SKKN Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:.................................................................................................................................................................................. 2
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI..................................................................................................................................................... 2
II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA SKKN:...........................................................................................3
III- PHƯƠNG PHÁP, PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU.............................3
1. Phương pháp: ....................................................................................................................................................................... 3
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: ............................................................................................................3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ....................................................................................................................................................... 4
I- CƠ SỞ LÝ LUẬN...................................................................................................................................................................... 4
II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: .........................................................................4
1. Thực trạng...................................................................................................................................................................................................................................4
2. Kết quả của thực trạng: ............................................................................................................................................ 4
III- CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN .........................................................................5
2. Lý thuyết: ...................................................................................................................................................................................... 5
2. Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét: ................................................................................................................. 5
IV-KIỂM NGHIỆM .................................................................................................................................................................. 18
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT........................................................................................................................................ 19
I- KẾT LUẬN:................................................................................................................................................................................. 19
II- KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT:............................................................................................................................... 19

1


A: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một
môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó
cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính
quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Hơn nữa chương trình toán
THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau
này.

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở
bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái
độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các
lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho
học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính
tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong nhiều năm trở lại đây trong đề khảo sát cuối năm, các đề thi vào lớp
10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 đều có các bài toán về
phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập
chưa đa dạng. Vì thế đa số học sinh khi gặp bài toán có vận dụng hệ thức Vi-ét
thì đều lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về
nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức
Vi-ét còn nhiều hạn chế.
Bản thân là giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 9, tham gia
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi
tuyển vào lớp 10. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học
tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài
toán về phương trình bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi
tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài
toán về phương trình bậc hai”.

2


II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán về phương
trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh lớp 9 THCS. Từ đó
các em có thể làm tốt các bài toán về phương trình bậc hai trong các kỳ thi
tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ
phương trình bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Nghiên cứu các phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm
phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết
cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
III. PHƯƠNG PHÁP PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:
1. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc và chọn ra các bài toán về
phương trình bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành các nhóm ứng
dụng.
- Phương pháp phỏng vấn, điều tra: Điều tra kết quả thông qua các bài
kiểm tra của 30 học sinh lớp 9A
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau khi sắp xếp thành các nhóm
ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng
dụng trên.
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Khảo sát mức độ vận dụng hệ thức Vi-ét của học sinh lớp 9A trường
THCS Nga An năm học 2013-2014 trước và sau khi tổ chức hướng dẫn cho học
sinh học hệ thức Vi-ét và các ứng dụng
- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong môn đại số lớp 9, tìm
hiểu các phương trình bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.
3. Kế hoạch nghiên cứu: Năm học 2013-2014

3

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực
cá nhân, tính năng động sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học
sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc”.
Để thực hiện mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế
theo hướng giảm tính lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức,
khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, hệ thức Vi-ét được học trong 2 tiết:
* Tiết 1: Học sinh được học hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để
nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, vận dụng làm các bài tập
* Tiết 2: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của chúng,
từ đó biết lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm và làm các bài tập củng
cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học hệ thức Vi-ét nhưng không có
nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm
và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và
hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Thực trạng
Thuận lợi:
- Phần đa số học sinh của lớp có ý thức học tập tốt, nắm được kiến thức
cơ bản chương trình THCS.
- Bản thân là một giáo viên có nhiều năm tham gia dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.
- Công tác bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh được làm thường xuyên góp
phần nâng cao kiến thức cho học sinh.

