Một số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM
VI›N TON HC

NGUYN VIT PHìèNG

MậT Sẩ VN  CếA Lị THUYT
NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO
A THÙC VI PH…N
LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

H  Nëi - 2022


VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM
VI›N TON HC

NGUYN VIT PHìèNG

MậT Sẩ VN  CếA Lị THUYT
NEVANLINNA V€ ÙNG DƯNG CHO
A THÙC VI PH…N
Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i tẵch
MÂ số: 9 46 01 02
LUN N TIN S TON HC

Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TSKH. TÔ Th Hoi An

H Nëi - 2022


Lới cam oan

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa
PGS. TSKH. TÔ Th Hoi An. CĂc kát quÊ trong luên Ăn viát chung vợi cĂc tĂc giÊ
khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ khi ữa vo luên Ăn. CĂc kát quÊ ữủc
nảu trong luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc ai cổng bố trong bĐt ký cổng
trẳnh no khĂc.

TĂc giÊ
Nguyạn Viằt Phữỡng

i


Lới cÊm ỡn
Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS. TSKH. TÔ Th Hoi An,
mởt nh giĂo mău mỹc, nh khoa hồc tên tƠm  khổng ch nh hữợng v dẳu dưt
tĂc giÊ trản con ữớng nghiản cựu, m cỏn luổn quan tƠm v dÔy bÊo cho tĂc giÊ
nhỳng bi hồc quỵ giĂ trong cuởc sống. Lới Ưu tiản, tĂc giÊ xin ữủc php by tọ
lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án ngữới cổ Ăng kẵnh.
TĂc giÊ xin ữủc trƠn trồng cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn To¡n håc - Vi»n H n
l¥m Khoa håc v  Cỉng ngh» Viằt Nam, Trung tƠm o tÔo sau Ôi hồc, cĂc pháng
chùc n«ng v  c¡c nh  khoa håc cõa Vi»n To¡n hồc  giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên
lủi nhĐt cho tĂc giÊ trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn. TĂc giÊ cụng
xin trƠn trồng cÊm ỡn phỏng Ôi số v Lỵ thuyát số Â tÔo iÃu kiằn thuên lủi 
tĂc giÊ ữủc tham gia cĂc buời sinh hoÔt khoa hồc cừa liản phỏng.
TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Kinh tá v QuÊn
tr Kinh doanh - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Khoa Khoa håc cì b£n v  c¡c th¦y cỉ gi¡o
trong Bë mổn ToĂn  luổn ởng viản v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt  tĂc giÊ hon
thnh ữủc luên Ăn ny.
NhƠn dàp n y t¡c gi£ cơng xin gûi líi c£m ìn sƠu sưc tợi PGS. TS. H TrƯn
Phữỡng  dnh cho tĂc giÊ nhỳng tẳnh cÊm v sỹ ởng viản giúp ù quỵ bĂu.

Cuối cũng, xin dnh mõn qu tinh thƯn ny dƠng tng Bố, Mà, cĂc anh ch em
trong Ôi gia ẳnh thƠn yảu, tng ngữới vủ hiÃn yảu dĐu, nhỳng ngữới  chu nhiÃu
khõ khôn v dnh hát nhỳng tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản tĂc giÊ hon thnh
kát quÊ nghiản cựu cừa mẳnh.

TĂc giÊ
Nguyạn Viằt Phữỡng
ii


Mưc lưc
Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mð ¦u
1 Khỉng iºm cõa c¡c a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh
1.1

Mởt số kián thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
7

7

1.1.1

Lỵ thuyát Nevanlinna cờ iºn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2

ìợc lữủng khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh . . . 15

1.3

Kát luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Ph¥n bè gi¡ trà cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh

22

2.1

Quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh

. . . . . 23

2.2

M rởng cừa giÊ thuyát Hayman cho mởt số dÔng a thực vi phƠn . . 26

2.3

Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 T½nh duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trong trữớng hủp cĂc a
thực vi phƠn chung mởt hm nhọ
39
3.1

CĂc hm phƠn hẳnh chung mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2

CĂc a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ . . 52

3.3

Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kát luên cừa luên Ăn
Ti liằu tham khÊo

