Skkn khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CỜ ĐỎ
-------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 10 ĐỂ TẠO HỨNG
THÚ HỌC TẬP, GĨP PHẦN HÌNH THÀNH NĂNG LỰC
TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

LĨNH VỰC: TOÁN HỌC

Người thực hiện:
Tổ bộ môn:
Năm thực hiện đề tài:
Số điện thoại:

Lê Duy Hân
Toán - Tin
2021 - 2022
0988698112

Nghệ An - 2022

skkn


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những vấn đề cốt lõi trong đổi mới phương pháp dạy học hiện

nay đó là dạy học hướng tới việc hình thành và phát triển năng lực cho người
học, trong đó năng lực tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề là rất quan trọng.
Tuy nhiên thực trạng hiện nay cho thấy, trong nhà trường phổ thông nhiều
giáo viên vẫn cịn gặp khá nhiều khó khăn trong việc vận dụng các phương pháp
dạy học tích cực trong quá trình giảng dạy, vì thế chưa phát huy được nhiều ở
học sinh sự chủ động, tính tích cực, tự giác, học sinh ít được tham gia vào q
trình hình thành kiến thức, tri thức.
Dạy học bài tập tốn có nhiều cơ hội để góp phần hình thành và phát triển
năng lực cho học sinh. Trong học tập bài tập toán, nhiều học sinh đã làm tốt các
bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu trong sách giáo khoa, nhưng khi làm các
bài tập có tính vận dụng thì lại gặp nhiều khó khăn. Một trong những nguyên
nhân quan trọng dẫn đến những khó khăn đó là do trong quá trình dạy học bài
tập tốn, giáo viên chưa quan tâm đến việc định hướng học sinh tìm ra cách thức
để khai thác kiến thức cơ bản, phát triển các bài tập theo hệ thống logic, các em
không biết rõ nguồn gốc của những bài tốn đó từ đâu ra và giải bài tốn như thế
nào, do đó khơng khơi dậy được niềm đam mêm học tập của học sinh cũng như
khơng tạo được nhiều cơ hội để góp phần hình thành và phát triển năng lực cho
học sinh.Ngoài ra việc thiếu động cơ học tập, thiếu sự định hướng về tương lai
dẫn đến các em học tập hời hợt nên ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục đại trà.
Từ những lí do nêu trên, tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Khai thác và
phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa toán 10 để tạo hứng thú học tập,
góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh”.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào những khó khăn
học sinh gặp phải trong q trình học tập mơn tốn, khi bắt gặp một bài tốn
khó. Qua đó đưa ra giải pháp để khắc phục khó khăn của học sinh trong quá
trình học tập và để hình thành cho các em những phẩm chất năng lực cần thiết.
2.2. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu dựa trên thực tiễn giảng dạy các

lớp nguồn, ý kiến khảo sát của các em có học lực yếu, trung bình, khá và giỏi
lớp 10. Qua đó tơi tập trung vào giải pháp tháo gỡ khó khăn cho các em học
sinh. Giải pháp tôi đưa ra chủ yếu ở hai phần chính:

1

skkn


Phương pháp tạo hứng thú, hướng dẫn các em cách phân tích và xử lí số
liệu điều tra, cách tạo dựng một chun đề về tốn học qua đó tạo niềm say mê
học toán ở các em.
Sử dụng các bài tập trong sách giáo khoa mà các em có thể làm được ở
mức độ nhận biết, thơng hiểu. Qua đó thay đổi, thêm bớt một số dữ kiện bài toán
để được một bài toán mới ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao.
Từ đó hình thành ở các em năng lực tư duy sáng tạo, logic để liên kết
những dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa từ đó hình thành hướng giải quyết
vấn đề cho những bài toán ở mức độ vận dụng.
3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là chỉ ra những khó khăn học sinh gặp
phải trong q trình học tập mơn tốn. Lí do các em chưa u thích mơn tốn và
đưa ra giải pháp để giúp học sinh khối 10 tiếp cận các bài tập ở mức độ vận
dụng một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ đó giúp các em tự tin, có hứng thú
trong học tập. Qua đó hình thành ở các em những năng lực và phẩm chất cần
thiết để học tập và trong cuộc sống. Ngoài ra đề tài làm nổi bật được những khó
khăn mà học sinh thường mắc phải trong q trình học tập mơn tốn . Để từ đó
hiểu được tâm lí của các em học yếu mơn tốn nhằm giúp bản thân điều chỉnh
được phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Tiến hành lấy số liệu thống kê số học sinh thích học mơn Tốn, số học
sinh khơng thích học mơn Tốn. Lí do thích học mơn tốn và lí do khơng thích
học mơn tốn của học sinh khối 10 năm học 2021- 2022. Qua đó thống kê những
khó khăn chủ yếu học sinh thường gặp phải trong q trình học tập mơn Tốn.
Tìm hiểu và nghiên cứu tài liệu, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy từ đó hình thành lên giải pháp giải quyết khó khăn cho các em học sinh và
giáo viên trong khi học tập, dạy học ở trường trung học phổ thông. Ghi chép và
tổng hợp các kết quả thực nghiệm thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát thực tiễn
- Thực nghiệm sư phạm.
5. Tính mới của đề tài
- Điểm mới thứ nhất của đề tài là phân chia lớp thành 3 nhóm để các em
tự thu thập phiếu điều tra về tình hình học tập, những khó khăn học sinh thường
2

