ĐỒ ÁN NHẬP MÔN PHÂN TÍCH ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN

BỘ MÔN KHOA HỌC MÁY TÍNH
…………………………………………………………
Đồ án Nhập Môn Phân Tích Độ Phức Tạp
Thuật Toán
Đề tài: Đánh giá các thuật toán Sort
Giảng viên hướng dẫn lý thuyết
TS. Trần Đan Thư
Giảng viên hướng dẫn thực hành
Dương Chí Nhân
Nhóm thực hiện
0712002 – Nguyễn Thanh Đồng
0712228 – Trần Trung Kiên
0712394 – Bành Trí Thành
0712474 – Nguyễn Trọng Nhật Trung
0712476 – Phan Thanh Trí
TP.HCM, tháng 05 năm 2010
MỞ ĐẦU
Đề tài nhóm chúng tôi là đánh giá độ phức tạp của các giải thuật sắp xếp. Nói đến
các giải thuật sắp xếp thì có lẽ đây là một chủ đề đã quá quen thuộc và kinh điển.
Tuy nhiên, vì chúng ta xem nó quá quen thuộc nên chúng ta thường hay quên nó
đi. Mục tiêu của đề tài này là để chúng ta cùng nhau nắm lại tư tưởng của các thuật
toán sắp xếp, độ phức tạp về mặt lý thuyết, và hơn nữa, bằng thực nghiệm đánh
giá, kiểm chứng lại các độ phức tạp này.
Nội dung của phần báo cáo được chia làm 2 phần lớn:
 Nền tảng lý thuyết: Giới thiệu tổng quan về tư tưởng, độ phức tạp của các
thuật toán sắp xếp.
 Thực nghiệm: Nêu lên cách tiến hành thực nghiệm, kết quả và nhận xét.
Các thuật toán Sort
Page
2
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
Chương 1 NỀN TẢNG LÝ THUYẾT 4
1.1 SELECTION SORT 5
1.1.1 Ý tưởng thuật toán 5
1.1.2 Ví dụ minh họa 5
1.1.3 Độ phức tạp 6
1.2 INTERCHANGE SORT 7
1.2.1 Ý tưởng thuật toán 7
1.2.2 Ví dụ minh họa 8
1.2.3 Độ phức tạp 11
1.3 BUBBLE SORT 12
1.3.1 Ý tưởng thuật toán 12
1.3.2 Ví dụ minh họa 12
Cho dãy số như trên thuật toán SELECTION SORT 12
1.3.3 Độ phức tạp 13
1.4 SHAKER SORT 14
1.4.1 Ý tưởng thuật toán 14
1.4.2 Ví dụ minh họa 14
1.4.3 Độ phức tạp 14
1.5 INSERTION SORT 14
1.5.1 Ý tưởng thuật toán 14
1.5.2 Ví dụ minh họa 15
1.5.3 Độ phức tạp 16
1.6 BINARY INSERTION SORT 17
1.6.1 Ý tưởng thuật toán 17
1.6.2 Ví dụ minh họa 17
1.6.3 Độ phức tạp 17
1.7 HEAP SORT 18
1.7.1 Ý tưởng thuật toán 18

Các thuật toán Sort
Page
3
1.7.2 Ví dụ minh họa 18
1.7.3 Độ phức tạp 20
1.8 MERGE SORT 21
1.8.1 Ý tưởng thuật toán 21
1.8.2 Ví dụ minh họa 21
1.8.3 Độ phức tạp 22
1.9 BINARY TREE 23
1.9.1 Ý tưởng thuật toán 23
1.9.2 Ví dụ minh họa 23
1.9.3 Độ phức tạp 26
1.10 QUICK SORT 27
1.10.1 Ý tưởng thuật toán 27
1.10.2 Ví dụ minh họa 27
1.10.3 Độ phức tạp 28
1.11 SHELL SORT 29
1.11.1 Ý tưởng thuật toán 29
1.11.2 Ví dụ minh họa 29
1.11.3 Độ phức tạp 30
Chương 2 THỰC NGHIỆM 31
2.1 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH THỰC NGHIỆM 31
2.2 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 31
Chương 3 ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 31
Chương 1 NỀN TẢNG LÝ THUYẾT
Các thuật toán Sort
Page
4

