Bài 5. Các phép biến đổi cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác pdf

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

169

BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
• Đặt vấn đề:
Xét tích phân dạng
( )
I R sin x,cos x dx
=
∫

1. Đổi biến số tổng quát:
Đặt
2
2 2 2
2 2 1
2
2
1 1 1
x dt t t
t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x
t t t
−
= ⇒ = = = =
+ + +

Khi đó:
( )

2
2 2 2
2
2 1
1 1 1
dt
t t
I R sin x,cos x dx R ,
t t t
 
−
= =
 
+ + +
 
∫ ∫

Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng
cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn.
2. Nếu
(
)
R sinx, cosx
là hàm lẻ theo sin
:
(
)
(
)
− −

R sinx,cosx = R sinx, cosx

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
cosx.
3. Nếu
(
)
R sinx, cosx
là hàm lẻ theo cosin:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx, cosx

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
sinx.
4. Nếu
(
)
R sinx, cosx
thoả mãn điều kiện:
(
)
(
)
− −

R sinx, cosx = R sinx,cosx

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
tgx.
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
1. Dạng 1: Đổi biến số tổng quát
− −
∫
3sin2x 2cos2x 1
I = dx
3cos2x + 4sin2x + 5

Đặt
2
2 2 2
dt 2t 1 t
t tg x x arctg t ;dx ; sin 2x ; cos 2x
1 t 1 t 1 t
−
= ⇒ = = = =
+ + +

⇒

(
)
(
)
( ) ( )

(
)
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3.2t 2 1 t 1 t dt 1 t 6t 3 dt 1 t 6t 3 dt
I
2 2
1 t t 4t 4 1 t
3 1 t 4.2t 5 1 t t 2 1 t
− − − + + − + −
= ⋅ = ⋅ =
+ + + +
− + + + + +
∫ ∫ ∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

170

Giả sử
( )
( )
( )

2
2 2 2
2
6 3
2
1
2 1 2
t t A B Ct D
, t
t
t
t t t
+ − +
= + + ∀
+
+
+ + +

⇔

( )
(
)
(
)
( )( )
2
2 2 2
t 6t 3 A t 2 1 t B 1 t Ct D t 2 , t
+ − = + + + + + + + ∀

(*)
( ) ( ) ( )
( )
2 3 2
t 6t 3 A C t 2A B 4C D t A 4C 4D t 2A B 4D
⇔ + − = + + + + + + + + + + +

Thay t
=

−
2 vào (*) thì
−
11
=
5B
⇒
B
=

−
11/5
(*)
A C 0 A C 0 A 34 25
2A B 4C D 1 2A 4C D 16 5 B 11 5
A 4C 4D 6 A 4C 4D 6 C 34 25
2A B 4D 3 2A 4D 4 5 D 12 25
+ = + = = −
  
  

+ + + = + + = = −
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ + = + + = =
  
  
+ + = − + = − =
  

( )
( )
( )
2
2 2 2
2
1 t 6t 3 34 dt 11 dt 1 24t 12
I dt dt
2 25 t 2 5 25
1 t
t 2 1 t t 2
+ − +
= = − − +
+
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫


( )

(
)
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2
34 dt 11 dt 12 d t 12 dt
25 t 2 5 25 25
1 t 1 t
t 2
34 11 12 12
ln t 2 ln 1 t arctg t c
25 5 t 2 25 25
34 11 12 12
ln tg x 2 ln 1 tg x x c
25 5 tg x 2 25 25
= − − + +
+
+ +
+
= − + + + + + +
+
= − + + + + + +
+
∫ ∫ ∫ ∫

2. Dạng 2:

(
)
(
)
− −
R sinx,cosx = R sinx, cosx

•
3 2
2
2
=
− − + −
∫ ∫
1
3 2
sin2xdx
J =
cos x sin x 1
sin x cos xdx
cos x cos x

( ) ( ) ( )
3 2
2sin x cos x
R sin x, cos x R sin x, cos x R sin x, cos x
cos x cos x 2
= ⇒ − = −

+ −

Đặt
t
=
cos x

⇒

( )
( )
1
3 2 2
2
2t dt 2t dt A Bt C
J 2 dt
t 1
t t 2 t 2t 2
t 1 t 2t 2
− − +
 
= = = − +
 
−
+ − + +
 
− + +
∫ ∫ ∫

Ta có:

( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
t A Bt C
t A t 2t 2 Bt C t 1
t 1
t 2t 2
t 1 t 2t 2
+
= + ⇔ = + + + + −
−
+ +
− + +

( )
( ) ( )
2
A B 0 A 1 5
t A B t 2A B C t 2A C 2A B C 1 B 1 5
2A C 0 C 2 5
+ = =
 
 
⇔ = + + − + + − ⇔ − + = ⇔ = −
 
 

− = =
 

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

171

( )
( )
( )
( ) ( )
1
2 2
2
2 2
2
2
2 1 t 2 2 dt 1 2t 2 6
J dt dt
5 t 1 5 t 1 5
t 2t 2 t 2t 2
2 dt 1 d t 2t 2 6 dt
5 t 1 5 5
t 2t 2
t 1 1
2 1 6
ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c
5 5 5
2 1 6
ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c

5 5 5
− + −
 
= − − = − +
 
− −
+ + + +
 
+ +
= − + −
−
+ +
+ +
= − − + + + − + +
= − − + + + − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

•
(
)
( ) ( )
2 6
2 6 6 2
1 1
sin x dx d cos x dt
sin x cos x
cos x cos x t t
−
= = =

− −
∫ ∫ ∫ ∫
2
6
dx
J =
sinxcos x

(
)
( )
6 6 4 2
2 6 3 5
6 2
3 5
t t 1 1 t t 1 t 1 1 1 1
dt dt ln c
t 1 t
t 1 t 3t 5t
t t 1
1 cos x 1 1 1
ln c
1 cos x cos x
3cos x 5 cos x
 
− − + + −
= = − = + + + +
 
+
−

 
−
−
= + + + +
+
∫ ∫

•
2
2
2 2 4
2
2 1
sin x cos x sin x cos x
dx dx
cos x
cos x
= =
−
∫ ∫ ∫
3
sinx + sin3x
J = dx
cos2x

