Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và
đời sống. Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm
cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc tăng
cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán là
điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Toán
học.
Việc dạy học Toán học ở trường phổ thông phải gắn bó mật thiết với thực
tiễn nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ có ý thức ứng dụng
Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực của cuộc sống như: khoa học
kỹ thuật, kinh tế, sản xuất.
Tuy nhiên, việc ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình
SGK, cũng như trong việc dạy học môn Toán chưa được quan tâm đúng mức.
Hơn nữa những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và
sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ
thông. Mặt khác, trong thực tế giảng dạy môn toán ở phổ thông các giáo viên
chưa thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán
học vào thực tiễn.[3]
Trong những năm gần đây, bài toán có liên quan thực tế đã có mặt trong các
đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên Bộ giáo dục
đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, và
số lượng bài toán thực tế đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử
nghiệm của Bộ. Điều đó không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn
gây trăn trở cho giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán thực tế này. Bởi
vậy, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
Lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế’’.
2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm có nội dung thực tiễn, đề xuất một
phương án khai thác trong dạy học, nhằm góp phần tăng cường thực tiễn của

môn Toán ở trường THPT, góp phần gây hứng thú trong học tập, thấy
được ứng dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối
quan hệ chặt chẽ giữa Toán học với các môn học khác và thực tiễn.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Khai thác các bài toán có liên quan thực tiễn trong đời sống vào giảng
dạy cho học sinh Lớp 12
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình
nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
1

Trong trang này: Mục 1 có tham khảo trong TLTK[3]

1


+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai
thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đề ra.

2


B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.
+ Bài toán thực tế: Là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa

những nội dung liên quan đến thực tế.
Để một tình huống thực tế trở thành một bài toán thực tế, phải xác định
được yêu cầu cần phải giải quyết từ tình huống và xác định được các dữ kiện
của khách thể làm giả thiết của bài toán.
Thực ra trong dạy học toán ở phổ thông, thường các tình huống thực tế
được phát biểu ngay dưới một bài toán thực tế, tức là học sinh thường được yêu
cầu giải ngay các bài toán thực tế mà rất ít khi phải toán học hóa tình huống để
có bài toán.
2. Thực trạng.
Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên thường chỉ quan tâm,
chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quy định trong chương
trình và sách giáo khoa, sao nhãng việc thực hành, đặc biệt là những bài toán có
nội dung thực tiễn nên học sinh thường lúng túng thậm chí còn không hoàn
chỉnh được những bài toán có nội dung thực tiễn.
Giảng dạy Toán còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải
nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tiễn. Việc dạy học Toán ở
trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng
dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tế còn yếu.
3. Các giải pháp.
Qua tổng hợp và phân tích, tôi thấy các bài toán lớp 12 có liên quan đến
thực tế thường là các bài toán kinh tế; tìm phương án tối ưu( tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất); xác định thời gian, số tiền, số dân; hoặc vận tốc quãng đường, tính
diện tích, thể tích của hình , thông qua việc sử dụng đạo hàm hoặc áp dụng các
công thức tính toán( có suy luận tư duy)
Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học”
cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể

có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và
mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng
dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng
2

Trong trang này: Mục 1 có tham khảo trong TLTK[3], mục 3 mô hình có tham khảo TLTK[6]

buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.

3


Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong
kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta
thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây
trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến) hoặc thiết lập phương
trình, tích phân…
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng công
thức, giải phương trình, tính tích phân…và giải quyết bài toán hình thành ở bước
2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với
bài toán thực tế đã cho chưa .
3.1. Một số kiến thức cơ sở:
3.1.1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Phương pháp GTLN – GTNN của y = f ( x) bằng đạo hàm trên đoạn
D = a; b

Bước 1: Tính đạo hàm f '( x)

Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) xi ∈ ( a; b) ,i = 1,n sao cho f '( x) = 0 (hoặc
không có đạo hàm)

 f '( xi ) = ?

Bước 3: Tính  f ( a) = ?

 f ( b) = ?

{
{

}
}

 max f ( x) = max f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) ; f ( a) ; f ( b)
 D
Bước 4: So sánh và kết luận 
f ( x) = min f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) ; f ( a) ; f ( b) [4]
 min
D
Lưu ý: Trường hợp tập D = ( a; b) (hoặc D = ( a; b ; D = ( a;b ) thì ta làm tương tự

như bước 1 và bước 2. Đến bước 3 thì ta “lập bảng biến thiên” để từ đó đưa ra
kết luận.
Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giải quyết
nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm số bậc
hai hay các bất đẳng thức đã học như Cauchy hay bất đẳng thức trong tam
giác.
3.1.2. Bài toán về lãi suất, số dân:
* Công thức tính lãi kép.
Vốn gốc ban đầu P0 với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức
lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính

Pn tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
Sau n kì, tổng giá trị đạt được là

Pn = P0 ( 1+ r )

n

3

Trong trang này: Mục 3.1 có tham khảo TLTK[4]

Trong đó Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
P0 là vốn gốc.
r là lãi suất mỗi kì.
Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : Pn − P0

4


*Bài toán về dân số.
Gọi: P0 là dân số của năm lấy làm mốc tính.
Pn là dân số sau n năm.
r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm.
Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau
Công thức 1: Pn = P0enr dùng công thức tăng trưởng(suy giảm ) mũ.
Công thức 2: Pn = P0 ( 1 + r )

n

dùng công thức tính lãi kép.

