Giáo án Hình học 11 Khoảng cách trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (666.85 KB, 32 trang )
BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng
và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.
+
Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
+ Nắm vững các tính chất về khoảng cách.
Kĩ năng
+
Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.
+
Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình
chiếu vng góc của O trên . Khi đó khoảng cách
OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến .
d O, OH .
Nhận xét: OH OM , M
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng và một điểm O. Gọi H là hình
chiếu của O trên mặt phẳng . Khi đó khoảng
cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng .
d O, OH .
Nhận xét: OH OM , M
Trang 1
Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt
phẳng
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song
với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì
trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng .
d , d M , với M
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và song song với nhau.
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng và .
d , d M , d N , với
M , N .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn
vng góc chung MN của a và b được gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.
d a, b MN .
TOANMATH.com
Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Khoảng cách từ điểm đến
đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt
d O, OH
d O, OH
phẳng
Khoảng cách từ đường thẳng
d , d M ,
đến mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường
d ; d M ;
M
d a, b MN
thẳng chéo nhau
TOANMATH.com
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Phương pháp giải
Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến Ví dụ. Khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vng
mặt phẳng P .
cân tại B và AB a, SA ABC . Góc giữa cạnh
bên SB và mặt phẳng
ABC
bằng 60O . Tính
khoảng cách từ A đến SBC .
Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên .
+) Dựng mặt phẳng P chứa O và vuông góc với
Ta có AH SB; AH BC AH SBC
AH d A. SBC .
.
+) Tìm giao tuyến của P và .
+) Kẻ OH H . Khi đó d O; OH .
Tam giác SAB vng tại A nên
Bước 2. Tính OH.
Lưu ý: Tính chất của tứ diện vng.
Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O.
OA OB; OB OC; OC OA
1
1
1
a 3
2
AH
2
2
2
AH
SA
AB
và H là hình chiếu
của O trên mặt phẳng ABC .
Khi đó ta có
1
1
1
1
.
2
2
2
OH
OA OB OC 2
TOANMATH.com
Trang 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA vng góc với đáy. Biết
khối chóp S . ABC có thể tích bằng a 3 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC .
Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên BC và SI.
Ta có AI BC ; SA BC AK SBC
AK d A, SBC .
Ta có V a 3 ; S ABC
a2 3
SA 4a 3.
4
Trong tam giác vuông SAI, ta có
1
1
1
4a 195
2 2 AK
.
2
65
AK
SA
AI
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AD a 3 . Tam giác A ' AC
vng cân tại A’ và thuộc mặt phẳng vng góc với đáy. Biết rằng A ' A a 2 . Tính khoảng cách từ D’
đến mặt phẳng A ' ACC '
Hướng dẫn giải
Trong A ' AC , kẻ A ' I AC.
Vì A ' AC ABCD và A ' AC ABCD AC nên A ' I ABCD .
Vì DD ' AA ' nên DD ' A ' ACC ' d D ', A ' AC d D, A ' AC
Kẻ DH AC.
Ta có AC A ' A 2 2a CD a.
Suy ra d D, A ' AC DH
a 3
.
2
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng?
TOANMATH.com
Trang 5
A. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất
kì trên mặt phẳng P .
B. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với AH P .
C. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
D. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu
vng góc của A trên P .
Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh a,
SA 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng
57 a
3
A.
57a
6
B.
C.
2 57 a
3
D.
57 a
12
Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA 2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng
A. a
B. 2a
3a
3
C.
D.
3a
2
Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA 2a . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB bằng
A.
a
2
B. a
3a
4
C.
D.
3a
2
90o , BA BC a; AD 2a .
ABC BAD
Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang,
Cạnh bên SA vng góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và SAD bằng 30o . Khoảng cách từ A đến
SCD
bằng
A. a
B. a 2
C.
a
2
D. a 3
Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác đều cạnh
bằng a, SA 2a . Gọi G là trọng tâm ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SBC bằng
A.
57 a
3
B.
57a
6
C.
2 57 a
9
D.
57 a
18
Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành với BC a 2,
ABC 60o . Tam giác SAB
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAB bằng
A.
a 6
2
B.
a 2
2
C. a 2
D.
2a 6
3
Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác vuông tại B,
BC 2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB bằng
TOANMATH.com
Trang 6
A. a
B.
3a
2
C. 2a
D.
3a
4
Câu 9: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác vuông tại B,
AB a, BC 2a . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 45o . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng SBC bằng
A.
a 2
2
B.
a 3
2
C.
a 3
3
D.
a 6
3
Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , ABC là tam giác vuông tại B,
AB a, BC 2a, SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SAC
bằng
A.
