50 bai tap bai tap can thuc bac hai va hang dang thuc co dap an toan 9

BÀI TẬP CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

A2  A

I. Phương pháp giải
1. Căn thức bậc hai.
Với A là một biểu thức đại số, A là căn thức bậc hai của A. A được gọi là biểu thức lấy
căn bậc hai, biểu thức dưới dấu căn A xác định (hay có nghĩa)  A  0
2. Hằng đẳng thức:

A2  A

Định lí: Với mọi số a , ta có a2  a
 A (nếu A  0)
a2  A  
 A (nếu A  0)

Tổng quát: Với A là một biểu thức, ta có
II. Bài tập
Bài 1: (6/10/SGK, Tập 1)

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

a
3

b) 5a

c) 4  a

d) 3a  7

Giải
a)

a
a
có nghĩa   0  a  0
3
3

b) 5a có nghĩa  5a  0  a  0
c) 4  a có nghĩa  4  a  0  a  4 (1)
Đến đây ta phải vận dụng tính chất cơ bản bất đẳng thức:
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức đổi
chiều. Vận dụng tích chất cơ bản này để khử dấu “-” đẳng trước , ta nhân cả hai vế của (1)
với -1 ta được:
1.a  4.1  a  4

d) 3a  7 có nghĩa  3a  7  0  3a  7  a 

7

3

Bài 2: (7/10/SGK, Tập 1)
Tính:
a)  0,12

b)  0,32

c)   0,32
Giải

Muốn giải được bài này ta phải vận dụng định lí:

d) 0, 4  0, 4 2


Với mọi số a ta có a2  a
u A  0)
 A (neá
A2  A  
u A  0)
 A (neá

và dạng tổng quát:


Từ các kiến thức cơ bản đó ta có:
a)  0,12  0,1  0,1
b)  0,32  0,3  0,3



c)   0,32   0,3  0,3
d) 0, 4  0, 4 2  0, 4 0, 4  0, 4.0, 4  0,16.
Bài 3: (8/10/SGK, Tập 1)
Rút gọn các biểu thức sau:
a)

2  3 

2

b)

3 



11

2

c) 2 a2 với a  0
2
d) 3  a  2  với a  2

Giải
Khi giải bài này ta phải vận dụng định lí.
Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính số đó.
Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của số đó.
a) Vì 2  4  3 nên biểu thức nằm trong dấu căn là một số dương.

2  3 



 2  3  2  3

2

b) Vì 3  9  11 nên biểu thức nằm trong dấu căn là một số âm: vận dụng định lí.
Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của số đó, ta có:

3  11

2

 3  11  11  3

c) Biết rằng lũy thừa bậc chẵn của một số dương hay một số âm đều cho kết quả là một số
dương nên:

2 a2  2 a  2a


d) Theo giả thiết a  2 nên biểu thức nằm trong dấu căn có giá trị âm, nên theo định lí, ta
có:
3

 a  2

2

 3 a  2  32  a   6  3a

Bài 4: (9/11/SGK, Tập 1)
Tìm x , biết:

a) x2  7

c) 4x2  6

b) x2  8

d) 9x2  12

Giải
a) x2  7

b) x2  8 biết rằng 8  8

 x 7

(Theo định lí: Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối

 x  7

của số đó).
Do đó

c) 4x2  6


 2x 

2





x  8  x  8  x  8
2

d) 9x2  12

6



 3x 

2

 12

 2x  6

 3x  12

 2x  6

 3x  12

 x  3

 x  4

Bài 5: (10/11/SGK, Tập 1)

Chứng minh
a)  3 1  4  2 3
2

b) 4  2 3  3  1
Giải

Khi giải bài này ta phải vận dụng hằng đẳng thức. Bình phương của một hiệu:

 A  B

2

 A2  2 AB  B 2

Áp dụng dạng tổng quát trên ta có:
a)

 3 1   3 
2

2

 2. 3.112  3  2 3 1  4  2 3

So sánh kết quả với vế phải, hằng đẳng thức đã được chứng minh:





2

3 1  4  2 3

b) Phương pháp chung để giải các bái toán thuộc loại chứng minh đẳng thức là: rút gọn vế
phức tạp hơn để đưa về biểu thức tối giải. So sánh 2 vế và đưa ra kết luận.


