Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được
hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được
mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc
biệt quan trọng. Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào
mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh. Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận
kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất.
Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ
đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh
gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số
nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD
và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có
kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán
một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài
toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12
giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cận
nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất
lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ
đề “Cực trị hàm số”.
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và 12A9.
V. Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của tham số m để

hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 .
VI. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra thực tiễn.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
VII. Cấu trúc của SKKN
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
1


V. Phạm vi nghiên cứu
VI. Phương pháp nghiên cứu
VII. Cấu trúc của SKKN
B. Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
II. Một số dạng toán
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận
II. Đề xuất
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Khái niệm cực trị hàm số :

Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D ( D ⊂ R) và x0 ∈ D

x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa điểm x0
( a; b ) ⊂ D
sao cho: f 
.
 f ( x) < f ( x0 ), ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 }
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa điểm
( a; b ) ⊂ D
x0 sao cho: 
.
 f ( x) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 }
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 .
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D
y

Điểm cực đại

Điểm cực tiểu

Điểm cực tiểu

x

O

2

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị )
của hàm số.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì
f ' ( x0 ) = 0 .
Chú ý :
• Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó
hàm số không có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng ( a; x0 ) và ( x0 ; b ) . Khi đó :
 f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( a; x0 )
Nếu 
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
 f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( x0 ; b )
x
a
x0
b
−
+
f '( x)
0
f (a)
f (b)
f ( x)
f ( x0 )

 f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( a; x0 )
Nếu 
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
 f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( x0 ; b )
x
a
x0
b
−
+
f '( x)
0
f ( x0 )
f ( x)
f (a)
f (b)
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 , f ' ( x0 ) = 0 và
f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f '' ( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .

Nếu f '' ( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Chú ý :
1. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f
.
 f '( x0 ) = 0
2. Trong trường hợp f '( x0 ) = 0 không tồn tại hoặc 
thì định lý 3 không dùng được.
 f ''( x0 ) = 0
4.Tịnh tiến đồ thị
3

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) . Khi đó, với số a > 0 ta có:
a) Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của x = a lên trên a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y = f ( x) + a
b) Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của x = a xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y = f ( x) − a
c) Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của y = a qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x + a )
d)Nếu tịnh tiến ( C ) theo phương của y = a qua phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y = f ( x − a)
e) Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên phải Oy, bỏ đồ thị

(C) bên trái Oy, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên phải Oy qua Oy.
f) Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên trên Ox, bỏ đồ thị
(C) bên dưới Ox, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên dưới Ox qua Ox.
g) Đồ thị của hàm số y = f ( x + a ) có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) rồi tịnh tiến đồ
thị y = f ( x ) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

h) Đồ thị của hàm số y = f ( x − a ) có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) rồi tịnh tiến

đồ thị y = f ( x ) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

i) Đồ thị của hàm số y = f ( x + a ) có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a
đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
k) Đồ thị của hàm số y = f ( x − a ) có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox

qua

trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
5. Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị

a) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị nằm bên
phải Oy) thì đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2n + 1 điểm cực trị.
b) Nếu đồ thị hàm số y = f ( x) có n điểm cực trị và phương trình f ( x ) = 0 có m nghiệm bội lẻ
thì đồ thị hàm số y = f ( x) có m + n điểm cực trị.
c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( ax + b ) + c bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x).
d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.
II. Một số dạng toán:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f ( x). Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị
tuyệt đối liên quan đến f ( x).
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.

4


Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x) có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số y = f ( x )
có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau:

1. Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
2. Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
3. Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời gải
1. Đồ thị hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số y = f ( x ) có 5
điểm cực trị
2. Đồ thị hàm số y = f ( x) có 3 điểm cực trị và phương trình f ( x) = 0 có 2 nghiệm đơn nên
hàm số y = f ( x) có 5 điểm cực trị.
3. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị và phương trình f ( x ) = 0 có 2 nghiệm đơn nên
hàm số y = f ( x ) có 7 điểm cực trị.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới

( x + m ) có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 7 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 5 điểm cực trị.

1. Tìm m để hàm số g ( x ) = f
2.
3.

Ta có BBT của hàm số f ( x ) :

Lời giải

5


1. Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được bằng cách:
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị
được đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) .

Ta thấy: Hàm số y = f ( x) có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương ⇒ f ( x ) có 5 điểm cực
trị
⇒ f ( x + m ) có 5 điểm cực trị với mọi m.

2. Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị
được đồ thị hàm số y = f ( x + m ) .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f ( x + m ) nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị
hàm số g ( x ) = f ( x + m ) .

