Skkn phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nào

Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
A. Phần mở đầu
Mụn Toỏn l mụn hc có tính thực tế rất cao, nó ảnh hưởng lớn đến đời sống
con người. Các cơng trình nghiên cứu khoa học đều cho rằng: Tất cả các môn khoa
học khác đều có liên quan mật thiết với Tốn học. Sự phát triển mạnh mẽ của tất cả
các ngành khoa học cơ bản cũng như các ứng dụng của nó vào các ngành cơng
nghiệp then chốt đều khơng thể thiếu Tốn hc. Đổi mới phơng pháp dạy
học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự phát triển của giáo
dục. Ngµy nay nỊn kinh tÕ trÝ thøc cïng víi sù bùng nổ thông tin,
giáo dục đà và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển của
khoa học kỹ tht, sù ph¸t triĨn cđa x· héi. Néi dung tri thức khoa
học cùng với sự đồ sộ về lợng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi
mới phơng pháp dạy học. Trong giai đoạn hiện nay giáo dục không
chỉ tạo ra những con ngời có tài, có đức mà giáo dục còn có một
thiên chức cao quý hơn đó là giáo dục cái thẩm mỹ, nhân văn,
đào tạo ra những con ngời có kỹ năng sống và học tập trong thời
đại mới. Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi
mới phơng pháp dạy học một cách phù hợp. Nhằm giúp cho giáo
viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phơng pháp
dạy học, đà có nhiều giáo s tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâm
nghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phơng
pháp dạy học.
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi
mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tËp
cđa häc sinh, díi sù tỉ chøc híng dÉn cđa giáo viên. Học sinh tự
giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận
thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức ®·
häc vµo bµi tËp vµ thùc tiƠn. Trong ®ã cã đổi mới dạy học môn
toán, Trong trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học.

Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

1


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán
hình học là quá trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng
pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc
giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến
thức rèn luyện đợc những kĩ năng cơ bản trong môn toán. Từ đó
rút ra đợc nhiều phơng pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có
hiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phần
nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện.
Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS có nhiều
mảng kiến thức trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhng
trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những học sinh nắm
rất vững kiến thức sách giáo khoa nhng khi gặp những dạng toán
này vẫn còn lúng túng. Vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn
đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những ngời
thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là Phơng pháp chứng
minh quy nạp và vận dụng phơng pháp này để giải các
dạng toán khác nh thế nào. Thật vậy trong chơng trình toán
phổ thông phơng pháp chứng minh quy nạp là một trong những
mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lại khá rộng rÃi, nó không

những có mặt trong phân môn số học mà còn đóng góp một vai
trò quan trọng trong phân môn đại số, nó không chỉ dừng lại ở
chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chơng
trình THPT. Vì vậy phơng pháp chứng minh quy nạp là phần
gây cho häc sinh, ngay c¶ häc sinh giái nhiỊu khã khăn bối rối,
tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ học sinh say mê môn toán
và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy lôgic, tìm tòi sáng tạo.
Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tµi liƯu vµ
qua thùc tÕ båi dìng häc sinh giái môn toán ở trờng THCS, tôi đÃ
rút ra đợc một vài kinh nghiệm. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài:
Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một sè

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

2


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
dạng toán nhằm tìm ra những biện pháp hay giúp cho công tác
dạy học nói chung và công tác bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng đạt
kết quả cao

B. Phần Nội dung
I. Cở sở lý luận:
Trong hoạt động dạy học theo phơng pháp đổi mới, giáo
viên cần giúp häc sinh chun tõ thãi quen thơ ®éng sang thãi

quen chủ động. Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách
học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đà quên, biết
cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới. Các phơng pháp thờng
là những quy tắc, quy trình nói chung là các phơng pháp có
tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phơng
pháp có tính chất tìm đoán. Học sinh cần đợc rèn luyện các thao
tác t duy nh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tơng tự, quy lạ về quen. Việc nắm vững các phơng pháp nói trên