2 5a
5
B.
2 5a
15
C.
4 5a
15
D.
6 5a
5
Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng
A.
a 6
2
B.
a 3
3
C.
2a 6
3
D.
a 6
3
Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng BCD bằng a 6 . Diện tích tam
giác ABC bằng
A.
9 3a 2
4
B.
3 3a 2
4
C.
7 3a 2
4
D.
9 3a 2
2
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình vng cạnh
a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SCD
A.
bằng
3a
4
B.
3a
2
C. a
D.
3a
6
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình vng cạnh
a, SA a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng
A.
3a
4
B.
2a
2
C.
21a
3
D.
21a
7
Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, BC= 2a, SA=3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng
A.
6a
7
TOANMATH.com
B.
3 21a
7
C.
5a
7
D.
21a
7
Trang 7
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có SAB và SAD cùng vng góc với mặt phẳng
ABCD ,
ABCD là hình vng cạnh a, SA a 3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD bằng
3a
4
A.
2a
2
B.
21a
3
C.
21a
7
D.
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình vng tâm
O có cạnh a. Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60o . Khoảng cách từ O đến mặt
phẳng SBC bằng
3a
4
A.
3a
2
B.
C. a
3a
6
D.
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có SAB và SAD cùng vng góc với mặt phẳng ABCD , ABCD
120o , biết SC hợp với đáy một góc 45o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
là hình thoi cạnh a, BAD
SCD
bằng
3a
4
A.
2a
2
B.
C.
21a
3
21a
7
D.
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD , SA a, ABCD là hình thoi
cạnh a,
ABC 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng SCD bằng
A.
3 21a
7
B.
2 21a
7
C.
21a
21
21a
7
D.
Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a, SA ABCD và
SA a 3 . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng
A.
a 3
2
B.
a 3
4
C.
a 2
2
D. a
Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a, SA ABCD và
SA a 3 . Khoảng cách từ trong tâm G của SAB đến mặt phẳng SAC bằng
A.
a
2
B.
a 2
4
C.
a 2
6
D.
a 2
3
Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ABCD , AC a và
AB a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng
A. a 2
B. a
C.
a 3
2
D.
a 6
3
Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau, AB a, AC b, AD c .
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD bằng
TOANMATH.com
Trang 8
1
1 1 1
a 2 b2 c2
A.
1 1 1
a 2 b2 c2
B.
a 2 b2 c 2
C.
1
D.
a b2 c2
2
Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, BC a 3, SA ABCD . Góc
giữa SC và mặt đáy bằng 45o . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng
A. a 2
B.
a 21
6
C.
2a 21
7
D. a 3
Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SB vng góc mặt
phẳng ABC và SB 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
SAM bằng
A.
a 5
5
B.
a
2
C. a 5
D.
2a 17
17
Câu 26: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vng cân tại A với AB AC 3a . Hình chiếu
vng góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC 2 HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng
2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng B ' AC bằng
A.
2a
3
C.
B. a 3
3a 3
2
D.
a
2
Câu 27: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
A ' CD bằng
B.
A. a 2
a 3
2
C.
a
2
D.
a 2
2
Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB a, BC 2a, BB ' a 3 . Khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng ACC ' A ' bằng
A.
a 5
2
B. a
C.
2a 5
5
D. 2a
Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,
60o , SO ABCD , SO a . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng
a, BAD
A.
a
2
B.
a 3
4
C.
a 3
2
D.
cạnh
bằng
a 39
13
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng
60o , SO ABCD , SO a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SBC bằng
a, BAD
A.
a
2
B.
a 3
4
C.
a 3
2
D.
a 39
13
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-D
2-B
3-D
4-C
5-A
6-D
7-A
8-C
9-A
10-B
11-D
12-A
13-B
14-D
15-A
16-D
17-A
18-D
19-C
20-B
TOANMATH.com
Trang 9
21-C
22-D
23-A
24-C
25-D
26-B
27-D
28-C
29-B
30-C
Lời giải chi tiết
Câu 2.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vng góc của A trên SM
BC AM
Ta có:
BC SAM SBC SAM .
BC SA
AH SBC d A; SBC AH .
Ta có AM
a 3
.
2
Xét SAM vng tại A có
1
1
1
1
4
19
a 57
2 2
AH
.
2
2
2
2
4a 3a
12a
6
AH
AS
AM
Câu 3.
Do SA ABC SAB ABC .
Dựng CN AB CN SAB d C ; SAB CN .
Do ABC đều cạnh a nên CN
Vậy d C ; SAB
a 3
.
2
a 3
.
