Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN
CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT
TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.52

Chủ nhiệm đề tài: Lê Cẩm Tú
Lớp: ĐHSTOAN15B
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, 6/2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN
CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT
TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN

Mã số: SPD2018.02.52

Giảng viên hướng dẫn

Chủ nhiệm đề tài

TS. Nguyễn Văn Dũng

Lê Cẩm Tú

Xác nhận của Chủ tịch hội đồng

TS. Lê Hoàng Mai

Đồng Tháp, 6/2019


MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mở đầu
1

1

2

1
Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong
và ngoài nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4

Cách tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7

Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Không gian tựa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng qt
trong khơng gian tựa chuẩn
10
2.1

Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng qt
trong khơng gian tựa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Áp dụng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Kết luận

23

Phụ lục

26

ii


iii
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CỦA SINH VIÊN
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương
trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.
- Mã số: SPD2018.02.52
- Chủ nhiệm đề tài: Lê Cẩm Tú
- Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019
2. Mục tiêu
- Thiết lập và chứng minh một số kết quả cho tính siêu ổn định của phương
trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.
- Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định của phương trình tuyến tính
tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.
3. Tính mới và sáng tạo
Đề tài đã hệ thống hóa và chi tiết hóa bài báo gốc nên tính khoa học khơng
cao.
4. Kết quả nghiên cứu
- Hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất cơ bản của khơng gian tựa
chuẩn; thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính siêu ổn định suy rộng
cho phương trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn; những kết
quả này là mở rộng những kết quả đã có trong tài liệu tham khảo chính.
- Kết quả chính của đề tài đã gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa
học năm 2018 - 2019 của Trường Đại học Đồng Tháp và đã được báo cáo
trong sinh hoạt chuyên mơn của Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng.

5. Sản phẩm
- Báo cáo trong sinh hoạt chuyên môn về thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn
định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.
- Bài viết gửi tham dự hội nghị nghiên cứu khoa học của trường đại học Đồng
Tháp năm học 2018-2019.


iv

6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang
lại của kết quả nghiên cứu
Báo cáo tổng kết của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và giảng
viên ngành Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung và cho
những ai quan tâm đến tính siêu ổn định của phương trình hàm trong khơng gian
tựa chuẩn nói riêng. Qua đó, đề tài góp phần nâng cao năng lực tư duy Toán học,
chất lượng học tập và nghiên cứu của sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán
học, Trường Đại học Đồng Tháp.


v
MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING

SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM

DONG THAP UNIVERSITY

Independence - Freedom - Happiness

SUMMARY
1. General information

Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces.
Code number: SPD2018.02.52
Coordinator: Le Cam Tu
Duration: from July, 2018 to June, 2019
2. Objectives:
- To establish and prove some results on the generalized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces.
- To construct some illustrated examples for the obtained results.
3. Creativeness and innovativeness:
The topic has detailed the international article so the science is not high.
4. Research results:
- Some notions and basic properties of quasi-nomred spaces were presented;
Certain conditions for the generalized hyperstability of general linear equations in
quasi-normed spaces were stated and proved; Certain particular cases for the generalized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces were deduced.
- The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research Conference of Dong Thap University. It was also presented in the


vi

Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics.
5. Products:
- Reports in professional activities on the generalized hyperstability of general
linear equations in quasi-normed spaces.
- The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research Conference of Dong Thap University.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of
research results:
The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathematics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers
who are interested in the hyperstability of functional equations in particular. Then
the report partially improves the mathematical competence, the quality of learning and researching activities of the students and lecturers of Mathematics Teacher
Education at Dong Thap University.