Từ đó ta thấy: để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 7 điểm cực trị thì hàm số y = f ( x + m ) phải
có 3 cực trị dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải lớn
hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị ⇔ −2 ≤ m < −1. Vậy −2 ≤ m < −1 .
3. Để hàm số g ( x ) = f ( x − m ) có 5 điểm cực trị thì hàm số y = f ( x − m ) phải có 2 cực trị dương
⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn:
• Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị ⇔ 0 ≥ m ≥ −1.
• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị ⇔ 0 ≤ m < 1. Vậy −1 ≤ m < 1.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới

( x + m ) có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 3 điểm cực trị.

1. Tìm m để hàm số g ( x ) = f

2.
3.

6


Ta có BBT của hàm số f ( x ) :

Lời giải

1. Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x) bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số y = f ( x )
.
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị
được đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) .

Ta thấy: Hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương ⇒ f ( x ) có 3
điểm cực trị
⇒ f ( x + m ) có 3 điểm cực trị với mọi m. Vậy không có giá trị nào của m để hàm số
g ( x ) = f ( x + m ) có 5 điểm cực trị.

2. Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị
được đồ thị hàm số y = f ( x + m ) .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f ( x + m ) nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số
g ( x) = f ( x + m) .

Từ đó ta thấy: để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 5 điểm cực trị thì hàm số y = f ( x + m ) phải

có 2 cực trị dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox sang phải lớn
hơn 0 đơn vị ⇔ m < 0. Vậy m < 0.
3. Để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có 3 điểm cực trị thì hàm số y = f ( x + m ) phải có 1 cực trị
dương ⇔ tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) theo phương của Ox trái nhỏ hơn 3 đơn vị
⇔ 0 ≤ m < 3.
Vậy 0 ≤ m < 3.
Dạng 2: Cho đồ thị f ' ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u ( x )  .
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' ( x ) với trục hoành.
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x) = f u ( x )  .
+ Dựa vào đồ thị của f ' ( x ) và biểu thức của g ' ( x ) để xét dấu g ' ( x ) .

7


Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) . Số điểm cực trị của hàm
số y = f ( x ) là

A. 2.

B. 3.

C. 4.
D. 5.
Lời giải.
Ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x ) có 4 điểm chung với trục hoành x1 ; 0; x2 ; x3 nhưng chỉ cắt thực sự
tại hai điểm là 0 và x3 .
Bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị. Chọn A.

Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ' ( x ) có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và "băng
qua" luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên.
2
Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x − 3) .
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải.
2
Ta có g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x − 3) ;

x = 0
x = 0
x = 0


theo do thi f '( x )
g′( x ) = 0 ⇔ 
¬ →
x 2 − 3 = −2
⇔  x = ±1
.

2
′
f

x
−
3
=
0
(
)

 x 2 − 3 = 1 ( nghiem kep )
 x = ±2 ( nghiem kep )


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2; +∞ )
( 1)
 x ∈ ( 2; +∞ ) → x > 0.
8


theo do thi f '( x )
→ x 2 − 3 > 1 
→ f ′ ( x 2 − 3) > 0.
( 2)
 x ∈ ( 2; +∞ ) → x 2 > 4 
2
Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x − 3) > 0 trên khoảng ( 2; +∞ ) nên g ′ ( x ) mang dấu + .
Nhận thấy các nghiệm x = ±1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g ′ ( x ) qua nghiệm đổi dấu; các
nghiệm x = ±2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f ′ ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại

điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và f ( 0 ) < 0, f ( 1) > 0, đồng thời đồ thị
hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới

2
Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x ) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
 x = −2
. Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) :
Dựa vào đồ thị, ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
 x = 1 ( nghiÖm kÐp)

 x = −2

 f ′ ( x ) = 0 theo BBT f ( x )  x = 1 ( nghiÖm kÐp)
¬ 
→
.
Xét g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) f ( x ) ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
x
=
a
a
<
−
2

(
)
f
x
=
0
(
)


 x = b ( 0 < b < 1)
Bảng biến thiên của hàm số g ( x )

Vậy hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị. Chọn C.
Chú ý: Dấu của g ′ ( x ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0 ∈ ( −1; b )

( 1)
( 2)
 Theo giả thiết f ( 0 ) < 0.
Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra g ′ ( 0 ) < 0 trên khoảng ( −1; b ) .
theo do thi f '( x )
 x = 0 
→ f ′ ( 0 ) > 0.

