Ứng dụng kiến thức về chia hết và chia có dư để giải một số bài toán nâng cao ở tiểu học

MỤC LỤC
TÓM TẮT.......................................................................................................iii
PHẦN I: LỜI MỞ ĐẦU..................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài :...............................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................2
3. Phạm vi và Đối tượng nghiên cứu :...................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu :.................................................................2
5. Kết cấu của đề tài................................................................................3
PHẦN II: NỘI DUNG.....................................................................................4
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN
DẠY TOÁN NÂNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP CHIA HẾT VÀ
PHÉP CHIA CÓ DƯ...................................................................................4
1.1. Vai trị và mục tiêu dạy học tốn ở bậc tiểu học............................4
1.1.1. Vai trị dạy học tốn ở bậc tiểu học:............................................4
1.1.2. Mục tiêu của mơn tốn ở tiểu học:..............................................4
1.2. Khái niệm về phép chia hết và phép chia có dư............................5
1.2.1. Quan hệ chia hết..........................................................................5
1.2.2. Quan hệ chia có dư......................................................................6
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN NÂNG CAO ĐỐI VỚI PHÉP
CHIA Ở TIỂU HỌC...................................................................................7
2.1. Các dạng toán nâng cao liên quan đến phép chia hết...................7
2.1.1. Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết...............................7
2.1.2. Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không
chia hết cho) một số nào đó...................................................................9
2.1.3. Các bài tốn thay chữ bằng số.....................................................9
i


2.1.4. Các bài tốn có lời văn................................................................9
2.1.5. Các bài tốn hình học................................................................10
2.1.6. Trị chơi – Tốn vui...................................................................10

2.1.7. Các bài tốn khác......................................................................11
2.2. Các dạng toán nâng cao liên quan đến phép chia có dư tại bậc
tiểu học...................................................................................................13
2.2.1.Tìm số dư của phép chia là sự vật (giải bài tốn có lời văn):.....14
2.2.2. Tìm số dư của phép chia là người:............................................14
2.2.3. Tìm số dư là thời gian:..............................................................16
CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP NHẰM TĂNG CƯỜNG KHẢ
NĂNG GIẢI BÀI TOÁN NÂNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP CHIA
.....................................................................................................................17
3.1. Bài toán nâng cao chia hết.............................................................17
3.2. Bài tốn nâng cao liên quan đến phép chia có dư.......................25
PHẦN KẾT LUẬN........................................................................................28
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................30

ii


TÓM TẮT
Xuất phát từ cơ sở lý luận về dạng các bài toán liên quan đến phép chia
hết và phép chia có dư, tác giả đã tiến hành tìm hiểu vấn đề dạy học nâng cao
các dạng bài toán phép chia. Trên cơ sở đó tìm hiểu ngun nhân và đề xuất
những biện pháp nhằm góp phần nâng cao hiệu quả việc dạy học Tốn chia
hết và phép chia có dư.
Bằng phương pháp nghiên cứu Khảo sát, Phân tích và Tổng hợp, tác
giả đã đúc kết được một số dạng toán nâng cao liên quan đến kiến thức phép
chia hết và phép chia có dư trong bậc Tiểu học. Từ đó đưa ra một số dạng bài
tốn nâng cao liên quan đến giải tốn chia hết và chia có dư có thể vận dụng
vào thực tế giảng dạy.
Các dạng phép chia có dư và phép chia hết là một nội dung quan trọng
khơng thể thiếu trong chương trình mơn tốn ở tiểu học. Phép chia có dư được

xây dựng với nhiều dạng toán khác nhau nhằm cung cấp cho học những kiến
thức giải toán và rèn luyện các kỹ năng nhận biết và thực hành. Vì vậy khi
tiến hành hướng dẫn cách giải, Giáo viên cần xác định cụ thể mục tiêu bài
học, lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với điều kiện thực tế của học
sinh trong lớp.

