(Luận văn thạc sĩ) thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình drygas trong không gian tựa chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN
CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS
TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.54

Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm
Lớp: ĐHSTOAN15B
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, 6/2019

Luan van


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN
CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH DRYGAS

TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.54

Giảng viên hướng dẫn

Chủ nhiệm đề tài

TS. Nguyễn Văn Dũng

Phạm Thị Mai Thắm

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS. Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019

Luan van


MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mở đầu
1

1

2

1
Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong
và ngoài nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4

Cách tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7

Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian tựa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Định lí điểm bất động trong không gian tựa Banach . . . . . . . .

7

Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong khơng
gian tựa chuẩn
10
2.1

Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong
khơng gian tựa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Áp dụng của tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm
Drygas trong không gian tựa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kết luận

29

Phụ lục

32
ii

Luan van

iii
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CỦA SINH VIÊN
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương
trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
- Mã số: SPD2018.02.54
- Chủ nhiệm đề tài: Phạm Thị Mai Thắm
- Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019
2. Mục tiêu
- Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình
Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
- Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình Drygas
trong khơng gian tựa chuẩn.
3. Tính mới và sáng tạo
Đề tài hệ thống hố và chi tiết hoá các kết quả từ một số bài báo quốc tế nên
tính mới trong khoa học khơng cao.
4. Kết quả nghiên cứu
- Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của khơng gian tựa chuẩn;
thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định suy rộng cho phương
trình Drygas trong không gian tựa chuẩn; những kết quả này là mở rộng những

kết quả đã có trong tài liệu tham khảo chính.
- Kết quả chính của đề tài đã gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa
học năm 2018 - 2019 của Trường Đại học Đồng Tháp và đã được báo cáo trong
sinh hoạt chuyên môn của Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng.
5. Sản phẩm
- Báo cáo tổng kết về thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của
phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
- Bài viết gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường Đại học
Đồng Tháp năm học 2018-2019.

Luan van


iv

6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang
lại của kết quả nghiên cứu
Báo cáo tổng kết của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và giảng
viên ngành Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và những
ai quan tâm đến tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm Drygas trong
khơng gian tựa chuẩn nói riêng. Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực tư duy
Toán học, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sư
phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp.

Luan van


v
MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING

SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM

DONG THAP UNIVERSITY

Independence - Freedom - Happiness

SUMMARY
1. General information
Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of
Drygas functional equations in quasi-normed spaces.
Code number: SPD2018.02.54
Coordinator: Pham Thi Mai Tham
Duration: from July, 2018 to June, 2019
2. Objectives:
- To establish and prove some results on the hyperstability of the Drygas function equation in quasi-normed spaces.
- To construct some illustrated examples for the obtained results.
3. Creativeness and innovativeness:
The topic of systematizing and detailing results from a number of international
articles so the novelty in science is not high.
4. Research results:
- Some notions and basic properties of space on quasi-nomred spaces were presented; Certain conditions for the generalized hyperstability of Drygas functional
equations in quasi-normed spaces were stated and proved; Certain particular cases
for the generalized hyperstability of Drygas functional equations in quasi-normed
spaces were deduced.
- The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scien-

Luan van


vi

tific Research Conference of Dong Thap University. It was also presented in the
Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics.
5. Products:
- Summary report on establishing conditions for the generalized hyperstability
of Drygas functional equations in quasi-normed spaces.
- The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research Conference of Dong Thap University.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of
research results:
The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathematics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers
who are interested the generalized hyperstability of Drygas functional equations
in quasi-normed spaces in particular. Then the report partially improves the mathematical competence, the quality of learning and researching activities of the students and lecturers of Mathematics Teacher Education at Dong Thap University.

Luan van


1

MỞ ĐẦU
1

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở
trong và ngoài nước
Hàm số f : R → R được gọi là thỏa mãn phương trình hàm Drygas khi và

chỉ khi
f (x + y) + f (x − y) = 2 f (x) + f (y) + f (−y)

