40 đề ôn thi học kỳ 2 môn toán lớp 11 pdf

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
2 − x − x2
x →1
x −1

1) lim

2) lim

x→ − ∞

2 x 4 − 3 x + 12

3) lim+
x →3

7x − 1
x −3

4) lim

x →3

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

 x 2 − 5x + 6

khi x > 3
f (x) =  x − 3
2 x + 1
khi x ≤ 3

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 = 0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3
a) y = x x 2 + 1
b) y =
(2 x + 5)2
x −1
2) Cho hàm số y =
.
x +1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = – 2.

x +1 − 2
9 − x2

x −2
.
2
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a 2 .
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vng.
2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .

4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y =

II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.
x3 + 8
Bài 5a. Tính lim
.
x → − 2 x 2 + 11x + 18
1
Bài 6a. Cho y = x 3 − 2 x 2 − 6 x − 8 . Giải bất phương trình y / ≤ 0 .
3
2. Theo chương trình nâng cao.
x − 2x −1
Bài 5b. Tính lim
.
x →1 x 2 − 12 x + 11
x 2 − 3x + 3
Bài 6b. Cho y =
. Giải bất phương trình y / > 0 .
x −1
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
Bài 1.

2 − x − x 2 lim (− x − 2)( x − 1) = lim(− x − 2) = −3
=
x →1
x →1
( x − 1)
x →1
x −1
3 12
4
= +∞
2) lim 2 x − 3 x + 12 = lim x 2 2 + +
x→ − ∞
x →−∞
x x4
1) lim

7x − 1
x →3 x − 3
Ta có: xlim+ ( x − 3) = 0, xlim+ (7 x − 1) = 20 > 0; x − 3 > 0 khi x → 3+ nên I = +∞
→3
→3
3) lim+

4) lim

x →3

Bài 2.

x +1 − 2
9 − x2

= lim

x →3 (3 +

x −3
x )(3 − x )( x + 1 + 2)

= lim

−1

x →3 ( x + 3)(

x + 1 + 2)

=−

1
24

 x 2 − 5x + 6

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x ) =  x − 3

2 x + 1


khi x > 3
khi x ≤ 3

• Hàm số liên tục với mọi x ≠ 3.
• Tại x = 3, ta có:
+ f (3) = 7

+ xlim− f ( x ) = xlim− (2 x + 1) = 7
→3
→3

+ lim+ f ( x ) = lim+
x →3

x →3

( x − 2)( x − 3)
= lim+ ( x − 2) = 1
( x − 3)
x →3

⇒ Hàm số không liên tục tại x = 3.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (−∞;3), (3; +∞) .
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 = 0 .
Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.
Ta có:
f (0) = 1 > 0 

+
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1) .
f (1) = −1 

f (2) = −1 < 0 
+
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3) .
f (3) = 13 > 0 

Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 3.
2x2 + 1
3
12
2
⇒ y' = −
1) a) y = x x + 1 ⇒ y ' =
b) y =
2
(2 x + 5)
(2 x + 5)3
x2 + 1
2
x −1
( x ≠ −1)
⇒ y′ =
x +1
( x + 1)2
a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y′ (−2) = 2 ⇒ PTTT: y + 3 = 2( x + 2) ⇔ y = 2 x + 1 .

2) y =

x −2
1
1
có hệ số góc k = ⇒ TT có hệ số góc k = .
2
2
2
1
2
1
x = 1
= ⇔  0
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y′ ( x0 ) = ⇔
2
2
2
( x0 + 1)
 x 0 = −3
b) d: y =

2


1
1
x− .
2
2

1
7
+ Với x0 = −3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = x + .
2
2
Bài 4.
1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
S
⇒ Các tam giác SAB, SAD vng tại A.
• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D.
2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).
3) • BC ⊥ (SAB) ⇒ ·SC ,(SAB) = ·BSC
A
D
• ∆SAB vuông tại A ⇒ SB 2 = SA2 + AB 2 = 3a2 ⇒ SB = a 3
O
BC
1
·
=
• ∆SBC vuông tại B ⇒ tan BSC =
⇒ ·BSC = 60 0
C
B
SB
3
+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 0 ⇒ PTTT: y =

(

)

4) Gọi O là tâm của hình vng ABCD.
• Ta có: (SBD) ∩ ( ABCD ) = BD , SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒ · SBD ),( ABCD ) = ·SOA
(

(

• ∆SAO vng tại A ⇒ tan ·SOA =
Bài 5a. I = lim

x →−2

SA
=2
AO

x2 + 8
x 2 + 11x + 18
 x 2 + 11x + 18 = ( x + 2)( x + 9) < 0,
 2

 x + 11x + 18 = ( x + 2)( x + 9) > 0,
 lim ( x 2 + 8) = 12 > 0
(*)
 x →−2


2

Ta có: lim ( x + 11x + 18) = 0 ,
x →−2

Từ (1) và (*) ⇒ I1 = lim −
x →−2

Từ (2) và (*) ⇒ I 2 = lim +
x →−2

Bài 6a. y =

)

x2 + 8
x 2 + 11x + 18
x2 + 8
x 2 + 11x + 18

khi x < −2
khi x > −2

(1)
(2)

= −∞ .
= +∞

1 3
x − 2 x 2 − 6 x − 18 ⇒ y ' = x 2 − 4 x − 6

3

BPT y ' ≤ 0 ⇔ x 2 − 4 x − 6 ≤ 0 ⇔ 2 − 10 ≤ x ≤ 2 + 10
Bài 5b. lim

x − 2x −1

x →1 x 2

Bài 6b. y =

− 12 x + 11

= lim

( x − 2 x − 1) ( x + 2 x + 11 )

x →1 ( x 2

− 12 x + 11) ( x + 2 x − 1 )

= lim

x →1 ( x − 11)

x 2 − 3x + 3
x2 − 2x
⇒ y' =
x −1
( x − 1)2

BPT y′ > 0 ⇔

( x − 1)

x2 − 2x

 2
x < 0
> 0 ⇔ x − 2x > 0 ⇔ 
.
2
x > 2
x ≠ 1
( x − 1)

=======================
3

( x+

2x −1)

=0


ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
I . Phần chung cho cả hai ban.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x→ − ∞

x 2 − x − 1 + 3x
2x + 7

3
2) lim (−2 x − 5 x + 1)
x→ + ∞

3) lim+
x→ 5

2 x − 11
5− x

4) lim

x→ 0

x3 + 1 − 1 .