3.1.3. Thể tích một số hình không gian thường gặp.
a. Khối chóp: Thể tích

1
V = .B.h
3

Diện tích xung quanh của một khối chóp bằng tổng diện tích các mặt bên
Diện tích toàn phần của một khối chóp bằng tổng của diện tích xung quanh
và diện tích đáy.
b. Khối lăng trụ: Thể tích V = B.h
Diện tích xung quanh của một khối lăng trụ bằng tổng diện tích các mặt bên.
Diện tích toàn phần của một khối lăng trụ bằngtổng của diện tích xung
quanh và diện tích hai đáy.
c. Khối hộp chữ nhật: Thể tích V = a.b.c với a,b,c là kích thước hình hộp.
Khối lập phương: Thể tích V = a3
d. Khối nón:
Cho hình nón có bán kính đáy r , đường cao h , đường sinh l
1
1
V = .B.h = .π .r 2.h
3
3
của hình nón: Sxq = π .r.l

Thể tích V của khối nón:

Diện tích xung quanh
Diện tích toàn phần của một hình nón bằng tổng của diện tích xung quanh và

2
diện tích đáy: Stp = Sxq + B = π .r.l + π .r
e. Khối trụ
Thể tích V của khối trụ: V = B.h = π .r 2.h .
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = C.h = 2π r.h .
với C là chu vi hình tròn đáy.
2
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + B = 2π r.h + 2π .r
f. Khối cầu: Cho một khối cầu có bán kính r.
4
V = .π .r 3
3
S = 4π .r 2

Thể tích V của khối cầu:
Diện tích của mặt cầu:

3.1.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích
phẳng.
* Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một
cong (C) và trục hoành

hình
đường

5


 y = f (x) ( C )


( H ) : y = 0
.
 x = a, x = b (a < b)


Diện tích được tính theo công thức
b

S = ∫ f (x) dx
a

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox.
b

V = π ∫ f 2 ( x) dx
a

3.2. Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa
Từ ví dụ 1 đến ví dụ 7, là các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm vào
các bài toán kinh tế, hình học.
Từ ví dụ 8 đến ví dụ 11, là các bài toán thực tế sử dụng công thức mũ
và logarit.
Ví dụ 12, là bài toán thực tế sử dụng công thức tích phân.
Ví dụ 1: Công ty du lịch Tây Nguyên dự định tổ chức tua du lịch “Thăm lại
chiến trường xưa” lộ trình Thanh Hóa- Nghệ An- Hà Tĩnh- Quảng Bình- Quảng
Trị. Công ty dự tính nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham
gia. Lợi nhuận càng lớn khi càng nhiều người tham gia. Do đó để thu hút mọi
người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100
ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải định giá tua là
bao nhiêu để doanh thu từ tua du lịch là lớn nhất ?

A. 1.800.000 (đồng) .
B. 1.375.000 (đồng) .
C. 1.600.000 (đồng) .
D. 1.475.000 (đồng) .
Phân tích: Đây là một chiến lược kinh doanh, giảm giá để hút khách, nhưng
giảm đến mức nào mà vẫn đem lại lợi nhuận cao nhất.
Như vậy ta sẽ gọi giá tua là x, biểu diễn doanh thu theo x, coi đây là 1 hàm số
và ta phải đi tìm giá trị lớn nhất của nó.
Lời giải:
Gọi x (triệu đồng) là giá tua ( 0 < x < 2 )
Giá đã giảm so với ban đầu là 2 − x
Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán x là

( 2 − x) 20 = 400 − 200x

0,1
x
Số người sẽ tham gia nếu bán giá là 150 + 400 − 200x = 450 − 200x
4

Trong trang này: Ví dụ 1 là “của” tác giả.