1

MỞ ĐẦU
1

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở
trong và ngồi nước
Bài tốn ổn định Hyers-Ulam liên quan đến việc xây dựng một hàm đủ gần

với một hàm thỏa mãn điều kiện cho trước. Một hàm f : R → R được quan tâm
nghiên cứu đầu tiên là hàm Cauchy cộng tính có dạng
f (x + y) = f (x) + f (y), x, y ∈ R.
Những kết quả về tính ổn định và tính siêu ổn định của phương trình hàm tuyến
tính đã đạt được trong các bài báo [1], [11]. Một số kết quả về tính siêu ổn định
được cơng bố lần đầu trong [3] và có liên quan đến đồng cấu vành. Tuy nhiên thuật
ngữ suy rộng được sử dụng lần đầu trong bài báo [8]. Năm 1978, Rassias [12] đã
đưa ra tính ổn định của ánh xạ tuyến tính trong khơng gian Banach. Năm 2013
Brzde¸k [4] đã đưa ra tính ổn định của phương pháp cộng tính và điểm bất động
của phương trình tuyến tính tổng qt. Năm 2014 Piszczek [11] đã đưa ra một chú
ý quan trọng về tính siêu ổn định của phương trình tuyến tính tổng qt. Định lí
điểm bất động là một trong những cơng cụ để nghiên cứu tính ổn định của phương
trình hàm. Nhiều định lí điểm bất động đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ
khác nhau.
Gần đây, lớp hàm tuyến tính tổng quát g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) được sự
quan tâm nghiên cứu và đã thu được những kết quả về sự tồn tại, cách xác định và
tính duy nhất của nó. Trong bài báo [1], các tác giả đã sử dụng định lí điểm bất
động của Brzde¸k để chứng minh một số kết quả tổng quát về tính siêu ổn định của
hàm tuyến tính tổng qt trong khơng gian định chuẩn. Định lí điểm bất động đã
được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ, các không gian khác nhau và ứng dụng nhiều

2

trong Tốn học. Khơng gian định chuẩn cũng đã được mở rộng thành khơng gian
tựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt. Nhiều mơ hình về khơng gian
tựa chuẩn đóng vai trị quan trọng trong Tốn học, Vật lí lí thuyết và được sự quan
tâm của nhiều tác giả trong thời gian gần đây.
Những kết quả về tính ổn định trong bài báo [1] có thể được thiết lập và chứng
minh trong lớp các không gian tựa chuẩn. Từ đó, tính siêu ổn định của phương
trình tuyến tính tổng qt có thể áp dụng được trong những mơ hình khơng gian
khơng chuẩn hóa.

2

Tính cấp thiết của đề tài
Trên cơ sở tình hình nghiên cứu tổng quan trong và ngồi nước nêu trên, chúng

tơi nhận thấy rằng những vấn đề mở đặt ra trong tài liệu [1] đang định hướng
nghiên cứu và áp dụng cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến
tính tổng qt có thể áp dụng được trong những mơ hình khơng gian khơng chuẩn
hóa. Tuy nhiên, nhiều kĩ thuật trong [1] được trình bày cơ đọng, những trường hợp
riêng chưa được trình bày chi tiết và các ví dụ minh họa chưa được thiết lập cụ thể.
Vì vậy, chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng của phương
trình tuyến tính tổng qt trong bài báo [1] trên khơng gian tựa chuẩn.
Kết quả của đề tài góp phần làm rõ và đa dạng những nội dung cơ bản về tính
siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa
chuẩn. Báo cáo khoa học của đề tài là một tài liệu tham khảo cho sinh viên và
giảng viên Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp trong quá trình
giảng dạy và học tập các mơn giải tích và áp dụng tốn học.

3

3

Mục tiêu nghiên cứu
- Đề xuất và chứng minh một số kết quả cho tính siêu ổn định của phương
trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.
- Xây dựng ví dụ minh họa và áp dụng của tính siêu ổn định của phương trình
tuyến tính tổng qt trong không gian tựa chuẩn.

4

Cách tiếp cận
Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về tính siêu ổn định suy rộng trong và ngoài

nước liên đến đề tài, bằng cách tương tự hóa những kết quả đã có, đề xuất kết quả mới.

5

Phương pháp nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thơng tin với các thành viên trong

nhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực.

6

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng

qt trong khơng gian tựa chuẩn thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động.

7

Nội dung nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tựa chuẩn.


4

- Một số kết quả cho trường hợp riêng liên quan đến phương tình tuyến tính
tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.