(0.1)

với mọi x, y ∈ R. Lưu ý rằng nếu các hàm số f , g : R → R thỏa mãn phương trình
hàm Drygas thì f ± g cũng thỏa mãn phương trình hàm Drygas.
Năm 1987, Drygas [5] đã nghiên cứu phương trình và đưa ra một đặc trưng từ
khơng gian tựa tích trong. Sau đó, lời giải tổng quát của lớp hàm Drygas được đưa
ra bởi Ebanks và những cộng sự [7].
Tính ổn định của phương trình hàm Drygas đã được nghiên cứu bởi nhiều tác
giả theo những điều kiện khác nhau. Năm 2013, kết quả về tính siêu ổn định của
phương trình hàm Drygas đã đạt được bởi Piszcek and Szczawinska [12]. Cụ thể,
một kết quả về tính siêu ổn định đã xuất hiện lần đầu tiên trong [3], nhưng thuật
ngữ “siêu ổn định” được sử dụng lần đầu trong [9]. Trong thời gian gần đây, trong
bài báo [1] các tác giả đã sử dụng định lí điểm bất động của Brzdek để chứng
minh một số kết quả tổng quát về tính siêu ổn định của hàm Drygas trong khơng
gian định chuẩn.
Bên cạnh đó, khơng gian định chuẩn cũng đã được mở rộng thành không gian
tựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt. Hơn nữa nhiều mơ hình về khơng
gian tựa chuẩn đóng vai trị quan trọng trong Tốn học, Vật lí lí thuyết và được
sự quan tâm của nhiều tác giả trong thời gian gần đây. Trong bài báo [6], Dung

Luan van


2

và Hang đã thiết lập một định lí điểm bất động trong không gian tựa chuẩn và áp
dụng vào nghiên cứu tính siêu ổn định của phương trình hàm trong không gian
tựa Banach.
Vấn đề được đặt ra là những kết quả về tính siêu ổn định trong bài báo [1] có
thể được thiết lập, chứng minh trong khơng gian tựa chuẩn và được áp dụng cho
những không gian không chuẩn hóa được.

2

Tính cấp thiết của đề tài
Những nhận định trong phần tổng quan, đặc biệt là những kĩ thuật được trình

bày trong bài báo [6], dẫn đến khả năng những kết quả về tính siêu ổn định trong
bài báo [1] có thể được thiết lập và chứng minh trong các khơng gian tựa chuẩn.
Từ đó, tính siêu ổn định của phương trình Drygas có thể được áp dụng cho những
khơng gian khơng chuẩn hóa được.
Việc nghiên cứu đề tài tính siêu ổn định suy rộng của phương trình Drygas sẽ
góp phần chi tiết hóa và làm phong phú thêm một số kết quả về tính siêu ổn định
suy rộng của phương trình Drygas trong khơng gian tựa chuẩn. Đề tài là tài liệu
tham khảo hữu ích cho sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường
Đại học Đồng Tháp nói chung và những ai quan tâm đến phương trình Drygas
trong khơng gian tựa chuẩn nói riêng. Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực
tư duy, chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sư
phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp.

3

Mục tiêu nghiên cứu

- Thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình
Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.

Luan van


3

- Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong
khơng gian tựa chuẩn.

4

Cách tiếp cận
Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về tính siêu ổn định suy rộng trong và ngoài

nước liên đến đề tài, bằng cách tương tự hóa những kết quả đã có, đề xuất kết quả mới.

5

Phương pháp nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với các thành viên trong

nhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực.

6

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm

Drygas. Phạm vi nghiên cứu là khơng gian tựa chuẩn.

7

Nội dung nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của tính siêu ổn định suy rộng của

phương trình Drygas.
- Một số kết quả về tính siêu ổn định của phương trình Drygas trong khơng
gian tựa chuẩn và một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

Luan van


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian tựa chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 ([8]). Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, κ ≥ 1
và k.k : X × X → R+ là một hàm số sao cho với mọi x, y ∈ X và mọi a ∈ K,
1. kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. kaxk = |a|kxk.
3. kx + yk ≤ κ(kxk + kyk).
Khi đó
1. k.k được gọi là tựa chuẩn trên X và (X, k.k, κ) được gọi là không gian
tựa chuẩn.
2. k.k được gọi là p-chuẩn trên X và không gian tựa chuẩn (X, k.k, κ) được gọi
là không gian p-chuẩn nếu tồn tại 0 < p ≤ 1 sao cho
kx + yk p ≤ kxk p + kyk p
với mọi x, y ∈ X.
3. Dãy {xn }n được gọi là hội tụ đến x nếu lim kxn − xk = 0, kí hiệu lim xn = x.
n→∞

Luan van

n→∞


5

4. Dãy {xn }n được gọi là dãy Cauchy nếu lim kxn − xm k = 0.
n,m→∞

5. Không gian tựa chuẩn (X, k.k, κ) được gọi là tựa Banach nếu mỗi dãy Caychy
là một dãy hội tụ.
6. Không gian tựa chuẩn (X, k.k, κ) được gọi là p-Banach nếu nó là một khơng
gian p-chuẩn và khơng gian tựa Banach.
Ví dụ sau minh họa cho khái niệm khơng gian tựa chuẩn.
Ví dụ 1.1.2 ([10], Ví dụ 2). Với 0 < p ≤ 1, ta có khơng gian Lebesgue L p là không
gian tựa chuẩn với tựa chuẩn xác định bởi công thức sau
k f kp =

