác định bằng góc φ
giữa một mặt phẳng động P gắn với vật và một mặt phẳng cố định P
0
(hai
mặt phẳng này đều chứa trục quay Az). Góc φ được gọi là toạ độ góc của vật.
Góc φ được đo bằng rađian, kí hiệu là rad.
Khi vật rắn quay, sự biến thiên của φ theo thời gian t thể hiện quy luật
chuyển động quay của vật.
2. Tốc độ góc
Tốc độ góc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển
động quay của vật rắn.
Ở thời điểm t, toạ độ góc của vật là φ. Ở thời điểm t + Δt, toạ độ góc của vật là φ + Δφ. Như vậy, trong
khoảng thời gian Δt, góc quay của vật là Δφ.
Tốc độ góc trung bình ω
tb

của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t
tb





Tốc độ góc tức thời ω ở thời điểm t (gọi tắt là tốc độ góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ số
t


khi
cho Δt dần tới 0.
Như vậy :
t
t






0
lim
hay
)(
'
t



- Nếu
const

thì vật rắn quay đều
- Nếu
const

thì vật rắn quay không đều
Đơn vị của tốc độ góc là rad/s.
3. Gia tốc góc
Tại thời điểm t, vật có tốc độ góc là ω. Tại thời điểm t + Δt, vật có tốc độ góc là ω + Δω. Như vậy, trong
khoảng thời gian Δt, tốc độ góc của vật biến thiên một lượng là Δω.
Gia tốc góc trung bình γ
tb
của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :
t
tb





Gia tốc góc tức thời γ ở thời điểm t (gọi tắt là gia tốc góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ số
t


khi
cho Δt dần tới 0. Như vậy :
t

t






0
lim
hay
)()(
'''
tt


Đặc trưng của chuyển động này là gia tốc góc. Nếu lấy chiều quay của vật làm chiều dương (chiều quay

) thì:
- Nếu
0,0 

(tăng): vật quay nhanh dần
- Nếu
0,0 

(giảm): vật quay chậm dần
P
0
P
A

z
φ
r
O
Hình 1.1
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 2
- Nếu
const

,0
: vật rắn quay đều
Chú ý: Khi gia tốc góc

và vận tốc góc

cùng dấu thì chuyển động nhanh dần, còn ngược lại là
chậm dần.
Đơn vị của gia tốc góc là rad/s
2
.
4. Các phương trình động học của chuyển động quay
a. Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = const, γ = 0) thì chuyển động quay
của vật rắn là chuyển động quay đều.
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc mặt phẳng P lệch với mặt phẳng P
0
một góc φ
0

, ta có : φ = φ
0
+ ωt
b. Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = hằng số) thì chuyển động quay của
vật rắn là chuyển động quay biến đổi đều.
Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh một trục cố định :
t


0
2
00
2
1
tt


)(2
0
2
0
2


trong đó φ
0
là toạ độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.
ω
0
là tốc độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0.

φ là toạ độ góc tại thời điểm t.
ω là tốc độ góc tại thời điểm t.
γ là gia tốc góc (γ = hằng số).
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc tăng dần theo thời gian thì chuyển động quay
là nhanh dần.
Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc giảm dần theo thời gian thì chuyển động
quay là chậm dần.
5. Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay
Tốc độ dài v của một điểm trên vật rắn liên hệ với tốc độ góc ω của vật rắn
và bán kính quỹ đạo r của điểm đó theo công thức :
rv


Nếu vật rắn quay đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn đều. Khi đó
vectơ vận tốc
v

của mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về
độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc hướng tâm
n
a

với độ lớn xác định
bởi công thức :
r
r
v
a
n
2

2


Nếu vật rắn quay không đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn không
đều. Khi đó vectơ vận tốc
v

của mỗi điểm thay đổi cả về hướng và độ lớn, do đó
mỗi điểm của vật có gia tốc
a

(hình 1.3) gồm hai thành phần :
+ Thành phần
n
a

vuông góc với
v

, đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của
v

,
thành phần này chính là gia tốc hướng tâm, có độ lớn xác định bởi công thức :
r
r
v
a
n
2

2


+ Thành phần
t
a

có phương của
v

, đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của
v

,
thành phần này được gọi là
gia tốc tiếp tuyến, có độ lớn xác định bởi công thức :

r
t
v
a
t




v

t
a


n
a

a

r
O
M

Hình 1.3
Hình 1.2
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 3
Vectơ gia tốc
a

của điểm chuyển động tròn không đều trên vật là :
tn
aaa


Về độ lớn :
22
tn
aaa 
Vectơ gia tốc
a


của một điểm trên vật rắn hợp với bán kính OM của
nó một góc α, với :
2
tan




n
t
a
a
6. Các công thức của chuyển động quay cần nhớ
Công thức góc
Công thức dài
0
t
  
 
;
R
v


0
v v at 
;
v R



2
0 0
1
2
t t
   
  
;
R
s


2
0 0
1
2
s s v t at  
2 2
0 0
2 ( )
    
  
2 2
0 0
2 ( )v v a s s  
2
n
a R



R
v
a
n
2

R
a
t


t
a R


Gia tốc toàn phần:





222
tn
tn
aaa
aaa

7. Các chú ý:
+ Trong chuyển động quay của vật rắn mọi điểm trên vật rắn đều có cùng vận tốc góc và gia tốc góc.

+ Trong chuyển động quay của vật rắn các điểm có khoảng cách đến trục quay càng lớn sẽ có vận tốc dài
và gia tốc tiếp tuyến càng lớn.
+
0
t
a
hay
0

chuyển động quay nhanh dần,
0
t
a
hay
0

chuyển động quay chậm dần.
8. So sánh các đại lượng đặc trưng của chuyển động quay và chuyển động thẳng
CHUYỂN ĐỘNG QUAY
CHUYỂN ĐỘNG THẲNG
Tọa độ góc ban đầu (lúc t = 0) là
0

Tọa độ ban đầu là
0
x
Tọa độ góc lúc t là

Tọa độ lúc t là
x

Vận tốc góc
dt
d



Vận tốc
dt
dx
v 
Gia tốc góc
dt
d



Gia tốc
dt
dv
a 
Phương trình chuyển động quay đều:
Vận tốc góc
const

Phương trình tọa độ góc
t


0
Phương trình chuyển động thẳng đều:

Vận tốc
constv 
Phương trình tọa độ:
vtxx 
0
Phương trình chuyển động quay biến đổi đều:
Phương trình chuyển động quay biến đổi đều:
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 4
Phương trình vận tốc góc
t


0
Phương trình tọa độ góc
2
00
2
1
tt


Phương trình vận tốc
atvv 
0
Phương trình tọa độ
2
00

2
1
attvxx 
CHỦ ĐỀ 2
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN
QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
a. Momen lực đối với một trục quay cố định
Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực và được đo bằng tích của lực và cánh tay đòn
Momen M của lực
F