( )
2 2
2 2 2
2
4 cos xd cos x 4t dt 2 dt

2 dt 2 dt
1
1 2 cos x 1 2t 1 2t
t
2
1 1 2t 1 1 2 cos x
ln 2t c ln 2 cos x c
2 1 2t 2 1 2 cos x
 
= = = − = −
 
− − −
 
−
+ +
= − + = − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

•
(
)
( )
2 2
2 2
0 0
4 4 1
1 1
sin x cos x
sin x dx d cos x

cos x cos x
π π
−
= −
+ +
∫ ∫ ∫
π 2
3
4
0
4sin x
J = dx =
1 + cosx

(
)
( )
( )
0 1
2
1
2
0
1 0
4 1 t
dt 4 1 t dt 4t 2t 4 2 2
1 t
−
= − = − = − = − =
+

∫ ∫

•
2 2 2
2
3 2 2
6 6 6
3 4 3 4 4 1
sin x dx sin x dx sin x dx
sin x sin x sin x cos x
π π π
π π π
= = =
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
π 2
2
5
π 6
sin x
J = dx
sin3x

( ) ( )
( )
( )
3 2
6 3 2 3 2
2 2 2
0

2 0 0
d cosx dt 1 d 2t 1 2t 1 1
ln ln 2 3
2 4 2t 1 4
4cos x 1 4t 1
2t 1
π
π
−
= = = = = −
+
− −
−
∫ ∫ ∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

172

3. Dạng 3:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx, cosx

•
( )
( )
( )
4 4
8 2 2
20 20 20
1 1cos x sin x t
cos x dx d sin x dt
sin x sin x t
− −
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
9
1
20
cos x
K = dx
sin x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8
20 19 17 15 13 11
19 17 15 13 11
1 4t 6t 4t t 1 4 6 4 1
dt c
t 19t 17t 15t 13t 11t
1 4 6 4 1
c

19 sin x 17 sin x 15 sin x 13 sin x 11 sin x
− + − + −
= = + − + − +
−
= + − + − +
∫

•
(
)
(
)
( )
2 4 2 4
2 4 2 4
cos x cos x cos x cos x
cos x dx d sin x
sin x sin x sin x sin x
+ +
= =
+ +
∫ ∫ ∫
3 5
2
2 4
cos x + cos x
K = dx
sin x + sin x

( )

( )
( )
2
2 2 4 2
2 4 2 2
2 2
1 t 1 t t 3t 2 2 6
dt dt 1 dt
t t t 1 t
t 1 t
2 2
t 6 arctg t c sin x 6 arctg sin x c
t sin x
− + − − +
 
= = = + −
 
+ +
 
+
= − − + = − − +
∫ ∫ ∫

4. Dạng 4:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx,cosx

•
( )
( )
( )
6 6
6
0
2
0 0
3 3
1
1 3
1
−
= = = − =
−−
−
∫ ∫ ∫
π 6
1
0
L
dx
=
cosx sinx cosx
d tg x
dx
ln tg x ln
tg x

cos x tg x
π π
π

•
( )
( )
3 3 3
3
3 8 2 3
4 4
4
4 4 4
d tg x
dx dx
tg x cos x cos x . tg x
tg x
π π π
π π π
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
π 3
2
4 3 5
π 4
dx
L =
sin xcos x
( ) ( ) ( )
( ) ( )

3
3
3
1
1 4
8
4
4
4
4
tg x d tg x 4 tg x 4 3 1 4 3 1
π
π
−
π
π
 
= = = − = −
 
∫

•
( ) ( )
4
4
2
4
3 3
0
2 3

cos x
sin x
dx
cos x
cos x sin x cos x
π
=
+
∫ ∫
π 4
2
3
3 3
0
sin xdx
L =
cosx 2sin x + 3cos x


( )
(
)
( )
( )
4 4 4
3
2 2
3 2 3 3
0 0 0
4

3
0
d 3 2 tg x
tg x tg x 1
dx
d tg x
6
3 2 tg x cos x 3 2 tg x 3 2 tg x
1 1 1 5
ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln
6 6 6 3
π π π
π
+
= ⋅ = =
+ + +
= + = − =
∫ ∫ ∫

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

173

II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. DẠNG 1: MẪU SỐ LÀ BIỂU
THỨC THUẦN NHẤT CỦA SIN
( )
∫
n
dx

sinx

•
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3 3 6 3
1
1
2 2
4
2 8
2 2 2 2 2
x x
tg d tg
dx dx
x x x x x
sin cos tg cos tg
+

= = =
∫ ∫ ∫ ∫
1
3
dx
A =
sin x

(
)
(
)
(
)
(
)
2 4
2
3 2
x x
1 2 tg tg
1 1 1 x 1
2 2 x x
d tg 2 ln tg tg c
2 2
4 4 2 2
x x
tg 2 tg
2 2
+ +

 
−
= = + + +
 
 
 
 
∫

Cách 2:

(
)
( )
(
)
( )( )
[ ]
1
3 4 2 2
2
d sin d d cos d cos
sin sin
1 cos 1 cos
1 cos
x x x x x
A
x x
x x
x

= = = − = −
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 cos x 1 cos x 1 1 1
d cos x d cos x
4 1 cos x 1 cos x 4 1 cos x 1 cos x
 
− + + −
 
= = +
 
 
+ − − +
 
 
∫ ∫

( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 cos x 1 1 cos x
d cos x ln c
4 2 1 cos x

1 cos x 2 sin x
1 cos x 1 cos x
− − +
 
= + + = − +
 
−
−
− +
 
∫

•
(
)
(
)
(
)
5 5 10
dx dx
=
x x x x
2 sin cos 32 tg cos
2 2 2 2
=
∫ ∫ ∫
2
5
dx

A =
sin x

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
2
2 4 6 8
5 5
2 4
4 2
x x
x x x x
1 tg d tg

1 4 tg 6 tg 4 tg tg
1 1
2 2
2 2 2 2 x
d tg
2
16 16
x x
tg tg
2 2
1 1 2 x 1
x x
6 ln tg 2 tg tg c
2 2
16 2 4
x x
4 tg tg
2 2
+
+ + + +
= =
 
−
= − + + + +
 
 
 
 
∫ ∫

Cách 2:

2
5 6
dx sin x dx
A
sin x sin x
= =
∫ ∫
(
)
( )
(
)
( )( )
3 3
2
d cos x d cos x
1 cos x 1 cos x
1 cos x
= − = −
 
