Phép tính vi phân hàm một biến doc

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số:
1.1.1. Hàm số:
Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực
¡
. Một hàm số xác định trên X là
một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm
x X∈
với một giá trị duy nhất f(x)
∈¡
.
Ký hiệu:
f :X → ¡

x y f (x)=a
X được gọi là tập xác định của hàm số f.
Tập hợp
{ }
f (x) x X∈
được gọi là tập giá trị của hàm số f.
Đồ thị của hàm số:
Cho hàm số f có tập xác định X. Tập hợp tất cả các điểm
( )
( )
x,f x
với
x X
∈
được gọi
là đồ thị của hàm số f.

Hàm số đơn điệu:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).
■ Nếu
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x , x a,b ,x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
thì f được gọi là hàm số tăng
trên khoảng (a, b).
■ Nếu
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x , x a,b ,x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
thì f được gọi là hàm số giảm
trên khoảng (a, b).
Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Cho hàm số xác định trên tập hợp X.
■ f được gọi là hàm số chẵn nếu
x X x X
f ( x) f(x)
∀ ∈ ⇒ − ∈


− =

■ f được gọi là hàm số lẻ nếu
x X x X
f ( x) f (x)
∀ ∈ ⇒ − ∈



− = −

1
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc
tọa độ.
1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm
( )
0
x a, b∈
. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới
0
x
nếu với mọi dãy
{ } ( ) { }
n 0
x a,b \ x⊂
,
n 0
n
lim x x
→∞
=
ta đều có
( )
n
n
lim f x A
→∞

=
Ký hiệu:
( )
0
0
x x
lim f x A 0, 0,0 x x f (x) A
→
= ⇔ ∀ε > ∃δ > < − < δ ⇒ − < ε
Các phép toán về giới hạn:
Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi
0
x x→
. Khi đó:
[ ]
0 0 0
x x x x x x
i) lim f(x) g(x) lim f (x) lim g(x)
→ → →
± = ±
[ ]
0 0 0
x x x x x x
ii) lim f (x)g(x) lim f (x).lim g(x)
→ → →
=
(
)
0
0 0

0
x x
x x x x
x x
lim f (x)
f (x)
iii) lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
→
→ →
→
= ≠
[ ]
x x
0
0 0
lim g(x)
g(x)
x x x x
iv) lim f (x) lim f (x)
→
→ →
 
=
 
Một số giới hạn cơ bản:
a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x
0
thuộc miền xác định của nó thì:
( )

0
0
x x
lim f (x) f x
→
=
b)
x
x
lim e
→+∞
= +∞
,
x
x
lim e 0
→−∞
=
c)
x
x 0
lim ln x , lim ln x
+
→+∞
→
= −∞ = +∞
d)
0
x x
limc c

→
=
e)
x 0
sinx
lim 1
x
→
=
2
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
f)
x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=
g)
x
x
1
lim 1 e
x
→ ∞
 
+ =
 ÷

 
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a)
2
x 2x 1
x
lim e
− + +
→∞
b)
( )
1
x
x
lim 1 sinx
→ ∞
+
c)
x 0
sin5x
lim
x
→

Giải
Ta có:
a)
2
x 2x 1
x

lim e 0
− + +
→∞
=
b)
( ) ( ) ( )
x
sinx sinx
lim
1 1 1
x x
x sin x sin x
x x x
lim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e
→ ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
   
+ = + = + =
   
   
c)
x 0 x 0 x 0
sin5x sin5x sin5x
lim lim 5. 5lim 5.1 5
x 5x 5x
→ → →
   
= = = =
 ÷  ÷
   

1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn:
1.2.1. Vô cùng bé:
Định nghĩa: Hàm
( )
xα
được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
0
x x→
nếu
( )
0
x x
lim x 0
→
α =
.
Cho
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB khi
0
x x→
. Giả sử tồn tại
( )
( )
0
x x

x
lim A
x
→
α
=
β
♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB tương đương. Ký
hiệu:
( ) ( )
x xα β:
khi
0
x x→
.
♦ Trường hợp 2: Nếu
A , A 1, A 0∈ ≠ ≠¡
thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB

cùng cấp.
♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB
( )
xα
gọi là cấp cao hơn VCB
( )
xβ
khi
0
x x→
. Ký hiệu:
( ) ( )
( )
x O xα = β
khi
0
x x→
.
3
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Ví dụ: Ta có:
x 0
sinx
lim 1
x
→
=
sinx x⇒ :
khi
x 0→

Ví dụ: Ta có:
2
x 0
x
lim 0
x
→
=
nên
2
x
cấp cao hơn x.
1.2.2. Vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm
( )
xα
gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi
0
x x→
nếu
( )
0
x x
lim x
→
α = +∞
Dễ thấy rằng nếu
( )
xα
là VCL thì