đối với trục quay Δ có độ lớn bằng :

sinrFFdM 
trong đó: + d là tay đòn của lực
F

(khoảng cách từ trục quay Δ đến giá của lực
F

)
+

là góc hợp bởi
r

và
F


Chọn chiều quay của vật làm chiều dương, ta có quy ước :
M > 0 khi
F

có tác dụng làm vật quay theo chiều dương
M < 0 khi
F

có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược chiều dương.
b. Quy tắc momen lực
+ Nếu ta quy ước momen lực của F
1
làm vật quay theo chiều kim đồng hồ là chiều dương thì M
1
= F
1
d
1
> 0 Khi đó momen lực F
2
làm vật quay theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ có giá trị âm M
2
= - F
2
d
2
< 0
+ Momen tổng hợp khi đó là : M = M
1

+ M
2
= F
1
d
1
– F.d
2
- Nếu M > 0 vật quay theo chiều kim đồng hồ
- Nếu M < 0 vật quay ngược chiều kim đồng hồ
- Nếu M = 0 vật không quay hoặc quay với vận tốc góc không đổi
c. Cân bằng của vật rắn có trục quay cố định
Muốn cho vật rắn có trục quay cố định ở trạng thái cân bằng thì tổng các giá trị đại số của các momen lực
phải bằng 0:

 0M
d. Chú ý:
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, lực chỉ có tác dụng làm quay khi giá của lực không đi qua trục
quay.
+ Đối với vật rắn có trục quay cố định, thì chỉ có thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo mới làm cho vật
quay.
e. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
- Trường hợp vật rắn là một quả cầu nhỏ có khối lượng m gắn
vào một đầu thanh rất nhẹ và dài r. Vật quay trên mặt phẳng
nhẵn nằm ngang xung quanh một trục Δ thẳng đứng đi qua một
đầu của thanh dưới tác dụng của lực
F

(hình 1.4).
Phương trình động lực học của vật rắn này là :


)(
2
mrM 
trong đó M là momen của lực
F

đối với trục quay Δ, γ là gia tốc góc của vật rắn m.
- Trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng m
i
, m
j
, … ở cách trục quay Δ những khoảng r
i
,
r
j
, … khác nhau.
Phương trình động lực học của vật rắn này là :









i
ii

rmM
2
(*)
O
r
F

Δ
Hình 1.4
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 5
2. Chuyển động khối tâm của vật rắn.
a Trọng tâm và khối tâm
Vật rắn tuyệt đối là vật có hình dáng và kích thước tuyệt đối không đổi.
- Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực. Gọi G là trọng tâm của vật rắn thì tọa độ của G được xác định như
sau: Xét hai chất điểm A, B có khối lượng m
1
và m
2
, trọng lực tương ứng là
gmP
11

và
gmP
22

. Trọng

tâm của chúng là điểm đặt G của hợp lực P của P
1
và P
2
.
1
2
1
2
m
m
P
P
BG
AG

Ta tìm tọa độ trọng tâm G (x,y,z)
2
1 1
1
2 2
1 1 2
1 1
1 1 2 2
1 2
( ) ( )
m
x OG x AG x BG
m
m m

x OB OG x x x
m m
m x m x
x
m m
    
     

 

Chú ý: G chỉ phụ thuộc vào khối lượng và tọa độ mà không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường g
Tương tự ta có tọa độ
21
2211
mm
ymym
y



;
21
2211
mm
zmzm
z



Trường hợp có nhiều chất điểm thì:

Với những vật đồng chất và có dạng hình học đối xứng thì trọng tâm của vật nằm trên trục đối xứng của
vật. Với những vật rắn có dạng hình học đặc biệt thì trọng tâm của vật có thể nằm ngoài vật.
- Khối tâm: là một điểm tồn tại ở trên vật mà nếu lực tác dụng lên vật có giá đi qua điểm đó thì chỉ làm
vật chuyển động tịnh tiến mà không quay. Khối tâm là một điểm có khối lượng của vật (hay vị trí tập trung
khối lượng của vật). Khi không có lực tác dụng thì khối tâm chuyển động thẳng đều như chuyển động thẳng
đều của chất điểm chuyển động tự do
Công thức xác định vị trí (tọa độ) khối tâm của một hệ N chất điểm
x
c
=
.
i i
i
m x
m


; y
c
=
.
i i
i
m y
m


; z
c
=

.
i i
i
m z
m


- Chú ý: Khi vật ở trạng thái không trọng lượng thì vật không có trọng tâm nhưng luôn có khối tâm. Ở
một miền không gian gần mặt đất, trọng tâm của vật thực tế gần với khối tâm của vật.
b Chuyển động của khối tâm
Phân thành hai chuyển động:
- Chuyển động của khối tâm G (thể hiện chuyển động toàn phần của vật)
- Chuyển động quay của vật quanh G (thể hiện chuyển động của phần này đối với phần khác)
c Định lí về chuyển động của khối tâm
Khối tâm vật rắn chuyển động như là một chất điểm mang toàn bộ khối lượng của vật và chịu tác
dụng của tổng các vectơ ngoại lực tác dụng lên vật.
Chú ý: Nếu ngoại lực khử lẫn nhau thì khối tâm của vật rắn hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.






























i
ii
G
i
ii
G
i
ii
G
m
zm
mmm
zmzmzm
z

m
ym
mmm
ymymym
y
m
xm
mmm
xmxmxm
x






321
332211
321
332211
321
332211
O
A
G
B
Hình 1.5
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd

Trang 6
d Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến (bao gồm chuyển động tròn và thẳng)
2
2
i i
đ đi
m v
W W 


Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm chuyển động trên những quỹ đạo giống hệt nhau, với
cùng vận tốc và gia tốc (tức thời) = vận tốc và gia tốc của khối tâm
Gi
Vv 
và

 Mm
i
suy ra
2
2
G
đ
MV
W 
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến thì bằng động năng của khối tâm mang khối lượng của
vật.
e. Động lượng
i i G
P m v MV 


 
3. Ngẫu lực: Là hợp của 2 lực song song, ngược chiều, có cùng độ lớn và cùng tác dụng lên một vật. Khi
đó trọng tâm của vật sẽ đứng yên nhưng vật sẽ chuyển động quay quanh một trục đi qua trọng tâm.
4. Điều kiện cân bằng tổng quát: Là điều kiện để vật không có chuyển động quay và không có chuyển
động tịnh tiến




















0
0
0
0

y
x
F
F
M
F
5. Momen quán tính
Nếu khối lượng m của vật rắn là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển động tịnh
tiến thì trong phương trình (*), đại lượng
2
i
i
i
rm

đặc trưng cho mức quán tính của vật quay và được gọi là
momen quán tính, kí hiệu là I.
Momen quán tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong
chuyển động quay quanh trục ấy.
2
i
i
i
rmI


