Giáo án Giải tích lớp 12 Chuyên đề 3 bài 3 Ứng dụng của tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (874.21 KB, 48 trang )
CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay.
+ Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip.
+ Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.
Kĩ năng
+ Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích
của các vật thể, cũng như vật thể trịn xoay.
+ Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn và elip để xử lí các bài tốn liên
quan.
+ Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay trong các trường hợp
cụ thể.
TOANMATH.com
Trang 1
A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Diện tích hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và hai đường
thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo công thức:
b
S f x dx
a
Chú ý
Nếu f x không đổi dấu trên đoạn a; b thì
b
S f x dx
a
b
Phần tơ màu đen chính là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
f x dx
y f x liên tục trên đoạn a; b , trục
a
• Nếu phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x c thuộc hoành và hai đường thẳng x a , x b
(với a b ).
khoảng a; b thì
Đặc biệt:
b
c
b
a
a
c
S f x dx f x dx f x dx
c
b
a
c
f x dx f x dx
• Nếu phương trình f x 0 có hai nghiệm c1 c2 thuộc
•
Nếu
f x 0 , x a; b
b
b
a
a
thì
S f x dx f x dx
•
Nếu
f x 0 ,
b
b
a
a
x a; b
thì
S f x dx f x dx
khoảng a; b thì
b
c1
a
c
S f x dx
f x dx
c2
f x dx
c1
b
f x dx
c2
Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Diện tích hình phẳng
C1 :
H
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
y f x , C2 : y g x liên tục trên đoạn a; b và
hai đường thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo
công thức:
b
S f x g x dx
a
Phần gạch chéo trong hình là hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
C1 :
y f x ; C2 : y g x
liên tục trên đoạn a; b và hai đường
TOANMATH.com
Trang 2
thẳng x a , x b (với a b ).
Đặc biệt:
° Nếu f x g x , x a; b (đồ thị
Chú ý
• Nếu phương trình f x g x vô nghiệm trên khoảng
a; b thì
b
C1
b
S f x g x dx f x g x dx .
a
a
b
có: S f x g x dx
a
• Nếu phương trình f x g x có nghiệm duy nhất x c
c
b
a
c
thuộc a; b thì S f x g x dx f x g x dx
nằm phía trên đồ thị C2 ) thì ta
c
b
a
c
f x g x dx f x g x dx
b
f x g x dx
a
• Nếu f x g x , x a; b (đồ thị
C1
nằm phía dưới đồ thị C2 ) thì ta
b
• Nếu phương trình f x g x có hai nghiệm c1 c2 thuộc có: S f x g x dx
a
khoảng a; b thì
b
b
c1
a
c
S f x dx
f x g x dx
f x g x dx
c2
f x g x dx
c1
a
b
f x g x dx
c2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TOANMATH.com
Trang 3
Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Diện tích hình phẳng
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x liên tục trên đoạn a; b , trục hoành và hai đường
thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo công thức:
b
S f x dx
a
Ứng dụng tích phân để tính
diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
y f x , C2 : y g x liên tục trên đoạn a; b và
hai đường thẳng x a , x b (với a b ) được xác định theo
C1 :
b
công thức: S f x g x dx
a
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng
Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị bởi một đường cong
Phương pháp giải
C : y f x
Ox : y 0
Xét hình phẳng H :
x a
x b a b
Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Khi đó diện tích hình phẳng H là:
Hướng dẫn giải
b
S f x dx
a
hàm số C : y
Tính S.
Hồnh độ giao điểm của
và trục hồnh là
3 x 1
1
0 x
x 1
3
Do đó diện tích hình phẳng là
S
0
3x 1
1 x 1 dx
3
3 x 4 ln x 1
0
4
3 x 1 dx
1
3
0
TOANMATH.com
C
nghiệm của phương trình:
Trong loại 1 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi
tìm bằng cách giải phương trình f x 0 .
3 x 1
và hai trục tọa độ là S.
x 1
1
3
4
4 ln 1
3
Trang 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 1 , trục hoành và hai đường thẳng
2
x 1 , x 2 bằng
A.