Bài 2 .

x2 + x

 x3 − 1

1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) =  x − 1 khi x ≠ 1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
2m + 1 khi x = 1

2) Chứng minh rằng phương trình: (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 ln có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
2 − 2x + x2
a) y =
b) y = 1 + 2 tan x .
x2 − 1
2) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vng góc với d: x + 2 y − 3 = 0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi một vng góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC
1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn .
1
2
n −1
+
+ .... +
).
Bài 5a. Tính lim( 2
2

n +1 n +1
n2 + 1
Bài 6a. Cho y = sin 2 x − 2 cos x . Giải phương trình y / = 0 .
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho y = 2 x − x 2 . Chứng minh rằng: y 3 .y / / + 1 = 0 .
Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x ) =

64
x

3

−

60
− 3 x + 16 . Giải phương trình f ′ ( x ) = 0 .
x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2

Bài 1:



1 1
1 1
x  − 1− −
+ 3÷
x 1− −
+ 3x

÷
x x2
x x2
x 2 − x − 1 + 3x
 =1
1) lim
= lim
= lim 
x →−∞
x →−∞
x →−∞
2x + 7


7
7
x2+ ÷
x2+ ÷
x

x


5
1 
3
3
2) lim ( −2 x − 5 x + 1) = lim x  −2 − 2 + 3 ÷ = −∞
x →+∞
x →+∞
x
x 

2 x − 11
x →5 5 − x
 lim ( 5 − x ) = 0
 x →5+

Ta có:  lim+ ( 2 x − 11) = −1 < 0
 x →5
x > 5 ⇔ 5 − x < 0

3) lim+

4) lim

x →0

x3 + 1 − 1
x2 + x

= lim

x →0

x ( x + 1) (

⇒ lim
x →5

x3
x

3

+ 1 + 1)

+

2 x − 11
= +∞
5− x

= lim

x →0

( x + 1) (

x2

x

3

+ 1 + 1)

=0

Bài 2:
1) • Khi x ≠ 1 ta có f ( x ) =

x3 − 1
= x 2 + x + 1 ⇒ f(x) liên tục ∀ x ≠ 1 .
x −1

• Khi x = 1, ta có:

f (1) = 2m + 1

f (1) = lim f ( x ) ⇔ 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1
2
lim f ( x ) = lim( x + x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 ⇔
x →1

x →1
x →1

Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.
2) Xét hàm số f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.
Ta có: f (−1) = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m

⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m
Bài 3:
−2 − 2 x + x 2
2x2 + 2x + 2
1 + tan2 x
⇒ y' =
1) a) y =
b) y = 1 + 2 tan x ⇒ y ' =
x2 − 1
( x 2 − 1)2
1 + 2 tan x
2) (C): y = x 4 − x 2 + 3 ⇒ y′ = 4 x 3 − 2 x
x = 0
a) Với y = 3 ⇔ x − x + 3 = 3 ⇔  x = 1

 x = −1
4

2

• Với x = 0 ⇒ k = y′ (0) = 0 ⇒ PTTT : y = 3
• Với x = −1 ⇒ k = y′ (−1) = −2 ⇒ PTTT : y = −2( x + 1) + 3 ⇔ y = −2 x + 1
• Với x = 1 ⇒ k = y′ (1) = 2 ⇒ PTTT : y = 2( x − 1) + 3 ⇔ y = 2 x + 1
5


1
⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 .
2
3

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y′ ( x0 ) = 2 ⇔ 4 x0 − 2 x0 = 2 ⇔ x0 = 1 ( y0 = 3 )
b) d: x + 2 y − 3 = 0 có hệ số góc kd = −

⇒ PTTT: y = 2( x − 1) + 3 ⇔ y = 2 x + 1 .
Bài 4:
1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC
(1)
A
• ∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI)
2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)
3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ ·AB,( AOI ) = ·BAI

(

K

O

C
I

B

• BI =

(2)

)

BC a 2
=
2
2

• ∆ABC đều ⇒ AI =

BC 3 a 2 3 a 6
=
=
2
2
2

(

)

AI
3 ·
=
⇒ BAI = 300 ⇒ ·AB,( AOI ) = 300
AB
2
4) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ IK // OB ⇒ (·AI , OB ) = (·AI , IK ) = ·AIK
• ∆ABI vng tại I ⇒ cos·BAI =

• ∆AOK vuông tại O ⇒ AK 2 = OA2 + OK 2 =

5a2

4

IK
1
·
6 a2
a2
=
• IK 2 =
• ∆AIK vng tại K ⇒ cos AIK =
AI
6
4
4
 1
2
n −1 
1
+
+ ...
(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1))
Bài 5a: lim  2
÷ = lim 2
n2 + 1 
n +1
 n + 1 n2 + 1
1
1−
(n − 1) ( 1 + (n − 1) )
1