Momen quán tính có đơn vị là kgm
2
.
Momen quán tính của một vật rắn không chỉ phụ thuộc khối lượng của vật rắn mà còn phụ thuộc cả vào sự

phân bố khối lượng xa hay gần trục quay.
Momen quán tính của một số vật rắn có trục quay trùng với trục đối xứng:
+ Thanh đồng chất có khối lượng m và có tiết diện nhỏ so với chiều dài l
của nó, trục quay Δ đi qua trung điểm của thanh và vuông góc với thanh (hình 1):
2
12
1
mlI 
+ Vành tròn (hoặc trụ rỗng) đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục
quay Δ đi qua tâm vành tròn và vuông góc với mặt phẳng vành tròn (hình 2) :
2
mRI 
+ Đĩa tròn mỏng (hoặc hình trụ đăc) đồng chất có khối lượng m, có bán kính
R, trục quay Δ đi qua tâm đĩa tròn và vuông góc với mặt đĩa (hình 3) :
2
2
1
mRI 
Δ
R
Hình 1.8
Δ
l
Hình 1.6
R
Δ
Hình 1.7
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd

Trang 7
+ Quả cầu đặc đồng chất có khối lượng m, có bán kính R, trục quay Δ đi
qua tâm quả cầu (hình 4) :
2
5
2
mRI 
Momen quán tính của vật rắn có trục quay Δ bất kỳ (không
trùng với trục đối xứng):
2
G
I I md

 
Trong đó m là khối lượng vật rắn, d là khoảng cách vuông góc giữa 2 trục, trục đối xứng và trục Δ
VD : Momen quán tính của thanh mảnh có trục Δ đi qua một đầu của thanh là :
2
G
I I md

 
. Trong đó
2
l
d 
3. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục là :

IM 
I : momen quán tính của vật rắn đối với trục quay Δ

M : momen lực tác dụng vào vật rắn đối với trục quay Δ
γ : gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục Δ
CHỦ ĐỀ 3
MOMEN ĐỘNG LƯỢNG
ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Momen động lượng
Momen động lượng L của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục là :

IL 
trong đó: I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
ω là tốc độ góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục
Đơn vị của momen động lượng là kg.m
2
/s.
2. Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục
Độ biến thiên momen động lượng
L
của một vật rắn trong khoảng thời gian
t
bằng tổng các momen
lực tác dụng lên vật trong thời gian ấy
Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục được viết dưới dạng khác là :
'
( )t
L
L M t M L
t

     


trong đó: M là momen lực tác dụng vào vật rắn

IL 
là momen động lượng của vật rắn đối với trục quay
L
là độ biến thiên của momen động lượng của vật rắn trong thời gian
t
3. Định luật bảo toàn momen động lượng
2
2 2 2 2
1 1 1 1
12 2 12 4 3
l
I ml m ml ml ml

 
     
 
 
Δ
R
Hình 1.9
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 8
Nếu tổng các momen lực tác dụng lên một vật rắn (hay hệ vật) đối với một trục bằng không thì tổng
momen động lượng của vật (hay hệ vật) đối với một trục đó được bảo toàn.
0M  

L = Iω = hằng số
+ Trường hợp I không đổi thì ω không đổi : vật rắn (hay hệ vật) đứng yên hoặc quay đều.
+ Trường hợp I thay đổi thì ω thay đổi : vật rắn (hay hệ vật) có I giảm thì ω tăng, có I tăng
thì ω giảm (Iω = hằng số hay I
1
ω
1
= I
2
ω
2
).
CHỦ ĐỀ 4
ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định
Động năng W
đ
của vật rắn quay quanh một trục cố định là :
W
đ
2
2
1

I
trong đó I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
ω là tốc độ góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục
Động năng W
đ

của vật rắn quay quanh một trục cố định có thể viết dưới dạng :
W
đ
I
L
2
2

trong đó L là momen động lượng của vật rắn đối với trục quay
I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
Động năng của vật rắn có đơn vị là jun, kí hiệu là J.
2. Định lí biến thiên động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định
Độ biến thiên động năng của một vật bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật.
ΔW
đ
=
AII 
2
1
2
2
2
1
2
1

trong đó I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay
1

là tốc độ góc lúc đầu của vật rắn

2

là tốc độ góc lúc sau của vật rắn
A là tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật rắn
ΔW
đ
là độ biến thiên động năng của vật rắn
3. Chú ý:
Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng (trong chuyển động này tất cả các điểm của vật
đều chuyển động trên những mặt phẳng song song). VD: chuyển động của một quyển sách trên mặt bàn, của
bánh xe. Chuyển động phẳng của vật rắn có thể phân tích thành hai chuyển động:
- Chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong của khối tâm G).
- Chuyển động quay của vật rắn quanh trục G
z
đi qua tâm G vuông góc mặt phẳng chứa quỹ đạo G. Vì vậy
động năng này bao gồm:
Động năng quay quanh trục G
z
2
2
đq
I
W


. Động năng tịnh tiến
2
2
G
đ

mv
W 
Bảng tương quan giữa các đại lượng dài và đại lượng góc
Đại lượng dài
Đại lượng góc
Tọa độ x
Tọa độ góc

GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 9
Vận tốc v
Vận tốc góc

Gia tốc a
Gia tốc góc

Khối lượng m
Momen quán tính I
Lực F
Momen lực M
Động lượng
p mv
 
Momen động lượng
L I


Động năng

2
1
2
đ
W mv
Động năng quay
2
1
2
đ
W I


Phương trình cơ bản
F ma

 
Phương trình cơ bản
M I



Định luật bảo toàn động lượng
mv const


Định luật bảo toàn động lượng
I const




Định lí biến thiên động năng
AW
đ

Định lí biến thiên động năng
AW
đ

Điều tuân theo định luật bảo toàn cơ năng
CHƯƠNG II
DAO ĐỘNG CƠ HỌC
CHỦ ĐỀ 5
ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN
1. Định nghĩa: là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau những khoảng thời
gian bằng nhau xác định.
2. Chu kì, tần số của dao động:
+ Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây
(s).
2 t
T
N


 
Với N là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong thời gian t.
+ Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị Héc
(Hz).