5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian tựa chuẩn

Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm tựa chuẩn, khơng gian tựa chuẩn
và một số tính chất cơ bản của khơng gian tựa chuẩn.
Định nghĩa 1.1.1 ([7]). Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, κ ≥ 1
và . : X → R+ là một ánh xạ từ X vào trường số thực dương sao cho với mọi
x, y ∈ X và mọi a ∈ K,

1. x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. ax = |a| x .
3. x + y ≤ κ( x + y ).
Khi đó
1. . được gọi là tựa chuẩn trên X và (X, . , κ) được gọi là không gian tựa
chuẩn.
2. . được gọi là p-chuẩn trên X và không gian tựa chuẩn (X, . , κ) được gọi
là không gian p-chuẩn nếu tồn tại 0 < p ≤ 1 sao cho
x+y

p

≤ x

p

+ y

p


6

với mọi x, y ∈ X.
3. Dãy {xn }n được gọi là hội tụ đến x nếu lim xn − x = 0, kí hiệu là lim xn =
n→∞

n→∞

x.

4. Dãy {xn }n được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

5. Không gian tựa chuẩn (X, . , κ) được gọi là tựa Banach nếu mỗi dãy Cauchy
là một dãy hội tụ.
6. Không gian tựa chuẩn (X, . , κ) được gọi là p-Banach nếu nó là một khơng
gian p-chuẩn và khơng gian tựa Banach.
Các ví dụ sau minh họa cho khái niệm khơng gian tựa chuẩn.
Ví dụ 1.1.2. Với X = R ta có ||x|| = |x|. Khi đó ||.|| là một tựa chuẩn và (R, ||x||, κ)
là một không gian tựa chuẩn với κ = 1.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X và a ∈ K = R ta có
1. ||x|| = 0 ⇔ |x| = 0 ⇔ x = 0
2. ||ax|| = |ax| = |a| · |x| = |a| · x
3. ||x + y|| = |x + y| ≤ |x| + |y| = x + y

Ví dụ 1.1.3 ([9]).

1. Với 0 < p ≤ 1, ta có khơng gian Lebesgue L p là khơng

gian tựa chuẩn với tựa chuẩn
f

| f (x)| p dµ

p=
Ω

với mọi f ∈ L p .

1
p


7

2. Không gian Lorentz L p,q với 0 < p, q ≤ ∞ và L p -không gian yếu L p,∞ với
0 < p ≤ ∞ với tựa chuẩn

1


 0∞ [t p f ∗ (t)]q dtt
f p,q =
1

p f ∗ (t)

sup
t


1
q

nếu 0 < q < ∞
nếu q = ∞

t>0

trong đó f ∈ L p,q hoặc f ∈ L p,∞ và
f ∗ (t) = inf{λ > 0 : µ x ∈ Ω : | f (x)| > λ ≤ t}.
Định nghĩa 1.1.4 ([5]). Cho X là tập khác rỗng và s ≥1 là một số thực cho trước
và hàm d : X × X → R+ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X, ta có
1. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
2. d(x, y) = d(y, x).
3. d(x, z) ≤ s[d(x, y) + d(y, z)].
Khi đó
1. d được gọi là một b-metric trên X và (X, d, s) được gọi là một không gian
b-metric.
2. Dãy {xn }n được gọi là hội tụ đến x trong (X, d, s) nếu lim d(xn , x) = 0, kí
n→∞

hiệu là lim xn = x.
n→∞

3. Dãy {xn }n được gọi là dãy Cauchy nếu lim d(xn , xm ) = 0.
n,m→∞

4. Không gian (X, d, s) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy là một dãy hội
tụ.


8

1.2

Một số kết quả bổ trợ

Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả được sử dụng để nghiên cứu
tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian
tựa chuẩn.
Hệ quả 1.2.1 ([6], Định lí 2.1 trang 135). Giả sử rằng
1. U là một tập vô hạn, (Y, . , κ) là một không gian tựa Banach và T : Y U →
Y U là một hàm số cho trước, ở đây Y U là họ các ánh xạ từ U vào Y .
2. Tồn tại f1 , . . . , fk : U → U và L1 , . . . , Lk : U → R+ sao cho với mọi ξ , µ ∈ Y U
và x ∈ U ta có
k

T ξ (x) − T µ(x) ≤ ∑ Li (x) ξ ( fi (x)) − µ( fi (x)) .

