Trắc nghiệm toán lớp 7 có đáp án bài (52)

BÀI 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Câu 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. Khi đo BG =
... BN. Số thích hợp điền vào chỗ trống là :
2
A.
3
B.

3
2

C. 3
D. 2
Lời giải:

Vì G là trọng tâm của

ABC nên BG

Số thích hợp điền vào chỗ trống là

2
BN
3

2
3

Đáp án cần chọn là A
Câu 2: Tam giác ABC có trung tuyến AM
A. 7,5 cm

B. 5 cm
C. 10 cm
D. 22,5 cm

15cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là

Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên
AG =

2
AM ( tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
3

2
.15 10cm
3
Đáp án cần chọn là C

Do đó AG

Câu 3: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một
khoảng bằng ... độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"


2
3
3
B.
2

C. 3
D. 2

A.

Lời giải:
Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng
2
bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
3
Số cần điền là

2
.
3

Đáp án cần chọn là: A
Câu 4: Chọn câu sai
A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm.
C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.
D. Một tam giác có hai trọng tâm
Lời giải:
+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5: Cho hình vẽ sau

5.1: Biết MG
A. 1cm
B. 2cm

C. 3cm

3cm . Tính MR


D. 4,5 cm
Lời giải:
Ta có: MR,NS là hai đường trung tuyến của tam giác MNP và chúng cắt nhau tại G nên
G là trọng tâm tam giác MNP
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:
MG 2
3
3
MR
MG
.3 4,5(cm)
MR 3
2
2
Vậy MR 4,5cm
Đáp án cần chọn là D
5.2: Biết GS 1,5cm . Tính NG
A. 1,5cm
B. 3cm
C. 2,25cm
D. 1cm
Lời giải:
Theo câu trước ta có G là trọng tâm của tam giác MNP.
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:
NG 2

NG
2 NG 2GS 2.1,5 3(cm)
NS 3
GS
Vậy NG 3cm
Đáp án cần chọn là B
Câu 6: Chọn câu đúng
A. Trong một tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện là đường
trung tuyến của tam giác.
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm.
C. Trọng tâm của tam giác đó là giao của ba đường trung tuyến.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải:
- Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của
cạnh đối diện nên A đúng.
- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba
đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó nên B, C đúng.


Đáp án cần chọn là: D
Câu 7: Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME,NF cắt nhau tại O. Tính diện tích
tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO là 8cm 2
A. 12cm 2
B. 48cm 2
C. 36 cm 2
D. 24 cm 2
Lời giải:

Gọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME
Hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó

2
MO
ME
3
Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra NP 2NE
Ta có:
1
2
1
.NK. .ME
.NK.MO
SMNO 2
2
2
3
1
1
SMNE
3
.NK.ME
.NK.ME
2
2
2
SMNO
SMNE
3
1
1
.MH.NE

.MH.NE
SMNE 2
1
2
1
1
SMNP
.MH.NP
.MH.2.NE 2
2
2
1
SMNE
SMNP
2
Từ đó suy ra:
SMNP 2.SMNE 3.SMNO SMNP 3.8 24cm 2
Đáp án cần chọn là D


Câu 8: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD;CE sao cho BD
tam giác ABC
A. Cân tại B
B. Cân tại C
C. Vuông tại A
D. Cân tại A

CE . Khi đó

Lời giải:

Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC
2
2
Suy ra BG
BD;CH
CE mà BD CE BG CG . Từ đó:
3
3
BD BG CE CG GD GE
Xét tam giác BGE và tam giác CGD có:
BG CG

GD

GE

BGE

CGD (đối đỉnh)

1
AB
2
Do đó AB AC hay tam giác ABC cân tại A
Đáp án cần chọn là D
BGE

CDG(c.g.c)