1
2
N
f
T t


  
II. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Định nghĩa: là dao động mà trạng thái dao động được mô tả bởi định luật dạng cosin (hay sin) đối với
thời gian.
2. Phương trình dao động: x = Acos(t + ).
Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa
+ Li độ x: là độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng
+ Biên độ A : là giá trị cực đại của li độ, luôn dương
+ Pha ban đầu : xác định li độ x tại thời điểm ban đầu t = 0
+ Pha của dao động (t + ): xác định li độ x của dao động tại thời điểm t.
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 10
+ Tần số góc : là tốc độ biến đổi góc pha.  =
T

2
= 2f. Đơn vị: rad/s
+ Biên độ và pha ban đầu có những giá trị khác nhau, tùy thuộc vào cách
kích thích dao động.
+ Tần số góc có giá trị xác định (không đổi) đối với hệ vật đã cho.
3. Phương trình vận tốc

v = x’ = - Asin(t + ) = Acos(t +  +
2

).
+ Véctơ
v

luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo
chiều âm thì v < 0).
+ Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn
2

so với với li
độ.
+ Vị trí biên (x =  A), v = 0. Vị trí cân bằng (x = 0), |v| = v
max
= A.
4. Phương trình gia tốc
a = - 
2
Acos(t + ) = 
2
Acos(t +  + ) = - 
2
x.
+ Véctơ
a

luôn hướng về vị trí cân bằng.
+ Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm

pha
2

so với vận tốc).
+ Véctơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li
độ.
5. Vật ở VTCB: x = 0; v
Max
= A; a
Min
= 0
Vật ở biên: x = ± A; v
Min
= 0; a
Max
= 
2
A
6. Sự đổi chiều và đổi dấu của các đại lượng:
+ x, a và F đổi chiều khi qua VTCB, v đổi chiều ở biên.
+ x, a, v, F biến đổi cùng T, f và
.

9. Bốn vùng đặc biệt cần nhớ
a. Vùng 1: x > 0; v < 0; a < 0
 Chuyển động nhanh dần theo chiều (-) vì a.v > 0 và thế
năng giảm, động năng tăng.
b. Vùng 2: x < 0; v < 0; a > 0
 Chuyển động nhanh dần theo chiều (-) vì a.v < 0 và thế
năng tăng, động năng giảm.

c. Vùng 3: x < 0; v > 0; a > 0
 Chuyển động nhanh dần theo chiều (+) vì a.v > 0 và thế năng giảm, động năng tăng.
d. Vùng 4: x > 0; v > 0; a < 0
 Chuyển động nhanh dần theo chiều (+) vì a.v < 0 và thế năng tăng, động năng giảm.
7. Hệ thức độc lập:
2
2 2
v
A x

 
 
 
 
2 2
2
4 2
a v
A
 
 
a = - 
2
x
1
A
a
A
v
2

2
2
















Hay
1
v
a
v
v
2
max
2
2
2
max

2



hay
2 2 2 2
max
a (v v )  
hay
1
a
a
v
v
2
max
2
2
max
2

3
x
4
1

v

x


a
2
x’
’
O
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 11
8. Cơ năng:
2 2 2
đ
1 1
W = W + W
2 2
t
m A kA

 
Với
2 2 2 2 2
đ
1 1
W sin ( ) Wsin ( )
2 2
mv m A t t
    
    
2 2 2 2 2 2
1 1

W ( ) W s ( )
2 2
t
m x m A cos t co t
     
    
Chú ý: Tìm x hoặc v khi
đ
W = n W
t
ta làm như sau:
+ Khi
đ
W = n W
t
thì
2 2
2
đ
2 2
1 1
( 1)
2 2
1
1
W = W + W
2
1 1 1
2 2 1
t

A
kA n kx x
n
kA
n n
kA mv v A
n n


    



 


 

   
 


 

+ Khi
đ
W = n W
t
thì
2 2

2
đ
2 2
1 1 1
1
2 2 1
W = W + W
2
1 1
( 1)
2 2
1
t
n n
kA kx x A
n n
kA
A
kA n mv v
n



 
   

 


 

 


    



+ Ta coù
 
2 2
đ
1
W = W - W
2
t
k A x 
biểu thức này sẽ giúp tính nhanh động năng của vật khi đi qua
li độ x bất kì nào đó.
9. Dao động điều hoà có tần số góc là , tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên với tần số
góc 2, tần số 2f, chu kỳ
2
T
. Động năng và thế năng biến thiên cùng biên độ, cùng tần số nhưng ngược pha
nhau.
10. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian n
2
T
(nN
*
, T là chu kỳ dao động) là:

2 2
W 1
2 4
m A


11. Chiều dài quỹ đạo: 2A
12. Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong
1
2
chu kỳ luôn là 2A
Quãng đường đi trong
1
4
chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại
Thời gian vật đi được những quãng đường đặc biệt:
2
T
4
T
12
T
6
T
8
T
8
T
6
T

12
T
2
A
3
2
A
2
2
A
A
A
O
a
(
c
m
/s
2
)
Sơ đồ phân bố thời gian trong quá trình dao động
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 12
13. Thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình
a. Thời gian: Giải phương trình
cos( )
i i
x A t

 
 
tìm
i
t
Chú ý:
 Gọi O là trung điểm của quỹ đạo CD và M là trung điểm của OD; thời gian đi từ O đến M là

12
OM
T
t
, thời gian đi từ M đến D là
6
MD
T
t 
.
 Từ vị trí cân bằng
0x 
ra vị trí
2
2
x A 
mất khoảng thời gian
8
T
t 
.
 Từ vị trí cân bằng

0x 
ra vị trí
3
2
x A 
mất khoảng thời gian
6
T
t 
.
 Chuyển động từ O đến D là chuyển động chậm dần đều(
 
 
. 0;a v a v
), chuyển động từ D đến
O là chuyển động nhanh dần đều(
 
 
. 0;a v a v
)
 Vận tốc cực đại khi qua vị trí cân bằng (li độ bằng không), bằng không khi ở biên (li độ cực
đại).
b. Quãng đường:
Neáu thì
4
Neáu thì 2
2
Neáu thì 4
T
t s A

T
t s A
t T s A

 



 


 



suy ra
Neáu thì 4
Neáu thì 4
4
Neáu thì 4 2
2
t nT s n A
T
t nT s n A A
T
t nT s n A A


 



   



   


Chú ý:

    


 

 

      
 
 

 

    
 
     
2 2
neáu vaät ñi töø 0
2 2
8

2 2
1 neáu vaät ñi töø
2 2
3 3
neáu vaät ñi töø 0
2 2
6
neáu vaät ñi töø
2 2
M
m
M
m
s A x x A
T
t
s A x A x A
s A x x A
T
t
A A
s x x A
























    




 

 


      
 

 


 



neáu vaät ñi töø 0
2 2
3 3
12
1 neáu vaät ñi töø
2 2
M
m
A A
s x x
T
t
s A x A x A
c. + Tốc độ trung bình:
tb
s
v
t

+ Tốc độ trung bình trong một chu kỳ dao động:

4A
v
T
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH


09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 13
III. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Bài tốn lập phương trình dao động dao động điều hồ:
* Viết phương trình dao động tổng qt: x = Acos(t + )
* Xác định A, , 
+ Tính  :
max max
max
2
2

 
   
v a
f
T A v
+ Tính A :
2 2
max max max min
2
2 1 2
( )
2 2
v a l l
v W W
A x
k m
   


       
chiều dài quỷ đạo
+ Tính  dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t
0
(thường t
0
= 0)
0
0
Acos( )
sin( )
x t
v A t
 

  
 



  