(1.1)

i=1

3. Tồn tại ε : U → R+ và ϕ : U → Y sao cho với mọi x ∈ U ta có
T ϕ(x) − ϕ(x) ≤ ε(x).

(1.2)

4. Với mỗi x ∈ U và θ = log2κ 2 ta có
∞

∗

ε (x) :=

∑ (Λnε)θ (x) < ∞

(1.3)

n=0

trong đó Λ : RU+ → RU+ được định nghĩa bởi
k

Λδ (x) := ∑ Li (x)δ ( fi (x))

(1.4)

i=1

với mọi δ : U → R+ và x ∈ U.
Khi đó, ta có
1. Với mỗi x ∈ U
lim T n ϕ(x) = ψ(x)

n→∞

(1.5)


9

tồn tại và hàm số ψ : U → Y được định nghĩa là một điểm bất động của T
thỏa mãn
ϕ(x) − ψ(x)

θ

≤ 4ε ∗ (x)

(1.6)

với mọi x ∈ U.
2. Với mỗi x ∈ U nếu
∗

∞

ε (x) ≤ (M ∑ (Λn ε)(x))θ < ∞

(1.7)

n=0

với M là số thực dương bất kỳ thì điểm bất động của T thỏa (1.3) là duy
nhất.
Định lí 1.2.2 ([10], trang 4308). Giả sử rằng (Y, d, κ) là một không gian b-metric
, θ = log2κ 2 và
n

Dd (x, y) = inf

∑ d θ (xi, xi+1) : x1 = x, x2, ..., xn, xn+1 = y ∈ Y, n ≥ 1

(1.8)

i=1

với mọi x, y ∈ Y . Khi đó Dd là một metric trên Y thỏa mãn
1 θ
d (x, y) ≤ Dd (x, y) ≤ d θ (x, y)
4

(1.9)

với mọi x, y ∈ Y . Nếu d là một metric thì θ = 1 và Dd = d.
Bổ đề 1.2.3 ([11], Bổ đề 4.7 trang 91). Giả sử rằng X là một khơng gian tuyến tính
trên trường F, Y là một khơng gian tuyến tính trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈
K và g : X → Y thỏa mãn
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)

(1.10)

với mọi x, y ∈ X\{0}. Khi đó g thỏa mãn phương trình
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)
với mọi x, y ∈ X.

(1.11)


10

CHƯƠNG 2
TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRONG KHƠNG GIAN TỰA
CHUẨN

2.1

Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính
tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn
Trong mục này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số kết quả về tính

siêu ổn định của phương trình tuyến tính tổng qt trong khơng gian tựa chuẩn.
Định lí 2.1.1. Giả sử rằng (X, . , κX ) là một không gian tựa chuẩn trên trường F,
(Y, . , κY ) là một không gian tựa Banach trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈ K
và h : X → R+ là một hàm số sao cho
1
1
M0 := n ∈ N : κY (|A|s( (n + 1)) + |B|s(− n)) < 1
a
b

(2.1)

là một tập vơ hạn, trong đó
s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mọi x ∈ X} với n ∈ F\{0} sao cho
lim s(n) = 0 và lim s(−n) = 0.

n→∞

n→∞

(2.2)

Giả sử g : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức

g(ax + by) − Ag(x) − Bg(y) ≤ h(x) + h(y)

(2.3)


11

với mọi x, y ∈ X\{0}. Khi đó g thỏa mãn phương trình
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)

(2.4)

với mọi x, y ∈ X\{0}.
1
1
Chứng minh. Thay x bởi (m + 1)x và y bởi − mx với m ∈ N trong (2.3) ta có
a
b
1
1
1
1
g(x) − Ag( (m + 1)x) − Bg(− mx) ≤ h( (m + 1)x) + h(− mx)
a
b
a
b

