Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.49 MB, 34 trang )
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC
NGHIỆM VỀ CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Giáo Viên: Nguyễn Ngọc Quang
THÁNG 1 NĂM 2018
Trang 1
skkn
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích
thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách
chủ động và đạt được mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất
định là đặc biệt quan trọng. Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng
dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh. Nó giúp
người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi
đạt được kết quả cao nhất.
Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm
một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong q trình giảng dạy tơi
nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung
và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận
dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn
Tốn, địi hỏi học sinh khơng những phải có kiến thức sâu, rộng mà cịn phải có các cách
tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải
các bài tốn về cực trị của hàm số, tơi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
“ Hướng
dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm
số”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách
tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ
đó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với
mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, tìm tịi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc
nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị
hàm số”.
Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9.
Trang 2
skkn
V. Phạm vi nghiên cứu: các dạng tốn: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện
của tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt
cực trị tại điểm
VI. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra thực tiễn.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
VII. Cấu trúc của SKKN
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
V. Phạm vi nghiên cứu
VI. Phương pháp nghiên cứu
VII. Cấu trúc của SKKN
B. Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
II. Một số dạng toán
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận
II. Đề xuất
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp
và
được gọi là một điểm cực đại của hàm số
điểm
sao cho:
nếu tồn tại một khoảng
.
Trang 3
skkn
chứa
Khi đó
được gọi là giá trị cực đại của hàm số
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số
điểm
sao cho:
.
nếu tồn tại một khoảng
chứa
.
Khi đó
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu là một điểm cực trị của hàm số
thì người ta nói rằng hàm số
điểm .
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp
đạt cực trị tại
Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay
cực trị ) của hàm số.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm . Khi đó , nếu có đạo hàm tại điểm
thì
.
Chú ý :
Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm
nhưng hàm số
khơng đạt cực trị tại điểm
.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng ,
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng
chứa điểm và có đạo hàm trên
các khoảng
Nếu
và
. Khi đó :
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
Trang 4
skkn
.
Nếu
.
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
Định lý 3: Giả sử hàm số
và
Nếu
có đạo hàm cấp một trên khoảng
có đạo hàm cấp hai khác
thì hàm số
tại điểm
đạt cực đại tại điểm
chứa điểm
.
.
Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại điểm .
Chú ý :
1. Nếu
là một điểm cực trị của hàm số
thì điểm
của đồ thị hàm số .
2. Trong trường hợp
được.
4. Tịnh tiến đồ thị
Cho hàm số
a) Nếu tịnh tiến
được gọi là điểm cực trị
khơng tồn tại hoặc
có đồ thị
thì định lý 3 khơng dùng
. Khi đó, với số
theo phương của
,
ta có:
lên trên
đơn vị ta được đồ thị
xuống dưới
đơn vị ta được đồ thị
hàm số
b) Nếu tịnh tiến
theo phương của
hàm số
c) Nếu tịnh tiến
theo phương của
d) Nếu tịnh tiến
theo phương của
qua trái
đơn vị ta được đồ thị hàm số
qua phải
đơn vị ta được
đồ thị hàm số
e) Đồ thị của hàm số
có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy
rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
f) Đồ thị của hàm số
có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy
rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
g) Đồ thị của hàm số
có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của
Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
h) Đồ thị của hàm số
có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của
Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
5. Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị
a) Nếu đồ thị hàm số
có n điểm cực trị có hồnh độ dương(các điểm cực trị
nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số
có
điểm cực trị.
Trang 5
skkn
b) Nếu đồ thị hàm số
có n điểm cực trị và phương trình
nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số
có
có m
điểm cực trị.
c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
bằng số điểm cực trị của đồ
thị hàm số
d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị khơng thay đổi.
II. Một số dạng tốn:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số
Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu
giá trị tuyệt đối liên quan đến
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.