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0.
+ Trước khi tính  cần xác định rõ  thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác
(thường lấy - π ≤  ≤ π).
+ Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t
0
tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó
theo t sẽ dương và ngược lại.
Cơng thức đổi sin thành cos và ngược lại:

+ Đổi thành cos: -cos = cos( + )
sin = cos(

/2)
+ Đổi thành sin: cos = sin(  /2)
-sin = sin( + )
MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI BÀI TỐN LẬP PHƯƠNG TRÌNH
TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
(Dưới đây là các trường hợp riêng chỉ mang tính chất tham khảo, chỉ dùng để so sánh kết quả,
học sinh khơng nên học thuộc máy móc)
Chọn gốc thời gian
0
0t 
là
 lúc vật qua vị trí cân bằng
0
0x 
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu
2


 
 lúc vật qua vị trí cân bằng
0
0x 
theo chiều âm
0

0v 
: Pha ban đầu



2
 lúc vật qua biên dương
0
x A
: Pha ban đầu
0


 lúc vật qua biên âm
0
x A 
: Pha ban đầu
 

 lúc vật qua vị trí
0
2
A
x 
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu
3



 
 lúc vật qua vị trí
0
2
A
x  
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu


 
2
3
 lúc vật qua vị trí
0
2
A
x 
theo chiều âm
0
0v 
: Pha ban đầu
3



 lúc vật qua vị trí

0
2
A
x  
theo chiều âm
0
0v 
: Pha ban đầu
2
3



 lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x 
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu
4


 
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd

Trang 14
 lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x  
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu


 
3
4
 lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x 
theo chiều âm
0
0v 
: Pha ban đầu
4




 lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x  
theo chiều âm
0
0v 
: Pha ban đầu
3
4



 lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x 
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu
6


 
 lúc vật qua vị trí

0
3
2
A
x  
theo chiều dương
0
0v 
: Pha ban đầu


 
5
6
 lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x 
theo chiều âm
0
0v 
: Pha ban đầu
6



 lúc vật qua vị trí
0

3
2
A
x  
theo chiều âm
0
0v 
: Pha ban đầu
5
6



Lưu ý: + Khi xác định

ta thường sử dụng đường tròn lượng giác để xác định chính xác, trong các trường hợp điều
kiện đầu vật không đi qua vị trí biên thì cần chú ý đến dấu của vận tốc để xác định

.
+ Ta có mối liên hệ giữa hàm sin và hàm cos như sau:
cos = sin( +
2

) và sin = cos( -
2

)
Sơ đồ góc cung lượng giác thu gọn.
Goùc
Hslg

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6

4

3

2

3

2
4
3
6
5


2
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
0
cos
1
2
3
2

2
2
1
0
2
1

2
2

2
3

-1
1
tan
0
3
3
1
3
kxñ
3
-1
3
3

0
0
cot

kxñ
3
1
3
3
0
3
3

-1
3
kxñ
kxñ
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 15
-
3
-1
-
3
/3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
x
x'

u
u'
-
3
-1
-
3
/3
1
1
-1
-1
-

/2

5

/6
3

/4
2

/3
-

/6
-


/4
-

/3
-1/2
-
2
/2
-
3
/2
-1/2
-
2
/2
-
3
/2
3
/2
2
/2
1/2
3
/2
2
/2
1/2
A


/3

/4

/6
3
/3
3
B

/2
3
/3
1
3
O
Dạng 2: Bài toán tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí
có li độ x
1
đến x
2
2 1 2 1
.
2
t T
   

  
 


   
với
1
1
2
2
s
s
x
co
A
x
co
A











và (
1 2
0 ,
  
 

)
Dạng 3: Bài toán cho quãng đường S < 2A, tìm khoảng thời gian nhỏ
nhất và lớn nhất
Vật có v
max
khi qua VTCB, v
min
khi qua vị trí biên nên trong cùng
một quãng đường, khoảng thời gian sẽ dài khi vật ở gần vị trí biên, khoảng
thời gian sẽ ngắn khi di xung quanh gần VTCB.
Vẽ quãng đường bài toán cho ở các vị trí có v
max
, v
min
. Từ quãng đường suy ra các vị trí đầu x
1
và vị trí
cuối x
2
. Sau đó sử dung cách giải như dạng toán 2.
Dạng 4: Bài toán tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
Phân tích: t
2
– t
1
= nT + t (n N; 0 ≤ t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S

1
= 4nA, trong thời gian t là S
2
.
A
-A
x1x2
M2
M1
M'1
M'2
O


GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 16
Quãng đường tổng cộng là S = S
1
+ S
2
Xác định:
1 1 2 2
1 1 2 2
Acos( ) Acos( )
à
0 0
sin( ) ? sin( ) ?
0 0

x t x t
v
v A t v A t
   
     
   
 
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Lưu ý: + Nếu t = T/2 thì S
2
= 2A
+ Tính S
2
bằng cách định vị trí x
1
, x

2
và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
2 2 1
S x x  
.
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà
và
chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t
1
đến t
2
:
2 1
tb
S
v
t t


với S là quãng đường tính như trên.
Dạng 5: Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 <

t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian
quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều. Góc quét  = t.
Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M
1
đến M

2
đối xứng qua trục sin (hình 1)
ax
2Asin
2
M
S



Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (hình 2)
2 (1 os )
2
Min
S A c


 
Lưu ý: + Trong trường hợp t > T/2
Tách
'
2
T
t n t   
trong đó
*

; 0 '
2
T
n N t   
.
Trong thời gian
2
T
n
quãng đường luôn là 2nA.
Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian t:
ax
ax
M
tbM
S
v
t


và
Min
tbMin
S
v
t


với S

Max
; S
Min
tính như trên.
Dạng 6: Bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0  phạm vi giá trị của k)
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (n thường lấy giá trị nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý: + Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n
+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều
A
-A
M
M
1
2
O
P
x
x
O
2
1
M
M
-A

A
P
2
1
P
P
2


2


GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 17
Dạng 7: Bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) từ thời điểm t
1
đến t
2
.
* Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
* Từ t
1
< t ≤ t
2

 Phạm vi giá trị của (Với k  Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều.
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
Dạng 8: Bài toán biết tại thời điểm t vật qua li độ x = x
t
theo một chiều nào đó. Tìm li độ dao động tại thời
điểm sau hoặc trước thời điểm t một khoảng thời gian

t.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + ) cho x = x
t
, căn cứ vào chiều chuyển động để
chọn nghiệm (t + ) duy nhất. Từ đó tính được li độ sau hoặc trước thời điểm t đó t giây là:
   
x = Acos ( ) Acos
t t
t t t t
    

      
Nếu thời điểm sau thì lấy dấu (+), trước thì lấy dấu (-). Lấy nghiệm t +  =  với
0
 