2
3
B.
3
2
C.
1
3
D.
7
3
Hướng dẫn giải
2
2
Ta có S x 2 1 dx x 2 4 x 3 dx
2
1
1
2
x
Vì phương trình x 2 4 x 3 khơng có nghiệm trên 1; 2 nên S
2
4 x 3 dx
1
2
3
Chọn A.
Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh có thể sử dụng máy tính
bỏ túi để kiểm tra kết quả.
Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 3 , x 2 (như hình vẽ
bên). Đặt a
1
3
2
f x dx , b f x dx .
1
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. S a b .
B. S a b .
C. S a b .
D. S b a .
Hướng dẫn giải
Ta có S
1
2
1
2
3
1
3
1
f x dx f x dx f x dx f x dx a b
Chọn D.
Ví dụ 3: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới han bởi các đường y
ln x
, y 0 , x 1 , x e . Mệnh
x2
đề nào dưới đây đúng?
e
ln x
dx .
x2
1
A. S
e
ln x
dx .
x2
1
B. S
e
2
ln x
C. S 2 dx .
x
1
e
2
ln x
D. S 2 dx .
x
1
Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y
e
S
1
ln x
, y 0 , x 1 , x e là:
x2
e
ln x
ln x
ln x
dx 2 dx vì 2 0 , x 1; e
2
x
x
x
1
Chọn B.
TOANMATH.com
Trang 5
Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ln x , y 1 và đường thẳng x 1 bằng
B. e 2 .
A. e 2 .
D. e 2 .
C. 2e.
Hướng dẫn giải
Ta có ln x 1 x e .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ln x , y 1 và đường thẳng x 1 là:
e
S ln x 1 dx
1
e
ln x 1 dx
1
e
e
e
1
1
1
x ln x 1 dx 1 x
e2
Chọn D.
Ví dụ 5*: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x ,
trục hoành và các đường thẳng x 1 , x 1 . Với k 1;1 , đường
thẳng x k chia hình phẳng H thành hai hình phẳng có diện tích
lần lượt là S1 và S 2 (như hình vẽ bên). Giá trị k để S1 S2 là
A. 2 ln 2 1 .
1
B. 2 ln e 1 .
e
1
C. ln e ln 2 .
e
D. ln 2 .
Hướng dẫn giải
Vì e x 0 với mọi x nên ta có
k
k
1
1
S1 e x dx e x
1
1
k
k
ek e1 và S 2 e x dx e x
e ek
1
1 1
S1 S2 e k e 1 e e k 2ek e e k e
2
e
e
1
1
1
k ln e ln e ln 2
2
e
e
Chọn C.
Chú ý: a x b x log a b
Ví dụ 6*: Cho hàm số y f x có đồ thị trên 2;6 như
hình vẽ bên. Biết các miền A, B, x 2 có diện tích lần lượt là
32; 2; 3.
Tích phân
2
f 2 x 2 1 dx
bằng
2
A.
45
.
2
B. 41.
C. 37.
D.
41
.
2
Hướng dẫn giải
TOANMATH.com
Trang 6
2
f 2 x 2 1 dx
Ta có
2
Xét I1
2
f 2 x 2 dx 4
2
2
f 2 x 2 dx .
2
Đặt t 2 x 2 dt 2 dx dx
dt
2
Đổi cận: x 2 t 2 ; x 2 t 6 .
Suy ra I1
6
1
f t dt .
2 2
Gọi x1 ; x2 là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x
với trực hoành 2 x1 x2 6 . Ta có
x
x2
6
1 1
I1 f t df f t df f t df
2 2
x1
x2
1
33
32 2 3
2
2
Vậy
2
f 2 x 2 1 dx I
1
4
2
1
S A S B SC
2
33
41
4
2
2
Chọn D.
Ví dụ 7*: Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x như
hình bên.