iii


PHẦN I: LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
Dạy học giải toán ở tiểu học nhằm giúp học sinh biết cách vận dụng những
kiến thức về toán vào các tình huống thực tiễn đa dạng, phong phú, những vấn
đề thường gặp trong đời sống.
Nhờ giải toán, học sinh có điều kiện rèn luyện và phát triển năng lực tư
duy, rèn luyện phương pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của người
lao động mới. Vì giải tốn là một hoạt động bao gồm những thao tác : Xác lập
mối quan hệ giữa các dữ liệu, giữa cái đã cho và cái cần tìm, trên cơ sở đó
chọn được phép tính thích hợp và trả lời câu hỏi đúng bài toán.
Dạy học giải toán giúp học sinh tự phát hiện, giải quyết vấn đề, tự nhận
xét, so sánh, phân tích, tổng hợp, rút ra quy tắc ở dạng khái qt nhất định.
Trên cơ sở đó thì 4 phép tính cộng (+), trừ (-), nhân (x) và chia trong mơn
tốn đã đóng một vai trị chủ lực, nó được thực hiện xuyên suốt từ lớp 1 đến
lớp 5. Cụ thể là :
Ngay từ lớp một, chương trình đã cung cấp cho học sinh biết thực hiên 2
phép tính cộng (+) và trừ (-), đây là lớp đầu tiên nên các phép tính chỉ được
thực hiện đối với các số tự nhiên. Sang lớp hai thì 2 phép tính nhân (x) và
chia (:) còn lại cũng được đưa vào giảng dạy cho học sinh nhưng cũng chỉ
thực hiện trên các số tự nhiên trong phạm vi 1000. sang lớp 3 học sinh mới
bắt đầu làm quen thêm một số mạch kiến thức cao hơn, trong đó có phép chia

có dư. Đây là một nội dung khá phức tạp đòi hỏi học sinh phải thực hiện rất
nhiều công đoạn mới làm được như thuộc bảng cửu chương, hiểu rõ số bị
chia, số chia, số dư, thương số,…
Vậy chia có dư và chia hết ở tiểu học được chương trình bố trí như thế
nào? Có mấy dạng tốn chia có dư ở tiểu học? Cách giải các bài tốn đó ra
sao? Chính những câu hỏi đó đã thơi thúc tơi quan tâm và lựa chọn đề tài
1


“Ứng dụng kiến thức chia có dư và chia hết để giải một số bài toán nâng
cao ở Tiểu học” để làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Xuất phát từ cơ sở lý luận về dạng các bài tốn liên quan đến phép chia
hết và phép chia có dư, tác giả đã tiến hành tìm hiểu vấn đề dạy học nâng cao
các dạng bài toán phép chia. Trên cơ sở đó tìm hiểu ngun nhân và đề xuất
những biện pháp nhằm góp phần nâng cao hiệu quả việc dạy học Tốn chia
hết và phép chia có dư.
3. Phạm vi và Đối tượng nghiên cứu :
1/ Phạm vi nghiên cứu :
Vì thời gian nghiên cứu có hạn nên phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ thực
hiện trong phạm vi của trường tiểu học.
2/ Đối tượng nghiên cứu :
Phép chia có dư và phép chia hết là nội dung được đưa vào chương
trình của bậc tiểu học. Do đó đối tượng nghiên cứu của đề tài là nội dung về
chia có dư trong sách giáo khoa, sách giáo viên mơn Tốn ở tiểu học.
4. Phương pháp nghiên cứu :
1 Phương pháp khảo sát:
Là phương pháp tiến hành khảo sát chương trình dạy học tốn về phép
chia có dư ở tiểu học để phân tích nội dung của đề tài.
2 Phương pháp phân tích:

Căn cứ vào số liệu đã được khảo sát, kết hợp với luận chứng của đề tài.
Tôi tiến hành trình bày phương pháp giải về dạy học tốn về phép chia có dư.
3 Phương pháp tổng hợp :
Là phương pháp tổng hợp và kết luận về nội dung nghiên cứu qua các
số liệu đã khảo sát và phân tích. Đề xuất ý kiến về những biện pháp dạy học
tốn về phép chia có dư trong trường tiểu học.
2


