Tài liệu cao học - kết cấu bê tông cốt thép chương 10

Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh

Chương 10: CHẾ ĐỘ LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Chương 10: CHẾ ĐỘ LÀM VIỆC CỦA BTCT CHNU LỰC UỐ - LỰC DỌC

10.1 GIỚI THIỆU
Mc ích ca phn này là trình bày các thông tin tóm lưc v ch  làm vic hay ng x
ca các thành phn
BTCT thông thưng (không ng sut trưc) chu tác dng ca lc gây
un và lc dc trc
.

10.2 CHẾ ĐỘ LÀM VIỆC CỦA BTCT CHNU LỰC GÂY UỐ
(DẦM)
10.2.1 Khái quát
Các phn trình bày trong chương 3 và chương 4 ã gii thiu bê tông b ép ngang và các
mi quan h mômen- cong. Các thông tin trình bày dưi ây phc v cho vic xây dng
nên ni dung ca hai chương ó. Vi mc ích bàn lun dưi ây, thành phn kt cu ch
yu chu lc un ưc gi là
“dm”. Tiêu chuNn ACI 318-08 dùng giá tr ngưng chn gì
ca
lc nén dc trc  xem kt cu như là mt “dm thun túy” hay “dm-ct” (beam-
column)? N u chúng ta tp trung vào iu khon
§10.3.5 và các iu khon chng ng t
trong
chương 21, giá tr ngưng chn lc dc  kt cu BTCT xem như “dm BTCT” là :

004,0
10
fA

P
t
'
cg
≥ε
≤
(10-1)
Dm phi có t l kích thưc và b trí thép
sao cho tho mn các yêu cu v
hàm lưng
ti a và ti thiu ca ct thép dc chu kéo.
10.2.2 Hàm lượng tối thiểu cốt thép chịu kéo
Cn thit mt hàm lưng thép chu kéo ti
thiu trong dm  m bo rng :
 Mômen kháng un M vưt qua mômen gây nt M
cr


N t ưc phân b tt
+ Vi dm ch nht, din tích thép chu kéo nh nht bng: (§10.5.1 ACI 318-08)











=
y
w
w
y
'
c
min,s
f
db200
,db
f
f3
maxA
(10-2)
vi f’
c
(psi) là cưng  bê tông, f
y
(psi) là cưng  thép, b
w
(in) là chiu rng sưn dm,
d (in) là chiu cao hiu qu.
im chuyn tip
trong (10-2) t gii hn th nht n gii hn th hai là f
’
c

= 4400 psi.
Vi

f
’
c

= 2500 psi và f
y
= 60 ksi, hàm lưng thép chu kéo nh nht ρ
min
là:

)
60000
200
,
60000
25003
max()
f
200
,
f
f3
max(
db
A
yy
'
c
w
min,s

min
===ρ
= 0,0033 = 0,33 %
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
+ Vi dm ch T có cánh chu kéo, lưng thép chu kéo A
s,min
cn thit, để bảo đảm cường
độ kháng uốn của tiết diện có gia cường thép bằng cường độ của tiết diện không gia cường
thép, là
hai ln ln hơn so vi dm ch nht hay dm ch T có cánh chu nén. Do ó, vi
dm ch T có cánh chu kéo, ACI (§10.5.2) yêu cu din tích thép chu kéo nh nht là:










= db
f
f3
,
f
db200

,db
f
f6
minA
f
y
'
c
y
f
w
y
'
c
min,s
(10-3)
vi
b
w
(in) là chiu rng sưn dm ch T, b
f
(in) là chiu rng cánh dm ch T.
10.2.3 Hàm lượng tối đa cốt thép chịu kéo
ACI cũng yêu cu khng ch mt hàm lưng ti a ct thép chu kéo trong dm :
 thun li cho thi công bê tông.
 bo m thép chy do trưc khi bê tông b nghin v.
Có th dùng mt trong hai phương pháp sau  xác nh
hàm lưng ti a thép chu kéo:
phương pháp truyn thng
(ACI 318-99, phn §10.3.3) và phương pháp hp nht (ACI

318-08,
phn §10.3.3).
1)- Phương pháp truyền thống (Traditional Aproach, ACI 318-99)
Xét hình sau do MacGregor cung cp:

Chiu cao n trc trung hoà (c
b
)

ti v trí cân bng (ε
cu
= 0,003,ε
s
= ε
y
), có th ưc xác
nh bng cân bng ni lc trên tit din v trong hình
(c)  trên. Gi thit E
s
= 29,000 ksi
cho thép,
hàm lưng thép cân bng (ρ
b
) có th tính như sau:









+
β
=ρ
yy
'
c1
b
f87000
87000
f
f85,0
(10-4)
vi f
’
c

và f
y
có ơn v là psi. Ví d vi f
’
c
= 2500 psi và f
y
= 60 ksi, → ρ
b
= 0,0178
N .A.
N i lc

ng sut

Tit din
Bin dng

khi
ρ = ρ
b


Bin dng

khi ρ ≠ ρ
b


β
1
= 0.85 vi f’
c

≤
4 ksi

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC

Biu  xác nh h s β

1
trong công thc (10-4)