75
79

iii

M Ưu
nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số nõi rơng mởt a thực bêc n trản trữớng số phực C
cõ úng n khổng im. Vo nhỳng nôm cuối cừa thá k 18 Ưu thá k 19, cĂc nh
toĂn hồc  phĂt trin nhỳng kát quÊ Ôt ữủc và sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a
thực lản ối tữủng l c¡c h m nguy¶n trong m°t ph¯ng phùc. Trong thíi gian ny,
Borel  thnh cổng trong viằc kát hủp v cÊi ti¸n c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar²
v  Hadamard cho c¡c hm nguyản v lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bưt Ưu hẳnh thnh.
Lỵ thuyát ny nghiản cựu mêt ở cừa cĂc im m tÔi õ hm phƠn hẳnh nhên mởt
giĂ tr cử th.
Mởt õng gõp nời bêt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cho cĂc hm phƠn hẳnh Â
ữủc nh toĂn hồc ngữới PhƯn Lan Rolf Nevanlinna ữa ra. Sau ny, cĂc kát quÊ
õ Â gưn liÃn vợi tản tuời cừa ổng v thữớng ữủc nhưc án vợi tản gồi Lỵ thuyát
Nevanlinna. Sỹ ra ới cừa lỵ thuyát ny ữủc Ănh giĂ l mởt trong nhỳng thnh
tỹu àp  v sƠu sưc nhĐt trong ngnh giÊi tẵch phực v ng y c ng câ nhi·u ùng
dưng trong nhúng l¾nh vüc kh¡c nhau cừa toĂn hồc, chng hÔn nhữ lỵ thuyát phữỡng
trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hồ chuân tưc, hẳnh hồc phực v lỵ thuyát số,.... TrÊi qua
gƯn mởt trôm nôm, hữợng nghiản cựu  ữủc phĂt trin rĐt mÔnh m v  chựng
kián sỹ õng gõp to lợn cừa cĂc nh toĂn hồc nữợc ngoi nhữ Gol'dberg, Ostrovskii,
Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi,... v 
c¡c nh  to¡n håc trong nữợc nhữ L. V. Thiảm, H. H. KhoĂi, . . Th¡i, S. .
Quang, T. V. T§n, T. T. H. An,.... Tuy nhiản, vợi tƯm quan trồng trong giÊi tẵch
phực, hữợng nghiản cựu ny văn ang tiáp tửc thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa cĂc
nh toĂn hồc. Mửc tiảu cừa cĂc nh toĂn hồc l ữa ra cĂc bĐt ng thực giỳa hm
ám, hm xĐp x v hm c trững cừa hm phƠn hẳnh, thổng qua cĂc bĐt ng
thực õ câ thº xem x²t sü ph¥n bè gi¡ trà cõa cĂc hm phƠn hẳnh v tẳm cĂc ựng
dửng cừa cĂc kát quÊ õ.
Bi toĂn quan trồng trong lỵ thuyát ny l  nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡c
khỉng iºm, cüc im cừa mởt hm v Ôo hm cừa hm õ. Nôm 1922, Põlya [43]
 chựng mẳnh rơng náu hm phƠn hẳnh f cõ ẵt nhĐt hai cỹc im thẳ vợi mội số
nguyản dữỡng k ừ lợn, Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh õ cõ ẵt nhĐt mởt khổng

1


im. Liản quan tợi kát quÊ õ, Gol'dberg [19] Â t ra giÊ thuyát sau:
Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C v k 2 l mët sè nguy¶n. Khi
â, ta câ

N (r, f ) ≤ N r,

1

f (k)

+ o(T (r, f )),

khi r → ngoi mởt têp cõ ở o hỳu hÔn, trong â T (r, f ) l  h m °c tr÷ng
1
Nevanlinna, N (r, f ) l  h m ¸m c¡c cüc iºm khỉng tẵnh bởi cừa f v N r, f (k)
l




hm ám cĂc khổng im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm f tẵnh cÊ bởi.
GiÊ thuyát cừa Gol'dberg ch úng vợi cĂc Ôo hm cõ cĐp ẵt nhĐt l hai, chúng
ta x²t v½ dư ìn gi£n l  h m f (z) = tan z , khi â h m f câ væ sè cỹc im trong khi
Ôo hm cĐp mởt f 0 khổng cõ khổng im. Nôm 1986, Frank v Weissenborn [18]
 chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg bơng phữỡng phĂp Wronskian ối vợi trữớng
hủp hm phƠn hẳnh f ch cõ cĂc cỹc im ỡn. Sau õ, Langley [25] Â chựng minh
rơng náu f l mởt hm phƠn hẳnh cĐp hỳu hÔn thọa mÂn iÃu kiằn Ôo hm cĐp
hai f 00 cõ hỳu hÔn khổng im thẳ f cõ hỳu hÔn cỹc im. Nôm 2013, bơng viằc xƠy
dỹng hm xĐp x hiằu chnh v ữa ra cĂc chn cho hm xĐp x õ, Yamanoi [33]

 tÔo ra mởt bữợc ởt phĂ trong lỵ thuyát Nevanlinna vợi chựng minh hon ton
giÊ thuyát Gol'dberg v thêm chẵ kát quÊ cừa ổng ữa ra cỏn mÔnh hỡn giÊ thuyát
ban Ưu. Viằc chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg cõ ỵ nghắa rĐt lợn trong lỵ thuyát
phƠn bố giĂ tr, nõ Â giúp cho cĂc nh toĂn hồc vữủt qua nhiÃu khõ khôn trong
viằc giÊi quyát cĂc bi toĂn quan trồng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm
phƠn hẳnh.
GiÊ sỷ f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v  a ∈ C. K½ hi»u

δ(a, f ) = lim inf
r→∞

1
m r, f −a



= 1 − lim sup

T (r, f )

1
N r, f −a

r→∞




T (r, f )

l  sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v 

Θ(a, f ) = 1 − lim sup
r→∞

1
N r, f −a




T (r, f )

l  ph¥n nh¡nh ton phƯn cừa f. Tứ cĂc nh nghắa trản, chúng ta dạ dng thu ữủc
cĂc chn sau:

0 (a, f ) (a, f ) 1.
Mt khĂc, nh lỵ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna cho chóng ta th§y tờng tĐt cÊ
cĂc số khuyát cừa mởt hm phƠn hẳnh luổn b chn trản bi 2 v Ơy l b chn tốt
nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh khi xt trong trữớng hủp tờng quĂt. Tuy nhiản, ối vợi
mởt số lợp hm hàp hỡn, chn trản ny cõ th ữủc giÊm xuống. Thêt vêy, vợi chú
2


ỵ rơng tĐt cÊ cĂc cỹc im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f Ãu cõ bởi ẵt
nhĐt l k + 1, Hayman [21] Â ch ra rơng, vợi mồi k N,