2
Câu 4.
Do SA ABC SAB ABC .
Dựng CN AB CN SAB d C ; SAB CN .
Do ABC đều cạnh bằng a nên CN
a 3
.
2
Do M là trung điểm BC nên
d M ; SAB
1
a 3
.
d C ; SAB
2
4
Câu 5.
Gọi E là trung điểm AD.
Khi đó ABCE là hình vng cạnh a. Suy ra CE AD .
Lại có CE SA .
SC , SAD 30o.
Do đó CE SAD CSE
Lại có: SC.sin 30o CE a SC 2a.
TOANMATH.com
Trang 10
ABC vuông cân tại B nên AC a 2.
Ta có SA SC 2 AC 2 a 2.
Do CE
1
AD nên ACD vuông tại C AC CD.
2
Dựng AF SC.
Ta có: d A, SCD AF
SA.SC a 2.a 2
a.
SC
2a
Câu 6.
Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vng góc của
A trêm SM.
BC AM
BC SAM SBC SAM .
Ta có:
BC SA
AH SBC d A; SBC AH .
Xét SAM vng tại A có
1
1
1
a 57
AH
.
2
2
2
6
AH
AS
AM
Do G là trọng tâm ABC nên
GM 1
.
MA 3
1
57 a
Suy ra d G; SBC d A; SBC
.
3
18
Câu 7.
Dựng SH AB.
Do SAB ABCD nên SH ABCD .
Dựng CK AB . Vì CK SH nên CK SAB .
Do CD AB nên d D, SAB d C , SAB CK
BC sin 60o a 2.
3 a 6
.
2
2
Câu 8.
Do SA ABC nên SAB ABC .
Mặt khác do BC AB BC SAB .
Suy ra d C ; SAB CB 2a.
Câu 9.
Do SA ABC nên AB là hình chiếu vng góc của SB
45o.
trên ABC SB; ABC SBA
Vậy SAB vuông cân tại A SA AB a.
TOANMATH.com
Trang 11
Dựng AH SB , ta có:
SAB SBC AH SBC d A; SBC AH .
Xét SAB vuông tại A nên
1
1
1
a 2
AH
.
2
2
2
2
AH
AS
AB
Câu 10.
Do SA ABC nên SAC ABC .
Trong mặt phẳng ABC , dựng BH AC.
Ta có BH SAC . Suy ra d B; SAC BH .
Xét ABC vuông tại B nên
1
1
1
2 5a
.
BH
2
2
2
5
BH
BA BC
Do G là trọng tâm SAB nên
NG 1
.
NB 3
1
2 5a
Suy ra d G; SBC d A; SBC
.
3
15
Câu 11.
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vng góc của A trên
BM.
CD AM
Ta có:
CD ABM CD AH 1 .
CD BM
Tương tự, ta chứng minh được BC AH 2 .
Tự 1 và 2 suy ra AH BCD .
Suy ra d A; BCD AH và H là trọng tâm BCD.
Xét ABH vng tại H có
AH AB 2 BH 2
a 6
.
3
Nhận xét: Trong tứ diện đều, hình chiếu vng góc của một đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trực tâm
(trọng tâm) của mặt đó.
Câu 12.
Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vng góc của A
trên BM.
Áp dụng kết quả câu 11, ta có
d A; BCD AH và H là trọng tâm BCD.
Xét ABH vuông tại H: AH 2 AB 2 BH 2
TOANMATH.com
Trang 12
2 3
AB
AH AB .
3 2
2
6a 2
2
2
2
AB 2 AB 3a.
3
3 3a
9 3a 2
.
4
4
2
Vậy S ABC
Câu 13.
Do SA ABCD nên AB là hình chiếu vng góc của SB
.
SB; ABCD SBA
trên mặt phẳng ABCD
BC SA
BC SAB SAB SBC .
Ta có:
BC AB
a 3.
Xét SAB vng tại A : SA AB tan SBA
Dựng AH SD AH SCD d A; SCD AH .
Xét SAD vuông tại A :
1
1
1
3a
.
AH
2
2
2
2
AH
AS
AD
Do AB CD nên d B; SCD d A; SCD
a 3
.
2
Câu 14.
BD OA
Gọi O là tâm hình vng ABCD
BD SA
BD SAO SBD SAO .
Dựng AK SO AK SBD .
Suy ra d A; SBD AK .
Xét SAO vuông tại A :
1
1
1
21a
.
AK
2
2
2
7
AK
AS
AO
Câu 15.
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên BD.
BD SA
Ta có:
BD SAH SBD SAH .
BD AH
Dựng AK SH AK SBD .