(2.5)

với mọi x, y ∈ X\{0}. Với mỗi m ∈ M0 chúng ta sẽ định nghĩa toán tử
Tm : Y X\{0} → Y X\{0}
xác định bởi
1
1
Tm ξ (x) := Aξ ( (m + 1)x) + Bξ (− mx)
a
b
với mọi x ∈ X\{0}, ξ ∈ Y X\{0} . Đặt
1
1
εm (x) := h( (m + 1)x) + h(− mx).
a
b
Với mỗi n ∈ F\{0}, t ∈ R+ sao cho
h(nx) ≤ th(x)
với mọi x ∈ X. Lấy inf hai vế của bất đẳng thức trên theo t ta có
h(nx) ≤ s(n)h(x).
1
1
Thay n lần lượt bởi (m + 1) và − m ta được
a
b
1
1
h( (m + 1)x) ≤ s( (m + 1))h(x)
a
a
và
1

1
h(− mx) ≤ s(− m)h(x).
b
b

(2.6)


12

Suy ra
1
1
εm (x) := h( (m + 1)x) + h(− mx)
a
b
1
1
≤ s( (m + 1)) + s(− m) h(x)
a
b

(2.7)

với mọi x ∈ X\{0}. Khi đó bất đẳng thức (2.5) trở thành
Tm g(x) − g(x) ≤ εm (x)
với mọi x ∈ X\{0}. Suy ra 1.1 được thỏa mãn. Với mỗi m ∈ M0 , xét toán tử
X\{0}

Λm : R +

X\{0}

→ R+

được xác định bởi

1
1
Λm η(x) := κY |A|η( (m + 1)x) + κY |B|η(− mx)
a
b
X\{0}

với mọi η ∈ R+

, x ∈ X\{0}. Ta thấy Λm η(x) có dạng (1.4) với k = 2 và

1
1
f1 (x) = (m + 1)x, f2 (x) = − mx, L1 (x) = κY |A|, L2 (x) = κY |B|
a
b
với mọi x ∈ X. Hơn nữa, với mỗi ξ , µ ∈ Y X\{0} , x ∈ X\{0}, sử dụng (2.6) ta có
Tm ξ (x) − Tm µ(x)
1
1
1
1
= Aξ ( (m + 1)x) + Bξ (− mx) − Aµ( (m + 1)x) − Bµ(− mx)

a
b
a
b
1
1
1
1
= Aξ ( (m + 1)x) − Aµ( (m + 1)x) + Bξ (− mx) − Bµ(− mx)
a
a
b
b
1
1
≤ κY |A| ξ ( (m + 1)x) − µ( (m + 1)x)
a
a
1
1
+κY |B| ξ (− mx) − µ(− mx)
b
b
2

=

∑ Li(x)

ξ ( fi (x)) − µ( fi (x)) .

i=1

Điều này chứng tỏ (1.1) được thỏa mãn.
Bằng cách sử dụng qui nạp toán học, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng với mỗi x ∈
X\{0}, n ∈ N ta có
Λnm εm (x)
1
1
≤ κYn s( (m + 1)) + s(− m)
a
b

(2.8)
1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b

n

h(x).


13

Áp dụng (2.7) ta thấy (2.8) đúng với n = 0. Giả sử rằng (2.8) đúng với n = t, nghĩa
là
Λtm εm (x)

1
1
≤ κYt s( (m + 1)) + s(− m)
a
b

(2.9)
t
1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m) h(x).
a
b

Ta có
Λt+1
m εm (x)
=
=
(2.8)

≤

≤

(2.7)

≤

≤

Λm (Λtm εm (x))
1
1
κY |A|Λtm εm ( (m + 1)x) + κY |B|Λtm εm (− mx)
a
b
1
1
κY |A|κYt s( (m + 1)) + s(− m)
a
b
t
1
1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m) h( (m + 1)x)
a
b
a
1
1
+κY |B|κYt s( (m + 1)) + s(− m)
a
b
t
1
1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m) h(− mx)

a
b
b
1
1
1
1
κYt+1 s( (m + 1)) + s(− m) |A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b
a
b
1
1
|A|h( (m + 1)x) + |B|h(− mx)
a
b
1
1
1
1
κYt+1 s( (m + 1)) + s(− m) |A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b
a
b
1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m) h(x)
a

b
1
1
κYt+1 s( (m + 1)) + s(− m)
a
b
1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b

t

t

t+1

h(x).

