Skkn hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh trong dạy học chương tổ hợp, xác suất đại số giải tích 11 ở trường thpt

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
KINH TẾ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
CHƯƠNG TỔ HỢP, XÁC SUẤT - ĐẠI SỐ &
GIẢI TÍCH 11 Ở TRƯỜNG THPT

LĨNH VỰC: TOÁN

N
À
M
skkn


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 5
- - - - -  - - - - -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
KINH TẾ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
CHƯƠNG TỔ HỢP, XÁC SUẤT - ĐẠI SỐ &
GIẢI TÍCH 11 Ở TRƯỜNG THPT
LĨNH VỰC: TỐN

Nhóm tác giả : 1. Nguyễn Thị Ngọc Dun
2. Nguyễn Đình Thưởng
Tổ chun mơn : Tốn - Tin
Số điện thoại

: 0987733707

Năm học 2021 - 2022

skkn


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................. 1
2. Mục đích của đề tài ......................................................................................... 2
3. Tính mới và kết quả đạt được của đề tài ......................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG ............................................................................................. 3
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ................................................. 3
1.1. Cơ sở lí luận ................................................................................................. 3
1.1.1. Tư duy kinh tế ........................................................................................... 3
1.1.2. Các biểu hiện tư duy kinh tế của học sinh phổ thông ............................... 3
1.1.3. Các đặc trưng tư duy kinh tế của học sinh phổ thông .............................. 4
1.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................. 4
1.2.1. Cơ sở về chương trình, nội dung chương Tổ hợp - Xác suất trong
Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11 ................................................................. 4
1.2.2. Thực trạng dạy học chương Tổ hợp - Xác suất, Đại số - Giải tích 11
hiện nay ở trường THPH..................................................................................... 6
1.3. Các giải pháp để hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh
phổ thông........................................................................................................... 14
1.3.1. Các giải pháp chung ................................................................................ 14
1.3.2. Các giải pháp cụ thể để hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho
học sinh phổ thông qua dạy học mơn Tốn ...................................................... 14
2. BIỆN PHÁP HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY KINH TẾ

CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT ....................................................................................................... 16
2.1. Khi dạy học cần phải xem xét tính khả thi của vấn đề cần giải quyết....... 16
2.2. Sử dụng các bài tập có nhiều lời giải và phân tích để lựa chọn phương
án tối ưu nhằm đạt được hiệu quả cao .............................................................. 18
2.3. Xem xét các kiến thức toán học dưới góc độ thực tiễn ............................. 22
2.3.1. Thay thế các bài tập lí thuyết hàn lâm bằng các bài tập thực tế ............. 22
2.3.2. Sử dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài toán liên quan
đến thực tiễn ...................................................................................................... 23

skkn


2.3.3. Sử dụng kiến thức Toán học để áp dụng vào thực tiễn đời sống............ 26
3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................................... 31
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm................................................................. 31
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm............................................... 31
3.2.1. Công tác chuẩn bị.................................................................................... 31
3.2.2. Tổ chức thực nghiệm: ............................................................................. 31
3.2.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................ 32
3.3. Kết luận thực nghiệm sư phạm .................................................................. 38
PHẦN III: KẾT LUẬN ......................................................................................... 39
I. Các kết quả chính mà đề tài đã thu được ....................................................... 39
II. Hướng phát triển của đề tài .......................................................................... 39
III. Đề xuất, kiến nghị ....................................................................................... 39
LỜI KẾT ................................................................................................................ 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 41
PHỤ LỤC 1 ............................................................................................................ 42
PHỤ LỤC 2 ............................................................................................................ 44
PHỤ LỤC 3 ............................................................................................................ 46

skkn


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Đào tạo những người lao động phát triển tồn diện, có tư duy sáng tạo, có
năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước u cầu
đẩy mạnh cơng nghiệp hố, hiện đại hố gắn liền với phát triển nền kinh tế tri thức
và xu hướng tồn cầu hố là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta
hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần phải được đổi
mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư
duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học mơn Tốn
học là một yếu tố quan trọng.
Hiện nay, nước ta mỗi năm có hàng vạn thanh niên sau khi tốt nghiệp trung
học phổ thông đã trực tiếp lao động sản xuất ở các ngành nghề và cơ sở kinh tế
khác nhau. Một bộ phận khác được học lên ở các trường chuyên nghiệp, cao đẳng,
đại học để rồi trực tiếp hay gián tiếp lao động hoặc tham gia quản lí kinh tế. Họ là
những người phải đối đầu với nền kinh tế thị trường nhiều thành phần và sự phát
triển như vũ bão của khoa học, kĩ thuật và công nghệ. Họ luôn phải giải quyết các
bài toán kinh tế khác nhau do thực tiễn sản xuất u cầu. Vì vậy, việc giáo dục
tồn diện cho thế hệ trẻ xây dựng niềm tin, khả năng tư duy, nhất là tư duy kinh tế
là yêu cầu khách quan của cuộc sống mà bất cứ môn học nào trong nhà trường phổ
thơng cũng phải có trách nhiệm thực hiện tốt.
Tốn học là một mơn khoa học cơ bản, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều môn
học, nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã
hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ q trình sản xuất, được coi là chìa khố của sự
phát triển. Tuy nhiên, theo điều tra của tác giả, các em học mơn Tốn vì bắt buộc
hoặc mục đích thi cử, chỉ số ít học sinh u thích mơn Tốn bởi hầu như các em
vẫn chỉ nhận thấy nó là mơn học hàn lâm và là cơ sở tính tốn cho nhiều mơn học
khác. Mặc dù mơn Tốn có nhiều ứng dụng vào cuộc sống nhưng phần kiến thức

gắn liền với thực tế sản xuất dung lượng chưa nhiều và cịn mang nặng tính lý
thuyết, học sinh rất khó vận dụng kiến thức đã học vào đời sống sản xuất. Vì vậy
việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Toán là một vấn đề cấp thiết.
Chương Tổ hợp - Xác suất thuộc chương trình Đại số & Giải tích lớp 11 là
một nội dung kiến thức rất quan trọng, có nhiều phần kiến thức như: Quy tắc đếm,
Hốn vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp, xác suất và biến cố… có thể được áp dụng để nâng
cao hiệu quả kinh tế trong quá trình sản xuất, kinh doanh, lập kế hoạch đầu tư…
Tuy nhiên trong sách giáo khoa, phần kiến thức liên hệ thực tế còn hạn chế.
Ở nước ta, cho đến nay, trong lĩnh vực dạy học Toán học, đã có nhiều cơng
trình nghiên cứu về phát triển năng lực tư duy cho học sinh, như phát triển năng
lực tư duy sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề… Nhưng chưa có những cơng trình
nghiên cứu nào về phát triển tư duy kinh tế cho học sinh trong trường Phổ thơng.
Vì những lí do đã trình bày ở trên, chúng tơi chọn đề tài: “Hình thành và phát
1