1.1 SELECTION SORT
1.1.1 Ý tưởng thuật toán
 Ta chọn phần tử nhỏ nhất trong N phần tử ban đầu, đưa phần tử này về đầu dãy
hiện hành. Sau đó, ta không quan tâm đến nó nữa, ta xem dãy hiện hành chỉ
còn N-1 phần tử của dãy ban đầu tính từ vị trí thứ 2. Cứ vậy, cho đến khi dãy
hiện hành chỉ còn 1 phần tử, ta được 1 dãy sắp tăng.
 Các bước tiến hành như sau:
o Bước 1: Khởi động i = 1
o Bước 2: Tìm phần tử nhỏ nhất a[min] trong dãy hiện hành từ a[i] đến
a[N]
o Bước 3: Hoán vị a[min] và a[i]
o Bước 4: i = i+1
 Nếu i < =N-1: quay trở lại bước 2
 Ngược lại: STOP!
1.1.2 Ví dụ minh họa
Cho dãy số 1 2 8 5 12 6 4 15
Hình minh họa cho quá trình sắp xếp của dãy số trên:
Các thuật toán Sort
Page
5
1.1.3 Độ phức tạp
Để chọn được phần tử nhỏ nhất, ta cần duyệt qua n phần tử (tốn n-1 phép so sánh)
và sau đó hoán vị nó với phần tử đầu tiên của dãy hiện hành. Để tìm phần tử nhỏ
nhất tiếp theo, ta cần duyệt qua n-1 phần tử (tốn n-2 phép so sánh). Cứ như vậy, ta
thấy ngay thuật toán sẽ tốn (n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1)/2 = O(n
2
) phép so sánh.
Các thuật toán Sort
Page
6

D Dãy được sắp xếp
tăng
Mỗi lần duyệt, ta luôn phải hoán vị 1 lần (1 hoán vị tương đương với 3 phép gán),
nghĩa là thuật toán sẽ tốn 3(n-1) + 3(n-2) + … + 3 = 3n(n-1)/2 = O(n
2
) phép gán.
Tổng kết lại, ta luôn có độ phức tạp của thuật toán Selection Sort thuộc O(n
2
)
trong mọi trường hợp.
1.2 INTERCHANGE SORT
1.2.1 Ý tưởng thuật toán
 Ý tưởng chính của thuật toán này là ta tìm các cặp nghịch thế và triệt tiêu
chúng. Ta xuất phát từ phần tử đầu tiên của dãy, tìm tất các các cặp nghịch thế
chứa phần tử này, triệt tiêu chúng bằng các hoán vị phần tử này với phần tử
tương ứng trong cặp nghịch thế. Ta dễ nhận thấy sau lần duyệt đầu tiên, phần
tử đầu tiên chính là phần tử nhỏ nhất của dãy. Ta tiếp tục xử lý với phần tử thứ
hai, ta có được phần tử thứ hai chính là phần tử nhỏ thứ hai của dãy. Cứ như
vậy, sau khi xử lý với phần tử thứ N -1 của dãy, ta được một dãy sắp tăng.
 Các bước tiến hành như sau:
o Bước 1: Khởi động i = 1
o Bước 2: j = i+1
o Bước 3: Trong khi j <= N thực hiện:
 Nếu a[i]>a[j]: Hoán vị a[i] và a[j]
 j = j+1
o Bước 4: i = i+1
 Nếu i <= N-1: quay trở lại bước 2
 Ngược lại: STOP!
Các thuật toán Sort
Page

7
1.2.2 Ví dụ minh họa
Cho dãy số : 12 2 8 5 1 6 4 15
Hình minh họa cho quá trình sắp xếp của dãy số trên:
Các thuật toán Sort
Page
8
Các thuật toán Sort
Page
9
Các thuật toán Sort
Page
10
1.2.3 Độ phức tạp
 Thấy ngay số phép so sánh là luôn không đổi, tức không phụ thuộc vào tình
trạng ban đầu của dãy. Ta có thể ước lượng số phép so sánh bằng (n-1) + (n-2)
+ … + 1 = n(n-1)/2 (phần tử thứ i được so sánh với n-i phần tử còn lại.)
 Số phép hoán vị (tương đương 3 phép gán) lại phụ thuộc vào tình trạng ban đầu
của dãy. Cụ thể như sau:
o Trường hợp tốt nhất: Dãy ban đầu đã có thứ tự. Ta thấy ngay ta không
tốn một phép hoán vị nào.
o Trường hợp xấu nhất: Dãy ban đầu có thứ tự ngược. Ta thấy ngay mỗi
lần so sánh phần tử thứ i với n-i phần tử còn lại, ta đều phải thực hiện
hoán vị. Điều này có nghĩa là số phép hoán vị bằng n(n-1)/2.
Tổng kết lại, ta có độ phức tạp của Interchange Sort thuộc O(n
2
) trong mọi trường
hợp.
Các thuật toán Sort
Page

