Đề thi đại số tuyến tính: Đề 8 potx

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10
Môn học : Đại số tuyến tính .
Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN
CA 2
Câu 1 : a/ C ho ma tr ận A =

7 −3
1 0 −4

.
a/ Che ùo hoá ma trận A.
b/ Áp dụn g, tìm ma tr ận B s ao cho B
20
= A.
Câu 2 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b iết ma trận của f tr ong cơ s ở
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



1 2 0
2 1 −1
3 0 2




.
Tìm ma tr ận của f tron g cơ s ở chính tắc .
Câu 3 : C ho ma trận A =



3 2 2
−3 −2 −3
2 2 3



. Tìm trò r iêng, cơ s ở của các k hôn g gian con riên g của
ma tr ận A
6
.
Câu 4 : T ìm m để ve ctơ X = ( 2 , 1 , m)
T
là véc tơ rie âng của m a trận A =



−5 3 3
−3 1 3
−3 3 1



.
Câu 5 : T ìm m để ma tr ận A =




1 3 −2
3 m −4
−2 −4 6



có đúng h ai trò r iêng d ương và mo ät trò riên g âm.
Câu 6 : C ho án h xạ tuye án tính f là p hép quay tro ng hệ trục toạ độ Oxy quan h g ốc tọa độ C ÙNG chiều
kim đồn g hồ m ột góc 6 0
o
. Tìm a ùnh x ạ tuyến tính f. Giải thích rõ.
Câu 7 : C ho A là m a trận v uông cấp n. Ch ứng to û rằng A kh ả ngh òch kh i và chỉ kh i λ = 0 KHÔNG là
trò riê ng của A.
Khi A kh ả ng hòch chứn g tỏ r ằng n ếu λ là trò ri êng của A, thì
1
λ
là trò ri êng cu ûa A
−1
.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ) . C héo ho ùa ma trận ( 0. 5đ) A = PDP
−1
; P =

3 1
5 2


. D =

2 0
0 1

.
Ta có A = P · D · P
−1
. Giả sư û B = Q · D
1
· Q
−1
, ta có B
20
= Q · D
20
1
· Q
−1
= A. Ch ọn Q = P và
D
1
=

20
√
2 0
0
20

√
1

. Vậy m a trận B = P · D
1
·P
−1
Câu 2 ( 1.5 đ). C ó nh iều cách làm. Gọi ma trận chuy ển cơ s ở từ E san g ch ính tắc làP . Khi đo ù ma
trận chuyển cơ s ở từ chín h tắc sang E là : P
−1
=



1 1 1
2 1 1
1 2 1



Ma trận của ánh xạ tuyế n t ính trong
1
cơ sở c hính tắc là B = P
−1
AP =



−6 5 2
−9 6 4

−1 2 8 4



Câu 3 (1 .5đ) . Giả s ử λ
0
là trò ri êng củ a A ⇔ ∃x
0
: A · x
0
= λ
0
·x
0
. Khi đó
A
6
· x
0
= A
5
· A · x
0
= A
5
· λ
0
· x
0
= λ

0
·A
5
· x
0
= · · · = λ
6
0
· x
0
.
Lập ptr ìn h đặc trưn g, tìm đươ ïc TR của A: λ
1
= 1 , λ
2
= 2 ,
Cơ s ở của E
λ
1
: {( −1 , 1 , 0 )
T
, ( −1 , 0 , 1 )
T
}, của E
λ
2
: {( 2 , −3 , 2 )
T
}.
TR của A

6
: δ
1
= 1
6
, δ
2
= 2
6
, C ơ sở của: E
δ
1
: {( −1 , 1 , 0 )
T
, ( −1 , 0 , 1 )
T
}, của E
δ
2
: {( 2 , −3 , 2 )
T
}.
Câu 4 ( 1.5 đ). x là VT R củ a A ⇔ A · x = λ · x ⇔



−5 3 3
−3 1 3
−3 3 1







2
1
m



= λ ·



2
1
m



⇔ m = 1
Câu 5 ( 1.5đ) . M a tr ận đối xứ ng thực. Dạng t oàn p hươn g tươn g ứng f ( x, x) = x
2
1
+ mx
2
2
+ 6 x
2

3
+
6 x
1
x
2
− 4 x
1
x
3
− 8 x
2
x
3
. Đưa v ề chín h tắc b ằng biến đổi L agrang e f( x, x) = ( x
1
+ 3 x
2
− 2 x
3
)
2
+
2 ( x
3
+ x
2
)
2
+ ( m − 1 1 ) x

2
3
. M a trận A có mộ t TR d ương, 1 TR â m ⇔ m < 1 1 .
Câu 6 ( 1.5 đ). f : IR
2
−→ IR
2
. f đư ợc xác đòn h hoà n toàn nếu b iết ảnh của một cơ s ở của IR
2
.
Ch ọn cơ s ở chính tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.
Khi đó f( 1 , 0 ) = (
1
2
,
−
√
3
2
) ,f( 0 , 1 ) = (
√
3
2
,
1
2
) . f ( x, y) = (
x
2
+

y
√
3
2
,
−x
√
3
2
+
y
2
)
Câu 7 (1 .0đ) . A k hả ngh òch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 kh ông là T R của A. Giả sử λ
0
là TR của A
⇔ ∃x
0
: A · x
0
= λ
0
·x
0
⇔ A
−1
· A · x
0
= A
−1

· λ
0
· x
0
⇔ A
−1
· x
0
=
1
λ
0
· x
0
(vì λ
0
= 0 ) → đpc m.
2