 
ứng
với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc t +  = -  ứng với x đang tăng (vật chuyển
động theo chiều dương).
* Ngoài ra, ta dùng vòng tròn. Đánh dấu vị trí x

t
trên trục qua tâm Ox. Kẻ đường thẳng qua x
t
vuông
góc với Ox cắt đường tròn tại hai điểm. Căn cứ vào chiều chuyển động để chọn vị trí của M duy nhất trên
vòng tròn.
Vẽ bán kính OM. Trong khoảng thời gian t, góc ở tâm mà OM quét được là
. t
 
 
. Vẽ OM’ lệch
với OM một góc , từ M’ kẻ vuông góc với Ox cắt ở đâu thì đó là li độ cần xác định.
Dạng 9: Dao động có phương trình đặc biệt:
* x = a  Acos(t + ) với a = const
Biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu , x là toạ độ, x
0
= Acos(t + ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a  A
Vận tốc v = x’ = x
0
’, gia tốc a = v’ = x” = x
0
”
Hệ thức độc lập: a = -
2
x
0
2 2 2
0
( )

v
A x

 
2 2
2
4 2
a v
A
 
 
* x = a  Acos
2
(t + ) (ta hạ bậc). Biên độ A/2; tần số góc 2, pha ban đầu 2.
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 18
CHỦ ĐỀ 6
CON LẮC LÒ XO
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cấu tạo con lắc lò xo
a. Nằm ngang :
b. Thẳng đứng : c. Trên mặt phẳng nghiêng :
* Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản, bỏ qua khối lượng của lò xo (coi lò xo rất nhẹ),
xét trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Thường thì vật nặng được coi là chất điểm.
2. Tính toán liên quan đến vị trí cân bằng của con lắc lò xo:
Gọi : l là độ biến dạng của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng.
l
0

là chiều dài tự nhiên của lò xo.
l
CB
là chiều dài của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng.
Ở vị trí cân bằng:
+ Con lắc lò xo nằm ngang : l = 0, l
CB
= l
0
+ Con lắc lò xo thẳng đứng : Ở VTCB lò xo biến dạng một đoạn l.
P = F
đh
=> mg = kl
l
CB
= l
0
+ l
+ Con lắc lò xo treo vào mặt phẳng nghiêng một góc . Ở VTCB lò xo biến dạng một đoạn l.
Psin = F
đh
=> mgsin = kl =>
k g
m l

 

l
CB
= l

0
+ l
3. Chu kì, tần số của con lắc dao động đều hòa.
- Tần số góc:
k
m


- Chu kỳ:
2
2
m
T
k



 
; Con lắc lò xo thẳng đứng:
2
l
T
g



- Con lắc lò xo treo ở mặt phẳng nghiêng:
2
sin
l

T
g




Chú ý : Gọi T
1
và T
2
lần lượt là chu kì của con lắc khi lần lượt treo vật m
1
và m
2
vào lò xo có độ cứng k.
k
m
k
m
m
k
m
k
k
m

k
m

GIO TRèNH Lí THUYT VT Lí 12 LUYN THI TT NGHIP THPT C H

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 19
Chu kỡ ca con lc lũ xo khi treo c m
1
v m
2
:
m = m
1
+ m
2
l
2 2 2 2 2
1 2 1 2
T T T T T T
m = m
1
- m
2
l
2 2 2 2 2
1 2 1 2
T T T T T T
(vi m
1
> m
2
)
- Tn s:

1 1
2 2
k
f
T m



4. Chiu di ca con lc lũ xo khi dao ng
- Chiu di ca lũ xo v trớ cõn bng : l
CB
= l
0
+ l
- Chiu di cc i ca lũ xo khi dao ng :
max CB
l l A
- Chiu di cc tiu ca lũ xo khi dao ng :
min CB
l l A
max min max min
;
2 2
CB
l l l l
l A


- v trớ cú ta x bt kỡ, chiu di ca lũ xo :
CB

l l x
Chỳ ý :
- Trong mt dao ng (mt chu k) lũ xo nộn 2 ln v gión
2 ln.
- Chiu di lũ xo ti VTCB: l
CB
= l
0
+

l (l
0
l chiu di t
nhiờn).
- Khi A > l (Vi Ox hng xung):
+ Thi gian lũ xo nộn 1 ln l thi gian ngn nht vt i
t v trớ x
1
= -

l n x
2
= - A.
+ Thi gian lũ xo gión 1 ln l thi gian ngn nht vt i
t v trớ x
1
= -

l n x
2

= A.
- Khi A < l thi gian lũ xo gin mt ln l thi gian ngn nht
lũ xo i t v trớ x
1
= - (

l A) n x
2
= A.
5. ng nng, th nng v c nng ca con lc dao ng u hũa

ủ t
W W W
- ng nng:


2 2 2 2
1 1
sin ( )
2 2
ủ
W mv m A t


2 2
1 1
cos(2 2 )
4 4
kA kA t
- Th nng:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
cos ( ) cos(2 );
2 2 4 4
t
W kx kA t kA kA t k m
Chỳ ý:
+














2 2 2
2 2 2
2
1 1
2 2
1 1

: Vaọt qua vũ trớ caõn baống
2 2
1
: Vaọt ụỷ bieõn
2
ủM M
tM
W m A kA const
W mv m A
W kA
+ ng nng v th nng bin thiờn iu hũa cựng chu kỡ
'
2
T
T
, cựng tn s
' 2f f
v tn s gúc
' 2


.
l
gión
O
x
A
-A
nộn
l

gión
O
x
A
-A
Hỡnh a (A <0)
l)
Hỡnh b (A >0)
ll)
x
A
- A
l

Nộn
0
Gión
Hỡnh v th hin thi gian lũ xo
nộn v gión trong 1 chu k (Ox
hng xung)
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 20
+ Trong một chu kì có 4 lần động năng bằng thế năng.
+ Cơ năng có thể tính theo tốc độ trung bình trong một chu kì :


2
2

8
T
m v
W
.
6. Lực tổng hợp tác dụng lên vật (Lực kéo về hay lực hồi phục)
+ Công thức:
2
hp
F ma kx m x

    
+ Độ lớn:
hp
F m a k x  
 Ở vị trí biên :
2
hp
F m A kA

 
 Ở VTCB :
0
hp
F 
+ Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật.
* Luôn hướng về VTCB.
* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ.
7. Lực đàn hồi (là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng), cũng là lực mà lò xo tác dụng lên giá đỡ,
điểm treo, lên vật.

