TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU VẬT LÍ Đề tài: QUY CÁCH TRÌNH BÀY BÀI LUẬN VĂN

SEMINAR
QUANG LƯỢNG TỬ
GVHD: TS. VÕ TÌNH
HV : PHẠM TÙNG LÂM
Lớp VLLT_VLT K21
1.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt
và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử
CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ
Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao
động tử điều hòa lượng tử là tương đương về
mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt.
Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể
tích V.
2
3
Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối
xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ
( )
.
s
r
ψ
r
r
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
, , , 1 2

1
1 2
2
! ! !
, ,
!



p q k
N
N
n n n
p q
k
n
p
p p p
n n n n
p p p q
q q q
n n n
r r r
N
r r r
r r r
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
+ + +
 

Ψ = ×
 
 
 
×
×
×
uur uur uur
uur
uur uur uur uur
ur r r
ur ur ur
r r r
ur ur r
ur ur r
r r r
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1.157


p
n
k k k
k
r r r
σ σ σ
ψ ψ ψ
+ + +

 
 
 
 
 
∑
 
 
 
 
 
 
uur
ur
r r r
r r r
Với là số hạt trên một trạng thái.
( )
, , , ,
s
n s p q k=
r
r ur r r
( )
1.158
s
s
n N=
∑
r

r
* Hàm sóng của một hạt tự do:
( )
( )
1
1.159
i sr
s
r e
V
ψ
=
rr
r
r
* Cho N hạt tương tác lẫn nhau thông qua một điện thế
( )
( )
1
1.160
j
N
j
r
ν
=
ϒ =
∑
r
=> Một hạt ở trạng thái có thể chuyển đến trạng

thái
( )
j
p
r
ψ
ur
ur
( )
j
k
r
ψ
r
ur
k p
ν
r ur
Sự biến đổi cho quá trình này tỉ lệ với yếu tố ma trận
( ) ( ) ( )
( )
*
1.161
j j j j
k p k p
d r r r r
ν ψ ν ψ
=
∫
r ur r ur

ur ur ur ur
4
Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt
bên trong thể tích V, ta xét trường hợp đơn giản hệ có 3 hạt
boson.
Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu của hệ 3 hạt:
( )
2, 1
p k
n n= =
ur r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
2, 1 1 2 3 1 2 3
3 1 2
2 3 1
1
, , [
3
] 1.164
p k
n n
p p k
p p k
p p k
r r r r r r
r r r

r r r
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
= =
Ψ =
+
+
ur r
ur ur r
ur ur r
ur ur r
ur ur ur ur ur ur
ur ur ur
ur ur ur
Ở đây với

1 2
! !
1
!
3
p k
n n
N
 
=
 
 
 

ur r
2, 1, 3
p k
n n N= = =
ur r
5
Hàm sóng mô tả trạng thái sau của hệ 3
hạt:
( )
1, 2
p k
n n= =
ur r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
1, 2 1 2 3 1 2 3
3 1 2
2 3 1
1
, , [
3
] 1.165
p k
n n
p k k
p k k
p k k

r r r r r r
r r r
r r r
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
= =
Ψ =
+
+
ur r
ur r r
ur r r
ur r r
ur ur ur ur ur ur
ur ur ur
ur ur ur
Yếu tố ma trận cho hệ 3 hạt:
( )
( ) ( )
( )
3*
3 1 2 3 1, 2 1 2 3
3
3
2, 1 1 2 3
1
. , ,
. , , 1.166
p k

p k
n n
i n n
i
M d r d r d r r r r
r r r r
ν
= =
= =
=
= Ψ
× Ψ
∫∫∫
∑
ur r
ur r
ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur
6
Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt
là như nhau, nên ta có:
( ) ( )
3
1
1
3
i
i
r r
ν ν