2
Tổng doanh thu là f ( x) = x( 550 − 200x) = −200x + 550x

6


Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) với 0 < x < 2
f' ( x) = −400x + 550, f' ( x) = 0 ⇔ x =

11
.
8

Lập bảng biến thiên ta có:
x

f ' ( x)
f ( x)

0
+

11
8
0

2
−

3025
8

 11

f ( x) = f  ÷ = 378,125
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy xmax
∈( 0;2)
 8

Vậy công ty cần đặt giá tua là 1.375.000 (đồng) thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là
378.125.000 (đồng). Đáp án B.
Nhận xét: Để tìm giá trị lớn nhất của f ( x) , ta cũng có thể làm theo cách
lớp 10( hàm số bậc hai), tuy nhiên trong nhiều trường hợp hoành độ đỉnh của
đồ thị hàm số bậc 2 không thõa mãn điều kiện, sẽ gây lúng túng cho các em.
Ví dụ 2: Tìm chiều dài bé nhất( lấy gần đúng sau dấu “,’’ 4 chữ số) của cái thang
để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua giá đỡ cao 4 m, song song và
cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ( hình vẽ dưới).
A. 5,4902 m.
B. 5,6020 m.
C. 5,5902 m.
C. 6,5902 m.

Phân tích: ● Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau. Để
xác định được độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích
độ dài AC theo hướng nào ? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp. Đối
với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh , ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt
là: hướng thứ nhất là phân tích AC = AB2 + AC 2 và hướng thứ hai là
AC = AM + MC
5

Trong trang này: Ví dụ 2 được trích dẫn trong TLTK[5]

7


● Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC = x > 0 , đến đây chỉ
cần tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f ( x) biểu diễn độ dài
MH = 4
AC . Nhưng bằng cách nào đây ? →

Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong
định lý Thales thuận ( MH / /AB ) nên ta có:

HC MH
x
=
=
. Bài toán trở
BC
AB x + 0,5

thành tìm min f ( x) = ?
● Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC = x > 0 thì khi đó ta sẽ biểu
diễn độ dài AC = P ( x) + Q ( x) (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút
nào). Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và
nhận thấy α = R MCH = R AMK . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn
toàn thuận lợi vì khi đó MC = MH sinα và AM = MK cosα . Khi đó bài toán trở
thành tìm ming( α ) = ?
Hướng dẫn giải.
● Đặt HC = x > 0 ⇒ BC = x + 0,5 . Theo định lý Thales ta có
Do đó ta có AB =

4( x + 0,5)
x

.

Do ∆ABC vuông tại B ⇒ AC 2 = AB2 + BC 2 = ( x + 0,5) +
2

( x + 0,5) ( x
2

● Hay AC 2 =

2

HC MH
x
=
=
BC
AB x + 0,5

) Đặt

+ 16

x2

f ( x) =

x4 + x3 +

Bài toán trở thành tìm min f ( x) = ? với x > 0.

16( x + 0,5)

2

x2

65 2
x + 16x + 4
4
x > 0) .
(
2
x

 3



65
65 2
2
x + 16÷x2 − 2x x4 + x3 +
x + 16x + 4÷
 4x + 3x +
2
4
Ta có



f ' ( x) = 
4
x
4

3
2x + x − 16x − 8
⇔ f ' ( x) =
.
x3
x = 2 > 0
2
Cho f' ( x) = 0 ⇔ ( x − 2) ( 2x + 1) x + 2x + 4 = 0 ⇔ 
1
x = − < 0( loai )

2

(

)

8


Lập bảng biến thiên ta có:
x

0

f ' ( x)
f ( x)

−

0

+

f ( 2)

f ( x) = f ( 2) =
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
x> 0

Do đó ta có minAC =

+∞

2

125
4

125 5 5
=
≈ 5, 5902. Đáp án C
4
2

Nhận xét: Trong quá trình giải ta gặp khó khăn khi giải phương trình f' ( x) = 0 ,
nhưng ta có thể sử dụng MTBT để tìm nghiệm.
Với cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm
nghiệm (bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua
f' ( x) = 0 .

- Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không
500 3
m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều
3
rộng. Đơn giá xây là 500.000 đồng/m2. Hãy tính chi phí thấp nhất để xây hồ.

nắp có thể tích bằng

A. 74 triệu đồng.
B. 75 triệu đồng.
C. 76 triệu đồng.
D. 77 triệu đồng.
Phân tích: Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và
chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo
1 biến.
● Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì ?”
Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ nhất
Lời giải:
Gọi x là chiều rộng của đáy hình chữ nhật và y là chiều cao của khối hộp chữ
nhật.Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện tích toàn phần
của khối hộp là nhỏ nhất.
2
2
Ta có Sxq = 2x + 2xy + 2( 2xy) = 2x + 6xy
V
2x2
V
3V
⇒ S ( x) = 2x2 + 6x 2 = 2x2 +

x
2x

Do V = 2x2 y ⇒ y =

6

Trong trang này: ví dụ 3 là “của” tác giả.
Do S,x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S trên ( 0;+∞ ) .