Trong ACI 318-99 phn §10.3.3, hàm lưng thép ti a là ρ
max
= 0,75ρ
b
mà s to ra iu
kin bin dng cân bng, c th là khi thép chu kéo va t bin dng do ε
y
thì bê tông
vùng chu nén cũng va t bin dng phá hy lý thuyt ε
cu
= 0,003 (nhưng điều khoản này
bị loại bỏ trong ACI 318-08). Tuy nhiên, do s thay i cưng  thc t ca thép và bê
tông so vi các giá tr danh nghĩa, mt dm trên danh nghĩa tho yêu cu
ρ

≤ 0,75 ρ
b
có th
b
phá hu nén (dòn). Và khi hàm lưng thép tin gn 0,75 ρ
b
, dm có th b võng và nt
quá mc cho phép. Vì các lý do như vy, trong thc hành nên gii hn : ρ
max
= 0,5ρ
b

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
2)- Phương pháp hợp nhất (Unified Approach, ACI 318-08)
Mt phương pháp hp nht  thit k các thành phn BTCT ưc trình bày trong
ACI
318-08
phn §10.3.3. Phn này gii thiu vic ưc phép s dng công thc chuyn tip
ca
h s gim cưng  φ (strength reduction factor) khi có nhiu thép hơn thêm vào tit
din. N u trong ACI 318-99 h s φ ưc xác nh theo loi ti trng tác dng, thì trong
ACI 318-08 h s φ ưc xác nh theo s phân b bin dng trong tit din vi cưng 
danh nghĩa ca vt liu BTCT.
Không có gii hn trên ρ
max
ưc áp t lên hàm lưng thép
dc trong dm.
Tiêu chuNn
ACI 318-08 phn §9.3.2 xác nh φ = 0,9 cho tit din “dm” (tension-
controlled section),
φ = 0,65 cho tit din “ct” (compression-controlled section) vi thép
ai thưng
, hay φ = 0,75 cho tit din “ct” vi thép ai xon như hình dưi ây:

Bin dng thép chu kéo ngoài cùng ε
t

d
t

d
φ
tính theo c/d
t

vùng chuyn tip:

úng hơn là, mt tit din xem là
“dm” (do kéo quyết định) nu bin dng kéo thc ε
t

(bao gm t bin, co ngót, ) trong lp ct thép xa nht t mt chu nén (không phi chiu
cao có ích
d) ca dm vưt quá 0,005 và khi ó φ = 0,9. Mt tit din xem là “ct” (do nén
quyết định) nu
bin dng kéo thc ε
t
< ε
y
và khi ó φ = 0,65 hay φ = 0,75. Các công thc
chuyn tip tuyn tính xác nh h s
φ

∈

[0,65

;

0,9] khi thay i giá tr ε
t
∈

[0,002

; 0,005].
Tiêu chuNn
ACI 318-08 phn §10.3.5 qui nh các kt cu chu un không ng sut trưc
có ti trng dc trc thp hơn
0,1f”
c
A
g
(phương trình (10-1)), bin dng thép chu kéo
ngoài cùng ε
t
ti cưng  danh nghĩa M
n
không thp hơn 0,004
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Bài toán mẫu 1: Cường độ chịu uốn (M
n
) của dầm BTCT bố trí thép đơn
Xét dm ch nht thép ơn  hình dưi, cho bit bê tông
f’
c

= 4 ksi, và thép f
y
= 60 ksi.


Giải
:
a. Xác định phân phối ứng suất trong bê tông theo §10.2.7 ca ACI 318-08
Din tích thép chu kéo A
s
= 2.37 in
2
(3 N o. 8) có d
t
= h - 2.5 = 16 - 2.5 = 13.5”
Gi thit ε
s
> ε
y
, ni lc do thép chu kéo A
s
tham gia:
T = A
s
f
y
= 2.37 x 60 = 142.2 kips (§10.2.4)
Do T = C ⇔
ba'f85.0fA
cys

=
⇒
10485.0
2.142
b'f85.0
fA
a
c
ys
××
== = 4.18”
b. Xác định biến dạng thép ε
εε
ε
s
và hệ số giảm cường độ φ
φφ
φ
Chiu cao vùng bê tông chu nén bng:
85.0
18.4a
c
1
=
β
= = 4.92”
Bin dng thép chu kéo bng:
ε
s
= ε

u
(d
t
- c) / c = 0.003 (13.5 - 4.92) / 4.92 = 0.00523 > 0.005
Do ó tit din là chu
“un” (
tension-controlled
) (§10.3.4)
⇒
φ = 0.9 (§9.3.2.1)
Mt khác vì ε
s
= 0.00523 > 0.004 nên tho iu kin (§10.3.5) cho kt cu BTCT chu un,
giá tr này ca ε
s
cũng xác nhn gi thit ε
s
> ε
y
 trên là chính xác.
c. Xác định cường độ uốn danh nghĩa M
n
và cường độ uốn thiết kế
φ
φφ
φ
M
n

M

n
= A
s
f
y
(d
t
- 0.5a) = 142.2 x (13.5 - 0.5 x 4.18) = 1662.3 kips-in = 135.2 kips-ft
⇒ φM
n
= 0.9 x (135.2) = 121.7 kips-ft (§9.3.2.1)
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
d.
Kiểm tra hàm lượng thép chống uốn tối thiểu

db
f
200
db
f
'f3
A
w
y
w
y
c

min,s
≥=

(§10.5.1)
vi
5.1310
60000
40003
db
f
'f3
w
y
c
×=
= 0.43 in
2
; 5.1310
60000
200
db
f
200
w
y
×= = 0.45 in
2
Do thép chu kéo A
s
= 2.37 in

