Trắc nghiệm toán lớp 11 có đáp án bài (45)

BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG III
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với

AB

BC

a;AD

0 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vng góc với

2a a

mặt phẳng đáy .Biết mặt phẳng SAC hợp với ABCD một góc 60o . tính khoảng cách
giữa CD và SB.
A.

2a 3
5

B.

2a 3
15

C.

a 3
15

D.

3a 3
5

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Gọi H

AC BD

Kẻ HE

AB

Mà HE

1
AD
3

SH

AB

ABCD và BH

1
BD
3

SHE hay SAB ; ABCD

2a
3

SH

SEH

60o

2a 3
3

Gọi O là trung điểm của AD, ta có ABCD là hình vng cạnh a

CO

1
AD ; CD
2

suy ra d CD;SB

AC

CD

ACD có trung tuyến

SAC và BO / /CD hay CD / / SBO và BO

d CD; SBO

Tính chất trọng tâm tam giác BCO

SAC ;

d C; SBO .

IH

1
IC
3

a 2
6

IS

IH 2

HS2

5a 2
.
6

Kẻ CK

SI mà CK

BO

CK

SBO

1
SH.IC
2

CK .

d C; SBO

1
SI.CK
2

SH.IC
SI

2a 3
.
5

Câu 2. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB

2a,BC

Trong tam giác SIC có SSIC

CK

2a 3
.
5

Vậy d CD;SB

Vậy chọn đáp án A.

BD

a 2;

a 6 . Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam

giác BCD, biết SG = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là:
A. a .

B. 2a .

C.

a

.
2

D.

a
.
3

Hướng dẫn giải:
Ta có ABCD là hình bình hành,
AB  2a, BC  a 2, BD  a 6 nên ABCD là hình chữ

nhật.
Dựng hình bình hành ACEB .
Ta có AC / / BE , AC   SBE   AC / /  SBE 
mà  SBE   SB vậy
d  SB, AC   d  AC ,  SBE    d  G,  SBE   .

Dựng GK  BE , K  BE lại có SG  BE nên
BE   SGK 

Dựng GH  SK , H  SK lại có GH  BE nên GH   SBE   d  G,  SBE    GH .
Ta có GK  d  B, AC  . Tam giác ABC vuông tại B suy ra
GK  d  B, AC  

1
1
1
vậy



2
d  B, AC  BA
BC 2
2

2a
.
3

Xét tam giác SGK vuông tại G , đường cao GH , SG  2a, GK 

2a
có
3


1
1
1


 GH  a  d  SB, AC   a .
2
2
GH
GK
GS 2

Đáp án A.
Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB  4a; BC  3a, gọi
I

là trung điểm của AB, hai mặt phẳng  SIC  và  SIB  cùng vng góc với  ABC  , góc

giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABC  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB và AC theo a là:

A.

12a 3
.
5

B.

3a 3
.
5

C.

2a 3
.
5

D.

Hướng dẫn giải:

Ta có  SIC  ,  SIB  cùng vng góc với mặt phẳng  ABC  nên SI   ABC  .
Dựng hình bình hành ACBE .
Ta có AC / / BE , AC   SBE   AC / /  SBE  mà  SBE   SB vậy
d  SB, AC   d  AC ,  SBE    d  A,  SBE  
 2d  I ,  SBE  

.

Dựng IK  BE , K  BE lại có SI  BE nên BE   SGK  .
Dựng IH  SK , H  SK lại có IH  BE nên IH   SBE   d  I ,  SBE    IH .
Kéo dài IK cắt AC tại D mà
SI  AC   SID   AC .

Lại có  SAC    ABC   AC .

5a 3
.
3


 SAD    ABC   AD
 SAD    ASC   SD
Góc giữa  SAC  và  ABC  bằng SDI suy ra SDI  600 .
1
2

Ta có ID  IK  d  B, AC 
Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra
Xét tam giác SID vuông tại I , ID 

12a
1
1
1
ID

IK

d
B
,
AC

vậy
.




5
d 2  B, AC  BA2 BC 2

12a
12a 3
, SDI  600 suy ra SI 
.
5
5

Xét tam giác SIK vuông tại I , đường cao IH có
1
1
1
6a 3
12a 3
 2  2  IH 
 d  SB, AC  
.
2
5
5
IH
IK
IS

Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và
mặt đáy bằng α . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
A. a 2 cot
B. a 2 tan
C.

a 2
cos
2

D.

a 2

sin
2

Đáp án:


SO⊥(ABCD), O là tâm của hình vng ABCD.
Kẻ OH⊥SD, khi đó d(O;SD)=OH,α= SDO

1
OD= BD
2

a 2
2

OH

a 2 sin
2

ODsin

Đáp án cần chọn là: D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vng góc với nhau từng đơi một.
Biết SA = 3a, AB = a 3 , BC = a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng
A. a 2
B. 2a
C. 2a 3
D. a 3

Đáp án:

Vì SA,AB,BC vng góc với nhau từng đơi một nên CB⊥SB
Kẻ BH⊥SC, khi đó d(B;SC)=BH
Ta có: SB= SA 2

AB2

9a 2

3a 2

2 3a

Trong tam giác vng SBC ta có:

1
BH 2

1
SB2

1
BC2

BH

SB.BC
SB2

BC2

2a


Đáp án cần chọn là: B
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A
của hình lập phương đó đến đường thẳng CD' bằng
A. a 2
B.

a 6
2

C.

a 3
2

D. a 3
Đáp án:

Gọi M là trung điểm của CD′.
Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương nên tam giác ACD′ là tam giác đều cạnh a 2
AM⊥CD′⇒d(A,CD′)=AM= a 2.