Ngời thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

3


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu đợc tài liệu, tự làm
đợc bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng
thời phát huy đợc tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học
sinh thấy đợc niềm vui trong học tập.
Trong quá trình dạy học, ngời giáo viên phải bám sát chơng
trình và sách giáo khoa, xem đây nh là định hớng cho cả quá
trình dạy học. Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh
không chỉ dừng lại ở sách giáo khoa mà ngời giáo viên còn phải có
phơng pháp để từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm
ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động
và có hệ thống
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp

dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc,
hệ thống bài tập, sử dụng đúng phơng pháp dạy học để góp
phần hình thành và phát triển t duy của học sinh. Đồng thời qua
việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất
đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán trong đó có
các bài tập về chứng minh quy nạp cũng là một trong những bài
toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy, trí tuệ cho
học sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toán học.
II. Cở sở thực tiễn:
Trong chơng trình toán phổ thông, áp dụng phơng pháp
chứng minh quy nạp chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia
hết, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức... Do
vậy phơng pháp chứng minh quy nạp góp một phần vào
việc thực hiện chơng trình dạy học theo phơng pháp mới hiện
nay lấy học sinh làm trung tâm. Đồng thời giúp mỗi ngời giáo
viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo cơ sở vững
chắc để phục vụ cho công tác bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết quả
tốt, góp phần vào mục tiêu đào tạo và bồi dỡng nhân tµi”

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

4


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 26

học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về phơng pháp chứng minh
quy nạp nh sau:
§iĨm díi
5
SL
11

%
42,3
%

§iĨm 5 - 6
SL
08

%
30,8
%

§iĨm 7 - 8
SL
05

%
19,2
%

§iĨm 9 10
SL

%
7,7

02

%

Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh
cha đợc trang bị các phơng pháp giải, nên việc suy luận còn hạn
chế và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và
đặc biệt đối với học sinh trung bình các em càng khó giải
quyết
Để giúp học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh quy nạp,
tôi đà nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị
cho học sinh nắm đợc thế nào là phơng pháp chứng minh quy
nạp, vận dụng phơng pháp quy nạp ®Ĩ chøng minh quan hƯ chia
hÕt, chøng minh ®¼ng thøc, chứng minh bất đẳng thức. Đồng
thời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắm
chắc kiến thức, biết áp dụng vào giải toán. Từ đó yêu cầu học
sinh giải các bài tập tơng ứng từ dễ đến khó, học sinh đợc rèn
luyện và nắm chắc kiến thức, phơng pháp giải, áp dụng thành
thạo và chất lợng giải toán đợc nâng cao.
III. Mục đích nghiên cứu:
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng
dạy.

Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

5


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến
thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập
về áp dụng phơng pháp chứng minh quy nạp nói riêng. Trang bị
cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học
môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo
và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách
giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài
tập.
- Thông qua việc giải các bài toán áp dụng quy nạp (để chứng
minh chia hết, chứng minh đẳng thức, BĐT) giúp học sinh thấy
rõ mục đích của việc học toán.
IV. Phơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo
của học sinh và giáo viên.
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
V. Một số kiến thức cơ bản về phơng pháp chứng minh
quy nạp:
1, phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn
toàn:

Ví dụ 1. Quan sát các kết quả sau: 13 - 1 chia hÕt cho 3
23 - 2 chia hÕt cho 3
33 - 3 chia hÕt cho 3
43 - 4 chia hết cho 3

HÃy đa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đoán đó?

Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh
Trờng THCS KiÕn Giang

skkn

6


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Dự đoán: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dơng

Giải:
a

Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)
XÐt ba khả năng có thể xảy ra:
a) Nếu a = 3k

(k  N) th× A chia hÕt cho 3

b) NÕu a = 3k + 1 (k  N) th× a - 1 chia hÕt cho 3, do ®ã A
chia hÕt cho 3

c) NÕu a = 3k +2 (k  N) th× a + 1 chia hÕt cho 3, do ®ã
A chia hÕt cho 3
VËy a3 - a chia hÕt cho 3 với mọi số nguyên dơng a
Ví dụ 2. Quan sát kÕt qu¶ sau:

23 - 2 chia hÕt cho 3

25 - 2 chia hÕt cho 5
27 - 2 chia hÕt cho 7

Dự đoán sau đúng hay sai? 2n - 2 chia hết cho n với mọi
số lẻ n?
Giải: Dự đoán trên là sai. Chẳng hạn 29 - 2 = 510 không chia hết
cho 9
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đà thực hiện các phép suy
luận sau:
1, Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kÕt luËn r»ng a 3 - a
chia hÕt cho 3 với mọi số nguyên dơng a
2, Xét các giá trị cña a b»ng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k  N) ®Ĩ kÕt
ln r»ng a3 - a chia hÕt cho 3 với mọi số nguyên dơng a
3, Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luËn r»ng 2 n - 2 chia
hÕt cho n víi mọi số tự nhiên lẻ n
Ba phép suy luận trên đợc gọi là phép quy nạp, đó là phép suy
luận đi từ các trờng hợp riêng biệt đi tới kết ln tỉng qu¸t

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

7


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trờng
hợp riêng, chẳng hạn trong phép suy luận 2 ta đà xét mọi khả
năng có thể xảy ra khi chia số tự nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k +
1, a = 3k + 2)
Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trờng hợp riêng chứ cha xét đầy đủ mọi trờng hợp riêng. Chẳng h¹n
trong phÐp suy ln 1 ta míi xÐt a b»ng 1, 2, 3, 4 để kết luận
cho mọi số nguyên d¬ng a, trong phÐp suy ln 3 ta míi xÐt n
b»ng 3, 5, 7 ®Ĩ kÕt ln cho mäi sè tự nhiên lẻ n.
Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán
về một tính chất toán học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới
các phát minh. Phép quy nạp 1 cho một khẳng định đúng, kết
luận này đà đợc chứng minh bằng phép quy nạp 2 (quy nạp hoàn
toàn). Phép quy nạp 3 cho mét kÕt luËn sai, ta b¸c bá nã b»ng
mét phản ví dụ.
Nh vậy phép quy nạp hoàn toàn là một phép chứng minh
chặt chẽ, còn phép quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn tới sai
lầm, ngay cả đối với các nhà toán học có tên tuổi dới đây:
- Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2 n + 1 cho
ta các số nguyên tố với n b»ng 2 0, 21, 22, 23, 24 (thËt vËy 21+ 1 = 3;
22 + 1 = 5; 24 + 1 = 17; 28 + 1 = 257; 216 + 1 = 65537; tất cả
đều là số nguyên tố )
Với n = 25 = 32 th× 2n + 1 =

232 + 1 = 4294967297, Fecma

không phân tích đợc ra thừa số nguyên tố, ông cho rằng đó
cũng là một số nguyên tố và đa ra giả thuyết tổng quát rằng
công thøc 2n + 1 víi n lµ mét l thõa của 2 cho ta các số nguyên
tố.
- Một thế kỉ sau, năm 1732, Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng
cách chỉ ra rằng 232 + 1 là một hợp sè, nã chia hÕt cho 641

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

8


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhng lại đúng với một số rất
lớn các trờng hợp đầu tiên:
- Nhà toán học Gravơ đa ra dự đoán: Víi mäi sè nguyªn tè p ta
cã: 2p-1 - 1 không chia hết cho p 2. Dự đoán này đúng với mọi số
nguyên tố nhỏ hơn 1000, nhng chẳng bao lâu sau ngời ta chỉ ra
rằng tồn tại số nguyên tè 1093 mµ 21093 - 1 chia hÕt cho 10932
- Một dự đoán khác: Số 911n2+ 1 không là số chính phơng với
mọi số nguyên dơng n. Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là
n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số)
Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn giúp các nhà toán học tìm ra
một phơng pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp chúng ta khẳng
định sự đúng đắn của một số tự nhiên, đó là phơng pháp quy
nạp toán học

2, Nội dung của phơng pháp quy nạp Toán học:
Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ đợc áp dụng
rất hạn chế. Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một
số vô hạn các trờng hợp riêng, nhng con ngời không thể kiểm tra
đợc tất cả các trờng hợp riêng đó
Phép quy nạp hoàn toàn, nh chúng ta đà biết thờng dẫn tới
kết luận sai lầm. Trong nhiều trờng hợp để tránh những khó
khăn nh thế ngời ta áp dụng một phơng pháp suy luận đặc
biệt, đợc gọi là phơng pháp quy nạp Toán học
* Nội dung của phơng pháp quy nạp Toán học đợc trình
bày nh sau:
Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n đợc xem là
đà đợc chứng minh nếu cả hai điều kiện sau đây đợc thỏa mÃn:
1, Mệnh đề đúng với n = 1
2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k N) suy ra đợc
mệnh đề cịng ®óng víi n = k + 1