2
> A
s,min
= 0.45 in
2
nên t yêu cu.
10.2.4 Chế độ làm việc của dầm chịu uốn
Gi thit rng mt dm và ct thép ca nó tha mn các yêu cu trên, hin nhiên là cưng
 kháng un ca dm ph thuc ch yu vào tích s
gia lc dc (T) và cánh tay òn (jd),
c th ph thuc vào
A
s
f
y
(jd). S gia tăng din tích thép (A
s
) kéo theo s gia tăng cưng 
kháng un.
Vai trò hay nh hưng ca thép chu nén trong tit din như th nào?

Theo chương 4,

tăng  cng và tăng cưng  vùng chu nén.

tăng mt ít cưng  kháng un.

tăng ln trong kh năng bin dng,  do, và t l chy do.
Vai trò hay nh hưng ca thép ngang hay thép ai như th nào?

Theo chương 4,

tăng không áng k cưng  kháng un.

tăng rt ln trong kh năng bin dng và  do.
o
tăng kh năng bin dng ca bê tông (chương 4).
o
làm chm hay gim on (
buckling
) ca thép dc.
o
gim ng sut ct trong lõi bê tông b ép ngang.
Các nh hưng do có thêm
thép chu nén và thép ai ưc trình bày dưi ây vi thông s
vt liu và kích thưc tit din dm trong ví d mu
dm BTCT chu un  chương 4:
←
←←
←
thép chịu kéo

←
←←
←

thép chịu nén

(thép đai)
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker

Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC

Không thép ai Không thép ai
Có thép ai
Dầm BTCT
Không thép nén Có thép nén Không thép nén
M
y
3207 3238 3207
φ
y

1,56E-4
1,50E-4 1,50E-4
M
u
3282 3331 3215
φ
u

0,72E-3 1,0E-3 1,19E-2
µ
φ

4,6 6,7 79,3


0

1000
2000
3000
4000
5000
0 1 10 100
Độ cong -
log(
φ
φφ
φ
x10
-3
)
Mômen -
(kip-in)


không thép nén + không thép ai



có thép nén
+ không thép ai


không thép nén +
có thép đai

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker

Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
10.3 CHẾ ĐỘ LÀM VIỆC CỦA BTCT CHNU LỰC GÂY UỐ VÀ LỰC DỌC (CỘT)
10.3.1 Giới thiệu và các giới hạn về cốt thép
Không như các tit din dm, trong tiêu chuNn M các tit din ct thưng i xng c hai
trc. Tương t dm, ACI 318 qui nh hàm lưng thép ti thiu và ti a trong ct.
ACI 318-08 phn § 10.9.1 qui nh tng din tích thép dc trong ct (A
st
) không nh hơn
1%
và không ln hơn 8% ca din tích tit din ct (A
g
). Cho thit k chng ng t, gii
hn trên gim xung còn
6% ca din tích A
g
(phn § 21.6.3).
Gii hn dưi 0,01A
g
tha nhn rng mt lưng thép cn thit nh nht  chng nh
hưng un dù có tính hay không lc gây un trong ct. Hơn na, thc nghim ã ch rng
t bin và co ngót dn n s truyn lc dc t bê tông sang thép, mà hu qu là gia tăng
ng sut trong ct thép. S gia tăng càng ln khi hàm lưng thép càng gim.
Gii hn trên 0,08A
g
xét n hàm lưng thép ln nht trong thc t vì các lý do kinh t và
d dàng cho thi công.
10.3.2 Ảnh hưởng của lực dọc và các đường cong tương tác
Lúc ti dc trc còn nh, ng x ca tit din ct gn như ng x ca tit din dm. Khi

tăng ti dc trc :

yêu cu trên vùng chu nén tăng.

cưng  kháng un có th tăng hay gim.

kh năng bin dng ( cong ti hn) gim.
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
nh hưng lc dc (P) trên ng x ca tit din ct nhn thy ưc qua biu  tương tác
P-M
(
P-M interaction chart
) như ví d tit din ct dưi ây :



Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
 hình dưi, MacGregor trình bày các sơ  phân b bin dng tương ng vi các im
c trưng ca
biu  tương tác P-M :

N ăm im ưc
nhn dng trong biu  tương tác  trên là:


nén thun túy, không mômen un: im
A


nén + un lch tâm nh: im
B
← ε
c
= ε
cu
(bê tông)
&
ε
t
< ε
y
(thép)

phá hoi cân bng: im
C
← ε
c
= ε
cu
(bê tông)
&
ε
t
= ε
y

(thép)

nén + un lch tâm ln: im
D
← ε
c
= ε
cu
(bê tông)
&
ε
t
> ε
y
(thép)

un thun túy, không có lc dc: im
E


Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
N gun gc ca biu  trên tương i d hiu và sn có trong hu ht các sách BTCT. Chú
ý rng quá trình dn gii ưc mô t tóm lưc dưi ây nhm xác nh các
im danh
nghĩa
(M
n

, P
n
) ch không phi các im ti hn (φM
n
, φP
n
). Trưng hp tng quát là tính
lc dc P
n
tác dng ti tâm tit din và mômen un M
n
tác dng quanh trc qua tâm tit
din ct, trong ó ga thit phân b bin dng có
bin dng bê tông max ε
cu
= 0,003. Xét ví
d
mt ct ct ch nht dưi ây ca MacGregor.