(n − 1)n
n =1
= lim
= lim
= lim 2
2
2 2
2
n +1
2(n + 1)
2+
n2
Bài 6a: y = sin 2 x − 2 cos x ⇒ y′ = 2 cos 2 x + 2sin x
• AI 2 =


π
 x = 2 + k 2π
sin x = 1

π
1 ⇔  x = − + k 2π
PT y ' = 0 ⇔ 2 cos 2 x + 2sin x = 0 ⇔ 2sin 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ 
sin x = −

6

2

7π

 x = 6 + k 2π

2
Bài 5b: y = 2 x − x ⇒ y ' =

1− x
2x − x2

−1

⇒ y" =

⇒ y3 y "+ 1 = 0

(2 x − x 2 ) 2 x − x 2
64 60
192 60
Bài 6b: f ( x ) = 3 − − 3 x + 16 ⇒ f ′( x ) = − 4 + 2 − 3
x
x
x
x
 x 4 − 20 x 2 + 64 = 0
192 60
 x = ±2
⇔
PT f ′( x ) = 0 ⇔ − 4 + 2 − 3 = 0 ⇔ 
 x = ±4
x
x

x ≠ 0
=====================

6


ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
3
2
1) lim (− x + x − x + 1)
x →−∞

4) lim

3

2

2 x − 5x − 2 x − 3

x →3 4 x 3

− 13 x 2 + 4 x − 3

2) lim −

x →−1

3x + 2
x +1
n

5) lim

3) lim

x →2

x +2 −2
x +7 −3

n

4 −5

2n + 3.5n

 3 3x + 2 − 2
khi x >2


f (x) =  x − 2
Bài 2. Cho hàm số:
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.
 ax + 1
khi x ≤ 2



4
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5).
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
5x − 3
1) y = 2
2) y = ( x + 1) x 2 + x + 1
x + x +1

3) y = 1 + 2 tan x

4) y = sin(sin x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng tại A, góc µ = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC)
B
vng góc với đáy; SB = a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC).
1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC.
3) Chứng minh: ∆BHK vng .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
x 2 − 3x + 2
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp
x +1
tuyến đó song song với đường thẳng d: y = −5 x − 2 .

Bài 6. Cho hàm số f ( x ) =

Bài 7. Cho hàm số y = cos2 2 x .

1) Tính y′′ , y′′′ .
2) Tính giá trị của biểu thức:

A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
Bài 1:

1 1
1 
3
2
3
1) lim (− x + x − x + 1) = lim x  −1 + − 2 + 3 ÷ = +∞
x →−∞
x →−∞
x x
x 


 lim ( x + 1) = 0
 x →−1−

3x + 2
3x + 2
lim −
= +∞
2) lim −
. Ta có:  lim − (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒
x →−1 x + 1
x →−1 x + 1
 x →−1
 x < −1 ⇔ x + 1 < 0

3) lim

x →2

4) lim

x +2 −2
x +7 −3

= lim

( x − 2) ( x + 7 + 3)

x →2 ( x − 2)

2 x3 − 5x 2 − 2 x − 3

x →3 4 x

3

2

− 13 x + 4 x − 3

(

x + 2 + 2)

2x2 + x + 1

x →2

x +7 +3
x+2 +2

=

3
2

11
x →3 4 x − x + 1 17

= lim
n

= lim

2

=

4
 5 ÷ −1
4 n − 5n
−1
= lim  
=
5) lim n
n
n
3
2 + 3.5
2
+3
5÷
 
 3 3x + 2 − 2


Bài 2: f ( x ) =  x − 2
 ax + 1


4

Ta có:

khi x >2
khi x ≤ 2

• f (2) = 2a +

• xlim+ f ( x ) = xlim+
→2
→2

3

1
4


1
1
• lim− f ( x ) = lim−  ax + ÷ = 2a +
4
4
x →2
x →2 

3x + 2 − 2
= lim+
x−2
x →2
( x − 2)

(

3( x − 2)
3

(3 x − 2)2 + 2 3 (3 x − 2) + 4

)

=

1
4

1 1
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = xlim− f ( x ) = xlim+ f ( x ) ⇔ 2a + = ⇔ a = 0
→2
→2
4 4
Bài 3: Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
Ta có:
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)
f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Bài 4:
1) y =

5x − 3
x2 + x + 1

⇒ y′ =

−5 x 2 + 6 x + 8
( x 2 + x + 1)2

2
2) y = ( x + 1) x + x + 1 ⇒ y′ =

8

4 x 2 + 5x + 3
2 x2 + x + 1


3) y = 1 + 2 tan x ⇒ y ' =

1 + 2 tan 2 x
1 + 2 tan x

4) y = sin(sin x ) ⇒ y ' = cos x.cos(sin x )

Bài 5:
1)

S
K

B

H
60

C

0

2)

3)
4)

A

( SAB ) ⊥ ( ABC ) 

( SBC ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SB ⊥ ( ABC )
( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB 


CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH
Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC
Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK)
Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vng tại H.
Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)
⇒ ·SA,( BHK ) = (·SA, KH ) = ·SHK

(

)

Trong ∆ABC, có: AC = AB tan µ = a 3; BC 2 = AB 2 + AC 2 = a2 + 3a2 = 4a2
B
Trong ∆SBC, có: SC 2 = SB 2 + BC 2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ SC = a 5 ; SK =
Trong ∆SAB, có: SH =

SB 2 a 5
=
SC
5

SB 2 a 2
=
SA
2

3a2
a 30
⇒ HK =
10
10
HK
60
15
⇒ cos ·SA,( BHK ) = cos·BHK =
=
=
SH

10
5
2
x + 2x − 5
x 2 − 3x + 2
Bài 6: f ( x ) =
⇒ f ′(x) =
x +1
( x + 1)2
Tiếp tuyến song song với d: y = −5 x − 2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = −5 .
Trong ∆BHK, có: HK 2 = SH 2 − SK 2 =