X

(a, f (k) ) 1 +

aC

1
.
k+1

Nôm 1971, Mues [41] Â chựng minh dĐu bơng trong bĐt ng thực trản xÊy ra
khi f l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati vợi cĂc hằ số hơng. iÃu õ
chựng tọ bĐt ng thực trản cừa Hayman l tốt nhĐt. Khi thay phƠn nhĂnh ton
phƯn (a, f (k) ) bði sè khuy¸t δ(a, f (k) ) trong bĐt ng thực trản thẳ chn trản thu
ữủc cõ thº l  mët sè nhä hìn thüc sü. Cư thº, Mues  chựng minh rơng

X

(a, f (k) )

aC

k 2 + 5k + 4
1
<
1
+
k 2 + 4k + 2
k+1

vỵi måi k ∈ N. Ngo i ra, ỉng ¢ °t ra gi£ thuyát rơng chn trản õ phÊi l 1, v
ổng  chựng minh ữủc giÊ thuyát õ vợi k 2 v hm phƠn hẳnh f cõ ẵt cỹc
im bởi. Nôm 1990, Yang [36] v Ishizaki [23] Â ởc lêp ữa ra mởt chn trản tốt
hỡn cho tờng số khuyát cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh l

2k+2

2k+1 .

án nôm 1992,

Yang v Wang [37] Â chựng minh giÊ thuyát Mues úng vỵi måi k ≥ K(f ), vỵi

K(f ) l  mët số nguyản dữỡng ch phử thuởc vo hm f. Sau õ, giÊ thuyát ny Â
ữủc Wang [30] chựng minh l úng vợi mồi k 0, ngoÔi trứ nhiÃu nhĐt bèn gi¡
trà cõa k . Ch¼a khâa trong c¡c chùng minh ữủc ữa ra bi cĂc tĂc giÊ trản ·u
câ mët iºm chung â l  hå cè g­ng t¼m ra mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa hm
phƠn hẳnh v số khổng im cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh õ dÔng yáu hỡn giÊ
thuyát Gol'dberg. Nôm 2013, Yamanoi [33] Â chựng minh thnh cổng giÊ thuyát
Gol'dberg, v tứ õ ổng thu ữủc giÊ thuyát Mues nhữ mởt hằ quÊ.
VĐn à tỹ nhiản ữủc t ra õ l  têng qu¡t gi£ thuy¸t Gol'dberg v  gi£ thuy¸t
Mues theo hữợng nhữ sau:
1) Tẳm mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v số khổng im
cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh õ.
2) Tẳm quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa mởt hm phƠn hẳnh.
Liản quan án vĐn à thự hai trản, Jiang v Huang [24]  xt cho cĂc ỡn thực
vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh f cõ dÔng f l (f (k) )n , trong â l, n, k l cĂc số nguyản
lợn hỡn 1. Hồ Â nhên ữủc chn trản cho tờng cĂc số khuyát cừa ỡn thực vi phƠn
ny l 1 +

1
nk+n+l .

Tuy nhiản, chn ny cõ th ữủc lm tốt hỡn, Ơy l mởt trong

nhỳng mửc tiảu cừa luên vôn ny.
Ta nõi rơng mởt giĂ trà a ∈ C l  mët gi¡ trà Picard cõa hm phƠn hẳnh f náu

f a khổng cõ khổng im. nh lỵ Picard ch ra rơng mởt hm phƠn h¼nh kh¡c
3


hơng ch cõ th cõ nhiÃu nhĐt hai giĂ tr Picard hỳu hÔn. Nôm 1959, Hayman Â
chựng minh rơng Ôo hm cĐp k (k 1) cừa mởt hm phƠn hẳnh bĐt ký cõ th cõ
nhiÃu nhĐt mởt giĂ tr Picard hỳu hÔn. ối vợi trữớng hủp hm nguyản, kát quÊ cừa
Milloux [22] ch ra rơng náu mởt hm nguyản siảu viằt cõ mởt giĂ tr Picard hỳu
hÔn thẳ cĂc Ôo hm cừa nõ nhên mội giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn. Kát
quÊ ny sau õ ữủc m rởng cho hm phƠn hẳnh siảu viằt bi Hayman [21]. Mởt
im hÔn chá trong cĂc kát quÊ trản õ l yảu cƯu hm phƠn hẳnh cõ giĂ tr Picard
hỳu hÔn. Mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc t ra l liằu giÊ thiát và sỹ tỗn tÔi cừa giĂ tr
Picard câ thº bä i hay khỉng n¸u ta xem x²t mởt lợp hm phƠn hẳnh no õ?
Liản quan án vĐn à ny, Hayman [21]  chựng minh rơng: Cho f l mởt hm
phƠn hẳnh siảu viằt trản C v n ≥ 3 l  mët sè nguy¶n. Khi â, f n f 0 nhên mội
giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn. ặng giÊ thuyát rơng kát quÊ ny úng vợi

mồi n 1. Nôm 1979, Mues [42] Â ữa ra chựng minh cho trữớng hủp n = 2.
án nôm 1995, Bergweiler v  Eremenko [10] v  Chen v  Fang [14] Â ữa ra chựng
minh cho trữớng hủp n = 1. Thay cho vi»c ch¿ x²t b i to¡n cho ìn thùc vi phƠn,
Hayman [21] Â ữa ra cƠu họi: Náu f l hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C, n 3 v 