Ta câu a) ta có 4  2 3   3 1

 3 1

nên: 4  2 3  3 








2

2

 3

3 1  3

 3 1 3




 1

(Vì 3  1 nên 3 1  0 )
4  2 3  3  1

Bài 6: (11/11/SGK, Tập 1)
Tính:
b) 36 : 2.32.18  169

a) 16. 25  196 : 49




c)

d) 32  42

81

Giải
a) Khi giải câu này chú ý đến thứ tự thực hiện phép tính: “nhân, chia trước cộng trừ sau”.
16. 25  196 : 49  4.5 14 : 7  20  2  22

b) Khi giải câu này nên tư duy một chút để phép tính đơn giản hơn, nhưng người đọc phải

dễ hiểu thì mới đạt kết quả tốt.
36 : 2.32.1  169  36 : 2.9.18  169  36 : 18.18  169
8

 36 : 182  132







 36 :18 13
 2 13
 11

c)

81 

92  9  3

d) 32  42  9 16  25  5
Bài 7: (12/11/SGK, Tập 1)
Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) 2x  7
c)

1
1 x

b) 3x  4
d) 1 x2


Giải
a) 2x  7 có nghĩa  2x  7  0  2x  7  x 

7

2

b) 3x  4 có nghĩa  3x  4  0  3x  4

(2)

Nhân cả hai vế của (2) với (-1) ta được 3x.1  4.1


 3x  4 (Theo tính chất cơ bản của bất đẳng thức khi nhân hai vế của một bất đẳng thức

với cùng một số âm ta được bất đẳng thức đối chiều).
Do đó 3x  4  x 
c)

4
3

1
có nghĩa  1 x  0  x  1 (chú ý: một phân số có nghĩa khi mẫu số khác 0).

1 x

Hơn nữa mẫu số có biểu thức chứa biến lại nằm trong dấu căn nên phải lớn hơn 0
d) 1 x2 có nghĩa  1 x2  0  x2  1 (chú ý: biểu thức có số mũ chắn bao giờ cũng là
một số dương, nên x2  0 với x ¡ ).
Do thế 1 x2  1  x ¡ .
Bài 8: (13/11/SGK, Tập 1)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 a2  5a với a  0

b) 25a2  3a với a  0

c) 9a4  3a2

d) 5 4a6  3a3 với a  0
Giải

a) Theo giả thiết a  0 thì a2  a . Do đó
2 a2  5a  2a  5a  7a

b) Với a  0 thì 25a2   5a 2  5a  5a (vì a  0 )
Do vậy 25a2  3a   5a 2  3a  5a  3a  5a  3a  8a
c) 9a4 

3a 

2 2

 3.a2  3a2

Do đó 9a4  3a2   3a 2   3a2  3a2  3a2  6a2.
2

d) Với a có giá trị bất kì thì

4a6 

 2a 

3 2

 2a3

Nếu a có giá trị nhỏ hơn 0 thì:
2a3  2a3 và 5 4a6  3a3  5

 2a 

3 2

 3a3  5  2a3   3a3


 10a3  3a3  13a3

Bài 9: (14/11/SGK, Tập 1)
Phân tích ra nhân tử.
a) x2  3

b) x2  6

c) x2  2 3x  3

d) x2  2 5x  5
Giải

Muốn giải được bài toán này ta phải vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
* A2  B2   A  B  A  B 


*  A  B    A  B  A  B   A2  2 AB  B 2
2

*  A  B   A2  2 AB  B 2   A  B  A  B 
2



a) x2  3  x2   3    x  3  x  3 
2

b) x2  6  x2   6    x  6  x  6 
2



c) x2  2 3x  3  x  3    x  3 x  3 
2



d) x2  2 5x  5  x2  2 5x   5    x  5 x  5 
2



Bài 10: (15/11/SGK, Tập 1)
Giải các phương trình:
b) x2  2 11x 11  0

a) x2  5  0

Giải
Phương pháp dùng để giải các phương trình có vế phải bằng 0 là:
Khi gặp các phương trình có vế phải bằng 0 ta thường biến đổi vế trái thành một tích.
Khi một tích có tích số bằng 0. Khi một trong các thừa số của tích đó phải bằng 0.
a) x 2  5  0  x 2   5   0
2



 x  5



 x  5   0

 x  5  0
 x   5


 
 x  5  0
 x  5

Vậy S   5; 5


b) x 2  2 11x 11  0  x 2  2 11x   11   0
2



 x  11





2

0

 x  11  0
 x  11

Vậy S  11


Bài 11: (16/12/SGK, Tập 1)
Đố: Hãy tính chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.

Hình vẽ trong sách giáo khoa.
Giả sử con muỗi nặng m  gam , còn con voi nặng v  gam .
Ta có: m2  v2  v2  m2
Cộng hai vế với 2mv ta có: m2  2mv  v2  v2  2mv  m2
Hay  m  v    v  m 
2

2

Lấy căn bậc hai của mỗi vể ta được:  m  v 2   v  m 2
Do đó m  v  v  m
Từ đó ta có 2m  2v  m  v
Vậy con muỗi nặng bằng con voi(!)







Giải
Sai lầm ở chỗ không hiểu định lí: Với mọi số a , ta có a2  a và cũng không biết vận
dụng dạng tổng quát của định lí nên


 m  v

2

  v  m   m  v  v  m

Đáng lẽ phải là m  v  v  m

2