+ −
−
 
∫ ∫

( ) ( )
( )( )
( ) ( )

3
3
1 1 cos x 1 cos x 1 1 1
d cos x d cos x
8 1 cos x 1 cos x 8 1 cos x 1 cos x
 
− + + −
 
= = +
 
 
+ − − +
 
 
∫ ∫

( ) ( )
( )
( )
1
2 2 2 4
2
1 1 1 3 d cos x cos x 3
A
8 2 4
4sin x
2 1 cos x 2 1 cos x
1 cos x
 
− −

= − + = −
 
 
− +
−
 
∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

174

4 2 4 2
cos x 3 cos x 1 1 cos x cos x 3cos x 3 1 cos x
ln ln c
4 2 1 cos x 8 1 cos x
4sin x 2sin x 4sin x 8sin x
 
− − + − +
= − − = + + +
 
− −
 

•
( )

(
)
2 1
2sin cos
2 2
n
dx
x x
+
=
∫ ∫
3
2n+1
dx
A =
sinx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
2 n
2
2 n 1 4n 2 2 n 2 n 1
2 n 1
n 2n
0 1 2 n 2 2 n 2
2 n 2n 2n 2 n
2 n 2 n 1
x x
1 tg d tg
dx 1
2 2
2
x x x
2 tg cos tg
2 2 2
x x x
C C tg C tg C tg
1
2 2 2
x
d tg
2
2
x
tg

2
+ + +
+
+
+
= =
+ + + + +
=
∫ ∫
∫


( ) ( )
(
)
(
)
0 n 1 n 1 2n
2 2n
n
2n 2n 2n 2n
2n
2n 2n 2
C C C C
1 x
x x
C ln tg tg tg c
2 2
2 2 2n
2

x x
2n tg 2 tg
2 2
− +
 
−
= − − + + + + +
 
 
 
 

•
( )
( )
2
1 cotg cotg
= − + =
∫ ∫
10
2n+ 2
dx
A =
sin x
n
x d x

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

k n
0 1 2 k 2 n 2
n n n n
1 k n
2k 1 2n 1
0 3
n n n
n
C C cotg x C cotg x C cotg x d cotg x
C C C
C cotg x cotg x cotg x cotg x c
3 2k 1 2n 1
+ +
 
= − + + + + +
 
 
= − + + + + + +
 
+ +
 
∫

2. DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN
( )
∫
n
dx
cos x

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 3 6
3
2
2
2
3 2
d
2

d d d
sin
sin
2sin cos 8 tg cos
2
2 2 2 2
1 tg d tg
2 2
1 1 1 1
2 ln tg tg ;
4 4 2 2 2 2
tg 2 tg
2 2
x
u u u
u
u u u u
x
u u
u u
c u x
u u
π
+
= = = =
π
+
+
 
π

−
= = + + + = +
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
1
3
dx
B =
cos x

Cách 2:

(
)
( )
(
)
( )( )
[ ]
4 2 2
2
cos d d sin d sin
cos
1 sin 1 sin
1 sin
x x x x
x

x x
x
= = =
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
1
3
dx
B =
cos x

( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
1 1 sin 1 sin 1 1 1
d sin d sin
4 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin
x x
x x
x x x x
 + + −
 
= = +
 
 
+ − − +
 

 
∫ ∫

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

175

( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 2 sin 1 1 sin
d sin ln
4 2 1 sin
1 sin 2cos
1 sin 1 sin
x x
x c
x
x x
x x
+
 
= + + = + +
 
−
−
− +
 
∫

(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 1
2 1
2
2
2 1 4 2 2 2 1
2 1
d
d d
2
sin
sin
2sin cos
2

2 2
1 tg d tg
d 1
2 2
2
2 tg cos tg
2 2 2
n n
n
n
n n n n
n
x
u u
u uu
x
u u
u
u u u
+ +
+
+ + +
+
π
+
= = =
π
+
+
= =

∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
i
2
2n+1
dx
B =
cos x

(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 1 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
1
ln tg tg tg
2 2
2 2 2
2
2 tg 2 tg
2 2
n n n

n
n
n n n n
n
n n
C C C C
u
u u
C c
n
u u
n
− +
 
−
= − − + + + + +
 
 
 
 

( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
0 1 2 2 2
1
2 1 2 1

0 3
1 tg tg
tg tg tg tg
tg tg tg tg
3 2 1 2 1
n
k n
k n
n n n n
k n
k n
n n n
n
x d x
C C x C x C x d x
C C C
C x x x x c
k n
+ +
= + =
 
= + + + + +
 
 
= + + + + + +
 
+ +
 
∫ ∫
∫

i
3
2n+ 2
dx
B =
cos x

3. DẠNG 3:
( ) ( )
∫
2 2
dx
C =
a sinx + bsinxcosx + c cosx

( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
2
2 2
2 2
•
d
cos 3 5 tg3 2 21 1 tg 3
d tg 3 d tg 3
2 tg3 5
1 1 1

tg
3 12
42
4 tg 3 20 tg 3 17
6 42 42
5
tg 3
2
4
x
x x x
x x
x
arc c
x x
x
=
 
+ − +
 
+
= = = +
+ −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
2
dx
C =
5sin3x + 2cos3x - 21

4. DẠNG 4:
∫
dx
D =
a sin x + b cos x + c

•
(
)
(
)
2 2 2 2
dx
x x x x x x
4sin cos 5 cos sin 3 cos sin
2 2 2 2 2 2
=
+ − + +
∫ ∫
1
dx
D =
2sinx + 5cosx + 3


(
)
(
)

(
)
( )
2
2
2 2
x
x
d tg 1
tg 1 5
dx 1
2
2
ln c
x
x x x
2 5
x
tg 1 5
cos 4 tg 8 2 tg
tg 1 5
2
2 2 2
2
−
− −
−
= = − = +
− +
+ −

− −
∫ ∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

176

5. DẠNG 5: TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
•
∫
1
cosxdx
E =
sinx + cosx
. Xét tích phân liên kết với E
1
là:
1
*
sin x dx
E
sin x cos x
=
+
∫

Ta có:
( )
( )
( )
*
1 1 1
*
1 1 2
cos x sin x
E E dx dx x c
sin x cos x
cos x sin x d sin x cos x
E E dx ln sin x cos x c
sin x cos x sin x cos x
+