11
D Dãy được sắp xếp
tăng
1.3 BUBBLE SORT
1.3.1 Ý tưởng thuật toán
 Xét từ đáy và phần tử nhẹ nổi lên trên.
 Các bước thực hiện:
o Bước 1: Khởi động i = 1
o Bước 2: j = N //Duyệt từ cuối dãy về vị trí i
Trong khi j>i thực hiện:
 Nếu a[j]<a[j-1]: hoán vị a[j], a[j-1]
 j = j - 1
o Bước 3: i = i + 1
 Nếu i <= N-1: quay trở lại bước 2.
 Ngược lại: STOP!
1.3.2 Ví dụ minh họa
Cho dãy số như trên thuật toán SELECTION SORT
1 2 4 12 5 8 6 5
Hình minh họa quá trình sắp xếp của thuật toán:
Các thuật toán Sort
Page
12
1.3.3 Độ phức tạp
 Thấy ngay số phép so sánh là luôn không đổi, tức không phụ thuộc vào tình
trạng ban đầu của dãy. Với i bất kỳ, ta luôn phải so sánh V[j] với V[j-1], mà j
chạy từ n đến i+1, tức ta tốn n-i phép so sánh. Thêm nữa, i chạy từ 1 đến n-1.
Vậy ta tính được số phép so sánh tổng cộng: ∑(n-i) với i chạy từ 1 đến n-1 =
(n-1) + (n-2) + … + 1 = n(n-1)/2.
 Số phép hoán vị (tương đương 3 phép gán) lại phụ thuộc vào tình trạng ban đầu
của dãy. Cụ thể như sau:

Các thuật toán Sort
Page
13
D Dãy được sắp xếp
tăng
o Trường hợp tốt nhất: Dãy ban đầu đã có thứ tự. Ta thấy ngay ta không
tốn một phép hoán vị nào.
o Trường hợp xấu nhất: Dãy ban đầu có thứ tự ngược. Xét i bất kỳ, ta thấy
rằng mỗi lần so sánh a[j] với a[j-1], ta đều phải thực hiện hoán vị. Điều
này có nghĩa là số phép hoán vị bằng n(n-1)/2.
Tổng kết lại, ta có độ phức tạp của Bubble Sort thuộc O(n
2
) trong mọi trường hợp.
1.4 SHAKER SORT
1.4.1 Ý tưởng thuật toán
 Đây là thuật toán cải tiến từ thuật toán Bubble Sort
 Ta thấy ở mỗi lượt duyệt phần tử nhẹ nổi lên rất nhanh, còn phần tử nặng chìm
xuống rất chậm, nên ta sẽ cải tiến thêm 1 chiều duyệt ngược lại để phần từ nặng
chìm nhanh hơn.
 Từ vị trí đổi chỗ cuối cùng đến đầu dãy đã được sắp xếp, cho nên cần thêm 1
biến lưu vị trí đổi chỗ cuối cùng để tăng tốc độ.
1.4.2 Ví dụ minh họa
1.4.3 Độ phức tạp
 Ta thấy sự chuyển dời của phần tử không có gì là cải tiến (từ vị trí ban đầu của
nó, để đi đến vị trí đúng đều mất chi phí như Bubble Sort).
 Chỉ có số phép so sánh là được cải tiến, nhưng chưa tìm được công thức tính số
phép so sánh, mặt khác ta thấy chi phí chuyển dời luôn cao hơn (Chi phí hoán
vị thường mất 3 phép gán) so sánh nên cải tiến có thể xem như không đáng kể.
Thuật toán vẫn được xếp ở O(n
2