(

)

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: f ′( x0 ) = −5 ⇔

2
x0 + 2 x0 − 5

( x0 + 1)

• Với x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = −5 x + 2
• Với x0 = −2 ⇒ y0 = −12 ⇒ PTTT: y = −5 x − 22
1 cos 4 x
+
2
2
1) y′ = −2 sin 4 x ⇒ y " = −8cos 4 x ⇒ y '" = 32sin 4 x

Bài 7: y = cos2 2 x =

2) A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 = 8cos 4 x
==========================

9

2

x = 0
= −5 ⇔  0
 x 0 = −2


ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
3
2
1) lim (−5 x + 2 x − 3)
x →−∞

2) lim +
x →−1

3x + 2

x +1

3) lim

x →2

2− x
x +7 −3

 3n − 4n + 1 
÷
5) lim 
 2.4n + 2n ÷



( x + 3)3 − 27
x →0
x

4) lim

 x −1

khi x > 1
Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x ≤ 1


Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y =

2x2 − 6x + 5
2x + 4

2) y =

x2 − 2x + 3
2x + 1

3) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

4) y = sin(cos x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ (SAD )
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 :
1) Tại điểm M ( –1; –2)
1
2) Vng góc với đường thẳng d: y = − x + 2 .
9
Bài 7. Cho hàm số: y =

x2 + 2x + 2
. Chứng minh rằng: 2 y.y′′ − 1 = y′2 .
2

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

10


ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Bài 1:

2
3 
3
3
1) lim (−5 x + 2 x − 3) = lim x  −1 + 2 − 3 ÷ = +∞
x →−∞
x →−∞
x
x 

 lim ( x + 1) = 0
 x →−1+


3x + 2
3x + 2
= −∞
2) lim +
. Ta có:  lim + (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒ lim +
x →−1 x + 1
x →−1 x + 1
 x →−1
 x > −1 ⇒ x + 1 > 0

2− x

3) lim

x +7 −3

x →2

(2 − x ) ( x + 7 + 3 )
= lim − ( x + 7 + 3 ) = −6
x →2
x →2
x −2

= lim

( x + 3)3 − 27
x 3 + 9 x 2 + 27 x
= lim

= lim ( x 2 + 9 x + 27) = 27
x →0
x →0
x →0
x
x

4) 4) lim

n

n

3
1
 4 ÷ −1+  4 ÷
n
n
3 − 4 +1
  =−1
= lim  
5) lim
n
n
n
2
2.4 + 2
1
2+ ÷
2

 x −1

khi x > 1
Bài 2: f ( x ) =  x − 1
3ax
khi x ≤ 1

• f (1) = 3a

Ta có:

• lim+ f ( x ) = lim+
x →1

x →1

• xlim− f ( x ) = xlim− 3ax = 3a
→1
→1
x −1
= lim
x − 1 x →1+

1
x +1

=

1
2

1
1
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ f (1) = xlim− f ( x ) = xlim+ f ( x ) ⇔ 3a = ⇔ a =
→1
→1
2
6
Bài 3: Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.

f (0) = 0,1 > 0
⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (−1; 0)
f (−1) = −1001 + 0,1 < 0 

Bài 4:
2x2 − 6x + 5
4 x 2 + 16 x − 34 2 x 2 + 8x − 17
⇒ y' =
=
1) y =
2x + 4
(2 x + 4)2
2( x + 2)2
2) y =

x2 − 2x + 3
3x − 7
⇒ y' =
2x + 1
(2 x + 1)2 x 2 − 2 x + 3

y=


sin x + cos x
π
⇒ y = − tan  x + ÷⇒ y ' = −
sin x − cos x
4


3)

4) y = sin(cos x ) ⇒ y ' = − sin x.cos(cos x )



π 
= −  1 + tan 2  x + ÷÷
4 

π


cos2  x + ÷
4


11

1


Bài 5:
1)

S

2)
H
A

(

)

SA 2a
=
=2
AD a
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒ ·SB,(SAD ) = ·BSA
tan ·SDA =

B
O

D

• BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)

• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD)
• Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
SA ⊥ (ABCD) ⇒ ·SD,( ABCD ) = ·SDA

(

C

tan ·BSA =
• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
BO ⊥(SAC) ⇒ ·SB,(SAC ) = ·BSO .

(

)

AB a 1
=
=
SA 2a 2

)

OB 1
a 2
3a 2
, SO =
⇒ tan·BSO =
=
OS 3

2
2
3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.
OB =

1

=

1

+

1

=

1

+

1

AH 2 SA2 AD 2 4a2 a2
• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

⇒ AH =

BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO =

2a 5
2a 5
⇒ d ( A,(SCD )) =
5
5

a 2
2

Bài 6: (C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 6 x
1) Tại điểm M(–1; –2) ta có: y′ (−1) = 9 ⇒ PTTT: y = 9 x + 7
1
2) Tiếp tuyến vng góc với d: y = − x + 2 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 .
9
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
 x = −1
2
2
Ta có: y′ ( x0 ) = 9 ⇔ 3 x0 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔  0
 x0 = 3
• Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT: y = 9 x + 7
• Với x0 = 3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = 9 x − 25
x2 + 2x + 2
⇒ y′ = x + 1 ⇒ y′′ = 1
2
 x2

⇒ 2 y.y′′ − 1 = 2  + x + 1÷.1 − 1 = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2 = y′
 2



Bài 7: y =

( )

Đề số 5

2

=============================
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