+ = = = +

+


− +

− = = = + +

+ +

∫ ∫
∫ ∫

Giải hệ phương trình suy ra:
( )
( )
1
*
1
1
E x ln sin x cos x c
2
1
E x ln sin x cos x c
2

= + + +



= − + +


•
−
∫
2
sin3xdx
E =
2cos3x 5sin3x
. Xét tích phân liên kết là:
2
3

2 3 5 3
*
cos x dx
E
cos x sin x
=
−
∫

Ta có:
( )
( )
( )
*
2 2 1
*
2 2 2
2cos3x 5sin3x
2E 5E dx dx x c
2cos3x 5sin3x
5cos3x 2sin3x 1 d 2cos3x 5sin3x ln 2cos3x 5sin3x
5E 2E dx c
2cos3x 5sin3x 3 2cos3x 5sin3x 3
−

− = = = +

−



+ − −

+ = = − = − +

− −

∫ ∫
∫ ∫

Giải hệ phương trình suy ra:
2
*
2
2 x
1 1 2ln 2cos 3x 5sin 3x
E c 5x c
ln 2cos3x 5sin 3x
29 29 3
5
3
x 5
1 1 5ln 2cos 3x 5sin 3x
E c 2x c
ln 2cos 3x 5sin 3x
29 29 3
2
3

 
− −


= ⋅ + = + +
 
−

 
−


−

 
−

= ⋅ + = − +
 
−

 
−


•
( )
( ) ( )
∫
4
3
4 4
sin x

E = dx
sin x + cos x
. Xét tích phân liên kết là:
( )
( ) ( )
4
3
4 4
*
cos x
E dx
sinx cosx
=
+
∫

Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
4 4
*
3 3 1
4 4
sin x cos x
E E dx dx x c
sin x cos x
+
+ = = = +
+

∫ ∫
(1). Mặt khác:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
4 4
2 2 2 2
*
3 3
4 4 2
2 2 2 2
cosx sin x cos x sin x cos x sin x
E E dx dx
sin x cos x
cos x sin x 2 cos x sin x
− + −
− = =
+
+ −
∫ ∫

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

177

( )

( )
( )
2
2
2
cos 2x d sin 2x 1 2 sin 2x
dx ln c 2
1
2 2 2 sin 2x
2 sin 2x
1 sin 2x
2
+
= = = +
−
−
−
∫ ∫

Từ (1) và (2) suy ra:

*
3 3
1 1 2 sin 2x 1 1 2 sin 2x
E x ln c ; E x ln c
2 2
2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x
   
+ +
= − + = + +

   
   
− −
   

•
( )
( ) ( )
∫
π 2
99
4
99 99
0
cosx
E = dx
sinx + cosx
. Xét tích phân:
( )
( ) ( )
2
99
4
99 99
0
*
sin x
E dx
sin x cos x
=

+
∫
π

Đặt
2
x u
π
= −

⇒

dx
=

−
du
. Với
2
x
π
=
thì
u
=
0
và
x
=
0

thì
2
u
π
=
. Ta có:
( )
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
99
2 2
99 0 99
*
4 4
99 99 99 99 99 99
0 2 0
sin u du
sinx dx cosu du
2
E E
sinx cosx cosu sinu
sin u cos u

2 2
π π
π
 
π
− −
 
 
= = = =
+ +
   
π π
− + −
   
   
∫ ∫ ∫

Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
99 99
*
4 4
99 99
0
0 0
sin x cos x
E E dx dx x

2
sin x cos x
π π
π
+ π
+ = = = =
+
∫ ∫
⇒

*
4 4
E E
4
π
= =

•
( ) ( )
∫
π 2
2 2
5
0
E = cos3x cos6x dx
. Xét tích phân:
( ) ( )
2
2 2
5

0
3 6
E sin x cos x dx
∗
=
∫
π

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
5 5
0 0
E E cos3x sin 3x cos 6x dx cos 6x dx
π π
∗
 
+ = + =
 
∫ ∫


( )
2
2
0
0
1 1 sin12x
1 cos12x dx x

2 2 12 4
π
π
π
 
= + = + =
 
 
∫
. Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
5 5
0 0
2
2
3
2
*
6 6
0
0
E E cos 3x sin 3x cos 6x dx cos 6x cos 6x dx
1 1 sin 6x
1 sin 6x d sin 6x sin 6x 0 E E
6 6 3 8
π π

∗
π
π
 
− = − =
 
 
π
 
= − = − = ⇒ = =
 
 
 
∫ ∫
∫

•
( )
3
∫
π 2
6
0
sinx dx
E =
sinx + cosx
. Xét tích phân:
( )
2
6

3
0
*
cos x dx
E
sin x cos x
=
+
∫
π

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

178

Ta có:
( )
( ) ( )
2 2
6 6
3 2
0 0
cos x sin x dx dx
E E
sin x cos x sin x cos x
π π

∗
+
+ = =
+ +
∫ ∫

(
)
(
)
(
)
2 2
2
2
2
0
0 0
dx 1 dx 1 1 1
cotg x 1
4
2 2 2 2
sin x
2 sin x
4
4
π π
π
−
π

= = = + = + =
π
 
π
+
+
 
 
∫ ∫

Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
2 2
6 6
3 3
0 0
cos x sin x dx d sin x cos x
E E
sin x cos x sin x cos x
π π
∗
− +
− = =
+ +
∫ ∫

( )
2
*
6 6
2
0
1 1
0 E E
2
2 sin x cos x
π
−
= = ⇒ = =
+

6. DẠNG 6:
∫
a sin x + b cos x
F = dx
m sin x + n cos x

a. Phương pháp:
Giả sử:
(
)
(
)
a sin x b cos x m sin x ncos x m cos x n sin x , x
α β
+ = + + − ∀

⇔

(
)
(
)
a sin x b cos x m n sin x n m cos x , x
α β α β
+ = − + + ∀

⇔

2 2
2 2
am bn
m n a
m n
n m b bm an
m n
α
α β
α β
β
+

=

− =


+
 
⇔
 
+ = −



=

+

. Khi đó ta có:
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
am bn m sin x n cos x bm an m cos x n sin x
F dx dx
m sin x n cos x m sin x n cos x
m n m n
am bn bm an d m sin x ncos x
dx
m sin x n cos x
m n m n
am bn bm an
x ln m sin x n cos x c
m n m n
+ + − −
= +