).
1.5 INSERTION SORT
1.5.1 Ý tưởng thuật toán
 Giả sử ta có dãy a
1
, a
2
, …, an trong đó i phần tử đầu tiên a
1
, a
2
, …, a
i
đã có thứ
tự. Ý tưởng của thuật toán là tìm vị trị thích hợp và chèn phần tử a
i+1
vào dãy đã
có thứ tự trên để có được một dãy mới có thứ tự. Cứ thế, làm đến cuối dãy ta sẽ
được một dãy có thứ tự.
Các thuật toán Sort
Page
14
 Với dãy ban đầu a
1
, a
2
, …, a
n
ta có thể coi đoạn chỉ có một phần tử a
1

là một
đoạn đã có thứ tự, sau đó ta chèn phần tử a
2
vào dãy a
1
để có dãy a
1
a
2
có thứ tự.
Tiếp đó, ta lại chèn phần tử a
3
vào dãy a
1
a
2
để có dãy a
1
a
2
a
3
có thứ tự. Cứ thế,
đến cuối cùng ta chèn phần tử a
n
vào dãy a
1
a
2
…a

n-1
ta sẽ được dãy a
1
a
2
…a
n
có
thứ tự.
 Các bước thực hiện:
o Bước 1: Khởi động với i = 2 //Đoạn a[1] đã được sắp
o Bước 2: x = a[i]. Tìm vị trí thích hợp pos trong đoạn a[1]…a[i-1] để
chèn x vào
o Bước 3: Dời đoạn a[pos]…a[i-1] sang phải để có chỗ đưa x vào.
o Bước 4: a[pos] = x
o Bước 5: i = i + 1
 Nếu i<=n: quay lại bước 2.
 Ngược lại: STOP!
1.5.2 Ví dụ minh họa
Cho dãy số a:
12 2 8 5 1 6 4 15
Các thuật toán Sort
Page
15
1.5.3 Độ phức tạp
 Ta thấy các phép so sánh xảy ra trong vòng lặp nhằm tìm vị trí thích hợp pos để
chèn x. Mỗi lần so sánh mà thấy vị trí đang xét không thích hợp, ta dời phần tử
a[pos] sang phải.
 Ta cũng thấy số phép gán và số phép so sánh của thuật toán phụ thuộc vào tình
trạng của dãy ban đầu. Do đó ta chỉ có thể ước lượng như sau:

o Trường hợp tốt nhất: dãy ban đầu đã có thứ tự. Ta tìm được ngay vị trí
thích hợp để chèn ngay lần so sánh đầu tiên mà không cần phải vô vòng
lặp. Như vậy, với i chạy từ 2 đến n thì số phép so sánh tổng cộng sẽ là n-
1. Còn với số phép gán, do thuật toán không chạy vào vòng lặp nên xét i
Các thuật toán Sort
Page
16
bất kỳ, ta luôn chỉ phải tốn 2 phép gán(x = a[i] và a[pos] = x). Từ đây, ta
tính được số phép gán tổng cộng bằng 2(n - 1).
o Trường hợp xấu nhất: dãy ban đầu có thứ tự ngược. Ta thấy ngay vị trí
thích hợp pos luôn là vị trí đầu tiên của dãy đã có thứ tự, và do đó, để
tìm ra vị trí này ta phải duyệt hết dãy đã có thứ tự. Xét i bất kỳ, ta có số
phép so sánh là i-1, số phép gán là (i - 1) + 2 = i + 1. Với i chạy từ 2 đến
n, ta tính được số phép so sánh tổng cộng bằng 1 + 2 + … + (n - 1) = n(n
- 1)/2 và số phép gán bằng 3 + 4 + + (n + 1) = (n + 4)(n - 1)/2
Tổng kết lại, ta có độ phức tạp của Insertion Sort như sau:
o Trường hợp tốt nhất: O(n)
o Trường hợp xấu nhất O(n
2
)
1.6 BINARY INSERTION SORT
1.6.1 Ý tưởng thuật toán
 Đây là thuật toán cải tiến từ Insertion Sort, ta nhận thấy chi phí tìm kiếm vị trí
thích hợp để chèn phần tử của Insertion là tuyến tính n, nên thuật toán này sẽ
dùng cách tìm nhị phân để giảm số phép so sánh cho việc tìm kiếm còn log
2
n.
1.6.2 Ví dụ minh họa
1.6.3 Độ phức tạp
 Ta nhận thấy rằng cải tiến của thuật toán chỉ giúp việc tìm kiếm nhanh hơn,