Câu 1. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi
hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
Lời giải
có 1 điểm cực trị có hồnh độ dương nên đồ thị hàm số
Ta thấy đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau:
1. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
2. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
3. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
1. Đồ thị hàm số
Lời gải
có 2 điểm cực trị có hồnh độ dương nên hàm số
có 5 điểm cực trị
2. Đồ thị hàm số
đơn nên hàm số
3. Đồ thị hàm số
đơn nên hàm số
Câu 3. Cho hàm số
có 3 điểm cực trị và phương trình
có 2 nghiệm
có 5 điểm cực trị.
có 5 điểm cực trị và phương trình
có 2 nghiệm
có 7 điểm cực trị.
. Đồ thị hàm số
Trang 6
skkn
như hình vẽ bên dưới
1. Tìm m để hàm số
có 5 điểm cực trị.
2. Tìm m để hàm số
có 7 điểm cực trị.
3. Tìm m để hàm số
có 5 điểm cực trị.
Lời giải
Ta có BBT của hàm số
x
-∞
f'(x)
-1
-2
+
0
-
1
+
0
1. Đồ thị hàm số
0
+∞
2
-
0
+
có được bằng cách:
+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số
qua Oy được đồ thị hàm số
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số
.
theo phương của Ox sang phải hoặc trái
đơn vị được đồ thị hàm số
.
Ta thấy: Hàm số
có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương
có 5 điểm cực trị
có 5 điểm cực trị với mọi m.
2. Đồ thị hàm số
có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số
theo phương của Ox sang phải hoặc trái
đơn vị được đồ thị hàm số
.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
đồ thị hàm số
nằm bên phải Oy qua Oy được
.
Từ đó ta thấy: để hàm số
có 7 điểm cực trị thì hàm số
phải có 3 cực trị dương
tịnh tiến đồ thị hàm số
phương của Ox sang phải lớn hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị
Vậy
.
3. Để hàm số
có 5 điểm cực trị thì hàm số
cực trị dương
tịnh tiến đồ thị hàm số
hoặc trái) phải thỏa mãn:
Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị
Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị
Vậy
Câu 4. Cho hàm số
. Đồ thị hàm số
Trang 7
skkn
theo
phải có 2
theo phương của Ox (sang phải
như hình vẽ bên dưới
1. Tìm m để hàm số
có 5 điểm cực trị.
2. Tìm m để hàm số
có 5 điểm cực trị.
3. Tìm m để hàm số
có 3 điểm cực trị.
Lời giải
Ta có BBT của hàm số
x
+∞
f'(x)
0
+
1
0
-
3
0
-
0
CĐ
1. Đồ thị hàm số
+∞
+
CT
có được bằng cách:
+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số
qua Oy được đồ thị hàm số
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số
.
theo phương của Ox sang phải hoặc trái
đơn vị được đồ thị hàm số
.
Ta thấy: Hàm số
có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương
có 3 điểm cực trị
có 3 điểm cực trị với mọi m. Vậy khơng có giá trị nào của m để hàm
số
có 5 điểm cực trị.
2. Đồ thị hàm số
có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số
theo phương của Ox sang phải hoặc trái
đơn vị được đồ thị hàm số
.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
thị hàm số
nằm bên phải qua Oy được đồ
.
Từ đó ta thấy: để hàm số
có 5 điểm cực trị thì hàm số
phải có 2 cực trị dương
tịnh tiến đồ thị hàm số
phương của Ox sang phải lớn hơn 0 đơn vị
Vậy
3. Để hàm số
có 3 điểm cực trị thì hàm số
cực trị dương
hơn 3 đơn vị
Vậy
Dạng 2: Cho đồ thị
Phương pháp:
tịnh tiến đồ thị hàm số
Trang 8
phải có 1
theo phương của Ox trái nhỏ
Hỏi số điểm cực trị của hàm số
skkn
theo
+ Từ đồ thị hàm số
hãy tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị
hồnh.
+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của
và biểu thức của
để xét dấu
.
Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số
của hàm số
A.
Ta thấy đồ thị hàm số
thực sự tại hai điểm là
Bảng biến thiên
Vậy hàm số
với trục
Số điểm cực trị
là
B.
có
C.