skkn


gặp khi học tập mơn Tốn của học sinh khối 10 năm học 2021 – 2022. Cho các
em có cơ hội được tự điều tra và tự tổng hợp số liệu điều tra qua đó các em sẽ có
được những giải pháp để hạn chế những khó khăn thường gặp.
- Điểm mới thứ hai là giúp các em có thể tự phát triển các bài toán ở mức
độ nhận biết, thơng hiểu thành các bài tốn ở mức độ vận dụng. Qua đó các
nhóm học sinh có thể tự ra đề cho nhau trong quá trình học tập để tạo thêm sự
hứng thú và sáng tạo trong khi học của các em.
- Điểm mới thứ ba là dựa vào kết quả điều tra, báo cáo của các nhóm giáo
viên đúc rút thành những giải pháp cụ thể để các em học tập một cách hiệu quả

nhất.

3

skkn


PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở khoa học
- Dựa vào kết quả khảo sát tình hình học tập mơn Tốn của học sinh lớp
10 năm học 2021-2022.
- Dựa vào các kiến thức cơ sở, các khái niệm cơ bản.
- Dựa vào các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Dựa vào các đề thi đại học, thi trung học phổ thông quốc gia, thi học
sinh giỏi tỉnh các năm.
- Dựa vào việc phân nhiệm vụ để các em tự nghiên cứu và hoàn thành chủ
để của nhóm qua đó các em được tự hoạt động, tự điều tra, phân tích dữ liệu
điều tra, tự đưa ra ý kiến bản thân để hình thành ở các em niềm u thích tốn
học. Để từ đó phát triển thành niềm đam mê, tìm tịi sáng tạo trong học tốn và
trong cuộc sống.
2. Q trình nghiên cứu
2.1. Phân chia nhóm nghiên cứu.
Chia lớp thành 3 nhóm và phân chia nhiệm vụ cho các nhóm như sau:
Nhóm 1: Khảo sát về phương trình bậc hai một ẩn.
Nhóm 2: Khảo sát về bất đẳng thức.
Nhóm 3: Khảo sát về phương trình đường thẳng.
+ Mỗi nhóm sẽ khảo sát học sinh khối 10 gồm 4 lớp gồm 2 lớp nguồn
10A1, 10A2 và hai lớp đại trà10C3, 10C4 về tình hình học tốn theo mẫu.
+ Sau khi có kết quả điều tra khảo sát các nhóm sẽ tự phân tích và đưa ra
kết luận về khó khăn của học sinh gặp phải và giải pháp tháo gỡ khó khăn bằng

một buổi thuyết trình trên lớp. Dựa vào đó các nhóm cịn lại, giáo viên giảng dạy
đưa ra nhận xét và đi đến kết luận cuối cùng cho từng nhóm.
+ Dựa vào những phân tích trên các nhóm sẽ nghiên cứu chủ đề của nhóm
để đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản, những bài tốn có tính chất xâu chuỗi đơn
giản để học sinh có sự tìm hiểu về tốn học qua đó hình thành và vun đắp đam
mê tốn học cho các em.

PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH KHỐI 10
Khảo sát về:…………………….
Họ và tên:……………………………………………..Lớp:……
Học sinh trả lời các câu hỏi khảo sát sau:

4

skkn


Khơng
bao giờ

Nội dung điều tra

Thỉnh
Thoảng

Thường
xun

1. Khi giải tốn em có khó khăn trong
việc tìm lời giải cho một bài tốn khơng?

2. Em có đọc trước bài mới ở nhà khơng
3. Em có phân tích đề bài để giải quyết
vấn đề của bài tốn khơng?
4. Khi gặp bài tốn chưa biết cách giải
em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự
đốn kết quả để tìm lời giải khơng?
5. Em tự làm được bài tập trong SGK.
6. Em tự làm được bài tập trong SBT.
7. Em có làm bài tập trong sách tham
khảo khơng?
8. Em có làm bài tập trên các diễn đàn
Tốn học, trên các nhóm Tốn
học…khơng ?
9. Em có u thích học về phần….
10. Em có định hướng về cơng việc của
bản thân trong tương lai khơng?
Những khó khăn em thường gặp khi giải toán.
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Sau khi tiến hành khảo sát các nhóm sẽ tổng hợp kết quả theo mẫu bảng.
2.2. Phát triển các bài toán từ bài tập về phương trình bậc hai một ẩn.
Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 1 phần phương trình bậc hai
một ẩn.
Không bao giờ Thỉnh Thoảng
Nội dung điều tra

Số lượng

Số lượng

Thường
xuyên
Số lượng

A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4
0/80
60/80 30/80 18/80 50/80
1. Khi giải tốn em có khó 2/80
5

skkn


khăn trong việc tìm lời giải
cho một bài tốn khơng?
2. Em có đọc trước bài mới
ở nhà khơng?
3. Em có phân tích đề bài
để giải quyết vấn đề của bài
tốn khơng?
4. Khi gặp bài tốn chưa
biết cách giải em có xét các
trường hợp đặc biệt hay dự
đoán kết quả để tìm lời giải
khơng?
5. Em tự làm được bài tập
trong SGK.
6. Em tự làm được bài tập
trong SBT.
7. Em có làm bài tập trong

sách tham khảo khơng?
8. Em có học tập trên các
diễn đàn Tốn học, trên các
nhóm Tốn học…khơng ?
9. Em có u thích học về
phần phương trình bậc hai
một ẩn?
10. Em có định hướng về
cơng việc của bản thân
trong tương lai khơng?

5/80

30/80

25/80

35/80

50/80

15/80

2/80

40/80

10/80

30/80

68/80

10/80

15/80

60/80

45/80

15/80

20/80

5/80

20/80

50/80

20/80

20/80

40/80

10/80

23/80

60/80

20/80

15/80

37/80

5/80

40/80

70/80

25/80

6/80

55/80

4/80

25/80

65/80

45/80

13/80

40/80

2/80

0/80

50/80

20/80

20/80

60/80

10/80

5/80

30/80

25/80

40/80

50/80

10/80

2.2.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài tốn về phương

trình bậc hai một ẩn
Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tơi rút ra được
những khó khăn thường gặp của học sinh như sau:
a) Đối với học sinh yếu, kém
- Chưa xác định được động cơ học tập của bản thân
- Chưa nắm chắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
- Phụ thuộc nhiều vào máy tính dẫn đến hay qn cơng thức, khi áp dụng
với dạng tham số phải tự tính nên hay sai dẫn đến thiếu tự tin vào bản thân.
6

skkn


- Do học tập trực tuyến cũng ảnh hưởng đến khả năng tiếp thu kiến thức
mới.
- Chưa định hướng được cách giải khi gặp bài toán mới.
- Chưa biết cách liên kết kiến thức cơ bản với nhau khi giải toán.
- Kiến thức nền khi học các lớp dưới yếu dẫn đến thiếu tự tin khi giải tốn
và trình bày lời giải.
b) Đối với học sinh khá, giỏi
- Có nhiều dạng phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn mà các
em không biết cách tổng hợp dẫn đến việc nhớ rập khn nhiều dạng tốn do đó
khơng biết cách sử dụng linh hoạt khi bị thay đổi dự kiện cũng như câu hỏi.
- Số lượng sách tham khảo nhiều, nhiều hình thức tự học trên mạng nhưng
chưa có sự định hướng của giáo viên dẫn đến các em khơng biết lựa chọn sách
phù hợp.
- Việc ít rèn luyện khả năng tính nhẩm của bản thân nên khi làm bài trắc
nghiệm hay sai dẫn đến thiếu tự tin học tập. Do đó cũng ảnh hưởng đến đam mê
học tốn của các em.
2.2.2. Đưa ra hệ thống dạng toán giải phương trình cơ bản

a) Cơng thức nghiệm
Phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) (a  0) có   b2  4ac
+Nếu   0 thì phương trình vơ nghiệm
+Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2 

b
2a

+Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 

b  
;
2a

x2 

b  
2a

b) Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có '  b'2  ac; b' 

b
2

+ Nếu '  0 thì phương trình vơ nghiệm

b'
+ Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2 

a
'