skkn


triển tư duy kinh tế cho học sinh trong dạy học chương Tổ hợp - xác suất, Đại
số & Giải tích mơn Tốn lớp 11 ở trường trung học phổ thông” để thực hiện
trong sáng kiến kinh nghiệm này.
2. Mục đích của đề tài
Đề tài nhằm mục đích đưa ra một kiểu tiếp cận mới mẻ về tư duy trong hoạt
động dạy học, khi mà việc dạy học gắn liền với hoạt động sản xuất và tư duy kinh
tế. Đặc biệt nội dung mà sáng kiến này áp dụng là phần tổ hợp xác suất lớp 11 có
nhiều vấn đề liên quan đến thực tế mà sách giáo khoa chưa rèn luyện cho học sinh
tư duy này, phần liên hệ thực tế rất ít. Đây cũng là một hướng dạy học rất khác
trong Tốn học. Đề tài này góp phần thay đổi cách dạy và cách học của giáo viên
và học sinh để Tốn học khơng phải lý thuyết hàn lâm mà cịn là một mơn học có
nhiều ứng dụng và hấp dẫn. Đồng thời, đề tài cũng cung cấp một số kinh nghiệm

của chúng tơi.
3. Tính mới và kết quả đạt được của đề tài
Đây là đề tài tương đối mới, đảm bảo tính khoa học và ứng dụng cao.
Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa năng lực tư duy kinh tế, nâng cao chất
lượng học tập, tạo tiền đề cho việc tự học ở bậc đại học, sau đại học, đặc biệt có
nhiều ứng dụng cho cuộc sống sau này.
Đề tài thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu ở bộ mơn Tốn lớp 11-THPT cơ bản
- Thực nghiệm tại Trường THPT Nghi Lộc 5 - huyện Nghi Lộc -Tỉnh Nghệ An
- Thời gian thực hiện: từ năm học 2020-2021 đến năm học 2021-2022.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp thu thập, xử lý tài liệu, thông tin.
- Phương pháp khảo sát thực tế, phương pháp so sánh trước và sau khi áp
dụng các phương pháp hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh trong
dạy học chương Tổ hợp - xác suất - lớp 11
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu…

2

skkn


PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Tư duy kinh tế
Cụm từ “Tư duy kinh tế” đã được nhắc đến rất nhiều, tuy nhiên hầu như chưa
thấy tài liệu đưa ra định nghĩa tường minh về loại hình tư duy này cũng như nghiên
cứu về cấu trúc và thành phần của nó. Tuỳ theo từng vấn đề, nội dung cụ thể mà

người ta đưa ra cách hiểu về tư duy kinh tế khác nhau.
Chẳng hạn, trong triết lý kinh doanh, tư duy kinh tế là quan trọng nhất. Trong
đó tư duy kinh tế phải luôn lấy hiệu quả kinh tế làm mục tiêu cuối cùng, phải biết
nắm bắt cơ hội, phải mang tính tổng hợp liên ngành và bị ràng buộc bởi nhiều mối
liên hệ. Cuối cùng, tư duy kinh tế không chỉ phản ánh bản chất các quan hệ kinh tế
trong trong ý thức của chủ thể kinh tế mà còn là phương thức thực hiện. Cụ thể, tư
duy kinh tế của nhà kinh doanh được biểu hiện bằng lao động trí tuệ của họ thơng
qua các nhiệm vụ sau:
- Đề ra và lựa chọn chiến lược kinh doanh tối ưu trong cơ chế thị trường có sự
quản lý của Nhà nước theo định hướng xã hội chủ nghĩa
- Quyết định quản trị
- Tổ chức hành động thực hiện quyết định điều hành doanh nghiệp
- Kiểm tra thực hiện quyết định quản trị.
Một số quan điểm lại cho rằng tư duy kinh tế là sự phản ánh vào ý thức con
người các hiện tượng, quá trình và quy luật của nền sản xuất xã hội dưới dạng một
hệ thống khái niệm. Cùng với những quy luật phổ biến của tư duy nói chung, tư
duy kinh tế có những quy luật vận động đặc thù. Nó ra đời và phát triển trong quá
trình hoạt động thực tiễn sản xuất xã hội của con người, để nhằm giải quyết những
nhiệm vụ thực tiễn đặt ra. Mỗi cơ chế quản lí đều dựa trên cơ sở tư duy kinh tế
nhất định, do vậy tư duy kinh tế có nhiệm vụ nhận thức và cải biến nền sản xuất xã
hội. Đối tượng phản ánh của tư duy kinh tế ở nước ta hiện nay là nền kinh tế thị
trường theo định hướng xã hội chủ nghĩa. Tư duy kinh tế phục vụ cho những
nhiệm vụ kinh tế trên các hạch toán và kinh doanh, từ tổ chức sản xuất, chế biến
sản phẩm thành hàng hoá, bảo quản và tiêu thụ sản phẩm, ...
1.1.2. Các biểu hiện tư duy kinh tế của học sinh phổ thông
Đối với học sinh THPT, tư duy kinh tế có thể được biểu hiện qua các yếu
tố sau:
- Tư duy quản trị: Thể hiện qua sự phân công, sắp xếp công việc…
- Tư duy chiến lược: Thể hiện qua các việc dự kiến các phương án thực hiện,
dự kiến kinh phí, nhân lực, các phương tiện cần thiết,… lựa chọn được phương án

tối ưu phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện sẵn có.
3

skkn


- Tư duy thực hiện quản trị: Tiến hành thực hiện dự án và có phương án để
giải quyết các vấn đề phát sinh…
- Tư duy thực tiễn: Điều chỉnh các tính tốn theo lí thuyết để phù hợp với
thực tiễn, vận dụng những kinh nghiệm sẵn có vào thực tiễn…
1.1.3. Các đặc trưng tư duy kinh tế của học sinh phổ thông
Nội dung nghiên cứu của đề tài là hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho
học sinh THPT thơng qua dạy học Tốn. Đây mới chỉ là bước đầu đặt nền móng
cho sự phát triển tư duy kinh tế của học sinh sau này. Chính vì lẽ đó, chúng tơi xin
đề xuất rằng Tư duy kinh tế của học sinh THPT là một loại hình tư duy được đặc
trưng bởi các thành phần sau:
- Xem xét tính khả thi của vấn đề cần giải quyết;
- Lựa chọn phương án tối ưu nhằm đạt được hiệu quả cao;
- Xem xét các kiến thức đã học dưới góc độ thực tiễn.
1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Cơ sở về chương trình, nội dung chương Tổ hợp - Xác suất trong
Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11
1.2.1.1 Mục tiêu dạy học chương Tổ hợp - Xác suât
a. Kiến thức
Học sinh trình bày được các khái niệm:
- Hai quy tắc đếm (quy tắc cộng và quy tắc nhân)
- Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phép thử, phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu,
biến cố và xác suất của biến cố.
- Biến cố đối, biến cố xung khắc, biến cố độc lập, công thức cộng, công thức
nhân xác suất.