Đặt g x 2 f x x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2
A. g 3 g 3 g 1 .
B. g 3 g 3 g 1 .
C. g 1 g 3 g 3 .
D. g 1 g 3 g 3 .
Hướng dẫn giải
Ta có g x 2 f x 2 x 1
g x 0 f x x 1 . Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số f x và
đường thẳng d: y x 1 .
x 1
Dựa vào đồ thị ta thấy: g x 0 f x x 1
x 3
Bảng biến thiên:
TOANMATH.com
Trang 7
x
–3
g x
–
0
1
+
0
g x
3
–
0
+
g 1
g 3
g 3
Suy ra g 3 g 1 và g 3 g 1
Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x , đường thẳng d:
y x 1 trên các đoạn 3;1 và 1;3 ta có:
+) Trên đoạn 3;1 ta có f x x 1 nên S1
1
g x dx
3
3
+) Trên đoạn 1;3 ta có f x x 1 nên S 2 g x dx
1
1
1
f x x 1 dx .
2 3
3
1
x 1 f x dx .
2 1
Dựa vào đồ thị ta thấy S1 S2 nên ta có:
g x
1
3
g x g 1 g 3 g 3 g 1 g 3 g 3 .
3
1
Vậy g 1 g 3 g 3 .
Chọn D.
Lưu ý:
- Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f x và đường thẳng d: y x 1 chính là nghiệm của
phương trình g x 0 .
- Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn hơn g 3 . Ta chỉ cần so sánh g 3 và g 3 .
- So sánh diện tích dựa vào đồ thị.
Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Phương pháp giải
C1 : y f x
C : y g x
Xét hình phẳng H : 2
x a
x b a b
Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ
sau.
Khi đó diện tích hình phẳng H là:
b
S f x g x dx
a
TOANMATH.com
Trang 8
Trong loại 2 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi
tìm bằng cách giải phương trình f x g x .
Lưu ý: Kĩ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, quan
sát hình vẽ để xác định diện tích.
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy
x 2 3 x 2 2 x 1 x 1; 2
Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong
2
hình vẽ là S x 2 3 x 2 2 x 1 dx
1
2
2 x
2
2 x 4 dx
1
2 3
x x2 4x
3
2
1
3
2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y x3 3x , y x . Tính S.
A. S 4 .
B. S 8 .
C. S 2 .
D. S 0 .
Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là
x 2
x3 3 x x x 3 4 x 0
x 0
Vậy S
0
x
3
4 x dx
2
2
x
3
4 x dx 4 4 8 .
0
Chọn B.
Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my x 2 , mx y 2 (với m 0 ). Tìm giá trị
của m để S 3 .
A. m 1 .
TOANMATH.com
B. m 2 .
C. m 3 .
D. m 4 .
Trang 9
Hướng dẫn giải
Vì m 0 nên từ my x 2 ta suy y
x2
0;
m
Từ mx y 2 nên x 0 và y mx .
Xét phương trình
x 0
x2
mx x 4 m3 x
m
x m
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
m
S mx
0
m
x2
x2
dx mx dx
m
m
0
2 m
x3
.x x
3m
3
m
0
Yêu cầu bài toán S 3
1 2 1 2
m m
3
3
1 2
m 3 m 2 9 m 3 (vì m 0 ).
3
Chọn C.
Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm y x2 và y
2x
là S a b ln 2 với a,
x 1
b là những số hữu tỷ. Giá trị của a b là
1
A. .
3
B. 2.
2
C. .
3
D. 1.
Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của C1 : y x2 và C2 : y
2x
là
x 1
x 0
2x
3
2
x
x 1 x x 2 x 0 x 1
x 1
x 2
2
TOANMATH.com
Trang 10
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
0
0
x3
2
2x
S
x 2 dx 2
x 2 dx 2 x 2ln x 1
3
x 1
x 1
1
1
Suy ra a
0
1
5
2ln 2
3
5
và b 2
3
Vậy a b
1
3
Chọn A.
Ví dụ 4*: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x 2 , cung
trịn có phương trình y 4 x 2 (với 0 x 2 ) và trục hồnh (phần tơ
đậm trong hình vẽ). Diện tích của H là
A.
4 3
.
12
B.
4 3
.
6
C.