+ Nếu '  0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 

b'  
;
a

x2 

b'  
a

7

skkn


c) Hệ thức Vi-ét
+) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình
thì : S  x1  x2 

b
c
; P  x1 x2 
a
a

+) Ứng dụng:
- Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có: a  b  c  0 thì phương trình
c
có nghiệm: x1  1; x2 
a
- Hệ quả 2:
Nếu phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có: a  b  c  0 thì phương trình
c
có nghiệm: x1  1; x2 
a
+) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có S  x1  x2 ; P  x1 x2 thì x1; x2 là nghiệm của phương
trình:
x2  Sx  P  0

( x1; x2 tồn tại khi S 2  4P )
d) Giải pháp khắc phục khó khăn và sai lầm khi giải toán.
- Giải bài toán cụ thể, thay đổi giả thiết để tăng độ khó cho bài toán.
- Chú ý các cách biến đổi tương đương.
- Chú ý các điều kiện của bài toán, vận dụng các giả thiết đã cho.
- Khi dùng phép biến đổi hệ quả cần thay kết quả vào phương trình để
kiểm tra.
2.2.3. Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thơng hiểu
qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài tốn về
phương trình bậc hai một ẩn
Bài tốn 1: Bắt đầu từ bài tốn giải phương trình bậc hai cơ bản:
2x  7 x  5  0 (1)
2

Cách giải phương trình trên như sau:
Ta có   b2  4ac  (7)2  4.2.5  9  0
Do   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

8

skkn


x1 

(7)  9 5
 ;
2.2
2

x2 

(7)  9
1
2.2

Ta có thể thay 2 và 7 bằng những biểu thức chứa ẩn sẽ đưa bài tốn về
những bài tốn khó hơn. Ví dụ như khi thay 2 bởi m 1 ta được bài tốn 2
Bài tốn 2: Cho phương trình: (m 1) x2  7 x  5  0 .(2) Biện luận theo m
số nghiệm của phương trình trên.
Việc giải phương trình (1) đối với học sinh lớp 10 là khơng khó khăn.
Nhưng giải phương trình (2), đối với học sinh yếu và trung bình thì đó là một
thách thức khơng nhỏ. Cần cho học sinh thấy rằng nó cũng là một phương trình

bậc hai nên việc giải phương trình cũng cần tính   b2  4ac như ở giải phương
trình (1). Khi đó học sinh sẽ tính được   b2  4ac và qua đó hình thành nên
các bước giải phương trình bậc hai chứa tham số.
Cách giải phương trình (2) như sau:
Ta có   b2  4ac  (7)2  4(m 1)5  20m  69
Nhận thấy giá trị của  phụ thuộc vào m nên để xét dấu của  thì cần
giải bất phương trình bậc nhất theo m . Dạng tốn đưa ra là quen thuộc với học
sinh nên sẽ khơng khó khăn để giải toán.
Sau khi học sinh đã biện luận được nghiệm của phương trình bậc hai thì
có thể thay đổi u cầu của bài tốn ở mức độ khó hơn. Ví dụ như có thể thay
câu hỏi “ Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình bằng các câu hỏi
có độ khó tăng dần như:
Yêu cầu 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
x1  x2  3
Yêu cầu 2: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều
kiện x21  x22  3
Yêu cầu 3: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều
kiện

x1 x2
 3
x2 x1

Yêu cầu 4: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều
kiện x31  x32  3
Hoặc khi thay 2 bởi m 1 , 7 bởi 2m 1 ta có phương trình bậc hai chứa
tham số phức tạp hơn phương trình (2) như sau (m 1) x2  (2m 1) x  5  0 (3).
Sauk hi học sinh đã làm được nhóm bài tập ở phương trình (2) thì các em
sẽ có đủ tự tin để giải bài tốn sau:
Bài tốn 3: Cho phương trình: (m 1) x2  (2m 1) x  5  0 .(3)