A. PHẦN CHUNG:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

12


a) lim

2 n3 − 2 n + 3
1 − 4n3

b) lim

x +3 −2
x2 − 1

x →1

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x 2 + 3x + 2

khi x ≠ −2
f (x) =  x + 2
3
khi x = −2

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2sin x + cos x − tan x
b) y = sin(3 x + 1)

c) y = cos(2 x + 1)

d) y = 1 + 2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·BAD = 60 0 và SA = SB = SD = a.
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vng.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 (1)
a) Tính f '(−5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao


sin 3 x
cos3 x 
+ cos x − 3  sin x +
Bài 5b: Cho f ( x ) =
÷.
3

3 
Giải phương trình f '( x ) = 0 .
Bài 6b: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 2 x + 3 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 22 x + 2011
1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng ∆: y = − x + 2011
4
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5
13


Bài 1:
a) lim

b) lim

x →1

3

2n − 2n + 3
1 − 4 n3
x +3 −2
x2 − 1

= lim

= lim

2−

2

+

3

n2 n3 = − 1
1
2
−4
3
n

(

x + 3 − 2) ( x + 3 + 2)

x →1 ( x − 1)( x + 1)

 x 2 + 3x + 2

Bài 2: f ( x ) =  x + 2
3


(

x + 3 + 2)

= lim

x →1 ( x + 1)

(

1

x + 3 + 2)

=

1
8

khi x ≠ −2
khi x = −2

( x + 1)( x + 2)
= x + 1 ⇒ f(x) liên tục tại ∀x ≠ −2
x+2
• Tại x = −2 ta có: f (−2) = 3, xlim2 f ( x ) = xlim2( x + 1) = −1 ⇒ f (−2) ≠ xlim2 f ( x )
→−
→−
→−
• Khi x ≠ −2 ta có f ( x ) =

⇒ f(x) không liên tục tại x = –2.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (−∞; −2), (−2; +∞) .
Bài 3:
a) y = 2sin x + cos x − tan x ⇒ y ' = 2 cos x − sin x − 1 − tan 2 x
b) y = sin(3 x + 1) ⇒ y ' = 3cos(3 x + 1)
c) y = cos(2 x + 1) ⇒ y = −2sin(2 x + 1)
d) y = 1 + 2 tan 4 x ⇒ y ' =

8

cos2 4 x 2 1 + 2 tan 4 x

Bài 4:

4 ( 1 + tan2 4 x )
1 + 2 tan 4 x

Vẽ SH ⊥ (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Mặt khác ∆ABD có AB = AD và ·BAD = 60 0 nên ∆ABD đều.
Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H ∈ AO ⇒ H ∈ AC
 SH ⊂ (SAC )
⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD )
Như vậy, 
 SH ⊥ ( ABCD )

b)

H
O

B

=

a)

S

A

1

.

Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có AO =

D

C

a 3
⇒ AC = a 3
2

Tam giác SAC có SA = a, AC = a 3

2
1
a 3
a2
AO = AC =
⇒ AH 2 =
3
3
3
3
2
a
2 a2
Tam giác SHA vng tại H có SH 2 = SA2 − AH 2 = a2 −
=
3
3
2
2
2a 3
4a
4a 2 2 a2

HC = AC =
⇒ HC 2 =
⇒ SC 2 = HC 2 + SH 2 =
+
= 2a 2
3
3
3
3
3
SA2 + SC 2 = a2 + 2a2 = 3a2 = AC 2 ⇒ tam giác SCA vng tại S.
Trong ∆ABC, ta có: AH =

c) SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ d (S ,( ABCD )) = SH =

a 6
3

Bài 5a: f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 ⇒ f ′( x ) = 6 x 2 − 6
a) f ′(−5) = 144
b) Tại điểm Mo(0; 1) ta có: f ′(0) = −6 ⇒ PTTT: y = −6 x + 1
14


c) Hàm số f(x) liên tục trên R. f (−1) = 5, f (1) = −3 ⇒ f (−1). f (1) < 0
⇒ phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).

sin 3 x
cos3 x 
+ cos x − 3  sin x +

Bài 5b: f ( x ) =
÷ ⇒ f ′( x ) = cos3 x − sin x − 3(cos x − sin 3 x )
3

3 
1
3
1
3
PT f ′( x ) = 0 ⇔ cos3 x − 3 sin 3 x = sin x − 3 cos x ⇔ cos3 x −
sin 3 x = sin x −
cos x
2
2
2
2


π
π
π
x = 8 + k 2
π


π   4 x = 2 + k 2π
⇔
⇔ sin  − 3 x ÷ = sin  x − ÷ ⇔ 
7π
3

6


2 x = −
 x = − 7π + kπ
+ k 2π

6

12
3
2
Bài 6b: f ( x ) = 2 x − 2 x + 3 ⇒ f ′( x ) = 6 x − 2
a) Tiếp tuyến song song với d: y = 22 x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 22 .

 x = −2
2
2
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có f ′( x0 ) = 22 ⇔ 6 x0 − 2 = 22 ⇔ x0 = 4 ⇔  0
 x0 = 2
• Với x0 = −2 ⇒ y0 = −9 ⇒ PTTT : y = 22 x + 35
• Với x0 = 2 ⇒ y0 = 15 ⇒ PTTT : y = 22 x − 29
1
b) Tiếp tuyến vng góc với ∆: y = − x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 4 .
4
 x = −1
2
2
Gọi ( x1; y1 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có f ′( x1 ) = 4 ⇔ 6 x1 − 2 = 4 ⇔ x1 = 1 ⇔  1
 x1 = 1

• Với x1 = −1 ⇒ y1 = 3 ⇒ PTTT : y = 4 x + 7
• Với x1 = 1 ⇒ y1 = 3 ⇒ PTTT : y = 4 x − 1
===============================

15


ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
3x 2 − 4 x + 1
x2 − 9
a) lim
b) lim
x →1
x →−3 x + 3
x −1

x −2
c) lim
x →2 x + 7 − 3

d)

lim
x →−∞

x 2 + 2 − 3x
2x + 1

 x2 − x − 2

khi x ≠ 2
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) =  x − 2
.
 m
khi x = 2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

3

b) y = ( x − 1)( x + 2)

c) y =

4

1

2

d) y = x + 2 x

( x 2 + 1)2

 2x2 + 1 
e) y = 
÷
 x2 − 3 ÷



B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường
cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vng góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

SBD :. . . . . . . . . .

