Ước lượng tần số sử dụng thuật toán Matrix Pencil

Đề tài: Ước lượng tần số bằng phương thức Matrix Pencil
GVHD Ths.Hán Trọng Thanh
SVTH Mai Xuân Hòa 20111596
Trần Văn Hoàn 20111606
BÁO CÁO ĐỒ ÁN 1
1
I. Mô hình dàn anten ULA
-
Anten ULA hay dàn chấn tử đồng pha ULA là loại anten mảng đơn giản nhất.
-
Cấu trúc dàn anten ULA:gồm M chấn tử đặt song song trên cùng một trục thẳng với cùng khoảng cách d.
-
Mỗi chấn tử trong hệ anten đóng vai trò là một nguồn đẳng hướng.
-
Các chấn tử hoạt động cùng pha với nhau tạo nên một hướng bức xạ duy nhất và để cho tín hiệu tới bộ xử lý
giữ nguyên được pha và biên độ so với tín hiệu tới anten
2
-
Với một nguồn sóng đến, tín hiệu nhận được tại phần tử 0 (phần tử tham chiếu) được biểu diễn dưới
dạng:
(2.1)
Trong đó: a(t) – biên độ của tín hiệu
- tần số sóng mang
- thành phần mang tin
– pha của tín hiệu
-
Khoảng cách từ anten đến tới nguồn tín hiệu r>>d. Do vậy tia sóng ở phần tử thứ I sẽ song song với tia
sóng ở phần tử tham chiếu, nhưng bị trễ đi 1 khoảng thời gian truyền dẫn:
(2.2)
với là thời gian trễ truyền dẫn giữa 2 phần tử kế tiếp


II. Tín hiệu thu được sau khi dàn anten ULA
3
-
Trong dàn anten ULA, có giá trị bằng
(2.3)
Trong đó: – góc tới của tia sóng xuất phát từ nguồn
c – vận tốc truyền ánh sáng
-
Từ (2.1), (2.2), (2.3) ta có tín hiệu nhận được ở phần tử anten thứ nhất:
(2.4)
-
Sử dụng đồng nhất thức Euler, đồng thời loại bỏ thành phần sóng mang của tín hiệu ta có dạng tín hiệu xét ở
phần tử thứ nhât là:


(2.5)
với: là hệ số truyền sóng

4
-
Do đó với phần tử thứ k của hệ ta có dạng tín hiệu nhận được
(2.6)
-
So sánh với dạng tín hiệu nhận được ở phần tử tham chiếu:

(2.7)
- Ta được dạng rút gọn của tín hiệu nhận được tại phần tử thứ k:

(2.8)
-

Tổng quát với M nguồn tín hiệu độc lập đến dàn anten, tín hiệu lấy mẫu tại phần tử anten thứ k lúc này sẽ là:

(2.9)
Trong đó: - là mẫu tín hiệu thu được tại phần tử thứ k tại thời điểm n
- là mẫu tín hiệu tới dàn anten (mẫu tín hiệu thu được tại phần tử tham chiếu) tại thời điểm n
– là mẫu tín hiệu nhiễu tại phần tử thứ k tại thời điểm n.
*

5
-
Do vậy ta có biểu diễn tổng quát của cả hệ như sau:
y (2.10)
ở đây: – được gọi là vector lái của dàn anten
(2.11)
- là các tín hiệu tới dàn anten với i=1D
n(t) là tín hiệu nhiễu M chiều
- Công thức thu gọn: U=AS+N (2.12)
Đây cũng là công thức thể hiện tín hiệu thu nhận được sau khi đi qua dàn anten

6
Xét tín hiệu nhiễu:
Trong đó: M- số tín hiệu đến
3.1 Đối với tín hiệu không nhiễu
-
Phương thức matrix pencil dựa trên tính chất của tín hiệu cơ bản. Một tính chất của tín hiệu mũ có thể được mô tả bởi:
(3.1)
(3.2)
Khi đó viết lại: và (3.3)
Trong đó: (3.4)


7
III. Phương thức Matrix Pencil
3.1 Đối với tín hiệu không nhiễu
-
Các định lý:

Mỗi giá trị của với i=1…M sẽ là số giảm hạng của ma trận bút chì nếu (3.5)

Nếu các giải pháp cho bài toán trị riêng tổng quát và giá trị kì dị (giá trị kì dị có được là do thực tế không có hạng cao nhất
trong trường hợp M<L<N-M như sau:
:pt(1) (3.6)
:pt(2) (3.7)
Tùy theo q thuộc , nó biểu thị không gian cột của và p thuộc R(). Trong đó
(cột thứ i của ma trận giả nghịch đảo
(hàng thứ I của )
i=1,2,….,M

8
III. Phương thức Matrix Pencil
3.1 Đối với tín hiệu không nhiễu:
lần lượt là vector riêng tổng quát bên phải và bên trái với giá trị riêng tổng quát . Dấu “+” biểu thị ma trận nghịch đảo. “H” biểu thị
ma trận chuyển vị liên hợp. “-1” biểu thị ma trận nghịch đảo
-
Từ pt(1) và pt(2) ta có:
:pt(3) (3.8)
3.2 Đối với tín hiệu nhiễu
-
Các định nghĩa tương tự như và thay thế các giá trị nghịch đảo bằng được cắt ngắn để được ma trận có hạng M