9

skkn


a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
x1  x2  3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
x x 2 3
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
2
1

2

x1 x2
 3
x2 x1
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
x x 2 3
3
1

3

Khi thay 2 bởi 1, 7 bởi m và 5 bởi m 1 ta có bài tốn với mức độ vận
dụng cao như sau:
Bài tốn 4: Cho phương trình x2  mx  m 1  0 (4)
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình (4). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của biểu thức

2x1 x2  3
.
x  x12  2( x1 x2  1)
2
1

Học sinh đã tự làm được các bài tốn ở phương trình (3) thì bằng cách vận
dụng kiến thức đã học các em có thể định hướng được cách giải bài tốn (4). Và
có thể tự tin hồn thành bài tốn đó.
2.3. Phát triển các bài toán từ bài tập về bất đẳng thức
Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 2 phần bất đẳng thức
Không bao giờ Thỉnh Thoảng
Nội dung điều tra

Số lượng

Số lượng

Thường
xuyên
Số lượng

A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4
1. Khi giải tốn em có khó
khăn trong việc tìm lời giải
cho một bài tốn khơng?

0/80

0/80

10/80

2/80

70/80

78/80

2. Em có đọc trước bài mới
ở nhà khơng?

50/80

70/80

10/80

5/80

20/80

5/80

3. Em có phân tích đề bài
để giải quyết vấn đề của bài
tốn khơng?

40/80

70/80

30/80

8/80

10/80

2/80

4. Khi gặp bài tốn chưa
biết cách giải em có xét các

60/80

75/80

15/80

5/80

5/80

0/80

10

skkn

trường hợp đặc biệt hay dự
đốn kết quả để tìm lời giải
không?
5. Em tự làm được bài tập
trong SGK.

60/80

76/80

10/80

4/80

10/80

0/80

6. Em tự làm được bài tập
trong SBT.

62/80

60/80

10/80

15/80

8/80

5/80

7. Em có làm bài tập trong
sách tham khảo khơng?

70/80

80/80

5/80

0/80

5/80

0/80

8. Em có học tập trên các
diễn đàn Tốn học, trên các
nhóm Tốn học…khơng ?

75/80

80/80

3/80

0/80

2/80

0/80

9. Em có u thích học về
phần bất đẳng thức

75/80

80/80

3/80

0/80

2/80

0/80

10. Em có định hướng về
công việc của bản thân
trong tương lai không?

5/80

30/80

25/80

40/80

50/80

10/80

2.3.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài toán về bất đẳng thức
Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tơi rút ra được
những khó khăn thường gặp của học sinh. Đối với nhóm học sinh đại trà thì đây
là phần kiến thức vượt qua khả năng của các em, do đó nhóm 2 chỉ phân tích
khó khăn ở các em học sinh lớp nguồn như sau:
- Không chú ý điều kiện để BĐT xảy ra.
- Nhầm lẫn trong các phép suy luận.
- Không nắm vững các thao tác biến đổi tương đương.
- Không chọn đúng điểm rơi của BĐT.
- Không chọn được BĐT phụ để áp dụng hoặc áp dụng nhầm BĐT phụ.
- Không sử dụng hoặc không sử dụng hết các điều kiện có trong giả thiết.
2.3.2. Đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.
a) Một số khái niệm.
Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự
giữa hai đối tượng.
- a < b có nghĩa là bé hơn b.
- a > b có nghĩa là lớn hơn b.
11

skkn


Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngồi ra
ta cịn có:

- a ≤ b có nghĩa là bé hơn hoặc bằng b.
- a ≥ b có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng b.
- a << b có nghĩa là bé hơn b rất nhiều.
- a >> b có nghĩa là lớn hơn b rất nhiều.
- Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt
trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối
hay không điều kiện.
- Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến,
với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay khơng cịn đúng nữa thì nó được goị
là một bất đẳng thức có điều kiện.
- Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm
vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia
với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó
được nhân hay chia bởi một số âm.
b) Tính chất.
- Tính chất phản xứng.
- Tính chất bắc cầu.
- Tính chất cộng với cùng một số.
- Tính chất cộng các BĐT cùng chiều.
- Tính chất nhân với cùng một số khác 0.
- Tính chất nhân các BĐT cùng chiều.
- Các tính chất về lũy thừa.
c) Một số bất đẳng thức quan trọng.
- Bất đẳng thức Bunyakovsky.
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
- Bất đẳng thức tam giác.
- Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân.
d) Những sai lầm học sinh thường gặp.
* Chọn nhầm điểm rơi.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  2 x

Lời giải sai:
A  x  2 x  x  2 x 11  ( x 1)2 1
12

skkn


Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 vì ( x 1)2  0 .
Phân tích lỗi sai:
Sau khi chứng minh A  1, chưa chỉ ra giá trị x khi dấu "=" xảy ra.
x 1  0  x  1 (vô lý).