Suy ra d A; SBD AK .
Xét SAH vuông tại A :
1
1
1
2
2
AK
AS
AH 2
1
1
6a
1
AK .
2
2
2
7
AS AB
AD
TOANMATH.com
Trang 13
Câu 16.
SAB ABCD
Ta có: SAD ABCD SA ABCD .
SAB ( SAD) SA
BD OA
Gọi O là tâm hình vng ABCD
BD SA
BD SAO SBD SAO .
Dựng AK SO AK SBD .
Suy ra d A; SBD AK .
Xét SAO vng tại A có
1
1
1
21a
.
AK
2
2
2
7
AK
AS
AO
Do O SBD và O là trung điểm AC nên
d C ; SBD d A; SBD
21a
.
7
Câu 17.
BC AB
Ta có:
BC SAB BC SB.
BC SA
Suy ra
.
SBC ; ABCD SBA
a 3.
Xét SAB vuông tại A : SA AB tan SBA
Vì BC SAB nên SAB SBC .
Dựng
AH SB AH SBC d A; SBC AH .
Xét SAB vuông tại A nên
1
1
1
3a
AH
.
2
2
2
AH
AS
AB
2
Do C SBC và O là trung điểm AC nên
d O; SBC
1
3a
.
d A; SBC
2
4
Câu 18.
SAB ABCD
Ta có: SAD ABCD SA ABCD .
SAB SAD SA
60o.
Tam giác ABC cân tại B và BAC
Suy ra ABC , ACD đều.
TOANMATH.com
Trang 14
45o SA AC a.
Vậy
SC ; ABCD SCA
CD AM
CD SAM .
Gọi M là trung điểm của CD
CD SA
Dựng AH SM AH SCD d A; SCD AH .
Xét SAM vuông tại A:
1
1
1
21a
AH
.
2
2
2
7
AH
AS
AM
Do AB / / SCD nên d B; SCD d A; SCD
21a
.
7
Câu 19.
ABC cân tại B và
ABC 60o ABC , ACD đều.
Gọi M là trung điểm CD CD AM .
Mà CD SA nên CD SAM .
Dựng
AH SM AH SCD d A; SCD AH .
Xét SAM vuông tại A:
1
1
1
21a
.
AH
2
2
2
7
AH
AS
AM
Do AB SCD d B; SCD d A; SCD
Gọi N là trung điểm BC nên
Suy ra d G; SCD
21a
.
7
GS 2
.
NS 3
2
d N ; SCD
3
2 1
1
21a
. d B; SCD d A; SCD
.
3 2
3
21
Câu 20.
Ta có SAB BC SAB SBC theo giao tuyến SB.
Kẻ AH SB nên d A, SBC AH .
Vì OA SBC C nên
d O, SBC
d A, SBC
CO 1
CA 2
d O, SBC
1
d A, SBC
2
d O, SBC
1
a 3
AH
.
2
4
TOANMATH.com
Trang 15
Câu 21.
Gọi M là trung điểm của AB.
d G , SAC
Vì MG SAC S nên
d G, SAC
d M , SAC
GS 2
MS 3
2
d M , SAC .
3
Ta có: BO AC và BO SA BO SAC .
Mặt khác: BM SAC A .
Suy ra:
d M , SAC
a 2
1
1
d B, SAC BO
2
2
4
2 a 2 a 2
.
d G, SAC .
3 4
6
Câu 22.
Kẻ CH AB H AB .
Do CH SA SA ABC nên CH SAB .
Suy ra d C , SAB CH .
Xét ABC vuông tại C có:
BC AB 2 AC 2 a 2;
1
1
1
3
2.
2
2
2
CH
AC
BC
2a
Vậy d H , SBC AH
a 6
.
3
Câu 23.
Kẻ AK BC K BC và AH DK H DK .
Do BC DA do AD ABC nên BC DAK .
Suy ra AH BC. Do AH DK nên
AH BCD d A, BCD AH .
Xét ABC vng tại A có:
1
1
1
1 1
2 2.
2
2
2
AK
AB
AC
a b
Xét ADK vng tại A có:
1
1
1
1 1 1
2 2 2.
2
2
2
AH
AK
AD
a b c
TOANMATH.com
Trang 16
Vậy d A, BCD AH
1
.
1 1 1
a2 b2 c2
Câu 24.
45o.
Vì SA ABCD nên
SC ; ABCD SCA
Kẻ AH SD H SD 1 .
Ta có: CD AD và CD SA.
Suy ra CD SAD CD AH 2 .
Từ (1) và (2) suy ra AH SCD .
Do đó d A, SCD AH .