Khó khăn
- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, do vậy chưa khai
thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
- Một bộ phận học sinh chưa có ý thức học tập tốt, chưa có sự quan tâm
thường xuyên của các bậc phụ huynh nên kết quả học tập còn yếu.
- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng
cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
2. Kết quả của thực trạng
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS Nga An, việc ứng dụng hệ
thức Vi-ét đối với học sinh còn nhiều khó khăn. Nhiều bài các em không định
hướng được cách làm, kỹ năng vận dụng yếu
4


Số lượng học sinh vận dung hệ thức Vi-ét còn thấp. Kết quả thống kê
bài kiểm tra sau khi dạy 2 tiết hệ thức Vi-ét như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp TSHS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

SL
%
9A
30
1
3.3
5 16.7 11 36.7 11 36.7 2
6.6
III. CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Lý thuyết
* Hệ thức Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

ax 2

b
�
x

x

1
2
�
�
a
�
c
�x1. x2 
�

a

2. Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét
Sau khi học sinh đã nắm được nội dung của hệ thức Vi-ét, giáo viên chia
các bài tập về ứng dụng của hệ thức Vi-ét thành các dạng cụ thể như sau:
Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Dạng 3: Lập phương trình bậc hai :
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm của phương trình:
Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Dạng 7. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm:
Với mỗi dạng giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách giải và tìm các bài tập
minh họa, tổ chức các buổi ôn tập cho học sinh
Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Cách giải
Nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có:
* a +b+c =0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là x2 =

c
a

* a -b+c =0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, nghiệm kia là x2 = 

c
a

2. Ví dụ
* Tính nhẩm nghiệm của các phương trình cho trước
5


Ví dụ1 :
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 5x2 - 8x + 3 = 0 (1)
b/ 11x2 + 15x + 4 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a + b + c = 5-8+3=0, nên có một
nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

3
5

Phương trình (2) có a - b + c =11 - 15 + 4 = 0, nên có một nghiệm
x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

4
11

Bài tập áp dụng: Hãy tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 101x2 - 105x + 4 = 0
b/ 7x2 - 20x - 27 = 0
c/ 2x2 - 29x +27 = 0
d/ 4531x2 + 31x - 4500 = 0
* Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình, tìm
nghiệm còn lại:
Ví dụ 2:

a/ Cho phương trình 2x2 + 2mx + 5 = 0 (1) có một nghiệm x 1 = -2. Tìm m
và nghiệm còn lại.
b/ Phương trình x2 - 4kx + 6 = 0 (2) có một nghiệm x 1 = 3, tìm k và
nghiệm còn lại.
Giải:
a/ Ta thay x1 = -2 vào phương trình (1), ta được: 2.(-2) 2 + 4.(-2).m + 5 = 0
�m 

13
8

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 =

5
5
suy ra: x2 =
2
4

b/ Ta thay x1 = 3 vào phương trình (2) ta được: 32- 4.3.k +6 = 0 � k 

5
4

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 6 suy ra: x2 = 2
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
1. Cách giải
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình : x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để tồn tại hai số là: S2 - 4P ≥ 0

2. Ví dụ
Ví dụ :
Tìm hai số u và v biết u+v = - 3 và u.v = - 4.
Giải:
Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
6


Vậy u = 1 thì v = - 4
Hoặc u = - 4 thì v = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b/ a - b = 5
và a.b = 36
2
2
c/ a + b =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a  b  9 �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab 
2

2

2



81  a 2  b 2
2

  20

x 4
�
x2  5
�

1
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình : x  9 x  20  0 � �

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b

Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169
2

2

2

2

a  b  13
�
2
�  a  b   132 � �
a  b  13
�

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x  4
�
x 2  13 x  36  0 � �1
x2  9
�

Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x 4
�
x 2  13x  36  0 � �1
x2  9
�

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
a  b  11
�

a  b  11
�

2
2
2
2
2
Từ a  b  61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  11 � �
2

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x  5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�
7


Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x 5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Với các câu trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh làm theo cách khác

Dạng 3: Lập phương trình bậc hai
* Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ:
Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1= -2; x2= 5
Giải:
�x1  x2  3

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1. x2  10
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 - 3x -10 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2
* Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trình cho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x2 

Giải:

1
1
y2  x1 
và
x1

x2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có

:

�1 1 �
1
1
x x
7 49
 x1    x1  x2   �  �  x1  x2   1 2  7  
x1
x2
x1 x2
6 6
�x1 x2 �
�
1 �� 1 �
1
1 49
P  y1. y2  �x2  �
. �x1  � x1. x2  1  1 
8 
x1 x2
6 6
� x1 �� x2 �

S  y1  y2  x2 

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2  Sy  P  0 hay y 2 

49
49
y
 0 � 6 y 2  49 y  49  0
6
6

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x1 

1
1
y2  x2 
và
x2
x1
8


2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14 và y2  x2 4
3/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y1  x1  3 và y2  x2  3

b/ y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm của phương trình:
1. Cách giải
+ Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 (  �0)
+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm
+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị
Ngoài các bước giải trên, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh một số phép
biến đổi các biểu thức để đưa về dạng chứa tổng và tích của các nghiệm
1

x x

1

1
2
a/ x  x  x x
1
2
1 2

b/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2
2

3
3
2
2
 x1  x2   3x1x2 �
c/ x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �

�
�hoặc
2

x13  x2 3   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2 
3

 2x 2 x 2
 x1  x2   2 x1x2 �
d/ x14  x2 4   x12    x22    x12  x2 2   2 x12 x2 2  �
�
� 1 2
2

2

2

2

e/  x1  x2   x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4 x1 x2
2

2

� x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2 …..
2

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình x2- 10x+15 = 0 không giải phương trình. Hãy tính

giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1a) x12  x2 2
x2

1

1

b) x  x
1
2

c) x13  x 32

x1

d) x  x
e) x12  x2 2
g) x13  x 32
1
2
Học sinh thường giải như sau: Theo hệ thức Vi-ét ta có x1  x2  10 , x1.x2  15 .
Sau đó biến đổi các hệ thức của bài cho mà không biết phương trinh đã cho có
nghiệm hay không. Do đó giáo viên cần nhắc lại cho học sinh cách giải trước
hết là phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình
Giải:
Xét phương trình x2- 10x+15 = 0
 ’=(-5)2-1.15=10>0=> phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x19

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1  x2  10 (1)
x1.x2  15 (2)

a) x12  x2 2 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 =102-2.15=100-30=70
1

1

x1  x2

10

2

b) x  x = x x = =
15
3
1
2
1 2
3
3
2
c) x1  x 2 = ( x1  x2 )( x 1  x1 x2  x 22 ) = ( x1  x2 )[( x1  x2 ) 2  3x1 x2 ]
= ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 ) =103-3.10.15=1000-450=550
x2 x1
x 2 2  x 21


d) x x =
x1.x2
1
2

70 14

15 3
e) Đặt A= x12  x22 =( x1  x2 )( x1  x2 )
B= x1  x2 <0 (vì x1
=

Ta có B2 = ( x1  x2 )2 = x12  x2 2 2x1 x2 = 70-2.15 = 40
=>B= - 2 10
Do đó A= x12  x22 =10.(- 2 10 )= - 20 10
g) x13  x 32 = ( x1  x2 )( x 21  x1 x2  x 22 ) = - 20 10 (70  15) = - 20 10 . 85 = 170 10
Ví dụ 2: Cho phương trình x2-5x+6=0 không giải phương trình. Hãy tính
giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1>x2)
a) x1  x2

b) x1 x1  x2 x2

c) x2 x1  x1 x2

d) x1  x2
Giải:
2

Xét phương trình x -5x+6=0
 =(-5)2-4.6=25-24=1>0
Phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  5  0
x1.x2  6  0 => x1>0, x2>0

a)A= x1  x2 >0
A2= ( x1  x2 )2= x1  x2 2 x1 x2 = 5  2 6 = ( 3  2)2
Vậy A= 3  2
b) x1 x1  x2 x2 = ( x1  x2 )( x1  x2  x1 x2 ) = ( 3  2 )( 5  6) = 3 3  2 3
c) x2 x1  x1 x2 = x2 x1 ( x1  x2 )  6( 3  2)  3 2  2 3
d) Đặt B= x1  x2 >0 vì x1>x2
B2=( x1  x2 )2= x1  x2 2 x1 x2 = 5  2 6 = ( 3  2)2
Vậy B= 3  2
Bài tập áp dụng:
10