BE

CD

Câu 9: Tam giác ABC có trung tuyến AM
A. 4,5 cm
B. 3 cm
C. 6 cm
D. 4 cm

1
AC
2

9cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là

Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên


2
AM ( tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
3
2
Do đó AG
.9 6
3
Đáp án cần chọn là C
AG

Câu 10: Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP.
Trên tia AG kéo dài lấy điểm D sao cho G là trung điểm của AD. So sánh các cạnh của
tam giác BGD với các đường trung tuyến của tam giác ABC
2
2
2
A. BG
BN;GD
AM;BD
CP
3
3
3
2
2
2
B. BG
BN;GD
AM;BD
CP
3
3
3
2
2
2
C. BG
BN;GD
AM;BD
CP

3
3
3
2
2
2
D. BG
BN;GD
AM;BD
CP
3
3
3
Lời giải:

ABC có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba
đường trung tuyến của tam giác ta có:
2
2
2
AG
AM;BG
BN;CG
CP
3
3
3
2
2
AM

AM (cmt), do đó GD
Vì G là trung điểm của AD nên GD AG mà AG
3
3
Ta có: GD AG 2GM (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
Mà GD GM MD 2GM GM MD GM MD
Xét BMD và CMG có:
GM MD


BMD CMG (hai góc đối đỉnh)
BM MC (vì AM là đường trung tuyến của
BMD
CMG(c.g.c)

BD

CG (hai cạnh tương ứng) mà CG

2
BN;GD
3
Đáp án cần chọn là B

Vậy BG

2
AM;BD
3

ABC )

2
CP(cmt) nên BD
3

2
CP(cmt)
3

2
CP
3

Câu 11: Cho tam giác ABC vng tại A có AC 9cm,BC 15cm . Ba đường trung
tuyến AM,BN,CE cắt nhau tại O. Độ dài trung tuyến CE là
A. 10cm
B. 117cm
C. 12 cm
D. 106cm
Lời giải:

ABC vng tại A nên theo định lí Pytago ta có:
AB2 AC2 BC2 AB2 BC2 AC2 152 92

144

AB 12
Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác
vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB
1
1
AE
AB
.12 6cm
2
2
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACE vng tại A ta có:
AC2 AE 2 CE 2 92 62 CE 2 CE 2 117
CE
117cm
Đáp án cần chọn là B


Câu 12: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vng góc với nhau.
Tính độ dài cạnh BC biết BD 9cm;CE 12cm
A. BC 12cm
B. BC 6cm
C. BC 8cm
D. BC 10cm
Lời giải:

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác
ABC
Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
2
2
BG
BD;CG

CE
3
3
Mà BD 9cm;CE 12cm nên
2
2
BG
.9 6cm;CG
.12 8cm
3
3
Xét tam gốc BGC vng tại G, theo định lí Pytago ta có:
BC2 BG 2 CG 2

BC2 62 82 100
Hay BC 10cm
Vậy BC 10cm
Đáp án cần chọn là D
Câu 13: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E
sao cho DE DB . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC;CE. Gọi I;K theo thứ tự là
giao điểm của AM,AN và BE. Chọn câu đúng
A. BI IK KE
B. BI IK KE
C. BI IK KE


D. BI

IK

KE

Lời giải:

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là
trọng tâm tam giác ABC
2
2 1
1
Khi đó: BI
BD
. BE
BE (1)
3
3 2
3
Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là
trọng tâm tam giác ACE nên
2
2 1
1
EK
ED
. BE
BE (2)
3
3 2
3
1
Từ (1) và (2) suy ra IK

BE từ đó BI EK IK
3
Đáp án cần chọn là C
Câu 14: Cho tam giác ABC vng tại A có: AB
tuyến AM,BN,CE cắt nhau tại O

Độ dài trung tuyến BN là:
A. 6cm
B. 61cm
C.12cm
D.

