Skkn rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải bài tập chương iứng dụng đạo hàm

1. Mở đầu.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một chương quan trọng
trong chương trình giải tích 12. Nó chiếm 23 tiết theo phân phối chương trình,
gần một phần ba thời lượng mơn giải tích lớp 12. Bài tập chương này được sử
dụng rất nhiều trong các kỳ thi THPT Quốc Gia.
Trong chương này chủ yếu ta dùng giới hạn và đạo hàm để xét một số tính chất
quan trọng của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, các đường tiệm cận,
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số.
Học sinh cần có kỹ năng thành thạo khi xét các tính chất của hàm số cho trước
cũng như khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm đơn giản.
Tuy nhiên qua thực tế dạy học, đây là một chương với khá nhiều kiến thức mà
nếu học sinh khơng được rèn luyện tốt thì rất dễ mắc phải những sai lầm cơ bản.
Với lý do mong muốn có một tài liệu với một hệ thống bài tập nhằm rèn luyện
cho các em những kỹ năng làm bài và tránh những sai lầm cơ bản khơng đáng
có tơi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là:
“ Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải bài tập
chươngI “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số”.”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đề tài “ Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải
bài tập chươngI “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” với mục
đích giúp học sinh lớp 12 được rèn luyện một cách thành thạo những kỹ năng
xét các tính chất của một hàm số cho trước cũng như khảo sát và vẽ đồ thị một
số hàm số đơn giản.
Qua đó cũng rèn luyện cho các em những kỹ năng tư duy khoa học, chặt chẽ và
lôgic khi giải quyết một bài tốn nói riêng cũng như khi giải quyết một vấn đề
nói chung trong cuộc sống.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài “ Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải
bài tập chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chủ yếu

nghiên cứu về những vấn đề mà học sinh dễ mắc sai lầm trong thực tế giảng
1

skkn


dạy. Đó là những khái niệm, định lý, tính chất, những bài tập mà học sinh hay
sai. Nghiên cứu nguyên nhân và chỉ ra nguyên nhân sai lầm từ đó tổng kết và rút
ra kinh nghiệm để tránh những sai lầm gặp phải.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Nghiên cứu lý luận
+ Điều tra thực tế, thu thập thông tin
+ Thực nghiệm sư phạm
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm
vi nghiên cứu của đề tài)
* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí:
Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm trong khoảng I.
a. Nếu

với

thì hàm số f đồng biến trên I.

b. Nếu

với

thì hàm số f nghịch biến trên I.

c. Nếu f '(x) = 0 với

thì hàm số f không đổi trên I.

Nhận xét: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu
) và

( hoặc

chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng

biến ( hoặc nghịch biến) trên I.
* Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
điểm
a. Nếu

và có đạo hàm trên các khoảng
trên khoảng

đạt cực tiểu tại điểm

và

và

chứa

. Khi đó

trên khoảng

thì hàm số f

.

2

skkn


b. Nếu

trên khoảng

đạt cực đại tại điểm

và

trên khoảng

thì hàm số f

.

Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng
chứa điểm

,

và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm

a. Nếu f ''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

.

b. Nếu f ''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm

.

.

* Về tiệm cận của đồ thị hàm số.
Định nghĩa 1. Đường thẳng
nếu

được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

hoặc

Định nghĩa 2. Đường thẳng

.
được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Bản thân tôi năm học 2018-2019 đang trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở hai lớp

khối 12. Lớp 12A3 có chất lượng học tập ở mức độ khá, lớp 12A7 có chất lượng
trung bình. Ý thức được những sai lầm học sinh thường mắc phải ở chương học
này. Ngay khi học song chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số” thông qua bài kiểm tra hết chương ở cả hai lớp tôi đã thống kê những
bài mà học sinh đã giải sai và nhận thấy rằng có rất nhiều bài các em giải sai
khơng phải là bài khó, đó chỉ là bài ở mức độ cơ bản nhưng do nắm không kỹ lý
thuyết cũng như chưa được rèn luyện tốt kỹ năng. Hơn nữa đây cũng là những
dạng bài có chứa đựng những nội dung học sinh dễ mắc sai lầm.
Với thực trạng đó tơi tiếp tục cho học sinh làm bài khảo sát với hệ thống bài tập
có chứa đựng những nội dung dễ sai và thu được kết quả khảo sát như sau:
Lớp

