skkn nội dung và phương pháp dạy giải toán nâng cao ở tiểu học – với phân mạch kiến thức “các bài toán tính tuổi

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HƯNG YÊN
TRƯỜNG TIỂU HỌC AN TẢO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN NÂNG
CAO Ở TIỂU HỌC” VỚI PHẦN MẠCH KIẾN THỨC
“CÁC BÀI TOÁN TÍNH TUỔI”
Môn : Toán
Người thực hiện : Đỗ Thị Phấn
Chức vụ : Hiệu trưởng
Đơn vị công tác : Trường Tiểu học An Tảo
Thành phố Hưng Yên – Tỉnh Hưng Yên
Năm học : 2013 - 2014
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Phương pháp nghiên cứu 3
IV. Đối tượng nghiên cứu 3
V. Ý nghĩa của đề tài 3
PHẦN 2: NỘI DUNG 4
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài 4
1.1 Cơ sở lý luận 4
1.2 Cơ sở thực tiễn 4
1.3 ND và PP dạy giải toán nâng cao “Các bài toán về tính tuổi” 5
II. Phương pháp giải – Ví dụ minh họa 7
2. Dạng 1: Cho biết hiệu số và tỉ số của hai người 7
2.2. Dạng 2: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người 14
2.3. Dạng 3: Cho biết tỷ số tuổi hai người ở hai thời điểm khác nhau 16

2.4. Dạng 4: Cho biết tổng và hiệu số của hai người 19
2.5. Dạng 5: Cho tỷ số của hai người ở hai thời điểm khác nhau 20
2.6. Dạng 6: Các bài toán tính tuổi với số thập phân 22
2.7. Dạng 7: Một số bài toán khác 24
III. Hệ thống các phương pháp truyền tải trong quá trình
hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tính tuổi 29
IV. Thực trạng việc dạy và học 29
4.1. Về học sinh 30
4.2. Về giáo viên 30
4.3. Về tài liệu tham khảo 31
4.4. Những sai lầm thường mắc phải của thầy và trò trong quá trình
dạy và giải toán nâng cao tính tuổi
31
4.5. Việc sử dụng đồ dùng trược quan và trang thiết bị 31
V. Hệ thống bài tập tự luyện theo dạng 31
VI. Kết quả thực nghiệm 33
VII. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển 35
PHẦN 3: KẾT LUẬN 37

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giáo dục nước ta trong thập kỷ tới phát triển trong bối cảnh thế giới có
nhiều thay đổi nhanh và phức tạp. Toàn cầu hóa và hội nhập quốc tế về giáo dục
đã trở thành xu thế tất yếu. Cách mạng khoa học công nghệ, công nghệ thông tin
và truyền thông, kinh tế trí thức ngày càng phát triển mạnh mẽ, tác động trực
tiếp đến sự phát triển của các nền giáo dục trên thế giới.
Chiến lược phát triển kinh tế - xã hội 2011 - 2020 đã khẳng định phấn đấu
đến năm 2020 nước ta cơ bản trở thành nước công nghiệp theo hướng hiện đại;
3

chính trị - xã hội ổn định, dân chủ, kỷ cương, đồng thuận; đời sống vật chất và
tinh thần của nhân dân được nâng lên rõ rệt; độc lập, chủ quyền, thống nhất và
toàn vẹn lãnh thổ được giữ vững; vị thế của Việt Nam trên trường quốc tế tiếp
tục được nâng cao; tạo tiền đề vững chắc để phát triển cao hơn trong giai đoạn
sau. Chiến lược cũng đã xác định rõ một trong ba đột phá là phát triển nhanh
nguồn nhân lực, nhất là nguồn nhân lực chất lượng cao, tập trung vào việc đổi
mới căn bản, toàn diện nền giáo dục quốc dân, gắn kết chặt chẽ phát triển nguồn
nhân lực với phát triển và ứng dụng khoa học, công nghệ. Sự phát triển của đất
nước trong giai đoạn mới sẽ tạo ra nhiều cơ hội và thuận lợi to lớn, đồng thời
cũng phát sinh nhiều thách thức đối với sự nghiệp phát triển giáo dục.
Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI đã khẳng định "Đổi mới
căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa,
xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, trong đó, đổi mới cơ chế quản lý
giáo dục, phát triển đội ngũ giáo viên và cán bộ quản lý giáo dục là khâu then
chốt" và "Giáo dục và đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng xây dựng đất nước, xây dựng
nền văn hóa và con người Việt Nam". Chiến lược phát triển kinh tế - xã hội
2011 - 2020 đã định hướng: "Phát triển và nâng cao chất lượng nguồn nhân lực,
nhất là nhân lực chất lượng cao là một đột phá chiến lược". Chiến lược phát
triển giáo dục 2011 - 2020 nhằm quán triệt và cụ thể hóa các chủ trương, định
hướng đổi mới giáo dục và đào tạo, góp phần thực hiện thắng lợi Nghị quyết Đại
hội Đảng toàn quốc lần thứ XI và Chiến lược phát triển kinh tế - xã hội 2011 -
2020 của đất nước.
Bên cạnh đó, xuất phát từ tầm quan trọng của việc bồi dưỡng học sinh
giỏi và việc dạy - học các dạng “Toán điển hình”: Dạng “Các bài toán tính tuổi”
là một trong những dạng toán điển hình thuộc loại toán khó và tính đa dạng của
nó ở trong chương trình môn Toán ở Tiểu học.
Để giải được dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu
4