(3.9)
Trong đó: {; i=1,….M} là M giá trị kì dị lớn nhất của
là các vector kì dị

9
III. Phương thức Matrix Pencil
3.2 Đối với tín hiệu nhiễu
(3.10)

định nghĩa tương tự
= khi và chỉ khi nhiễu bằng 0
Từ đó: mà nên ta có:
(3.11)
(3.12)
-
Bây giờ có thể thấy ước lượng của z có thể được tìm ra bằng cách tính toán các giá trị riêng của ma trận không đối xứng
M*M sau:
(3.13)

10
III. Phương thức Matrix Pencil
4.1 Mô hình tín hiệu
-
Xét tín hiệu trong miền thời gian
(4.1)
Trong đó: K là thành phần tần số;
là biên độ phức tại tần số
-
Hàm thời gian được lấy mẫu tại N điểm cách đều nhau một khoảng
Từ đó: (4.2)

Với i=0,1,2…,N-1
-
Tín hiệu (4.2) có thể bị nhiễm bởi nhiễu và trở thành . Giả sử thêm vào nhiễu trắng Gauss với độ lớn trung bình bằng
không và phương sai . Khi đó:
z(iΔt) = g(iΔt)+w(iΔt) (4.3)
- Bài toán ước lượng tần số chính là ước lượng K thành phần tần số từ một tập hợp tín hiệu nhiễu đã biết , i=0,1,… ,N-1

11
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số
4.2 Phương pháp Total Forward-Backward Matrix Pencil
-
Xét 2 ma trận
(4.4)
(4.5)
Trong đó: * biểu thị cho liên hợp phức
L là tham số bút chì
j=0,1,….,L (4.6)
- Xây dựng ma trận bút chì: ( là một số phức vô hướng) để ước lượng các thành phần tần số, nhưng với t/h nhiễu, cách tốt nhất
đó là phân tích giá trị điểm kì dị trên ma trận “all data”.

12
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số
4.2 Phương pháp Total Forward-Backward Matrix Pencil
-
Ma trận “all data” được cho bởi: (4.7)
-
SVD của là:
Z
fb2(N-L)x(L+1)
= U

2(N-L)x2(N-L)
Σ
2(N-L)x(L+1)
V
H
(L+1)x(L+1)
(4.8)
Trong đó: H- biểu thị ma trận chuyển vị liên hợp
Σ = diag{σ
1
, σ
2
, …, σ
p
}; σ
1
≥ σ
2
≥ … ≥ σ
p
≥0
p = min {2(N-L), L+1}
U = [u
1
, u
2
, …, u
2(N-L)
]; Z
fb

u
i
= σ
i
v
i
, i = 1,….,p
V = [v
1
, v
2
, …, v
L+1
]; Z
fb
v
i
= σ
i
u
i
, i = 1,….,p
U
H
U = I, V
H
V = I

13
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số

4.2 Phương pháp Total Forward-Backward Matrix Pencil
Trong đó, là các giá trị điểm kì dị của
là vector kì dị bên trái thứ i và bên phải thứ I
-
Bài toán ước lượng có thể được cải thiện bằng cách lọc giá trị điểm kì dị, dùng K giá trị điểm kì dị lớn nhất của
Z’
fb2(N-L)x(L+1)
= U’
2(N-L)xK
Σ’
KxK
V’
H
Kx(L+1) (4.9)
trong đó:
Có K điểm kì dị lớn nhất của và các cột của U’ và V’ có được bằng cách rút vector điểm kỳ dị tương ứng với K giá trị điểm
kỳ dị
-
Phương trình được viết lại
Z’
fb
= U’Σ’V’
H
(4.10)

14
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số
4.2 Phương pháp Total Forward-Backward Matrix Pencil
Từ đó: (4.11)
(4.12)

có được bằng cách xóa cột thứ (L+1) và cột thứ nhất của V’
, (4.13)
- Xét ma

trận bút chì: (4.14)
Nhân hai vế với

ta được: (4.15)
Trong đó là ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose của
Viết lại: (4.16)

15
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số
4.2 Phương pháp Total Forward-Backward Matrix Pencil
-
Thay (4.12) và (4.15) vào (4.16), bài toán giá trị riêng tổng quát trở thành: (4.17)
-
Dễ thấy (4.17) tương đương:
(4.18)
là một nghiệm riêng tổng quát của kích thước KK.
Dùng giá trị riêng đặc trưng tổng quát của (4.18) để ước lượng các thành phần tần số

16
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số
4.3 Các bước ước lượng tần số bằng thuật toán Matrix pencil

Bước 1: Xây dựng ma trận Zfb, với các mẫu bị sai lệch và L thỏa mãn

Bước 2: Thực hiện SVD của Zfb, từ đó ước lượng K ( số thành phần tần số). Bài toán này tương đương

với giải nghiệm riêng . Giá trị điểm kỳ dị của , là căn bậc hai không âm của , là giá trị riêng của:
(4.19)

Bước 3: Rút và từ V’, trong đó V’ là cắt bỏ K của V

Bước 4: Ước lượng K tần số dùng K giá trị riêng đặc trưng tổng quát:
=Real()+jImag(); (4.20)
m=1,…,K

17
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số
4.3 Các bước ước lượng tần số bằng thuật toán Matrix pencil
-
Lại có những giá trị riêng phụ thuộc vào tần số theo công thức:
; m=1,…,K (4.21)
-
Từ (4.20) và (4.21) suy ra:

18
IV. Áp dụng vào ước lượng tần số