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 6
Câu 1:

3x 2 − 4 x + 1
( x −1)(3 x −1)
= lim
= lim (3 x − 1) = 2
x →1
x →1
x −1
x −1
2
b) lim x −9 = lim ( x − 3) = −6
x →−3 x +3 x →−3
x −2
= lim ( x + 7 + 3) = 6
c) lim
x →2 x + 7 −3 x →2
a) lim
x →1





2 
2
x  1+
− x  1+ + 3 ÷
÷−3 x

÷

÷
d)
x 2 + 2 −3 x
x2 
x2 


lim
= lim
= lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
2 x +1
2 x +1
2 x +1


2
− 1+ +3 ÷

÷

x2 

= lim
= −2
1
x →−∞
2+
x
2
 x − x −2

khi x ≠ 2
Câu 2: f ( x ) =  x − 2
 m
khi x = 2

• Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có
 ( x + 1)( x − 2)

, khi x ≠ 2 =  x + 1, khi x ≠ 2
f (x) = 
3 , khi x = 2 ⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2.
x −2
3
, khi x = 2 

Tại x = 2 ta có: f(2) = 3; xlim2 f ( x ) = xlim2( x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 2.
→
→

Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
 x2 − x − 2

khi x ≠ 2  x + 1 khi x ≠ 2
=
b) f ( x ) =  x − 2
khi x = 2
m
 m
khi x = 2

lim f ( x ) = 3
x →2
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = xlim2 f ( x ) ⇔ m = 3
→
5
4
Câu 3: Xét hàm số f ( x ) = x − 3 x + 5 x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
Ta có:
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)
Tại x = 2 ta có:

f(2) = m ,

f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4:
4

2

a) y ' = 5 x − 3 x + 4 x

b) y ' =

−4 x

( x 2 + 1) 3

c) y ' =
17

x +1
x2 + 2x

3

 2x2 + 3 
d) y ' = −

÷
2 2
x −3 ÷
2
( x − 3) 

56 x

Câu 5a:

b)

• AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)
SI ⊥ (ABC) ⇒ ·SB,( ABC ) = ·SBI

c)

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ ·SBI = 450
SB ⊥ (AMC) ⇒ ·SC ,( AMC ) = ·SCM

a)

S
M
A

I

C

(

)

(

)

Tính được SB = SC = a 2 = BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của
SB ⇒ ·SCM = 300

B
Câu 5b:
S

a)

K
H
C

D
O
A

M
B

b)

Xét tam giác SOB có OB =

 SO ⊥ ( ABCD )
• Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên 
 AC ⊥ BD
 SO ⊥ BD

⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ (SAC) ⊥ (SBD)
⇒
 AC ⊥ BD
 SO ⊥ (ABCD )
•
⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)
 SO ⊂ (SBD )
• Tính d (S ,( ABCD ))
SO ⊥ (ABCD) ⇒ d (S ,( ABCD )) = SO

a 2
7a 2
a 14
, SB = 2a ⇒ SO 2 = SA2 − OB 2 =
⇒ SO =
2
2
2

• Tính d (O,(SBC ))
Lấy M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM).
Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d (O,(SBC )) = OH
Tính OH:

a 14
2
2
2
 SO =


2 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ OH 2 = OM .OS = 7a ⇒ OH = a 210
∆SOM có 
30
30
OH 2 OM 2 OS 2
OM 2 + OS 2
OM = a


2
c) Tính d ( BD, SC )
Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC. Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vng góc chung của
BD và SC ⇒ d ( BD, SC ) = OK .
Tính OK:

a 14
2
2
2
 SO =

2 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ OK 2 = OC .OS = 7a ⇒ OK = a 7
∆SOC có 
4
OK 2 OC 2 OS 2
OC 2 + OS 2 16
OC = a 2


2

Đề số 7

========================
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

I. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →+∞

(

x2 + 5 − x

)

b) lim

x →−3

x+3
x2 − 9
18


 2x + 1

1
khi x ≠ −
 2

2
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 3 x + 1
1
A
khi x = −


2
1
2
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]: x 3 + 5 x − 3 = 0 .
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
a) y = ( x + 1)(2 x − 3)
b) y = 1 + cos2
2
Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 60 0 , đường
cao SO = a.
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y = 2 x 3 − 7 x + 1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.

Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC), SA= a. M
là một điểm trên cạnh AB, ·ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK ⊥ SH. Tính SK và AH theo a và ϕ .
2. Theo chương trình nâng cao
x2
x2 x3
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y = 1 − x +
và (C): y = 1 − x +
.
−
2
2
6
a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh a; SA = SB = SC
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −

a 5
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
2
a) Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).