a 6= 0 th¼ ϕ = f 0 − af n nhên mội giĂ tr hỳu hÔn vổ số lƯn? ặng  chựng minh
ữủc rơng khng nh õ úng khi n ≥ 5 v  cơng ÷a ra c¡c ph£n vẵ dử  ch
ra rơng khng nh trản khổng úng khi n = 1 v  n = 2. Tuy nhi¶n, Mues [42]
 ữa ra cĂc phÊn vẵ dử  ch ra rơng khng nh õ khổng úng vợi n = 3, 4
b¬ng vi»c x²t h m f l  nghi»m kh¡c h¬ng bĐt ký cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati

w0 = (1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vỵi η = e2πi/3 ) cho trữớng hủp n = 3 v phữỡng

trẳnh vi phƠn Riccati w0 = 2(w2 + 1) cho trữớng hủp n = 4. Nôm 1982, Doringer
[15] Â chựng minh rơng kát quÊ trản ữủc thọa mÂn náu thay = f 0 − af n bði

ϕ = f (k) − af n khi n ≥ k + 4. Mưc ti¶u tiáp theo ữủc chúng tổi nghiản cựu trong
luên Ăn ny â l : Xem x²t ph¥n bè gi¡ trà cõa a thực vi phƠn tờng quĂt hỡn.
Thổng thữớng vợi mội kát quÊ trản trong lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, chúng ta hy
vồng cõ mởt kát quÊ tữỡng ựng và sỹ xĂc nh duy nhĐt cừa cĂc hm. Nôm 1996,
Fang v Hua [17] Â xem xt sỹ xĂc nh duy nhĐt cừa cĂc hm nguyản f thổng
qua Ênh ngữủc cừa a thùc vi ph¥n f 0 f n . Sau â, kát quÊ ny ữủc Yang v Hua
[35] m rởng cho trữớng hủp cĂc hm phƠn hẳnh. Bi toĂn cho a thực vi phƠn cĐp
mởt f 0 f n (f 1) ÷đc chùng minh bði Fang v  Hong [16] khi f l  h m nguy¶n v 
bði Lin v  Yi [27] khi f l hm phƠn hẳnh. Nôm 2013, Boussaf v cĂc ỗng nghiằp
[12] Â xt bi toĂn cho trữớng hủp tờng quĂt hỡn bơng viằc ữa ra cĂc iÃu kiằn
thẵch hủp và số bởi cừa cĂc khổng im cừa Ôo hm cừa a thực Q(z) sao cho vợi
hai hm phƠn hẳnh f v  g , n¸u (Q(f ))0 v  (Q(g))0 chung mët h m nhä α t½nh c£
4


bởi thẳ f = g. Bản cÔnh õ mởt số tĂc giÊ khĂc chng hÔn nhữ: Bhoosnurmatha
v Dyavanal [11], Zang [38], Xu cũng ỗng nghiằp [31],... Â xt cho trữớng hủp a
thực vi phƠn cĐp cao hỡn. Chú ỵ rơng cĂc kát quÊ trản Ãu xt a thực vi phƠn
cõ dÔng [f n P (f )](k) v kát luên rơng náu f v g l cĂc hm phƠn hẳnh thọa m¢n

[f n P (f )](k) − α v  [g n P (g)](k) − α chung khỉng iºm, vỵi α l  hm nhọ v n l số
nguyản dữỡng ừ lợn, thẳ f = g. Tuy nhiản, chúng tổi nhên thĐy cõ mởt số hÔn chá
liản quan án cĂc kát quÊ ny. Cö thº, c¡c t¡c gi£ ch¿ x²t c¡c a thùc cõ ẵt nhĐt mởt
khổng im cĐp ừ cao v cĂc hm nhọ phÊi cõ hỳu hÔn khổng im v cỹc im.
Vẳ vêy, mửc tiảu tiáp theo cừa chúng tổi l xt bi toĂn trản cho cĂc biu diạn tờng
quĂt hỡn v bọ qua iÃu kiằn và tẵnh hỳu hÔn cõa c¡c khæng iºm v  cüc iºm cõa
h m nhä α. ỗng thới, chúng tổi cụng ữa ra cĂc kát quÊ trong trữớng hủp cĂc a

thực vi phƠn chung mởt hm nhọ khổng tẵnh bởi.
Luên Ăn ữủc chia thnh ba chữỡng cũng vợi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu
tham khÊo.
Chữỡng 1, ngoi phƯn Ưu dnh cho viằc trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn
ữủc dũng trong luên Ăn, chúng tổi ữa ra cĂc kát quÊ và cĂc khổng im cừa a
thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh (nh lỵ 1.2.1). nh lỵ ny ữa ra mối liản
hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v sè khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n
cõa h m ph¥n hẳnh õ. Nhữ mởt hằ quÊ cừa nh lỵ 1.2.1 chúng tổi thu ữủc kát
quÊ cừa Yamanoi trong trữớng hủp c biằt v m rởng giÊ thuyát Gol'dberg. Kát
quÊ nghiản cùu cõa chóng tỉi trong ch÷ìng n y düa v o b i bĂo [5].
Chữỡng 2 dnh cho viằc nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực vi phƠn.
PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa ra quan hằ số khuyát cho a thực vi phƠn cừa hm phƠn
hẳnh (nh lỵ 2.1.1). nh lỵ ny l mởt ựng dửng trỹc tiáp cừa nh lỵ 1.2.1 trong
Chữỡng 1 v ỗng thới cụng cho ta mởt dÔng tờng quĂt hỡn cừa giÊ thuyát Mues cho
a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh. PhƯn cuối cừa chữỡng ny ữủc dnh cho
viằc nghiản cựu phƠn bố giĂ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh. Trong
phƯn ny, cĂc nh lỵ 2.2.1, 2.2.5 v 2.2.7 l  c¡c mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman
cho c¡c a thực vi phƠn tờng quĂt hỡn. Chữỡng 2 ữủc trẳnh by dỹa vo cĂc bi
bĂo [5, 7].
Chữỡng 3 trẳnh by cĂc kát quÊ và tẵnh duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trong
trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ. PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa ra
cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung nhau mởt hm nhọ trong cĂc trữớng
hủp tẵnh cÊ bởi v khổng tẵnh bởi (nh lỵ 3.1.2, nh lỵ 3.1.4 v nh lỵ 3.1.5).
PhƯn cuối cừa chữỡng ữa ra cĂc ựng dửng cừa cĂc nh lỵ phƯn Ưu cho viằc
nghiản cựu tẵnh duy nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trong trữớng hủp c¡c a thùc vi
5