tượng hóa và khái quát hóa và sử dụng thành thạo, linh hoạt các phương pháp
giải toán ở Tiểu học. Thực trạng dạy và học toán “Các bài toán điển hình” mà
trong đó có những “Các bài toán tính tuổi” thường gây khó khăn cho học sinh,
các em còn lúng túng khi gặp phải dạng bài này. Bên cạnh đó, một số giáo viên
chưa biết cách hướng dẫn cho học sinh để các em có thể nhanh chóng tìm ra
hướng giải quyết.
Trong việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu tham gia thi Violympic giải
toán qua mạng Internet do Bộ GD&ĐT tổ chức thì đa số giáo viên gặp khó khăn
trong việc hướng dẫn học sinh giải “Các bài toán tính tuổi” .
Để góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải “Các
bài toán tính tuổi” nói riêng trong môn toán ở Tiểu học và góp phần trong việc
đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh năng khiếu trên cơ sở kiến thức chuẩn
theo chương trình để hình thành và phát triển những kiến thức nâng cao một
cách phù hợp với nhận thức của học sinh. Tôi đã mạnh dạn chọn đề tài có tên
“Nội dung và phương pháp dạy giải toán nâng cao ở tiểu học” với phần mạch
kiến thức “Các bài toán tính tuổi”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và đánh giá thực trạng dạy giải toán nâng
cao ở trường Tiểu học An Tảo, TP Hưng Yên, tỉnh Hưng Yên. Tìm ra hệ thống
nội dung và phương pháp dạy toán nâng cao các bài toán tính tuổi cho học sinh
Tiểu học hay nhất, tốt nhất góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã thực hiện các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận (Đọc tài liệu và sách tham khảo).
- Phương pháp điều tra thực trạng.
- Phương pháp phân tích tổng hợp – Thực hành.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
5

IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này, tôi chỉ nghiên cứu đối với học sinh khá, giỏi trường Tiểu
học An Tảo thành phố Hưng Yên nơi tôi đang công tác
V. Ý NHĨA CỦA ĐỀ TÀI
Làm sáng tỏ thêm về lý luận dạy học các dạng toán điển hình. Đặc biệt là
dạng “Các bài toán tính tuổi”.
Hình thành tri thức mới, củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức, rèn
luyện kỹ năng tính và giải toán hơn nữa, tư duy của học sinh đi từ trực quan sinh
động đến tư duy trừu tượng nên giaos viên thường hình thành các biểu tượng,
khái niện toán học cho học sinh thông qua việc giải toán cụ thể mà không phải
bằng con đường lý luận.
Nhờ áp dụng các kiến thức toán học vào thực tiễn cuộc sống , thực hiện
phương châm "Học đi đôi với hành" mà học sinh có thể tự tính tuổi cho mình,
người thân dựa vào một số dữ kiện cho sẵn hoặc giáo dục học sinh lòng yêu
nước qua các ngày lễ trong năm.
Việc giải toán sẽ giúp các em rèn luyện tư duy một cách tích cực, linh
hoạt; phát triển trí thông minh, tự sáng tạo, độc lập suy nghĩ; hình thành thói
quen làm việc khoa học; rèn luyện đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhẫn, bình
tĩnh; có ý chí vượt khó, thói quen tự kiểm tra công việc của mình,
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Cơ sở lí luận
Môn Toán có tiềm năng giáo dục to lớn, nó góp phần quan trọng trong
việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải
quyết vấn đề. Nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập linh
hoạt, sáng tạo; góp phần vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan
trọng của con người như lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức vượt khó khăn,
làm việc có kế hoạch, có nền nếp và có tác phong khoa học.
6

Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là một vấn đề mà Đảng và Nhà nước ta
rất quan tâm; Xuất phát từ mục tiêu của Đảng là "Phát hiện tài năng bồi dưỡng
nhân tài cho đất nước" chúng ta cần phải chăm sóc thế hệ trẻ ngay từ lúc ấu
thơ đến lúc trưởng thành. Vì vậy việc phát triển và bồi dưỡng ngay từ bậc tiểu
học là công việc hết sức quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải không ngừng
cải tiến về nội dung, đổi mới về phương pháp để khuyến khích học sinh say mê
học tập, nghiên cứu tìm tòi chiếm lĩnh tri thức mới.
Việc dạy và giải các bài toán nâng cao trong môn giải toán ở Tiểu học có
vị trí đặc biệt quan trọng. Thông qua dạy giải toán nâng cao giúp cho đội ngũ
giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, rèn kỹ năng giải toán từ đó
nâng cao chất lượng dạy toán Tiểu học. Cũng thông qua việc giải toán nâng cao
có tác dụng thúc đấy phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng sáng tạo Toán
học của học sinh.
Muốn nâng cao chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán thì trước hết
phải xây dựng được một nội dung hợp lý, khoa học và những phương pháp
giảng dạy phù hợp, phát triển được khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo của học
sinh.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa, qua thực tế giảng dạy và
bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán lớp 4 - 5 của trường Tiểu học
An Tảo tôi thấy: Thực trạng việc dạy học và giải toán nâng cao nói chung và dạy
- học các bài toán về tính tuổi nói riêng của giáo viên và học sinh tôi thấy còn
nhiều vấn đề phải quan tâm. Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa
đảm bảo logic, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì
chọn để dạy cho học sinh chứ chưa phân được dạng, loại trong mỗi mạch kiến
thức. Về phương pháp giảng dạy các bài toán nâng cao chưa hợp lí, có những
phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng tiếp thu của
học sinh; chưa có tài liệu chỉ đạo cụ thể về nội dung và phương pháp dạy bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó làm cơ sở. Học sinh chưa có một
7

phương pháp tư duy logic để giải quyết các dạng bài tập Chính vì vậy, chất
lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa cao.
1.3. Nội dung và phương pháp dạy giải toán nâng cao “Các bài toán
về tính tuổi”
1.3.1. Toán nâng cao và hệ thống phương pháp dạy giải toán nâng cao
Toán nâng cao và hệ thống phương pháp dạy giải toán nâng cao này đang
là một vấn đề quan tâm của nhiều người. Trong hệ thống toán nâng cao ở Tiểu
học phân dạng bài toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải thành 10
chuyên đề phân biết, đó là:
- Chuyên đề 1: Các bài toán về số và chữ số
- Chuyên đề 2: Các bài toán trồng cây
- Chuyên đề 3: Các bài toán điền dấu vào phép tính
- Chuyên đề 4: Các bài toán về chia hết
- Chuyên đề 5: Các bài toán về phân số – số thập phân
- Chuyên đề 6: Các bài toán về tính tuổi
- Chuyên đề 7: Các bài toán về chuyển động
- Chuyên đề 8: Các bài toán về suy luận
- Chuyên đề 9: Các bài toán có nội dung hình học
- Chuyên đề 10: Các bài toán vui, toán cổ.
Trong 10 chuyên đề toán nâng cao dành cho học sinh Tiểu học, thì dạng
toán nâng cao về “Tính tuổi” là một dạng toán điển hình rất hay, rất hấp dẫn, bổ
ích, không thể thiếu được trong cẩm nang toán của các em.
1.3.2. Nội dung và phương pháp giải “Các bài toán về tính tuổi” ở
Tiểu học.
8

Các bài toán tính tuổi nâng cao là một dạng toán điển hình rất bổ ích. Qua
tìm tòi cách giải, nó giúp cho học sinh tổng hợp, nâng cao toàn bộ các kiến thức
được học một cách sâu sắc, toàn diện.