= SD =

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 7
Câu 1:
a)

lim

x →+∞

(

)

SBD :. . . . . . . . . .

x 2 + 5 − x = lim

x →+∞

5
2

x +5+ x

= lim

x →+∞

19

5


5
x  1+
+ 1÷

÷
x2



=0


b) lim

x +3
2

1
1
=−
x →−3 x − 3
6

= lim

x −9
 2x + 1
1
 1
khi x ≠ −
 2



2
Câu 2: f ( x ) =  2 x + 3 x + 1
=  x +1
1
A
A
khi x = −




2
x →−3

1
2
1
khi x = −
2
khi x ≠ −

1
 1
1
f  − ÷ = A , lim1 x + 1 = 2
Tại x = − ta có:
x →−
2
 2
2
f ( x ) liên tục tại x = −

 1
1
1
f  − ÷ = lim
⇔ A=2
⇔  2
1 x +1
x →−
2
2

Câu 3: Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 5 x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
f (0) = −3, f (1) = 3 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) .
Câu 4:
a) y = ( x + 1)(2 x + 3) = 2 x 2 − x − 3 ⇒ y′ = 4 x − 1
2 x
⇒ y' =
b) y = 1 + cos

2

x
x
−2sin cos
sin x
2
2 =−
x
x
4. 1 + cos2
4. 1 + cos2
2
2

Câu 5:
a)

S

b)
H

• AB = AD = a, ·BAD = 60 0 ⇒ ∆BAD đều ⇒ BD = a
• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK).
Tính góc của SK và mp(ABCD)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ ·SK ,( ABCD ) = ·SKO

(

)

F

a
a 3
• ∆BOC có OB = , OC =
2
2
0
60
O
1
1
1
a 3
SO 4 3
K
⇒ tan·SKO =
=
+
⇒ OK =
=
2
2
2
4
B
A
OK

3
OK
OB
OC
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC ))
• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)
• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC )) = AH .
• ∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF
D

• ∆SOK có OK =

C

1
1
1
a 57
a 3
⇒ AH = 2OF = 2a 57
=
+
⇒ OF =
, OS = a ⇒
2
2
2
19
4

19
OF
OS
OK

Câu 6a: y = 2 x 3 − 7 x + 1 ⇒ y ' = 6 x 2 − 7
a) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 3, y′ (2) = 17 ⇒ PTTT : y = 17 x − 31
 x = −1
2
b) Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y′ ( x0 ) = −1 ⇔ 6 x0 − 7 = −1 ⇔  0
 x0 = 1
• Với x0 = −1 ⇒ y0 = 6 ⇒ PTTT : y = − x + 7
• Với x0 = 1 ⇒ y0 = −4 ⇒ PTTT : y = − x − 5
Câu 7a:
20


a)

S

K

A

M

ϕ
H

C

E

B

Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB
• SA ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiều của SH trên (ABC).
Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH.
• AC cố định, ·AHC = 90 0 ⇒ H nằm trên đường trịn đường kính
AC nằm trong mp(ABC).
Mặt khác:
+ Khi M → A thì H ≡ A
+ Khi M → B thì H ≡ E (E là trung điểm của BC).
Vậy quĩ tích các điểm H là cung ¼
AHE của đường trịn đường kính
AC nằm trong mp(ABC).
b) Tính SK và AH theo a và ϕ
• ∆AHC vng tại H nên AH = AC.sin·ACM = a sin ϕ
• SH 2 = SA2 + AH 2 = a2 + a2 sin2 ϕ ⇒ SH = a 1 + sin 2 ϕ

2
• ∆SAH vng tại A có SA = SK .SH ⇔ SK =

SA2
a
⇔ SK =
SH
1 + sin2 ϕ

x2
x2 x3
và (C): y = g( x ) = 1 − x +
.
−
2
2
6
x2
x2 x3
x2
a) f ( x ) = 1 − x +
⇒ f ′ ( x ) = −1 + x ; g( x ) = 1 − x +
−
⇒ g ′( x ) = −1 + x −
2
2
6
2
• f ′( x ) = g ′( x ) ⇔ x = 0

Câu 6b: (P): y = f ( x ) = 1 − x +

• f (0) = g(0) = 1 ⇒ đồ thị hai hàm số có ít nhất một tiếp tuyến chung tại điểm M(0;1) hay tiếp xúc
nhau tại M(0;1) .
b) Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm M(0;1) : y = − x + 1
Câu 7b:
a) Vì SA = SC nên SO ⊥ AC, SB = SD nên SO ⊥ BD
S
⇒ SO ⊥ (ABCD).

b) • I, J, O thẳng hàng ⇒ SO ⊂ (ABCD).
a 5
SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD)
2
• BC ⊥ IJ, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ (SIJ) ⇒ (SBC) ⊥ (SIJ)
H
A
⇒ · SBC ),(SIJ ) = 90 0
(
B
c) Vẽ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d (O,(SBC )) = OH
I
J
O
a 5
a 2
3a2
∆SOB có SB =
⇒ SO 2 = SB 2 − OB2 =
, OB =
a
2
2
4
C
D
2
1
1
1

3a
a 3
=
+
∆SOI có
⇒ OH 2 =
⇒ OH =
2
2
2
16
4
OH
SO
OI

(

Đề số 8
I. Phần chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
1
− x 5 + 7 x 3 − 11
lim 3
a)
x →+∞ 3 5
x − x4 + 2
4

)

=================
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

b) lim

x →5

x −1 − 2
x−5

21

c) lim

4 − x2

x →2 2( x 2

− 5 x + 6)


x4 5 3
+ x − 2 x + 1 . Tính f ′(1) .
2 3

2) Cho hàm số : f ( x ) =

Bài 2:

x2 + x
1) Cho hàm số f ( x ) = 
 ax + 1
2) Cho hàm số f ( x ) =

khi x < 1
. Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
khi x ≥ 1

x2 − 2x + 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm
x +1

có hồnh độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a và
khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
2
x
1) lim 9 x + 1 − 4 x
2) lim + 2
x →−2 x + 5 x + 6
x →−∞

3 − 2x
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 = 0 .
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:

lim

x →+∞

(

x +1 − x )

Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm:
(m 2 − 2m + 2) x 3 + 3 x − 3 = 0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) và SA =
a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là
hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đề số 8

ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1:

1
− x 5 + 7 x 3 − 11
= lim
1) a) lim 3
x →+∞ 3 5
x →+∞
4
x −x +2
4

SBD :. . . . . . . . . .