( )
1
xα
là VCB, ngược lại nếu
( )
xα
là VCB thì
( )
1
xα
là VCL
( )
( )
x 0α ≠
Như vậy, việc nghiên cứu các VCL có thể chuyển sang các VCB.
1.3. Hàm số một biến liên tục:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
( )
0
x a, b∈
. Hàm số f(x)
được gọi là liên tục tại x
0
nếu
0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
=

.
Trường hợp
0
0
x x
lim f(x) f (x )
−
→
=
thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x
0
,
0
0
x x
lim f(x) f (x )
+
→
=
thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x
0
.
Vậy f liên tục tại x
0

0 0
0
x x x x
lim f(x) lim f (x) f (x )
+ −

→ →
⇔ = =
.
Nếu hàm số không liên tục tại x
0
thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x
0
. Vậy f gián
đoạn tại điểm x
0
khi không tồn tại
0
x x
lim f(x)
→
hoặc
0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
≠
Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó:
i) f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho:
[ ]
f (x) M x a,b≤ ∀ ∈

ii) f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b].
iii)
[ ] [ ]

( )
0 0
c f (a),f (b) , x a,b : f x c∀ ∈ ∃ ∈ =
iv) Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
[ ]
0 0
x a,b : f (x ) 0∈ =
4
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
v)
1.4. Đạo hàm:
1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
( )
0
x a, b∈
. Cho x
0
một
số gia
x
∆
. Đặt
( )
0 0
y f x x f(x )∆ = + ∆ −
. Nếu tồn tại giới hạn
( )
0 0
x 0 x 0

f x x f (x )
y
lim lim
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số
y = f(x) tại điểm x
0
.
Ký hiệu:
( )
( )
0 0
0
x 0 x 0
f x x f (x )
y
f x lim lim
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ ∆
Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi.

Đạo hàm của hàm số
y
′
được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hiệu:
y f (x)
′′ ′′
=
Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là
( ) ( )
( )
n n 1
y y
−
′
=
1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( )
0 0
M x ,f (x )
có phương trình:
( ) ( )
0 0 0
y y f x x x
′
− = −
1.4.3. Cách tính đạo hàm:
5

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Các đạo hàm cơ bản:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n n 1
x x
2 2
c 0 c const
x nx
a a .lna 0 a 1
1
ln x x 0
x
sinx cosx cosx sinx
1 1
tgx cotgx
cos x sin x
−
′
= =
′
=
′
= < ≠
′

= >
′ ′
= = −
′ ′
= = −
Các quy tắc tính đạo hàm:
( ) ( )
( )
( )
2
cu c.u c const
u v u v
uv u v v u
u u v v u
v v
′
′
= =
′
′ ′
± = ±
′
′ ′
= +
′
′ ′
−
 
=
 ÷

 
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3 2
y x 3x 1= − +
b)
2
x x 1
y
2x 5
+ −
=
+
c)
2 x
y x e=
d)
y x.sinx=
1.4.4. Vi phân của hàm một biến:
Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x
0
nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x
0
.
Vi phân của hàm y = f(x) là
( )
dy
dy f (x)dx f x
dx
′ ′

= ⇔ =
Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f
là:
( )
( )
n
n n
d y f x dx=
Ví dụ: Cho hàm số
3
y x 2x 1= + +
.
Khi đó:
( )
2 2 2
dy 3x 2 dx, d y 6xdx= + =
1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân:
1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn:
6
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Định lí: Quy tắc L’Hospital
Nếu
0
x x
(x)
lim
(x)
→
ϕ
ψ

có dạng
0
0
hoặc
∞
∞
thì
0 0
x x x x
(x) (x)
lim lim
(x) (x)
→ →
′
ϕ ϕ
=
′
ψ ψ
Ví dụ:
a) Tính
3
3 2
x
2x 3x 3
lim
-x 2x x
→ ∞
− +
+ +
(dạng

∞
∞
)
b) Tính
3
2
x
x 3x 3
lim
4x x 2
→ ∞
− +
+ +
(dạng
∞
∞
)
c) Tính
2
3
x
3x 3
lim
3 x 5x
→ ∞
− +
− +
(dạng
∞
∞

)
1.5.2. Cực trị của hàm một biến:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và
( )
0
x a, b∈
. Điểm
0
x
được gọi là
điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở
( )
0
I x I∈
sao cho:
( ) { }
0 0
f(x) < f x x I \ x∀ ∈
Điểm
0
x
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở
( )
0
I x I∈
sao cho:
( ) { }
0 0
f(x) > f x x I \ x∀ ∈
Điểm x

0
được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu.
Định lí: Nếu x
0
là điểm thỏa
( )
0
f x 0
′
=
và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm
x
0
là điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu x
0
là điểm thỏa
( )
0
f x 0
′
=
và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm
x
0
là điểm cực đại của hàm số
Định lí: Nếu x
0
là điểm mà tại đó
( )

0
f x 0
′
=
và
( )
0
f x 0
′′
<
thì hàm số đạt cực đại tại
điểm x
0
.
7
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Nếu x
0
là điểm mà tại đó
( )
0
f x 0
′
=
và
( )
0
f x 0
′′
>