1.3.2.1. Các bài toán nâng cao về tính tuổi được thầy giáo phân dạng
thành 6 dạng trong cuốn 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán sau:
- Dạng 1: Cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người;
- Dạng 2: Cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người;
- Dạng 3: Cho biết tỉ số tuổi cho hai người ở 2 thời điểm khác nhau;
- Dạng 4: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người;
- Dạng 5: Cho biết tỉ số tuổi của 2 người ở 3 thời điểm khác;
- Dạng 6: Các bài toán tính tuổi với số thập phân;
- Dạng 7: Một số bài toán khác.
1.3.2.2. Các kiến thức cần củng cố và bổ sung.
Khi giải các bài toán nâng cao về tính tuổi, giáo viên đã giúp học sinh
củng cố lại kiến thức về:
- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu (lớp 4)
- Tìm hai số khi tổng và tỷ (lớp 4)
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ (lớp 4)
- Số thập phân, phân số (lớp 5)
- Cấu tạo số, các dạng biểu thức chưa hai hoặc ba chữ số…
Trong quá trình tìm tòi cách giải các bài toán nâng cao về tính tuổi thì
giáo viên giúp học sinh nhận biết và nắm chắc chìa khoá để giải là:
- Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian.
- Mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi.
9

1.3.2.3 Trong các bài toán về tính tuổi của A và B (hai người) thường
gặp các đại lượng sau:
+ Tuổi của A và B
+ Hiệu số tuổi của A và B
+ Tổng số tuổi của A và B
+ Các thời điểm của A và B (trước đây, hiện nay, sau này).
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI - VÍ DỤ MINH HỌA

2.1. Dạng 1: Cho biết hiệu số tuổi và tỷ số tuổi của hai người (A và B)
2.1.1. Loại 1: Cho biết hiệu số tuổi của hai người.
Cách giải: Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tỷ số của hai người ở thời
điểm đã cho. Giáo viên hướng dẫn cho học sinh nhận xét rút ra là:
+ Hiệu số tuổi của hai người bằng hiệu số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn
thẳng.
+ Tìm số tuổi ứng với một phần bằng nhau trên sơ đồ.
+ Tìm số tuổi của mỗi người.
Ví dụ 1: Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi của mỗi người
khi anh gấp 3 lần tuổi em.
Giải
Cách 1:
Tuổi em:
Tuổi anh:
6 tuổi (11 – 5)
Sơ đồ trên biểu thị tuổi anh và tuổi em lúc tuổi anh gấp 3 lần tuổi em.
Hiệu số tuổi của anh hơn tuổi em là:
11 – 5 = 6 (tuổi)
10

Tuổi em lúc anh gấp 3 lần tuổi là:
6 : 2 = 3 (tuổi)
Tuổi anh lúc anh gấp 3 lần tuổi em là:
3 x 3 = 9 (tuổi)
Vậy, khi anh 9 tuổi và em 3 tuổi thì lúc đó tuổi anh gấp 3 lần tuổi em.
Cách 2:
Khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em thì số tuổi của anh là:
(11 – 5) : 2 x 3 = 9 (tuổi)
Lúc đó tuổi của em là:
9 : 3 = 3 (tuổi)

Ví dụ 2: Cách đây 3 năm em lên 5 tuổi và kém anh 6 tuổi. Hỏi cách
đây mấy năm thì tuổi anh gấp 3 lần tuổi em.
Giải
Tuổi em hiện nay là:
5 + 3 = 8 (tuổi)
Tuổi em:
Tuổi anh:
Sơ đồ trên biểu thị tuổi anh và tuổi em khi anh gấp 3 lần tuổi em là:
Tuổi em lúc anh gấp 3 lần tuổi em là:
6 : 2 = 3 (tuổi)
Thời gian cách hiện nay khi tuổi anh gấp 3 lần tuổi em là:
8 – 3 = 5 (năm)
Ví dụ 3: Hiện nay anh 16 tuổi còn em 4 tuổi
a) Hãy tính tuổi của mỗi người khi tuổi em bằng 2/5 tuổi anh.
11
6 tuổi

b) Khi tuổi em bằng 2/5 tuổi anh thì tuổi mẹ cũng gấp 2 lần tổng số
tuổi của 2 anh em. Tính tuổi mẹ hiện nay? (lớp 4)
Giải
Tuổi anh luôn hơn tuổi em là:
16 – 4 – 12 (tuổi)
Khi tuổi em bằng 2/5 tuổi anh thì tuổi anh vẫn hơn em là 12 tuổi.
Lúc đó ta có sơ đồ là:
Tuổi anh:
Tuổi em:
Hiệu số phần bằng nhau là:
5 – 2 = 3 (phần)
Giá trị một phần là:
12 : 3 = 4 (tuổi)