Lời giải.
điểm chung với trục hồnh
D.
nhưng chỉ cắt
và
có
điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của
có điểm chung với trục hồnh nhưng cắt
và băng qua ln trục hồnh chỉ có điểm nên có hai cực trị.
Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
Cắt và băng qua trục hồnh từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số
Đồ thị hàm số
như hình
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số
A.
C.
B.
D.
Lời giải.
Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng
Trang 9
skkn
Từ
và
suy ra
.
Nhận thấy các nghiệm
trên khoảng
và
nên
là các nghiệm bội lẻ nên
mang dấu
qua nghiệm đổi
dấu; các nghiệm
là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy
với trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng ) nên qua nghiệm khơng đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số
có đạo hàm trên
và có bảng xét dấu của
sau
Hỏi hàm số
A.
B.
có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
C.
Lời giải.
tiếp xúc
như
D.
Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
Chú ý: Dấu của
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng
Từ
và
suy ra
mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm
dấu.
Câu 4. Cho hàm số
thời đồ thị hàm số
Số điểm cực trị của hàm số
A.
B.
trên khoảng
và
là các nghiệm bội lẻ nên
có đạo hàm liên tục trên
và
Trang 10
skkn
qua nghiệm đổi
đồng
như hình vẽ bên dưới
là
C.
Lời giải.
nên
D.
Dựa vào đồ thị, ta có
Bảng biến thiên của hàm số
Xét
Bảng biến thiên của hàm số
Vậy hàm số
có
Chú ý: Dấu của
điểm cực trị. Chọn C.
được xác định như sau: Ví dụ chọn
Theo giả thiết
Từ
và
suy ra
Nhận thấy
trên khoảng
là các nghiệm đơn nên
đổi dấu khi qua các nghiệm
này. Nghiệm
là nghiệm kép nên
không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong
bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm
vẫn khơng ảnh hưởng đến q trình xét dấu của
Dạng 3: Cho đồ thị
Hỏi số điểm cực trị của hàm số
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số
hãy tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị
hồnh.
+ Tính đạo hàm của hàm số
+ Dựa vào đồ thị của
và biểu thức của
để xét dấu
với trục
.
Chú ý: * Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
nằm trên đồ thị hàm số
thì
* Nếu trong khoảng
đồ thị hàm số
nằm dưới đồ thị hàm số
thì
Trang 11
skkn
Câu 1. Cho hàm số
bên dưới
có đạo hàm trên
Số điểm cực trị của hàm số
A.
B.
Đồ thị hàm số
như hình vẽ
là
D.
C.
Lời giải.
Ta có
Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra phương trình
đơn duy nhất. Suy ra hàm số
Câu 2. Cho hàm số
có
nghiệm
điểm cực trị. Chọn A.
có đạo hàm trên
bên dưới. Hỏi hàm số
có
Đồ thị hàm số
như hình vẽ
đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
A.
C.
B.
D. Khơng có điểm cực tiểu.
Lời giải.
Ta có
Suy ra số nghiệm của phương trình
số
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
và đường thẳng
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Lập bảng biến thiên cho hàm
ta thấy
đạt cực tiểu tại
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
hàm
nằm phía dưới đường
Câu 3. Cho hàm số
bên dưới.
nên
có đạo hàm trên
Trang 12
skkn
Chọn B.
ta thấy đồ thị
mang dấu
Đồ thị hàm số
như hình vẽ
Hàm số
A.
đạt cực đại tại
.
B.
.
C.
.
Lời giải.
D.
.
Ta có
Suy ra số nghiệm của phương trình
số
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
và parapol
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
đạt cực đại tại
Chọn C.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
hàm
nằm phía trên đường
Nhận thấy các nghiệm
dấu.
Câu 4. Cho hàm số
bên dưới. Hàm số
A.
nên
mang dấu
là các nghiệm đơn nên qua nghiệm
có đạo hàm trên
Đồ thị hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
B.
ta thấy đồ thị
C.
Lời giải.