+ +
+ +
+ − +
= +
+
+ +
+ −
= + + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫

b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
−
∫
1
4sin2x 7cos2x
F = dx
5sin2x + 3cos2x
( )
1 4sin 2x 7cos 2x 1 4sin u 7cos u
d 2x du
2 5sin 2x 3cos2x 2 5sin u 3cos u
− −
= =
+ +
∫ ∫

Giả sử

(
)
(
)
4 7 5 3 5 3
sin u cos u sin u cos u cos u sin u , u
α β
− = + + − ∀

(
)
(
)
4sin u 7 cos u 5 3 sin u 3 5 cos u , u
⇔ − = α − β + α + β ∀

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

179

5 3 4 1 34
3 5 7 47 34
α − β = α = −
 
 
⇔ ⇔
 
α + β = − β = −
 
 

. Khi đó ta có:
( )
( )
( )
1
1 4sin u 7 cos u 1 5sin u 3cos u 47 5cos u 3sin u
F du du du
2 5sin u 3cos u 68 5sin u 3 cos u 68 5sin u 3cos u
1 47 d 5sin u 3cos u 1
du u 47 ln 5sin u 3cos u c
68 68 5sin u 3cos u 68
1
2x 47 ln 5sin 2x 3cos 2x c
68
− − + −
= = −
+ + +
− + −
= − = + + +
+
−
= + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫

c. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
4sin 3x 5cos3x 2sin 5x 7cos5x 4sin 9x 5cos9x
F dx ; F dx ; F dx
7 cos3x 8sin 3x 3sin 5x 4cos5x 7cos9x 3sin 9x

+ − +
= = =
− − −
∫ ∫ ∫

7. DẠNG 7:
∫
a sin x + b cos x + c
G = dx
m sin x + n cos x + p

a. Phương pháp:
Giả sử
(
)
(
)
a sin x b cos x c m sin x ncos x p mcos x n sin x , x
α β γ
+ + = + + + − + ∀

⇔

(
)
(
)
sin cos sin cos ,
a x b x c m n x n m x p x
α β α β α γ

+ + = − + + + + ∀

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
m n a
am bn m n
n m b bm an m n
am bn
c p
p c
m n
α β
α
α β β
γ
α γ
− =


= + +




⇔ + = ⇔ = − +




+

= −
+ =



+

. Khi đó ta có:
2 2 2 2
2 2
sin cos cos sin
dx dx
sin cos sin cos
sin cos
am bn m x n x p bm an m x n x
G
m x n x p m x n x p
m n m n
am bn dx
c p
m x n x p
m n
+ + + − −
= + +
+ + + +

+ +
+
 
+ −
 
+ +
+
 
∫ ∫
∫

(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos
dx
sin cos sin cos
ln sin cos
sin cos
d m x n x p
am bn bm an am bn dx
c p
m x n x p m x n x p
m n m n m n
am bn bm an am bn dx
x m x n x p c p
m x n x p
m n m n m n
+ +

+ − +
 
= + + −
 
+ + + +
+ + +
 
+ − +
 
= + + + + −
 
+ +
+ + +
 
∫ ∫ ∫
∫

b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
−
−
∫
1
sinx + 2cosx 3
G = dx
sinx 2cosx + 3
.
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−

−
Trần Phương

180

Giả sử
(
)
(
)
2 3 2 3 2
sin x cos x sin x cos x cos x sin x , x
α β γ
+ − = − + + + + ∀

(
)
(
)
(
)
2 3 2 2 3
sin x cos x sin x cos x , x
α β α β α γ
⇔ + − = + + − + + + ∀

2 1 3 5
2 2 4 5
3 3 6 5
α β α

α β β
α γ γ
+ = = −
 
 
 
⇔ − + = ⇔ =
 
 
+ = − = −
 
 
. Khi đó ta có:
( )
1
3 sin x 2cos x 3 4 sin x 2 cos x 6 dx
G dx dx
5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2cos x 3
3 4 d sin x 2cos x 3 6 dx
dx dx
5 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2cos x 3
3 4 6
x ln sin x 2cos x 3 J
5 5 5
− − + −
= + −
− + − + − +
− − +
= + −
− + − +

−
= + − + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

2 3
dx
J
sin x cos x
=
− +
∫
(
)
(
)
2 2 2 2
dx
x x x x x x
2sin cos 2 cos sin 3 cos sin
2 2 2 2 2 2
= =
− − + +
∫

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2 2
1
x
d tg
dx 2
2
x x x
5
x 2 x 1
cos 2 tg 1 5 tg
tg tg
2 2 2
2 5 2 5
x
x x
d tg
1 5 tg 1 5 tg
2 2 5
2

2 2
arctg c arctg c
5 5 2 2 2
x 1 2
tg
2 5 5
x
5 tg 1
3 4 6
2
G x ln sin x 2 cos x 3 arctg c
5 5 5 2
= =
+ +
+ +
+ +
= = ⋅ + = +
+ +
+
−
⇒ = + − + − +
∫ ∫
∫

•
2
−
∫
2
0

sinx cosx + 1
G = dx
sinx + 2cosx + 3
π
.
Giả sử
(
)
(
)
1 2 3 2
sin x cos x sin x cos x cos x sin x , x
α β γ
− + = + + + − + ∀

(
)
(
)
(
)
1 2 2 3
sin x cos x sin x cos x , x
α β α β α γ
⇔ − + = − + + + + ∀

2 1 1 5
2 1 3 5
3 1 8 5
α β α

α β β
α γ γ
− = = −
 
 
⇔ + = − ⇔ = −
 
 
+ = =
 
. Khi đó ta có:
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

181

( )
2 2 2
2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2
0
1 sin x 2cos x 3 3 cos x 2sin x 8 dx
G dx dx
5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
1 3 d sin x 2cos x 3 8 dx
dx
5 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
1 3 8 3 5 8

x ln sin x 2 cos x 3 J ln
5 5 5 10 5 4
π π π
π π π
π
+ + −
= − − +
+ + + + + +
+ +
= − − +
+ + + +
− −π
 