4 2 3 3
.
6
D.
5 3 2
.
3
Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol y 3 x 2 và cung tròn y 4 x 2 (với 0 x 2 ) lả
4 x 2 3x 2 4 x 2 3x 4 x 1 .
TOANMATH.com
Trang 11
Diện tích của H là
1
2
0
1
3 3
x
3
S 3x 2 dx 4 x 2 dx
1
2
3
I với I 4 x 2 dx .
3
1
I
0
Đặt x 2sin t , t ; dx 2 cos t.dt
2 2
Đổi cận x 1 t
6
, x2t
2
.
2
2
2
2
6
6
6
6
I 4 4sin 2 t .2 cos t.dt 4cos 2 t.dt 2 1 cos 2t .dt 2 x sin 2t
2
3
3
2
Vậy S
3
3 2
3 4 3
I
3
3
3
2
6
Chọn B.
Ví dụ 5*: Hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị C của hàm đa
thức bậc ba và parabol
P
có trục đối xứng vng góc với trục
hồnh. Phần tơ đậm của hình vẽ có diện tích bằng
A.
37
.
12
B.
7
.
12
C.
11
.
12
D.
5
.
12
Hướng dẫn giải
Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là y 2 và
y 0 nên ta xét hai hàm số là y ax3 bx 2 cx 2 , y mx 2 nx (với a, m 0 ).
Suy ra C : y f x ax3 bx 2 cx 2 và P : y g x mx 2 nx .
Phương trình hồnh độ giao điểm của C và P là:
ax 3 bx 2 cx 2 mx 2 nx ax 3 bx 2 cx 2 mx 2 nx 0 .
Đặt P x ax 3 bx 2 cx 2 mx 2 nx .
Theo giả thiết, C và P cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x 1 , x 1 , x 2 nên
P x a x 1 x 1 x 2 .
Ta có P 0 2a .
Mặt khác, ta có P 0 f 0 g 0 2 a 1 .
TOANMATH.com
Trang 12
Vậy diện tích phần tơ đậm là S
2
37
x 1 x 1 x 2 dx 12
1
Chọn A.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e x , y 0 , x 0 , x 2 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
2
A. S e dx .
2x
0
2
2
B. S e dx .
C. S e dx .
x
0
x
0
2
D. S e 2 x dx .
0
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x và đồ thị hàm số y x x 2 là
3
A.
37
.
12
B. I
9
.
4
Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng
C.
H
81
.
12
D. 13.
giới hạn bởi các đường
y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1 , x 2 (như hình vẽ
bên).
Đặt a
0
1
2
f x dx , b f x dx , mệnh đề nào sau đây đúng?
0
A. S b a .
B. S b a .
C. S b a .
D. S b a .
Câu 4: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y e x , y 0 , x 0 , x ln 4 . Đường thẳng
x k 0 k ln 4 chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S 2 như hình vẽ bên dưới. Tìm k để
S1 2S2 .
TOANMATH.com
Trang 13
A. k
2
ln 4 .
3
B. k ln 2 .
8
C. k ln .
3
D. k ln 3 .
Câu 5: Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn 1; 4 như
hình vẽ bên. Tính tích phân I
4
f x dx .
1
A. I 3 .
B. I
11
.
2
C. I 5 .
D. I
5
.
2
Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y ln x , y 1 , y 1 x .
A. S e
3
.
2
B. S e
1
.
2
C. S e
1
.
2
D. S e
3
2
Câu 7: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm
y f x như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án
dưới đây là đúng?
A. f 2 f 1 f 0 .
B. f 0 f 1 f 2 .
C. f 0 f 2 f 1 .
D. f 1 f 0 f 2 .
Câu 8: Cho hàm y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x ,
biết đồ thị hàm số y f x trên đọan 2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích S1 S 2
S3
22
,
15
76
15
TOANMATH.com
Trang 14
Giá trị của biểu thức F 2 F 1 F 1 F 2 bằng
A. I
36
.
5
B. I
32
.
15
C. I
18
5
D. I
32
.