Ngồi ra tơi cịn sử dụng thêm một số phương pháp khác phục vụ cho quá
trình nghiên cứu.
5. Kết cấu của đề tài
Ngoài phần Mở Đầu, Kết Luận, Mục Lục và Tài Liệu Tham Khảo đề
tài gồm những nội dung chính:
Chương I: Một Số Khái Niệm Cơ Bản Liên Quan Đến Dạy Toán Nâng Cao
Liên Quan Đến Phép Chia Hết Và Phép Chia Có Dư
Chương II: Ứng Dụng Giải Tốn Nâng Cao Đối Với Phép Chia Ở Tiểu Học
Chương III: Một Số Giải Pháp Và Bài Tập Nhằm Tăng Cường Khả Năng
Giải Bài Toán Nâng Cao Liên Quan Đến Phép Chia

3


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN
DẠY TOÁN NÂNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP CHIA HẾT
VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ
1.1. Vai trị và mục tiêu dạy học toán ở bậc tiểu học
1.1.1. Vai trị dạy học tốn ở bậc tiểu học:
Dạy học giải toán ở tiểu học nhằm giúp học sinh biết cách vận dụng

những kiến thức về tốn vào các tình huống thực tiễn đa dạng, phong phú,
những vấn đề thường gặp trong đời sống.
Nhờ giải tốn, học sinh có điều kiện rèn luyện và phát triển năng lực tư
duy, rèn luyện phương pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của người
lao động mới. Vì giải tốn là một hoạt động bao gồm những thao tác : Xác lập
mối quan hệ giữa các dữ liệu, giữa cái đã cho và cái cần tìm, trên cơ sở đó
chọn được phép tính thích hợp và trả lời câu hỏi đúng bài tốn.
Dạy học giải toán giúp học sinh tự phát hiện, giải quyết vấn đề, tự nhận
xét, so sánh, phân tích, tổng hợp, rút ra quy tắc ở dạng khái quát nhất định.
1.1.2. Mục tiêu của mơn tốn ở tiểu học:
Mơn tốn ở tiểu học có vai trị đặc biệt quan trọng trong chương trình
giảng dạy ở tiểu học. Đây là giai đoạn đầu tiên để hình thành các kiến thức,
kỹ năng tính tốn cho các em. Do đó việc tổ chức dạy tốn ở tiểu học khơng
hề đơn giản. Mà cần phải có một sự nghiên cứu nghiêm túc và chuẩn bị một
cách kỹ càng thì mới đạt được mục tiêu mà mơn tốn đưa ra. Mục tiêu của
mơn tốn ở tiểu học nhằm giúp học sinh:
- Về kiến thức : Cung cấp những kiến thức cơ bản ban đầu về số học,
các số tự nhiên, phân số, số thập phân; các đại lượng thơng dụng; một số yếu
tố hình học và thống kê đơn giản.
4


- Về kỹ năng : Hình thành các kỹ năng thực hành tính, đo lường, giải
các bài tốn có nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống. Góp phần bước đầu
phát triển năng lực tư duy năng suy luận hợp lý và diễn đạt đúng (nói và viết),
cách phát hiện và giải quyết các vấn đề đơn giản, gần gũi trong cuộc sống
- Về thái độ : Kích thích trí tưởng tượng; gây hứng thú học tập tốn;
góp phần hình thành bước đầu phương pháp dạy học và làm việc có kế hoạch,
khoa học, chủ động, linh hoạt, sáng tạo.
1.2. Khái niệm về phép chia hết và phép chia có dư

1.2.1. Quan hệ chia hết
Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số ngun q sao cho a=b.q thì ta
nói rằng a chia hết cho b hay b là ước của a. Khi đó người ta cũng gọi a là bội
số (hay đơn giản là bội) của b, cịn b là ước số (hay đơn giản là ước) của a.
Ví dụ: 15 = 3.5, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3
là ước của 15.
Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, mọi số nguyên đều chia
hết cho 1, mỗi số ngun khác 0 chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi số
ngun khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số ngun b|a thì số
đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n là số tự
nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên
khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số ngun tố.
Dấu hiệu chia hết cơ bản:
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là: 0,2,4,6,8
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là: 0,5
Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3
Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9
Dấu hiệu chia hết cho các số khác:
5