Học sinh nhận ra được:
- Phép thử ngẫu nhiên, biến cố đối, biến cố xung khắc.
- Điều kiện sử dụng công thức cộng và công thức nhân xác suất.
b. Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng nhận biết các phép toán hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong
các bài toán thực tế.
- Xác định được không gian mẫu và số kết quả của không gian mẫu.
- Xác định được các biến cố, số kết quả thuận lợi cho biến cố, nhận biết mối
quan hệ giữa các biến cố.
- Tính tốn đúng các phép tính có liên quan đến hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp,
các phép tốn tính xác suất và tính chất xác suất.
4

skkn


- Kỹ năng chuyển đổi ngơn ngữ bài tốn kinh tế, tình huống thực tế và bài
tốn tổ hợp xác suất.
c. Tình cảm, thái độ
- Thơng qua việc học khái niệm cơ bản về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác
suất, học sinh hiểu biết thêm về các nhà Toán học và các nghiên cứu của họ, tiệm
cận thêm độ nhạy bén về việc giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Từ đó cũng
giúp học sinh biết ơn với các nhà khoa học và tập được đức tính hợp tác khoa học
của các thế hệ các nhà khoa học.
- Những kiến thức mà học sinh học được trong chương này đều thiết thực và
gần gũi với sản xuất và đời sống hàng ngày, điều đó càng góp phần tạo hứng thú,
khuyến kích các em chăm học để có tài năng thực sự giúp ích cho xã hội.
d. Định hướng phát triển phẩm chất và năng lực
- Năng lực chung:
+ Năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác thông qua hoạt động nhóm.

+ Năng lực tự học phần luyện tập.
+ Năng lực sử dụng công nghệ thông tin, năng lực sử dụng ngôn ngữ.
- Năng lực chuyên biệt:
+ Năng lực thực hành tốn học
+ Năng lực tính tốn, xử lí số liệu.
+ Năng lực giải quyết vấn đề
+ Năng lực vận dụng kiến thức toán học vào cuộc sống
+ Năng lực quản trị, năng lực tổ chức hành động… (tư duy kinh tế)
- Phẩm chất:
+ Tự lập, tự tin, tự chủ và có tinh thần vượt khó.
+ Có trách nhiệm với bản thân, cộng đồng, đất nước và môi trường tự nhiên,
chủ động, tích cực tham gia và vận động người khác tham gia các hoạt động hữu
ích, đưa ra những phương án hữu ích giúp ta có sự lựa chọn đúng đắn, những
phương thức sản xuất, kinh doanh hiệu quả nhất.
1.2.1.2. Nội dung dạy học chương Tổ hợp - Xác suất
Chương Tổ hợp-Xác suất có thời lượng khoảng 17 đến 20 tiết (tùy thuộc có
sắp xếp tiết tự chọn hay không) chủ yếu tập trung vào các nội dung
- Quy tắc đếm
- Định nghĩa về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
- Các định nghĩa về phép thử, phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố
và xác suất của biến cố.
5

skkn


- Các khái niệm về biến cố xung khắc và biến cố đối các phép tốn, các tính
chất của xác suất.
- Dấu hiệu nhận biết các loại biến cố đặc biệt như biến cố đối, biến chắc
chắn, biến cố không thể, biến cố xung khắc.

- Bản chất của các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Mặc dù trong mục tiệu dạy học chương này khẳng định những kiến thức mà
học sinh học được trong chương này đều thiết thực và gần gũi với sản xuất và đời
sống kinh tế và sinh hoạt hàng ngày nhưng nội dung trong sách giáo khoa lại thể
hiện cịn q ít điều đó.
1.2.2. Thực trạng dạy học chương Tổ hợp - Xác suất, Đại số - Giải tích 11
hiện nay ở trường THPH
1.2.2.1. Thực trạng về hoạt động dạy của giáo viên
Tiến hành khảo sát giáo viên giảng dạy mơn Tốn trên địa bàn tỉnh Nghệ An
năm học 2020-2021, 2021-2022 (mẫu phiếu như Phụ lục 1, khảo sát thơng qua
hình thức tạo bảng mẫu trên google, gửi link cho đối tượng cần khảo sát). Kết quả
thu được như sau:
Kết quả điều tra về thực trạng sử dụng phương pháp dạy học chương Tổ hợp Xác suất nhằm phát triển tư duy kinh tế cho học sinh THPT (có tổng 32 GV tham
gia khảo sát).
1. Thầy (cơ) cho biết loại hình mà trường mình dạy?
32 câu trả lời

Tư thục

0

Bán công

0

Dân lập

0

Công lập

32 (100%)

0

5

10

15

20

25

30

35

6

skkn


2.Theo thầy (cơ) đánh giá thì nội dung chương Tổ hợp-Xác suất trong
chương trình Đại số_Giải tích 11 như thế nào?
32 câu trả lời
Dễ

5 (16,6%)

Bình thường

9 (28,1%)

Khó

10 (31,3%)

Q khó

0
0

2

4

6

8

10

12

3. Thầy (cơ) có nhận xét gì về vai trị chương Tổ hợp_Xác suất trong
chương trình hiện nay ?
32 câu trả lời

Rất quan trọng

28(87,5%)

Bình thường

4(12,5%)

Khơng quan trọng

0
0

5

10

15

20

25

30

4. Trong năm học 2020-2021 tổ/ nhóm chun mơn có thường xun tổ
chức thảo luận về dạy học chương Tổ hợp _Xác suất không ?
32 câu trả lời
Hơn 1 lần/ kỳ

3 (9,4 %)

1 lần/ kỳ

3 (9,4%)

1 lần/năm

12 (37,5%)

Không tổ chức lần nào

16 (50%)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

7

skkn


5. Trong dạy học Tổ hợp _Xác suất, thầy (cô) sử dụng phương pháp nào
sau đây là nhiều nhất ?
32 câu trả lời
Các phương pháp hiện đại

3 (9,4 %)

Vấn đáp

9 (28,1%)