= − + + + = + +
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
J
5

(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
2
2 2 2
0 0
2
2
2
2
02
0
dx dx
J
x x x x x x
sin x 2 cos x 3
2sin cos 2 cos sin 3 cos sin
2 2 2 2 2 2
x
d tg
dx
2
2
x x
x x x x
tg 2 tg 5

cos 2tg 2 2 tg 3 3 tg
2 2
2 2 2 2
x
x
d 1 tg
1 tg
1 3 3 5 8
2
2
2 arctg arctg G ln arct
2 4 2 10 5 4 5
x
1 tg 2
2
π π
π π
π
π
= =
+ +
+ − + +
= =
+ +
+ − + +
+
+
π π
= = = − ⇒ = + −
+ +

∫ ∫
∫ ∫
∫
1
g
2

8. DẠNG 8:
( )
∫
2
a sin x + b cos x
H = dx
m sin x + n cos x

a. Phương pháp:
Giả sử
(
)
(
)
a sin x b cos x m sin x n cos x m cos x n sin x , x
α β
+ = + + − ∀

⇔

(
)
(

)
a sin x b cos x m n sin x n m cos x , x
α β α β
+ = − + + ∀

⇔

2 2
2 2
am bn
m n a
m n
n m b bm an
m n
α
α β
α β
β
+

=

− =

+
 
⇔
 
+ = −




=

+

. Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin cos cos sin
dx dx
sin cos sin cos
dx sin cos
sin cos
sin cos
dx 1
sin cos sin cos
am bn m x n x bm an m x n x
H
m n m n
m x n x m x n x
am bn bm an d m x n x
m x n x
m n m n
m x n x
am bn bm an

c
m x n x m x n x
m n m n
+ + − −
= +
+ +
+ +
+ − +
= +
+
+ +
+
+ −
= − ⋅ +
+ +
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

182

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•

( )
−
∫
1
2
7 sin x 5 cos x
H = dx
3 sin x + 4 cos x
.
Giả sử
(
)
(
)
7 5 3 4 3 4
sin x cos x sin x cos x cos x sin x ; x
α β
− = + + − ∀

⇔

(
)
(
)
7 5 3 4 4 3
sin x cos x sin x cos x; x
α β α β
− = − + + ∀

1
3 4 7
5
43
4 3 5
5
α
α β
α β
β

=
− =

 
⇔ ⇔
 
−
+ = −
=
 


. Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
2 2 2

2
7sin x 5cos x 1 3sin x 4cos x 43 3cos x 4sin x
H dx dx dx
5 5
3sin x 4cos x 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x
1 dx 43 d 3sin x 4 cos x 1 43
J
5 3sin x 4cos x 5 5 5 3sin x 4cos x
3sin x 4cos x
− + −
= = −
+ + +
+
= − = +
+ +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫

3 4
dx
J
sin x cos x
=
+
∫

(
)
(

)
2
2 2
x
d tg
dx
2
2
x x
x x x
6 tg 4 4 tg
cos 6 tg 4 4 tg
2 2
2 2 2
= =
+ −
+ −
∫ ∫

x
2 tg 4
2
2
ln c
x
5
2 tg 1
2
−
−

= +
+

⇒

( )
1
x
2 tg 4
2 43
2
H ln c
x
25 5 3sin x 4cos x
2 tg 1
2
−
−
= + +
+
+

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( ) ( )
1 2
2 2
2sin 5x 3cos 5x 5sin 7x 4cos 7x
H dx ; H dx
4 cos 5x 9 cos5x 2sin 7x 3cos 7x
− +

= =
+ −
∫ ∫

9. DẠNG 9:
( ) ( )
∫
2 2
a sin x + b sin x cos x + c cos x
I = dx
m sin x + n cos x

a. Phương pháp:
Giả sử:
( ) ( )
2 2
a sin x b sin x cos x c cos x
+ + =


( )
( )
(
)
2 2
p sin x q cos x m sin x n cos x r sin x cos x , x
= + + + + ∀

⇔

( ) ( )
2 2
a sin x b sin x cos x c cos x
+ + =


( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
mp r sin x np mq sin x cos x nq r cos x ; x
= + + + + + ∀

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

183

⇔

( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
a c m bn
p
m n
mp r a mp r a

a c n bm
np mq b np mq b q
m n
nq r c mp nq a c
an cm bmn
r
m n

− +
=

+

+ = + =
 

 
− −
  
+ = ⇔ + = ⇔ =
 

+
 

+ = − = −
  
 
+ −


=

+

. Khi đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
a c m bn a c n bm an cm bmn dx
I sin x cosx dx
msin x ncos x
m n m n m n
a c n bm a c m bn an cm bmn dx
sinx cosx
msin x ncosx
m n m n m n
 
− + − − + −
= + +
 
+
+ + +
 
− − − + + −
= − +
+
+ + +

∫ ∫
∫

b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )
π
∫
3
2
1
0
cos x dx
I =
sin x + 3cos x
.
Giả sử
( ) ( )
(
)
(
)
2
2 2
3
cos x a sin x b cos x sin x cos x c sin x cos x ; x
= + + + + ∀

( ) ( )( )
(

)
(
)
( )
2 2 2
3 3
cos x a c sin x a b sin x cos x b c cos x ; x
⇔ = + + + + + ∀

0 1 4
3 0 3 4
1 4
3 1
a c a
a b b
c
b c
+ = = −
 
 


⇔ + = ⇔ =





=


+ =



⇒

3 3
0 0
1 3 1 1 dx
I cos x sin x dx
2 2 2 4
sin x 3 cos x
π π
 
= − +
 
 
+
∫ ∫


3 3
0 0
1 1 dx
cos cos x sin sin x dx
2 6 6 8
cos sin x sin cos x
3 3
π π
π π

 
= − +
 
π π
 
+
∫ ∫


( )
3
3 3
0 0
0
1 1 dx 1 1 x
cos x dx sin x ln tg
2 6 8 2 6 8 2 6
sin x
3
1 1 1 1 1 1 1
ln 3 ln 3 ln 3 1 ln 3
2 8 4 8 4 4 4
π
π π
 
π π π
     
= + + = + + +
     
 

π
     
 
 
+
 
 
   
= + − − = + = +
   
   
∫ ∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

184

10. DẠNG 10:
( ) ( )
∫
2 2
m sin x + n cos x
J = dx
a sin x + 2b sin x cos x + c cos x

a. Phương pháp:

•Gọi
1 2
,
λ λ
là nghiệm của phương trình
0
a b
b c
− λ
=
− λ

⇔

( )
2 2
0
a c ac b
λ − + λ + − =

⇔

( )
2
2
1 2
4
2
,
a c a c b

+ ± − +
λ =

Biến đổi
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 2 2
2a sin x b sin x cos x c cos x A A
+ + = λ + λ =