=
=
∑
ur ur
Ta thay 2 hàm sóng và
vào biểu thức yếu tố ma trận M
3
đồng thời khai triển ra ta có
tổng cộng 9 tích phân.
( )
3*
1, 2 1 2 3
, ,
p k
n n
r r r
= =
Ψ
ur r
ur ur ur
( )
3
2, 1 1 2 3
, ,
p k
n n
r r r
= =
Ψ
ur r

ur ur ur
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *
1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3
p k k p p k
I dr d r d r r r r r r r r
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
=
∫∫∫
ur r r ur ur r
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
Ta tính tích phân thứ nhất:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
*
3 3 3
1
*
2 2 2
1
0
0
k k
k p
d r r r
I
d r r r k p do k p
ψ ψ
ψ ψ δ


=

⇒ =

= − = ≠


∫
∫
r r
r ur
ur ur ur
ur ur ur r ur r ur
7
Tiếp tục tính cho 8 tích phân còn lại, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* * *
2 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2
* * *
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
* * *
4 1 2 3 3 1 2 1
0
0
p k k p k k
p k k p p k
p k k

I d r dr d r r r r r r r r
I d r dr d r r r r r r r r
I d r dr d r r r r r
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ
= =
= =
=
∫∫∫
∫∫∫
ur r r ur r r
ur r r ur ur r
ur r r
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
* * *
5 1 2 3 3 1 2 1 3 1 2
* * *
6 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1
7 1 2 3
0
0
0
p p k

p k k p p k
p k k p p k
p
r r r
I d r dr d r r r r r r r r
I d r d r d r r r r r r r r
I d r d r d r
ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ
=
= ≠
= =
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
ur ur r
ur r r ur ur r
ur r r ur ur r
u
ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *

2 3 1 1 1 2 3
* * *
8 1 2 3 2 3 1 1 3 1 2
* * *
9 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1
0
0
k k p p k
p k k p p k
p k k p p k
r r r r r r r
I d r d r d r r r r r r r r
I d r d r d r r r r r r r r
ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
≠
= =
=
∫∫∫
∫∫∫
r r r ur ur r
ur r r ur ur r
ur r r ur ur r
ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur
( )
0=
∫∫∫

ur
8
Để thuận lợi cho việc tính toán ta giữ lại hai số hạng
84
I và I
đều bằng 0, ta có biểu thức
( )
3 4 5 7 8
1
3.
3
M I I I I= + + +
Đặt thừa số làm thừa số chung, ta được
( ) ( ) ( )
*
1 1 1 1
k p
d r r r r
ψ ν ψ
∫
r ur
ur ur ur ur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
3 1 2 3 1 1 1
* * * *
3 2 2 3 3 2 3 2
* * * *

2 3 2 3 2 3 3 2
1 2 3
.
[
]
= 2. 2. .
k p
p k p k p k p k
p k p k p k p k
M d r d r d r r r r
r r r r r r r r
r r r r r r r r
d r d r d r
ψ ν ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= ×
× + +
+ +
∫∫∫
r ur
ur r ur r ur r ur r
ur r ur r ur r ur r
ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * * *

3 2 2 3
*
1 1 1 3 2 2 3
1
.
2
1
. .
2
p k p k
k p p k p k
r r r r
r r r r r r r
ψ ψ ψ ψ
ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ
 
+ ×
 
 
× +
 
∫∫∫
ur r ur r
r ur ur r ur r
ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur
9
Dùng phương trình hàm sóng của hệ 2 hạt boson có
( )
1, 1, 2

p k
n n N= = =
ur r
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1, 1 2 3 2 3 3 2
1
, .
2
p k
n n
p k p k
r r r r r r
ψ ψ ψ ψ
= =
 