Ta có
Trang 13
skkn
D.
đổi
như hình vẽ
Suy ra số nghiệm của phương trình
số
chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
và đường thẳng
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
đạt cực tiểu tại
Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng
hàm
nằm phía trên đường
nên
ta thấy đồ thị
mang dấu
Dạng 4: Cho biểu thức
Hỏi số điểm cực trị của hàm số
Phương pháp:
+ Tính đạo hàm của hàm số
+Từ biểu thức của
Câu 1. Cho hàm số
A.
và
hãy xét dấu
rồi suy ra số điểm cực trị của
có đạo hàm
đạt cực đại tại
B.
C.
Lời giải.
với mọi
D.
Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
đạt cực đại tại
Trang 14
skkn
Chọn D.
Hàm số
Câu 2. Cho hàm số
có đạo hàm
Hàm số
A.
với mọi
có bao nhiêu điểm cực trị ?
C.
Lời giải.
B.
D.
Ta có
Ta thấy
đơn cịn
là nghiệm kép
Câu 3. Cho hàm số
số
hàm số
có
là các nghiệm
điểm cực trị. Chọn B.
có đạo hàm
với mọi
có bao nhiêu điểm cực đại ?
B.
C.
Lời giải.
A.
và
Hàm
D.
Ta có
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số
Câu 4. Cho hàm số
số
A.
đạt cực đại tại
Chọn B.
có đạo hàm
với mọi
có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.
C.
Lời giải.
Hàm
D.
Ta có
Ta thấy
Chọn B.
và
là các nghiệm bội lẻ
Câu 5. Cho hàm số
A.
có đạo hàm
có bao nhiêu điểm cực trị ?
B.
C.
Lời giải.
Ta có
Trang 15
skkn
hàm số
có
điểm cực trị.
với mọi
Hàm số
D.
Ta thấy
điểm cực trị. Chọn C.
và
Dạng 5: Cho biểu thức
Tìm
Câu 1. Cho hàm số
Do tính chất đối xứng qua trục
có
để hàm số
hàm số
có
có
điểm cực trị
có đạo hàm
Có bao nhiêu số ngun
A.
B.
tốn
đều là các nghiệm đơn
với mọi
để hàm số
có
C.
D.
Lời giải.
của đồ thị hàm thị hàm số
điểm cực trị ?
nên yêu cầu bài
điểm cực trị dương.
Xét
Do đó
có hai nghiệm dương phân biệt
Chọn B.
Câu 2. Cho hàm số
với mọi
A.
có đạo hàm
Có bao nhiêu số nguyên
B.
để hàm số
C.
Lời giải.
có
điểm cực trị ?
D.
Xét
Yêu cầu bài tốn
có hai nghiệm trái dấu
Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số
Có bao nhiêu số nguyên
trị ?
A.
B.
có đạo hàm
với mọi
thuộc đoạn
để hàm số
C.
Lời giải.
Xét
Trang 16
skkn
có
D.
điểm cực
Nếu
thì hàm số
chỉ có
cực trị là
có hai điểm cực trị âm (
Do đó,
). Khi đó, hàm số
khơng thỏa u cầu đề bài.
Nếu
thì hàm số
khơng có cực trị. Khi đó, hàm số
là
Do đó,
khơng thỏa u cầu đề bài.
Khi
Để hàm số
thì hàm số
có
có hai điểm cực trị là
điểm cực trị thì hàm số
chỉ có
cực trị
và
phải có hai điểm cực trị trái dấu
Chọn C.
Câu 4. Cho hàm số
có đạo hàm
Có bao nhiêu số nguyên âm
A.
B.
với mọi
để hàm số
C.
Lời giải.
có đúng
D.
điểm cực trị ?
Xét
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
Trường hợp 1. Phương
trình
có
hai
nghiệm
âm
phân
biệt
Trường hợp này khơng có giá trị thỏa u cầu bài tốn.
Trường hợp 2. Phương trình
vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
Chọn A.