15
Câu 9: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như
hình vẽ. Đặt g x 2 f x x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g 3 g 3 g 1 .
B. g 1 g 3 g 3 .
C. g 1 g 3 g 3 .
D. g 3 g 3 g 1 .
Câu
10:
Cho
hai
hàm
số
f x ax 3 bx 2 cx
1
2
và
g x dx 2 ex 1 (với a, b, c, d, e ). Biết rằng đồ thị của hàm số
y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt là –3;
–1; 1 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã
cho có diện tích bằng
A.
9
.
2
C. 4.
B. 8.
D. 5.
Câu 11: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên
được tính theo cơng thức nào dưới đây?
TOANMATH.com
Trang 15
A.
2
2x
2
2 x 4 dx .
1
B.
2
2 x 2 dx .
1
C.
2
2 x 2 dx .
1
D.
2
2 x
2
2 x 4 dx .
1
Câu 12: Cho hai hàm số f x ax3 bx 2 cx 2 và g x dx 2 ex 2 ,
với a, b, c, d, e . Biết rằng đồ thị của hàm số y f x và y g x cắt
nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; –1; 1 (tham khảo hình vẽ bên).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
37
.
6
B.
13
.
2
C.
9
.
2
D.
37
.
12
Câu 13: Cho hai hàm số
g x dx 2 ex
f x ax3 bx 2 cx 1 và
1
với a, b, c, d, e . Biết rằng đồ thị hàm số
2
y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần
lượt là –3; –1; 2 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn
bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng
A.
125
.
12
B.
253
.
12
C.
253
.
48
D.
125
.
48
Câu 14: Cho hai hàm số
g x dx 2 ex
f x ax3 bx 2 cx
3
4
và
3
với a, b, c, d, e . Biết rằng đồ thị của
4
hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ
lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới
hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
125
.
48
TOANMATH.com
B.
253
.
24
Trang 16
C.
125
.
24
D.
253
.
48
Câu 15: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường
4 x 2 , y x và y 2 có diện tích là S a b với a,
b (phần bơi đen như hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. a 0 và b 0 .
B. a 1 và b 1.
C. a 2b 3 .
D. a 2 4b 2 5 .
H
Câu 16: Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
P :
y 8 x x 2 và trục hoành. Các đường thẳng y a , y b , y c
với 0 a b c 16 chia
H
thành bốn phần có diện tích
bằng nhau.
Giá trị của biểu thức 16 a 16 b 16 c bằng:
3
A. 2048.
B. 3584.
C. 2816.
D. 3480.
3
3
Câu 17: Cho hàm số y f x mx 4 nx 3 px 2 qx r trong đó
m, n, p, q, r . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình
vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f x r có tất cả bao
nhiêu phần tử?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Câu 18: Cho hàm số y f x mx 4 nx 3 px 2 qx r trong
đó m, n, p, q, r . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như
hình
vẽ
bên.
Tập
nghiệm
của
phương
trình
f x 16m 8n 4 p 2q r có tất cả bao nhiêu phần tử?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Câu 19: Cho đồ thị hàm số y x3 trên đoạn 0;1 và một số
TOANMATH.com
Trang 17
thực t 0;1 . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 , y t 3 , x 0 và S 2 là diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 , y t 3 , x 1 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi m, M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của S1 S 2 . Tính 2M 16m .
A. 2M 16m 3 .
B. 2M 16m 5 .
Câu 20: Cho Parabol P : y
C. 2M 16m 7 .
D. 2M 16m 10 .
1 2
x và đường tròn C có bán kính
2
bằng 1 tiếp xúc với trục hồnh đồng thời có chung một điểm A duy
nhất với P . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , C và trục
hồnh (phần bơi đậm trong hình vẽ bên) bằng
A.
27 3 8
.
24
B.
9 3 9 4
.
12
C.
29 3 9
.
24
D.
3 3 2
.