Ψ = +
 
ur r
ur r ur r
ur ur ur ur ur ur
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
* 2
3 1 1 1 1 2 3 1, 1 2 3
2. 2. . . ,
p k
n n

k p
M d r r r r d r d r r r
ψ ν ψ
= =
= Ψ
∫ ∫∫
ur r
r ur
ur ur ur ur ur ur ur ur
Vì hàm sóng cho hai hạt đã được chuẩn hóa nên
( ) ( ) ( )
*
3 1 1 1 1
2. 2. . 2. 2.
k p k p
M dr r r r
ψ ν ψ ν
= =
∫
r ur r ur
ur ur ur ur
10
Bây giờ ta xét hệ khí Bose gồm N hạt chứa trong thể tích
V. Xét quá trình tán xạ của một hạt đơn lẻ trong hệ N hạt từ
trạng thái đầu có hàm sóng thông qua
thế tương tác cho hàm sóng ở trạng thái cuối như sau:
( )
( )
, , , 1 2
, ,

N
N
n n n
p q
k
r r rΨ
uur uur uur
ur ur r
ϒ
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
, , , 1 2
1
1 2
1 1
1 1
1
2
1
! ! !
, ,
!

p q k
N
N
n n n
p q
k
n
p
p p p
n n n n
p p p q
q q q
n n n
r r r
N
r r r
r r r
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
+ + +
− +
− +
−
−
 
 
Ψ = ×
 
 
×

×
uur uur uur
uur
uur uur uur uur
ur r r
ur ur ur
r r r
ur ur r
ur ur r
r r r
( ) ( ) ( )
1 2



p
n
k k k
k
r r r
σ σ σ
ψ ψ ψ
+ + +
 
 
 
 
 
∑
 

 
×
 
 
 
 
uur
ur
r r r
r r r
11
Yếu tố ma trận cho hệ N hạt:
( )
( ) ( )
*
1 1, , , 1, 1
, , , , 1
. , ,
. , ,
p q k
p q k
N
N N n n n N
N
i n n n N
i
M d r d r r r
r r r
ν
− +

= Ψ ×
× Ψ
∫ ∫
∑
ur r r
ur r r
ur uur ur uur
ur ur uur
Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt
là như nhau, nên ta có:
( ) ( )
1
1
.
N
i
i
r N r
ν ν
=
=
∑
ur ur
12
Ta sử dụng biểu thức hàm sóng của hệ (N-1) hạt như sau:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
1
1 2
1
1, , , , 2
1
2 3
1
1 ! ! !
, ,
1 !



p q k
n
p
p p p
n n n n
p p p q
q q q
p q k
N
n n n N
n n n
r r
N
r r r
r r r
ψ ψ ψ

ψ ψ ψ
+ +
−
−
−
−
 
−
 
Ψ = ×
 
−
 
×
×
ur r r
uur
uur uur uur uur
ur r r
ur ur ur
r r r
ur uur
ur ur r
r r r
( ) ( ) ( )
1 2



p

n
k k k
k
r r r
σ σ σ
ψ ψ ψ
+ + +
 
 
 
 
 
∑
 
 
×
 
 
 
 
uur
ur
r r r
r r r
13
Lúc này ta được:
( )
( )
( )
( ) ( )

( )
( )
( ) ( ) ( )
1 *
*
1 1 1, , , , 2
1
1 1 1, , , , 2
*
1 1 1 1
1
. , ,
. . . , ,
1
. . . .
. 1.
p q k
p q k
N
k
N N n n n N
k
p
N
n n n N
p
p
k
k p
p k k

n
M d r d r r r r
N
n
N r r r r
N
n
n
d r r N r r
N N
n n
ψ
ν ψ
ψ ν ψ
ν
−
−
−
−
+
= Ψ ×
× Ψ
+
=
= +
∫ ∫
∫
ur r r
ur r r
r

r
ur
ur
ur
r
r ur
ur r
ur uur ur ur uur
ur ur ur uur
ur ur ur ur
p
r ur
Nhận xét: Khi hủy một hạt ở trạng thái thì sinh một hạt
ở trạng thái tức là tổng số hạt được bảo toàn.
p
ψ
ur
k
ψ
r
14
* Véc tơ trạng thái cho hệ nhiều hạt
, , , ,
p q k
n n n
ur r r
* Các toán tử sinh - hủy cho hạt boson
$
$
$ $