Ngêi thùc hiƯn: NguyÔn Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

9


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Nh vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số
nguyên dơng n bằng phơng pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến
hành ba bớc sau:

Bớc 1: KiĨm tra mƯnh ®Ị ®óng víi n = 1
Bíc 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (ta gọi là giả thiết
quy nạp), rồi chứng minh mệnh đề ®óng víi n = k +1
Bíc 3: KÕt ln mƯnh đề đúng với mọi số nguyên dơng n
Trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi chỉ đề cập đến
việc vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải
ba dạng toán đó là: Chứng minh sự chia hết, chứng minh đẳng
thức và chứng minh bất đẳng thức. Hy vọng với một số kinh
nghiệm nhỏ này sẽ góp phần vào phơng pháp dạy học, đặc biệt
là công tác bồi dỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện đợc kỹ
năng giải toán và t duy giải toán có hiệu quả hơn.

3, Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học vào chứng minh:
3.1, Dạng 1. Chứng minh quan hệ chia hết:
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp thì chia hết cho 9
Giải:
Gọi ba số nguyên dơng liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2
Ta phải chứng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3]
(1)
+ Víi n =1, ta cã: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36

9

9

VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Giả sử (1) đúng với n = k (k  N) tøc lµ: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3]
9
Ta ph¶i chøng minh r»ng (1) cịng đúng với n = k + 1, tức là phải
chứng minh:

[(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]

9

ThËt vËy ta cã:

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

10


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3
9k2 +27k + 27

= (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 +

= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 +
3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3
còn 9(k3 + 3k + 3)

9 với

Do đó [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]

9

k

9

+ KÕt ln: MƯnh ®Ị (1) ®óng víi mäi sè nguyên dơng n. Vậy
tổng các lập phơng của ba số nguyên dơng liên tiếp thì chia hết
cho 9
Bài 2: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dơng thì: A(n) = 7n + 2
+ 82n + 1
19
Gi¶i:
+ Víi n = 1 th× A(1) = 73 + 83 = 343 + 512 = 19.45

A(1)

19

Vậy A(n) đúng với n = 1
+ Giả sử A(n) ®óng víi n = k. Ta cã: A(k) = 7k + 2 + 82k + 1

19

Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
A(k + 1)
= 7k + 3 + 82k + 3
= 7.7k + 2 + 64.82k + 1

= 7.7k + 2 + 82.82k + 1

= 7.7k + 2 + 7.82k + 1 + 57.82k + 1

= 7.( 7k + 2 + 82k + 1) + 19.3.82k + 1

1

Vì A(k)

19 (Theo giả thiết quy nạp)
19

Theo nguyên lí quy nạp A(n)
Vậy A(n) = 7k + 2 + 82k + 1

7. A(k)

19.3.82k + 1

19

19 Víi

19 Víi

= 7. A(k) + 19.3.82k +

19

19
A(k + 1)

19

n nguyên dơng

n nguyên dơng

+ Kết luận: Vậy A(n) đúng với mọi số nguyên dơng
Bài 3: Chøng minh r»ng: 16n - 15n - 1

225; n N

Giải:
Đặt A(n) = 16n - 15n - 1
+ Với n = 1, ta cã:

A(1) = 16 - 15 - 1 = 0

225

A(1)

+ Giả sử A(n) đúng với n = k. Ta cã: A(k) = 16k - 15k - 1

225

Ta phải chứng minh A(n) đúng với n = k + 1
ThËt vËy:

A(k + 1)

= 16k + 1 - 15(k + 1) - 1

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

225

11


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
= (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1)
= A(k) + 15(16k - 1)
Theo giả thiết quy nạp có A(k)
Ta có: 16k - 1 16 - 1