9


Ta có : S' ( x) = 4x −

3V
3V
,S' ( x) = 0 ⇔ x = 3
2
4
x

 3V
6
Lại có S'' ( x) = 4 + 3 > 0,∀x∈ ( 0; +∞ ) . Do đó minS = S  3
x
 4

Và khi đó chiều cao là

y=

V
=
2x2

V
23

9V 2
16

= 23


9V 2
3
÷= 3
÷
2


16V
9

Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp là 5m, chiều dài
là 10 m, chiều cao hình hộp là

40
m và khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là

3

150 m2 .

Do đó chi phí thấp nhất sẽ là 150.( 500000) = 75.000.000 (đồng). Đáp án B
Nhận xét: Ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức Cauchy:
2
3V
3V 3V
9V 2
2
2 9V
3
3
S ( x) = 2x +
= 2x +
+
≥ 3 2x
=3
x
2x 2x
2
4x2
2

Ví dụ 4: Huyện X muốn làm con đường
đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai
bên bờ một con sông, các số liệu được
thể hiện trên hình vẽ, con đường được
làm theo đường gấp khúc AMNB. Biết

rằng chi phí xây dựng 1 km đường bên
bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây
dựng 1 km đường bên bờ có điểm A, chi
phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng
như nhau. Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu km để chi phí
làm đường là nhỏ nhất ?
A. 2,63km.
B. 1,28km.
C. 3,14 km.
D. 2,56 km.
Phân tích: ● Ta thấy rằng đây không phải bài toán tìm vị trí điểm M để tổng
khoách cách giữa 2 thành phố là nhỏ nhất.Mà nó còn liên quan đến chi phí xây
dựng, liên quan đến độ dài của AM và NB, sao cho chi phí là thấp nhất. Như
vậy ta cũng phải tính chiều dài AM và NB, rồi biểu thị chi phí trên từng quãng
đường, từ đó tìm ra giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
 AM = x2 + 1,44

Đặt x = HM ( 0 ≤ x ≤ 4,1) ⇒ 
2
BN = ( 4,1− x) + 2,25


7
Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo trong TLTK[6]

Gọi a là số tiền để làm 1 km đường bên bờ có điểm A. Khi đó chi phí để làm hai
đoạn AM và BN là: f ( x) = a x2 + 1,44 + 1,3a ( 4,1− x) + 2, 25 .
2

10


f ( x) = ?
Bài toán trở thành tìm x∈min
( 0;4,1)

x

−
Ta có f' ( x) = a 2
 x + 1, 44


Cho


÷
÷
2
( 4,1− x) + 2,25 ÷
1,3( 4,1− x)

(

)

2
2
f ' ( x) = 0 ⇔ x2 ( 4,1− x) + 2, 25 = 1, 32 ( 4,1− x) x2 + 1, 44




(Dùng chức năng của MTCT giải được xo ≈ 2,6303)

f ( x) = f ( xo ) = 6,222a . Chọn đáp án A
Lập bảng biến thiên ta suy ra x∈min
( 0;4,1)

Nhận xét: Nếu chi phí làm đường 2 bên bờ là như nhau, thì ta có thể dùng cách
hình học để tìm ra vị trí xây cầu( giao điểm của AB và dòng sông, coi dòng sông
như đường thẳng)
Trên thực tế, nhiều khi cung đường làm không như trong tính toán lý
thuyết, vì nó còn phụ thuộc địa hình, chi phí giải phóng mặt bằng..
Ví dụ 5: Màn hình Ti vi đặt
thẳng đứng tại một sân vận
động cao 2,4m; cạnh thấp nhất
nằm phía trên tầm mặt khán giả
A ngồi dưới nó là 8,5m. Một
khán giả B có góc quan sát
Ti vi là thuận lợi nhất khi góc
đối diện với màn hình Ti vi là
lớn nhất, khi đó khoảng cách
giữa khán giả A và B là bao nhiêu( lấy gần đúng sau dấu “,” một chữ số) ?
A. 10m
B. 8,5m
C. 10,9m
D. 9,6m
Phân tích: ● Do đề bài yêu cầu góc quan sát θ thuận lợi nhất (tức lớn nhất)
nên ta tìm cách biểu thị khoảng cách x theo góc θ .

● Một nhận xét quan trọng là maxθ ⇔ max( tanθ ) , lại có θ = θ 2 − θ1 nên ta thử
tính
tan( θ 2 − θ1 )

tanθ 2 − tanθ1
=
=
1+ tanθ 2 tanθ1

2, 4 + 8,5 8,5
2,4
−
2,4
x
x
x
=
=
( 2,4 + 8,5) . 8,5 1+ 1853 x + 1853
1+
20x2 14 220
x
x
43x

( x) = ?
● Đến đây, bài toán trở thành tìm ming
x> 0

g( x)

8

Trong trang này: Ví dụ 5 được tham khảo trong TLTK[6]

Lời giải.
Gọi x là khoảng cách từ khán giả B đến khán giá A . Ta thấy rằng yêu cầu bài
toán chính là xác định maxθ để từ đó suy ra khoảng cách x = ?