1/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
1

1

b/ x  x
1
2
2
2/ Cho phương trình: 2x - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy

tính:
a/ x12  x2 2

a/ x12  x2 2
1

1

x1

x2

1  x1

1  x2

b/ x  1  x  1
2
1

c/ x  x
d/ x  x
1
2
1
2
2
3/ Cho phương trình: x - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 . Không giải
phương trình, hãy tính: Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
5 x1 x23  5 x13 x2





2

2
6. 4 3  2.8
6  x1  x2   2 x1 x2
6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
17
Q




3
3
(HD:
2
2
5 x1 x2  5 x1 x2
�4 3  2.8� 80 )
5 x1 x2 �
�x1  x2   2 x1 x2 �
5.8
�

�
�
�
�





4/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1,
x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m.
Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
1. Cách giải
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và  �0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho biến đổi để áp dụng hệ thức Vi-ét đưa về
phương trình có ẩn là tham số để giải.
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2+mx-m2-8=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thoả mãn: x21+x22=25
Khi gặp phương trình chứa tham số m, sai lầm thường mắc phải của học
sinh đó là không tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà thường vận dụng
luôn hệ thức Vi-ét, do đó giáo viên cần nhấn mạnh cách giải bước đầu tiên là
tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó cho học sinh giải.
Giải:
2
2
Xét phương trình x +mx-m -8=0

Ta có:  = m2+4(m2+8)= 5m2+32>0 với mọi m
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2   m
(1)
2
x1.x2  m  8
(2)
11


Theo đề bài ta có: x21+x22=25 � ( x1  x2 )  2 x1 x2 =25 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có: (-m)2 + 2m2 + 16 = 25
� 3m2 = 9 � m2 = 3 � m = � 3
Vậy với m= � 3 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x21+x22=25
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số
m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
2

m �0
m �0
�
�
m �0
�
�
�

��
��
2
�
2
2
3  m  21 �
� ' �0
�
� 9  m  3 m �0
� '  9  m  2m  1  9m  27 �0
� '  �
m �0
m �0
�
�
��
��
 '  9  m  1 �0
m �1
�
�
6(m  1)
�
S  x1  x2 
�
�
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  9( m  3)

1 2
�
m
Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết)
6(m  1) 9(m  3)

� 6(m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7 ( thỏa mãn)
Nên
m
m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: x1  x2  x1 x2
* Nếu hệ thức của bài cho không chứa tổng và tích của hai nghiệm thì giáo
viên hướng dẫn học sinh giải theo cách sau:
+ Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
+ Viết hệ thức Vi-ét
b
�
x1  x2 
(1)
�
�
a
�
�x1. x2  c (2)
�
a

+ Kết hợp với hệ thức của bài cho (3)

Từ (1) và(3) ta được hệ phương trình ẩn x1, x2
+Giải hệ phương trình ẩn x1, x2 theo m
+ Thay x1, x2 vào (2) ta được phương trình ẩn m
+ Giải phương trình ẩn m ta tìm được m
+ So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời.
Ví dụ 3: Cho phương trình x2-mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1- 2x2 = 1
Giải:
2
Xét phương trình x -mx+m-1=0
12


Ta có:  =(m)2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2 �0 với mọi m
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  m
(1)
x1.x2  m  1
(2)
Theo đề bài ta có: x1-2x2=1 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:
�x1  2 x2  1 (3)
�
�x1  x2  m (1)
� x1 

2m  1
m 1
; x2 

3
3

Thay x1, x2 vào (2) ta có:

2m  1 m  1
g
 m 1
3
3
� 2m 2  2m  m  1  9m  9
� 2m 2  10m  8  0
� m  1; m  4

Vậy m = 1, m = 4 là các giá tri cần tìm.
Bài tập áp dụng:
1/Cho phương trình x2-2x+m+2=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thoả mãn:
a) x21+x22+4 x1x2=0
x2

x1

10

b) x  x  3
1
2
2/ Cho phương trình x2- (a-2)x - 2a = 0. Tìm a để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2x1+ 3x2 = 0