Nêu và giải quyết vấn đề

15 (46,9%)

Thuyết trình

5 (15,6%)
0

2

4

6

8

10

12

14

16

6. Khi dạy học chương Tổ hợp _Xác suất, thầy (cơ) có thường xun sử
dụng hình thức hoạt động nhóm và thảo luận không ?
32 câu trả lời
Chỉ trong tiết thao giảng

6 (18,8%)

Thường xuyên

6 (18,8%)

Thỉnh thoảng

18 (56,3%)

Không bao giờ

2 (6,3%)
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

7. Khi sử dụng bài tập phần Tổ hợp_Xác suất, thầy (cơ) có thường xuyên
hướng dẫn học sinh trả lời theo nhiều cách khơng ?
32 câu trả lời
Khơng bao giờ

0

Rất ít

3

Bình thường

12

Thường xun

17
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

8

skkn


8. Khi dạy học phần Tổ hợp_Xác suất, thầy (cô) có thường xuyên liên hệ
kiến thức đã học với thực tiễn khơng ?
32 câu trả lời

Khơng bao giờ

0

Rất ít

0

Thỉnh thoảng

10 (31,3%)

Thường xuyên

22 (68,8%)
0

5

10

15

20

25

9. Khi dạy học phần Tổ hợp_Xác suất, thầy (cơ) có thường xun hướng
dẫn và tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức đã học để làm ra các sản
phẩm thực tế và áp dụng vào đời sống sản xuất không ?
32 câu trả lời
Không bao giờ

4 (12,5%)

Rất ít

15 (46,9%)

Thỉnh thoảng

9 (28,1%)

Thường xuyên

4 (12,5%)
0

2

4

6

8

10

12

14

16

* Ưu điểm của thực trạng:
- Đa số giáo viên đã xác định được tầm quan trọng của chương Tổ hợp - Xác
suất trong chương trình Tốn học THPT.
- Trong q trình giảng dạy phần đông giáo viên đã kết hợp nhiều phương
pháp dạy học, khi giải bài tập về chương này, giáo viên đã hướng dẫn học sinh giải
bài tập theo nhiều cách để phát huy tính tích cực của học sinh.
- Nhiều giáo viên thường xuyên liên hệ kiến thức phổ thông vào thực tiễn.
* Nhược điểm của thực trạng:
- Phần đông giáo viên chưa đánh giá đúng nội dung kiến thức của chương
này, có đến 68,8% số giáo viên tham gia khảo sát cho rằng nội dung của chương
này là dễ hoặc bình thường, mặc dù trong chương này có những bài tập rất khó.
9

skkn

- Các tổ/nhóm chun mơn chưa có sự quan tâm đúng mức với chương Tổ
hợp - Xác suất, có đến 90,6% tổ/nhóm chun mơn có giáo viên được khảo sát tổ
chức thảo luận chương Tổ hợp - Xác suất không quá 1 lần/năm.
- Rất ít giáo viên hướng dẫn và tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức đã
học để làm ra các sản phẩm thực tế và áp dụng vào đời sống sản xuất.
Như vậy qua kết quả điều tra, đa số các giáo viên đều thấy tầm quan trọng của
chương Tổ hợp - Xác suất, tuy nhiên các tổ/nhóm chun mơn chưa quan tâm
đúng mức vấn đề này.
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng chưa thường xuyên hướng dẫn và
tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức đã học để làm ra các sản phẩm thực tế và
áp dụng vào đời sống sản xuất.
Trong thực tế giảng dạy Tốn ở trường phổ thơng, thơng qua dự giờ, tham gia
các cuộc họp rút kinh nghiệm giờ dạy ở tổ chuyên môn, chúng tôi thấy rằng, các
thầy cô giáo cũng không thường xuyên liên hệ với thực tiễn trong qúa trình dạy
học Tốn ở trường phổ thơng, có giáo viên hầu như khơng quan tâm.
1.2.2.2. Thực trạng về hoạt động học của học sinh
Tiến hành khảo sát học sinh lớp 11, 12 năm học 2020-2021, 2021-2022 trên
địa bàn tỉnh Nghệ An (mẫu phiếu như Phụ lục 2, khảo sát thơng qua hình thức tạo
bảng mẫu trên google, gửi link cho đối tượng cần khảo). Kết quả thu được như sau:
Kết quả điều tra về thực trạng sử dụng phương pháp học chương Tổ hợp Xác suất nhằm phát triển tư duy kinh tế cho học sinh THPT (có 158 học sinh tham
gia khảo sát).
1. Em có dự định chọn mơn Tốn làm một trong các mơn xét tuyển vào
ĐH, CĐ hay khơng ?
158 câu trả lời

Khơng

69 (43,7%)

Có

89 (56,3%)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10

skkn

2. Điểm tổng kết mơn Tốn của em trong năm học/ học kì gần đây nhất.
158 câu trả lời

Trên 8,0

41 (25,9%)

Từ 6,5 đến dưới 8,0

53 (36,1%)

Từ 5,0 đến 6,5

57 (33,5%)

Dưới 5,0

7 (4,4%)
0

10

20

30

40

50

60

3. Em học Tốn vì ngun nhân chính nào?
158 câu trả lời
Vì có nhiều kiến thức áp dụng vào cuộc
sống

18 (11,4%)

Vì u thích

15 (9,5%)

Vì phục vụ thi cử

83 (52,5)

Vì bắt buộc

42 (26,6%)
0

20

40

60

80

100

4. Theo em đánh giá thì nội dung kiến thức chương Tổ hợp _Xác suất trong
chương trình Đại số_ Giải tích 11 như thế nào?
158 câu trả lời

Dễ

9 (5,7%)

Bình thường

53 (33,5%)

Khó

81 (51,3%)

Q khó

15 (9,5%)
0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

11

skkn


5. Khi giải bài tập Tổ hợp _Xác suất, em có thường xun giải bài tập theo
nhiều cách khơng ?
158 câu trả lời
khơng bao giờ

87 (55,1%)

Rất ít

43 (27,2%)

Thỉnh thoảng

20 (12,7%)

Thường xuyên

8 (5,1%)
0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

6. Khi học phần Tổ hợp_Xác suất, em có thường xuyên liên hệ kiến thức
đã học với thực tiễn khơng?

158 câu trả lời
Khơng bao giờ

8 (5,1%)

Rất ít

64 (40,5%)

Thỉnh thoảng

53 (33,5%)

hường xuyên

33 (20,9%)
0

10

20

30

40

50

60

70

7. Khi học phần Tổ hợp _Xác suất, em có thường xuyên vận dụng kiến
thức đã học để làm ra các sản phẩm thực tế và áp dụng vào đời sống sản
xuất không ?
158 câu trả lời
Không bao giờ