( ) ( )
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 1
b b
cos x sin x cos x sin x
a a
b b
a a
λ λ
   
= − + −
   
− λ − λ
   

+ +
− λ − λ

Đặt
1 2
1 2
b b
u cos x sin x ;u cos x sin x
a a
= − = −
− λ − λ
;
1 2
1 2
1 1
k ;k
a a
= =
− λ − λ

( ) ( )
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2
1 1
1 1
A cos x bk sin x ; A cos x bk sin x
b k b k
= − = −
+ +

Để ý rằng
2 2
1 2
1
A A
+ =

⇒

(
)
(
)
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
A A A A
λ + λ = λ − λ + λ = λ − λ + λ

•Giả sử
1 2
b b
m sin x n cos x p sin x cos x q sin x cos x
a a
   
+ = + + +
   
− λ − λ
   
,

∀
x
⇔

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1
1 2
2 1 1 2
1 2
p q m
bm n a bm n a
p a ;q a
p q n
b b
a a b
+ =

− − λ − − λ

⇔ = − λ = − λ

λ − λ λ − λ
+ =

− λ − λ



( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 21 2
1 2
2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2
1 1
pdu qdu
m sin x ncos x
J dx
A A
a sin x b sin x cos x c cos x
dA dA
p b k q b k
A A
− −
+
= = +
λ −λ +λ λ −λ +λ
+ +
= − + − +
λ −λ +λ λ −λ +λ
∫ ∫ ∫

∫ ∫

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

185

b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
(
)
−
∫
1
2 2
sinx + cosx dx
J =
2sin x 4sinxcosx + 5cos x

1 2
,
λ λ
là nghiệm của phương trình
2 2
0
2 5
− λ −
=
− − λ

⇔

1 2
1; 6
λ = λ =

( )
2
2
2 2
1 24 1
2sin x 4sin x cos x 5cos x cos x 2sin x cos x sin x
5 5 2
 
− + = + + −
 
 

( )
2 2
1 2 1 2
1 2 1
A cos x 2sin x ; A cos x sin x ; A A 1
2
5 5
 
= + = − + =
 
 

Giả sử

( )
(
)
1
2
2
sin x cos x p sin x cos x q sin x cos x
+ = − + +

1 6
p ; q
5 5
−
⇔ = =

⇒

( )
(
)
1 6
1
sin x cos x sin x 2 cos x sin x cos x
2
5 5
−
+ = − + +

(
)

(
)
( )
(
)
( )
1
2 2 2 2
sin x cos x dx 3 2sin x cos x dx 1 sin x 2cos x dx
J
5 5
2sin x - 4sin x cos x 5cos x
2cos x sin x 1 6 cos x 2sin x
+ + −
= = −
+
− + − +
∫ ∫ ∫


(
)
( )
(
)
( )
( )
2 2
3 d sin x 2cos x 1 d cos x 2 sin x
5 5

sin x 2cos x 1 6 cos x 2 sin x
3 1 6 cos x 2sin x
arctg sin x 2cos x ln c
5
10 6 6 cos x 2 sin x
− +
= +
− + − +
+ +
= − + +
− −
∫ ∫

11. DẠNG 11: CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG HỢP
•
( ) ( )
∫
1
dx
K =
sin x + a sin x + b
( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
1 sin x a x b
dx
sin a b sin x a sin x b
+ − +

=
− + +
∫
(a
≠
b)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1 sin x a cos x b cos x a sin x b
dx
sin a b sin x a sin x b
+ + − + +
=
− + +
∫

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 sin x b

cotg x b cotg x a dx ln c
sin a b sin a b sin x a
+
 
= + − + = +
 
− − +
∫

•
( ) ( )
∫
2
dx
K =
cos x + a cos x + b
( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
1 sin x a x b
dx
sin a b cos x a cos x b
+ − +
=
− + +
∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân

−
−−
−
Trần Phương

186

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 sin x a cos x b cos x a sin x b
dx
sin a b cos x a cos x b
1 1 cos x b
tg x a tg x b dx ln c
sin a b sin a b cos x a
+ + − + +
=

− + +
+
 
= + − + = +
 
− − +
∫
∫

•
( ) ( )
∫
3
dx
K =
sin x + a cos x + b
( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
1 cos x a x b
dx
cos a b sin x a cos x b
+ − +
=
− + +
∫

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 cos x a cos x b sin x a sin x b
dx
cos a b sin x a cos x b
1 1 sin x a
cotg x a tg x b dx ln c
cos a b cos a b cos x b
+ + + + +
=
− + +
+
 
= + + + = +
 
− − +
∫

∫

•
(
)
( )
3 tg cos
cos sin
dx dx
3 cos sin
3 tg cos
x x
x x
x x
x x
+
+
= =
−
−
∫ ∫ ∫
4
3 + tgx
K = dx
3 - tgx
3

( ) ( )
( )
3

1
3 cos sin 3 sin cos
1 3 3 sin cos
2 2
d d d
2 2
3 cos sin 3 cos sin
3 d 3 cos sin 3
ln 3 cos sin
2 2 2 2
3 cos sin
x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x c
x x
− + +
+
= = +
− −
−
= − = − − +
−
∫ ∫ ∫
∫

•
3 3

4 4
sin sin
dx dx
cos
sin cos
x x
x
x x
π π
π π
= =
∫ ∫ ∫
π 3
5
π 4
K = tgxdx
3
4
1 2 sin
d
2 2sin cos
x
x
x x
π
π
=
∫

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3
4 4 4
1 cos sin cos sin 1 cos sin d cos sin d
d
2 2sin cos 2 2sin cos 2sin cos
x x x x x x x x x x
x
x x x x x x
π π π
π π π
 
+ − − + −
= = −
 
 
 
∫ ∫ ∫

( )
( )
( )
( )
3 3
2 2
4 4
1 d sin x cos x d sin x cos x
2
1 sin x cos x sin x cos x 1
π π
π π