Dấu "=" xảy ra
Lời giải đúng:

Để tồn tại x thì phải có điều kiện x  0 . Với x  0 thì A  0
Vậy min A  0  x  0
* Không chú ý điều kiện.
Ví dụ: Với x  2 tìm GTNN của biểu thức: S  3x 

1
x

Lời giải sai:
1
Với x  2 , áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: S  2 3x.  2 3
x

Vậy GTNN của S là S  2 3 khi x 

3
3

Phân tích lỗi sai:
Khi kết luận GTNN của S đạt được khi x 
chiếu điểm rơi x 

3
là chưa đúng do không đối
3

3
với điều kiện của bài toán là x  2 .
3

Nhận thấy x 

3
 2 nên kết luận trên là sai.
3

Lời giải đúng:
1
12 11
Ta có: S  3x   3x  
(1)
x
x x

Vì x  2 áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

S  2 3x.

12
 12
x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2
Vì x  2 

11 11
11
11
  
(2)
x 2
x
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2

13

skkn


Từ (1) và (2) ta có: S  12 

11 13

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2
Vậy GTNN của S là

13
khi x  2 .
2

e) Giải pháp khắc phục khó khăn và sai lầm khi giải toán.
- Giải bài toán cụ thể, thay đổi giả thiết để tăng độ khó cho bài tốn.
- Nắm vững các bất đẳng thức phụ.
- Chú ý các cách biến đổi tương đương, dấu của bất đẳng thức.
- Chú ý các điều kiện của bài toán, vận dụng các giả thiết đã cho.
- Sau khi giải thì thay giá trị của biến vào để kiểm tra lại.
- Khi áp dụng các bất đẳng thức phụ thì phải chú ý điều kiện, chiều của
bất đẳng thức, điểm rơi.
2.3.3. Phát triển bài tốn từ các bài tập mức độ nhận biết, thơng hiểu
qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về bất
đẳng thức
Bài toán gốc:
Chứng minh rằng: Với các số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức
a
b
c
3
A



(1)

bc c  a a b 2
Lời giải:
Ta có: A  3  (a  b  c)(

1
1
1


)
bc c  a a b

Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  b , ta có:
1
1 1 1
A  3  ( x  y  x)(   )
2
x y z

1 1 1
Đặt B  ( x  y  x)(   )
x y z

Lại có:

x y y z x z
B  3     
y x z y z x
3
2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được B  9 . Suy ra A  .
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
14

skkn


Khai thác bài toán: ta thấy, khi nhân cả 2 vế của bất đẳng thức (1) với
a  b  c thì ta được một bất đẳng thức mới:

a
b
c
3


)  ( a  b  c)
bc ca ab 2
2
a
b2
c2
a bc




bc ca ab
2

(a  b  c)(

Từ đó, ta có bài toán sau:
Bài toán 1: Với các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
a b c



b c c  a a b
2

(2)

Ta thấy từ vế phải của (2) nếu thêm điều kiện abc  1 thì theo bất đẳng
thức Cauchy ta có: a  b  c  3 3 abc  3 . Khi đó biến đổi và từ tính chất bắc cầu
của bất đẳng thức ta có bài tốn 2.
Bài tốn 2: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc  1.
Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
3




bc c  a a b 2

(3)

Như vậy muốn chứng minh BĐT (3) ta xuất phát từ BĐT (1), sau đó thực
hiện hai bước sau ta sẽ có khẳng định:
Bước 1: Nhân hai vế của (1) với a  b  c và biến đổi.
Bước 2: Chứng minh BĐT

abc 3

2
2

Đến đây, nếu từ (3) và từ giả thiết ta biến đổi theo các bước:
Bước 1: Bình phương hai vế của (3).
1
Bước 2: Nhân hai vế của BĐT thu được sau bước 1 với .
2
Bước 3: Thay thế các biểu thức a2b2 , b2c2 , c2a2 bằng các biểu thức tương
ứng

