Chương 6: Phương sai của sai số thay đổi

1
Chương 6: Phương sai của sai
số thay đổi
1. Nguyên nhân của phương sai sai số thay đổi
a. Khái niệm:
Là trường hợp phương sai có điều kiện của
Y
i
thay đổi khi X
i
thay đổi: Var(U
i
/X
i
)=σ
i
2
.
b. Nguyên nhân:
• Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế
• Do kỹ thuật thu thập số liệu được cải tiến nên
phương sai sai số ngày càng giảm
• Phương sai sai số thay đổi khi xuất hiện các
quan sát ngoại lai (quá nhỏ hoặc quá lớn)
2. Hậu quả của phương sai sai số thay đổi
• Các ước lượng OLS vẫn không chệch nhưng không còn
hiệu quả
• Ước lượng của các phương sai bị chệch
Các kiểm định t và F không còn đáng tin cậy
3. Phát hiện phương sai sai số thay đổi
3.1. Xem xét đồ thị phần dư

• Sử dụng đồ thị phần dư đối với giá trị của X
i
hoặc giá trị
dự đoán
• Phương sai của phần dư được thể hiện bằng độ rộng
của biểu đồ rải của phần dư khi X tăng
• Nếu độ rộng của biểu đồ rải phần dư tăng hoặc giảm khi
X tăng thì có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
ˆ
i
Y
Ví dụ: Cho các số liệu quan sát về chi tiêu cho tiêu
dùng (Y) và thu nhập (X) hàng tháng của 20 hộ
gia đình ở một địa phương
2
Xác định hàm hồi quy mẫu:
Tính phần dư và sắp xếp theo thứ tự tăng dần
của X
i
ˆ
0,707476 0,91026
i i
Y X
 
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1

-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 10 20 30 40 50
Series1
Series2
3.2 Kiểm định Park
Giả sử σ
i
2
là hàm của biến X
i
.
Dạng hàm:
lnσ
i
2
= lnσ
2
+ β
2
lnX
i
+ V
i
σ
i

2
chưa biết nên sử dụng e
i
2
để thay thế
Ước lượng hồi quy:
lne
i
2
= lnσ
2
+ β
2
lnX
i
+ V
i
= β
1
+ β
2
lnX
i
+ V
i
;
Với β
1
= lnσ
2

B
1
: Ước lượng hồi quy gốc
B
2
: Từ hồi quy gốc thu được các phần dư e
i
và tính lne
i
2
B
3
: Ước lượng lne
i
2
= β
1
+ β
2
lnX
i
+ V
i
B
4
: Kiểm định GT H
0
: β
2
= 0 tức là không có hiện tượng

phương sai sai số thay đổi
2
2 2
i
V
i i
X e

 

3.3. Kiểm định Glejser
Các dạng hàm:
Kiểm định GT: H
0
: β
2
= 0
phương sai sai số không đổi
1 2
;
i i i
e X V
 
  
1 2
;
i i i
e X V
 
  

1 2
1
;
i i
i
e V
X
 
  
1 2
1
;
i i
i
e V
X
 
  
3
4. Biện pháp khắc phục
4.1. σ
i
2
đã biết
Sử dụng Phương pháp bình phương nhỏ
nhất tổng quát
Xét mô hình:
σ
i
2

= E(U
i
2
)
Chia cả 2 vế cho σ
i
:
Đặt: với X
oi
= 1
Ta có:
1 2
i i i
Y X U
 
  
0
1 2
i i i i
i i i i
Y X X U
 
   
  
* * *
0
0
; ;
i i i
i i i

i i i
X X U
X X U
  
  
* * * * * *
1 0 2
i i i i
Y X X U
 
  
khắc phục được hiện tượng phương sai
sai số thay đổi:
Ước lượng OLS:
Đặt
2
* * 2 2
2 2
1
( ) ( ) ( ) 1
i
i i i
i i
Var U E U E U

 
   
* * * *
1 2
ˆ ˆ

Y X
 
 








 
 
 
*
2
2
2
ˆ
i i i i i i i i
i i i i i
W W X Y W X WY
W W X W X




   
  
 

 
 
*
2
2
2
ˆ
( )
i
i i i i i
W
Var
W W X W X




  
i
2
1
W
i


4.2. σ
i
2
chưa biết
Xét mô hình HQ: Y

i
= β
1
+ β
2
X
i
+ U
i
Giả thiết 1:
Phương sai của sai số tỉ lệ với bình
phương của biến giải thích
σ
i
2
= σ
2
X
i
2
Chia cả 2 vế của mô hình gốc cho X
i
(≠ 0)
1
2 1 2
1
i i
i
i i i i
Y U

V
X X X X

  
     
Khắc phục được hiện tượng PSSSTĐ:
Giả thiết 2:
Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải
thích X
σ
i
2
= σ
2
X
i
Chia cả 2 vế của mô hình gốc cho
(X
i
>0)
 
 
2
2 2
2
2 2
2 2
1
i i
i i

i i i
U X
E V E E U
X X X


 
   
 
 
i
X
1
2 1 2
1
i i
i i i
i i i i
Y U
X X V
X X X X

  
     
4
Khắc phục được hiện tượng PSSSTĐ:
Giả thiết 3:
Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của
giá trị kỳ vọng của Y
σ

i
2
= σ
2
(E(Y
i
))
2
Chia cả 2 vế cho E(Y
i
):
 
2
2 2 2
1
. .
i
i i
i
i
U
E V E X
X
X
 
 
  
 
 
 

 
1 2
1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i i
i i i i i i
Y U
X X V
E Y E Y E Y E Y E Y E Y
 
 
     
 
 
 
 
 
 
22
2
2
i
2
i
ar V
Y
i
i

i
E Y
U
V E
E
E Y


 
 
 
  
 
 
 
 
 
Dùng làm ước lượng cho
E(Y
i
)
Giả thiết 4: Biến đổi dạng hàm
Định dạng lại mô hình
Ví dụ: thay cho việc ước lượng hồi quy
gốc ta ước lượng mô hình mới:
lnY
i
= β
1
+β

2
lnX
i
+U
i
1 2
ˆ ˆ
ˆ
i i
Y X
 
 