3
2

a 6

2

Đáp án cần chọn là: B
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A
của hình lập phương đó đến đường thẳng DB' bằng
A. a 2


B.

a 6
2

C.

a 3
2

D.

a 6
3

Đáp án:

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB′.
Dễ thấy AD⊥(ABB′A′) nên AD

AB'

⇒ΔADB′ vng đỉnh A.
Lại có AD=a;AB′= a 2
1
AH 2
AH 2

1
1
1
2
2
AD
AB'
a2
2a 2
a 6
AH
3
3

1
2a 2

3
2a 2

Đáp án cần chọn là: D
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại C, mặt bên SAC là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Có bao
nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(I):AI⊥SC
(II):(SBC)⊥(SAC)
(III):AI⊥BC
(IV):(ABI)⊥(SBC)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đáp án:
Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên AI⊥SC.
⇒ Mệnh đề (I) đúng.
Gọi H là trung điểm AC suy ra SH⊥AC.
Mà (SAC)⊥(ABC) theo giao tuyến AC nên SH⊥(ABC) do đó SH⊥BC.
Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC⊥AC.
Từ đó suy ra BC⊥(SAC)⇒BC⊥AI.. Do đó mệnh đề (III) đúng.
Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.
Ta có :

BC

AC

BC

SH

⇒BC⊥(SAC)

BC⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(SAC)
Vậy mệnh đề (II) đúng.


Đáp án cần chọn là: D
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA vng góc với
đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt
phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. BC⊥AH.
B. (AHK)⊥(SBC).
C. SC⊥AI.
D. Tam giác IAC đều
Đáp án:
Ta có

BC

AB

SA

BC

⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥AH. Do đó A đúng.

Lại có AH⊥SB. Từ đó suy ra AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC. (1)
Lại có theo giả thiết SC⊥AK.

(2)

Từ (1) và (2), suy ra SC⊥(AHK)⇒(SBC)⊥(AHK). Do đó B đúng.
Ta có

SC
AI

AHK
⇒SC⊥AI. Do đó C đúng.
AHK

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.


Đáp án cần chọn là: D
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA = a 3
và vng góc với mặt đáy (ABC). Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Mệnh đề nào sau đây đúng?
300

A.

5
5

B. sin
600

C.
D. sin

2 5
5

Đáp án:
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM⊥BC
Ta có

AM

BC

BC

SA

⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥SM

(SBC) (ABC) BC
(SBC) SM BC
(ABC) AM BC


(SBC);(ABC)

SM;AM

SMA

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến AM=

Tam giác vng SAM có sin SMA

SA
SM

a 3
2

SA
SA 2

AM 2

2 5
5

Đáp án cần chọn là: D
Câu 11: Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB ; SC đơi một vng góc và SA = SB =
SC = 1 . Tính cosα, trong đó α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ?
A. cos
B. cos
C. cos
D. cos
Đáp án:

1
2

1
2 3
1
3 2

1
3


Gọi D là trung điểm cạnh BC.
Ta có

SA

SB

SA

SC

⇒SA⊥(SBC)⇒SA⊥BC.

Mà SD⊥BC nên BC⊥(SAD).
(ABC;(ABC)

SDA

Khi đó tam giác SAD vng tại S có:
SD=

1
;AD
2

3
và cos
2

SD
AD

cos

1
3

Đáp án cần chọn là: D
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, BC = a. Cạnh bên
SA = a vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450
. Độ dài AC bằng
A. a 2
B. a 3
C. 2a
D. a
Đáp án:


Ta có (SBC)∩(ABC)=BC
Mặt khác SA⊥(ABC) và ΔABC vng tại B⇒AB⊥BC.

Nên

SA

BC

AB

BC

⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB

(SBC) (ABC) BC
(SBC) SB BC
(ABC) AB BC
(SBC);(ABC)

SB;AB

Xét ΔSAB vuông tại A, có SBA
Mà AC2

AB2

BC2

2a 2

SBA

450

450 ⇒ SA=AB=a

AC

a 2

Đáp án cần chọn là: A
Câu 13. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên
đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD =

a 6
. Gọi I
2

là trung điểm BC; kẻ IH vng góc SA (H thuộc SA). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA⊥BH
B. (SDB)⊥(SDC).