phƠn chung nhau mởt hm nhọ ữủc th hiằn trong nởi dung cừa cĂc nh lỵ: nh
lỵ 3.2.1 án nh lỵ 3.2.6, nh lỵ 3.2.8 v nh lỵ 3.2.9. Kát thúc phƯn ny, chúng

tổi ữa ra c trững nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm dÔng Q(f ) = Q(g) + c trong õ

Q(z) l a thực vợi hằ số trản C, f, g l cĂc hm phƠn hẳnh v c l mởt hơng số
phực. Nởi dung cừa chữỡng dỹa vo cĂc b i b¡o [6, 8, 28].

6


Chữỡng 1
Khổng im cừa cĂc a thực vi
phƠn cừa hm phƠn hẳnh
Trong chữỡng ny ngoi viằc trẳnh by mởt số kián thực chuân b cho cĂc nởi
dung chẵnh, chúng tổi trẳnh by kát quÊ nghiản cựu và khổng im cừa cĂc a thực
vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh. Vợi ỵ tững sỷ dửng cĂc ữợc lữủng thổng qua hm xĐp
x hiằu chnh, chúng tổi ữa ra mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa hm phƠn hẳnh v
số khổng im cừa mởt a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh õ. Trong trữớng hủp
c biằt, kát quÊ cừa chúng tổi thu ữủc kát quÊ Â biát cừa Yamanoi [33] v giÊ
thuyát cừa Gold'berg. Kát quÊ nghiản cựu cừa chúng tổi trong chữỡng ny dỹa vo
bi bĂo [5]. Trữợc hát, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn trong lỵ thuyát
Nevanlinna cờ in v mởt số kát quÊ cừa Yamanoi.

1.1 Mởt số kián thực chuân b
1.1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cờ in
Trong phƯn ny chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn trong lỵ thuyát
phƠn bố giĂ tr cê iºn dịng cho vi»c nghi¶n cùu c¡c nëi dung chẵnh. CĂc khĂi niằm
v cĂc kát quÊ cỡ bÊn ny chừ yáu ữủc tham khÊo trong cĂc ti liằu [13, 22, 29].
Chúng ta nhưc lÔi mởt trong nhỳng kát quÊ quan trång cõa gi£i t½ch phùc â l 
cỉng thùc Jensen. Cỉng thùc n y cho ta c¡ch t½nh mỉun cõa h m phƠn hẳnh tÔi
gốc thổng qua mổun cừa hm tÔi cĂc im trản ữớng trỏn v cĂc khổng im, cỹc
im cừa hm phƠn hẳnh trong ắa õ.

7


nh lỵ 1.1.1 (Cổng thực Jensen). Cho f

6 0 l mởt hm phƠn hẳnh trản ắa


D(r)
= {z C||z| r}, (r < ∞). Gi£ sû a1 , . . . , aM l  c¡c khæng iºm cõa f trong
D(r) t½nh c£ bëi v  b1 , . . . , bN l  c¡c cüc iºm cõa f trong D(r) t½nh cÊ bởi. Khi õ,
náu f (0) 6= 0, thẳ
2

Z

M

N

à=1

=1

X
r
r
d X

log

+
log
.
log |f (re )|
2
|aà |
|b |
i

log |f (0)| =
0

Chú ỵ 1.1.2. Gi£ sû f (z) câ khỉng iºm c§p m (vợi m > 0) hoc cỹc im cĐp
m (vợi m < 0) tÔi z = 0. Khi õ, ta viát
f (z) = cm z m + cm+1 z m+1 + . . .
trong â cm l  h» sè kh¡c khæng Ưu tiản trong khai trin Laurent cừa f (z) tÔi

z = 0.
rm
. Khi â, ta ÷đc Ψ(0) = rm cm 6= 0, ∞, |Ψ(z)| = |f (z)| vỵi
zm
måi |z| = r v  Ψ(z) câ cịng c¡c khỉng iºm v  cüc im khĂc 0 vợi f (z) trong ắa
t (z) = f (z)

|z| < r. Do â, ¡p dưng cỉng thùc Jensen cho (z) ta ữủc
1
log |(0)| =
2

Z

2
i

log |(re )|d +
0

M
X
à=1

N

|aà | X
|bν |
−
log
log
r
r
ν=1

Tø â suy ra

1
log |cm | =
2π

2π

Z

iθ

log |f (re )|d +
0

M
X
à=1

N

|aà | X
|b |
log

log
m log r.
r
r
=1

Tiáp theo, ta nh nghắa hm c trững, hm xĐp x v hm ám cừa hm phƠn
hẳnh trản C. Vợi mội số thüc x ≥ 0, ta k½ hi»u:

log+ x = max{log x, 0}.

nh nghắa 1.1.3. Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v a l mởt số phực. Hm
xĐp x cừa f ữủc nh nghắa bi:

1
m(r, f ) =
2

Z

2

log+ |f (reiθ )|dθ,

0

8


v

1
1

=
m r,
f a
2

2

Z

log+

0

1
|f (rei ) a|

d.