9


Nhận thấy x = −2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g ′ ( x ) đổi dấu khi qua các nghiệm này.
Nghiệm x = 1 là nghiệm kép nên g ′ ( x ) không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ
qua nghiệm x = 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g ′ ( x ) .

Dạng 3: Cho đồ thị f ' ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u ( x )  + v ( x ) .
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' ( x ) với trục hoành.
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x) = f u ( x )  + v ( x ) .
+ Dựa vào đồ thị của f ' ( x ) và biểu thức của g ' ( x ) để xét dấu g ' ( x ) .
Chú ý: * Nếu trong khoảng ( a; b ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trên đồ thị hàm số −v '( x) thì
g '( x) = f '( x) + v '( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) .

* Nếu trong khoảng ( a; b ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm dưới đồ thị hàm số −v '( x) thì
g '( x) = f '( x) + v '( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) .

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x − 2017 ) − 2018 x + 2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
Ta có g ′ ( x ) = f ' ( x − 2017 ) − 2018; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x − 2017 ) = 2018.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) suy ra phương trình f ' ( x − 2017 ) = 2018 có 1 nghiệm đơn duy
nhất. Suy ra hàm số g ( x ) có 1 điểm cực trị. Chọn A.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên
dưới. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x = 0.
C. x = 2.

B. x = 1.
D. Không có điểm cực tiểu.

Lời giải.
Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 1; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = −1.
10


Suy ra số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′ ( x )
và đường thẳng y = −1.
x = 0

Dựa vào đồ thị ta suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .
 x = 2
Lập bảng biến thiên cho hàm g ( x ) ta thấy g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 1. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( −∞;0 ) ta thấy đồ thị hàm f ′ ( x )
nằm phía dưới đường y = −1 nên g ′ ( x ) mang dấu −.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới.

x3
Hàm số g ( x ) = f ( x ) − + x 2 − x + 2 đạt cực đại tại
3
A. x = −1 .
B. x = 0 .
C. x = 1 .
D. x = 2 .
Lời giải.
2
2
Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x + 2 x − 1; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = ( x − 1) .
Suy ra số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′ ( x )
và parapol ( P ) : y = ( x − 1) .
2

x = 0

Dựa vào đồ thị ta suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 . Bảng biến thiên
 x = 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) đạt cực đại tại x = 1. Chọn C.
11


Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( −∞;0 ) ta thấy đồ thị hàm f ′ ( x )
2
nằm phía trên đường y = ( x − 1) nên g ′ ( x ) mang dấu −.

Nhận thấy các nghiệm x = 0; x = 1; x = 2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g ′ ( x ) đổi dấu.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên
2
dưới. Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + x đạt cực tiểu tại điểm

A. x = −1.

B. x = 0.

C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải.
Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) + 2 x; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = − x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ′ ( x )
và đường thẳng y = − x.

 x = −1
x = 0
.
Dựa vào đồ thị ta suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
x = 1

x = 2
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn B.

Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( −∞; −1) ta thấy đồ thị hàm
f ′ ( x ) nằm phía trên đường y = − x nên g ′ ( x ) mang dấu +.
Dạng 4: Cho biểu thức f ' ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u ( x )  .
Phương pháp:
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x) = f u ( x )  ( g ' ( x ) = u '( x). f ' ( u ( x) ) ) .

12


+Từ biểu thức của f ' ( x ) và u '( x) hãy xét dấu g ' ( x ) rồi suy ra số điểm cực trị của
f u ( x )  .

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) ( 3 − x ) với mọi x ∈ R. Hàm số
y = f ( x ) đạt cực đại tại
A. x = 0.
B. x = 1.
C. x = 2.
D. x = 3.
Lời giải.

x = 1
.
Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( 3 − x ) = 0 ⇔ 
x = 3
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 3. Chọn D.

2
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 ) + 1 với mọi x ∈ R. Hàm

số g ( x ) = f ( x ) − x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải.
2
Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 = ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 ) ;

D. 4.

 x = −1
g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 ⇔  x = 1 . Ta thấy x = −1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn
 x = 2
x = 1 là nghiệm kép 
→ hàm số g ( x ) có 2 điểm cực trị. Chọn B.
2

2
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 4 ) với mọi x ∈ R. Hàm số

g ( x ) = f ( 3 − x ) có bao nhiêu điểm cực đại ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải.
2
Ta có g ′ ( x ) = − f ′ ( 3 − x ) = ( 3 − x ) − 1  4 − ( 3 − x )  = ( 2 − x ) ( 4 − x ) ( x + 1) ;
 x = −1
g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 − x ) ( 4 − x ) ( x + 1) = 0 ⇔  x = 2 .
 x = 4
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x ) đạt cực đại tại x = 2. Chọn B.