Sĩ
số

Điểm từ 8.0- Điểm từ 6.5- Điểm từ 5.0- Điểm
dưới
10.0
8.0
6.5
5.0
SL
TL%
SL TL%
SL TL%
SL TL%

3

skkn

12A
3
12A
7

45

6

13,3%

23

51,1%

14

31,1%

2

4.5%

42

1

2.4%

12

28,4%

16

38,1%

13

30.1%

Với kết quả này tơi thấy với lớp có lực học khá, tỷ lệ đạt điểm khá giỏi là 64,4%
vẫn cịn tới 35.6% đạt điểm trung bình và dưới trung bình. Đặc biệt ở lớp có học
lực trung bình, tỷ lệ đạt điểm khá giỏi chỉ chiếm 30.4%, có tới 68.2% học sinh
đạt điểm trung bình và dưới trung bình. Đây là một tỷ lệ chưa cao, chưa đúng
với thực lực học sinh.
Với thực trạng trên cần một giải pháp để giúp các em tránh được những sai lầm
cơ bản. Làm sao để kết quả làm bài phản ánh đúng năng lực các em.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề.
Xây dựng hệ thống bài tập có chứa đựng nội dung học sinh dễ mắc sai lầm, chỉ
ra sai lầm học sinh dễ mắc phải từ đó giúp học sinh tránh được sai lầm khi giải
tốn.
2.3.1. Chủ đề tính đơn điệu của hàm số.
VD1. Xét tính đơn điệu của hàm số

.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

B. Hàm số đồng biến trên khoảng
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

và

Lời giải sai:
Tính đạo hàm
Chọn đáp án: B
Phân tích sai lầm:

4

skkn


Lấy phản ví dụ: Chọn
;
nên khơng thỏa mãn hàm đồng biến trên khoảng đó.

nhưng

Lời giải đúng:
Chọn đáp án: D và chỉ ra đáp án D không mắc sai lầm như B.
VD2. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
.
A.

B.

C.

D.

Lời giải sai:
. Chọn: A
Phân tích sai lầm:
+ Theo Định lý:

tại hữu hạn điểm trên miền
. Vậy
không thỏa mãn.

. Nhưng thử lại khi

Lời giải đúng:

+ Thử lại khi

. Vậy

khơng thỏa mãn.

+ Chọn: C.
VD3. Tìm m để hàm số
A.

B.

luôn đồng biến trên

C.

.

D.

Lời giải sai:
+ TXĐ:

;

+ Thử lại:

nên khơng thỏa mãn. Chọn: A

Phân tích sai lầm:

5

skkn


Tới đây học sinh đã tránh được sai lầm như VD2 nhưng lại không biết kiểm tra
điều kiện hàm số phải xác định trên miền
Lời giải đúng:
+ TXĐ:

;

+ Thử lại:

nên không thỏa mãn nên

+ Hàm số xác định trên

. Vậy:

VD4. Tìm m để hàm số
A. Khơng tồn tại m

nên chọn: D.
đồng biến trên R.

B.

C.

D.

Lời giải sai:
+ TXĐ:
+
Phân tích sai lầm:
+ Học sinh không xét dấu biểu thức

trước khi chia để cô lập m.

Lời giải đúng:
Cách 1: Xét dấu biểu thức
và cô lập m để lập bảng biến thiên giải

tiếp. Tuy nhiên cách này dài không phù hợp thi trắc nghiệm.
Cách 2:
+ TXĐ:
+
. Chọn D.
VD5. Tìm m để đạo hàm bậc nhất của hàm số
âm với
.
A.

B.

C.

nhận giá trị

D.

6

skkn


Lời giải sai:
+
Đặt:
Bảng BT
x

0

+

0
Từ bảng biến thiên suy ra:

chọn: C.

Phân tích sai lầm:
Đây là một dạng tốn mà học sinh rất dễ sai khi khơng có kỹ năng kiểm tra dấu
bằng. Học sinh hay suy ngay từ
khơng có dấu bằng nên ra
cũng khơng có dấu bằng. Tuy nhiên khi
bài tốn vẫn đúng, lý do là
hàm số không đạt GTNN trên khoảng xét.
Lời giải đúng:
+
Đặt:
Bảng BT
x

0
+

0
Từ bảng biến thiên suy ra:

chọn: D.

2.3.2. Chủ đề cực trị hàm số.
VD1. Tìm cực trị của hàm số

A.