VÃ mt ỵ nghắa ta thĐy hm xĐp x m(r, f ) o ở lợn trung bẳnh cừa têp hủp
cĂc im trong ắa D(r) m tÔi õ hm nhên giĂ tr xĐp x ∞.
K½ hi»u n(t, f ) l  sè cüc iºm cõa f (z) trong ¾a |z| ≤ t, trong â méi cỹc im
ữủc ám vợi số lƯn bơng bởi cừa nõ, n(t, f ) l  sè cüc iºm cõa f (z) trong ¾a

|z| ≤ t, trong â méi cüc iºm ch¿ ữủc ám mởt lƯn, n(0, f ) l số bởi cừa cỹc im
cừa f (z) tÔi z = 0 v


n(0, f ) =

0 n¸u f (0) 6= ∞;
1 n¸u f (0) = ∞.

1
l  sè khæng iºm cõa f (z) − a trong ắa
Cho a l mởt số phực. Kẵ hiằu n t, f −a




1
|z| ≤ t, trong â méi khæng im ữủc ám vợi số lƯn bơng bởi cừa nõ, n t, f −a

l  sè khæng iºm cõa f (z) − a trong ¾a |z| ≤ t, trong â méi khổng im ch ữủc
1
ám mởt lƯn, n 0, f a
l sè bëi cõa khæng iºm cõa f (z) − a tÔi z = 0 v




1

=
n 0,
f a



0 náu f (0) 6= a;
1 náu f (0) = a.

nh nghắa 1.1.4. Hm ám cĂc cỹc im cừa f ữủc nh nghắa nh÷ sau:
Z

r

N (r, f ) =
0

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r.
t

H m ¸m c¡c cỹc im khổng tẵnh bởi cừa f ữủc nh nghắa bði:

Z
N (r, f ) =
0

r

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r.
t

H m ¸m c¡c a-iºm cừa f ữủc nh nghắa bi:

1

=
N r,
f a

Z

r

1
1
n t, f −a
− n 0, f −a

dt + n 0,

t

0

1

log r.
f a

Hm ám cĂc a-im khổng tẵnh bởi cừa f ữủc nh nghắa bi:

1

N r,
=
f a

Z
0

r

1
1
n t, f a
n 0, f −a

t

9



dt + n 0,

1

log r.
f −a


1
lƯn lữủt o ở lợn
VÃ mt ỵ nghắa ta thĐy c¡c h m ¸m N (r, f ) v  N r, f −a




cõa tªp c¡c cüc iºm v  tªp c¡c a-iºm tữỡng ựng cừa hm f (z) trong ắa bĂn kẵnh

r tƠm tÔi gốc.

nh nghắa 1.1.5. Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v a l mởt số phực. Hm
c trững cừa hm f ữủc nh nghắa bi

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ),
v 

T r,

1

1

1

= m r,
+ N r,
.
f −a
f a
f a

nh nghắa 1.1.6. Cho f l mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C. Mởt hm phƠn
hẳnh ữủc gồi l mởt hm nhọ so vợi f náu thọa m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi

r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o hỳu hÔn.
Mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc hm Nevanlinna ÷đc cho trong m»nh · sau.

M»nh · 1.1.7. Gi£ sû fk vỵi k = 1, . . . , p l cĂc hm phƠn hẳnh trong mt phng
phực C. Khi â, ta câ
1) m r,

Pp




Pp

2) m r,

Qp

Pp

3) N r,

Pp




4) N
5) T
6) T

k=1 fk ≤

k=1 fk

≤

k=1 m(r, fk ) + log p,

k=1 m(r, fk ),

Pp

k=1 N (r, fk ),
k=1 fk ≤

Qp
Pp
r, k=1 fk ≤ k=1 N (r, fk ),

Pp
Pp
r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ) + log p,

Pp
Qp
r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ).

Bê · 1.1.8. Náu f (z) l hm phƠn hẳnh siảu viằt trong m°t ph¯ng phùc C th¼
T (r, f )
= ∞.
r→∞ log r
lim

Bê · 1.1.9

.

([34]) Cho f (z) l  mët h m phƠn hẳnh khĂc hơng v an (6 0),

an1 , . . . , a0 l  c¡c h m nhä so vỵi f. Khi â, ta câ
T (r, an f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 ) = nT (r, f ) + o(T (r, f )).
10


Tiáp theo, chúng tổi nhưc lÔi Bờ Ã Ôo hm logarit. Bê · n y l  ch¼a khâa
trong chùng minh ành lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinna. Tuy nhiản, bản cÔnh õ
bờ à cỏn thữớng xuyản ữủc sỷ dửng trong nhiÃu vĐn à khĂc.