Dấu hiệu chia hết cho 4(25): Hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết
cho 4(25)
Dấu hiệu chia hết cho 8(125): Ba chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết
cho 8(125)
Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng chữ số hàng
chẵn chia hết cho 11 hoặc ngược lại.
1.2.2. Quan hệ chia có dư
Giả sử cho hai số nguyên a và d, với d ≠ 0
Khi đó tồn tại duy nhất các số nguyên q và r sao cho a = qd + r và 0 ≤ r

< | d |, trong đó | d | là giá trị tuyệt đối của d.
Các số nguyên trong định lý được gọi như sau
q được gọi là thương khi chia a cho d. Đơi khi nó cịn được gọi là
thương hụt.
r được gọi là dư khi chia a cho d
d được gọi là số chia
a được gọi là số bị chia
Phép toán tìm q và r được gọi là phép chia với dư.
Ví dụ
Nếu a = 7 và d = 3, khi đó q = 2 và r = 1, vì 7 = (2)(3) + 1.
Nếu a = 7 và d = −3, khi đó q = −2 và r = 1, vì 7 = (−2)(−3) + 1.
Nếu a = −7 và d = 3, khi đó q = −3 và r = 2, vì −7 = (−3)(3) + 2.
Nếu a = −7 và d = −3, khi đó q = 3 và r = 2, vì −7 = (3)(−3) + 2.
6


CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN NÂNG CAO ĐỐI VỚI
PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC
2.1. Các dạng toán nâng cao liên quan đến phép chia hết
2.1.1. Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1: Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng
thời chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0
vào số 2007ab ta được 2007a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của
nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết
cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.
Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài tốn là 200700; 200790.
Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là :
– A – r chia hết cho B (1)
– A + (B – r) chia hết cho B (2)

Từ đó các bạn có thể giải quyết bài tốn :
Ví dụ 2: Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia
cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1.
Nhận xét : A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A – 1 đồng thời chia hết
cho 2 ; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài tốn dựa vào điều kiện (1) A – r chia hết
cho B để giải.
Giải : Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A – 1 chia hết cho 2 ; 5 và
9. Vậy chữ số tận cùng của A – 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A – 1 chia hết
cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18
chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x
khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta được số 94591.
7


ở bài tốn trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét :
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2 ; chia
cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.
Tuy các số dư khác nhau nhưng : 2 – 1 = 1 ; 3 – 2 = 1 ; 4 – 3 = 1 ; 5 – 4
= 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B – r) chia hết cho B để giải
bài toán này.
Giải : Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4
nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0.
Hiển nhiên A +1 khơng thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng
x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3 ; 6 ; 9 ta có số 30 ; 60 ; 90.
Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.
Vậy A +1 = 60
A = 60 – 1
A = 59
Do đó số cần tìm là 59.

Bài luyện tập :
Bài 1 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ;
5 và 7 đều dư 1.
Bài 2 : Cho số a765b ; tìm a ; b để khi thay vào số đã cho ta được số có
5 chữ số chia cho 2 dư 1 ; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7.
Bài 3: Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6
chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.

8


Bài 4 : Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2 ; 3 và 5, biết rằng khi đổi chõ
các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số
đó khơng thay đổi.
2.1.2. Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc khơng chia hết
cho) một số nào đó
Ví dụ : Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được
số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.
Giải: Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1), suy ra B chia hết cho 3, nhưng
tổng các chữ số của số A và số B như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ
số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2). Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9.
Nếu vậy thì A chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của chúng như nhau) (3). Từ
(1) và(3), suy ra B chia hết cho 27.
2.1.3. Các bài tốn thay chữ bằng số
Ví dụ: Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi
các chữ số khác nhau)
HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006
Giải:
Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG.
Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3. Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + 2

+ 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra
TTT2006 không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ khơng thể tìm được các
chữ số thoả mãn bài tốn.
2.1.4. Các bài tốn có lời văn
Ví dụ: Hai bạn An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến
lớp liên hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50 000 đồng và được trả
lại 72 000đồng. Khang nói: “Cơ tính sai rồi”. Bạn hãy cho biết Khang nói
đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
9