 
− +
 
= −
 
− − + −
 
∫ ∫

( ) ( ) ( )
3
2
4
1
arcsin sin x cos x ln sin x cos x sin x cos x 1
2
π
π
 
= − − + + + −
 

(
)
( )
(
)
4 4
3 1 3 3 1 3
1 3 1 1 3 1

arcsin ln ln 1 2 arcsin ln
2 2
2 2 2 2 4 2 2
   
+ +− −
   
= − + + = −
   
+
   

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

187

•
( )
4 4
3 2 2
2 2 2 2
8 8
dx dx
1 3sin cos
sin cos 3sin cos
x x
x x x x
π π
π π
= =
−

+ −
∫ ∫ ∫
π 4
6
6 6
π 8
dx
K =
sin x+ cos x

( )
(
)
( )
(
)
4 4
1
2
2
4 2 4 2
2
4 2 2
8 8
2 1
1 tg x d tg x
dx 1 u du
tg x tg x 1 u u 1
cos x 1 tg x 3tg x
π π

π π
−
+
+
= = =
 
− + − +
+ −
 
∫ ∫ ∫

(
)
( )
( )
1
1 1
2
2
2
2
2 1
2 1 2 1
2
1
1
1 du
d u
u 1 2 2 1
u

u
arctg arctg arctg 3 2
1
u
2 1
1
u 1
u 1
u
u
−
− −
 
+
−
 
− −
 
= = = = = +
−
+ −
− +
∫ ∫

•
12
16
cos 2 cos 6 cos 4 sin 8
dx
sin 4 sin 8 cos 4 cos8

x x x x
x x x x
π
π
=
+
∫ ∫
π 12
7
π 16
cos2xcos6x
K = dx
tg4x + cotg8x

( )
( )
12 12
16 16
cos 2x cos 6x cos 4x sin 8x 1
dx cos8x cos 4x sin 8x dx
cos 8x 4x 2
π π
π π
= = +
−
∫ ∫

( )
12
12

16
16
1 1 8 2 7
1 1 1
sin16 sin12 sin4 dx
cos16 cos12 cos4
4 4 384
16 12 4
x x x
x x x
π
π
π
π
− −
 
= + + = =
+ +
 
 
∫

•
( )
2 2
0 0
1 2 cos 1 2 cos
sin dx d cos
1 3cos 1 3cos
x x

x x
x x
π π
+ +
= − = −
+ +
∫ ∫ ∫
π 2
8
0
sin2x + sinx
K = dx
1 + 3cosx

( )
( ) ( )
( )
2 2 2
0 0 0
1
1 3cos x
2 2 1 d 1 3cos x
2
d cos x 1 3cos x d 1 3cos x
3 9 9
1 3cos x 1 3cos x
π π π
+ +
− − +
= = + + −

+ +
∫ ∫ ∫

( )
2
3 2
0
1 4 34
1 3cos x 2 1 3cos x
9 3 27
π
−
 
= + + + =
 
 

(Đề thi TSĐH khối A 2005)
•
(
)
( ) ( )
2 2
2
0 0
1 cos 1 1
2 cos 2 1 cos cos
1 cos 1 cos
x
d x x d x

x x
π π
− −
 
= = − −
 
+ +
 
∫ ∫ ∫
π 2
2
9
0
sin x cos x
K = 2 dx
1+ cos x


( )
2
2
0
cos x
2 cos x ln 1 cos x 2ln 2 1
2
π
 
= − − + = −
 
 

(Đề thi TSĐH khối D 2005)
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

188

•
(
)
(
)
( )
6 6
0 0
dx dx
2 2
cos sin cos
2 cos cos
4
x x x
x x
π π
= =
π
−
+

∫ ∫ ∫
π 6
10
0
dx
K =
π
cosxcos x +
4

( )
( )
6 6
6
2
0
0 0
d tg x
dx 3 3
2 2 2 ln 1 tg x 2 ln
1 tg x 2
1 tg x cos x
π π
π
+
= = = − − =
−
−
∫ ∫

•
(
)
(
)
4 4
2
0 0
dx 1 dx
2 2
sin
2 1 cos
2 8
4
x
x
π π
= =
π
 
π
−
+
− +
 
 
∫ ∫ ∫
π 4
11
0

dx
K =
2 + sinx cosx

(
)
(
)
(
)
( )
4
4
2
0
0
x
d
1 1 1
2 8
x
cotg 1 2 1 1
2 8
x
2 2 2
sin
2 8
π
π
π

+
− −
π
 
= = + = − + =
 
π
+
∫

•
( )
( ) ( )
( )
4 4
2 2
0 0
sin dx 1 cos sin cos sin
dx
2
sin cos sin cos
x x x x x
x x x x
π π
+ − −
= =
+ +
∫ ∫ ∫
π 4
12

0
sinxdx
K =
1 + sin2x

( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
4 4 4 4
2 2
0 0 0 0
4
4 4
2
2
0 0
0
1 dx 1 d sinx cosx 1 dx 1 d sinx cosx
2 sinx cosx 2 2
2 2

sinx cosx sinx cosx
sin x
4
d cos x
1 1 d sinx cosx 2 x 1
4
ln tg
2 2 8 2 sinx cosx
2 2 2
sinx cosx
cos x 1
4
π π π π
π
π π
+ +
= − = −
π
+
+ +
+
 
π
+
 
+ π
 
 
 
= − = + +

 
 
π
+
 
+
 
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫

( ) ( )
1 1 2 2
2 ln 2 1 2 ln 1 2
2 4
2 2
−
= − − − = + −

•
( )
( )
2 2
2
3 3
dx 1 sin dx
2 sin cos 1 2
sin cos 1
x
x x

x x
π π
π π
= =
− −
−
∫ ∫ ∫
π 2
13
π 3
dx
K =
sin2x 2sinx

( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0 0 0
2 2 2
2
3
3 2 3 2 3 2
0
3 2

1 d cos x 1 1 u 1 u 1 du du
du
2 4 4
1 u
1 cos x 1 cos x
1 u 1 u 1 u
1 1 1 u 1 2 3 1 1 3 2 3
ln ln 2 3 ln 2 3
4 1 u 8 1 u 4 2 4 4 4
π
π
 
+ + −
= = = +
 
 
−
− −
+ − −
 
+ + +
 
= + = − + − = − −
 
− −
 
∫ ∫ ∫ ∫

( )
( )

( )
2 6
3
1 2
2 2 2 2
0 0
sin 2x dx sin x dx
K , ab 0 ; K
3sin 4x sin 6x 3sin 2x
a sin x b cos x
π π
= ≠ =
− −
+
∫ ∫