Bờ Ã 1.1.10 (Bờ Ã Ôo hm Logarit). Cho f l mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng
trản C. Khi â, ta câ

m r,

f0

= o(T (r, f ))
f

khi r → +∞ câ thº trø ra mët tªp cõ ở o hỳu hÔn.

nh lỵ 1.1.11 (nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt). Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản C
v a l mởt số phực hỳu hÔn. Khi â, ta câ

T r,

1

= T (r, f ) + O(1),
f a

trong õ O(1) l Ôi lữủng giợi nởi.

1

1

+N r,
khỉng
f −a
f −a
phư thc v o gi¡ trà cõa a, nghắa l hm phƠn hẳnh nhên mồi giĂ tr a v giĂ tr

Tứ nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt ta câ thº xem têng m r,

g¦n a mët sè l¦n nhữ nhau. Ơy chẵnh l mởt tữỡng tỹ cừa nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi
số cho trữớng hủp cĂc hm nguyản v hm phƠn hẳnh. Tuy nhiản, trong nh lỵ cỡ
1

bÊn thự nhĐt ngoi hm ám N r,
ta phÊi bờ sung thảm mởt hm xĐp x
f a
1

m r,
m thỹc chĐt dũng  o cĂc im m tÔi õ hm  cho nhên giĂ tr
f a
gƯn vợi a. Náu hm xĐp x quĂ lợn thẳ nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt cừa Nevanlinna tr
nản ẵt ỵ nghắa. Mồi thự Â tr nản sĂng sừa hỡn khi Nevanlinna chựng minh nh
lỵ cỡ bÊn thự hai, õ l mởt kát quÊ sƠu sưc hỡn nhiÃu so vợi nh lỵ cỡ bÊn thự
1

nõi chung l rĐt
nhĐt. nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho thĐy rơng Ôi lữủng m r,
f a
nhọ. Nởi dung cừa nh lỵ cỡ bÊn thự hai nhữ sau.

nh lỵ 1.1.12 (nh lỵ cỡ bÊn thự hai). Cho a1, . . . , aq (q ≥ 2) l  q số phực phƠn
biằt v f l mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C. Khi õ, ta cõ bĐt ng thùc

m(r, f ) +

q
X
j=1

m(r,

1
) ≤ 2T (r, f ) − N1 (r) + o(T (r, f ))
f − aj
11


úng vợi mồi r cõ th trứ ra mởt têp E (0, +) cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn, trong
â

N1 (r) = N r,

1

+ 2N (r, f ) − N (r, f ).
f0

Nhữ Â nõi trản,  cõ ữủc sỹ tữỡng tỹ nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số cho cĂc
hm phƠn hẳnh, ta phÊi bờ sung thảm hm xĐp x  bũ lÔi sỹ thiáu hửt nghiằm so
vợi cĐp tông cừa hm phƠn hẳnh f.  nh lữủng cho sỹ thiáu hửt õ, Nevanlinna
 ữa ra nh nghắa và số khuyát nhữ sau.

nh nghắa 1.1.13. Số khuyát Nevanlinna ữủc nh nghắa bi
(a, f ) = lim inf
r

1
m r, f −a

= 1 − lim sup

T (r, f )

r→∞

1
N r, f a

T (r, f )



.

Tứ nh nghắa trản ta cõ 0 (a, f ) 1. ỗng thới, tứ nh lỵ cỡ bÊn thự hai ta
cõ th dạ dng nhên ữủc quan hằ số khuyát sau Ơy:

X

(a, f ) 2.

aC{}

Trong phƯn tiáp theo, chúng tổi s trẳnh by mởt số kát quÊ cừa Yamanoi Â
ữủc cổng bố gƯn Ơy v  cõ Ênh hững khổng nhọ tợi sỹ phĂt trin cừa lỵ thuyát
phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh.

1.1.2 Mởt số kát quÊ cừa Yamanoi
Trữợc khi ữa ra mởt số kát quÊ quan trồng cừa Yamanoi, chúng ta nhưc lÔi cĂc
khĂi niằm và khoÊng cĂch cƯu giỳa cĂc im v mêt ở logarit cừa mởt têp nhữ sau.

nh nghắa 1.1.14 ([22]). KhoÊng cĂch cƯu giỳa hai iºm z v  w trong P1(C) ÷đc
x¡c ành bði

[z, w] = p

|z − w|
1 + |z|2

p

1 + |w|2

n¸u z, w l cĂc số phực hỳu hÔn v

[z, ] = p
12

1
1 + |z|2

.


nh nghắa 1.1.15 ([20]). Cho E l mởt têp con cừa R. Khi õ, mêt ở logarit
trản v mêt ở logarit dữợi cừa E lƯn lữủt ữủc nh nghắa bi

1
logdens(E) = lim sup
r→∞ log r

logdens(E) = lim inf
r→∞

1
log r

Z
Z [e,r]∩E
[e,r]∩E

dt
,
t
dt
.
t

N¸u logdens(E) = logdens(E), thẳ ta nh nghắa

1
logdens(E) = lim
r log r

Z
[e,r]E

dt
t

l mêt ở logarit cừa E.