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b).
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm
như sau:
Bước 1: Tính
y
′
Bước 2: Giải phương trình
y 0
′
=
tìm các nghiệm
[ ]
i
x a,b∈
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(x
i
)
Khi đó:
[ ]
{ }
i
x a,b
max f (x) max f(a), f(b), f(x )
∈
=

[ ]
{ }
i
x a,b
min f (x) min f(a), f(b), f(x )
∈
=

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
y x 3x 3= − +
trên đoạn
[ ]
0,2
Ta có:
2
y 3x 3
′
= −

2
x 1 y 1
y 0 x 1
x 1 y 5
= ⇒ =

′
= ⇔ = ⇔

= − ⇒ =


Mặt khác:
f (0) 3,f (2) 5= =
Vậy
[ ]
( )
x 0, 2
maxf (x) 5 x 2 x 1
∈
= = ∨ = −
và
[ ]
( )
x 0, 2
min f (x) 1 x 1
∈
= =
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi
sản phẩm phải là: p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản
phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x
a) Tìm tổng thu nhập R(x)
b) Tìm tổng lợi nhuận P(x)
c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max.
d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c)
Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max.
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ
8
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
1.1. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:
Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi

phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng,
còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ). Ta xem
n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa
hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C
( )
Q
bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu
kho và chi phí cho các chuyến hàng.
■ Chi phí lưu kho:
Q
.h
2
■ Chi phí cho các chuyến hàng:
n
.p
Q
Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10
một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái. Cửa
hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí
hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
Giải
Ta có: n = 2500, h = 10.
Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó: Q
[ ]
∈ 1;2500
.
Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là
Q
2
. Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm

là 10.
Q
2
= 5Q (1)
Số lần đặt hàng mỗi năm là:
2500
Q
. Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là:
(20 + 9Q)
2500
Q
=
50000
Q
+ 22500 (2)
Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là:
C(Q) = 5Q +
50000
Q
+ 22500
Ta có :
( )
′
= −
2
50000
C Q 5
Q

( )

′
= ⇔ =
2
C Q 0 5Q 5 0000
=

⇔ = ⇔

= −

2
Q 100
Q 10000
Q 100

Vì Q
[ ]
∈ 1;2500
nên ta loại Q = - 100
9
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
( )
′′
= >
3
100000
C Q 0
Q
với Q>0 nên
[ ]

( ) ( )
∈
= =
Q 1;2500
min C Q C 100 23500
Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là
=
2500
25
100
.
Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và
mỗi lần đặt 100 cái tivi.
Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm,
chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10.
Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất.
1.2. Ý nghĩa của đạo hàm:
Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một
loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tế người ta quan
tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x
0
khi x thay đổi một lượng nhỏ
x∆
.
Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng
x∆
là:
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −

Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x
0
đến x
0
+
x
∆
là:
y
x
∆
∆
Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x
0
là:

( )
0 0
0
x 0 x 0
f (x x) f (x )
y
lim lim f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ ∆

Khi
x
∆
khá nhỏ thì
( )
0
y
f x
x
∆
′
≈
∆
hay
( )
0
y f x x
′
∆ ≈ ∆
Vậy x thay đổi một lượng
x
∆
thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng
( )
0
f x x
′
∆
( chẳng
hạn giá thay đổi một lượng

x
∆
thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là
( )
0
f x x
′
∆
)
Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là
2
P 50 Q= −
. Tìm tốc độ thay đổi giá khi
lượng cầu Q thay đổi. Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ?
Giải
Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là:
P 2Q
′
= −
. Do đó:
P (1) 2.1 2
′
= − = −
. Điều này có
nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản
phẩm là 2 đơn vị tiền.
Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm,
ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên.
Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà
hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất

cất nhà sẽ giảm đi.
10
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
1.3. Giá trị cận biên:
Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x
thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký hiệu: My(x).
Từ định nghĩa của đạo hàm ta có:
( ) ( )
dy
My x y x
dx
′
= =
Ta thường chọn xấp xỉ
( )
My x y≈ ∆
tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi
y∆
của y
khi x tăng lên một đơn vị.
( )
x 1∆ =
1.3.1. Giá trị cận biên của chi phí:
Cho hàm chi phí C = C(Q). Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí. Giá trị
này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị.
Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:
2
500
C 0,0001Q 0,02Q 5
Q

= − + +
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm. Áp dụng Q = 50.
Giải
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
3 2
C Q.C 0,0001Q 0,02Q 5Q 500= = − + +
Giá trị cận biên của chi phí là:
2
dC
MC(Q) 0,0003Q 0,04Q 5
dQ
= = − +
Khi Q = 50 thì:
2
dC
MC(50) 0,0003(50) 0,04(50) 5 0,75 2 5 3,75
dQ
= = − + = − + =
.
Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn vị.
1.3.2. Giá trị cận biên của doanh thu:
Cho hàm doanh thu R = R(Q). Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu.
Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ
Q = 10000
−
125P. Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42.
Giải
Theo giả thiết: Q = 10000
−
125P (1)