225

16k - 1 15

15(16k - 1)

15(16k - 1)
A(k + 1)

Theo nguyên lí quy nạp thì A(n)
+ Kết ln: VËy 16n - 15 - 1

225

225

225 víi

225 víi

15.15

nN

nN

Bµi 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (n + n) chia hÕt cho 2 n
b) 33n + 2 + 5.23n + 1 chia hÕt cho 19
c) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt 24
Gi¶i:
a) Víi n = 1 th× S1 = (1 + 1).(1 + 2) ... (1 + n) = 2.3 ... (1 + 1)
2n
Vậy Sn đúng với n = 1
Giả sử Sn đúng víi n = k, tøc lµ: Sk = (k + 1).(k + 2) ... (k + k)
2n
Ta ph¶i chøng minh Sn đúng với n = k + 1
Tức là Sk + 1 = (k + 2).(k + 3) ... (k +1 + k + 1) = (k + 2).(k + 3)
... (2k + 2)

2n
ThËt vËy:

Sk + 1 = (k + 2).(k + 3).(k + 4) ... (k + k + 2)
= (k + 1).(k + 2).(k + 3) ... (k + k).2.(2k + 1)
= Sk.2.(2k + 1)

Theo gi¶ thiÕt quy nạp có Sk
2n .

Do đó:

Sk.2.(2k + 1)

Vậy Sn

2n đúng với n = k + 1

2n
Sk + 1

2n

+ KÕt luËn: VËy với mọi số nguyên dơng n thì Sn

2n

b) Với n = 1 th× A (n) = 33n + 2 + 5.23n + 1 = 35 +5.24 =243 + 80 =
323 chia hÕt cho 19

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

12


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
A(n) đúng với n = 1
19 đúng với n = k, tøc lµ: A (k) = 33k + 2 + 5.23k + 1

+ Giả sử A(n)
19

Ta phải đi chøng minh A(n)

19 ®óng víi n = k + 1

A(k + 1) = 33(k + 1) + 2 + 5.23(k + 1) + 1

Tøc lµ:

A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4
ThËt vËy:

19

A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4 = 33k + 2.33 + 5.23k + 1.23

= 27(33k + 2 + 5.23k + 1) - 19.33k + 1
= 27.Ak - 19.33k + 1

Theo giả thiết quy nạp có: Ak
Lại có: 19
3k + 1
19.3
19
Vậy A(n)

19

19.33k

19

+ 1

27Ak

19

19. Do ®ã A(k

+ 1)

= 27.Ak -

19 ®óng víi n = k + 1

+ KÕt luËn: VËy víi mäi số nguyên dơng n thì A(n)
c) Chứng minh: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n

19

24.

+ Víi n = 1 th× A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = 1 + 6 + 11 + 6 = 24
24
VËy A

24 ®óng víi n = 1

+ Gi¶ sư A

24 ®óng víi n = k

Tøc lµ: A(k) = k4 + 6k3 + 11k2 + 6k
Ta phải đi chứng minh A(n)

24

24 đúng với n = k + 1

Tøc lµ: A(k + 1) = (k+1)4 + 6(k + 1)3 + 11(k + 1)2 + 6(k + 1)
24
ThËt vËy:
A(k + 1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 6k3 + 18k2 + 18k + 6 + 11k2 +
22k + 11 + 6k + 1
A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)

DƠ thÊy: k4 + 6k3 + 11k2 + 6k
Vµ 24(k2 + 1)

24 (Theo giả thiết quy nạp)

24. Lại có (k3 + 11k)

6 víi

kN

ThËt vËy: víi k = 1 th× k3 + 11k = 12

6. (đúng)

Giả sử đúng với k = m thì m3 + 11m

6 (m N)

Ta phải đi chøng minh k3 + 11k

6 ®óng víi k = m +1

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

13

Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Thật vậy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + 1 +
11m + 11
= (m3 + 11m) + (3m2 +
3m + 12)

6

Do ®ã k3 + 11k

6

4(k3 + 11k)

24

VËy A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 +
11k)
24
VËy A(n)