B.

C.

.
D.

7

skkn


Lời giải sai:
+
+ Với
cực trị.

thì

khơng xác định nên

vơ nghiệm nên hàm số khơng có

Phân tích sai lầm:
+ Sai lầm do học sinh nắm không chắc kiến thức với suy luận phương trình
vơ nghiệm thì hàm số khơng có cực trị.
+ Do TXĐ:
nên khi

dấu khi qua điểm
nên

thì khơng xác định nhưng
vẫn là cực trị hàm số.

và

đổi

Lời giải đúng:
+ TXĐ:
+
+ Với
+ Xét dấu

và

không xác định.

suy ra cực trị là

VD2. Cho hàm số

. Chọn: A.

có TXĐ:

A. Hàm số đạt cực trị tại điểm

. Khẳng định nào sau đây là sai?

thì

.

B. Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số nói chung khơng phải là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số.
C. Hàm số có thể đạt cực đại, cực tiểu tại nhiều điểm khác nhau.
D. Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến hoặc khơng đổi trên D thì nó khơng
có cực trị trên D.
Lời giải sai:
Dạng này học sinh không chắc chắn câu nào là sai nên khoanh bừa.
Phân tích sai lầm:

8

skkn


Học sinh không nắm chắc kiến thức về cực trị. Tại cực trị hàm số có thể có đạo
hàm hoặc khơng có đạo hàm. Nếu có đạo hàm thì đạo hàm tại đó bằng khơng.
Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số
có đạo hàm hay khơng có đạo hàm.
Lời giải đúng:
Do đề chưa cho hàm số có đạo hàm tại
VD3. Cho hàm số
trong khẳng định sau.

nên chọn đáp án là: A.

có đạo hàm trên D và đồ thị (C). Chọn khẳng định Sai

A. Giá trị cực đại của hàm số luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của hàm số.
B. Nếu hàm số đạt cực trị tại

thì

.

C. Tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị song song hoặc trùng với trục ox.
D. Tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị có hệ số góc k=0.
Lời giải sai:
Dạng này học sinh không chắc chắn câu nào là sai nên khoanh bừa.
Phân tích sai lầm:
Học sinh khơng nắm chắc kiến thức về cực trị. Tại cực trị hàm số có thể có đạo
hàm hoặc khơng có đạo hàm. Nếu có đạo hàm thì đạo hàm tại đó bằng khơng.
Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số
có đạo hàm hay khơng có đạo hàm.
Lời giải đúng:
Do đề cho hàm số có đạo hàm tại
định đúng. Chọn A.
VD4. Cho hàm số

nên các khẳng định B; C và D là các khẳng

có đạo hàm trên khoảng

chứa điểm

và

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu

thì hàm số khơng đạt cực trị tại

B. Nếu

thì hàm số đạt cực tiểu tại

C. Nếu

thì hàm số đạt cực trị tại

.

.
.
9

skkn


D. Nếu

thì hàm số đạt cực đại tại

.

Lời giải sai:
Dạng này học sinh không chắc chắn câu nào là sai nên khoanh bừa.
Phân tích sai lầm:
Học sinh khơng nắm chắc định lý 2(quy tắc 2) về cực trị. Quy tắc 2 chỉ áp dụng
khi thỏa mãn

và các trường hợp khác không áp dụng được. Vậy

trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho có thỏa mãn
điều kiện hay khơng thì mới được áp dụng.
Lời giải đúng:
Do đề cho hàm số có đạo hàm tại
khẳng định hàm số khơng có cực trị tại

nên khơng thể áp dụng quy tắc 2
. Chọn: A.

VD5. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Khi đi qua
hàm số.

đạo hàm của hàm số

đổi dấu thì

B. Nếu hàm số
có đạo hàm số có đạo hàm tại
điểm cực trị của hàm số.
C. Nếu hàm số
D. Nếu

có đạo hàm đạt cực trị tại

là điểm cực trị của hàm số thì

thì

là điểm cực trị của

và

thì

là

.

.

Lời giải sai:
Dạng này học sinh khơng chắc chắn câu nào là sai nên khoanh bừa.
Phân tích sai lầm:
Học sinh không nắm chắc kiến thức về cực trị. Tại cực trị hàm số có thể có đạo
hàm hoặc khơng có đạo hàm. Nếu có đạo hàm thì đạo hàm tại đó bằng khơng.
Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số
có đạo hàm hay khơng có đạo hàm.
Lời giải đúng:
10

skkn

Do đề cho hàm số có đạo hàm tại

nên chọn đáp án là: C.