10000 Q
125P 10000 Q P
125
−
⇔ = − ⇔ =
(2)
Ta có doanh thu:
R Q.P=
(3)
11
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Thế (2) vào (3)
⇒

( )
2
1
R Q.P 10000Q Q
125
= = −
Nên
( )
1
MR(Q) 10000 2Q
125
= −
(4)
■ Khi P = 30. Từ (1)
⇒

Q 10000 125.30 10000 3750 6250= − = − =
Từ (4)
⇒

( )
1 2500
MR(6250) 10000 2.6250 20
125 125
= − = − = −
■ Khi P = 42. Từ (1)
⇒

Q 10000 125.42 10000 5250 4750= − = − =
Từ (4)
⇒

( )
1 500
MR(4750) 10000 2.4750 4
125 125
= − = =
1.4. Hàm cầu và tính co giãn của cầu:
Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay nhu cầu
về loại sản phẩm đó ). Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến số là P, và nhìn
chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp và
ngược lại.
Khi ta có hàm cầu: Q = f(P)
⇒

P g(Q)=
Hàm tổng doanh thu:
R PQ g(Q).Q= =
Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR.
Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A. Marshall đặt là:
P dQ P
.Q (P)
Q dP Q
′
η = − = −
. (
η
đọc là eta)
η
được gọi là độ co giãn của cầu.
Ví dụ: Cho hàm cầu
2
Q 30 4P P= − −
. Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3.
Giải
Hệ số co giãn của cầu là:
( )
2
2 2
P P 4P 2P
Q (P). 4 2P .
Q 30 4P P 30 4P P
+
′
η = − = − − − =

− − − −
Tại P = 3,
30
3,3
9
η = ≈
1.5. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế:

Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x).
Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí
C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C
Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau:
■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại)
12
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa.
■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)
Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian
d
Q Q Q(P)= =
và hàm tổng
chi phí là: C = C(Q). Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian để lợi nhuận tối đa.
Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao cho
Q Q(P) P P(Q)= ⇔ =
. Từ đó doanh thu của xí nghiệp là
R(Q) P(Q).Q=
và lợi nhuận
của xí nghiệp là: N = R – C. Sản lượng Q muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớn
nhất.

Ví dụ: Cho hàm cầu
Q 300 P= −
và hàm chi phí
3 2
C Q 19Q 333Q 10= − + +
. Tìm Q
để lợi nhuận lớn nhất.
Giải
Ta có:
P 300 Q= −
Doanh thu:
2
R PQ (300 Q)Q 300Q Q= = − = −
Lợi nhuận:
( )
2 3 2
N R C 300Q Q Q 19Q 333Q 10= − = − − − + +
⇔
N
3 2
Q 18Q 33Q 10= − + − −
2
Q 1
N 3Q 36Q 33 0
Q 11
=

′
= − + − = ⇔


=

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11.
1.6. Định mức đánh thuế doanh thu:
Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn
vị thời gian
Q Q(P)=
và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C = C(Q).
Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế
nhất.
Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0. Ta có: Q =
Q(P)
P P(Q)⇔ =
.
13
Q
N’
N
−∞
1
11
+∞
0 0+
−
-26
474
−∞
0
-10
−

Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N P(Q).Q C(Q) Qt= − −
Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max. Do đó thuế thu được sẽ là T =
Q(t).t. Ta cần xác định t để
m a x
T
Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí:
2
C Q 100Q 10= + +
.
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng
thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại.
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn
vị sản phẩm là bao nhiêu?
Giải
a) Ta có: Q = 300 – P
⇔
P = 300 – Q.
Doanh thu của xí nghiệp là: R = P. Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q
2
Thuế của xí nghiệp là: Q.t
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N = 300 Q – Q
2
–
( )
2
Q 100Q 10+ +
– Q.t =

2
2Q (200 t)Q 10− + − −

200 t
N 4Q 200 t 0 Q
4
−
′
= − + − = ⇔ =
Vậy để có lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức:

200 t
Q
4
−
=
Do đó thuế thu được là:
2
200 t t
T Q.t .t 50t
4 4
−
= = = − +

t
T 50 0 t 100
2
′
= − + = ⇔ =
Vậy để

max
T
ta chọn mức thuế là t = 100.
Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức:
Q =
200 100
25
4
−
=
sản phẩm trong một đơn vị thời gian.
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì:
200 t
Q 40 t 40
4
−
= ≥ ⇔ ≤
.
Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị sản phẩm.
Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm biết hàm tổng chi phí
2
C Q 1000Q 100= + +
và hàm cầu Q =
P
4100
2
−
.
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng
thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại.

b) Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn
vị sản phẩm là bao nhiêu?
14
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Bài tập:
1. Tìm các giá trị cận biên:
a)
2
C 0,1Q 3Q 2= + +
tại Q = 3.
b)
3 2
C 0,04Q 0,5Q 4,4Q 7500= − + +
tại Q = 5.
c)
2 3
R 250Q 45Q Q= + −
tại Q = 5.
2. Cho hàm cầu
( )
3
60
Q ln 65 P
P
= + −
a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4.
b) Nếu giá giảm 2
%
( từ 4 giảm còn 3,92) thì lượng bán ra thay đổi bao
nhiêu phần trăm?

4. Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi
2 3
R 240Q 57Q Q= + −
. Tìm Q để doanh
thu đạt tối đa.
5. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là: P = -5Q + 30. Tìm mức giá để doanh thu đạt
tối đa.
6. Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q và hàm chi phí trung bình
2
200
C 2Q 36Q 210
Q
= − + −
a) Tìm mức sản xuất Q,
2 Q 10≤ ≤
để có chi phí tối thiểu.
b) Tìm mức sản xuất Q,
5 Q 10≤ ≤
để có chi phí tối thiểu.
7. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và tổng chi phí là:
2
C 0,2Q 28Q 200= + +
a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá P và lợi
nhuận lúc đó.
b) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một đơn vị sản
phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và lợi nhuận trong
trường hợp này.
8. Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi phí C.
a)
2

R 1400 6Q , C 1500 60Q= − = −
b)
2 3 2
R 4000 33Q , C 2Q 3Q 400Q 500= − = − + +
c)
2 3 2
R 4350 13Q , C Q 5,5Q 150Q 675= − = − + +
9. Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, nếu biết các hàm tổng chi phí là:
a) C =
3 2
Q 5Q 60Q− +
b) C =
3 2
Q 21Q 500Q− +
15
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến
2.1. Khái niệm hàm hai biến:
Cho E là một tập hợp con của
2
¡
. Một hàm hai biến xác định trên E là một quy luật f
đặt tương ứng mỗi điểm
( )
x, y E∈
với một số thực duy nhất z = f(x, y)
Ký hiệu:
f: E → ¡

( )

x, y z f (x, y)=a
E được gọi là tập xác định của f.
Ví dụ: Hàm số
2 2
f (x, y) 1 x y= − −
có tập xác định là hình tròn đóng
2 2
x y 1+ ≤
2.2. Giới hạn của hàm hai biến:
2.2.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, có thể trừ ra
điểm
( )
0 0
x , y D∈
( D là tập mở). Ta nói hàm số f(x, y) có giới hạn là A khi
( )
x, y
tiến
đến
( )
0 0
x , y
nếu với mọi dãy điểm
( )
{ }
( ) ( )
n n n n 0 0 n 0 n 0
x , y D, x , y x , y , x x , y y⊂ ≠ → →
ta đều có
( )

n n
f x ,y A→
Nếu f(x, y) có giới hạn là A khi
( ) ( )
0 0
x, y x , y→
thì ta ký hiệu
( ) ( )
( )
0
0
0 0
x x
y y
lim f (x, y) A 0, 0,0 x, y , x , y f (x, y) A
→
→
= ⇔ ∀ε > ∃δ > < ρ < δ ⇒ − < ε
2.2.2. Tính chất:
16
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
[ ]
0 0 0
0 0 0
x x x x x x
y y y y y y
i) lim f (x, y) g(x, y) lim f (x, y) lim g(x, y)
→ → →
→ → →
± = +

[ ]
0 0 0
0 0 0
x x x x x x
y y y y y y
ii) lim f (x, y)g(x, y) lim f (x, y).lim g(x, y)
→ → →
→ → →
=
0
0
0
0
0
0
x x
y y
x x
y y
x x
y y
lim f (x, y)
f (x, y)
iii) lim
g(x, y) lim g(x, y)
→
→
→
→
→

→
=
Ví dụ: Chứng minh rằng:
2
2 2
x 0
y 0
x y
lim 0
x y
→
→
=
+
Giải
Ta có:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
x y x y
x
x y 2 x y x y 2 x y
x y 2 x y 2
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇒ ≤ =
+
Do
x 0
y 0
x
lim 0

2
→
→
=
nên
2
2
2 2 2 2
x 0 x 0
y 0 y 0
x y
x y
lim 0 lim 0
x y x y
→ →
→ →
= ⇒ =
+ +
Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại
2 2
x 0
y 0
xy
lim
x y
→
→
+
Lấy hai dãy
{ } { }

n n
x , y
sao cho
n
n
1
x
n
1
y
n

=




=


thì
n n
x 0, y 0→ →
khi
n → ∞
.
Khi đó:
2
n n
2 2 2

n n
x y
1 n 1
.
x y n 2 2
= =
+
nên
n n
2 2
n
n n
x y
1
lim
x y 2
→∞
=
+
Lấy hai dãy
{ } { }
n n
x , y
′ ′
sao cho
n
n
1
x
n