11


Ta có

tanθ = tan( θ 2 − θ1 )

2, 4 + 8, 5 8, 5
2, 4
−
2, 4
x
x
x
=
=
=
=
1+ tanθ 2 tanθ1
( 2,4 + 8,5) . 8,5 1+ 1853 x + 1853
1+

20x2 14 220
x
x
43x
tanθ 2 − tanθ1

g( x)

Ta thấy rằng maxθ ⇔ max( tanθ ) ⇔ ming( x) .
1853
g( x) = ?
. Bài toán trở thành tìm x∈min
0;+∞ )
(
20x
1853
1853
,g' ( x) = 0 ⇔ xo =
≈ 9,63
Ta có: g' ( x) = 1−
2
20
20x

Đặt g( x) = x +

Lập bảng biến thiên
x

xo

0

g'( x)

−

0

g( x)

+∞
+

min

 1853 
÷ thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D
÷
 20 

g( x) = g
ta suy ra x∈min

( 0;+∞ )

Nhận xét: Trong các tỉ số lượng giác thì max α ⇔ max sin α ⇔ maxtan α với
0 < α < 100 .
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị maxg(x) như
sau:

1853 Cauchy
1853
1853
g( x) = x +
≥ 2 x.
=2
.
20x
20x
20

Dấu “=” xảy ra ⇔ x =

1853
1853
⇒x=
20x
20

Ví dụ 6: Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra một mẫu
sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết
kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ, bên
trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng
kem dưỡng da như hình vẽ (hình ảnh chỉ mang tính
chất minh họa). Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự
định để khối cầu có bán kính là R = 3 3 cm. Tìm thể
tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực
ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).
A. 54π cm3 .
B. 18π cm3 .

C. 108π cm3 .
D. 45π cm3 .
Phân tích:
● Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu
như hình vẽ bên. Gọi h, r lần lượt là chiều
cao và bán kính của hình trụ.
● Ta thấy rằng thể tích của khối trụ sẽ là:

12


Vtru = π r 2h (phụ thuộc theo 2 biến r và h).

● Ta lại có mối liên hệ giữa chúng là h2 + r 2 = R2 = const . Để thuận tiện ta sẽ
tính r theo h.
Lời giải: Ta có Vtru = π r 2h. Lại có r 2 = R2 − h2
2
2
2
2
2
Suy ra Vtru = π r h = π h( R − h ) . Xét f' ( h) = h( R − h ) ,0 < h < R

f ( h) = ?
Bài toán trở thành tìm hmax
∈( 0;R )

2
2
Khi đó f' ( h) = R − 3h , f ' ( h) = 0 ⇔ h =

R
3

< R.

Lập bảng biến thiên ta có:
h

R

0

f ' ( h)

+

3
0

R
−

 R 
f
÷
 3

f ( h)

 R 
÷
 3
R  2 R2  2π R3 R= 3 3
2
2
2
= πr h= πh R − h = π
¬ → Vtru = 54π
R −
÷=
3 3 3
3

f ( h) = f 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hmax
∈( 0;R)

Khi đó: Vtru

(

)

Chọn đáp án D
Ví dụ 7: Công ty chuyên sản xuất bao bì đựng sản phẩm sữa nhận đơn đặt hàng
sản xuất hộp đựng sữa có thể tích 1dm3 . Các nhân viên thiết kế phân vân giữa
làm hộp đựng dạng hình trụ hay hình hộp chữ nhật đáy hình vuông. Hỏi công ty
sẽ làm hộp hình gì để chi phí nguyên liệu nhỏ nhất.
A.Hình trụ

B.Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông
C.Cả hai như nhau.
D.Hình lập phương.
Phân tích: Để chi phí nhỏ nhất thì diện tích sản phẩm phải nhỏ nhất
TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là x(dm) và chiều cao là h(dm)
AM −GM
1
2
2
2
S
=
2
π
xh
+
2
π
x
=
+
2
π
x
≥ 3 3 2π ≈ 5,5 (dm 2 )
tp
2
πx
x
TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x(dm) và cao h(dm)