VD6. Với giá trị nào của m thì hàm số sau khơng có cực trị?
.
A.

B.

C.

D.

Lời giải sai:
+

; Hàm số khơng có cực trị khi phương trình vơ

nghiệm nên

. Chọn A.

Phân tích sai lầm:
Do hiểu hàm số khơng có cực trị khi phương trình y’=0 vơ nghiệm nên mắc phải
sai lầm ở điều kiện
.
Lời giải đúng:

+
nghiệm

; Hàm số khơng có cực trị khi phương trình có
hoặc
vơ
nghiệm
nên

kép

. Chọn D.
VD7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
đạt cực tiểu tại
A.

.

B.

.

C.

.

để hàm số

.
D.

.

Lời giải sai:
Ta có:

; Hàm số đạt cực trị tại

nên

. Chọn: A.
Phân tích sai lầm:
Học sinh bỏ sót việc kiểm tra

có phải là điểm cực tiểu hay không.

Lời giải đúng:
11

skkn


Ta có:

; Hàm số đạt cực trị tại

nên

.
Thử lại: Khi

khơng thỏa mãn và

VD8. Tìm m để hàm số
A. Khơng tồn tại

.

B.

thỏa mãn, nên chọn: B.

nhận
.

làm điểm cực đại.

C.

.

D.

.

Lời giải sai:
Ta có:

; Hàm số nhận

làm điểm cực đại khi

. Chọn: A.
Phân tích sai lầm:
Cách giải này học sinh mắc sai lầm ở chỗ bỏ sót trường hợp
vẫn có thể nhận
này.

hàm số

làm điểm cực trị. Quy tắc 2 không dùng được cho bài tốn

Lời giải đúng:
Ta có

ln đúng với mọi

Để hàm số nhận
nên
. Chọn: C.

làm cực đại thì

.

phải đổi dấu từ dương sang âm qua

2.3.3. Chủ đề tiệm cận.
VD1. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 1

B. 2

C.0

.

D. 3

Lời giải sai:
Ta có:

suy ra hàm số có một tiệm cận ngang
nên hàm số có một tiệm cận đứng

12

skkn


Chọn: B.
Phân tích sai lầm:
Do sai trong phép tính giới hạn

nên bỏ sót một tiệm cận.

Lời giải đúng:
Ta có:

suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang

nên hàm số có một tiệm cận đứng

Chọn: D.
VD2. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 1

B. 2

C. 3

.

D.4

Lời giải sai:
Ta có:

nên hàm số có 2 tiệm cận đứng.

Mặt khác:

nên hàm số có 1 tiệm cận ngang.

Chọn: C.
Phân tích sai lầm:
Do thói quen tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức hữu tỷ là giải mẫu số bằng
không và không thử lại nên mắc sai lầm.
Lời giải đúng:
Ta có:
Thử lại:

Mặt khác:

.
thì chỉ

thỏa mãn là tiệm cận.

nên hàm số có 1 tiệm cận ngang.

Chọn: B.
VD3. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

khơng có tiệm cận

đứng?
13

skkn


A.

B.

C. m=1

D.

Lời giải sai:
+ TH1: PT

vơ nghiệm

.

+ TH2: PT

có nghiệm kép

Chọn: A.
Phân tích sai lầm:
Do nắm khơng chắc kiến thức nên khơng thử lại từ đó mắc sai lầm.
Lời giải đúng:
+ TH1: PT

vơ nghiệm

+ TH2: PT

có nghiệm kép

Thử lại: khi

.

nên đồ thị vẫn có tiệm cận.

Chọn: D.
VD4. Với giá trị nào của
A.

B.

thì đồ thị hàm số
C.

đi qua điểm E(2;1)?
D.

Lời giải sai:
+Ta có:
+ Tiệm cận đứng đi qua

Suy ra tiệm cận đứng
nên

.

. Chọn: B.

Phân tích sai lầm:
Do khơng thử lại
+ Thử lại:

thỏa mãn.

14

skkn

+ Thử lại:

khơng thỏa mãn.

Lời giải đúng:
+Ta có:

Suy ra tiệm cận đứng

+ Tiệm cận đứng đi qua

nên

.

.