−1 7 11
+
−
4
3 x2 x5
=−
3 1 2
9
− +
4 x x5
22


b) lim

x →5

x −1 − 2

x −5
1
1
= lim
= lim
=
x →5 ( x − 5) ( x − 1 + 2 )
x →5 x − 1 + 2
x −5
4
4 − x2

c) lim

x →2 2( x 2

2) f ( x ) =

− 5 x + 6)

(2 − x )(2 + x )
−( x + 2)
2
= lim
=−
x →2 2( x − 2)( x − 3) x →2 2( x + 3)
5

= lim

x4 5 3
1
1
+ x − 2 x + 1 ⇒ f ′( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 +
⇒ f ′(1) = 5 +
.
2 3
2 2x
2 2

Bài 2:
1)

 2
f (x) =  x + x
 ax + 1

khi x < 1
khi x ≥ 1

2
• lim− f ( x ) = lim− ( x + x ) = 2, lim+ f ( x ) = a + 1 = f (1)

• f (1) = a + 1

x →1

x →1

x →1

• f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ xlim− f ( x ) = xlim+ f ( x ) = f (1) ⇔ a + 1 = 2 ⇔ a = 1
→1
→1
x2 + 2x − 5
x2 − 2x + 3
f ′( x ) =
2) f ( x ) =
⇒
x +1
( x + 1)2
1
1
3
Với x0 = 1 ⇒ y0 = 1 , f ′(1) = − ⇒ PTTT: y = − x +
2
2
2
Bài 3:
1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
D
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm
AH nên DI ⊥ AH
K
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD
(1)
A
B
I
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK
(2)
H
Từ (1) và (2) ta suy ra d ( AD, BC ) = HK
C
• Xét ∆DIA vng tại I ta có:
2

a 3
a2 a
DI = AD − AI = a
=
ữ =
2 ữ
4 2


2

2

2

a 3 a
1

1
.
ã Xột ∆DAH ta có: S = AH .DI = AD.HK ⇒
AH .DI
2 2=a 3
d ( AD, BC ) = HK =
=
2
2
AD
a
4
Bài 4a:
1) lim

x →−∞

2

9x + 1 − 4x
= lim
x →−∞
3 − 2x

− x. 9 +

1

x2
3 − 2x

− 4x

− 9+
= lim

x →−∞

23

1
x2

3
−2
x

−4
=

7
2


2) lim +
x →−2

x
2

x + 5x + 6

.

 lim x = −2 < 0
 x →−2+
x

2
= −∞
Vì  lim + ( x + 5 x + 6) = 0 ⇒ lim + 2
x →−2
x →−2 x + 5 x + 6
 2
 x + 5 x + 6 > 0, ∀ x > −2


Bài 5a:
1) Xét hàm số f ( x ) = 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
• f (−1) = −1, f (0) = 2 ⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (−1; 0)
• f (0) = 2, f (1) = −1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (0;1)
• f (1) = −1, f (2) = 26 ⇒ f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có một nghiệm c3 ∈ (1;2)
• Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 và PT f ( x ) = 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm thực.
2)
1
=0
Bài 4b: lim ( x + 1 − x ) = lim
x →+∞
x →+∞ x + 1 + x
Bài 5b:

1) Xét hàm số f(x) = f ( x ) = (m 2 − 2m + 2) x 3 + 3 x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
2

• Có g(m) = m 2 − 2m + 2 = ( m − 1) + 1 > 0, ∀m ∈ R
f (0) = −3, f (1) = m 2 − 2m + 2 > 0 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1)
2)
• Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD (1)
S
• SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA
CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH
(2)
• Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ (SCD)
⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P) (ABH)
• Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩ (SCD) = HI
I
⇒ HI // CD ⇒ thiết diện là hình thang AHIB.
H
Hơn nữa AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ HA
B
Vậy thiết diện là hình thang vng AHIB.
A

•

O
D

C

SD = SA2 + AD 2 = 3a2 + a2 = 2a

•

∆SAD có SA2 = SH .SD ⇒ SH =

SA2 3a2
3a
=
⇒ SH =
SD
2a
2

3a
HI SH
3
3
3a (3)
⇒
=
= 2 = ⇒ HI = CD =
CD SD 2a 4
4
4
1
1
1
1
1
4

a 3
(4)
=
+
=
+
=
⇒ AH =
2
2
2
2
2
2
2
AH
SA
AD
3a
a
3a
( AB + HI ) AH 1 
3a  a 3 7a2 3
S AHIB =
= a + ữ.
=
ã Từ (3) và (4) ta có:
.
2
2

4  2
16
=========================
ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Đề số 9
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau:
24


4
a) lim n + 2n + 2
2

n +1

b) lim
x →2

x3 − 8
x −2

c) lim

x →−1+

3x + 2
.

x +1

2) Cho y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 x2 − x − 2

3) Cho f ( x ) =  x − 2
5a − 3 x


khi x ≠ 2

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.

khi x = 2

Bài 2: Cho y = x 2 − 1 . Giải bất phương trình:

y′ .y < 2 x 2 − 1 .

·
·
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ·
AOB = AOC = 60 0 , BOC = 900 .
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vng góc chung OA và BC.

Bài 4: Cho y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến
song song với d: y = 9x + 2011.
Bài 5: Cho f ( x ) =

x2 − 1
. Tính f ( n ) ( x ) , với n ≥ 2.
x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đề số 9

SBD :. . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1:
25