13


2
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1) ( x − 4 ) với mọi x ∈ R. Hàm số

g ( x ) = f ( x 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.

D. 5.

Ta có g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 ) = 2 x 5 ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) ;
2

x = 0

g ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x 5 ( x 2 − 1) ( x 2 − 4 ) = 0 ⇔  x = ±1
.

2
2
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0
Ta thấy x = ±1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ 
→ hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị. Chọn B.
2
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x − 2 x với mọi x ∈ R. Hàm số
2

g ( x ) = f ( x 2 − 8 x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
2
2
2
2
Ta có g ′ ( x ) = 2 ( x − 4 ) f ′ ( x − 8 x ) = 2 ( x − 4 ) ( x − 2 x ) − 2 ( x − 2 x )  ;


x = 4
x − 4 = 0

x = 0
2

2
2
2
g ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 ( x − 4 ) ( x − 2 x ) − 2 ( x − 2 x )  = 0 ⇔  x − 2 x = 0 ⇔ 
.


x = 2
 x2 − 2x = 2


 x = 1 ± 3
Ta thấy x = 1 ± 3, x = 0, x = 2 và x = 4 đều là các nghiệm đơn 
→ hàm số g ( x ) có 5 điểm
cực trị. Chọn C.
Dạng 5: Cho biểu thức f ' ( x, m ) . Tìm m để hàm số f u ( x )  có n điểm cực trị

2
2
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + 5 ) với mọi x ∈ R. Có

bao nhiêu số nguyên m > −10 để hàm số g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Lời giải.

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f ( x ) nên yêu cầu bài toán
⇔ f ( x ) có 2 điểm cực trị dương.
( *)
x = 0
 x2 = 0


⇔  x = −1
.
Xét f ′ ( x ) = 0 ⇔  x + 1 = 0
 x 2 + 2mx + 5 = 0 ( 1)
 x 2 + 2mx + 5 = 0


 ∆′ = m 2 − 5 > 0

Do đó ( *) ⇔ ( 1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  S = −2m > 0 ⇔ m < − 5
P = 5 > 0


14


m >−10

→ m ∈ { −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} . Chọn B.
m∈¢

2
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x 2 + m 2 − 3m − 4 )

3

x ∈ R. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có 3 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
 x = −1
x +1 = 0

 2
2
.
Xét f ′ ( x ) = 0 ⇔  x + m − 3m − 4 = 0 ⇔  x = −3
 x 2 + m 2 − 3m − 4 = 0 ( 1)
x + 3 = 0


Yêu cầu bài toán ⇔ ( 1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ m 2 − 3m − 4 < 0 ⇔ −1 < m < 4
m∈¢

→ m ∈ { 0;1;2;3} . Chọn B.

( x + 3)

5

với mọi

4
5
3
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − m ) ( x + 3) với mọi x ∈ R. Có bao

nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ −5;5] để hàm số g ( x ) = f ( x ) có 3 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
 x = −1 ( nghiem boi 4 )
x +1 = 0


Xét f ′ ( x ) = 0 ⇔  x − m = 0 ⇔  x = m ( nghiem boi 5 ) .
 x = −3 nghiem boi 3
 x + 3 = 0
(
)


 Nếu m = −1 thì hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị âm ( x = −3; x = −1 ). Khi đó, hàm số f ( x )
chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó, m = −1 không thỏa yêu cầu đề bài.
 Nếu m = −3 thì hàm số f ( x ) không có cực trị. Khi đó, hàm số f ( x ) chỉ có 1 cực trị là x = 0.
Do đó, m = −3 không thỏa yêu cầu đề bài.
m ≠ −1
 Khi 
thì hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị là x = m và x = −3 < 0.

m ≠ −3

Để hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị thì hàm số f ( x ) phải có hai điểm cực trị trái dấu
m∈Z
⇔ m > 0 
→ m ∈ { 1; 2; 3; 4; 5} . Chọn C.
m∈[ −5;5]

2
2
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) ( x + 2mx + 5 ) với mọi x ∈ R. Có

bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có đúng 1 điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải.
2
x = 0
x = 0


⇔  x = −1
.
Xét f ′ ( x ) = 0 ⇔  x + 1 = 0
 x 2 + 2mx + 5 = 0 ( 1)
 x 2 + 2mx + 5 = 0



Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

15


 ∆′ = m 2 − 5 > 0

Trường hợp 1. Phương trình ( 1) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔  S = −2m < 0 ⇔ m > 5.
P = 5 > 0

m
Trường hợp này không có giá trị
thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. Phương trình ( 1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆′ = m 2 − 5 ≤ 0
m∈¢
⇔ − 5 ≤ m ≤ 5 
→ m ∈ { −2; −1} . Chọn A.
−

Dạng 6: Cho đồ thị f ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u ( x )  .
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình
bên. Đồ thị của hàm số g ( x ) =  f ( x )  có bao nhiêu điểm cực đại,
bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải.
 x = a ( 0 < a < 1)
x = 0



.
Dựa vào đồ thị, ta có f ( x ) = 0 ⇔  x = 1( nghiem kep ) và f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = b ( 1 < b < 3)
 x = 3

2

 x = a ( 0 < a < 1)

x = 1
 x = b ( 1 < b < 3)
 f ′( x) = 0
⇔
.
Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) . f ( x ) ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ 
x = 0
 f ( x ) = 0

 x = 1 ( nghiem boi 2 )
x = 3

Bảng biến thiên

16


Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g ( x ) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình

vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f  f ( x )  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy f ( x ) đạt cực trị tại x = 0, x = 2.
 x = 0 ( nghiem don )
.
Suy ra f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
 x = 2 ( nghiem don )

 f ′( x) = 0
′
′
′
′
g
x
=
f
x
.
f

f
x

;
g

x
=
0
⇔
.

(
)
(
)
(
)
(
)
Ta có


 f ′  f ( x )  = 0
 x = 0 ( nghiem don )
 f ( x ) = 0 ( 1)
.  f ′  f ( x )  = 0 ⇔ 
.
 f ′( x) = 0 ⇔ 
x
=
2
nghiem
don
f
x

=
2
2
(
)
(
)
(
)



Dựa vào đồ thị suy ra:
 Phương trình ( 1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a ( a > 2 ) .
 Phương trình ( 2 ) có một nghiệm x = b ( b > a ) .
Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số
g ( x ) = f  f ( x )  có 4 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm
cực trị của hàm số g ( x ) = 2

f ( x)

−3

f ( x)

.

17

A. 2.

B. 3.

C. 4.
Lời giải.

D. 5.

f ( x)
f ( x)
Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x )  2 .ln 2 − 3 .ln 3 ;

 f ′( x) = 0
 f ′( x) = 0
( 1)
 f ′( x) = 0


g′( x ) = 0 ⇔  f x
⇔  3  f ( x ) ln 2 ⇔ 
.
ln 2
f ( x)
( )
f
x
=
log

<
−
1
2
(
)
(
)
=
3
 2 .ln 2 − 3 .ln 3 = 0
 2 ÷

ln 3
ln 3
2
 
Dựa vào đồ thị ta thấy:
 ( 1) có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị).
→ phương trình ( 2 ) vô nghiệm.
 f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ R 

( )
( )
Vậy hàm số g ( x ) = 2 − 3
có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm
số g ( x ) = f ( x ) + 4 có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
f x

A. 2.

f x

B. 3.

C. 4.
D. 5.
Lời giải.
Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + 4 có được bằng cách
 Tịnh tiến đề thị hàm số f ( x ) lên trên 4 đơn vị ta được f ( x ) + 4.

 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f ( x ) + 4 qua Ox, ta được f ( x ) + 4 .

Dựa vào đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + 4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là ( −1;0 ) , ( 0;4 ) , ( 2;0 )

→ tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4. Chọn C.
Dạng 7: Cho bảng biến thiên của hàm f ( x ) . Hỏi số điểm cực trị của hàm f u ( x )  .
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Hàm số g ( x ) = 3 f ( x ) + 1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
18


A. x = −1 .
Ta có g ′ ( x ) = 3 f ' ( x ) .

B. x = 1 .

C. x = ±1 .

Lời giải.

D. x = 0 .

Do đó điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) trùng với điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) .
Vậy điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) là x = ±1. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

2
Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
2
Lời giải. Ta có g ′ ( x ) = 2 x. f ′( x + 1) ;

D. 3.

x = 0
x = 0
 x = 0 ( nghiÖm ®¬n)
 2
theo BBT
g′( x ) = 0 ⇔ 
¬

→
x
+
1

=
−
2
⇔
⇔ x = 0 ( nghiÖm béi lÎ )

2

x
=
0
nghiÖ
m
kÐ
p
(
)

 f ′( x + 1) = 0

 x2 + 1 = 1

Vậy g ′ ( x ) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g ( x ) có 1 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) .
A. 2.
B. 3.
C. 5.
Lời giải.