Z

| f (x)| p dµ


1

p

Ω

với mọi f ∈ L p .
Định nghĩa 1.1.3 ([4]). Giả sử X là một tập không rỗng, κ ≥ 1 và d : X × X → R+
là một hàm số sao cho với mọi x, y, z ∈ X,
1. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
2. d(x, y) = d(y, x).
3. d(x, z) ≤ κ(d(x, y) + d(y, z)).
Khi đó
1. d được gọi là một b-metric trên X và (X, d, κ) được gọi là một không gian
b-metric.
2. Dãy {xn }n được gọi là hội tụ đến x trong (X, d, κ) nếu lim d(xn , x) = 0, kí
n→∞

hiệu là lim xn = x.
n→∞

3. Dãy {xn }n được gọi là dãy Cauchy nếu lim d(xn , xm ) = 0.
n,m→∞

Luan van


6

4. Không gian (X, d, κ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy là một dãy
hội tụ.
Nhận xét 1.1.4. Lưu ý rằng, nếu (X, k.k, κ) là không gian tựa chuẩn thì hàm số
d(x, y) = kx − yk với mọi x, y ∈ X là một b-metric trên X có cùng hệ số κ. Khi đó
với mỗi khơng gian tựa chuẩn (X, k.k, κ) thì hồn tồn được hiểu là không gian
b-metric (X, d, κ).
Nhận xét 1.1.5.

1. Lớp các không gian b-metric tổng quát hơn lớp các không

gian metric.
2. Không gian b-metric là không gian metric khi κ =1.
Ví dụ sau minh họa cho khái niệm khơng gian b-metric.
Ví dụ 1.1.6 ([2], Ví dụ 1.1). Tập hợp ` p (R), 0 < p < 1 với
n
o
∞
p
` p (R) := {xn } ⊂ R : ∑ |xn | < ∞
n=1

cùng với hàm số d : ` p (R) × ` p (R) → R+ , d(x, y) =



∞

∑ |xn − yn

|p

1

p

trong đó

n=1
1

x = {xn }, y = {yn } ∈ ` p (R) là không gian b-metric với hệ số κ = 2 p −1 .
Chứng minh. Giả sử x = {xn }, y = {yn }, z = {zn } ∈ ` p (R). Khi đó
d(x, y) = 0
 ∞
1
p p
⇔
∑ |xn − yn| = 0
n=1
∞

⇔

∑ |xn − yn| p = 0

n=1

⇔ |x1 − y1 | p + |x2 − y2 | p + . . . + |xn − yn | p + . . . = 0

Luan van

(1.1)


7

Do |xi − yi | p ≥ 0, với mọi i = 1, 2, . . . nên đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi

xi − yi = 0 với mọi i = 1, 2, . . .
⇔ xi = yi với mọi i = 1, 2, . . .
⇔ x = y.
Ta cũng có
d(x, y) =



=



=



∞

∑ |xn − yn|

p

1

p

n=1
∞

∑ |−(xn − yn)|

n=1
∞

∑ |yn − xn|

p

p

1

p

1

p

n=1

= d(y, x).
d(x, z) =



=



∞

∑ |xn − zn|

p

1

p

n=1
∞

∑ |xn − yn + yn − zn|

p

1

p

n=1

≤ 2
= 2

∞

1

1 −1

p

h

1 −1
p

h n=1
i
d(y, x) + d(y, z) .

∑ |xn − yn)|

p

p

+



∞

∑ |yn − zn|

p

1 i
p

n=1

1

Vậy (` p (R), d, κ) là không gian b-metric với κ = 2 p −1 .