46 (29,1%)

Rất ít

63 (39,9%)

Thỉnh thoảng

47 (29,7%)

Thường xuyên

2 (1,3%)
0

10

20

30

40

50

60

70

12

skkn


*Ưu điểm của thực trạng:
- Còn khá nhiều học sinh được khảo sát đang theo học mơn Tốn, 56,3% số
học sinh chọn mơn Tốn làm mơn xét tuyển ĐH, CĐ.
- Đa số học sinh được khảo sát có kết quả học tập khá.
- Đa số học sinh đã xác định đúng tầm quan trọng cũng như nội dung kiến
thức của chương Tổ hợp-xác suất.
* Nhược điểm của thực trạng:
- Có đến 79,1% số học sinh khảo sát học mơn Tốn vì những lí do bắt buộc
- Khi học sinh học chương Tổ hợp-xác suất, chưa thường xuyên giải quyết
vấn đề theo nhiều cách.
- Có rất ít học sinh có thể liên hệ kiến thức đã học vào thực tiễn cũng như áp
dụng vào đời sống sản xuất.
Từ kết quả điều tra cho thấy, đa số học sinh chọn mơn Tốn vì lí do bắt buộc,
các em chưa có niềm u thích đối với mơn Tốn, các em đều nhận thấy chương
Tổ hợp - xác suất khó và quan trọng, tuy nhiên hầu như học sinh chưa liên hệ được
kiến thức đã học vào thực tiễn cũng như chưa vận dụng được kiến thức đã học vào
đời sống sản xuất.
1.2.2.3. Đánh giá, phân tích thực trạng

Những tình trạng trên, có thể là do những nguyên nhân chính sau đây:
Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
Các sách giáo khoa mặc dù đã đưa vào một số nội dung, hình ảnh liên quan đến
phép thử, các thí nghiệm, sản xuất nhưng vẫn chưa quan tâm nhiều đến tính thực
tiễn, chưa giúp học sinh vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế. Các đầu
sách tham khảo, ngồi một số ít sách tham khảo về phép thử, các tình huống vui
trong Tốn học, cịn lại các đầu sách đều chủ yếu tóm tắt lí thuyết, rèn luyện cho
học sinh các “mẹo”, kĩ năng giải bài tập. Bên cạnh đó, số lượng bài tập mang nội
dung thuần túy kiến thức hàn lâm dành cho mỗi tiết học là khá nhiều đã khiến
nhiều giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch bài giảng. Một lý do nữa là
khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của của giáo viên còn gặp nhiều
khó khăn.
Thứ hai, do u cầu vận dụng Tốn học vào thực tế không được đặt ra một
cách thường xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá (tức là trong các đề thi cịn
rất ít nội dung như vậy). Mặt khác, do áp lực trong thi cử, kết hợp với bệnh thành
tích của nền giáo dục phổ thơng nước ta trong một thời gian dài nên dẫn đến lối
dạy học “phục vụ thi cử”, chỉ chú ý dạy những gì học sinh đi thi. Lối dạy phục vụ
thi cử như hiện nay cũng là một nguyên nhân góp phần tạo nên tình trạng này.
Thứ ba, cịn một ngun nhân nữa là trong chương trình và quá trình đào tạo
ở các trường Sư phạm, tình hình “ứng dụng” (trong giáo trình, trong đánh giá,
13

skkn


trong dạy học,...) cũng xảy ra tương tự. Khi còn ngồi trên giảng đường, những
người giáo viên tương lai cũng chỉ chủ yếu học trên lí thuyết mà thơi, thiếu hẳn
tính thực tiễn trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Tóm lại, sở dĩ có tình trạng trên là do hệ thống Giáo dục và Đào tạo của nước
ta chưa chú trọng nhiều đến việc liên hệ kiến thức đã học vào thực tiễn, chưa có

nhiều các hoạt động trải nghiệm thực tế cho học sinh, trong chương trình phổ
thơng kiến thức mang tính hàn lâm cịn nhiều trong đó yếu tố giáo viên và sách
giáo khoa là hai yếu tố chính.
1.3. Các giải pháp để hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học
sinh phổ thơng
Dựa vào những nghiên cứu về cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn cũng nhưng kết
quả khảo sát về tình hình dạy học của giáo viên và học sinh. Chúng tơi xin đề xuất
một số giải pháp để hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh phổ thơng
qua dạy học mơn tốn học
1.3.1. Các giải pháp chung
Nâng cao chất lượng các buổi sinh hoạt chuyên môn, tăng cường trao đổi xây
dựng các chuyên đề, dự án trong dạy học mơn Tốn. Bám sát nội dung chương
trình nhưng kết hợp với điều kiện thực tiễn của địa phương, đưa mơn Tốn gắn liễn
với thực tiễn sản xuất.
Tăng cường các hoạt động thực tiễn cho học sinh, khuyến khích, hướng dẫn, tạo
điều kiện cho học sinh tham gia các dự án STEM, nghiên cứu khoa học… Để các em
có thể áp dụng kiến thức đã học vào thực tiễn, giúp học sinh u thích mơn Tốn hơn.
Thực hiện đổi mới kiểm tra đánh giá: đánh giá năng lực vận dụng giải quyết
vấn đề thực tiễn.
1.3.2. Các giải pháp cụ thể để hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho
học sinh phổ thông qua dạy học mơn Tốn
Rõ ràng có thể khẳng định rằng tiềm năng của mơn Tốn trong việc phát triển
tư duy kinh tế cho học sinh rất lớn. Câu hỏi đặt ra là: Khai thác tiềm năng đó như
thế nào? Bằng cách nào để khai thác các tiềm năng đó? Dưới đây, chúng tơi sẽ đưa
ra một số giải pháp, từ đó làm cơ sở để đề xuất một số giải pháp dạy học nhằm
hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho học sinh THPT thông qua dạy học
chương Tổ hợp-Xác suất trong chương trình Đại số - Giải tích lớp 11.
1.3.2.1. Trong dạy học cần phải xem xét tinh khả thi của vấn đề cần giải quyết
Trong kinh tế, khi đứng trước một cơng việc cần giải quyết thì điều đầu tiên là
cần phải xem xét xem với khả năng của mình liệu rằng cơng việc đó có làm được

hay khơng hoặc chỉ có thể giải quyết được một phần cơng việc đó. Việc giải quyết
vấn đề đó phụ thuộc vào yếu tố khách quan và chủ quan. Yếu tố khách quan ở đây
có thể là cơng việc đó khơng thể giải quyết được, cịn yếu tố chủ quan nó phụ
14