(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2005-2006)
3/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
4/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
5/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  5 x2  6
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
1. Cách giải
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và  �0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử tham số .
2. Ví dụ
13


Ví dụ 1: Cho phương trình x2+(2m+1)x+m-1=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1,
x2 không phụ thuộc vào m.
Giải:
2
Xét phương trình x +(2m+1)x+m-1=0.
Ta có:  =(2m+1)2-4(m-1) = 4m2+4m+1- 4m+4 = 4m2+5>0 với mọi m
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2m  1
(1)
x1.x2  m  1
(2)

Từ (1) và (2)
� x1 +x2+2x1x2=-2m-1+2(m-1)
� x1 +x2+2x1x2=-3
Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2+2x1x2=-3
Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0.
chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị
của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�

�
�
5
�
2m
�
S  x1  x2 
(1)
�
�
m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x1. x2  m  4 (2)
�
m 1

Thay (1) và (2) vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8

2m
m4
6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1

m 1
4
Vậy A = 0 với mọi m �1 và m � .
5

A= 3.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
độc lập đối với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2.
Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và
x2 không phụ thuộc giá trị của m.
3/ Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + (2m - 3) =0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
14


b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x2 của phương trình sao cho hệ
thức đó không phụ thuộc vào m.
(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2004-2005)
Dạng 7. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
1. Cách giải
Cho phương trình: ax2+bx+c= 0 (a �0)
Phương trình có 2 nghiệm �  �0
Theo hệ thức Vi-ét:
S = x1+x2= P = x1x2=

b
a

c
a

c
<0
a
� �0
�
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu: � �
c
P = x1x 2 = >0
�
a
�
�
�
( ') �0
�
b
�
S= x1 + x 2    0
�
a
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương: � �
c
�
P = x1x 2 = >0

�
a
�

* Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu � P = x1x2=

* Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm: �

�
�( ') �0
�
b
�
S= x1 + x 2    0
�
a
�
c
�
P = x1x 2 = >0
�
a
�

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm số của phương
trình bậc hai sau:
a, 3x2-5x+7=0
b, x2+5x+6=0
c, x2-5x+6=0

d, 7x2-4x-1=0
Giải
a, Xét phương trình: 3x2-5x+7=0
Ta có:  = 52-4.3.7=25-84=-59<0
Phương trình vô nghiệm
15


b, Xét phương trình: x2+5x+6=0
Ta có:  = 52-4.6=25-24=1>0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x1+x2= -5<0
P = x1x2= 6>0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm
c, Xét phương trình: x2-5x+6=0
Ta có:  = 52-4.6=25-24=1>0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x1+x2= 5>0
P = x1x2= 6>0
Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
d, Xét phương trình: 7x2-4x-1=0
1
7

Ta có P = - <0
Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu
Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc 2
thoả mãn với điều kiện về dấu của các nghiệm ta giải các bất phương trình trên

ứng với mỗi trường hợp sau đó kết hợp nghiệm của các bất phương trình.
Ví dụ 2: Xác định tham số m sao cho phương trình: x2-2(m-1)+2m-5=0 có 2
nghiệm dương phân biệt.
Giải:
Ta có  ’=(m-1)2-2m+5=m2-4m+5=(m-2)2+1>0 với  m.
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì:
�S  0
�
�
�P  0

Vậy m 

2m  5  0
�
�
m 1  0
�

� 5
m
5
�
� � 2 � m
2
�
m 1
�

5
thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2

Ví dụ3 :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0
có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
m2  m  6
p0�P
 0 � P   m  3  m  2   0 � 2  m  3
2
Vậy với 2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.