′
′
Ta có g ( x ) = − f ( 3 − x ) .

D. 6.

3 − x = 0
x = 3
theo BBT
→
⇔
.
 g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( 3 − x ) = 0 ¬ 
3 − x = 2
x = 1
 g ′ ( x ) không xác định ⇔ 3 − x = 1 ⇔ x = 2.
Bảng biến thiên

19


Vậy hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Dạng 8: Cho biểu thức f ( x, m ) . Tìm m để hàm số f u ( x )  có n điểm cực trị
3
2
Câu 1. Cho hàm số f ( x ) = x − ( 2m − 1) x + ( 2 − m ) x + 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các
giá trị của m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị.
5
A. −2 < m < .
4

5
B. − < m < 2.
4

5
5
< m < 2.
D. < m ≤ 2.
4
4
Lời giải.
2
Ta có f ′ ( x ) = 3x − 2 ( 2m − 1) x + 2 − m. Hàm số g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị ⇔ hàm số f ( x )
⇔ f ′( x) = 0
có
hai
cực
trị
dương
có
hai
nghiệm
dương
phân
biệt
C.


2

( 2m − 1) − 3 ( 2 − m ) > 0
∆ > 0

5

 2 ( 2m − 1)
⇔ S > 0 ⇔ 
>0
⇔ < m < 2. Chọn C.
3
4
P > 0


2 − m
 3 > 0
3
2
Câu 2. Cho hàm số f ( x ) = mx − 3mx + ( 3m − 2 ) x + 2 − m với m là tham số thực. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị ?
A. 7.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Lời giải.
Để g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị ⇔ f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. ( *)

x = 1
2
.

Xét f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) ( mx − 2mx + m − 2 ) = 0 ⇔  2
mx
−
2
mx
+
m
−
2
=
0
1
(
)

 m≠0

2
Do đó ( *) ⇔ phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔  ∆′ = m − m ( m − 2 ) > 0
 f ( 1) = −2 ≠ 0

m∈¢
⇔ m > 0 
→ m ∈ { 1; 2; 3; ...; 10} . Chọn C.
m∈[ −10;10]

3
2
Câu 3. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị nhận hai điểm A ( 0;3) và B ( 2; −1)
2

2
làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g ( x ) = ax x + bx + c x + d .
A. 5.
B. 7.
C. 9.
D. 11.
Lời giải.

20


2
2
Ta có g ( x ) = ax x + bx + c x + d = f ( x ) .

Hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương

→ hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị. ( 1)

Đồ thị hàm số f ( x ) có điểm cực trị A ( 0;3) ∈ Oy và điểm cực trị B ( 2; −1) thuộc góc phần tư thứ
IV nên đồ thị f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương)

→ đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. ( 2 )
Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) có 7 điểm cực trị. Chọn B.

Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị f ( x ) rồi suy ra đồ thị f ( x ) , tiếp tục suy ra đồ thị f ( x ) .
3
2
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = x + 3x − 3 + m có ba điểm cực trị.
A. m = 3 hoặc m = −1.

B. m ≥ 1 hoặc m ≤ −3.
C. 1 ≤ m ≤ 3.
D. m ≥ 3 hoặc m ≤ −1.
Lời giải
3
2
Xét hàm số f ( x) = x + 3 x − 3 + m.
x = 0
2
.
Ta có: f '( x) = 3 x + 6 x; f '( x) = 0 ⇔ 
 x = −2

3
2
Do số điểm cực trị của hàm số y = x + 3x − 3 + m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số
3
2
f ( x) = x3 + 3 x 2 − 3 + m và số nghiệm của phương trình f ( x) = x + 3 x − 3 + m = 0 ( *) (không kể
nghiệm bội chẵn). Khi đó yêu cầu bài toán trở thành (*) có một nghiệm (không kể nghiệm 0 và –
2 là các nghiệm bội chẵn và cũng là các điểm cực trị của hàm số f ( x) ).
m + 1 ≤ 0
 m ≤ −1
⇔
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
. Chọn D.
m − 3 ≥ 0
m ≥ 3