skkn


thuộc vào khả năng và năng lực của người giải quyết nó. Những vấn đề cần phải
xét tính giải được trong Toán học gặp rất nhiều. Khi đứng trước một bài tập hoặc
một vấn đề mang tính Tốn học thì chúng ta cũng cần phải xem xét xem với lượng
kiến thức của mình thì liệu rằng có giải quyết được vấn đề đó khơng hay chỉ là một
phần của vấn đề.
Trong lịch sử Tốn học có những vấn đề được nêu ra nhưng nhân loại đã mất
cả nghìn năm vẫn không thể giải quyết nổi. Nếu ngay từ đầu, nhân loại đã nhận ra
những vấn đề trên là thiếu tính thực tế và khơng có tính khả thi thì đã tiết kiệm
được rất nhiều thời gian, công sức và của cải.
Vậy, khi đứng trước một vấn đề, một bài tập cần giải quyết thì chúng ta cần
phải xem xét đến tính khả thi, tính giải được của nó.
1.3.2.2. Trong dạy học cần khai thác nhiều phương án giải quyết vấn đề từ đó
lựa chọn phương án tối ưu nhằm đạt được hiệu quả cao
Trong sản xuất - kinh doanh thì vấn đề hiệu quả được đặt lên hàng đầu. Để
làm được điều đó thì lựa chọn phương án tối ưu là việc làm rất cần thiết. Điều này
cũng được thể hiện rõ trong dạy học mơn Tốn, đó là khi đứng trước một bài toán,
một vấn đề với nhiều cách giải quyết khác nhau thì cần phải lựa chọn cách giải
quyết hợp lí nhằm tiết kiệm thời gian, lượng kiến thức và từ đó có thể rút ra những
kết luận, những hệ quả quan trọng để áp dụng cho những vấn đề, bài tập tương tự.
1.3.2.3. Trong dạy học cần xem xét các kiến thức Tốn học dưới góc độ thực
tiễn nhằm nâng cao mối liên hệ giữa lí thuyết và thực tiễn cũng như nâng cao năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh

Toán học là môn khoa học cơ bản. Tuy nhiên, với nội dung chương trình và
phương pháp dạy học Tốn học hiện này, việc liên hệ kiến thức đã học với thực
tiễn cũng như việc áp dụng kiến thức vào đời sống sản xuất đang cịn nhiều hạn
chế. Việc xem xét Tốn học dưới góc độ thực tiễn chính là chiếc cầu nối đưa Toán
học gần hơn với thực tiễn. Trong dạy Toán, cần phải đưa ra các bài tốn, các vấn
đề có nội dung thực tiễn nhằm giúp học sinh bước đầu làm quen với những vấn đề
xảy ra trong cuộc sống. Tuy nhiên, để làm được điều đó thì trước hết và quan trọng
nhất học sinh cần phải nắm chắc những kiến thức phổ thông mà tài liệu sách giáo
khoa đã biên soạn. Vì rằng khi đứng trước các sự kiện thực tế hàng ngày, nếu học
sinh không nắm vững kiến thức cơ bản, khơng có năng lực thực hành và vận dụng
kiến thức đã học vào thực tiễn thì thường khó khăn trong việc xác định phương
hướng giải quyết vấn đề, khơng phân tích được mối quan hệ nhân - quả và tương
quan của các yếu tố kinh tế. Vì vậy, phải tự đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng tích cực, mà cốt lõi là học sinh phải biết tự học, tự phát triển. Việc tự học có
thể được xem là chiếc cầu nối quá trình học tập của học sinh với quá trình nghiên
cứu khoa học, tạo ra khả năng phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí những vấn đề
nảy sinh trong thực tiễn, đây là mặt mạnh của tư duy kinh tế.
15

skkn


2. BIỆN PHÁP HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY KINH TẾ
CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG TỔ HỢP XÁC SUẤT
Dựa theo cơ sở khoa học cùng với khái niệm tư duy kinh tế và các định hướng
trên chúng tôi xây dựng, đề xuất biện pháp trong dạy học mơn Tốn trong khn
khổ chương Tổ hợp - Xác suất, Đại số - Giải tích 11 theo hướng hình thành và phát
triển tư duy kinh tế cho học sinh trung học phổ thông.
2.1. Khi dạy học cần phải xem xét tính khả thi của vấn đề cần giải quyết
Có những bài tập Tốn có thể tìm ra kết quả bằng các phương pháp áp dụng

công thức thông thường, nhưng giả thiết bài tập đưa ra lại không tồn tại, hoặc rất ít
xảy ra trong thực tế. Trong quá trình học mơn Tốn, nếu học sinh nhận rõ được
những điều này thì sau này trong kinh tế, đứng trước những dự án, những cơ hội
của bản thân, học sinh có thể nhận ra với khả năng của mình, có thể giải quyết
được dự án đó hay khơng, dự án đó liệu có thực tiễn và thành cơng hay khơng.
Bài tốn 1: Hai học sinh có cuộc tranh luận như sau:
Bạn An cho rằng “Đối với các môn thi trắc nghiệm khơng cần phải học thì
khi thi THPT quốc gia cũng sẽ có điểm, thậm chí có điểm 10”.
Bạn Bình cho rằng “ Nếu không học thi THPT quốc gia có thể khơng bị điểm
0 nhưng chắc chắn sẽ khơng đạt được điểm cao và không thể đạt điểm 10”.
Với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay trong kỳ thi THPT quốc gia, nếu một
mơn thi có 50 câu hỏi, em hãy cho biết trong cuộc tranh luận trên ai đúng, ai sai?
Em rút ra bài học gì hay có nhận xét gì qua việc giải quyết vấn đề trên?
Giải:
Mỗi câu trắc nghiệm có 4 phương án trả lời nên khơng gian mẫu có n() = 450
Chỉ có duy nhất 1 khả năng điểm 10
Xác suất để khi thi THPT Quốc gia điền ngẫu nhiên cả 50 câu và được 10
điểm bài thi trắc nghiệm khách quan là: n(10) =