AM −GM
1
4
V = x 2 .h = 1 ⇒ h = 2 ⇒ Stp = 4 xh + 2 x 2 = + 2 x 2 ≥ 6
x
x

Ta có V = π x 2 h = 1 ⇒ h =

TH3: Nếu làm hình lập phương thì cạnh bằng 1(dm) thì diện tích toàn phần
2
bằng 6( dm )
Như vậy ta thấy làm theo hình trụ có diện tích ít nhất.
Chọn đáp án A
Nhận xét: Thực tế các loại thực phẩm, nước uống có loại dùng hình trụ (các
loại nước giải khát như coca, pepsi…) có loại hình hộp (như sữa…). Nếu tính
toán chi tiết ta thấy cùng 1 đơn vị thể tích, nếu làm hình hộp thì đó sẽ là hình
13


lập phương, nhưng đa số chúng ta thấy các hộp đựng sữa là dạng hình hộp
thường (là do đặc tính riêng về chi tiết quảng cáo trên sản phẩm,do cách bảo
quản sữa trong tủ lạnh và đôi khi do tính tiện dụng cầm nắm) vì thế các bài toán
về chi phí sản xuất vật liệu cần phải đi sâu sát hơn vào đời sống, tìm hiểu kĩ nhu
cầu tiêu dùng, sự hài lòng khách hàng. Do đó nhiều khi cần phải “tốn tiền cho
vật liệu”.
Ví dụ 8: Lãi suất của một ngân hàng là 6% / năm và 1,4% / quý. Ông A gửi 100
triệu với lãi suất tính theo năm, ông B gửi 100 triệu với lãi suất tính theo quý.
Hỏi sau 2 năm, số tiền nhận được của ông A và ông B chênh lệch gần với số nào
nhất sau đây biết rằng trong khoảng thời gian đó, lãi suất không thay đổi, người

gửi không rút lãi tiền lãi sau mỗi kỳ được nhập vào vốn ban đầu?
A. 596 ngàn đồng.
B. 595 ngàn đồng.
C. 600 ngàn đồng.
D. 590 ngàn đồng.
Phân tích: Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng sau 2
năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức

Pn = P0 ( 1 + r )

n

.

Ta phải xác định rõ: P0 = ..,r = ..,n = ....? , từ đó thay vào công thức (2) tìm được Pn .
Lời giải: 2 năm = 8 quý.
Sau 2 năm, số tiền ông A nhận được là 100 ×1,062 triệu đồng
Sau 2 năm, số tiền ông B nhận được là 100 ×1,014 8 triệu đồng
Vậy, sau 2 năm số tiền ông A nhận được hơn ông B là
( 100 ×1,062 − 100 ×1,0148 ) ×1000 ≈ 595,562 nghìn đồng
Vậy, chọn đáp án A.
Nhận xét: Đây cũng là một bài toán rất thực tế, gửi theo năm tiền lãi có thể
nhiều hơn, xong nó có điều bất tiện là sự mất giá của đồng tiền và sự xoay vòng
của tiền lâu hơn so với gửi theo quý.
Ví dụ 9: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo
thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả
hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu).
Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. 21.
B. 22.

C. 23.
D. 24.
9

Trong trang này: Ví dụ 8 là của tác giả; ví dụ 9 trích dẫn TLTK[5]

Phân tích: Đối với bài này ta cũng sử dụng công thức lãi kép, nhưng được trừ
dần sau từng tháng, đến khi nào số dư bằng không, coi như là trả xong.
Lời giải: Gọi N n là số tiền người vay còn nợ sau n tháng, r là lãi suất hàng
tháng, a là số tiền trả hàng tháng, A là số tiền vay ban đầu.
N1 = A(1 + r ) − a
N 2 = [ A(1 + r ) − a](1 + r ) − a = A(1 + r ) 2 − a[1 + (1 + r )]
N 3 = { A(1 + r ) 2 − a[1 + (1 + r )]}(1 + r ) − a = A(1 + r )3 − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 ]

..............................
(1 + r ) m − 1
r
a
a − Ar

N m = A(1 + r ) m − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ... + (1 + r ) m −1 ] = A(1 + r ) m − a

Khi trả hết nợ nghĩa là N m = 0 ⇔ (1 + r ) m ( Ar − a) + a = 0 ⇔ m = log1+ r

14


Thay số ta được: m ≈ 21,6 . Do đó số tháng để trả hết nợ là 22 tháng.
Đáp án B
Nhận xét: Đây là một bài toán rất thực tế, nhiều giáo viên đã áp dụng hình thức

vay này và họ xem như là lấy lương trước.
Ví dụ 10: Ông Y đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 15,5 triệu
đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 2,5% một tháng. Để mua trả góp ông Y
phải trả trước 30% số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 6 tháng
kể từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông Y phải trả
là như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu
ông Y mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với
giá niêm yết là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian ông Y
hoàn nợ và hàng tháng ông B đều trả tiền đúng hạn. (Kết quả làm tròn đến chữ
số hàng chục nghìn)
A. 1628000 đồng .
B. 2325000 đồng .
C. 1384000 đồng.
D. 970000 đồng
Phân tích: Vì ông Y đã trả trước được 30% rồi nên việc tính lãi cho số tiền còn
lại, sử dụng công thức ta tính được số tiền trả trong mỗi tháng.
Lời giải: Ông Y phải trả trước 30% số tiền nên số tiền ông Y cần phải vay là:
15,5 − 15,5× 30% = 10,85 triệu đồng.
Áp dụng công thức,ta tính được số tiền háng tháng ông Y phải trả là:
a( 1+ r ) .r
n

x=

( 1+ r ) − 1
n

10,85( 1 + 2, 5%) × 2, 5%
6

⇒ x=

( 1+ 2,5%) − 1
6

= 1, 969817186 (

triệuđồng)