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −9;9] để hàm số

y = mx3 − 3mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 2 − m có 5 điểm cực trị?
A.
11.
B. 10.
C. 7.
D. 9.
Lời giải
3
2
Xét hàm số f ( x) = mx − 3mx + ( 3m − 2 ) x + 2 − m .
Do hàm số y = f ( x) có tối đa 2 điểm cực trị và phương trình f ( x) = 0 có tối đa 3 nghiệm nên để
3
2
hàm số y = mx − 3mx + ( 3m − 2 ) x + 2 − m có 5 điểm cực trị thì phương trình f ( x) = 0 có 3
21


nghiệm phân biệt ( vì khi f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y = f ( x) cũng có 2 điểm cực
trị).
Ta có:
f ( x) = 0 ⇔ mx 3 − 3mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 2 − m = 0
⇔ ( x − 1) ( mx 2 + 2mx + m − 2 ) = 0

x = 1
⇔
2
 g ( x) = mx + 2mx + m − 2 ( *)
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
m ≠ 0

m > 0
m ∈Z


⇔ ∆ ' = 2m > 0
⇔
→m ∈{ 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} . Chọn D.
1 
m
∈
−
9;9
m
≠
[
]
g (1) = 4m − 2 ≠ 0


2

Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0 .
Bổ đề: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và x0 ∈ D. Giả sử
2 n +1
f '( x) = ( x − x0 )
.h( x) với h ( x0 ) ≠ 0, n ∈ N . Đặt g ( x) = ( x − x0 ) .h( x). Khi đó:

Nếu g '( x0 ) > 0 thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0.
Nếu g '( x0 ) < 0 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
b)

Chứng minh
a) Vì g '( x) liên tục trên D và g '( x0 ) > 0 nên ∃( a; b ) ⊂ D sao cho x0 ∈ ( a; b ) và g '( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) . Vì
h( x0 ) ≠ 0 nên g ( x) = 0 có nghiệm đơn x = x0 ⇒ g ( x) đổi dấu khi x qua x0. Ta có BBT:
a)

Suy ra g ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0. Vì f '( x) = ( x − x0 ) .g ( x) nên dấu của
f '( x) cùng dấu với dấu của g ( x) ⇒ dpcm
a)
Chứng minh tương tự.
Áp dụng 2 bổ đề trên vào bài toán cực trị ta có:
KQ1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và x0 ∈ D. Giả sử
2 n +1
f '( x) = ( x − x0 )
.h( x) với h ( x0 ) ≠ 0, n ∈ N . Đặt g ( x) = ( x − x0 ) .h( x). Khi đó:
2n

a) g '( x0 ) > 0 ⇔ hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b) g '( x0 ) < 0 ⇔ hàm số đạt cực đại tại x0.
Chứng minh
a)
Ta có: từ giả thiết ⇒ g '( x0 ) ≠ 0.
•
Nếu g '( x0 ) > 0 thì theo bổ đề 1 f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 ⇒ x = x0 là
điểm cực tiểu của hàm số f(x).

22


•
Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh g '( x0 ) > 0 . Thật vậy, giả sử

g '( x0 ) < 0 khi đó, theo bổ đề 1 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 ⇒ x = x0 là điểm
cực đại của hàm số f(x) ⇒ trái giả thiết. Vậy g '( x0 ) > 0 .
b)
Chứng minh tương tự.
2n
KQ2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên D và x0 ∈ D. Nếu f '( x) = ( x − x0 ) .h( x) thì điều
kiện cần để f(x) đạt cực trị tại x = x0 là h(x0) = 0.
6
5
4
Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên m ∈ ( −2018;2019 ) để hàm số y = x − 2mx + ( m + 1) x + 1 đạt
cực tiểu tại x = 0.
A.
2018
B. 2019
C. 3016
D. 3015
Lời giải
5
4
3
3
3
y ' = 6 x − 10mx + 4 ( m + 1) x = x ( 6 x − 10mx + 4m + 4 )
Đặt h( x) = 6 x3 − 10mx + 4m + 4

g ( x) = x ( 6 x3 − 10mx + 4m + 4 ) ⇒ g '( x) = 24 x 3 − 20mx 2 + 4m + 4

TH1: Xét h( x) = 0 có nghiệm x = 0 ⇔ m = −1.
5

4
4
Với m = -1 ⇒ y ' = 6 x + 10 x = x ( 6 x + 10 ) ⇒ x = 0 không là cực tiểu.
TH2: h(0) ≠ 0. Khi đó
f ( x) đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ g '(0) > 0 ⇔ 4m + 4 > 0 ⇔ m > −1. Chọn B.

4
2
3
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số y = x − ( m − 9 ) x + m − 2 đạt cực tiểu tại x=0.
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Lời giải
3
2
2
2
2
y ' = 4 x − 3 ( m − 9 ) x = x ( 4 x − 3m + 27 ) Đặt h( x) = 4 x − 3m 2 + 27
Điều kiện cần để HS đạt cực tiểu tại x = 0 là h(0) = 0 ⇔ m = ±3.
Với m = ±3. ⇒ y ' = 4 x 3 ⇒ x = 0 là cực tiểu. Chọn A.
Câu 3. (Đề thi chính thức năm 2018). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
y = x8 + ( m − 2 ) x 5 − ( m 2 − 4 ) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.