Câu 5. Cho hàm số
có đạo hàm
bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để hàm số
điểm cực trị ?
A.
B.
C.
Lời giải
Xét
Ta có
Trang 17
skkn
với mọi
Có
có
D.
u
cầu bài tốn
có
nghiệm bội lẻ
mỗi phương trình
nghiệm phân biệt khác
(do (1), (2), (3) khơng có nghiệm chung)
Xét đồ thị
của hàm số
và hai đường thẳng
(như hình vẽ).
Khi đó
cắt
tại bốn điểm phân biệt
Vậy có
giá trị nguyên dương thỏa. Chọn A.
Dạng 6: Cho đồ thị
Hỏi số điểm cực trị của hàm số
Câu 1. Cho hàm số
có đạo hàm trên R và có đồ thị như
hình bên. Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm
cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
B. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
C. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
D. điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị, ta có
và
Ta có
Bảng biến thiên
Trang 18
skkn
đều có hai
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận
Câu 2. Cho hàm số
có
điểm cực đại,
điểm cực tiểu. Chọn C.
có đạo hàm trên R vàcó đồ thị
như hình vẽ bên. Hàm số
cực trị ?
A.
C.
có bao nhiêu điểm
B.
D.
Lời giải.
đạt cực trị tại
Dựa vào đồ thị ta thấy
Suy ra
Ta có
Dựa vào đồ thị suy ra:
Phương trình
có hai nghiệm
Phương trình
(nghiệm kép) và
có một nghiệm
Vậy phương trình
có
hàm số
có
Câu 3. Cho hàm số
nghiệm bội lẻ là
và
điểm cực trị. Chọn B.
có đạo hàm trên
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm
số điểm cực trị của hàm số
A.
B.
Suy ra
C.
Lời giải.
Trang 19
skkn
D.
Ta có
Dựa vào đồ thị ta thấy:
có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số
phương trình
Vậy hàm số
có
Câu 4. Cho hàm số
điểm cực trị).
vơ nghiệm.
điểm cực trị. Chọn B.
có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ
thị hàm số
A.
có
có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
B.
Đồ thị hàm số
C.
Lời giải.
có được bằng cách
Tịnh tiến đề thị hàm số
lên trên
Lấy đối xứng phần phía dưới
D.
đơn vị ta được
của đồ thị hàm số
Dựa vào đồ thị hàm số
qua
ta được
suy ra tọa độ các điểm cực trị là
tổng tung độ các điểm cực trị bằng
Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số
có đạo hàm trên R và có đồ thị
hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số
nhiêu điểm cực trị ?
A.
B.
C.
có bao
D.
Lời giải.
Xét
Ta tính được
Trang 20
skkn
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
Đồ thị hàm số
có điểm cực trị.
Đồ thị hàm số
cắt trục
tại
điểm phân biệt.
Suy ra đồ thị hàm số
có
điểm cực trị. Chọn C.
Dạng 7: Cho bảng biến thiên của hàm
Câu 1. Cho hàm số
Hàm số
A.
.
Hỏi số điểm cực trị của hàm
xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau
đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
B.
.
C.
.
Lời giải.
D.
.
Ta có
Do đó điểm cực tiểu của hàm số
Vậy điểm cực tiểu của hàm số
trùng với điểm cực tiểu của hàm số
là
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số
A.
Lời giải. Ta có
có bao nhiêu điểm cực trị ?
C.
B.
.
Vậy
có duy nhất nghiệm bội lẻ
nên hàm số
Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Trang 21
skkn
D.
có
điểm cực trị.
Tìm số điểm cực trị của hàm số
A.
B.
C.
Lời giải.
D.
Ta có
khơng xác định
Bảng biến thiên
Vậy hàm số
có
Câu 4. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Hỏi đồ thị hàm số
A.
điểm cực trị. Chọn B.
có bao nhiêu điểm cực trị ?
C.
D.
Lời giải.
có được từ đồ thị
bằng cách tịnh tiến đồ
B.