Có độ lớn F
đh
= kx
*
(x
*
là độ biến dạng của lò xo)
- Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng)
- Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng
+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
* F
đh
= kl + x với chiều dương hướng xuống
* F
đh
= kl - x với chiều dương hướng lên
+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): F
Max
= k(l + A) = F
kéo max
(lúc vật ở vị trí thấp nhất)
+ Lực đàn hồi cực tiểu:
* Nếu A < l  F
Min
= k(l - A) = F
kéo min
* Nếu A ≥ l  F
Min
= 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)
+ Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: F

đẩy max
= k(A - l) (lúc vật ở vị trí cao nhất)
Lưu ý:
- Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần
- Vật dđđh đổi chiều chuyển động khi lực hồi phục đạt giá trị lớn nhất.
- Thế năng của vật dđđh bằng động năng của nó khi
2
A
x  
7. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k
1
, k
2
, … và chiều dài tương ứng là
l
1
, l
2
, … thì có: kl = k
1
l
1
= k
2
l
2
= …
8. Thời gian lò xo nén hay giãn tron một chu kì khi vật treo ở dưới và A > l
0
Chuyển về bài toán tìm thời gian vật đi từ li độ x

1
đến x
2
.
+ Khoảng thời gian lò xo nén:
2 .t T
 
 
  
với
0
cos
l
A



+ Khoảng thời gian lò xo giãn:
T t 
9. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k
1
, k
2
, … và chiều dài tương
ứng là l
1
, l
2
, … thì có: kl = k
1

l
1
= k
2
l
2
= …
1 2
1 1 2 2


l l l
kl k l k l
  
  
a. Ghép lò xo:
* Nối tiếp
1 2
1 1 1

k k k
  
 cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 21
2 2 2
1 2
2 2 2

1 2
1 1 1
T T T
f f f
      
* Song song: k = k
1
+ k
2
+ …  cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
1 1 1
f f f
T T T
      
Chú ý: + Lò xo có độ cứng
0
k
cắt làm hai phần bằng nhau thì
  
1 2 0
2k k k k
+ Đối với con lắc lò xo:
2 2
1 1 2 1
2 2 1 2
( ) ( )

f m m m
f m m


 
  
với
2 1
m m m  
b. Gắn lò xo k vào vật khối lượng m
1
được chu kỳ T
1
, vào vật khối lượng m
2
được T
2
, vào vật khối lượng
m
1
+ m
2
được chu kỳ T
3
, vào vật khối lượng m
1
– m
2
(m
1

> m
2
) được chu kỳ T
4
.
Thì ta có:
2 2 2 2 2
3 1 2 3 1 2
T T T T T T    
và
2 2 2 2 2
4 1 2 4 1 2
T T T T T T    
II. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Viết phương trình dao động (giống như dao động điều hồ)
Dạng 2: Tính biên độ, tần số, chu kỳ và năng lượng
+ Dùng
2 2
max max max min
2
2 1 2
( )
2 2
v a l l
v W W
A x
k m
   

       

chiều dài quỷ đạo
+ Chu kỳ T =
f
12



,
0
l
là độ dãn của lò xo (treo thẳng đứng) khi vật cân bằng thì
0
l
g
m
k



+ Lò xo treo nghiêng góc

, thì khi vật cân bằng ta có mgsin

= k
0
l
+
2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2

đ t
W W W mv kx kA m A

     
+ Kích thích bằng va chạm: dùng định luật bảo tồn động lượng, bảo tồn động năng (va chạm đàn hồi),
xác định vận tốc con lắc sau va chạm. Áp dụng
đsau
WkA 
2
2
1
.
+
1 2
//
1 2
TT
T
T T


khi 2 lò xo ghép song song,
2 2 2
1 2nt
T T T 
khi 2 lò xo ghép nối tiếp.
Dạng 3: Tính lực đàn hồi của lò xo
+ Dùng F = k
l
, với

l
là độ biến dạng của lò xo.
+ Căn cứ vào toạ độ của vật để xác định đúng độ biến dạng
l
. Ta có
max
F
khi
max
l
,
min
F
khi
min
l
.
Dạng 4: Cắt , ghép lò xo
+ Cắt:
nn
lklklk 
2211
+ Ghép nối tiếp:
21
111
kkk

+ Ghép song song: k =
21
kk 

GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 22
CHỦ ĐỀ 7
CON LẮC ĐƠN
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cấu tạo của con lắc đơn: Vật nặng m gắn vào sợi dây có chiều dài l
Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa: Bỏ qua ma sát, lực cản, dây không giãn và rất nhẹ, vật coi là
chất điểm và 
0
<< 1 rad hay s
0
<< l.
2. Tần số, chu kì của con lắc đơn dao động điều hòa
+ Tần số góc:
g
l


+ Chu kỳ:
2
2
l
T
g



 

+ Tần số:
1 1
2 2
g
f
T l

 
  
Chú ý : Tại một nơi chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn khi thay đổi
chiều dài. Gọi T
1
và T
2
là chu kì của con lắc co chiều dài l
1
và l
2
+ Con lắc có chiều dài l = l
1
+ l
2
thì chu kì dao động :
2 2 2
1 2
T T T 
+ Con lắc có chiều dài l = l
1
- l
2

thì chu kì dao động :
2 2 2
1 2
T T T 
3. Lực kéo về (hồi phục):
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
  
       
Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
4. Phương trình dao động:
s = s
0
cos(t + ) (m; cm) hoặc α = α
0
cos(t + ) (rad) với s = αl, s
0
= α
0
l
 v = s’ = - s
0
sin(t + ) = - lα
0
sin(t + )
 a = v’ = s’’ = - 

2
s
0
cos(t + ) = - 
2
lα
0
cos(t + ) = - 
2
s = - 
2
αl
Lưu ý: s
0
đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
5. Hệ thức độc lập: a = - 
2
s = - 
2
αl
2 2 2
0
( )
v
s s

 
2
2 2
0

v
gl
 
 
6. Vận tốc
a. Khi biên độ góc

bất kì
+ Khi qua lị độ góc  bất kì:
 
0
2 cos – cosv gl

 

+ Khi qua vị trí cân bằng:
0


=>
cos 1


 
max 0
2 1 – cos
VTCB
v v gl

    

+ Khi qua vị trí biên:
0 0
cos cos
   
   
=> v
biên
= 0
b. Nếu
0
0
10


ta có thể dùng:
2
2
0 0
0
1 cos 2sin
2 2
 

  
max 0 0
0
' sin( )
v gl s
v s s t


 
  
  
    
7. Lực căng dây
a. Khi biên độ góc
0

bất kì
T

n
P

t
P

P

C
O
M
s =l
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 23
+ Khi biên độ góc  bất kì:
 
0

mg 3cos – 2cos

  

+ Khi qua vị trí cân bằng:
0


=>
cos 1


 
max 0
mg 3 – 2cos
VTCB
  
  
+ Khi qua vị trí biên:
0 0
cos cos
   
   
=> 
biên
min 0
cosmg
 
 
b. Nếu

0
0
10


ta có thể dùng:
2
2
0 0
0
1 cos 2sin
2 2
 

  
2
max 0
2
0
min
(1 )
(1 )
2
mg
mg
 



 




 


8. Năng lượng dao động:
a. Khi biên độ góc
0

bất kì
+ Động năng:
2
đ 0
1
(cos cos )
2
W mv mgl
 
 
  