A.

3

B. 5

C. 4
Lời giải
7
4
2
3
3
4
y ' = 8 x + 5 ( m − 2 ) x − 4 ( m − 4 ) x = x ( 8 x + 5 ( m − 2 ) x − 4m 2 + 16 )

D. Vô số

4
2
Đặt: h( x) = 8 x + 5 ( m − 2 ) x − 4m + 16

g ( x) = x ( 8 x 4 + 5 ( m − 2 ) x − 4m 2 + 16 ) = 8 x 5 + 5 ( m − 2 ) x 2 − ( 4m 2 − 16 ) x

⇒ g '( x) = 40 x 4 + 10 ( m − 2 ) x − 4m 2 + 16
TH1: Xét h( x) = 0 có nghiệm x = 0 ⇔ m = ±2.
+ Với m = 2 ⇒ y ' = 8 x 7 ⇒ x = 0 là cực tiểu.

4
4
+ Với m = - 2 ⇒ y ' = x ( 8 x − 20 ) ⇒ x = 0 không là cực tiểu.
TH2: h(0) ≠ 0. Khi đó

23

f ( x) đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ g '(0) > 0 ⇔ −4m 2 + 16 > 0 ⇔ −2 < m < 2. Vì
m ∈ Z ⇒ m ∈ { −1;0;1} .

Vậy m ∈ { −1;0;1;2} . Chọn C.

Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên m ∈ ( −10;10 ) để hàm số
1
y = − x 4 + ( m 2 + 8 ) x 3 − ( m 2 + 2 ) x 2 + m 2 x + 2m đạt cực đại tại x = 1.
3
A. 4
B. 2
C. 6
D. 8
Lời giải
2
3
2
2
2
2
y ' = −4 x + ( m + 8 ) x − 2 ( m + 2 ) x + m = ( x − 1) ( −4 x + m 2 ) Đặt: h( x) = −4 x + m 2
Điều kiện cần đề HS đạt cực đại tại x = 1 là h(1) = 0 ⇔ m = ±2.
3
Với m = ±2 ⇒ y ' = −4 ( x − 1) ⇒ x = 1 là cực đại. Chọn B.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên cứu lời
giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với phương pháp đã đưa ra để giúp học sinh
giải quyết bài toán tốt hơn.

IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho học sinh
học tốt các nội dung về cực trị của hàm số thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý
thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp giải toán . Nắm vững các yếu tố trên sẽ
giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn.
Đề tài này đã được thực hiện trong các buổi dạy chuyên đề tại 2 lớp 12A5 và 12A9. Trong quá
trình học đề tài này, bước đầu học sinh thấy khó khăn nhưng qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài
toán có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho
học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt,
sáng tạo kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Kết luận:
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài
liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về cực trị của hàm số người học sẽ có cái nhìn sâu
sắc hơn khi giải toán; đồng thời, tìm được phương pháp giải phù hợp với các bài toán về các nội
dung này.
Đối với học sinh thì một số dạng toán về cực trị của hàm số là tương đối khó, nhất là đối
với những em có lực học trung bình trở xuống. Vì vậy, đề tài này nhằm cung cấp thêm cho các em
một phương pháp tiếp cận lời giải bài toán, giúp các em có cách nhìn nhận bài toán theo nhiều
hướng khác nhau từ đó phát triển được tuy duy sáng tạo của học sinh.
Ở cấp độ trường trung học phổ thông Lê Lợi, là hiệu trưởng nhà trường đồng thời trực tiếp
giảng dạy môn Toán lớp 12 nhiều năm liền, tôi nhận thấy đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần
nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và
24


học; giúp học sinh giải quyết một số dạng toán về cực trị của hàm số tốt hơn, góp phần tích cực
vào việc ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. Đề xuất :

Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của học sinh.
Cần tìm nhiều phương pháp để giải quyết một bài toán từ đó tìm cách giải đơn giản giúp học sinh
tiếp thu bài tốt hơn và gây hứng thú trong quá trình dạy và học.
Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về cách dạy bài học
khó để tìm ra những cách giải hay.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy,
chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của
các thầy cô giáo,đặc biệt là các em học sinh để bài viết được hoàn thiện hơn và áp dụng thiết thực vào
quá trình giảng dạy. Xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019.
Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

PHỤ LỤC
25