Giải:
Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh
và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3. Vì An đưa cho cô bán hàng 4 tờ 50
000đồng và được trả lại 72 000đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói
kẹo là:
4 x 50 000 – 72 000 = 128 000 (đồng)
Vì số 128 000 khơng chia hết cho 3, nên bạn Khang nói “Cơ tính sai
rồi” là đúng.
2.1.5. Các bài tốn hình học
Ví dụ: Có 10 mẩu que lần lượt dài: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, … , 8cm, 9cm,
10cm.
Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều
được khơng ?
Giải:
Một hình tam giác đều có cạnh là (a) là số tự nhiên thì chu vi (P) của
hình đó phải là số chia hết cho 3 vì P = a x 3.
Tổng độ dài của 10 mẩu que là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
(cm)
Vì 55 là số khơng chia hết cho 3 nên khơng thể xếp 10 mẩu que đó

thành một hình tam giác đều được.
2.1.6. Trị chơi – Tốn vui
Ví dụ: Khi được hỏi: “Số nào có bốn chữ số mà khi ta đọc theo thứ tự
từ phải sang trái thì sẽ tăng lên 6 lần ? ” Một học sinh giỏi toán đã trả lời ngay
tức khắc. Bạn hãy đoán xem bạn ấy đã trả lời như thế nào ?

10


Giải: Bạn ấy đã trả lời là: “Khơng có số nào như vậy”. Ta có thể giải
thích điều này như sau: Giả sử số phải tìm là , theo bài ra ta có: x 6 = . Suy ra
a chỉ có thể bằng 1 vì nếu a bằng 2 trở lên thì x 6 sẽ cho một số có 5 chữ số.
Mặt khác, tích x 6 là một số chẵn, tức là a phải chẵn. Mâu thuẫn này chứng tỏ
không tồn tại số nào thoả mãn bài toán.
(Kết luận này khơng chỉ đúng với số có 4 chữ số mà đúng với số có chữ số
tuỳ ý)
2.1.7. Các bài tốn khác
Ví dụ: Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho 3 số tự nhiên nào đó trong đó
khơng có số nào chia hết cho 3 thì bao giờ ta cũng có hoặc là tổng cả ba số đó
hoặc là tổng của hai số nào đó trong ba số đã cho phải chia hết cho 3.
Giải:
Một số tự nhiên không chia hết cho 3 thì khi chia cho 3 sẽ có số dư là 1
hoặc 2.
– Nếu cả ba số chia cho 3 có cùng số dư thì tổng ba số đó chia hết cho 3.
– Nếu ba số chia cho 3 không cùng số dư thì tổng của hai số có số dư khác
nhau sẽ chia hết cho 3.
Khi giải các bài tập toán liên quan đến chia hết, chúng ta thường sử
dụng dấu hiệu chia hết cho 2 ; 3 ; 5 và 9. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều bài
phải vận dụng một số tính chất chia hết khác để giải. Chúng ta cùng tìm hiểu
một số ví dụ sau :

Ví dụ 1 : Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết
theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của
M và N chia hết cho 3.
Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số
trừ cùng chia hết cho số đó hoặc số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho
11


số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng
cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó.Giải : Đặt
M = abc thì N = cba (a > c > 0 ; a, b, c là chữ số), khi đó M – N = abc – cba.
Giả sử cba chia cho 3 dư r (0 Ê r < 3) thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a
+ b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r. Vậy hiệu M – N chia
hết cho 3.
Ví dụ 2: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả
hai phép chia đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó.
(Đề thi Tiểu học Thái Lan)
Phân tích: Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của
chúng sẽ chia hết cho số đó. Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số
có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có ba chữ số đó. Từ
đó ta tìm được số chia để suy ra số dư
Giải: Gọi số chia của hai số đã cho là abc (a > 0 ; a, b, c < 10). Vì hai
số đã cho chia cho số abc đều có số dư bằng nhau nên (34369 – 31513) chia
hết cho abc hay 2856 chia hết cho abc. Do 2856 = 4 x 714 nên abc = 714.
Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư
97). Vậy số dư của hai phép chia đó là 97.
Ví dụ 3 : Tìm thương và số dư của phép chia sau : (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x
… x 15 + 200) : 182.
Phân tích : Nếu trong một tổng có một số hạng chia cho một số nào đó
dư r cịn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r.