1
450

7,89.10−31

Mỗi câu trắc nghiệm đều có 3 phương án sai
Xác suất để đạt 0 điểm là: n(0) =

350
450

5, 67.10−7

Phân tích kết quả:
Cả hai bạn An và Bình đều trả lời có ý đúng, có ý sai.
+ Bạn An cho rằng điền ngẫu nhiên có thể đạt 10 điểm là đúng, tuy nhiên xác
suất rất nhỏ (gần như thực tế không diễn ra), tuy nhiên bạn khẳng định không thể
bị điểm 0 là sai dù xác suất xảy ra cũng rất thấp.
16

skkn


+ Bạn Bình đúng khi cho rằng có thể khơng bị điểm 0, nhưng không thể đạt
điểm 10 là sai dù thực tế gần như khơng khi nào xảy ra.
Ngồi ra, qua phân tích kết quả xác suất để đạt một số mốc điểm như trên, ta
thấy được khả năng bị điểm kém cao hơn rất nhiều khả năng để đạt được điểm
trung bình, điểm khá khi chọn ngẫu nhiên các đáp án.
Qua vấn đề trên chúng ta thấy rằng nếu không học đi thi gần như sẽ bị điểm
kém vì xác suất xảy ra cao hơn. Từ đó giúp học sinh có ý thức học tập tốt hơn hạn
chế tư tưởng phó mặc cho may rủi.
Bài tập 2: Một đội học sinh giỏi có 15 em gồm 6 em giỏi Văn và 9 em giỏi
Toán. Chọn ngẫu nhiên 1 em học sinh đi dự hội thảo. Tính xác suất chọn được học
sinh giỏi cả 2 mơn Văn và Tốn.
Với bài tốn này có thể học sinh sẽ nhận ra khơng có em nào giỏi cả hai mơn.
Nên rõ ràng đây là biến cố khơng thể.
Với chương trình giáo dục hiện nay, các bài tập như thế này được cho là các
bài tập đưa ra các tình huống khơng xảy ra, tuy nhiên với chương trình giáo dục
phổ thơng mới theo định hướng năng lực người học, sẽ có nhiều loại bài tập
“không giải được” nhắm phát triển cho học sinh năng lực phát hiện vấn đề. Khơng
phải bất kì vấn đề gì mình cũng đầu tư thời gian, cơng sức… để giải quyết, mà phải

xem xét lại vấn đề đó có thể giải quyết được hay khơng, hay có phù hợp với hồn
cảnh, điều kiện của mình hay khơng.
Trong kinh tế, khi đứng trước một công việc cần giải quyết thì điều đầu tiên
là cần phải xem với khả năng của mình liệu rằng cơng việc đó có làm được hay
khơng hoặc chỉ có thể giải quyết được một phần cơng việc đó. Việc giải quyết vấn
đề đó phụ thuộc vào yếu tố khách quan và chủ quan. Yếu tố khách quan ở đây có
thể là cơng việc đó khơng thể giải quyết được, cịn yếu tố chủ quan nó phụ thuộc
vào khả năng và năng lực của người giải quyết nó. Khi đứng trước một vấn đề
Tốn học thì chúng ta cũng cần phải xem xét xem với lượng kiến thức của mình thì
liệu rằng có giải quyết được trọn vẹn vấn đề đó khơng hay chỉ là một phần của nó.
Trong q trình giải quyết nó, nhờ tích luỹ thêm được kiến thức mới nên đã giải
quyết được trọn vẹn vấn đề. Điều này thường thấy trong thực tiễn. Chẳng hạn có
một dự án đầu tư, với số vốn và phương tiện kỹ thuật hiện có, nhà đầu tư khơng thể
thực hiện được cả dự án đó. Tuy nhiên họ có thể giải quyết được một số hạng mục
của dự án. Trong quá trình thực hiện các hạng mục đó, nhờ biết cách huy động vốn
và phương tiện kỹ thuật nên có thể giải quyết được cả dự án.
Trong quá trình dạy học, việc định hướng giúp học sinh nhận ra tính thực tiễn,
tính khả thi của vấn đề Tốn học có thể hình thành và phát triển tư duy kinh tế cho
học sinh.
17

skkn


Định hướng vấn đề Toán học

Phát triển tư duy kinh tế

Vấn đề Tốn học này có thực tiễn hay Dự án này có thực tế hay khơng, có
khơng, có mâu thuẫn gì hay khơng?

vướng mắc gì về pháp lí, mơi trường...
hay khơng?
Mình có đủ kiến thức để giải quyết
trọn vẹn vấn đề Tốn học này hay
khơng? Hay chỉ giải quyết được một
phần?

Với số vốn và phương tiện kỹ thuật
hiện có thì mình có thực hiện trọn vẹn
dự án này hay khơng? Hay chỉ thực
hiện được một hạng mục nào đó...

2.2. Sử dụng các bài tập có nhiều lời giải và phân tích để lựa chọn
phương án tối ưu nhằm đạt được hiệu quả cao
Trong dạy học Tốn, việc có rất nhiều bài tập với nhiều cách giải khác nhau
và việc lựa cách chọn công cụ nào để giải quyết bài tập đó là khâu rất quan trọng,
nó giúp cho học sinh tiết kiện được thời gian, công sức và đặc biệt là có thể sử
dụng phương pháp đó để giải quyết các bài toán tương tự hoặc đưa ra cách giải cho
bài toán tổng quát. Và điều này cũng rất có ích cho học sinh sau này vì thực tiễn
hoạt động sản xuất - kinh doanh hết sức sôi động và đa dạng, đặc biệt là trong điều
kiện cạnh tranh quyết liệt của cơ chế thị trường. Các nhà quản lý doanh nghiệp
thường xuyên phải đưa ra quyết định lựa chọn giải pháp, phương án hành động.
Mặc dù bị ràng buộc, bị hạn chế bởi hàng loạt các điều kiện liên quan tới tiềm năng
của doanh nghiệp, điều kiện của thị trường và hoàn cảnh tự nhiên, xã hội nhưng
khả năng lựa chọn cũng khá lớn. Quyết định lựa chọn của các nhà quản lý đều gắn
với mục đích nhất định và đó là sự lựa chọn tối ưu theo mục tiêu đặt trước.
Đứng trước một vấn đề, một bài tập tốn, giáo viên hướng dẫn học sinh tìm
tịi, đưa ra cách giải quyết tối ưu, tiết kiệm được thời gian, cơng sức. Từ đó, bước
đầu hình thành tư duy kinh tế cho học sinh, giúp các em trong tương lai, khi đứng
trước một dự án, một cơng trình hay một quyết định, các em sẽ lựa chọn được

phương án tối ưu phù hợp với điều kiện, hoàn cảnh và đem lại hiệu quả kinh tế cao
nhất. Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1:Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân
lưu 11m. Huấn luyện viên mỗi đỗi cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự
5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ đá luân lưu 5 quả 11m. Hãy tính xem huấn luyện viên
của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ.
A. 462

B. 55

C. 55440

D. 11!.5!.

Hướng dẫn giải:
Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân.
Đá quả thứ nhất: 11 cách chọn
Đá quả thứ hai: 10 các h chọn
18

skkn


Đá quả thứ ba: 9 cách chọn
Đá quả thứ tư: 8 cách chọn
Đá quả cuối: 7 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân, có 11.10.9.8.7=55440 cách chọn .
Cách 2: Sử dụng chỉnh hợp
Việc chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ rồi sắp xếp 5 cầu thủ theo một thứ tự là một
tổ hợp chập 5 của 11. Số cách chọn là P115 = 55440 .