1.2

Định lí điểm bất động trong khơng gian tựa Banach

Định lí sau chứng tỏ với mỗi không gian b-metric cho trước luôn tồn tại metric
tương đương với b-metric đã cho.
Định lí 1.2.1 ([11], Mệnh đề trang 4308). Giả sử (Y, d, κ) là một không gian
b-metric, θ = log2κ 2 và
n

Dd (x, y) = inf{ ∑ d θ (xi , xi+1 ) : x = x1 , x2 , ..., xn , xn+1 = y ∈ X, n ≥ 1}
i=1

Luan van

(1.2)


8

với mọi x, y ∈ Y . Khi đó Dd là một metric trên Y thỏa mãn
1 θ
d (x, y) ≤ Dd (x, y) ≤ d θ (x, y)
4

(1.3)

với mọi x, y ∈ Y . Đặc biệt, nếu d là một metric khi đó θ = 1 và Dd = d.
Bằng cách áp dụng Định lí 1.2.1, các tác giả của [6] đã chứng minh được kết
quả sau, là kĩ thuật cơ bản trong [6], dùng để nghiên cứu tính siêu ổn định trong
không gian tựa Banach.
Hệ quả 1.2.2 ([6], Hệ quả 2.2). Cho U là một tập không rỗng, (Y, k.k κ) là một
không gian tựa Banach và f1 , ..., fk : U → U và L1 , ...Lk : U → R+ là các ánh xạ,
trong đó k là một số nguyên dương. Giả sử rằng T : Y U → Y U là một toán tử thỏa
mãn bất đẳng thức
k

kT ξ (x) − T µ(x)k ≤ ∑ Li (x)kξ ( fi (x)) − µ( fi (x))k

(1.4)

i=1

với mọi ξ , µ ∈ Y U và x ∈ U, ở đây Y U là họ các ánh xạ từ U vào Y .
Tồn tại hàm số ε : U → R+ và ϕ : U → Y thỏa mãn các điều kiện sao đây với
mỗi x ∈ U,
kT ϕ(x) − ϕ(x)k ≤ ε(x)

(1.5)

Với mỗi x ∈ U và θ = log2κ 2,
∞

∗

ε (x) := ∑ (Λn ε)θ (x) < ∞

(1.6)

i=1

trong đó
k

(Λδ )(x) = ∑ Li (x)δ ( fi (x))

(1.7)

i=1

với mọi δ : U → R+ và x ∈ U. Khi đó ta có, với mọi x ∈ U, thì giới hạn
lim (T n ϕ)(x) = ψ(x)

x→∞

Luan van

(1.8)


9

tồn tại và hàm số ψ : U → Y được xác định là một điểm của T thỏa mãn
kϕ(x) − ψ(x)kθ ≤ 4ε ∗ (x)

(1.9)

với mọi x ∈ U.
Với mỗi x ∈ U, nếu
∗

∞

ε (x) ≤ (M ∑ (Λn ε)(x))θ ≤ ∞

(1.10)

n=1

đối với số thực dương M thì điểm bất động của T thỏa mãn (1.9) là duy nhất.

Luan van


10

CHƯƠNG 2
TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH
HÀM DRYGAS TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Trong chương này, chúng tơi xét hàm số f : R → R được gọi là thỏa mãn phương
trình hàm Drygas khi và chỉ khi
f (x + y) + f (x − y) = 2 f (x) + f (y) + f (−y)
với mọi x, y ∈ R. Lưu ý rằng nếu các hàm số f , g : R → R thỏa mãn phương trình

hàm Drygas thì f ± g cũng thỏa mãn phương trình hàm Drygas.
Chúng tơi trình bày một số quy ước Nn0 , BA lần lượt biểu diễn tập các số nguyên
lớn hơn hoặc bằng n0 , tập hợp của tất cả các hàm từ tập hợp A 6= 0 đến tập hợp
B 6= 0 và F, K là hai trường của số phức thực.

2.1

Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas
trong khơng gian tựa chuẩn

Trong mục này chúng tôi thiết lập và chứng minh các kết quả về tính siêu ổn
định suy rộng cho phương trình hàm Drygas trong khơng gian tựa chuẩn.
Định lí 2.1.1. Giả sử rằng
1. X là một tập con không rỗng của không gian tựa chuẩn (Z, k.k, κZ ) trên

Luan van


11

trường F sao cho x ∈ X thì −x ∈ X và (Y, k.k, κY ) là một không gian tựa
Banach trên trường K.
2. Tồn tại n0 ∈ N sao cho nx ∈ X với mọi x ∈ X, n ≥ n0 và hàm số h : X → R+
thỏa mãn
M0 := {n ∈ N, n ≥ n0 : κY2 (2s(n + 1) + s(n) + s(−n) + s(2n + 1)) < 1}
là một tập vơ hạn, trong đó
s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mỗi x ∈ X}
và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với n ∈ N
lim s(n) = 0 và lim s(−n) = 0.

n→∞

n→∞

(2.1)

3. Hàm f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức
k f (x + y) + f (x − y) − 2 f (x) − f (y) − f (−y)k ≤ h(x) + h(y)

(2.2)

với mỗi x, y, x + y, x − y ∈ X.
Khi đó f thỏa mãn phương trình
f (x + y) + f (x − y) = 2 f (x) + f (y) + f (−y)

(2.3)

với mọi x, y ∈ X.
Chứng minh. Với x ∈ X, m ∈ M0 thay x bởi (m + 1)x và y bởi mx vào (2.2) ta có
h((m + 1)x) + h(mx)
≥ k f ((m + 1)x + mx) + f ((m + 1)x − mx) − 2 f ((m + 1)x)
− f (mx) − f (−mx)k
= k2 f ((m + 1)x) + f (mx) + f (−mx) − f ((2m + 1)x) − f (x)k.