24 ®óng víi n = k + 1

+ Kết luận: Với mọi số nguyên dơng n thì luôn có: n4 + 6n3 +
11n2 + 6n
24
* Một số bài tập giải tơng tự:
Bài 1: Chứng minh rằng víi mäi sè nguyªn a:

a) a2 - a chia hÕt cho 2

b)

a3 - a chia hÕt

d)

a7 - a chia hÕt

cho 3
c) a5 - a chia hÕt cho 5
cho 7
Bµi 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
a) 32n + 1 + 40n - 67 chia hÕt cho 64

b)

2n + 2.3n + 5n - 4

chia hÕt cho 25
c) 7n + 2 + 82n + 2

chia hÕt cho 57

d)

10n + 72n - 1

chia

hÕt cho 81
Bµi 3: Chøng minh r»ng với mọi số nguyên dơng n thì số gồm 3n
chữ sè 1 chia hÕt cho 3n?
HD: MƯnh ®Ị ®óng víi n = 1. Vì số 111
Giả sử số
=

3

chia hết cho 3, ta cã sè:
.

.

=

.

.

chia hÕt cho

3

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

14


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Vậy với mọi số nguyên dơng n thì gồm 3n chữ số 1 chia hết
cho 3n
Bài 4: Chứng minh r»ng A chia hÕt cho B víi:
a)

A = 13 + 23 + 33 + ... + 993 + 1003; B = 1 + 2 + 3

+ ... + 99 + 100
b) A = 13 + 23 + 33 + ... + 993;

B = 1 + 2 + 3 + ...

+ 99
Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu n lµ lËp phơng của một số tự nhiên
thì
(n - 1).n.(n + 1) chia hÕt cho 504
Bµi 6: Chøng minh r»ng: NÕu a và b không chia hết cho 3 thì a 6
- b6 chia hÕt cho 9
Bµi 7: a) Chøng minh r»ng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho
3 thì tổng các lập phơng của chúng chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng hiệu các bình phơng của hai số lẻ
thì chia hÕt cho 8
Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi số n nguyên dơng:
a)

(n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (2n) chia hÕt cho 2 n

b)

(n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (3n) chia hÕt cho 3 n

Bµi 9: CM r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số
tự nhiên n

3.2, Dạng 2. Chứng minh đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
Sn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

(1)

Gi¶i:

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

15


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
+ Với n = 1, vế trái của (1) b»ng 13 = 1; vÕ ph¶i cđa (1) b»ng

VT = VP. Vậy (1) đúng với n = 1

+ Giả sư (1) ®óng víi n = k (k  N & k  1)
Tøc lµ: SK = 13 + 23 + 33 + ... + k3 =
Ta ph¶i chøng minh (1) đúng với n = k +1
Tức là: SK + 1 =13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 =
ThËt VËy: SK + 1 = 13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3
= 13 + 23 + 33 + ...+ k3 + (k + 1)3
= SK + (k + 1)3
Theo giả thiết quy nạp thì Sk =
Do đó: Sk + 1 =

+ (k + 1)3 =

=
=

+ (k + 1)3

=
=

SK + 1 =

®óng. VËy (1) ®óng víi n = k +

1
+ KÕt ln: MƯnh ®Ị (1) đúng với mọi số nguyên dơng n
Bài 2. Chứng minh rằng mọi số nguyên dơng n thì:
Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

(1)

Gi¶i:
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i cđa (1) b»ng 12 = 1
vÕ ph¶i cđa (1) b»ng

=1

VËy VT = VP. VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sư (1) ®óng víi n = k (k  N & k  1), tøc lµ:
Sk = 12 + 22 + 32 + ... + k2 =
Ta phải chứng minh đẳng thức (1) đúng víi n = k + 1, tøc lµ:

Ngêi thùc hiƯn: NguyÔn Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

16


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Sk + 1 = 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 =
ThËt vËy: Sk + 1 = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2
(Do giả thiết quy nạp Sn = 12 + 22 + 32 + ... + k2)
Mặt khác Sk

=

do đó ta cã:

+ (k + 1)2

Sk + 1 =
=

=
=

=

Sk + 1 =

=

. Vậy đẳng thức (1) đúng với n =

k+1
+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì tổng bình phơng
n các số tự nhiên liên tiếp bằng
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:

Giải:
+ Với n = 1, đẳng thức đúng vì VT = VP =
+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k

(k N, k 1)

Tức là:
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1
Tức là:

Thật

vậy:

Sk

+

=

1

= Sk +
Theo giả thiết quy nạp Sk =

Ngời thực hiện: NguyÔn Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

17


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Do đó:

Sk + 1 =

=

Sk + 1 =

=

Vậy Sn ®óng víi n = k + 1
+ KÕt ln: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì đẳng thức (1)
luôn xảy ra
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
Sn =
Giải:
+ Với n = 1, vế phải của đẳng thức trên bằng
vế trái của đẳng thức trên bằng
VT = VP =

=
=

. Vậy đẳng thức đúng với n = 1

+ Giả sử Sn đúng với n = k (k N, k 1)
Tức là: Sk
Ta phải ®i chøng minh ®¼ng thøc Sn ®óng víi n = k + 1
Tøc lµ: Sk + 1
ThËt vËy: Sk + 1
Theo giả thiết quy nạp:
Do đó: Sk + 1

Sk + 1

. VËy Sn ®óng víi n = k + 1 (k  N, k 

1)
+ KÕt luËn: VËy víi mäi số nguyên dơng n thì đẳng thức Sn luôn
đúng

Ngời thực hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

18


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì:
(1)
Giải:
+ Với a = 1, VT =

; VP =

VT = VP =

Vậy đẳng thức (1) đúng với a = 1
+ Giả sử a = k, đẳng thức (1) đúng, tức là

Ta phải đi chứng minh đẳng thức (1) ®óng víi a = k + 1 (k  N,
k 1)

Tức là:
Thật vậy:

Vậy đẳng thức (1) đúng với a = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè tự nhiên a thì:

* Một số bài tập giải tơng tự:
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n th×:
a, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =
b, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2
c, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1).(n+2) =
Bµi 2. Chøng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
với n 1

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

19


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n N thì:
a, Sn = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + ... + n(n + 3) =
b, Sn = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n - 1) = n2.(n + 1)
c) Sn = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n.(3n + 1) = n.(n + 1)2
Bµi 4: a, Chøng minh rằng tổng n các số tự nhiên đầu tiên liên

tiếp lµ:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
b, Chøng minh r»ng tỉng n c¸c số chẵn đầu tiên liên tiếp
là:
S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n =
c, Chøng minh rằng tổng n các số lẻ đầu tiên liên tiÕp lµ:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2
3.3, D¹ng 3. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 thì: 2n >
2n + 1 (1)
Giải:
+ Với n = 3 thì VT = 23 = 8;

VP = 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7

VT >

VP
Vậy (1) đúng với n = 3
+ Giả sư (1) ®óng víi n = k (k  N, k  3), tøc lµ 2k > 2k + 1
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tøc lµ:
2k + 3

2k + 1 >

(2)

ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 Theo giả thiết quy nạp 2k > 2k + 1
Do ®ã: 2k + 1 > 2(2k + 1) = (2k + 3).(2k - 1) > 2k + 3
(V× 2k - 1 > 0 víi k

VËy (2) ®óng víi

k

3)

3

+ KÕt ln: 2n > 2n + 1 víi mọi số nguyên dơng và n

Ngời thực hiện: Nguyễn Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

3

20


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi với n số không âm
với a1, a2, . . ., an 0
CM:
+ Hiển nhiên mệnh đề đúng với n = 2, tức là
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là:
Ta đi chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Giả sử a1
Đặt

a2

...

ak

ak + 1. Th× ak + 1 

= x th× x  0

ak + 1 = x + y víi y  0 vµ kx = a1, a2, . . ., ak 0 (Do giả thiết
quy nạp)
Ta có:

=

.
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n 2.
Xảy ra đẳng thøc khi vµ chØ khi: a1 = a2 = ... = an
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:

Giải:
+ Với n = 1 đẳng thức luôn đúng vì: VT =

VP = 3

+ Vớí n = 2, theo khai triĨn Niu t¬n ta cã:

Ngêi thùc hiƯn: NguyÔn Minh Thanh

Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

21


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán

Do:

Do đó:

Bài

Với mọi n số nguyên dơng

4:

CMR

với

mọi

số

nguyên

dơng

n

thì:

Giải:
+ Với n = 1, vế trái bất đẳng thức là:
Vậy bất đẳng thức đúng với n = 1
+

Giả

sử

bất

đẳng

thức

đúng

với

n

=

k,

tức

là:

Ta phải chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Do giả thiết quy nạp:
Vậy bất đẳng thøc ®óng víi n = k + 1
+ KÕt ln: Với mọi số nguyên dơng n ta luôn có bất ®¼ng thøc:

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

22


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
Bài

5:

CMR

với

mọi

số

nguyên

dơng

n

thì:

Giải:
+ Với n = 1, ta có: VT = 1; VP =

.

VT > VP. Vậy bất đẳng thức (1) đúng với n = 1
+ Giả sử bđt đúng víi n = k, tøc lµ:
(k  Z+ , k

1)

Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Tøc lµ
ThËt vËy:

( )

Víi A =
Ta nhËn thÊy A là tổng của 2 2 phân thức mà mỗi phân thức
đều lớn hơn
Do đó: A >
Từ ( ) và (
L¹i cã:

+

+…+

=2 .

) suy ra Sk + 1 = Sk + A >
(víi k  Z+ , k

.

(

)

Sk + 1 >

1) . Vậy bất đẳng thức đúng với n

=k+1
+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dơng n thì bất đẳng thức sau
luôn đúng:

Bài 6: Tìm số nguyên dơng n sao cho: 2n > 5n
Gi¶i:

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

23


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán
+ Với n = 1; 2; 3; 4 thì vế trái nhỏ hơn vế phải
+ Với n = 5 th× 25 = 32 > 25 = 5.5. VËy bất đẳng thức đúng khi
n=5
+ Giả sử bất đẳng thức ®óng víi n = k (Víi k  N , k

5); Tức là:

2k > 5k
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1; Tức là: 2 k
+1

> 5(k + 1)

ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 mà 2k > 5k (Theo giả thiết quy nạp)
Nên 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo điều kiện k

5 nên 5k > 5

Vì vậy: 2k + 1 > 5k + 5 = 5(k + 1)
5 th× ta cã 2n >

+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyên dơng n, n
5n
*Một số bài tập giải tơng tự:

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
(n

2)

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì:
a.
b.
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên và n
tổng:
Không phải là một số tự nhiên
Bài 4. Chứng minh rằng:
Bài 5. Cho S víi n  N* vµ:
Chøng minh r»ng S < 1
Bµi 6. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

2 ®Ịu cã:

24

1 th×


Vận dụng phơng pháp quy nạp toán học để giải một số
dạng toán

Bài 7. Chứng minh các bất đẳng thức:
a.
b.
c.
Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
với mọi số tù nhiªn n  2

a)

víi mäi sè tù nhiªn n  2

b)

Bµi 9. Chøng minh r»ng víi n lµ sè tự nhiên ta luôn có:

VI. Một số giải pháp khi vận dụng phơng pháp quy nạp để
giải toán:
1, Đối với giáo viên:
- Trớc hết ngời giáo viên phải xây dựng đợc cơ sở lí thuyết
về phơng pháp quy nạp toán học và việc vận dụng nó để giải
từng dạng toán cụ thể. Nội dung này phải chuyển tải đến học

sinh, với mỗi dạng toán giáo viên đa ra ví dụ mẫu, hớng dẫn học
sinh dựa trên cơ sở lý thuyết để tìm cách giải, giáo viên chốt lại
bài giải mẫu. Sau đó yêu cầu học sinh giải bài tập áp dụng
- Phân loại các bài tập từ dễ đến khó phù hợp với từng đối tợng học sinh, tạo điều kiện cho từng đối tợng học sinh đợc làm
việc, chủ động nắm đợc kiến thức cơ sở và phơng pháp giải
- Rèn luyện và nâng cao khả năng t duy sáng tạo của học
sinh thông qua qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức
trong khi nghiên cứu, giải to¸n

Ngêi thùc hiƯn: Ngun Minh Thanh
Trêng THCS KiÕn Giang

skkn

25