2
y
n

′
=




′
=


thì
n n
x 0, y 0
′ ′
→ →
khi
n → ∞
.
Khi đó:
2
n n
2 2
n n
2 2
2
x y

2
n
1 4
x y 5
n n
′ ′
= =
′ ′
+
+
nên
n n
2 2
n
n n
x y
2
lim
x y 5
→∞
′ ′
=
′ ′
+
Vậy không tồn tại
2 2
x 0
y 0
xy
lim 0

x y
→
→
=
+
17
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
2.3. Sự liên tục của hàm hai biến:
2.3.1. Định nghĩa: Hàm
z f (x, y)=
được gọi là liên tục tại điểm (x
0
, y
0
) nếu
0
0
0 0
x x
y y
lim f (x, y) f(x , y )
→
→
=
. Hàm f(x, y) được gọi là liên tục trên tập E nếu nó liên tục tại
mọi điểm
( )
x, y E∈
.
2.3.2. Định lí: Cho hàm số f(x, y) liên tục trên trên miền đóng, bị chặn E. Khi

đó:
i) f bị chặn trên E, nghĩa là tồn tại M sao cho
f(x,y) M≤

( )
x, y E∀ ∈
ii) f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên E.
2.4. Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao:
2.4.1. Định nghĩa đạo hàm riêng:
Cho hàm
z f (x, y)=
xác định trên miền D,
( )
0 0
x ,y D∈
. Nếu tồn tại giới hạn
( ) ( )
0 0 0 0
x 0
f x x, y f x ,y
lim
x
∆ →
+ ∆ −
∆
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến x
của hàm
f (x, y)
tại điểm (x
0

, y
0
).
Ký hiệu:
( )
x 0 0
f x , y
′
hoặc
( )
0 0
f x , y
x
∂
∂
Tương tự: Đạo hàm riêng theo biến y của hàm
f (x, y)
tại điểm (x
0
, y
0
) là:
( )
y 0 0
f x , y
′
=
( ) ( )
0 0 0 0
y 0

f x , y f x , y y
lim
y
∆ →
− + ∆
∆
( )
0 0
f x , y
y
∂
=
∂
Vậy để tính đạo hàm riêng của hàm
z f (x, y)=
theo biến x ta coi y là hằng số, đạo
hàm riêng của hàm
z f (x, y)=
theo biến y ta coi x là hằng số.
Ví dụ: Cho hàm số
2 2
f(x, y) = x xy 2y+ −
. Tính
( ) ( )
x y
f x, y ,f x, y
′ ′
Ta có:
( )
x

f x, y 2x y
′
= +
,
( )
y
f x,y x 4y
′
= −
Ví dụ: Cho
x
f(x, y) = e cos y
. Tính
( ) ( )
x y
f x, y ,f x, y
′ ′
Ta có:
( ) ( )
x x
x y
f x, y e cosy,f x, y e siny
′ ′
= = −
18
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
2.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao:
• Nếu hàm
( )
x

f x, y
′
có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo
hàm riêng cấp hai theo biến x. Ký hiệu:
( )
xx
f x, y
′′
hoặc
2
2
f (x, y)
x
∂
∂
• Nếu hàm
( )
y
f x, y
′
có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo
hàm riêng cấp hai theo biến y. Ký hiệu:
( )
yy
f x, y
′′
hoặc
2
2
f (x, y)

y
∂
∂
• Nếu hàm
( )
x
f x, y
′
có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo
hàm hỗn hợp theo x và y.
Ký hiệu:
( )
xy
f x, y
′′
hoặc
2
f (x, y)
x y
∂
∂ ∂
Nếu
( )
xx
f x, y
′′
và
( )
yx
f x, y

′′
tồn tại và liên tục trong miền mở G thì chúng bằng nhau.
Ví dụ: Cho
2 3
f (x, y) x 3xy sin y= − +
.Tính
( ) ( ) ( )
xx yy xy
f x, y , f x, y ,f x, y
′′ ′′ ′′
Giải
Ta có:
3
x
f (x,y) 2x 3y
′
= −
,
2
y
f (x, y) 9xy cosy
′
= − +

2
xx yy xy
f (x,y) 2,f (x, y) 18xy sin y,f (x,y) 9y
′′ ′′ ′′
⇒ = = − − = −
2.5. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:

2.5.1. Định lí:
i) Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x
0
, y
0
) thì f(x, y) có các đạo hàm riêng tại
(x
0
, y
0
)
ii) Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng trong một miền chứa (x
0
, y
0
)
và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x
0
, y
0
) thì f(x, y) khả vi tại (x
0
, y
0
) và
( ) ( )
x 0 0 y 0 0
df f x , y dx f x , y dy
′ ′
= +

♦ df được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x
0
, y
0
).
Ví dụ: Cho hàm số
( )
( )
2
f x, y sin x y= +
. Tính df
Giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x y
df f x, y dx f x, y dy 2xcos x y dx cos x y dy
′ ′
= + = + + +
19
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
2.5.2. Vi phân cấp cao:
Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số.