Điều này chỉ ra rằng (2.8) đúng với n = t + 1. Vậy bất đẳng thức (2.8) đúng với
mọi n ∈ N0 .


14

Từ (2.8) với θ = log2κY 2 ta có
ε ∗ (x)

(2.10)

∞

=

∑ (Λnmεm)θ (x)

n=0
∞

≤

∑

n=0
θ

κYθ n

1
1
s( (m + 1)) + s(− m)
a
b

θ

1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)

a
b

θn

h (x).
Ta có, vì m ∈ M0 nên
1
1
κY (|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)) < 1.
a
b
Do đó
∞

∑

κYθ n

n=0

=
1 − κYθ

1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b
1

θn

1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b

θ

.

(2.11)

Từ (2.10) và (2.11) ta có
θ
1
1
s( (m + 1)) + s(− m) hθ (x)
a
b
ε ∗ (x) =
<∞
1
1
θ
θ
1 − κY (|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m))
a

b
với mọi x ∈ X\{0} và m ∈ M0 . Vậy (1.3) được thỏa mãn.

Do đó, với mỗi m ∈ M0 , theo Hệ quả 1.2.1 tồn tại Gm : X\{0} → Y là một điểm
bất động của T , nghĩa là Gm thỏa mãn phương trình
1
1
Gm (x) = AGm ( (m + 1)x) + BGm (− mx)
a
b
sao cho

g(x) − Gm (x)

θ

θ
1
1
4 s( (m + 1)) + s(− m) hθ (x)
(1.6)
a
b
≤
1
1
1 − κYθ (|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m))θ
a
b

(2.12)


15

với mọi x ∈ X\{0}. Hơn nữa theo (1.5) ta có
lim Tmn g(x) = Gm (x).

n→∞

(2.13)

Chúng ta chứng minh rằng
Tmn g(ax + by) − ATmn g(x) − BTmn g(y)
n
1
1
n
≤ κY |A|s( (m + 1)) + |B|s(− m) (h(x) + h(y))
a
b

(2.14)

với mọi x, y ∈ X\{0}, n ∈ N0 . Với n = 0 ta có
Tm0 g(ax + by) − ATm0 g(x) − BTm0 g(y)
=

g(ax + by) − Ag(x) − Bg(y)

≤ h(x) + h(y).
Do đó (2.14) đúng với n = 0. Với r ∈ N0 và giả sử rằng (2.14) đúng với n = r và
x, y ∈ X\{0} ta có
Tmr+1 g(ax + by) − ATmr+1 g(x) − BTmr+1 g(y)
1
1
= ATmr g( (m + 1)(ax + by)) + BTmr g(− m(ax + by))
a
b
1
1
1
−A2 Tmr g( (m + 1)x) − ABTmr g(− mx) − BATmr g( (m + 1)y)
a
b
a
1
−B2 Tmr g(− my)
b
1
1
≤ κY |A| Tmr g( (m + 1)(ax + by)) − ATmr g( (m + 1)x)
a
a
1
−BTmr g( (m + 1)y)
a
1
1
1

+κY |B| Tmr g(− m(ax + by)) − ATmr g(− mx) − BTmr g(− my)
b
b
b


16
r
1
1
≤
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b
1
1
(h( (m + 1)x)) + h( (m + 1)y))
a
a
r
1
1
r
+κY |B|κY |A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b
1
1
(h(− mx) + h(− my))
b

b
r+1
1
1
r+1
≤ κY
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
(h(x) + h(y)).
a
b

κY |A|κYr

Điều này chứng tỏ (2.14) đúng với r + 1. Vậy (2.14) đúng.
Tiếp theo, với mỗi x, y ∈ X\{0} và n ∈ N ta có
ATmn g(x) + BTmn g(y) − AGm (x) − BGm (y)
≤ κY ( ATmn g(x) − AGm (x) + BTmn g(y) − BGm (y) )
= κY (|A| Tmn g(x) − Gm (x) + |B| Tmn g(y) − Gm (y) ).