Luan van

(2.4)


12

Xác định ánh xạ Tm : Y X → Y X xác định bởi
(Tm ξ )(x) := 2ξ ((m + 1)x) + ξ (mx) + ξ (−mx) − ξ ((2m + 1)x), x ∈ X, ξ ∈ Y X .
Theo định nghĩa của s(n) ta có với mọi x ∈ X,
εm (x) := h((m + 1)x) + h(mx) ≤ [s(m + 1) + s(m)]h(x).

(2.5)

Khi đó bất đẳng thức (2.4) có dạng kTm f (x) − f (x)k ≤ εm (x). Điều này chứng
tỏ (1.5) được thỏa mãn với ϕ = f , ε = εm .
Xác định ánh xạ Λm : RX+ → RX+ bởi
(Λm η)(x) := κY2 (2η((m + 1)x) + η(mx) + η(−mx) + η((2m + 1)x))
với η ∈ RX+ , x ∈ X. Khi đó (1.7) được thỏa mãn với
k = 4, f1 (x) = (m + 1)x, f2 (x) = mx
f3 (x) = −mx, f4 (x) = (2m + 1)x, L1 (x) = 2κY2
và L2 (x) = L3 (x) = L4 (x) = κY2 .
Hơn nữa, với mọi ξ , µ ∈ Y U , x ∈ X, theo Định nghĩa 1.1.1 về không gian tựa
chuẩn, ta có
kTm ξ (x) − Tm µ(x)k
= k2ξ ((m + 1)x) + ξ (mx) + ξ (−mx) − ξ ((2m + 1)x)
−2µ((m + 1)x) − µ(mx) − µ(−mx) + µ((2m + 1)x)k
≤ 2κY2 k(ξ − µ)((m + 1)x)k + κY2 k(ξ − µ)(mx)k
+κY2 k(ξ − µ)(−mx)k + κY2 k(ξ − µ)((2m + 1)x)k
4

=

∑ Li(x)k(ξ − µ)( fi(x))k.

i=1

Luan van


13

Bằng phép quy nạp tốn học, chúng tơi sẽ chỉ ra rằng với mọi x ∈ X, n ≥ n0 ,
m ∈ M0 ,
Λnm εm (x) ≤ κY2n [s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s(−m)
+s(2m + 1)]n h(x).

(2.6)

Thật vậy, với n = 0 ta có (2.6) tương đương với
εm (x) ≤ [s(m + 1) + s(m)]h(x).
Bất đẳng thức này đúng do (2.5). Vậy (2.6) đúng với n = 0. Giả sử rằng (2.6) đúng
cho n = l, trong đó l ∈ N. Với n = l + 1, ta có
l
Λl+1
m εm (x) = Λm (Λm εm (x))

=

2κY2 Λlm εm ((m + 1)x) + κY2 Λlm εm (mx) + κY2 Λlm εm (−mx)
+κY2 Λlm εm ((2m + 1)x)

≤

κY2l+2 [s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s(−m) + s(2m + 1)]l

×

[2h((m + 1)x) + h(mx) + h(−mx) + h((2m + 1)x)]

(2.5)

≤

2(l+1)

κY

[s(m + 1) + s(m)][2s(m + 1) + s(m) + s(−m)

+s(2m + 1)]l+1 h(x).
Điều này chỉ ra rằng (2.6) đúng với n = l + 1. Do đó (2.6) đúng với tất cả n ∈ N.
Theo định nghĩa M0 và tổng của chuỗi cấp số nhân, với x ∈ X và m ∈ M0 thì
∞

∑ (Λnmεm)θ (x)

n=0
∞

≤

∑ κYθ 2n[s(m + 1) + s(m)]θ [2s(m + 1) + s(m) + s(−m)

n=0

+s(2m + 1)]θ n hθ (x)
[s(m + 1) + s(m)]θ hθ (x)
=
< ∞.
1 − κY2θ [2s(m + 1) + s(m) + s(−m) + s(2m + 1)]θ

Luan van

(2.7)