1 1 1
, ,
c 2 b2 a 2

Từ ba bước biến đổi, ta có bài tốn 3.
Bài tốn 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc  1. Chứng
minh rằng:

a4
b4
c4
1
1
1
1


 2
 2
 2

2
2
2
2(b  c) 2(c  a) 2(a  b) c (a  c)(b  c) a (c  a)(b  a) b (c  b)(a  b) 8
15

skkn


2.4. Phát triển các bài toán từ bài tập về hình học trong mặt phẳng
toạ độ Oxy
Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 3 phần hình học trong
mặt phẳng toạ độ Oxy
Không bao giờ Thỉnh Thoảng
Nội dung điều tra

Số lượng

Số lượng

Thường
xuyên
Số lượng

A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4
1. Khi giải tốn em có khó
khăn trong việc tìm lời giải
cho một bài tốn khơng?

3/80

0/80

40/80

10/80

37/80

70/80

2. Em có đọc trước bài mới
ở nhà khơng

2/80

35/80

28/80

35/80

50/80

10/80

3. Em có phân tích đề bài
để giải quyết vấn đề của bài
tốn khơng?

2/80

60/80

50/80

17/80

28/80

3/80

4. Khi gặp bài tốn chưa
biết cách giải em có xét các
trường hợp đặc biệt hay dự
đốn kết quả để tìm lời giải
khơng?

50/80

78/80

15/80

2/80

15/80

0/80

5. Em tự làm được bài tập
trong SGK.

20/80

50/80

20/80

20/80

40/80

10/80

6. Em tự làm được bài tập
trong SBT.

30/80

70/80

30/80

5/80

20/80

5/80

7. Em có làm bài tập trong
sách tham khảo khơng?

50/80

80/80

25/80

0/80

5/80

0/80

8. Em có học tập trên các
diễn đàn Tốn học, trên các

nhóm Tốn học…khơng ?

25/80

65/80

45/80

13/80

40/80

2/80

9. Em có u thích học về
phương trình đường thẳng.

0/80

50/80

50/80

20/80

30/80

10/80

10. Em có định hướng về

cơng việc của bản thân
trong tương lai không?

5/80

30/80

25/80

40/80

50/80

10/80

16

skkn


2.4.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài tốn phương
trình đường thẳng
Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tơi rút ra được
những khó khăn thường gặp của học sinh như sau:
a) Đối với học sinh yếu, kém
- Khó khăn đầu tiên là các em chưa xác định được đúng mục đích của việc
học tập dẫn đến học tập hời hợt qua loa. Thiếu sự nỗ lực, yêu thích và say mê
học tốn.
- Chưa nắm vững các khái niệm, các cơng thức, các tính chất, ví dụ như
chưa biết đâu là vecto pháp tuyến, đâu là vecto chỉ phương, đâu là phương trình

tổng quát, đâu là phương trình tham số,…
- Chưa xác định được dạng toán và hướng giải.
- Lười, về nhà không học lại bài cũ, không luyện thêm đề và bài tập,
không học thuộc công thức cũng như trước khi đi học không xem trước.
- Trong giờ học bị mất tập trung .
- Phương pháp dạy của thầy cô ở THPT khác các thầy cơ ở THCS nên có
thể mới lên lớp 10 nên chưa thích nghi được.
- Quá tự ti về bản thân, nghĩ mình khơng làm được nên khơng thử làm.
b) Đối với học sinh khá, giỏi
- Có nhiều bạn năng lực học tập rất tốt nhưng chưa có sự u thích, đam
mê học tốn dẫn đến các em chỉ làm bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập
cho xong nhiệm vụ nên chưa phát huy hết được năng lực của bản thân.
- Khó khăn trong việc tìm đề để làm, do nguồn thơng tin hiện nay nhiều
và lộn xộn.
- Khó khăn trong việc trình bày và lung túng khi gặp nghiệm không đẹp.
- Đôi khi làm phức tạp hóa vấn đề, suy nghĩ quá nhiều khiến bài tốn trở
nên rắc rối hơn.
- Có nhiều bài tốn khó chưa liên kết được các kiến thức để tìm ra lời giải.
2.4.2. Thơng qua những khó khăn học sinh gặp phải đưa ra giải pháp
khắc phục
Thông qua những khó khăn mà học sinh tổng hợp từ kết quả điều tra,
chúng tôi đưa ra giải pháp dành cho hai nhóm học sinh.
a) Giải pháp đối với học sinh yếu, kém
- Nên tập trung nghe giảng, đọc và nắm lại tồn bộ những kiến thức cơ
bản, cơng thức hình học.
- Nên chăm chỉ luyện đề hơn, học bài cũ và nghiên cứu trước bài mới.
17