(2.15)

Từ (2.13) ta có lim Tmn g(x) − Gm (x) = 0. Cho n → ∞ trong (2.15) ta có
n→∞

lim ATmn g(x) + BTmn g(y) − AGm (x) − BGm (y) = 0.

n→∞

Suy ra với mỗi x, y ∈ X\{0},
lim (ATmn g(x) + BTmn g(y)) = AGm (x) + BGm (y).

n→∞

(2.16)

Áp dụng Định lí 1.2.2 với (Y, d, κY ) là một không gian b metric, ở đây d(x, y) =
x − y với mọi x, y ∈ Y . Từ (2.14) và (1.9) ta có
0 ≤ Dd (Tmn g(ax + by), ATmn g(x) + BTmn g(y))
≤ d θ (Tmn g(ax + by), ATmn g(x) + BTmn g(y))
Tmn g(ax + by) − ATmn g(x) − BTmn g(y) θ
1
1
≤ κYθ n (|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m))θ n (h(x) + h(y))θ .
a
b

=

(2.17)


17

Theo (2.2) với m ∈ M0 ta có
1
1
lim s( (m + 1)) = 0 và lim s(− m) = 0.
m→∞ a
m→∞
b

(2.18)

Suy ra
lim κ θ n
m→∞ Y

1
1
|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b

θn

(h(x) + h(y)) = 0.

(2.19)

Vì m ∈ M0 , cho n → ∞ trong (2.17) kết hợp (2.19) ta được
0 ≤ lim Dd (Tmn g(ax + by), ATmn g(x) + BTmn g(y))
n→∞

≤

lim κ θ n
m→∞ Y

1
1

|A|s( (m + 1)) + |B|s(− m)
a
b

θn

(h(x) + h(y))θ .

Từ đó suy ra
lim Dd (Tmn g(ax + by), ATmn g(x) + BTmn g(y)) = 0.

n→∞

(2.20)

Vì metric Dd là liên tục, sử dụng (2.13), (2.16), (2.20) và định nghĩa của M0 , với
x, y ∈ X\{0} ta có
Dd (Gm (ax + by), AGm (x) + BGm (y))
= lim Dd (Tmn g(ax + by), ATmn g(x) + BTmn g(y))
n→∞

= 0.

(2.21)

Sử dụng (2.18) và lấy giới hạn hai vế trong (2.12) khi m → ∞ ta được
0 ≤ lim g(x) − Gm (x)
m→∞

θ

≤0

suy ra lim g(x) − Gm (x) = 0. Do đó
m→∞

lim Gm (x) = g(x).

m→∞

Lấy giới hạn khi n → ∞ trong (2.18) và sử dụng (2.22) ta có
Dd (g(ax + by), Ag(x) + Bg(y))
= lim Dd (Gm (ax + by), AGm (x) + BGm (y))
m→∞

= 0.

(2.22)


18

Do đó ta có
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)
với mọi x, y ∈ X\{0}. Vậy g thỏa mãn (2.4).
Bằng cách sử dụng Định lí 2.1.1 và Bổ đề 1.2.3, ta được kết quả sau.
Định lí 2.1.2. Giả sử rằng (X, . , κX ) là một không gian tựa chuẩn trên trường F,
(Y, . , κY ) là một không gian tựa Banach trên trường K, a, b ∈ F\{0}, A, B ∈ K,
và h : X → R+ là một hàm số sao cho (2.1) là một tập vơ hạn, trong đó
s(n) := inf{t ∈ R+ : h(nx) ≤ th(x) với mọi x ∈ X}

với n ∈ F\{0} sao cho
lim s(n) = 0 và lim s(−n) = 0.

n→∞

n→∞

(2.23)

Giả sử rằng g : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức
g(ax + by) − Ag(x) − Bg(y) ≤ h(x) + h(y)

(2.24)

với mọi x, y ∈ X\{0}. Khi đó
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)
với mọi x, y ∈ X.
Chứng minh. Vì g thỏa mãn bất đẳng thức sau
g(ax + by) − Ag(x) − Bg(y) ≤ h(x) + h(y)
với mọi x, y ∈ X\{0}. Theo Định lí 2.1.1 ta có
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)
với mọi x, y ∈ X\{0}. Theo Bổ đề 1.2.3 thì
g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y)
với mọi x, y ∈ X.

(2.25)