65cm

5cm;BC 13cm . Ba đường trung


Lời giải:

ABC vng tại A nên theo định lí Pytago ta có:
AB2 AC2 BC2 AC2 BC2 AB2 132 52 144
AC 12
Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC,AC,AB của tam giác
vuông ABC
Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB
1
1
AN
AC
.12 6cm

2
2
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABN vng tại A ta có:
AB2 AN 2 BN 2 52 62 BN 2 BN 2 61
BN
61cm
Đáp án cần chọn là B

Câu 15: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vng góc với nhau.
Tính độ dài cạnh BC biết BD 4,5cm;CE 6cm
A. BC 6cm
B. BC 4,5cm
C. BC 5cm
D. BC 10cm
Lời giải:


Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác
ABC
Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
2
2
BG
BD;CG
CE
3
3
Mà BD 4,5cm;CE 6cm nên
2
2

BG
.4,5 3cm;CG
.6 4cm
3
3
Xét tam gốc BGC vng tại G, theo định lí Pytago ta có:
BC2 32 42 25
Hay BC 5cm
Vậy BC 5cm
Đáp án cần chọn là C
Câu 16: Cho G là trọng tâm của tam giác đều. Chọn câu đúng
A. GA GB GC
B. GA GB GC
C. GA GB GC
D. GA GB GC
Lời giải:


Các tia AG,BG và CG cắt BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F thì D,E,F theo thứ tự lần lượt là
trung điểm của BC,AC,AB
Mà AC AB BC (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó
BD DC CE EA AF FB
Xét AEB và AFC ta có:
AB AC
Achung
AE AF
AEB

AFC(c.g.c)

BE CF (1)
Chứng minh tương tự ta có

BEC

ADC(c.g.c)

BE

AD

(2)

Từ (1) và (2) ta có: AD BE CF (3)
Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
2
2
2
GA
AD;GB
BE;GC
CF
3
3
3
Vì thế từ (3) ta suy ra GA GB GC
Đáp án cần chọn là A
Câu 17: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E
sao cho DE DB . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC;CE. Gọi I;K theo thứ tự là
giao điểm của AM,AN và BE. Tính BE biết IK 3cm

A. 6cm
B. 9cm


C. 12cm
D. 15cm
Lời giải:

Ta có: DE

DB mà BD

DE BE nên
1
2BD BE BD DE
BE
2
Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là
trọng tâm tam giác ABC
2
2 1
1
Khi đó: BI
BD
. BE
BE (1)
3
3 2
3
Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là

trọng tâm tam giác ACE nên
2
2 1
1
EK
ED
. BE
BE (2)
3
3 2
3
Mặt khác BI IK KE BE kết hợp với (1);(2) suy ra
1
1
1
BE IK
BE BE IK
BE
3
3
3
Do đó: BE 3IK 3.3 9cm
Đáp án cần chọn là B

Câu 18: tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Chọn câu đúng
3
BC
A. BD CE
2
3

BC
B. BD CE
2
3
BC
C. BD CE
2
D. BD CE BC


Lời giải:

Gọi G là giao điểm của BD và CE. Trong GBC ta có BG CG BC
2
2
Ta lại có: BD
BD;CG
CE (tính chất các đường trung tuyến của tam giác ABC)
3
3
Từ đó:
2
2
2
BD
CE BG CG
(BD CE) BG CG
3
3
3

2
BD CE
BC
3
Đáp án cần chọn là B
Câu 19: Cho G là trọng tâm của tam giác đều. D,E,F lần lượt là trung điểm của
BC,AC,AB.Chọn câu đúng
A. GD GE GF
B. GD GE GF
C. GD GE GF
D. GD GE GF
Lời giải:


Vì D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,AC,AB nên
BD CE BC
GBC
BG CG BC
2
2
BD
BD;CG
CE
3
3
2
2
2
BD
CE BG CG

(BD CE) BG CG
3
3
3
2
BD CE
BC
3
1
1
1
BD DC
BC;CE EA
AC;AF FB
AB
2
2
2
Mặt khác AC AB BC (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó
BD DC CE EA AF FB
Xét AEB và AFC ta có:
AB AC
Achung
AE AF
AEB

AFC(c.g.c)

BE CF (1)
Chứng minh tương tự ta có

BEC

ADC(c.g.c)

BE

Từ (1) và (2) ta có: AD BE CF (3)
Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
2
2
2
GA
AD;GB
BE;GC
CF
3
3
3
1
1
1
GD
AD;GE
BE;GF
CF
3
3
3
Kết hợp với (3) ta được: GD GE GF

Đáp án cần chọn là D

AD

(2)