Tuổi em lúc đó là:
4 x 2 = 8 (tuổi)
Tuổi anh lúc đó là:
4 x 5 = 20 (tuổi)
Tuổi mẹ lúc đó là:
(20 + 8) x 2 = 56 (tuổi)
Tuổi em bằng 2/5 tuổi anh sau thời gian:
8 – 4 = 4 (năm)
Tuổi mẹ hiện nay:
56 – 4 = 52 (tuổi)
Đáp số: a) 20 tuổi; 8 tuổi
12
12 tuổi

b) 52 tuổi
2.1.2. Loại 2: Phải giải bài toán phụ tìm hiệu số tuổi của hai người.
Cách giải:
- Trước hết là giải bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi giữa hai người.
- Sau đó giải như loại 1.
Ví dụ 4: Tuổi cha năm nay gấp 4 lần tuổi con và tổng số tuổi của hai
cha con cộng lại là 50. Hãy tính tuổi của hai cha con khi tuổi cha gấp 3 lần
tuổi con?
Giải
Ta có sơ đồ sau biểu thị số tuổi của hai cha con hiện nay là:
Tuổi con:
Tuổi cha:
Tuổi con hiện nay là:
50 : (1 + 4) = 10 (tuổi)
Cha hơn con là:
10 x 3 = 30 (tuổi)

Khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con, ta có sơ đồ sau:
Tuổi con:
Tuổi cha:
Tuổi của con khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con là:
30 : 2 = 15 (tuổi)
Tuổi của cha lúc đó là:
15 x 3 = 45 (tuổi)
Đáp số: 15 tuổi và 45 tuổi
13
50 tuổi
30 tuổi

Ví dụ 5: Cách đây 6 năm, tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con và tổng số tuổi
của hai mẹ con lúc đó là 24. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi
con?
Giải
Ta có sơ đồ biểu thị số tuổi của hai mẹ con cách đây 6 năm là:
Tuổi con:
Tuổi mẹ là:
Tuổi con cách đây 6 năm là:
24 : (1 + 7) = 3 (tuổi)
Mẹ hơn con là:
3 x 6 = 18 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
3 + 6 = 9 (tuổi)
Khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con ta có sơ đồ sau:
Tuổi con:
Tuổi mẹ là:
Tuổi con khi mẹ gấp 2 lần tuổi con là:
18 x 1 = 18 (tuổi)

Thời gian từ nay đến khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con là:
18 – 9 = 9 (năm)
Đáp số: 9 năm
* Tiểu kết: Như vậy dạng 1 là dạng toán “Cho biết hiệu số tuổi và tỷ
số tuổi của A và B”. Giáo viên hướng dẫn làm như sau:
14
24 tuổi
18 tuổi

- Hiệu số phần bằng nhau
- Tìm giá trị 1 phần: Lấy hiệu của hai số chia cho hiệu số phần bằng nhau.
- Tìm tuổi người thứ nhất: Lấy giá trị 1 phần nhân với số phần của số thứ
nhất.
- Tìm tuổi của người thứ hai: Lấy giá trị 1 phần nhân với số phần của số
thứ hai.
(Tuy nhiên các em có thể giải gộp)
Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán này giáo viên nên hướng dẫn học
sinh giải bài toán này bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Đây là một phương
pháp giúp cho học sinh khi phân tích một bài toán cần phải biết lập được mối
quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán đó.
Muốn làm việc này ta thường dùng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã
cho, số phải tìm) để minh họa các quan hệ đó, ta phải tìm độ dài của các đoạn
thẳng và cần sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng
thấy được mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng tạo một hình ảnh cụ thể
giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải toán sao cho hợp lý khoa học.
* Bên cạnh phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán
dạng 1 ta có thể giải các bài toán dạng 1 bằng thủ thuật. Đó là thủ thuật giải
toán bằng cách tưởng tượng ra tình huống không có thật.
Khi ta gặp các bài toán có những mối quan hệ và số liệu tương đối phức
tạp thì ta có thể nghĩ tới một hướng giải quyết theo các hướng sau:

a. Tưởng tượng ra một tình huống hoặc một bài toán mới có một số đặc
điểm giống như bài đã cho, song các mối quan hệ thì đơn giản hơn, quen thuộc
hơn, các số liệu dễ tính toán, do đó giúp cho học sinh dễ giải hơn.
b. Giải tình huống hoặc bài toán đơn giản hơn mà ta tưởng tượng ra từ
đây
suy ra đáp số của bài toán khó hơn.
15