, , , , 1, , , ,
, , , , 1 1, , , ,
, , , , , , , ,
p
p q k p p q k
p
p q k p p q k
p p
p q k p p q k
a n n n n n n n
a n n n n n n n
a a n n n n n n n
+
+
= −
= + +
=
ur
ur r r ur ur r r
ur
ur r r ur ur r r
ur ur
ur r r ur ur r r
Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán:
$ $
$ $ $ $
'
'
' '
,

, , 0
p p
p p
p p p p
a a
a a a a
δ
+
+ +
 
=
 
 
 
 
= =
 
 
 
ur ur
ur ur
ur ur ur ur
15
Vậy:
Bằng cách sử dụng các toán tử sinh hủy ta cũng có thể
tìm được kết quả của yếu tố ma trận M
N
cho hệ N hạt boson
nếu ta có thế tương tác được biểu diễn như sau:
$ $

,
.
p k p
k
k p
a a
ν
+
+
ϒ =
∑
ur r ur
r
r ur
16
µ
$
2 2
ˆ ˆ
2 2
p
p p
p p
p p
a a n
m m
+
= =
∑ ∑
ur

r r
r r
r r
H
Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung lượng
theo các toán tử sinh hủy như sau:
p
ur
* Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử
Các toán tử sinh hủy của dao động tử:
$
$
$ $
$
1
1
1
s
n n
s
n n
s s
n n
a n
a n
a a n
−
+
+
+

Ψ = Ψ
Ψ = + Ψ
Ψ = Ψ
17
Khi đó toán tử Hamiltonian có dạng:
µ
$ $
$
1 1
2 2
s s s
s s
s s
a a n
ω ω
+
   
= + = +
 ÷  ÷
   
∑ ∑
h hH
Các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:
$ $
,
s s
a a
+
$ $
$ $ $ $

'
'
' '
,
, , 0
s s
ss
s s s s
a a
a a a a
δ
+
+ +
 
=
 
 
 
 
= =
 
 
 
18
=> Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một
tập những dao động tử điều hòa lượng tử về mặt động lực
Hệ khí Bose
Dao động tử điều hòa lượng tử
+ làm tăng, giảm
số hạt ở trạng thái một

đơn vị
$ $
pp
và aa
+
ur ur
p
ur
+ làm tăng, giảm
số lượng tử kích thích đi
một đơn vị
$ $
ss
a và a
+
+ Hamiltonian của hạt tự do
µ
$ $
$
1 1
2 2
s s s
s s
s s
a a n
ω ω
+
   
= + = +
 ÷  ÷

   
∑ ∑
h hH
+ Hamiltonian của hạt tự do
µ
$
2 2
ˆ ˆ
2 2
p
p p
p p
p p
a a n
m m
+
= =
∑ ∑
ur
r r
r r
r r
H
+ là toán tử số hạt ở trạng
thái và là toán tử ecmite
$
p
n
ur
p

ur
+ là toán tử số lượng tử
kích thích và là toán tử ecmite
$
s
n
$
$ $
p p
p
n a a
+
=
ur ur
ur
$
$ $
s s s
n a a
+
=
19
KẾT LUẬN
* Mỗi hạt boson tương ứng về mặt động lực học với một dao
động tử điều hòa lượng tử.
* Dirac viết: “Hệ động lực học gồm có tập hợp của những
hạt boson tương tự tương đương với hệ động lực học gồm
có một tập của các dao động tử - Hai hệ thống đó chỉ là các
hệ thống tương tự đứng trên hai quan điểm khác nhau. Có
một dao động tử liên kết với mỗi trạng thái boson độc lập. Ở

đây ta có một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng
tử, cho phép thống nhất giữa lý thuyết sóng và các hạt của
ánh sáng.
20