( )
2
f f f f
d f d df dx dy dx dx dy dy
x x y y x y

   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = + + +
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   

( )
2
d f d df⇔ =
2 2 2
2 2
2 2
f f f
dx 2 dxdy dy
x x y y
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂
Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n được định nghĩa là:
( )
n n 1
d f d d f
−
=
2.6. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm hai biến:
2.6.1. Cực trị của hàm hai biến:
Cho
z f (x, y)=
là một hàm hai biến xác định trong miền D, điểm

( )
0 0
x ,y D∈
. Điểm
( )
0 0
x ,y
được gọi là điểm cực đại ( cực tiểu ) của hàm f nếu tồn tại miền con
( )
0 0
G D, x , y G⊂ ∈
sao cho:
( ) { }
0 0 0 0 0 0
f (x, y) f(x , y ) f (x, y) f (x , y ) (x, y) G \ (x ,y )< > ∀ ∈
Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm
( )
0 0
x ,y

Định lí: Nếu f(x, y) có cực trị tại
( )
0 0
x ,y
mà tại đó tồn tại các đạo hàm riêng thì
( ) ( )
x 0 0 y 0 0
f x , y f x , y 0
′ ′
= =

.
Các điểm
( )
0 0
x ,y
mà tại đó
( ) ( )
x 0 0 y 0 0
f x , y f x , y 0
′ ′
= =
gọi là các điểm dừng. Đặt
( ) ( ) ( )
xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
A f x , y ,B f x ,y ,C f x , y
′′ ′′ ′′
= = =
Định lí: Nếu tại điểm dừng
( )
0 0
x ,y
có:
■
2
AC B 0∆ = − <
thì hàm số không có cực trị
■
2
AC B 0∆ = − >
thì hàm số có cực trị.

Khi hàm số có cực trị và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu, còn A < 0 thì
hàm số đạt cực đại tại
( )
0 0
x ,y
.
20
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Lưu ý: Khi
0∆ =
thì chưa kết luận được cực trị, ta gọi đây là điểm nghi ngờ cần xét
thêm.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
3 3
f (x, y) x y 3xy= + −
Giải
Ta có:
( )
( )
2
2
x
2
4
y
f x, y 3x 3y 0
y x x 0 y 0
x 1 y 1
f x,y 3y 3x 0
x x 0


′
= − =

= = ⇒ =

 
⇔ ⇔
 

= ⇒ =
′
= − =
− =







⇒
( ) ( ) ( )
xx yy xy
f x,y 6x,f x,y 6y,f x, y 3
′′ ′′ ′′
= = = −
Tại điểm O(0, 0)
2
AC B 9 0⇒ ∆ = − = − <

nên hàm số không có cực trị tại O(0, 0).
Tại điểm M(1, 1)
2
AC B 36 9 0⇒ ∆ = − = − >
và A > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại
M(1, 1) và
( )
CT
f f 1, 1 1= = −
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm
2 2
z x y=
Giải
Ta có:
( )
( )
2
x
2
y
f x, y 2xy 0
x 0
y 0
f x,y 2yx 0

′
= =
=



⇔


=
′
= =



Vậy các điểm dừng nằm trên hai trục tọa độ.

( ) ( ) ( )
2 2
xx yy xy
f x, y 2y ,f x, y 2x ,f x, y 4xy
′′ ′′ ′′
= = =
2 2 2 2 2 2 2
AC B 4x y 16x y 12x y⇒ − = − = −

Tại các điểm dừng trên hai trục tọa độ thì AC
−
B
2
= 0
Rõ ràng:
( )
2 2
z x y 0 x, y= ≥ ∀
, còn điểm tới hạn thì z = 0. Nên các điểm giới hạn đều

là điểm cực tiểu và
CT
z 0=
.
2.6.2. Cực trị có điều kiện của hàm hai biến:
Cho hàm
z f (x, y)=
xác định trên miền D,
ϕ
là một hàm xác định trên D. Tìm cực trị
của hàm
z f (x, y)=
với điều kiện
( )
x, y 0ϕ =
Phương pháp giải:
Đặt
( )
L(x, y) f (x, y) x, y= + λϕ

21
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Giải hệ phương trình:
( )
L
0
x
L
0
y

x, y 0
∂

=

∂

∂

=

∂


ϕ =


(1) tìm
0 0
x ,y ,λ
. Số
λ
được gọi là nhân tử
Lagrange.
Giả sử tại điểm
( )
0 0
x ,y
tồn tại vi phân cấp hai:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
d L x , y L x ,y dx 2L x , y dxdy L x , y dy
′′ ′′ ′′
= + +
Định lí: Cho điểm
( )
0 0
x ,y
thoả hệ phương trình (1). Khi đó nếu:
( )
2
0 0
d L x , y 0>
thì f(x, y) có cực tiểu.
( )
2
0 0
d L x , y 0<
thì f(x, y) có cực đại.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x, y) = 6
−
4x
−
3y với điều kiện x
2
+ y
2
= 1

Giải
Đặt
( )
2 2
L(x, y) 6 4x 3y x y 1
= − − + λ + −
Giải hệ phương trình:

( )
2 2
2 2
L 2
0 x
x
4 2 x 0
L 3
0 3 2 y 0 y
y 2
x y 1
4 9
x, y 0
1
4
∂
 
= =
 
∂ λ

− + λ =

 
∂
  
= ⇔ − + λ = ⇔ =
  
∂ λ
  
+ =

 
ϕ =
+ =
 
λ λ
 
⇔
1 1
2 2
5 4 3
, x , y
2 5 5
5 4 3
,x , y
2 5 5

λ = = =



λ = − = − = −



Mặt khác:
xx xy yy
L 2 , L 0,L 2
′′ ′′ ′′
= λ = = λ
■ Với
( )
2 2 2
1 1
5
d L x , y 5dx 5dy 0
2
λ = ⇒ = + >
22
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
4 3
,
5 5
 
 ÷
 
và f
CT
= 1.
■ Với
( )
2 2 2

2 2
5
d L x , y 5dx 5dy 0
2
λ = − ⇒ = − − <
Vậy hàm số đạt cực đại tại
4 3
,
5 5
 
− −
 ÷
 
và f
CĐ
= 11.
2.6.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến:
Cho hàm
z f(x, y)=
liên tục trong miền đóng bị chặn
D D D= ∪ ∂
và có các đạo hàm
riêng cấp 1 trên D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
z f(x, y)=
ta tìm
các điểm dừng của hàm
z f(x, y)=
trong D. Tìm các giá trị của hàm tại các điểm nghi
ngờ có cực trị trên
D∂

. So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm:
2 2
f(x,y) = x 2y x+ −
trong
hình tròn
2 2
D: x y 1+ ≤
Các ứng dụng của hàm số nhiều biến số:
2.1. Cực trị của hàm nhiều biến:
Ví dụ: Giả sử chi phí C của một công ty phụ thuộc vào hai biến số x và y là số lượng
sản phẩm từng loại mà công ty sản xuất ra. Giả sử bằng cách tính gần đúng ta xác định
được công thức của hàm chi phí:
2 2
C f (x,y) 2x y 4x 8y= = + − −
Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo ( tức là
nhà sản xuất phải bán hết sản phẩm với giá do thị trường quyết định). Cho biết giá bán
của các sản phẩm trên là
1 2 n
p ,p , ,p
và hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là
( )
1 2 n
C C q ,q , ,q=
. Hãy lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhất.
23
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Phương pháp giải: Gọi

1 2 n
q ,q , ,q
là số lượng các loại sản phẩm được sản xuất trong
một đơn vị thời gian. Khi đó doanh thu của xí nghiệp là:
1 1 2 2 n n
R p q p q p q= + + +
và
lợi nhuận thu được là:
1 1 2 2 n n 1 2 n
N R C p q p q p q C(q ,q , ,q )= − = + + + −
Mức sản lượng
1 2 n
q q(q ,q , ,q )=
muốn tìm là q để N đạt max.
Ví dụ: Xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với giá bán p
1
= 8, p
2
= 6. Hàm tổng chi
phí là:
( )
2 2
1 2 1 1 2 2
C q ,q 2q 2q q q= + +
. Tìm sản lượng q
1
, q
2
để lợi nhuận đạt tối đa.
Giải

Hàm lợi nhuận là:
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
N p q p q 2q 2q q q 8q 6q 2q 2q q q= + − − − = + − − −
Khi đó:
1
2
q 1 2
1
q 1 2 2
N 8 4q 2q 0
q 1
N 6 2q 2q 0 q 2
′
= − − =

=


⇔
 
′
= − − = =




1 1 1 2 2 2
q q q q q q
A N 4,B N 2,C N 2

′′ ′′ ′′
= = − = = − = = −

⇒
AC – B
2
= 8 – 4 = 4 và A < 0 nên hàm số đạt cực đại tại
( ) ( )
1 2
q ,q 1, 2=

2.2. Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến:
Cho hàm sản xuất
P f (x,y) xy= =
với điều kiện ràng buộc về ngân sách là: 2x + y = 6.
Tìm điều kiện của x, y để sản xuất ra được nhiều sản phẩm nhất.
24
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp
Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến
3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định:
Định nghĩa: Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta gọi F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu
F (x) f (x)
′
=

( )
x a,b∀ ∈
. Ký hiệu:
f (x)dx F(x) C= +

∫
với C là hằng số.
Tính chất:
i) f(x)dx f(x)dx
α =α
∫ ∫
(
α
là hằng số)
[ ]
ii) f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx± = ±
∫ ∫ ∫
Tích phân một số hàm sơ cấp:
( )
n 1 x
n x
2 2
2
2
dx
1) dx x C 2) ln x C
x
x a
3) x dx C n 1 4) a dx C
n 1 lna
5) sinxdx cosx C 6) cosxdx sin x C
1 1
7) dx cotgx C 8) dx tgx C
sin x cos x
dx dx

9) arcsinx C 10) arctgx C
1 x
1 x
u
11) dx ln u
u
+
α = α + = +
= + ≠ − = +
+
= − + = +
= − + = +
= + = +
+
−
′
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
Tích phân xác định:
3.1.1. Định nghĩa:
25