Cách giải nào trong hai cách giải trên là tối ưu? Mỗi một cách giải có cái
hay của nó.
- Cách 1 cho ta lời giải quen thuộc, khắc sâu lại những kiến thức và điều
kiện để sử dụng quy tắc nhân cho học sinh.
- Cách 2 ngắn gọn, lại giúp học sinh nhận biết được phép tốn chỉnh hợp
một cách rõ rang.
Ví dụ 2: Một túi 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao
nhiêu cách lấy mà 4 viên bi có đủ cả hai màu.
A. 300

B. 310

C. 320

D. 330.

Hướng dẫn giải:
Cách 1: Phân chia trường hợp
Các viên bi lấy ra có đủ 2 màu nên ta có các trường hợp
Số bi trắng

Số bi xanh

Số cách chọn

1

3

C61  C53

2

2

C62  C52

3

1

C63  C51

Vậy có tất cả C61  C53 + C62  C52 + C63  C51 = 310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Dùng phần bù
Số cách chọn 4 viên tùy ý từ 11 viên bi là C114 cách
Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là: C64 cách
Số cách chọn 4 viên bi màu xanh là : C54 cách
Vậy có tất cả C114 − (C54 + C64 ) = 310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong hai cách giải trên bạn chọn cách nào? Cách giải thứ nhất tuy dài dòng
nhưng là phương pháp cơ bản, đồng thời giúp học sinh ôn lại kiến thức đã học. Ưu
điểm của cách này là giúp học sinh phân chia được các khả năng có thể xảy ra của
19

skkn


một công việc. Cách giải thứ hai rất gọn gàng, có thể sử dụng giải những bài tốn
ở mức độ phức tạp hơn nhưng học sinh cần phải được trang bị lượng kiến thức về
phần bù hoặc các tình huống ngược lại.

Như vậy, tuỳ vào từng đối tượng học sinh và tuỳ vào từng lớp học, cấp học mà
với một bài tốn thì người giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh cách giải quyết hợp lí.
Điều này được thể hiện khá rõ trong các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Một chiếc xe đua có 2 động cơ. Xác suất gặp sự cố của mỗi động cơ
lần lượt là 0,4 và 0,5. Biết rằng xe vẫn chạy được khi một trong hai động cơ hoạt
động bình thường. Tính xác suất để xe đua chạy hết được quãng đường.
A. 0,8

B. 0,9

C. 0,5

D. 0,6.

Hướng dẫn giải:
Cách 1: Tính trực tiếp
Xe vẫn chạy được nếu một trong hai động cơ gặp sự cố, hoặc cả 2 khơng có
sự cố nào nên xác suất xe vẫn chạy hết quãng đường là:

0, 4  0,5 + 0, 6  0,5 + 0, 6  0,5 = 0,8 .
Cách 2: Dùng biến cố đối
Xác suất để xe không thể đi hết quãng đường là cả hai động cơ đều gặp sự cố:

0, 4  0,5 = 0, 2
Xác suất để xe đi hết quãng đường là: 1 − 0, 2 = 0,8 .
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000 thỏa mãn số đó có
chứa ít nhất một chữ số 1.
A. 254

B. 252

C. 272

D. 271.

Hướng dẫn giải:
Cách 1: Giải trực tiếp (theo quy tắc cộng)
Phân chia ra các số tự nhiên làm 3 nhóm: có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số
Tiếp tục xác định tập các số tự nhiên có chứa chữ số 1 nằm trong 3 nhóm trên
Gọi A1 , A2 , A3 lần lượt là tập các số tự nhiên có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số
thỏa mãn mỗi chữ số đều xuất hiện ít nhất một chữ số 1  n( A1 ) = 1
Ta có A2 = 1b  a1, a  0 nên (do số 11 xuất hiện 2 lần)
Tập A3 có ba chữ số ta chia ra loại 3 loại: 3 chữ số 1, 2 chữ số 1 và 1 chữ số 1 nên
n( A3 ) = 1 + (9 + 9 + 8) + (9.9 + 8.9 + 8.9) = 252

Vậy có 1 + 18 + 252 = 271 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
20

skkn


Cách 2: Giải bài tốn đối (gián tiếp)
Thay vì đi lập các số có chứa chữ số 1, ta sẽ đi tìm số các số khơng chứ số 1.
Ta sẽ lập các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 mà không chứa chữ số 1.
Đặt A = 0; 2;3; 4;5;6;7;8;9 . Từ A ta sẽ lập các số nguyên dương:
-Số có 1 chữ số: có 8 số thỏa mãn
-Số có 2 chữ số: có 8.9 = 72 số thỏa mãn
-Số có 3 chữ số: có 8.9.9 = 648 số thỏa mãn
Vậy các số nguyên dương nhỏ hơn 1000 mà có chưa ít nhất 1 chữ số 1 là
999 - 8 - 72 - 648 = 271 số thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

Ta thấy rõ ràng các bài tốn có nhiều trường hợp nên việc giải theo quy tắc
cộng phân chia từng trường hợp sẽ mất nhiều thời gian. Chưa kể nếu bài tốn thay
đổi từ 1000 thành 10000, 100000,… thì ta không thể làm theo cách liệt kê trực
tiếp, mà buộc ta làm theo cách 2.
Dấu hiệu nhận biết bài toán theo phần bù này thường là bài toán xuất hiện
các cụm từ đáng lưu ý “có ít nhất”, “có tối đa một”, “có mặt”, “khơng có mặt”,
“bắt đầu bởi”,…
Sau đây là một số bài tập tương tự:
Ví dụ 5: Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra 5 học sinh trong đó cả nam và nữ?
A. 455

B. 7

C. 456

D. 462.

Ví dụ 6: Để chào mừng ngày thành lập Đồn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường
tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ.
Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học
sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khả
năng trang trí trại.
5

A. C19

B. C35 − C19
5

5

5
5
C. C35 − C16

5
D. C16

Ví dụ 7: Một lớp có 40 học sinh, trong đó 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần
chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh cơng cộng tồn trường. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?
A. 2625

B. 455

C. 2300

D. 3080.

Ví dụ 8: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp
12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu
diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học
sinh được chọn?
A. 126

B. 102

C. 98

D. 100.
21

skkn