Giá tr (
M
n
, P
n
) ưc xác nh bng cách gán ε
cu
= 0,003 và gi s mt giá tr ε
s1
= Zε
y

,
vi
Z là giá tr chn bt kỳ. Giá tr dương (+) ca Z tương ng vi các bin dng nén trong
phn
(b) ca hình trên. Khi Z = -1, thì ε
s1
= - ε
y
(bin dng do chu kéo). Giá tr Z = -1
biu din iu kin phá hy cân bng (
balanced failure condition
).
Vi giá tr cho trưc Z và ε
cu
= 0.003, các bin dng thép ε
si
và bin dng bê tông hoàn toàn
ưc xác nh :

Các ng sut thép (f
si
)

Tuân theo lut Hooke: f
si
= E
s
ε
si
khi ε

si
< ε
y


Không thay i (const): f
si
= f
y
khi ε
si
≥ ε
y


Các ng sut bê tông (f
c
) ưc thay th bi khi ng sut tương ương vi giá tr
trung bình
0.85f’
c
và chiu cao vùng chu nén a = β
1
c < h (chiu cao ct),
β
1
= 0.85 vi f’
c
≤ 4 ksi

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Lc nén ca bê tông là :
)ab)(f85,0(C
'
cc
=
(10-5)
Lc nén ca ct thép là :
sisisi
AfF
=
vi f
si
≤ f
y
(10-6a)

N u a > d
i
cho mt lp thép c th A
si
nào ó, cn phi gim bt ng sut thép (f
si
) mt
lưng
0.85f’
c

trưc khi tính F
si
, do ó có công thc chính xác hơn là :

si
'
csisi
A)f85,0f(F −=
(10-6b)
Cưng  chu lc dc bng tng các lc dc trong ct thép và bê tông, c th là :
∑
=
+=
n
1i
sicn
FCP
(10-7)
Cưng  chu mômen un bng tng mômen tt c ni lc quanh trc trng tâm ca tit
din, c th là :
∑
=
−+−=
n
1i
isicn
)d
2
h
(F)

2
a
2
h
(CM
(10-8)
Và như vy im (M
n
, P
n
), tương ng vi phân b bin dng ưc gi thit, ã ưc thit
lp trên
ưng cong tương tác. Quá trình tính lp cho các giá tr Z khác nhau, nhm xác
nh
các trưng hp in hình: không có ti dc trc (M
n
, 0), không có mômen un (0, P
n
)
và
(0, T
n
).
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Bài toán mẫu 2: Sức chịu tải cột chịu lực dọc-mômen (P
n
-M

n
)
Tính kh năng chu lc dc-mômen (P
n
-M
n
) ct vuông khi ng sut lp thép gn mt chu
kéo bng 0.5f
y
(ε
s1
= 0.5ε
y
). Cho bit bê tông f’
c
= 4 ksi, và thép f
y
= 60 ksi.

Giải:


e.

Xác nh phân phi ng sut và ni lc theo §10.2.7 ca ACI 318-08
Lp thép A
s1
= 2.37 in
2
(3 N o. 8) có d

1
= 13.62”
Lp thép A
s2
= 1.58 in
2
(2 N o. 8) có d
2
= 8”
Lp thép A
s3
= 2.37 in
2
(3 N o. 8) có d
3
= 2.38”
•

Bin dng (ε
s1
) ca lp thép gn mt chu kéo (A
s1
) bng:
29000
605.0
E
f5.0
E
f
s

y
s
1s
1s
×
===ε = 0.00103
N i lc do thép chu kéo A
s1
tham gia:
T = A
s1
f
s1
= A
s1
(0.5f
y
) = 2.37 x 0.5 x 60 = 71.1 kips
•

T iu kin tương thích v bin dng, ta có:
1s
1
cd
003.0
c
ε
−
= ⇒
003.000103.0

62.13003.0
003.0
d003.0
c
1s
1
+
×
=
+ε
= = 10.13”
⇒ a = β
1
c = 0.85 (10.13) = 8.61” (§10.2.7.1)
N i lc do bê tông chu nén tham gia:
C
c
= 0.85f’
c
ba = 0.85 x 4 x 16 x 8.61 = 468.4 kips (§10.2.7)
8


T
1
= A
s1
f
s1

ε
ε ε
ε
s1
= 0.5ε
εε
ε
y

d
1

d
3

ε
s
3

ε
s
2

d
2



C
s

3
= A
s3
f
s3

C
s2
= A
s
2
f
s
2

8

C
c
=
0.85f’
c

ba

0.85 f’
c

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
•

Bin dng thép A
s2
chu nén (do d
2
= 8” < c = 10.13”) bng:
ε
s2
= ε
u
(c - d
2
) / c = 0.003 (10.13 - 8) / 10.13 = 0.00063 < ε
y
= 0.00207
⇒ thép chu nén A
s2
không chy do: f
s2
< f
y