Đồ thị hàm số
thị
sang phải
đơn vị và lên trên
đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số
Dạng 8: Cho biểu thức
Tìm
để hàm số
Trang 22
skkn
có
điểm cực trị. Chọn B.
có
điểm cực trị
Câu 1. Cho hàm số
với
cả các giá trị của
để hàm số
A.
có
B.
là tham số thực. Tìm tất
điểm cực trị.
C.
D.
Lời giải.
Ta có
Hàm số
có
có
điểm cực trị
hai
hàm số
có hai cực trị dương
nghiệm
dương
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số
với
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
cực trị ?
A.
B.
Để
có
phân
là tham số thực. Có
để hàm số
C.
Lời giải.
điểm cực trị
biệt
có
điểm
biệt
khác
D.
có
nghiệm phân biệt.
Xét
Do
đó
phương
trình
có
hai
nghiệm
phân
Chọn C.
Câu 3. Cho hàm số bậc ba
có đồ thị nhận hai điểm
và
làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.
B.
C.
Lời giải.
D.
Ta có
Hàm số
trị dương
Đồ thị hàm số
phần tư thứ
có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng
hàm số
có
điểm cực trị.
có điểm cực trị
nên đồ thị
và một điểm cực
và điểm cực trị
cắt trục hồnh tại
Trang 23
skkn
thuộc góc
điểm ( điểm có hồnh độ âm,
điểm có hồnh độ dương)
đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại
điểm phân
biệt.
Từ
và
suy ra đồ thị hàm số
Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị
có
rồi suy ra đồ thị
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
A.
hoặc
B.
C.
D.
Lời giải
Xét hàm số
điểm cực trị. Chọn B.
, tiếp tục suy ra đồ thị
có ba điểm cực trị.
hoặc
hoặc
Ta có:
x
y'
0
-2
-∞
+
0
-
0
+∞
+
+∞
m+1
y
m-3
-∞
Do số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số điểm cực trị của hàm số
và số nghiệm của phương trình
(khơng kể nghiệm bội chẵn). Khi đó u cầu bài tốn trở thành (*) có một nghiệm (khơng
kể nghiệm 0 và – 2 là các nghiệm bội chẵn và cũng là các điểm cực trị của hàm số
).
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
. Chọn D.
Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
A. 11.
Xét hàm số
Do hàm số
có 5 điểm cực trị?
B. 10.
C. 7.
Lời giải
.
có tối đa 2 điểm cực trị và phương trình
nghiệm nên để hàm số
trình
để hàm số
D. 9.
có tối đa 3
có 5 điểm cực trị thì phương
có 3 nghiệm phân biệt ( vì khi
cũng có 2 điểm cực trị).
có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số
Ta có:
Để thỏa mãn u cầu bài tốn thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Trang 24
skkn
Chọn D.
Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
Bổ đề: Cho hàm số
.
có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và
với
Đặt
Khi đó:
a) Nếu
thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0.
b) Nếu
thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
Chứng minh
liên tục trên D và
nên
sao cho
a) Vì
Vì
BBT:
nên
có nghiệm đơn
x
Giả sử
và
đổi dấu khi x qua x0. Ta có
a
x0
g'(x)
b
+
+
g(x)
0
-
Suy ra
đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0. Vì
dấu của
cùng dấu với dấu của
b) Chứng minh tương tự.
Áp dụng 2 bổ đề trên vào bài tốn cực trị ta có:
KQ1: Cho hàm số
có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và
với
a)
b)
Đặt
nên
Giả sử
Khi đó:
hàm số đạt cực tiểu tại x0.
hàm số đạt cực đại tại x0.
Chứng minh
a) Ta có: từ giả thiết
Nếu
thì theo bổ đề 1 f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh
. Thật vậy, giả sử
khi đó, theo bổ đề 1 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
là điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Chứng minh tương tự.
trái giả thiết. Vậy
KQ2: Cho hàm số
có đạo hàm trên D và
Nếu
thì điều kiện cần để f(x) đạt cực trị tại x = x0 là h(x0) = 0.
Trang 25
skkn
.