Thương của tổng chính là tổng các thương của từng số hạng. Nếu các số chia
cho số đó đều có dư thì số dư của tổng chính là tổng số dư của từng số hạng,
nếu tổng các số dư đó nhỏ hơn số chia. Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng
đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu. Từ đó ta tính được thương và số dư
của phép chia đó.
12


Giải : Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên số hạng thứ nhất của tổng (1 x 2 x 3 x 4
x 5 x ….. x 15) chia hết cho 182. Vì 200 : 182 = 1 (dư 18) nên số hạng thứ hai
của tổng chia cho 182 được 1 và dư 18. Vậy số dư trong phép chia đó chính là
18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính : 1 x 3 x 4 x 5
x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1.
Ví dụ 4 : Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có bao nhiêu con
cừu ?”. Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng
không quá 5000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3
cịn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ?
Phân tích : Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19 mà
3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì số
cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia
hết cho 225. Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 +
6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu
của anh chăn cừu.
Giải : Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19
nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia
hết cho 9 và 25. Do đó số cừu đó chia hết cho 225 (vì 9 x 25 = 225). Số cừu
sau khi thêm 6 con phải lớn hơn : 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 +
6 = 5006. Do vậy số cừu sau khi thêm có thể là 4950 con, 4725 con, 4500
con. Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa
mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là : 4725 – 6 = 4719 (con).

2.2. Các dạng toán nâng cao liên quan đến phép chia có dư tại bậc tiểu
học
Có rất nhiều dạng tốn phép chia có dư ở tiểu học. Tùy thuộc vào mỗi
dạng mà có những cách giải khác nhau.

13


2.2.1.Tìm số dư của phép chia là sự vật (giải bài tốn có lời văn):
Đây cũng là dạng tốn được sử dụng rất nhiều trong các lớp 3, 4 và 5.
Người ta lấy các sự vật thừa làm số dư và u cầu học sinh giải tốn để tìm
kết quả và xác định số dư đó.
Ví dụ 4 : Có 31 mét vải, may mỗi bộ quần áo hết 3 mét vải. Hỏi có thể
may được nhiều nhất bao nhiêu bộ quần áo như thế và còn thừa mấy mét vải ?
Bài giải :
Thực hiện phép chia ta có : 31 : 3 = 10 (dư 1). Vậy có thể may được
nhiều nhất là 10 bộ quần áo như thế và còn thừa 1 mét vải.
Đáp số : 10 bộ, thừa 1 mét vải.
Trong bài giải có hai điểm khác với việc trình bày bài giải bài tốn đơn
là: Kết quả của phép tính khơng ghi tên đơn vị, câu trả lời đặt sau phép tính.
Ví dụ 5 : Đồn khách du lịch có 50 người, muốn thuê xe loại 4 chỗ
ngồi. Hỏi cần thuê ít nhất bao nhiêu xe để chở hết số khách đó ?
Bài giải :
Thực hiện phép chia ta có : 50 : 4 = 12 (dư 2). Có 12 xe mỗi xe chở 4
người khách, cịn 2 người khách chưa có chỗ nên cần có thêm 1 xe nữa.
Vậy số xe cần ít nhất là :
12 + 1 = 13 (xe).
Đáp số : 13 xe ô tô.
2.2.2. Tìm số dư của phép chia là người:
Đây là dạng tốn tương đối khó với học sinh, bởi đối tượng là người

hoặc xác định sự vật nhờ vào số lượng người (người thừa hoặc thiếu hoặc sự
vật thừa hay thiếu so với người) trong bài tốn có lời văn. Nếu suy nghĩ
không kỹ nhiều học sinh sẽ bị nhầm lẫn.
14