N i lc do thép chu nén A
s2
tham gia:
C
s2

= A
s2
f
s2
= A
s2
ε
s2
E
s
= 1.58 x 0.00063 x 29000 = 28.9 kips
•

Bin dng thép A
s3
chu nén (do d
3
= 2.38” < c = 10.13”) bng:
ε
s3
= ε
u
(c - d
3
) / c = 0.003 (10.13 - 2.38) / 10.13 = 0.0023 > ε
y
= 0.00207
⇒ thép chu nén A
s3
chy do: f

s3
= f
y

N i lc do thép chu nén A
s3
tham gia:
C
s3
= A
s3
f
s3
= A
s3
f
y
= 2.37 x 60 = 142.2 kips
b.

Xác nh (P
n
- M
n
) t iu kin cân bng:
P
n
= C
c
+ C

s2
+ C
s3
- T = 468.4 + 28.9 + 142.2 - 71.1 = 568.4 kips
M
n
= C
c
(0.5h - 0.5a) + C
s2
(0.5h - d
2
) + C
s3
(0.5h - d
3
) + T (d
1
- 0.5h)
= 468.4 x (8 - 4.31) + 28.9 x (8 - 8) + 142.2 x (8 - 2.38) + 71.1 x (13.62 - 8)
= 2927.1 kips-in = 243.9 kips-ft
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
10.3.3 Các đường cong tương tác thiết kế cột
Phương pháp tính các im (M
n
, P
n

) ã ưc mô t  trên. N hng im này ưc hiu
chnh cho phù hp mc ích thit k s ưc trình bày dưi ây.
Cưng  ca ct chu
ti úng tâm là :
stystg
'
c0
Af)AA)(f85,0(P +−=
(10-9)
vi A
g
là din tích toàn b mt ct ngang ct, A
st
là tng din tích ct thép dc, và 0.85f’
c
là
ng sut bê tông ln nht. Giá tr ng sut này ưc rút ra t kt qu thí nghim.
Cưng  tính theo
phương trình (10-9) có th áp dng trong thc t không? Không, vì
mômen un luôn tn ti, và bt kỳ mômen nào cũng s dn n vic gim kh năng chu ti
dc trc ca ct.
Ti sao mômen un luôn tn ti?

Do các mômen không cân bng trong dm truyn vào ct.

Do s không thng hàng ca các ct t tng sàn này qua tng sàn khác.

Do s không thng hàng ca ct thép trong ct.
 tính n nh hưng ca các mômen hay lch tâm ngu nhiên,
ACI qui nh các gii hn

ca ti trng ln nht trên ct :

P
n(max)
≤ 0.85P
0
cho ct có thép ai xon (P
0
tính theo (10-9)).

P
n(max)
≤ 0.80P
0
cho ct có thép ai thưng (P
0
tính theo (10-9)).
o
ti sao có s khác nhau gia ct có thép ai thưng và ai xon ?
Vi ct có thép ai xon, ACI (phương trình10-1) qui nh
]Af)AA(f85,0[85,0P
stystg
'
c(max)n
+−φ=φ
(10-10)
Vi ct có thép ai thưng, ACI (phương trình 10-2) qui nh
]Af)AA(f85,0[80,0P
stystg
'

c(max)n
+−φ=φ
(10-11)
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Bây gi quay li ưng cong tương tác  trang 9,
 thit k ct, lc dc và mômen un phi tho mn hai phương trình sau:
un
PP ≥φ
(10-12) và
un
MM ≥φ
(10-13)
vi P
u
và M
u
là các lc dc và mômen ti hn tính toán (nhân h s vưt ti), P
n
và M
n
là
các cưng 
danh nghĩa ca tit din ct, and φ là h s gim cưng  (
strength
reduction factor
).
Vi các giá tr lc dc ln (

vùng AB ca ưng cong tương tác):

φ = 0.65 cho ct có thép ai thưng (ACI 318-08)

φ = 0.75 cho ct có thép ai xon (ACI 318-08)
o
φ ca ct có thép ai thưng thp hơn vì phá hoi ca nó thưng dòn hơn so
vi ct có
thép ai xon.
Ti sao giá tr φ = 0.75 dùng cho ct có thép ai xon nh hơn φ = 0.9 dùng cho dm ?

Do thay i cưng  bê tông nh hưng trên ct mnh m hơn trên dm.

Do phá hoi ca ct là thm khc hơn dm.
im chuyn tip t φ = 0.65 hay = 0.75 n φ = 0.9 trong un thun túy (ti P
n
= 0)  âu?
im chuyn tip
(C)
ưc hình thành trong vùng phá hoi kéo, mà là bên dưi
điểm cân
bằng (B).
Tiêu chuNn ACI 318 qui nh s thay i giá tr φ bt u ti mt cưng  chu
ti dc trc
φP
a
= min(

φP
b

; 0,1A
g
f’
c
). N ói chung, gii hn th hai 0,1A
g
f’
c
cho giá tr nh
hơn. Lúc này giá tr ca h s
φ tăng tuyn tính t (0.65 hay 0.75) n 0.9 khi ti trng dc
trc
P
n
gim xung zero.
φ
φφ
φ
P
n(max)

theo (10-10)
hay (10-11)
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Bài toán mẫu 3: Lập đường cong tương tác (P
n
-M

n
) thể hiện khả năng chịu tải cột
Tính kh năng chu lc dc-mômen (P
n
-M
n
) ct vuông theo các iu kin bin dng sau:
1.

ng sut thép mt chu kéo bng 0 (ε
s
= 0)
2.

ng sut thép mt chu kéo bng 0.5f
y
(ε
s
= 0.5ε
y
)
3.