Từ đó ta tính được tổng số tiền ông Y phải trả sau 6 tháng là:
1,969817186× 6 = 11,81890312 triệu đồng.
Vậy ông Y mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so
với giá niêm yết là: 11,81890312− 10,85 = 0,9689031161triệu đồng ≈ 970000đồng.
Đáp án D
Nhận xét: Thực chất của việc mua trả góp cũng giống như vay lãi ngân
hàng( thậm chí còn cao hơn), và nếu không đọc kĩ cam kết người mua dễ vi
phạm hợp đồng dẫn đến bị phạt.
10

Trong trang này: Ví dụ 10 là của tác giả

Ví dụ 11: Dân số nước ta năm 2014 đạt 90,7 triệu người (theo Thông cáo báo
chí của ASEANstats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%. Dự tính dân số nước ta năm
2024 là bao nhiêu( lấy kết quả gần nhất)?
A. 100.000.000 người
B. 100.786.003 người
C. 110.000.000 người
D. 100.923.000 người
Phân tích: Đây cũng là bài toán sử dụng công thức lãi kép.
Lời

giải:
Từ
giả
thiết
ta
có
các
dữ
kiện
sau:
P0 = 90700000,n = 2024 − 2014 = 10,r = 1,06%

Áp dụng công thức (2): Khi đó dân số nước ta năm 2024 là:
10
P10 = 90700000× ( 1+ 1,06%) ≈ 100.786.003 (người) . Đáp án B
Nhận xét: Vì đề bài không đưa ra công thức tăng trưởng dân số:

Pn = P0enr

15


Nên ta dùng công thức lãi kép, còn nếu dùng công thức tăng trưởng ta sẽ có
10×1,06%
≈ 100.842.244 (người) (chênh lệch giữa 2 công
đáp số là: P10 = 90700000× e
thức là 56.241 người)
Ví dụ 12: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình Parabol. Người
ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp
vào biết rằng vòm cửa cao 8 m và rộng 8 m.

A. 16m 2

B. 64m 2

C.

80 2
m
3

D.

128 2
m
3

Phân tích: Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi 1 đường thẳng BC
và 1 đường cong Parabol, cho nên ta không thể dùng các công thức tính diện
tích của những hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình tròn, tam
giác,... Ta cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng này.
Như vậy, việc đầu tiên ta cần đưa đường cong Parabol của cánh cửa vào hệ trục
Oxy và mô hình nó thành hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c.
Dựa vào độ cao 8m và chiều rộng 8m của cánh cửa ta dễ dàng xác định các hệ
số a, b, c trong biểu thức hàm số.
11

Trong trang này: Ví dụ 11 là của tác giả; ví dụ 12 được tham khảo trong TLTK[6]

Ứng dụng ý nghĩa hình học của tích phân ta có công thức tính diện tích của cánh
cửa là

4

S=

∫ ( ax

2

−4

)

+ bx + c

Lưu ý rằng cánh cửa rộng 8m và ta cho đường cong Parabol đối xứng qua trục
tung Oy nên dễ suy ra các cận x = −4 và x = 4 .
Lời giải: Không mất tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình
vẽ sau.
Giả sử parabol ( P ) : y = ax2 + bx + c.

16


Ta có:


−1
 A ( 0; 8) ∈ ( P )
a = 2
c = 8



1 2


B ( 4; 0) ∈ ( P ) ⇔ 16a + 4b + c = 0 ⇔ b = 0 ⇒ ( P ) : y = − x + 8
2

16a − 4b + c = 0 c = 8
C
−
4
;
0
∈
P
(
)
(
)





4

4

Do đó:


 1

x3 
128 2
SH = 2  − x2 + 8÷dx =  16x −
=
m
÷

÷
2
3
3


0
0

∫

( ) . Đáp án D

Nhận xét: Khi phải tính diện tích của một hình không có trong công thức tính
cơ bản, ta sẽ dùng tích phân để tích, vấn đề quan trọng phải xác định được
dạng của hình, sau đó sẽ gắn vào hệ trục tọa độ và áp dụng công thức.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi tiến hành thử nghiệm dạy lớp 12A3, Lớp đối chứng là 12A2trường THPT Hoằng Hóa 4; hai lớp này có lực học là tương đương; qua quá
trình thiết kế bài soạn, thực nghiệm giảng dạy và kiểm tra đánh giá kết quả, tôi

thấy rằng:
- Học sinh lớp 12A3 rất hứng thú học tập và tiếp thu khá nhanh kiến thức
đưa ra. Các em có khả năng vận dụng các kiến thức đó để giải quyết và làm bài
toán có liên quan đến thực tiễn . Từ đó tư duy toán học của các em được nâng
lên, chất lượng môn Toán được nâng lên đáng kể.
Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 của Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, đề
thi hay, phù hợp và bám sát với thi THPT Quốc Gia, có 4 bài toán liên quan đến
thực tế, 80% học sinh 12A3 làm đúng 4 bài thực tế.
Kết quả thu được như sau :
Điểm 4-4.8
5-5.8 6-6.8 7-7.8
8-8.8 9-9.8
10
Tổng
Lớp

số

12A 2

6

8

10

12A3

2

3

4

10
12

7

4

0

45

15

8

1

45

Qua đây, học sinh có hứng thú hơn trong học tập nhất là các bài toán có liên
quan đến thực tiễn, có thể vận dụng vào cuộc sống hàng ngày. Các em không
còn thấy “xa lạ” với các bài toán trắc nghiệm, nhất là có liên quan đến thực tế.
Giáo viên sẽ tích cực giảng dạy, khai thác sâu hơn các ứng dụng của toán học
vào đời sống.
C. KẾT LUẬN
1. Kết luận.

Đề tài đã làm sáng tỏ tầm quan trọng của toán học, vai trò của toán học đối
với đời sống thực tiễn, đối với khoa học kĩ thuật và với khoa học khác.
Nêu bật được ứng dụng và vận dụng toán học trong giảng dạy toán hoc ở
trường THPT, cụ thể là môn Toán lớp 12. Đã giải quyết được một số bài toán
trong cuộc sống thực tế hàng ngày đối với người dân hoặc công ty, nhà sản xuất
bằng kiến thức đã được học trong môn toán.

17


ti cú th l ti liu tham kho ging dy cho giỏo viờn Toỏn hoc s
dng lm ti liu liờn mụn Vt lớ; Sinh hc; Húa hc; a lớ cng nh ti liu
hc tp cho hc sinh lp 12. Cng l ti liu tham kho cho cỏc doanh nghip,
cỏc c s sn xut.
Bi vit chc chn cũn nhiu thiu sút rt mong c s úng gúp ý kin,
phờ bỡnh, phn hi ca cỏc ng nghip.
2. Kin ngh.
-T kt qu nghiờn cu ó t c trờn õy, tụi xin mnh dn xut mt s
kin ngh nh sau:
Mt l, i vi S giỏo dc v o to: Cn t chc tp hun cho giỏo viờn
nhiu hn na v vic i mi phng phỏp dy hc, c bit l tp hun vic ra
trc nghim.
Hai l, i vi nh trng: cn to iu kin thun li v c s vt cht, trang
thit b h tr giỏo viờn. Cú ch khen thng kp thi i vi giỏo viờn cú
nhiu sỏng kin kinh nghim trong quỏ trỡnh ging dy.
Ba l, i vi giỏo viờn: Cn phi hp nhiu phng phỏp dy hc tớch cc
trong quỏ trỡnh dy hc, i mi phng phỏp theo hng tớch cc húa ngi
hc, tớch cc son giỏo ỏn liờn mụn tớch hp v ging dy.

XC NHN CA N V

Hong Húa, ngy 26 thỏng 5 nm 2017.
Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit,
khụng sao chộp ni dung ca ngi khỏc
Ngi vit

Nguyn Vn Trng

TI LIU THAM KHO
1. Bựi Vn Ngh (2008), Vn dng lý lun vo thc tin dy hc mụn Toỏn
trng ph thụng, NXB i hc s phm H Ni.
2. Nguyễn Nhứt Lang (2003), Tuyển tập các bài toán thực tế
hay và khó, NXB Đà Nẵng.
3. Phạm Phu (1998), ứng dụng toán sơ cấp giải các bài toán
thực tế, NXB Giáo dục.

18


4. Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên),
Nguyễn Xuân Liêm, Trn Phng Dung, Đặng Hùng Thắng
(2007), Đại số và Giải tích 12; Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên),
Vn Nh Cng, Phm Khc Ban- sỏch Hỡnh Hc 12(nâng cao), NXB
Giáo dục.
5. minh ha, th nghim mụn Toỏn THPT Quc Gia ca B giỏo dc;
cỏc thi th ca cỏc S giỏo dc, cỏc trng THPT trờn ton quc.
6. Cỏc ti liu tham kho trờn Internet.

19

20