Ví dụ 6 : Một lớp học có 33 học sinh. Phịng học của lớp đó chỉ có loại
bàn 2 chỗ ngồi. Hỏi cần có ít nhất bao nhiêu bàn học như thế ?
Bài giải :
Thực hiện phép chia ta có : 33 : 2 = 16 (dư 1). Số bàn có 2 học sinh
ngồi là 16 bàn, cịn 1 học sinh chưa có chỗ ngồi nên cần có thêm 1 bàn nữa.
Vậy cần số bàn ít nhất là :
16 + 1 = 17 (cái bàn)
Đáp số: 17 cái bàn.
Trong bài giải này ngồi phép tính chia có dư, cịn có phép cộng kết
quả phép chia đó với 1 (cần lưu ý học sinh : số 1 này không phải là số dư).
Ví dụ 7 : Cần có ít nhất bao nhiêu thuyền để chở hết 78 người của đoàn
văn công qua sông, biết rằng mỗi thuyền chỉ ngồi được nhiều nhất là 6 người,
kể cả người lái thuyền ?
Bài giải :
Mỗi thuyền chỉ chở được số khách nhiều nhất là :
6 - 1 = 5 (người)
Thực hiện phép chia ta có : 78 : 5 = 15 (dư 3). Có 15 thuyền, mỗi
thuyền chở 5 người khách, cịn 3 người khách chưa có chỗ ngồi nên cần có
thêm 1 thuyền nữa.
Vậy số thuyền cần có ít nhất là :
15 + 1 = 16 (thuyền).
Đáp số : 16 thuyền.

15

Trong 4 ví dụ trên câu hỏi của bài tốn về phép chia có dư đều có thuật
ngữ “nhiều nhất” hoặc “ít nhất”. Tuy nhiên cũng có bài tốn về phép chia có
dư mà khơng cần có các thuật ngữ đó.
2.2.3. Tìm số dư là thời gian:
Tìm số dư là thời gian cũng có 2 loại. Thứ nhất là tìm thời gian thừa
hoặc thiếu là ngày. Hai là tìm số dư theo mốc thời gian
Ví dụ 8 : Năm nhuận có 366 ngày. Hỏi năm đó gồm bao nhiêu tuần lễ
và mấy ngày?
Bài giải:
Một tuần lễ có 7 ngày.
Thực hiện phép chia ta có : 366 : 7 = 52 (dư 2).
Vậy năm nhuận gồm 52 tuần lễ và 2 ngày.
Đáp số : 52 tuần lễ và 2 ngày.
Ví dụ 9 : Hôm nay là chủ nhật. Hỏi 100 ngày sau sẽ là thứ mấy của tuần lễ?
Bài giải :
Một tuần lễ có 7 ngày.
Thực hiện phép chia ta có : 100 : 7 = 14 (dư 2).
Sau đúng 14 tuần lại đến ngày chủ nhật và hai ngày sau là ngày thứ ba. Vậy
100 ngày sau là ngày thứ ba trong tuần lễ.
Đáp số : ngày thứ ba.

16


CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP NHẰM TĂNG CƯỜNG KHẢ
NĂNG GIẢI BÀI TOÁN NÂNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP
CHIA
3.1. Bài tốn nâng cao chia hết

Bài tốn 1.  Khơng làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới
đây có chia hết cho 3 hay không?
240 + 123                                     240 - 123
2454 + 374 + 135                        2454 - 374 - 135
Gợi ý:
     a. 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:
       (240 + 123) chia hết cho 3                 (240 - 123) chia hết cho 3
     b. 2454 và 135 chia hết cho 3 cịn 374 khơng chia hết cho 3 nên:
   2454 + 374 + 135 không chia hết cho 3;
   2454 - 374 - 135 không chia hết cho 3
Bài tốn 2. Tìm số n sao cho n + 6  chia hết cho n + 1.
Gợi ý: n + 6 = n + 1 + 5 nên n + 6 chia hết cho n + 1 khi và chỉ khi 5 chia hết
cho n + 1. Nhưng 5 chỉ chia hết cho 5 và 1 nên n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 5. Từ
đó n = 0 hoặc n = 4.
Bài toán 3. Viết thêm sau số 1 hai chữ số sao cho được một số có 3 chữ số và
số này chia hết cho 6.
Giáo viên hướng dẫn nên xác định chữ số tận cùng trước và từ đó suy ra chữ
số hàng chục.
Bài tốn 4. Khơng thực hiện phép chia hãy cho biết các số sau đây: 2015,
1975, 55555 có chia hết cho 15 khơng? Tại sao?
17