Ti mt ct gii hn chu nén,
compression-controlled section
(ε
s
= ε
y
= 0.002)

4.

Ti mt ct gii hn chu kéo,
tension-controlled section
(ε
s
= 0.005)
Cho bit bê tông
f’
c
= 4 ksi, và thép f
y
= 60 ksi.

Giải:

1.

Tính (P
n
-M
n
) ct vuông theo iu kin bin dng ε
s
= 0

a.

Xác nh phân phi ng sut và ni lc theo §10.2.7 ca ACI 318-08
d’ = 1.5 + d

N o-3
+ 0.5d
N o-8
= 1.5 + 0.375 + 0.5 = 2.38”
d
t
= h - d’ = 16 - 2.38 = 13.62”
Vì ε
s
= 0 ⇒ c = d
t
= 13.62” (§10.2.7.2)
⇒ a = β
1
c = 0.85 (13.62) = 11.58” (§10.2.7.1)
vi β
1
= 0.85 khi f’
c
= 4 ksi (§10.2.7.3)
N i lc do bê tông tham gia chu nén:
C
c
= 0.85f’
c
ba = 0.85 x 4 x 16 x 11.58 = 630 kips (§10.2.7)
ε
y
= f
y

/ E
y
= 60 / 29000 = 0.00207 (§10.2.4)
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
T iu kin tương thích v bin dng, ta có:
ε’
s
= ε
u
(c - d’) / c = 0.003 (13.62 - 2.38) / 13.62
ε’
s
= 0.00248 > ε
y
= 0.00207 ⇒ thép chu nén chy do (§10.2.2)
N i lc do thép chu nén tham gia:
C
s
= A’
s
f
y
= 1.58 x 60 = 94.8 kips
b.

Xác nh (P
n

- M
n
) t iu kin cân bng:
P
n
= C
c
+ C
s
= 630 + 94.8 = 724.8 kips
M
n
= C
c
(0.5h - 0.5a) + C
s
(0.5h - d’)
= 630 x (8.0 - 5.79) + 94.8 x (8.0 - 2.38) = 1925.1 kips-in = 160.4 kips-ft

 lch tâm e = M
n
/ P
n
= 1925.1 / 724.8 = 2.66”
Do ó, vi iu kin bin dng ε
s
= 0 ⇒ φ = 0.65 (§9.3.2.2)
Cưng  chu ti dc trc thit k
: φP
n

= 0.65 (724.8) = 471.1 kips
Cưng  chu mômen un thit k: φΜ
n
= 0.65 (160.4) = 104.3 kips-ft
2.

Tính (P
n
-M
n
) ct vuông theo iu kin bin dng ε
s
= 0.5ε
y


f.

Xác nh phân phi ng sut và ni lc theo §10.2.7 ca ACI 318-08
d’ = 2.38” ; d
t
= h - d’ = 16 - 2.38 = 13.62”
T iu kin tương thích v bin dng, ta có:
y
t
5.0
cd
003.0
c
ε

−
= ⇒
003.000207.05.0
62.13003.0
003.05.0
d003.0
c
y
t
+×
×
=
+ε
= = 10.13”
Bin dng thép chu nén là :
ε’
s
= ε
u
(c - d’) / c = 0.003 (10.13 - 2.38) / 10.13 = 0.0023 > ε
y
= 0.00207
⇒ thép chu nén
chy do
⇒ a = β
1
c = 0.85 (10.13) = 8.61” (§10.2.7.1)
N i lc do bê tông tham gia chu nén:
C
c

= 0.85f’
c
ba = 0.85 x 4 x 16 x 8.61 = 468.4 kips (§10.2.7)

2



ε
εε
ε
s
= 0.5ε
εε
ε
y

T = A
s
f
s

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
N i lc do thép chu nén tham gia :
C
s
= A’

s
f
y
= 1.58 x 60 = 94.8 kips
N i lc do thép chu kéo tham gia :
T = A
s
f
s
= A
s
(0.5f
y
) = 1.58 x 30 = 47.4 kips
c.

Xác nh (P
n
- M
n
) t iu kin cân bng:
P
n
= C
c
+ C
s
- T = 468.4 + 94.8 - 47.4 = 515.8 kips
M
n

= C
c
(0.5h - 0.5a) + C
s
(0.5h - d’) + T (d
t
- 0.5h)
= 468.4 x (8.0 - 4.31) + 94.8 x (8.0 - 2.38) + 47.4 x (13.62 - 8.0)
= 2527.6 kips-in = 210.6 kips-ft

 lch tâm e = M
n
/ P
n
= 2527.6 / 515.8 = 4.90”
Do ó, vi iu kin bin dng ε
s
= 0.5ε
y
= 0.00104 ⇒ φ = 0.65 (§9.3.2.2)
Cưng  chu ti dc trc thit k
: φP
n
= 0.65 (515.8) = 335.3 kips
Cưng  chu mômen un thit k: φΜ
n
= 0.65 (210.6) = 136.9 kips-ft
3.