skkn

- Cần tự tin hơn, đừng ngại thử, nếu lần này ko làm đc thì lần sau sẽ làm
được.
- Nên tìm một người bạn đồng hành và cả hai cùng nhau học và phát triển.
b) Giải pháp đối với học sinh khá, giỏi
- Liên hệ thầy cô, các anh chị khóa trước để xin đề, lấy đề làm.
- Vẫn nên tìm một hay một nhóm bạn cùng chí hướng cùng nhau học tập.
- Nên chắc chắn từng bước giải, làm đến đâu chắc đến đó để khi ra
nghiệm khơng như mong muốn đỡ bối rối.
- Khi luyện đề nên chú ý đến trình bày để khi cần trình bày thì biết cách
trình bày.
2.4.3. Phát triển bài tốn từ các bài tập mức độ nhận biết, thơng hiểu
qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài tốn về hình
học trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Bài tốn 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và có vecto pháp tuyến là n(2; 3)
Lời giải:
Ta có phương trình tổng qt của đường thẳng d là:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0
 2( x 1)  3( y  2)  0
 2x  3 y  4  0

Để tăng mức độ bạn có thể thay dữ kiện “ có vecto pháp tuyến là n(2; 3)
thành vecto chỉ phương u(3;2) . Ta có bài tốn 2.
Bài tốn 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và có vecto chỉ phương u(3;2) .
Từ vecto chỉ phương ta theo công thức suy ra được vecto pháp tuyến là
n(2; 3) rồi làm tiếp như trên
Tiếp theo thay vecto chỉ phương u(3;2) thành 1 điểm N (2;5) ta có bài tốn 3.
Bài tốn 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua

M (1;2) và N (2;5) .
Lúc này, ta có: u  MN (1;3)
Ta có phương trình tổng qt của đường thẳng d là:
 1( x 1)  3( y  2)  0
 x  3y  7  0

Sau đó, ta thay điểm N (2;5) đó thành dữ kiện” đường thẳng d song song
với d’: 2x-5y+6=0 ta được bài toán 4.

18

skkn


Bài tốn 4: Viết phương trình tổng qt của đường thẳng d đi qua M (1;2)
và song song với đường thẳng d ': 2x  5 y  6  0 .
Giải:
Do d song song với d’ nên nd  nd ' (2; 5)
Ta có phương trình tổng qt của đường thẳng d là:
 2( x 1)  5( y  2)  0
 2x  5 y  8  0

Ngồi ra, cũng có thể thay quan hệ song song thành quan hệ vng góc,
khi đó ta có bài tốn 5
Bài tốn 5: Viết phương trình tổng qt của đường thẳng d đi qua
M (1;2) và vng góc với đường thẳng d ': 2x  5 y  6  0 .
Giải:
Do d song song với d’ nên ud  ud ' (2; 5)  nd (5;2)
Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
 5( x 1)  2( y  2)  0

 5x  2 y  9  0
Và nếu ta thay dữ kiện vng góc thành giao điểm của hai đường thẳng
ta được bài tốn 6.
Bài tốn 6: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M (1;2)
và đi qua giao điểm của hai đường thẳng  : 2x  y 1  0;  ':3x  2 y  5  0 .
Giải :
Tọa độ I của  : 2x  y 1  0;  ':3x  2 y  5  0 là nghiệm của hệ
 2 x  y 1  0
 x  3

 



3x  2 y  5  0
 y7

Ta có đường thẳng d đi qua hai điểm M (1;2) và I (3;7) )
Tương tự bài tốn 3 ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
8x  5 y  59  0

Khi các em đã làm thành thạo 6 bài tốn về phương trình đường thẳng
trên. Giáo viên nâng cao lên là các bài toán gắn với các hình học đặc biệt như là
tam giác, hình thang vng, hình vng,…
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(2;2) , hai đường cao có phương trình là
 : 2x  y 1  0;  ':3x  2 y  5  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác .
Giải:
- Ta quy về những bài toán nhỏ:
+) Lập phương trình đường thẳng AB biết AB vng góc với  ' và đi
quả điểm A

19

skkn