+ Thế năng:
(1 cos )
t
W mgh mgl


  
+ Cơ năng:
đ 0 đmax max

(1 cos )
t t
W W W mgl W W
 

     
Với
(1 cos )h l


 
b. Nếu
0
0
10


ta có thể dùng:
2
2
0 0
0
1 cos 2cos
2 2
 

  
2
2 2 2
0 0 0

W
2 2 2
mgl mg m
s s const
l


    
Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi 
0
có giá trị lớn
- Khi con lắc đơn dao động điều hoà (
0
<< 1 rad) thì:
2 2 2 2 2 2
0 0 0
1 3
W= ; ( ); (1 )
2 2
C
mgl v gl mg
     
    
(đã có ở trên)
9. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l
1
có chu kỳ T
1
, con lắc đơn chiều dài l
2

có chu kỳ T
2
, con lắc
đơn chiều dài l
1
+ l
2
có chu kỳ T
2
,con lắc đơn chiều dài l
1
- l
2
(l
1
> l
2
) có chu kỳ T
4
.
Thì ta có:
2 2 2
3 1 2
T T T 
và
2 2 2
4 1 2
T T T 
CON LẮC VẬT LÝ
a. Cấu tạo: Con lắc vật lí là vật rắn quay xung quanh trục cố định nằm ngang.

b. Phương trình động lực học:
- Gọi khoảng cách từ trọng tâm vật rắn đến trục quay là d. Tại vị trí cân bằng trọng tâm ở vị trí G
0
, lúc
này QG
0
có phương thẳng đứng (Hình vẽ). Kích thích cho con lắc dao động trong mặt phẳng thẳng đứng xung
quanh trục nằm ngang với góc lệch

bé. Trong quá trình dao động vị trí trọng tâm G được xác định bởi li độ
góc . Khi bỏ qua ma sát ở trục quay và sức cản không khí thì con lắc chịu tác dụng hai lực: Trọng lực
P

và
phản lực ở trục quay
R

. Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay vật rắn ta có:
sinI mgd
 
 
. Với dao động bé thì
sin
''
 
 






nên
'' 0I mgd
 
 
Suy ra:
'' 0
mgd
I
 
 
. Đặt
2
mgd
I


ta được:
2
'' 0
  
 
Nghiệm:
0
cos( )t
   
 
.
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH


09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 24
Vậy: Khi bỏ qua ma sát ở trục quay và sức cản không khí thì dao động bé (

0
<< 1rad ) của con lắc
vật lí là dao động điều hoà với tần số góc
mgd
I


, hay chu kì là
2
I
T
mgd


tần số
1
2
mgd
f
I


Trong đó: m (kg) là khối lượng vật rắn
d (m) là khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay
I (kgm
2

) là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính toán liên quan đến chu kỳ, tần số, năng lượng, vận tốc, lực căng dây :
+ Chu kỳ T =
f
12



= 2
g
l

+ Tần số góc
l
g


+ Góc nhỏ : 1 - cos
2
2
0



+ Cơ năng W = mgl(1 - cos
0

), khi
0


nhỏ thì W = mgl
2
2
0

, với
0
0
s
l


.
+ Vận tốc tại vị trí

là v =
)cos(cos2
0

gl
+ Lực căng dây 
C
= mg(3cos
)cos2
0


+ Động năng
2

2
1
mvE
đ

+ Thế năng
(1 cos )
t
W mgl

 
+ Năng lượng W
đ
và W
t
có tần số góc dao động là 2

chu kì
2
T
. Trong 1 chu kì
22
4
1
AmWW
tđ


hai lần (dùng đồ thị xác định thời điểm gặp nhau). Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp mà động năng bằng
thế năng là T/4

Dạng 2 : Viết phương trình dao động s =
)cos(
0

ts
hay
)cos(
0

 t
+ Tính
0
s
=
2
2
2

v
s 
+ Thường chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì
0

+ Tìm

từ điều kiện ban đầu:

cos
0
As 

và

sin
0
Av 
0
0
tan
v
s



 
Thường dùng s
0
và v
0
> 0 (hay v
0
< 0)
Dạng 3 : Con lắc trùng phùng
Để xác định chu kỳ T của một con lắc lò xo (con lắc đơn) người ta so sánh với chu kỳ T
0
(đã biết) của một
con lắc khác (T  T
0
).
Hai con lắc gọi là trùng phùng khi chúng đồng thời đi qua một vị trí xác định theo cùng một chiều.
Thời gian giữa hai lần trùng phùng

0
0
TT
T T



Nếu T > T
0


= (n+1)T = nT
0
.
Nếu T < T
0


= nT = (n+1)T
0
. với n  N*
GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT VẬT LÝ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT – CĐ – ĐH

09 3333 62 57 0937 944 688 Email: Website: violet.vn/tringuyenlqd
Trang 25
CHỦ ĐỀ 8
SỰ PHỤ THUỘC CỦA CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
VÀO NHIỆT ĐỘ, ĐỘ CAO, ĐỘ SÂU
VÀ NGOẠI LỰC TÁC DỤNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Sự phụ thuộc của chu kì con lắc vào nhiệt độ, độ sâu, độ cao
a. Phụ thuộc vào nhiệt độ
0
t C
+ Ở nhiệt độ
0
1
t C
: Chu kì con lắc đơn là :
1
1
2
l
T
g


+ Ở nhiệt độ
0
2
t C
: Chu kì con lắc đơn là :
2
2
2
l
T
g



Với
1 0 1 2 0 2
(1 ); (1 )l l t l l t
 
   
0
l 
chiều dài của dây ở
0
0 C


hệ số nở dài của dây treo (độ
-1
= K
-1
)
2 1 2 1
1 ( )
2
T T t t

 
   
 
 
+ Độ biến thiên tỉ đối của chu kì theo nhiệt độ:
2 1
2 1
1 1

1 ( )
2
t
T
T T
t t
T T



   
Lưu ý : Trường hợp đồng hồ quả lắc
- Giả sữ đồng hồ chạy đúng giờ ở nhiệt độ t
1
.
+ Nếu
2 1
1 1
0
t
T
T T
T T


 
: tức là
2 1
t t
đồng hồ chạy chậm ở nhiệt độ t

2
.
+ Nếu
2 1
1 1
0
t
T
T T
T T


 
: tức là
2 1
t t
đồng hồ chạy nhanh ở nhiệt độ t
2
.
- Thời gian đồng hồ chạy nhanh hay chậm trong một ngày đêm:
2 1 2 1
24.3600. . 86400. .
2 2
t t t t
 

   
b. Phụ thuộc vào độ cao h
+ Trên mặt đất
0h 

: Chu kì con lắc đơn :
0
2
l
T
g


+ Trên mặt đất
0h 
: Chu kì con lắc đơn :
2
h
h
l
T
g


Với :
2 2
;
( )
h
M M
g G g G
R R h
 

2

11
2
6,67.10
Nm
G
kg


: hằng số hấp dẫn. M : Khối lượng trái đất.
R = 6400 km: bán kính trái đất.