Kát quÊ quan trồng Ưu tiản chúng ta cƯn nõi án Ơy õ l nh lỵ cỡ bÊn
thự hai cho hm phƠn hẳnh v cĂc hm nhọ.

nh lỵ 1.1.16 (nh lỵ cỡ bÊn thự hai vỵi c¡c h m nhä, [32]). Cho a1, . . . , aq (q
3) l q hm phƠn hẳnh phƠn biằt trản C v f l mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản

C. GiÊ sỷ aj l cĂc hm nhä so vỵi f vỵi måi j = 1, ..., q. Khi õ, vợi mồi  > 0,
bĐt ng thực

(q − 2 − )T (r, f ) ≤

q
X


N

j=1

1
r,
f − aj


,

óng vợi mồi r cõ th trứ ra mởt têp E (0, +) cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn.

BƠy giớ, chóng ta tr¼nh b y mët sü hi»u ch¿nh cõa h m xĐp x v cĂc ữợc lữủng
cừa hm õ. CĂc kát quÊ ny ữủc tham khÊo trong bi bĂo [34].

nh nghắa 1.1.17. Cho d v n l cĂc số nguyản dữỡng. Cho f l mởt hm phƠn
hẳnh siảu viằt trong mt ph¯ng phùc C. Khi â, h m x§p x¿ hi»u ch¿nh ữủc nh
nghắa bi

Z
md,n (r, f ) =

sup
(a1 ,...,an )(Rd )n

2

max log

0

1≤j≤n

1
dθ
,
[f (reiθ ), aj (reiθ )] 2π

trong â Rd l  têp tĐt cÊ cĂc hm hỳu t bêc nhọ hỡn hoc bơng d bao gỗm cÊ .
13


Chú ỵ 1.1.18. Cho a1, . . . , an ∈ C l  c¡c sè phùc ph¥n bi»t. Ta câ
n

X
j=1

1

m r,
≤
f − aj

2π

Z

max log

1≤j≤n

0

1

dθ

[f (reiθ ), aj ] 2π

+ O(1) ≤ md,n (r, f ) + O(1),

trong â O(1) l Ôi lữủng b chn ch phử thuởc vo a1 , . . . , an . Vẳ vêy, cĂc h m
1
x§p x¿ nevanlinna m r, f −a
b² hìn h m x§p x hiằu chnh md,n (r, f ) sai khĂc mởt

j




Ôi l÷đng bà ch°n.
°t

v(r, f, θ) := sup
τ ∈[0,2π]

log |f (reit )| −

sup






t∈[τ,τ +θ]

t∈[τ,τ +θ]

λ(r) := min 1, log+

log |f (reit )| ,

inf

T (r, f )
−1
.

log r

Bê · sau Ơy cho ta ữợc lữủng giao ởng cừa cĂc hm phƠn hẳnh trản ữớng trỏn
tƠm tÔi gốc.

Bờ Ã 1.1.19. Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trong mt phng phực C v   > 0 b§t
ký. Khi â, ta câ

v(r, f, λ(r)20 ) ≤ T (r, f )
vỵi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ở logarit bơng khổng.

Chúng ta thu ữủc cĂc ữợc lữủng chn trản v chn dữợi cừa hm xĐp x hiằu
chnh nhữ sau.

Bờ Ã 1.1.20. Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trong mt phng phực C v
k l mởt số nguyản dữỡng. t
uk := (k + 1) log+ |f | + log

1
|f (k) |

.

Khi â, vỵi n l  mởt số nguyản dữỡng bĐt ký, ta cõ

Z

2

0

uk (rei )

d
2

≤m
¯ k−1,n (r, f ) + (k − 1)m(r, f ) + v r, f,
2π
n
2π

+ v r, f (k) ,
+ k log(2πr) + 2kn log 3
n

vỵi måi r > 1.

14


nh lỵ 1.1.21. GiÊ sỷ f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản mt phng phực C,
d v n l cĂc số nguyản dữỡng v B C {} l mởt têp hỳu hÔn im. Gồi p l
số phƯn tỷ cừa B. Khi õ, vợi  > 0 b§t ký, ta câ

m
¯ d,n (r, f ) +

X

N1 r,

a∈B

1

(p + n)17
≤ (2 + )T (r, f ) +
T (r, f )4/5 (log r)1/5
f −a
4

vỵi måi r > 0 cõ th trứ ra mởt têp cõ ở o tuyán tẵnh hỳu hÔn Ef,d , trong õ têp

Ef,d ch phử thuởc vo f v d.

1.2 ìợc lữủng khổng im cừa a thực vi phƠn
cừa hm phƠn hẳnh
Cho k 1 l  mët sè nguy¶n v  Qi (z) l  c¡c a thùc bªc qi , (i = 0, 1, . . . , k) trong

C[z]. Gi£ sû
Qi (z) = ci

hi
Y

(z − βij )qij

j=1

vỵi ci ∈ C∗ v 

Phi

j=1 qij

= qi , vỵi i = 0, 1, 2, . . . , k.

°t

Φ := Q0 (f )Q1 (f 0 ) . . . Qk (f (k) )

(1.1)

v 

q := q0 + q1 + · · · + qk .
K¸t qu£ cõa chóng tỉi ph¡t biu nhữ sau.

nh lỵ 1.2.1. Cho f

l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C, k 2 l mởt số

nguyản v  > 0 bĐt ký. Cho A C l mởt têp hỳu hÔn cĂc số phực. Khi â, ta câ
k
X

X

ν=0

a∈A

(ν − 1)qν N (r, f ) + q

N1 r,

1

1

≤ N r,
+ T (r, f ),
f −a
Φ

vỵi måi r > e câ thº trø ra mët tªp E (e, ) cõ mêt ở logarit bơng khổng, trong
â

N1 r,

1

1

1

= N r,
− N r,
.
f −a
f −a
f −a
15