giảm đi chi phí so sánh trong lúc tìm kiếm, còn chi phí cho việc chèn vẫn
không thay đổi (vẫn phải dịch đúng k phần tử như Insertion Sort để chèn) nên
chi phí phép gán không có cải tiến.
 Tìm kiếm tốt nhất khi vừa tìm phần tử lần đầu là ra ngay, phần tử đó sẽ nằm ở
vị trí middle của dãy đã có thứ tự, nhưng chi phí chèn lúc này sẽ là n/2, với chi
phí này còn cao so với trường hợp tốt nhất.
 Thuật toán chỉ tốt nhất khi chi phí chèn là 1, ứng với phần tử tìm phải nằm ở
cuối dãy có thứ tự, chi phí tìm lúc này là log
2
n, mà ta phải làm n lần cho n phần
tử nên là O(nlogn)
Các thuật toán Sort
Page
17
 Thuật toán xấu nhất khi phần tử tìm được nằm ở đầu dãy, chi phí chèn lúc này
là n (tìm kiếm là log
2
n, nhưng chi phí chèn mạnh hơn), mà có n phần tử nên là
O(n
2
).
 Ta thấy dường như độ phức tạp thuật toán phụ thuộc mạnh vào chi phí chèn
hơn là tìm kiếm, cho nên cách tốt hơn ta sẽ cài đặt bằng danh sách liên kết để
việc chèn được tốt hơn.
 Độ phức tạp thuật toán như sau:
o Trường hợp tốt nhất: O(nlogn)
o Trường hợp xấu nhất O(n
2
)
1.7 HEAP SORT

1.7.1 Ý tưởng thuật toán
 Định nghĩa Heap: Heap là mảng 1 chiều chứa các phần tử từ a
1
, a
2
… a
n
. Các
phần tử từ a
[n/2 + 1]
đến a
[n]
là heap tự nhiên. Các phần tử còn lại thỏa a
[i]
>= a
[2*i]
và a
[i]
>= a
[2*i+1]
(i=1…n/2) (Điều kiện này là cho sắp xếp tăng dần).
 Như vậy ta thấy gốc của heap luôn là phần tử lớn nhất, nếu ta lần lượt rút trích
phần tử gốc và xây dựng lại heap đã bị rút trích ta sẽ có một mảng có thứ tự
tăng dần.
 Giải thuật:
o Bước 1: Xây dựng heap từ mảng ban đầu.
o Bước 2: Hoán vị phần tử đầu và cuối mảng, rồi giảm dần số phần tử của
mảng xuống thành n-1 (bỏ phần tử cuối).
o Bước 3: Tiếp tục xây dựng và hoán vị như trên cho đến hết ta sẽ có dãy
được sắp thứ tự tăng dần (muốn sắp giảm dần ta chi cần cho phần tử gốc

của heap là phần tử nhỏ nhất).
1.7.2 Ví dụ minh họa
Cho dãy số a:
12 2 8 5 1 6 4 15
Giai đoạn 1: hiệu chỉnh dãy ban đầu thành heap
Các thuật toán Sort
Page
18
Giai đoạn 2: Sắp xếp dãy số dựa trên heap:
Các thuật toán Sort
Page
19
Thực hiện tương tự cho r = 5, 4, 3, 2 ta được:
1.7.3 Độ phức tạp
 Ta thấy được chi phí cho xây dựng heap khi thêm vào heap một phần tử mới là
log
2
n (chính là chiều cao heap cho mỗi lần làm chìm phần tử xuống vị trí thích
hợp), mặt khác từ bước 2 đến bước 3 ứng với mỗi phần tử ta sẽ xây dựng lại
heap một lần, mà ta có n phần tử. Vậy ta có thể ước tính chi phí cho sắp xếp
HeapSort là O(nlogn) cho mọi trường hợp. (Từ thực nghiệm cài đặt cho kết quả
là ~ 4log
2
n)
Các thuật toán Sort
Page
20
1.8 MERGE SORT
1.8.1 Ý tưởng thuật toán
 Cho dãy ban đầu a