3
Câu 21: Hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị của hai
hàm số đa thức bậc bốn y f x và y g x . Biết rằng đồ
thị của hai hàm số này tiếp xúc nhau tại x 3 và cắt nhau tại
hai điểm có hồnh độ lần lượt là –1; 2 như hình vẽ bên. Diện
tích của hình phẳng
H
(phần gạch sọc trên hình vẽ) gần
nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 3,11.
B. 2,45.
C. 3,21.
D. 2,95.
TOANMATH.com
Trang 18
Câu 22: Cho hàm số f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình
phẳng A , B lần lượt bằng 3 và 7.
Tích phân
2
cos x. f 5sin x 1 dx bằng
0
4
A. .
5
B. 2.
C.
4
.
5
D. –2.
Câu 23: Cho đường cong C : y 8 x 27 x3 và đường thẳng y m cắt
C
tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục
tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích
bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0 m
1
.
2
B.
1
m 1.
2
C. 1 m
3
.
2
D.
3
m 2.
2
Câu 24: Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số
y log a x ; y log b x như hình vẽ bên. Gọi d là đường thẳng song
song với trục Oy và cắt trục hồnh tại điểm A có hoành độ x k
k 1 . Gọi
S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y log a x , đường
thẳng d và trục hoành; S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y log b x , đường thẳng d và trục hoành. Biết S1 4S2 . Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. b a 4 .
B. a b 4 .
C. b a 4 ln 2 .
D. a b 4 ln 2 .
Câu 25: Cho đồ thị C của hàm số y x3 3x 2 1 . Gọi d là tiếp tuyến của C tại điểm A có hồnh
độ xA a . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và C bằng
27
, các giá trị của a thỏa mãn đẳng
4
thức nào?
A. 2 a 2 a 1 0 .
B. a 2 2a 0 .
C. a 2 a 2 0 .
Câu 26: Số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm y
D. a 2 2a 3 0 .
x 2 2ax 3a 2
a 2 ax
y
và
có diện
1 a6
1 a6
tích lớn nhất là
A.
1
2
3
TOANMATH.com
B. 1.
C. 2.
D.
3
3.
Trang 19
Câu 27: Cho hàm số y x 4 6 x 2 m có đồ thị Cm . Giả sử Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
sao cho hình phẳng giới hạn bởi Cm và trục hồnh có phần phía trên trục hồnh và phần phía dưới trục
hồnh có diện tích bằng nhau. Khi đó m
a
a
(với a, b là các số nguyên, b 0 ,
là phân số tối giản).
b
b
Giá trị của biểu thức S a b là:
A. 7.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
Câu 28: Cho hai hàm số f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e với
a 0 và g x px 2 qx 3 có đồ thị lần lượt là C1 và
C2 . Biết rằng C1
đi qua gốc tọa độ và cắt C 2 tại bốn
điểm có hồnh độ lần lượt là 2 ; –1; 1 và m. Tiếp tuyến của
đồ thị hàm số y f x g x tại điểm có hồnh độ x 2
có hệ số góc bằng
15
. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi
2
đồ thị hai hàm số y f x và y g x (phần được tơ đậm
trong hình vẽ bên). Diện tích của hình H bằng
A.
1553
.
120
B.
1553
.
240
C.
1553
.
60
D.
1553
.
30
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Phương pháp giải
Các kiến thức được sử dụng khi giải tốn:
• Đường trịn
C
tâm I a; b và bán kính R có phương trình
x a y b
2
2
R 2 hay
y b R 2 x a . Diện tích hình trịn là S R 2 .
2
• Elip E có tâm O 0; 0 là gốc tọa độ, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b (với a b 0 ),
có các tiêu cự F1 c; 0 và F2 c; 0 , với c 2 a 2 b 2 có phương trình chính tắc là
y
x2 y 2
1 hay
a 2 b2
b 2
a x2 .
a
Diện tích của elip là S .a.b .
• Parabol P : y ax 2 bx c .
b
• Khi đó đỉnh của P là I ; với b 2 4ac và điểm M x0 ; y0 P y0 ax02 bx0 c .
2a 4a
Ví dụ mẫu
TOANMATH.com
Trang 20