+ Thử lại:

thỏa mãn.

+ Thử lại:

không thỏa mãn.

Chọn: A.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục.

Khi sáng kiến kinh nghiệm được hồn thành tơi đã đưa vào áp dụng bằng cách
triển khai tới học sinh thông qua các tiết học bồi dưỡng và phát cho học sinh tự
nghiên cứu nội dung các giải pháp thực hiện của sáng kiến ngay tại các lớp được
tôi chọn khảo sát thực trạng trước đó.
Đối với hai lớp tơi đã khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến thì sau khi áp dụng
sáng kiến kết quả khảo sát là đã có sự khác biệt rất nhiều. Khơng cịn hiện tượng
mắc sai lầm cơ bản. Hầu hết các em đã làm tốt phần bài tập này và gần như các
em đã lấy trọn số điểm đúng với năng lực của các em. Kết quả cụ thể như sau:
Lớp
12A
3
12A
7

Sĩ
số
45

Điểm từ 8.010.0
SL
TL%
18
40.0%

Điểm từ 6.58.0
SL TL%
21
46.7%

Điểm từ 5.06.5

SL TL%
6
13.3%

Điểm
dưới
5.0
SL TL%
0
0%

42

8

20

12

2

19.0%

47.6%

28.6%

4.8%

Như vậy: Loại giỏi tăng từ 15.7% lên 59.0%.

Loại dưới trung bình giảm từ 34.5% xuống 4.8%.
15

skkn


Đây là một kết quả khá tốt và có tác động tích cực đối với hoạt động giáo dục.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với bản thân.
Trước hết sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu để tôi trực tiếp dạy bồi
dưỡng cho học sinh các khóa tiếp theo. Nó cũng giúp tơi có ý thức hơn trong
việc dạy học tránh sai lầm cho học sinh khi giảng dạy phần kiến thức này.
Với bản thân, khi hoàn thành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này và đưa vào
áp dụng có hiệu quả tốt tơi rất vui. Nó đã tạo một động lực rất lớn và kích thích
sự ham mê nghiên cứu khoa học trong tơi.
2.4.3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với đồng nghiệp và nhà
trường.
Với đồng nghiệp sáng kiến kinh nghiệm là một tài liệu tham khảo khi giảng dạy.
Với nhà trường, sáng kiến kinh nghiệm nếu được triển khai sẽ góp phần nâng
cao hiệu quả giáo dục, chất lượng học tập của học sinh.
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1. Kết luận.
+ Qua thực nghiệm và khảo sát thực tế sáng kiến kinh nghiệm đã được hoàn
thành với kết quả tương đối tốt. Sáng kiến kinh nghiệm đã giải quyết được một
vấn đề khó khăn đã nêu khi khảo sát thực trạng.
+ Qua kết quả nhận được của sáng kiến kinh nghiệm cho thấy công tác nghiên
cứu và đúc rút sáng kiến kinh nghiệm trong lao động sản xuất là rất cần thiết. Nó
là động lực thúc đẩy năng xuất chất lượng lao động, góp phần giải quyết những
khó khăn gặp phải trong thực tế.
3.2. Kiến nghị.
+ Từ những kết quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm tôi kiến nghị với nhà

trường, đồng nghiệp có thể đưa sáng kiến kinh nghiệm này vào danh mục tài
liệu tham khảo phục vụ công tác giảng dạy.
+ Với Sở giáo dục tôi kiến nghị nếu sáng kiến kinh nghiệm của tôi được chọn
gứi đi Hội đồng chấm của Sở thì sau khi chấm có phản hồi góp ý cho bản thân
tơi để tơi rút kinh nghiệm hồn thiện cơng tác nghiên cứu viết sáng kiến kinh
nghiệm về sau.

16

skkn


+ Tuy đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế năng lực, thời gian nên nội dung
sáng kiến kinh nghiệm của tơi chắc chắn vẫn cịn thiếu xót. Rất mong được sự
đóng góp bổ sung ý kiến của bạn đọc để sáng kiến kinh nghiệm của tơi ngày
càng hồn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Hồng Đình Đức

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH NÂNG CAO 12- NHÀ XB GIÁO DỤC.
17

skkn


2. ĐỀ THI THPTQG, THI THỬ THPTQG CÁC TRƯỜNG CÁC NĂM HỌC:
2015-2016; 2016-2017; 2017-2018.

18

skkn