Bài tập áp dụng:
16


1/ Cho phương trình: mx2-2(m-1)+2m-5=0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm:
1. Cách giải
Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1, x2
Viết hệ thức Vi-ét theo các hệ số của phương trình
Thay hệ thức vừa viết vào biểu thức bài cho rồi biến đổi để tìm GTLN,
GTNN, chứng minh bất đẳng thức

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 sao cho A=(2x1-x2) (2x2-x1) đạt GTNN
Giải:
2
2
Xét phương trình x -(2m+1)x+m +m-1=0
Phương trình có 2 nghiệm �  =(2m+1)2-4(m2+m-1)=5 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2m  1
(1)
2
x1.x2  m  m  1
(2)
Thay (1) và (2) vào A :
A=(2x1-x2) (2x2-x1)=4 x1x2-2 x12-2 x22+ x1x2=9 x1x2-2(x1+x2)2
1
2

=9(m2+m-1)-2(2m+1)2=m2+m-11=( m  )2 
Vậy GTNN của A=

45
1
1
� m 0� m 
4
2
2

45 45
�
4
4

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức B=12-10x1x2)- (x12+x22) đạt GTLN
Giải:
2
Xét phương trình x +2(m-1)x-(2m+5)=0
Phương trình có 2 nghiệm �  ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2(m  1)
(1)
x1.x2  2m  5
(2)
Thay (1) và (2) vào B :
B=12-10x1x2)- (x12+x22) = 12-8x1x2- (x1+x2)2
=12+8(2m+5)-4(m-1)2 = -4m2+24m+48 = -(2m-6)2+84 �84
Vậy GTLN của B = 84 � m = 3
17


Ví dụ 3: Cho phương trình x2-2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x1, x2 thoả mãn bất đẳng thức: x1 +x2+2x1x2 �6
Giải:
2
Xét phương trình x -2(m-1)x-(2m+5)=0

Phương trình có 2 nghiệm �  ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2(m  1)
(1)
x1.x2  2m  5
(2)
Thay (1) và (2) vào bất đẳng thức:
x1 +x2+2x1x2 �6 � 2(m-1)- 2(2m+5) �6
� 2m-2-4m-10 �6 � -2m �18 � m �-9
Vậy m �-9 là điều kiện cần tìm
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
2
Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2
nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
b/ B  x12  x2 2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 - (2m - 1)x + m(m-1) = 0 (1).
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1< x2).
Chứng minh x12  2 x2  3 �0 .
(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012)
IV. KIỂM NGHIỆM
Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn
luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy:
- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai và hệ
thức Vi-ét.
- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh

hoạt được kiến thức đã học để giải toán...
- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ.
- Kết quả kiểm tra học 30 sinh lớp 9A năm học 2013-2014 sau khi ứng dụng
như sau
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp TSHS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
30
7 23.3 10 33.4 11 36.7 2
6.6
0
0
C. KẾT LUẬN
18

I. KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu lý luận và áp dụng các giải pháp đã làm tại trường trung
học cơ sở Nga An tôi tự rút ra kết luận sau đây:
Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao kiến
thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách tham
khảo rất nhiều loại. Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học
sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,…
Tạo cho học sinh niềm say mê hứng thú trong học tập, sự yêu thích đối với
bộ môn toán
Xây dựng được kế hoạch tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học
sinh yếu trong các tiết dạy chính khóa và ngoài giờ
Làm tốt công tác biểu dương khen thưởng đối với những học sinh có nhiều
tiến bộ trong học tập.
Cần nâng cao nhận thức cho giáo viên, học sinh, phụ huynh về mục đích, ý
nghĩa, vai trò của môn toán trong nội dung chương trình THCS.
Mong rằng đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán về phương
trình bậc hai” sẽ góp phần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức
Vi-ét vào giải các bài toán về phương trình bậc hai để các em thêm tự tin trong
các kỳ thi tuyển.
II. ĐỀ XUẤT
Trên đây là một số kinh nghiệm và biện pháp nhằm giúp học sinh vận
dụng tốt hơn các ứng dụng của hệ thức Vi-ét đối với học sinh lớp 9 tại trường
THCS Nga An mà tôi đã áp dụng trong thời gian qua, nó đã đem lại những kết
quả nhất định. Tuy nhiên trong quá trình tổ chức chắc chắn không tránh khỏi
thiếu sót rất mong sự đóng góp của các đồng chí đồng nghiệp để chất lượng
giáo dục của nhà trường nói chung và môn toán nói riêng ngày một vững chắc
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Trịnh Thị Trang

19