Đề ôn thi học kỳ 2 môn toán lớp 11 - Đề số 35 pdf

WWW.VNMATH.COM
Đề số 35
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x
x x
2
3
3
lim
2 3
→−
+
+ −
b)
x
x
x
2
2
5 3
lim
2
→−
+ −
+

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:
x x
khi x
f x
x
a khi x
2
7 10
2
( )
2
4 2

− +

≠
=

−

− =

.
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2 3
( 1)( 2)= − +
b)
x

y
x
4
2
2
2 1
3
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a,
CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ AA′).
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn:
n
n
2
2
1 2 2 2
lim
1 3 3 3
+ + + +

+ + + +
.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y xsin(sin )=
. Tính:
y ( )
π
′′
.
b) Cho (C):
y x x
3 2
3 2= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục
hoành.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập
thành một cấp số cộng, với:
x a bc
2
= −
,
y b ca
2
= −
,
z c ab
2
= −

.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y x x.sin=
. Chứng minh rằng:
xy y x xy2( sin ) 0
′ ′′
− − + =
.
b) Cho (C):
y x x
3 2
3 2= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng d:
y = x
1
1
3
− +
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
WWW.VNMATH.COM
Đề số 35
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Ý Nội dung Điểm

1 a)
2
3 3
3 3
lim lim
( 3)( 1)
2 3
x x
x x
x x
x x
→− →−
+ +
=
+ −
+ −
0.50
3
1 1
lim
1 4
x
x
→−
= −
−
0.50
b)
( )
→− →−

+ − − +
=
+
+ + +
x x
x x x
x
x x
2
2 2
2
5 3 ( 2)( 2)
lim lim
2
( 2) 5 3
0.50
2 2
2 4 2
lim
6 3
5 36
x
x
x
→−
− −
= = = −
+ +
0.50
2

x x
khi x
f x
x
a khi x
2
7 10
2
( )
2
4 2

− +

≠
=

−

− =

2
2 2 2 2
7 10 ( 2)( 5)
lim ( ) lim lim lim( 5) 3
2 2
x x x x
x x x x
f x x
x x

→ → → →
− + − −
= = = − = −
− −
0,50
f(2) = 4 – a
( )f x
liên tục tại x = 2 ⇔
2
lim ( ) (2) 4 3 7
x
f x f a a
→
= ⇔ − = − ⇔ =
Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2.
0,50
3 a)
2 3 5 3 2
( 1)( 2) 2 2y x x y x x x= − + ⇒ = − + −
0,50
4 2
' 5 3 4y x x x⇒ = − +
0,50
b)
4 3
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 14
' 4
3 3 ( 3)

x x x
y y
x x x
   
+ + −
= ⇒ =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − −
   
0,50
− +
⇒ =
−
x x
y
x
2 3
2 5
56 (2 1)
'
( 3)
0,50
4
0,25
a)
Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
′ ′ ′
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥BC AC BC AA BC C C BC CK, (AA )
0,25

′ ′
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥AB A B KH A B KH AB CH AB AB CHK, ' ', ' ' ( )
P
0,50
b)
Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK).
Có
' ( ), ' ( ' ' ) ( ' ' ) ( )AB CHK AB AA B B AA B B CHK⊥ ⊂ ⇒ ⊥
0,50
2
0
(( ' ' ),( )) 90AA B B CHK =
0,50
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
Ta đã có
' ( )( )AB CHK cmt⊥
tại H nên
( ,( ))d A CHK AH=
0,25
( ), ' ( : ) ( ' ' ) 'AC BC gt CC AC gt lt AC CC B B AC CB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,25
= + = + = = +
2 2 2 2 2 2
, ' 2 2 2AB AC BC a b AB AB a b
0,25
Trong ∆ACB’ vuông tại C:
′ ′
⊥ ⇒ =
2
.CH AB AC AH AB

2 2 2
2 2
'
2
2( )
AC a a
AH
AB
AB
a b
⇒ = = =
+
0,25
5a
1
2
2 1
2 1
1.
1 2 2 2
2 1
lim lim
1 3 3 3 3 1
1.
3 1
n
n
n n
+
+

−
+ + + +
−
= =
+ + + + −
−
0,50
1
1
1
1
1
2 2
2.
3
2.2 2
3
lim lim 0
1
3 1
1
3
n
n
n
n
n
+
+
+

+
+
 
−
 ÷
−
 
= =
−
−
0,50
6a a)
Cho hàm số
y xsin(sin )=
. Tính:
y ( )
π
′′
.
= ⇒ = − −y x x y x x x x x' cos .cos(sin ) " sin .cos(sin ) cos .cos sin(sin )
0,50
π
⇒ = − − ⇒ =y x x x x y
2
" sin .cos(sin ) cos .sin(sin ) "( ) 0
0,50
b)
Cho (C):
y x x
3 2

3 2= − +
.
′
= −y x x
2
3 6
. Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0),
( ) ( )
− +B C1 3;0 , 1 3;0
0,25
Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT:
= − +y x3 3
0,25
Tiếp tuyến tại
( )
−B 1 3;0
có hệ số góc là k = 6 nên PTTT :
6 6 6 3y x= − +
0,25
Tiếp tuyến tại
( )
+C 1 3;0
có hệ số góc là k = 6 nên PTTT :
= − −y x6 6 6 3
0,25
5b CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành CSC,
với:
x a bc
2
= −

,
y b ca
2
= −
,
z c ab
2
= −
.
a, b, c là cấp số cộng nên
+ =a c b2
Ta có 2y =
2 2 2
2 2 , ( )b ca x z a c b a c− + = + − +
0,50
⇒
2 2 2 2 2
( ) 2 2 4 2 2 2 2 2x z a c ac b b ac b b ac y+ = + − − = − − = − =
(đpcm)
0,50
6b a)
Cho hàm số
y x x.sin=
. Chứng minh rằng:
xy y x xy2( sin ) 0
′ ′′
− − + =
.
Ta có
= + ⇒ = + − = −y x x x y x x x x x y' sin cos " cos cos sin 2cos

0,50
′ ′′
⇒ − − + = − + − + −xy y x xy xy x x x x x x y2( sin ) 2(sin cos sin ) (2cos )
0,25

= 0
0,25
b)
Cho (C):
y x x
3 2
3 2= − +
, d:
y = x
1
1
3
− +
.
Vì tiếp tuyến vuông góc với d:
y = x
1
1
3
− +
nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3
0,25
Gọi
x y
0 0

( ; )
là toạ độ của tiếp điểm.
⇒
′
= ⇔ − − = ⇔ = − = +y x x x x x
2
0 0 0 0 0
( ) 3 3 6 3 0 1 2; 1 2
0,25
Với
= − ⇒ = ⇒ = + −x y PTTT y x
0 0
1 2 2 : 3 4 2 3
0,25
3
Với
= + ⇒ = − ⇒ = − −x y PTTT y x
0 0
1 2 2 : 3 4 2 3
0,25
4