1
, a
2
, …, a
n
. Ta luôn có thể coi nó là tập hợp liên tiếp của các
dãy có thứ tự. Ta gọi các dãy có thứ tự này là các dãy con.
 Trong phương pháp Merge Sort, vấn đề là ta tìm cách phân hoạch dãy ban đầu
thành các dãy con. Sau khi phân hoạch xong, dãy ban đầu sẽ được tách thành
hai dãy phụ theo nguyên tắc phân phối luân phiên dãy con. Sau đó, ta trộn từng
cặp dãy con của hai dãy phụ thành một dãy con của dãy ban đầu. Ta nhận thấy
số dãy con của dãy ban đầu lúc này giảm đi ít nhất là một nửa. Cứ thế sau một
số bước, ta sẽ nhận được dãy ban đầu với số dãy con bằng 1, có nghĩa là ta đã
sắp xếp xong.
 Trộn trực tiếp: đây là phương pháp trộn đơn giản nhất. Việc phân hoạch dãy
ban đầu đơn giản như sau: Với dãy ban đầu có n phân tử, ta cứ phân hoạch
thành n dãy con. Vì rằng mỗi dãy con chỉ có 1 phần tử nên nó là dãy có thứ tự.
Cứ mỗi lần tách – trộn, chiều dài của dãy con sẽ được nhân đôi.
 Các bước tiến hành:
o Bước 1: Khởi động k = 1 //Với k là chiều dài dãy con
o Bước 2: Phân phối dãy a = a
1
, a
2
, …, a
n
vào hai dãy phụ b, c theo nguyên
tắc phân phối luân phiên từng dãy con.
b = a
1

, …, a
k
, a
2k+1
, …, a
3k
, …
c = a
k+1
, …, a
2k
, a
3k+1
, …, a
4k
o Bước 3: Từ 2 dãy phụ b, c, ta trộn từng cặp dãy con và đưa vào dãy a.
o Bước 4: k = k*2
 Nếu k<n: quay lại bước 2.
 Ngược lại: STOP!
1.8.2 Ví dụ minh họa
Cho dãy số a:
12 2 8 5 1 6 4 15
Các thuật toán Sort
Page
21
k = 1:
k = 2:
k = 4:
1.8.3 Độ phức tạp
 Ta thấy ngay số lần lặp của bước 2(phân phối) và bước 3(trộn) bằng log

2
n. Ta
cũng thấy rằng chi phí thực hiện bước 2 và bước 3 tỉ lệ thuận với n. Như vậy, ta
có thể ước tính chi phí thực hiện của giải thuật Merge Sort thuộc O(nlog
2
n).
 Ta nhận thấy rằng giải thuật làm việc một cách cứng nhắc, không tận dụng
được tính thứ tự một phần của dãy ban đầu. Do đó, trong mọi trường hợp độ
phức tạp là như nhau. Đây là một nhược điểm của phương pháp trộn trực tiếp.
Các thuật toán Sort
Page
22
1.9 BINARY TREE
1.9.1 Ý tưởng thuật toán
 Việc sắp xếp trên cây nhị phân tìm kiếm được gói gọn xử lí trong 2 công việc
là chèn các khóa mới vào trong cây và duyệt cây nhị phân theo thứ tự LNR.
 Chèn một khóa mới vào trong cây nhị phân tìm kiếm: phép chèn bắt đầu giống
như phép tìm kiếm. Nếu khóa của nút gốc khác khóa cần chèn ta tìm nó trong
cây con trái hoặc phải. Nếu cây con trái hoặc phải tương ứng là rỗng (không
tìm thấy) thì thêm một nút và gán cho nút ấy khóa cần chèn.
void InsertNode(struct node *&treeNode,struct node *newNode)
{
if (treeNode == NULL)
treeNode = newNode;
else if (newNode->value < treeNode->value)
InsertNode(treeNode->left, newNode);
else
InsertNode(treeNode->right, newNode);
}
 Duyệt cây nhị phân tìm kiếm : sau khi đã hoàn thành việc tạo dựng một cây nhị

phân tìm kiếm. Các nút có thể được duyệt theo thứ tự bằng cách gọi đệ quy cây
con bên trái, in nút đang duyệt, rồi duyệt đệ qui cây con bên phải, tiếp tục làm
như vây với mỗi nút của cây trong quá trình đệ qui (theo thứ tự LNR).
if node == NULL
return
traverse_binary_tree(node->leftChild, callback);
callback(node->value);
traverse_binary_tree(node->rightChild, callback);
1.9.2 Ví dụ minh họa
Duyệt cây theo thứ tự LNR : Cho một cây như sau :
Các thuật toán Sort
Page
23
Thứ tự của phép duyệt LNR : CBEDFAKHL
Ví dụ cụ thể :
Cho dãy sau : 44 55 12 42 94 18 6 67
Khi insert vào cây ta sẽ được như sau :
+ Bước 1 :
+ Bước 2 :
+ Bước 3 :
Các thuật toán Sort
Page
24
+ Bước 4 :
+ Bước 5 :
+ Bước 6 :
+ Bước 7 :
Các thuật toán Sort
Page
25