Ví dụ 6: Hiện nay mẹ 30 tuổi, con gái 6 tuổi, con trai 3 tuổi. Hỏi sau
đây bao nhiêu năm thì tuổi mẹ:
a. Bằng tổng số tuổi của hai con?
b. Gấp đôi tổng số tuổi của hai con?
Giải
a. Tổng số tuổi của hai con hiện nay là:
6 + 3 = 9 (tuổi)
Hiện nay, hiệu số giữa tuổi mẹ và tổng số tuổi hai con là:
30 – 9 = 21 (tuổi)
Cứ sau một năm thì mẹ tăng 1 tuổi, nhưng hai con tăng 2 tuổi nên hiệu số
giữa tuổi mẹ và tổng số tuổi hai con giảm đi 1 tuổi.
Vậy tuổi mẹ sẽ bằng số tuổi con sau:
21 : 1 = 21 (năm)
b. Giả sử rằng hiện nay người cha trong gia đình cùng 30 tuổi
Thì hiệu số tuổi của cha lẫn mẹ và tuổi hai còn là:
(30 + 30) – 9 = 51 (tuổi)
Cứ sau 1 năm thì cả cha lẫn mẹ tăng 2 tuổi và hai con cũng tăng 2 tuổi
nên hiệu trên không bao giờ thay đổi. Đến khi mẹ gấp đôi tuổi của hai con thì
tuổi cả cha và mẹ gấp 4 lần tuổi hai con.
Ta có sơ đồ
Tuổi hai con:
Tuổi cha và mẹ:

Vậy tuổi của hai con là:
51 : (4 – 1) = 17 (tuổi)
Số năm sau này là:
(17 – 9) : 2 = 4 (năm)
16
51 năm

Đáp số: a) 21 năm sau
b) 4 năm sau
Phân tích:
+ Ở câu a không có giả thiết tạm.
+ Ở câu b ta thấy việc tưởng tượng ra “thêm một nhân vật không có trong
đề toán là người cha cũng 30 tuổi. Việc tưởng tượng này cho phép tạo ra một
hiệu số không thay đổi trong bài toán là hiệu giữa tuổi cha, mẹ và tuổi hai con”.
Hiệu số không thay đổi này đóng vai trò quan trọng trong cách giải. Nếu không
tưởng tượng ra “nhân vật cha” thì hiệu số giữa tuổi mẹ và tuổi hai con sẽ thay
đổi theo thời gian do đó ta không đưa bài toán trở về dạng tìm hai số khi biết
hiệu và tỷ được.
2.2. Dạng 2: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người:
Cách giải:
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tổng và tỉ số tuổi của 2 người ở thời
điểm đã cho.
- Tổng số tuổi của hai người được biểu thị bằng tổng số phần bằng nhau
trên sơ đồ đoạn thẳng.
- Tìm số tuổi ứng với một phần nhau trên sơ đồ.
- Tìm sơ đồ của mỗi người.
Ví dụ7: Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 45 tuổi. Tuổi bố gấp 4
lần tuổi con. Tính số tuổi mỗi người?
Giải
Ta có sơ đồ:

Tuổi con hiện nay là :
45 : (4 + 1) x 1= 9 (tuổi )
Tuổi bố hiện nay là:
9 x 4 = 36 (tuổi ) (hoặc 45 – 9 = 36 tuổi )
17
Tuổi con:
Tuổi bố:
45 tuổi

Đáp số: Bố 36 tuổi; Con 9 tuổi
Ví dụ 8: Tổng tuổi hai chú cháu là 56 tuổi . Tuổi cháu bằng
5
2
tuổi
chú. Tìm tuổi mỗi người?
Giải
Ta có sơ đồ

Tổng số phần bằng nhau là:
5 + 2 = 7 ( phần )
Tuổi cháu hiện nay là
56 : 7 x 2 = 16 (tuổi )
Tuổi chú hiện nay là:
56 – 16 = 40 (tuổi )
Đáp số: Chú 40 tuổi
Cháu 16 tuổi
Ví dụ 9: Tổng tuổi hai cha con cách đây 3 năm là 57 tuổi. Hiện nay
tuổi cha gấp 2,5 tuổi con. Tính tuổi mỗi người hiện nay?
Giải
Vì mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi, nên tổng số tuổi hai cha con

hiện nay là:
57 + 3 + 3 = 63 ( tuổi )
Ta thấy: 2,5 =
10
25
=
2
5
Ta có sơ đồ:
Tuổi con hiện nay là :
63 : (5 + 2) x 2 = 18 (tuổi )
63 tuổi
18
Tuổi chú:
Tuổi cháu:
56 tuổi
Tuổi cha:
Tuổi con:

Tuổi bố hiện nay là:
63 - 18 = 45 tuổi )
Đáp số: Bố 45 tuổi và Con: 18 tuổi
2.3. Dạng 3: Cho biết tỷ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác
nhau
Cách giải: Vẽ hai sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ của hai người ở
mỗi thời điểm rồi dựa vào đó phân tích để tìm ra lời giải.
Ví dụ 10: Chị năm nay 24 tuổi. Trước đây khi tuổi chị bằng tuổi em
hiện nay thì chị gấp 2 lần tuổi em. Hỏi năm nay em bao nhiêu tuổi?
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ biểu diễn tuổi chị và tuổi em trước đây và hiện nay là:

Tuổi em trước đây:
Tuổi chị trước đây:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi chị hiện nay:
24 tuổi
Ta nhận xét: Hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi chị và tuổi em không thay
đổi theo thời gian. Như vậy tuổi chị hiện nay bằng 3 lần tuổi em trước đây.
Tuổi em hiện nay là:
24 : 3 x 2 = 16 (tuổi)
Đáp số: 16 tuổi
Cách 2:
(Không dùng sơ đồ đoạn thẳng)
Gọi tuổi em trước đây là một phần thì:
- Tuổi chị trước đây là 2 phần như thế
- Tuổi em hiện là 2 phần như thế
19

Tuổi chị hiện nay là:
(2 + 1) = 3 (phần như thế)
Tuổi em hiện nay là:
24 : 3 x 2 = 16 (tuổi)
Đáp số: 16 tuổi
Ví dụ 11: Năm nay tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. Nhưng trước đây 12
năm thì bố gấp 9 lần tuổi con. Năm nay con, bố bao nhiêu tuổi?
Giải
Ta có sơ đồ:
Tuổi con hiện nay:
Tuổi cha hiện nay:
Hiệu số tuổi cha và con
Tuổi con trước đây 12 năm:

Tuổi cha trước đây 12 năm:
Hiệu số tuổi cha và con ở đây ta thấy hiệu số giữa tuổi cha và con luôn
không thay đổi.
Cách 2:
Giải bằng phương pháp đặt ẩn số.
- Năm nay tuổi con là x thì tuổi bố là 3
×
x
- Trước đây 12 năm thì tuổi con là: x – 12 (tuổi)
tuổi bố là: (3
×
x) – 12 (tuổi)
Theo đầu bài ra ta có:
3
×
x – 12 = 9
×
(x – 12)
3
×
x – 12 = 9
×
x – 108
108 – 12 = 9
×
x – 3
×
x
96 = 6
×

x
20

x = 96 : 6
x = 16
Tuổi con hiện nay là 16 (tuổi)
Tuổi cha là:
16
×
3 = 48 (tuổi)
Đáp số: 48 tuổi
Cách 3: Phương pháp “Thủ thuật rút về đơn vị”
Ta thấy hiệu số giữa tuổi cha và tuổi con luôn không thay đổi nên ta chọn
hiệu số đó làm đơn vị quy ước.
Hiện nay tuổi con bằng 1/3 tuổi cha, vậy:
a. Tuổi con hiện nay bằng 1/2 hiệu số giữa tuổi cha và con.
Trước đây 12 năm tuổi cha gấp 9 lần tuổi con, vậy:
b. Tuổi con trước đây 12 năm bằng 1/8 hiệu số giữa tuổi cha và con.
Đem a trừ đi b ta có:
12 (năm) =
1 1 3
2 8 8
− =
(hiệu số tuổi cha và con )
Vậy hiệu số giữa tuổi cha và con là:
12 :
3
8
= 32 (tuổi)
Từ a ta có tuổi con hiện nay là:

32 : 2 = 16 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là:
16
×
3 = 48 (tuổi)
Đáp số: 48 tuổi
* Tiểu kết: Ở dạng toán 3 “Biết tỷ số tuổi của hai người ở hai thời điểm
khác nhau” ngoài việc dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, giáo viên nên
hướng dẫn cho học sinh lựa chọn cách giải bằng phương pháp đặt ẩn số hoặc
“thủ thuật rút về đơn vị”.
21

- Phương pháp đặt ẩn số cho giá trị phải tìm giúp cho học sinh dễ tìm ra
đáp số, nhưng đòi hỏi HS phải biết bám sát đầu bài và giải tìm y thành thạo.
- Phương pháp “Thủ thuật rút về đơn vị” là phương pháp dùng khi gặp bài
toán chưa tìm ra ngay đáp số của nó mà chỉ có thể tính ngay được một số giá trị
đặc biệt nào đó. Dựa vào giá trị này ta sẽ suy ra được số phải tìm. Một trong giá
trị đặc biệt ấy là giá trị tương ứng với một đơn vị hay một phần bằng nhau của
đại lượng nào đó hoặc chính bản thân đại lượng ấy.
Nói cách khác có thể hiểu đơn vị ở đây là số 1 hoặc là “một giá trị của
một đại lượng nào đó”.
2.4. Dạng 4: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của 2 người.
Ví dụ 12: Tính tuổi của 2 anh em biết rằng 2 lần tuổi anh lớn hơn
tổng số tuổi của 2 anh em là 20 và hiệu số tuổi của hai anh em lớn hơn số
tuổi em là 8.
Giải
Ta có sơ đồ sau:
Tuổi em: 8T
Tuổi anh: 20T
Tuổi của 2 anh em:

Tuổi em là: 20 – 8 = 12 (tuổi)
Tuổi anh là: 12 + 20 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
Ví dụ 13: Tổng số tuổi của hai anh em là 27. Nếu anh bớt đi 3 tuổi và
em tăng thêm 2 tuổi thì tuổi của hai anh em bằng nhau. Tính tuổi mỗi
người?
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ sau:
22
3T
2T
27 tuổi

Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh nhiều hơn tuổi em là:
3 + 2 = 5 (tuổi)
Tuổi anh là:
(27 + 5) : 2 = 16 (tuổi)
Tuổi em là:
(27 – 5) : 2 = 9 (tuổi)
Đáp số: 16 tuổi và 9 tuổi
2.5.Dạng 5: Cho tỷ số tuổi của hai người ở 3 thời điểm khác nhau.
Cách giải: Dùng sơ đồ độ tuổi để biểu diễn tuổi mối quan hệ tuổi hai
người ở từng thời điểm đã cho.
Ví dụ 14: Tuổi em hiện nay gấp 2 lần tuổi em khi anh bằng tuổi em
hiện nay. Khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì 2 lần tuổi em lớn hơn tuổi
anh lúc đó 12 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người?
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ độ tuổi biểu thị số tuổi của hai anh em ở các thời

điểm như sau:
Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi anh hiện nay:
Hai lần tuổi em sau này:
Tuổi anh sau này:
Nhìn vào sơ đồ ta có:
23
12T

Tuổi em hiện nay là :
(12 : 2)
×
2 = 12 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
(12 : 2)
×
3 = 18 (tuổi)
Đáp số: anh 18 tuổi và em 12 tuổi
Ví dụ 15: Con trai hỏi mẹ: “Mẹ ơi, mẹ bao nhiêu tuổi”, mẹ trả lời:
“Tuổi con bây giờ bằng 1/4 tuổi mẹ trước đây 8 năm. Sau 8 năm nữa thì
tuổi con lúc đó sẽ bằng 2/5 tuổi mẹ bây giờ”.
Em hãy cho biết tuổi mẹ là bao nhiêu?
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội năm 1996 – 1997)
Giải
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp rút về đơn vị.
Theo bài ra ta có:
+ Hiệu số tuổi của hai mẹ con là không thay đổi.
+ Tuổi mẹ trước đây 8 năm trừ tuổi con bây giờ bằng tuổi mẹ bây giờ trừ

tuổi con sau 8 năm.
Gọi tắt 2 hiệu bằng nhau trên là “hiệu” ta có:
Tuổi mẹ trước đây là:
4
4 1−
= (hiệu)
5
5 2−
= (hiệu)
Suy ra 8 năm chính là:
5 4 1
3 3 3
− =
(hiệu)
Vậy hiệu là: (24 năm : 8 : 1/3) = 24 (năm)
24

Biết hiệu là 24; tỷ số là:
Tuổi mẹ bây giờ là:
24
×
5/3 = 40 (tuổi)
Đáp số: 40 tuổi
2.6. Dạng 6: Các bài toán tính tuổi với số thập phân.
Cách giải:
Trước hết ta dẫn dắt bài toán về tính tuổi với các số nguyên sau đó sử
dụng các phương pháp trên để giải.
Ví dụ 16: Tuổi con hiện nay bằng 0,4 tuổi mẹ, cách đây 8 năm thì tuổi
con bằng 0,25 tuổi mẹ. Tính tuổi mẹ và con hiện nay.
Giải

Dùng phương pháp rút về đơn vị
Hiệu số tuổi của mẹ và con luôn không thay đổi
Ta thấy tuổi con hiện nay là:
0,4 : (1 – 0,4) = 2/3 (hiệu giữa tuổi mẹ và con)
Tuổi con trước đây 8 năm bằng:
0,25 : (1 – 0,25) = 1/3 (hiệu giữa tuổi mẹ và tuổi con)
Vậy 8 năm chính là:
2 1 1
3 3 3
− =
(hiệu giữa tuổi mẹ và con)
Suy ra hiệu giữa tuổi mẹ và tuổi con là:
8 : 1/3 = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
24
×
2/3 = 16 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là:
25