Xét ABC vuông tại B có:
AC AB 2 BC 2 2a.
Xét SAC vng tại A có:
SA AC.tan 45o 2a.
Xét SAD vng tại A có:
1
1
1
7
2a 21
.
2
AH
2
2
2
7
AH
SA
AD 12a
Vậy d B, SCD AH
2a 21
.
7
Câu 25.
Ta có: AM BC ( ABC đều); AM SB do SB ABC
Do đó AM SBC .
Trong mặt phẳng SBM , kẻ BH SM .
Mà BH AM nên BH SAM .
Suy ra d B, SAM BH .
Xét SBM vuông tại B có:
1
1
1
1
4
17
2a 17
.
2
2 2 2 BH
2
2
4a a
4a
17
BH
SB
BM
Câu 26.
Ta có: BC 3a 2 HB a 2.
Lại có B ' H BB '2 HB 2 a 2.
Dựng HE AC ; HF B ' E.
Suy ra HF B ' AC d H , B ' AC HF .
TOANMATH.com
Trang 17
Ta có
Suy ra
HE CH 2
HE 2a.
AB BC 3
1
1
1
HF
2
2
HF
HE
B'H2
Mặt khác
d B, B ' AC
d H , B ' AC
HE.B ' H
HE B ' H
2
2
2a
.
3
BC 3
.
HC 2
3
Do đó d B, B ' AC .HF a 3.
2
Câu 27.
Ta có: AB CD AB A ' CD
Khi đó: d B, A ' CD d A, A ' CD
Gọi O là tâm hình vng ADD ' A '.
Vì CD AA ' và CD AD nên CD ADD ' A ' .
Suy ra CD AO . Mà AO A ' D nên AO A ' CD .
Suy ra d A, A ' CD AO
Vậy d B, A ' CD
AD ' a 2
.
2
2
a 2
.
2
Câu 28.
Kẻ BH AC H AC .
Lại có BH AA ' do AA ' ABCD .
Suy ra BH ACC ' A ' d B; ACC ' A ' BH .
Xét ABC vuông tại B có:
1
1
1
5
2a 5
.
2 BH
2
2
2
4a
5
BH
AB
BC
Vậy d B; ACC ' A '
2a 5
.
5
Câu 29.
Kẻ OK BC BC SOK .
Trong mặt phẳng SOK :
Kẻ OH SK OH SBC d O, SBC OH .
60o nên ABD đều.
Vì ABD có AB AD, BAD
a
Suy ra BD a BO .
2
TOANMATH.com
Trang 18
Suy ra AO AB 2 BO 2 a 2
a2
a 3.
4
Trong OBC vng tại O có:
1
1
1
13
a 39
2 OK
.
2
2
2
OK
OB OC
3a
13
Trong SOK vuông tại O có:
1
1
1
16
a 3
2 OH
.
2
2
2
OH
OS
OK
3a
4
Vậy d O, SBC OH
a 3
.
4
Câu 30.
Kẻ OK BC K BC , OH SK H SK .
Ta có: AD BC AD SBC .
Khi đó d AD, SBC d M , SBC (với M là giao điểm của
AD và OK).
Kẻ MN OH N SK .
Ta có SOK SBC theo giao tuyến SK nên OH SBC .
Suy ra MN SBC .
Suy ra d AD, SBC d M , SBC MN 2OH
a 3
.
2
Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài tốn 1. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b trường hợp a b
Phương pháp giải
TOANMATH.com
Trang 19
Dựng mặt phẳng chứa b và vng góc với a tại Ví dụ. Cho hình chóp S . ABC đáy ABC là tam giác
A.
vuông tại B, AB a, BC 2a ; cạnh bên SA vuông
Dựng AB b tại b
góc với đáy và SA 2a . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC.
Hướng dẫn giải
AB là đoạn vng góc chung của a và b.
AB SA
Ta có:
. Suy ra AB là đoạn vng góc
AB BC
chung của SA và BC.
Vậy d SA, BC AB a
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a; cạnh bên SA vng góc với
đáy; SC hợp với đáy góc 45o . Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng SC và BD.
Hướng dẫn giải
Ta có: AC là hình chiếu vng góc của SC lên ABCD .
45o.
Suy ra
SC , ABCD SCA
BD AC
BD SC.
Lại có:
BD SA
Gọi O AC BD . Dựng OH SC tại H.
OH SC
Ta có:
. Suy ra OH la đoạn vng góc chung của BD và SC.
OH BD
Suy ra d BD, SC OH .
Xét tam giác OHC vng tại H có: OH OC sin 45o
TOANMATH.com
2a 2 a
.
.
2
2
2
Trang 20