C. (SAB)⊥(SAC).
D. BH⊥HC.
Đáp án :

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC⊥AD.
Ta có

BC

AD

BC

SD

⇒BC⊥(SAD)⇒BC⊥SA.

Lại có theo giả thiết IH⊥SA. Từ đó suy ra SA⊥(HCB)⇒SA⊥BH
⇒ Đáp án A đúng.
Tính được AI=

a 3
,AD
2

Ta có ΔAHI∼ΔADS⇒

IH
SD

2AI

AI
AS

a 3,SA 2

IH

AD2

AI.SD
AS

a
2

SD2

3a 2
2

BC
2

⇒ Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh
đáy BC nên BHC

900 hay BH⊥HC. Do đó D đúng.

Từ mệnh đề A và D suy ra BH⊥(SAC)⇒(SAB)⊥(SAC)⇒ mệnh đề C đúng.
Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.
Đáp án cần chọn là: B


Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥(ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C.
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. CH⊥HK
B. AB⊥(CHK)

C. CH⊥AK
D. BC⊥(SAC)
Đáp án:

Do ΔABC cân tại C nên CH⊥AB.
Mà SA⊥(ABC)⇒SA⊥CH.
Do đó CH⊥(SAB)⇒CH⊥HK, CH⊥AK hay A, C đúng.
Ngoài ra HK//SA,SA⊥AB⇒HK⊥AB,
mà AB⊥CH ⇒AB⊥(CHK) hay B đúng.
D sai vì BC khơng vng góc với AC nên khơng có BC⊥(SAC).
Đáp án cần chọn là: D
Câu 15: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, CD bằng nhau và vng góc với nhau từng
đơi một. Khẳng định nào sau đây đúng?


A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.
Đáp án:
Từ giả thiết ta có

AB

BC

AB

CD

⇒AB⊥(BCD).

Do đó (AC,(BCD)=(AC,BC)= ACB

Đáp án cần chọn là: A
Câu 16: Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi φ là góc giữa
giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tanφ=√7.
B. φ= 600
C. φ= 450
D. tanφ=
Đáp án:

14
2


Gọi O là tâm mặt đáy (ABCD) , suy ra SO⊥(ABCD).
Vì SO⊥(ABCD), suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD).
Do đó (SA,ABCD)

(SA,AO)

SAO

SO
Tam giác vng SOA, có tan SAO =
AO

SB2 BO 2

AO

14
2

Đáp án cần chọn là: D
Câu 17: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
B. Ba vectơ a,b,c

0 cùng phương khi và chỉ khi c

ma

nb ,với m,n là các số duy

nhất
C. Ba vectơ a,b,c đồng phẳng khi có d

ma

nb

pc với d là vec tơ bất kỳ

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Đáp án:
Phương án A: sai vì chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào
đó

Phương án B: sai vì ba véc tơ cùng phương ⇔ a

k.b

l.c

Phương án C sai vì điều kiện cần và đủ để ba véc tơ a,b,c đồng phẳng là có các
số m,n sao cho c

ma

nb (với a,b không cùng phương).

Vậy chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Câu 18: Cho ba vectơ a, b,c không đồng phẳng xét các
vectơ x

2a

b; y

4a

2b;z

3a

2c

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai vec tơ y,z cùng phương
B. Hai vec tơ x, y cùng phương
C. Hai vec tơ x,z cùng phương
D. Ba vec tơ x, y, z không đồng phẳng
Đáp án:
Ta thấy y

2x nên x, y cùng phương.

Do đó ba véc tơ x, y, z đồng phẳng.
D sai.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 19: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 , Tìm giá trị của k thích hợp
để AB

B1C1

A. k=4
B. k=1

DD1

kAC1


C. k=0
D. k=2
Đáp án:

Có AB

B1C1

DD1

AB

BC

CC1

AC1

k

1

Đáp án cần chọn là: B
Câu 20: Cho hai điểm phân biệt A,B và một điểm O bất kì khơng thuộc đường thẳng AB.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu OM

OA

OB

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu OM

OB

k.BA

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu OM

k.OA

(1 k).OB

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu OM

k.OB

(1 k).OA

Đáp án:
Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu OM

k.OA

(1 k).OB

Chứng minh:
Ta có: M∈AB⇔ MB

OB OM

OM

k.AB

k(OB OA)

OB

k(OB OA)

OM

kOA

(1 k)OB

Vậy C đúng.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 21: Cho ABCD. A1B1C1D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định
đúng trong các khẳng định sau:


A. AK

AB

AD

1
AA1
2

B. AK

AB

BC

AA1

C. AK

AB

AD

AA1

D. AK

AB

1
AD
2

1
AA1
2

Đáp án:

Có AK

AC

CK

(AB

AD)

1
AA1
2

AB

AD

1
AA1
2

Đáp án cần chọn là: A
Câu 22: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 . Đặt AA1
trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.
A. a

b

c

d

B. a

b

c

d

C. b

c

d

0

D. a

b

c

0

Đáp án:
Ta có: b

c

d

AB

AC

BC

CB

BC

0

a;AB

b;AC

c;BC

d