Tính (P

n
-M
n
) ct vuông theo iu kin bin dng ε
s
= 0.002

a.

Xác nh phân phi ng sut và ni lc theo §10.2.7 ca ACI 318-08
d’ = 2.38” ; d
t
= h - d’ = 16 - 2.38 = 13.62”
T iu kin tương thích v bin dng, ta có:
y
t
cd
003.0
c
ε
−
= ⇒
003.000207.0
62.13003.0
003.0
d003.0
c
y
t
+

×
=
+ε
= = 8.06”
Bin dng thép chu nén là :
ε’
s
= ε
u
(c - d’) / c = 0.003 (8.06 - 2.38) / 8.06 = 0.00211 > ε
y
= 0.00207
⇒ thép chu nén
chy do
⇒ a = β
1
c = 0.85 (8.06) = 6.85” (§10.2.7.1)
N i lc do bê tông tham gia chu nén:
C
c
= 0.85f’
c
ba = 0.85 x 4 x 16 x 6.85 = 372.7 kips (§10.2.7)
3



ε
εε
ε

s
= ε
εε
ε
y

T = A
s
f
y

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
N i lc do thép chu nén tham gia :
C
s
= A’
s
f
y
= 1.58 x 60 = 94.8 kips
N i lc do thép chu kéo tham gia :
T = A
s
f
s
= A
s

f
y
= 1.58 x 60 = 94.8 kips
b.

Xác nh (P
n
- M
n
) t iu kin cân bng:
P
n
= C
c
+ C
s
- T = 372.7 + 94.8 - 94.8 = 372.7 kips
M
n
= C
c
(0.5h - 0.5a) + C
s
(0.5h - d’) + T (d
t
- 0.5h)
= 372.7 x (8.0 - 3.43) + 94.8 x (8.0 - 2.38) + 94.8 x (13.62 - 8.0)
= 2770.5 kips-in = 230.9 kips-ft

 lch tâm e = M

n
/ P
n
= 2770.5 / 372.7 = 7.43”
Do ó, vi iu kin bin dng ε
s
= ε
y
= 0.002 ⇒ φ = 0.65 (§9.3.2.2)
Cưng  chu ti dc trc thit k
: φP
n
= 0.65 (372.7) = 242.3 kips
Cưng  chu mômen un thit k: φΜ
n
= 0.65 (230.9) = 150.1 kips-ft
4.

Tính (P
n
-M
n
) ct vuông theo iu kin bin dng ε
s
= 0.005

a.

Xác nh phân phi ng sut và ni lc theo §10.2.7 ca ACI 318-08
d’ = 2.38” ; d

t
= h - d’ = 16 - 2.38 = 13.62”
T iu kin tương thích v bin dng, ta có:
s
t
cd
003.0
c
ε
−
= ⇒
003.0005.0
62.13003.0
003.0
d003.0
c
s
t
+
×
=
+ε
= = 5.11”
Bin dng thép chu nén là :
ε’
s
= ε
u
(c - d’) / c = 0.003 (5.11 - 2.38) / 5.11 = 0.0016 < ε
y

= 0.00207
⇒ thép chu nén
không chy do
⇒ a = β
1
c = 0.85 (5.11) = 4.34” (§10.2.7.1)
N i lc do bê tông tham gia chu nén:
C
c
= 0.85f’
c
ba = 0.85 x 4 x 16 x 4.34 = 236.1 kips (§10.2.7)
N i lc do thép chu nén tham gia :
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
C
s
= A’
s
f’
s
= A’
s
ε’
s
E
s
= 1.58 x 0.0016 x 29000 = 73.3 kips

N i lc do thép chu kéo tham gia :
T = A
s
f
s
= A
s
f
y
= 1.58 x 60 = 94.8 kips
b.

Xác nh (P
n
- M
n
) t iu kin cân bng:
P
n
= C
c
+ C
s
- T = 236.1 + 73.3 - 94.8 = 214.6 kips
M
n
= C
c
(0.5h - 0.5a) + C
s

(0.5h - d’) + T (d
t
- 0.5h)
= 236.1 x (8.0 - 2.17) + 73.3 x (8.0 - 2.38) + 94.8 x (13.62 - 8.0)
= 2321.2 kips-in = 193.4 kips-ft

 lch tâm e = M
n
/ P
n
= 2321.2 / 214.6 = 10.82”
Do ó, vi iu kin bin dng ε
s
= 0.005 ⇒ φ = 0.9 (§9.3.2.1)
Cưng  chu ti dc trc thit k
: φP
n
= 0.9 (214.6) = 193.1 kips
Cưng  chu mômen un thit k: φΜ
n
= 0.9 (193.4) = 174.1 kips-ft
Toàn b biu  tương tác (P
n
- M
n
) và (φP
n
- φM
n
) ca ct ưc biu din như hình v sau:

TH 1
TH 2
TH 3
TH 4
TH 1: ε
εε
ε
s
= 0 TH 2: ε
εε
ε
s
= 0.5ε
εε
ε
y

TH 3: ε
εε
ε
s
= ε
εε
ε
y
TH 4: ε
εε

ε
s
= 0.005
phương trình
(10-11)
(
φ
φφ
φ
P
n
-
φ
φφ
φ
M
n
)

(P
n
-M
n
)
φ
= 0.65

φ
= 0.9

φ
= 0.65


φ = 0.9
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Bài toán mẫu 4: Lập đường cong tương tác (P
n
-M
n
) bằng GALA software

0
250
500
750
1000
0 50 100 150 200
Bending Moment (kNm)
Axial Load (kN)
(P-N)nominal
(P-N)design
ACI 318-05
f'
c
= 22 MPa
f

y
= 335 MPa
ACI 318-08





Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
10.3.4 Cột có thép đai thường và thép đai xoắn
MacGregor báo cáo rng hơn 95% ct trong công trình xây dng là ct thép ai thưng hay
ct thép ai ràng (
tied column
), gi tên như vy vì ct thép dc ưc ràng buc vi nhau
bng các thép nh hơn ti tng khong ngn cho n nh ct. Các thép ràng trong nhng
ct như vy thưng ưc t thưa phng theo b rng ct. Khi có yêu cu v  do cao,
các thép ràng ưc thay th bi thanh thép un dng xon c vi bưc xon khong
1.5”
→
3.5”. Thép ai xon hn ch s n ngang ca bê tông,
như đã trình bày ở chương 3
,
và làm chm s phá hoi ca lõi bê tông. Hình dưi minh ha các
quan h ti trng-bin
dng
ca ct thép ai ràng và ct thép ai xon.

Chú ý nhng phn trong hình sau ây :

Các phn ban u ca hai ưng cong tương t nhau; khi t n ti trng max, các vt
nt thng ng và s nghin v lp v ngoài ca lõi bê tông phát trin và dn n lp
bê tông bo v b nt v.

Trong ct ai ràng, cưng  lõi nh hơn ti trng max và do ó lõi b nghin v, ct
thép dc b on ra ngoài và gây ra phá hoi dòn.

Trong ct ai xon, cưng  lõi vưt quá ti trng nghin v lp bê tông bo v như
mô t  hình dưi và xut hin mt ti trng max th hai cao hơn.

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
ACI yêu cu xác nh hàm lưng thép xon ti thiu sao cho ti trng max th hai trong
ưng cong
ti trng-bin dng  trên vưt quá ti trng max th nht (nt v ban u ca
lp v bê tông). iu
§10.9.3 ca ACI 318-08 qui nh rng t l th tích ca thép ai xon
phi tha mn iu kin sau:
yt
'
c
ch
g
s
f
f

)1
A
A
(45,0
−≥ρ
(10-14)
A
g
là din tích ct, A
ch
là din tích lõi, f
yt
là gii hn chy thép ai, yêu cu f
yt
≤

100 ksi.

hh
sp
s
Ds
A4
=ρ
A
sp


10.3.5 Ảnh hưởng của lực dọc trên độ cong max

Xét ct có tit din như trong hình v sau (ã mô t  trang 9) :

Gi thit cưng  bê tông
f'
c
= 4000 psi và b ép ngang bi 4 thép ai t cách nhau 3” và
gii hn chy thép là
60 ksi. B qua s tái bn ca thép.  cong max (φ
max
) thay i th
nào khi tăng lc dc? Xét bng dưi ây vi s liu tính ưc t
UCFyber software.

N hn xét: khi
P
↑
↑↑
↑

⇒
⇒⇒
⇒

φ
φφ
φ
max

↓

↓↓
↓
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 10: CH  LÀM VIC CA BTCT CHNU LC UN - LC DC TRC
Bài tập 1: (SV nộp)




A

s




= 1.5

8
in

2

(2N o

.

8

)


A’

s



= 1.5

8
in

2

(2N o

.



8

)

A

t




=



0.20



in

2

(

N o

.



4

)





4



Gi thit bin dng nén max ca
bê tông b ép ngang
ε
cu
= 0,006. Xây dng các ưng cong
tương tác
(P
n
-M
n
)
và
(
φ
φφ
φ
P
n
-
φ

φφ
φ
M
n
)
ca ct BTCT có xét nh hưng ép ngang (
confined
) theo
các iu kin bin dng sau ây:
1.

ng sut thép mt chu kéo bng 0 (
ε
s
= 0)
2.

ng sut thép mt chu kéo bng 0.5f
y
(
ε
s
= 0.5
ε
y
)
3.

ng sut thép mt chu kéo bng f
y

(
ε
s
=
ε
y
)
4.

Ti mt ct gii hn chu nén,
φ
= 0,65 (
ε
s
= 0,002 hay c/d
t
t
t
= 0.6)
5.

Ti mt ct gii hn chu kéo,
φ
= 0,9 (
ε
s
= 0.005 hay c/d
t
t
t

= 0,375)
Cho bit bê tông
f’
c
= 4 ksi, và thép f
y
= 60 ksi, bưc thép ai s
t
= 4”.

Ghi chú
:


Bin dng thép chu kéo ngoài cùng ε
t

d
t

d
φ
tính theo c/d
t

vùng chuyn tip: