ôn thi cao học môn xác suất thống kê

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


1

ƠN THI CAO HỌC
MƠN TỐN KINH TẾ
(GV: Trần Ngọc Hội - 2009)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN

§1. ƠN VỀ TỔ HỢP
1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm khơng có thứ tự
gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z}; {y,z}.
1.2. Cơng thức tính tổ hợp: Gọi
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có
cơng thức:
()
!
!!
=
−
k
n
n

C
knk

Ví dụ:
6
20
20!
38760.
6!14!
==C

Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính
6
20
C bằng cách bấm
20 nCr 6 =

1.3. Bài tóan lựa chọn:
Một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong đó có N
A
sản phẩm loại A và N − N
A
sản
phẩm

lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số ngun k thỏa 0
≤ k ≤ N
A
, 0 ≤ n − k ≤ N− N
A

. Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A.

Lời giải
Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước:
Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N
A
sản phẩm loại A. Số cách chọn là
A
k
N
C .
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


2
Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − N
A
sản phẩm loại B. Số cách chọn là
−
−
A
nk
NN
C .

Theo ngun lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm
loại A là:
.
−

−
A
A
kn
k
NN
N
CC
.
§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
2.1. Phép thử và biến cố
1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác
định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là
một biến cố.
Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến
cố có thể
xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực
hiện phép thử.

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
khơng q 6” là biến cố tất yếu.

3) Biến cố bất khả, kí hi
ệu Φ, là biến cố khơng bao giờ xảy ra khi thực hiện
phép thử.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố bất khả.

4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể khơng xảy ra khi thực
hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A
1
, A
2
, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu
nhiên.

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên.

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A
j
(j = 1,2,…,6)
là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A ∪ B) là biến cố
định bởi:

A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Minh họa:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


3

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
+ A
2
+…+ A
n
xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm khơng q 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có:
A = A
1
+ A
2

B = A

2
+ A
4
+ A
6

6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:

AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời
xảy ra trong cùng một phép thử.
Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
A
2
…A
n
xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A
1

, A
2
,…, A
n
đồng thời xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5.
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5.

Ta có: AB = A
6
và ABC = Φ.

7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và khơng thể phân tích dưới dạng
tổng của hai biến cố khác.

Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các ngun tử nhỏ nhất khơng thể phân chia
đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi
nhữ
ng biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


4
thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi khơng có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến
cố bất khả.

Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là A

j
(j =
1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó:
A = A
1
+ A
3
+ A
5
.
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A
1
, A
3
, A
5
.

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B khơng bao
giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.
Minh họa:


Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số khơng q 2.

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì khơng (AC = A
2

).

9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu
A
, là biến cố định bởi
A
xảy ra ⇔ A khơng xảy ra
Minh họa:


Như vậy, A và
A
xung khắc, hơn nữa A +
A
= Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và
chỉ một trong hai biến cố A hoặc
A
xảy ra khi thực hiện phép thử.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


5

Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A.

10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực
hiện phép thử.
Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp A
j
(j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng.

2.2. Định nghĩa xác suất.
Giả sử khi tiến hành một phép thử , có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng
có thể xảy ra, trong đó có m
A
biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số
n
m
A
được
gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A).
Như vậy,


S
P(A) =
ố biến cố sơ cấp thuận lợi cho A
Tổng số biến cố sơ cấp co ùthe å xảy ra


2.3. Cơng thức tính xác suất lựa chọn.
Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dó có N
A
sản phẩm loại A, còn lại

là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0 < n < N). Khi đó, với mỗi 0 ≤ k
≤ N
A
thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − N
A
, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản
phẩm loại A là

AA
knk
NNN
n
n
N
(k)
CC
p
C
−
−
=

§3. CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT
3.1. Cơng thức cộng xác suất
1) Cơng thức cộng xác suất thứ nhất.

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có

P(A+B) = P(A) + P(B)
Mở rộng

: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có:

P(A
1
+ A
2
+ …+ A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) +…+ P(A
n
)

2) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có

P(A) 1 P(A)=−
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


6

3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:

P(A B) P(A) P(B) P(AB)+= + −

Ví dụ 1: Một lơ hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra
có:
a) Số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu.
b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu.

Lời giải

Gọi A
j
(j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4 − j) sản phẩm xấu có trong
4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A
0
, A
1
,…,A
4
xung khắc từng đơi và theo Cơng thức tính
xác suất lựa chọn với N = 15, N
A
= 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có
C
CC
jj

j
AP
4
15
4
510
)(
−
=
Từ đó ta tính được:
.
1365
210
)(;
1365
600
)(
1365
450
)(;
1365
100
)(;
1365
5
)(
43
210
==
===

APAP
APAPAP

a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có:
A = A
4
+ A
3
+ A
2
.


Từ đây do tính xung khắc từng đơi của A
2
, A
3
, A
4
, cơng thức cộng thứ nhất cho ta:


432
210 600 450
P(A) P(A ) P(A ) P(A ) 0,9231
1365 1365 1365
=++=++=


b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó,

biến cố đối lập
B
là biến cố khơng có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên
B
= A
4
. Suy ra xác suất của B là

8462,0
1365
210
1)(1)(1)(
4
=−=−=−= APBPBP
.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


7
Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Tốn, 70 sinh
viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai mơn Tốn và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai
mơn Tốn hoặc Anh văn.

Lời giải
Gọi
- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi moan Tốn.
- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi mơn Anh văn.

Khi đó
- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏ
i cả hai mơn Tốn và Anh văn.
- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Anh
văn.
Do đó
.9,0
100
40
100
70
100
60
)()()()( =−+=−+=+ ABPBPAPBAP

§4. CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
4.1. Xác suất có điều kiện
1) Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra,
kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B
đã xảy ra rồi.

Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau:
- A là biến cố
xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4.
- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4.
Khi đó
- P(A/B) = 0
- P(A/C) = 2/4 = 0,5

- P(A/D) = 2/3
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biế
n cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó

P(A/B) < P(A);
P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A).

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng
nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thơng thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để
biến cố A xảy ra là 0,5 khơng phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy
ra. Ta nói biến cố A độc lậ
p với biến cố C theo định nghĩa sau:

2) Tính độc lập. Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B
khơng ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


8
4.2. Cơng thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có


P(AB) = P(A) P(B)

Mở rộng
: Với A
1
, A

2
, …, A
n
là n biến cố độc lập từng đơi, nghĩa là với mọi 1 ≤
i ≠ j ≤ n , A
i
và A
j
độc lập, ta có:

P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
)… P(A
n
).

4.3. Cơng thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có


P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng
: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố bất kỳ, ta có:

P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1
)… P(A
n
/A
1
A
2
…A
n−1

).

Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).

Ví dụ: Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 15 sản phẩm, trong đó lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, 5
sản phẩm xấu; lơ II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi
lơ 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu.
b) Giả sử đã chọn đượ
c 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất đã chọn
được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I.

Lời giải

Gọi A
i
, B
i
(i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 − i) sản
phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lơ I, lơ II.
Khi đó
- A
0
, A
1
, A
2
xung khắc từng đơi và ta có:

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


9
.
105
45
)(
;
105
50
)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1
5
1
10

1
2
15
2
5
0
10
0
==
==
==
C
CC
C
CC
C
CC
AP
AP
AP

- B
0
, B
1
, B
2
xung khắc từng đơi và ta có:

.

105
28
)(
;
105
56
)(
;
105
21
)(
2
15
0
7
2
8
2
2
15
1
7
1
8
1
2
15
2
7
0

8
0
==
==
==
C
CC
C
CC
C
CC
BP
BP
BP

- A
i
và B
j


độc lập.

a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta có:

A = A
0
B
2
+ A

1
B
1
+ A
2
B
0
.

Do tính xung khắc từng đơi, cơng thức cộng xác suất cho ta:

P(A) = P(A
0
B
2
) + P(A
1
B
1
) + P(A
2
B
0
).

Từ đây, do tính độc lập, cơng thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:

02 11 20
P(A) P(A )P(B ) P(A )P(B ) P(A )P(B )
10 28 50 56 45 21

0,3651.
105 105 105 105 105 105
=++
=++=


b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Khi đó biến cố A đã xảy
ra. Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I trong trường
hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A
1
/A).

Theo Cơng thức nhân xác suất thứ hai, ta có

/A)P(A)P(A A)P(A
11
= .
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


10
Suy ra

P(A)
A)P(A
/A)P(A
1
1
= .
Mặt khác A

1
A = A
1
B
1

Vì hai biến cố A
1
và B
1
độc

lập nên theo Cơng thức nhân thứ nhất ta có:

.2540,0
105
56
.
105
50
)()()()(
11111
==== BPAPBAPAAP
Do đó xác suất cần tìm là:

0,6957.
0,3651
0,2540
P(A)
A)P(A

/A)P(A
1
1
===


§5. CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES
5.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi

Các biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi
nếu hai tính chất sau được thỏa:
- A
1
+ A
2
+… + A
n
= Ω;
- ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, A
i
A
j
= Φ,
nghĩa là các biến cố A

1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đơi và nhất thiết phải có một và chỉ
một biến cố A
j
nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.

Nhận xét. Với A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi ta có
P(A
1
) + P(A
2
) + … + P(A
n
) = 1.

Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng;
hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau:
- A
i
(i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I.

- B
j
(j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II.
Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi:
- A
0
, A
1
, A
2
.
- B
0
, B
1
, B
2
.
- A
0
B
0
, A
0
B
1
, A
0
B
2

, A
1
B
0
, A
1
B
1
, A
1
B
2
, A
2
B
0
, A
2
B
1
, A
2
B
2
.
- A
0
B
0
, A

0
B
1
+ A
1
B
0
, A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
, A
1
B
2
+ A
2
B
1
, A
2
B

2
.

5.2. Cơng thức xác suất đầy đủ
Cho A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi. Khi đó, với
A là một biến cố bất kỳ, ta có:

n
jj
j1
P(A) P(A )P(A/A )
=
=
∑

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


11
5.3. Cơng thức Bayes
Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n:

kk kk

k
n
jj
j1
P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A )
P(A /A)
P(A)
P(A )P(A/A )
=
==
∑


Ví dụ. Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 15 sản phẩm, trong đó lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, 5
sản phẩm xấu; lơ II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ I 2
sản phẩm bỏ sang lơ II, sau đó từ lơ II lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lơ II có 1 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu.
b) Giả sử
đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. Tính xác
suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I.

Lời giải
Gọi
- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II.
- A
j
(j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩmxấu có trong 2
sản phẩm được chọn ra từ lơ I.

Khi đó A
0
, A
1
, A
2
là hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi và ta có:

.
105
45
)(
;
105
50
)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1

5
1
10
1
2
15
2
5
0
10
0
==
==
==
C
CC
C
CC
C
CC
AP
AP
AP

a) u cầu của bài tốn là tính xác suất P(A).
Theo Cơng thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A
0
) P(A/A

0
) + P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
).

Ta có:
136
72
)/(
2
17
1
9
1
8
0
==
C
CC
AAP
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


12

136
70
)/(
136
72
)/(
2
17
1
7
1
10
2
2
17
1
8
1
9
1
==
==
C
CC
C
CC
AAP
AAP

Suy ra xác suất của biến cố A là

5231,0
.
136
70
.
105
45
136
72
.
105
50
136
72
.
105
10
)/()()/()()/()()(
221100
=
++=
+
+
=
AAPAPAAPAPAAPAPAP

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. Khi đó biến cố
A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A

1
/A). Ap dụng
Cơng thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có

0,4819.
0,5231
136
72
.
105
50
P(A)
))P(A/AP(A
/A)P(A
11
1
===

§6. CƠNG THỨC BERNOULLI
6.1. Cơng thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi
phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất pkhơng đổi, hoặc khơng xảy ra với xác
suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Cơng thức Bernoulli tính xác suất để
trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:

k
knk
n
n
P(k) pq

C
−
=


6.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có:
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A khơng xảy ra lần nào là q
n
.
2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A ln ln xảy ra là p
n
.

Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản
xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt.
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt.



Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


13

Lời giải

Gọi A
k

(k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có
trong 5 sản phẩm thu được. Ap dụng Cơng thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta
có
kk
k
knk
k
n
k
CC
qpAP
−−
==
5
5
)4,0()6,0()( .
a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:
.3456,0)4,0()6,0()(
23
3
5
3
==
C
AP
b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là
P(A
3
+ A
4

+ A
5
). Ta có:

.68256,0
)6.0()4,0()6,0(3456,0
)()()()(
54
4
5
543543
=
++=
++=++
C
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


14

B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

§1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo
kết quả của phép thử.
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên.
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên.
1.2. Phân loại
a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặ
c vơ hạn
đếm được các giá trị.
Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành cơng. Khi đó
X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n.
b) Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vơ hạn khơng đếm
được các giá trị mà thơng thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các
số thực.
Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ đo được t
ại một địa phương. Ta có T là một đại
lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối
a) Trường hợp rời rạc

Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x
0
,
x
1
,…,x
n

ta lập bảng:

X x
1
X
2
……………………… x
n

P p
1
p
2
…………………………. p
n


trong đó
- p
k
= P(X = x
k
) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n.
-
n
k
k1
p1
=
=

∑
, nghĩa là p
1
+ p
2
+…+ p
n
= 1 .

Ví dụ. Một lơ hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản
phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X.

Lời giải

Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ap dụng
Cơng thức tính xác suất lựa chọn ta được:

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


15
.
3
1
)2(
;
15
8

)1(
;
15
2
)0(
2
10
0
4
2
6
2
2
10
1
4
1
6
1
2
10
2
4
0
6
0
====
====
====
C

CC
C
CC
C
CC
XPp
XPp
XPp

Vậy luật phân phối của X là


X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3

b) Trường hợp liên tục
Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra
đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vơ hạn). Còn thay
cho xác suất p
0
, p
1
,…, p
n
ta đưa ra hàm mật độ f(x) thoả các tính chất sau:

- f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b].
-
∫
=

b
a
dxxf .1)(
-
∫
=≤≤
β
α
βα
.)()( dxxfXP
§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.
2.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x
0
của
X được xác định như sau:
- Nếu X rời rạc thì x
0
là giá trị mà xác suất P(X = x
0
) lớn nhất trong số
các xác suất P(X = x).
- Nếu X liên tục thì x
0
là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy
nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau.

Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có
X 0 1 2

P 2/15 8/15 1/3
Do đó Mod(X) = 1.
2.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)
1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được
xác định như sau:
- Nếu X rời rạc có luật phân phối
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


16

X x
1
x
2
……………………… x
n

P p
1
p
2
…………………………. p
n


thì
n
kk
k1

M(X) x p
=
=
∑

nghĩa là M(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+…+ x
n
p
n
.

- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì

b
a
M(X) xf(x)dx.=
∫


Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2

P 2/15 8/15 1/3
Do đó kỳ vọng của X là
M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2.

2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:

Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính
hằng số đó, nghĩa là:
M(C) = C (C: Const).
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

M(kX) = kM(X).

Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có

M(XY) = M(X)M(Y).

2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn.

1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực
khơng âm định bởi:
2
D(X) M[(X ) ]=−μ

trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X.
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu
)(
X

σ
.
Vậy
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


17
(X) D(X)σ=
.
2) Cơng thức tính phương sai:
Từ định nghĩa của phương sai ta có cơng thức khác để tính phương sai
như sau:
D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2

trong đó M(X
2
), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X
2
và X.
Như vậy,
- Nếu X rời rạc có luật phân phối

X x
1
X
2

……………………… x
n

P p
1
p
2
…………………………. p
n


thì cơng thức trên trở thành
nn
2
2
kkk
k
k1 k1
D(X) p ( x p )
x
==
=−
∑∑


- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì

bb
22
aa

D(X) x f(x)dx ( xf(x)dx)=−
∫∫


Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 . Suy ra phương sai của X là:

D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2
= 0
2
.2/15 + 1
2
.8/15 + 2
2
.1/3 − (1,2)
2
= 32/75
≈ 0,4267.
Độ lệch chuẩn của X là:
.6532,04267,0)()( ≈== XDX
σ


3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:

Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,
nghĩa là:
D(C) = 0.

Tính chất 2: Với k là hằng số ta có

D(kX) = k
2
(D(X).

Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


18

2.4 Sử dụng máy tính để tính các đặc số. Ta có thể sử dụng phần mềm
thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, ) để tính
kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ. Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3

a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS

1) Vào MODE SD: Bấm
MODE (vài lần ) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ

hiện lên chữ SD.
2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear)
AC = . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn
∇
hoặc
Δ
thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa.
3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm
SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;)
b/c +
b/c +
b/c +
0 SHIFT , 2 a 1 5 M
1 SHIFT , 8 a 1 5 M
2 SHIFT , 1 a 3 M

4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn
∇
để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số
liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm
=
thì số liệu
mới sẽ thay cho số liệu cũ.
Ví dụ. Nhập sai
b/c +
0 SHIFT , 2 a 2 5 M . Khi kiểm tra ta thấy trên
màn hình hiện ra:
- x
1
= 0 (đúng).

- Freq1 = 2/25 (sai)
Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm
b/c
2 a 1 5 = thì
nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15.
Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm
+
SHIFT M
thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn,
nhập dư
b/c +
3 SHIFT , 3 a 4 M . Khi kiểm tra ta thấy x
4
= 3 (dư). Ta để màn
hình ở số liệu đó và bấm
+
SHIFT M thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3
và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa.
Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm
A
C
để xóa màn
hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa.




Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

19
5) Đọc kết quả:

Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú
Kỳ vọng M(X)
SHIFT 2 1 =
X1.2= M(X)
X
=
Độ lệch chuẩn (X)σ
SHIFT 2 2 =
n
x 0, 6532.σ=
n
(X) x
σ
=σ
• Phương sai D(X) = [σ(X)]
2
= (0,6532)
2
= 0,4267

b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES

1) Khai báo cột tần số: Bấm
SHIFT SETUP 4 1∇
(Bấm
∇ bằng cách bấm nút tròn xuống)

2) Vào Mode Thống kê: Bấm
MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 )
(Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT)
3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau:

4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số
liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm
=
thì số liệu mới
sẽ thay cho số liệu cũ.
Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đó và bấm
DEL thì tòan bộ
số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa.
Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm
A
C để xóa màn
hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Trong q trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng
số liệu thì bấm
SHIFT 1 2
5) Đọc kết quả:

Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú
Kỳ vọng M(X)
SHIFT 1 5 2 =
X1.2= M(X)
X
=
Độ lệch chuẩn (X)σ
SHIFT 1 5 3 =
n

x 0, 6532σ=
n
(X) x
σ
=σ
• Phương sai D(X) = [σ(X)]
2
= (0,6532)
2
= 0,4267
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


20


§3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
3.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội, kí
hiệu X ∼ H(N, N
A
, n), trong đó N, N
A
, n là các số ngun dương , 0 < n, N
A
< N, nếu
X rời rạc nhận các giá trị k ngun từ max{0; n + N
A
− N} đến min{n; N
A
} theo Cơng

thức tính xác suất lựa chọn:

AA
knk
NNN
n
N
P(X k)
CC
C
−
−
==

3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội
Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, N
A
, n). Khi đó X có các đặc số
như sau:
a) Kỳ vọng:
M(X) np v==
A
N
ới p
N

b) Phương sai.
Nn
D(X) npq v q 1 p
N1

−
==−
−
ới

Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi.
Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ
vọng, phương sai của X.

Lời giải

Ta thấy X có phân phối siêu bội
X ∼ H(N, N
A
, n) với N = 12; N
A
= 8, n = 4.
Do đó X nhận các giá trị k ngun từ max {0; 4 + 8 − 12} = 0 đến min{4; 8} = 4 với
các xác suất định bởi:
C
CC
kk
kXP
4
12
4
48
)(
−
==

Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495;
P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495.
Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4
P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495
Kỳ vọng của X là
M(X) np 4. 2,667.== =
8
12

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


21
Phương sai của X là
D(X) npq 4. (1 ) 0,6465.
−−
==−=
−−
Nn 8 8124
N 1 12 12 12 1


§4. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
4.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức, kí
hiệu X∼ B(n,p), trong đó n số ngun dương , 0 < p < 1, nếu X rời rạc nhận n + 1 giá

trị ngun 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Cơng thức Bernoulli:

k
knk
n
P(X k) p q
C
−
==


Trường hợp n = 1, ta còn nói X có phân phối Bernoulli, kí hiệu X ∼ B(p).
4.2. Các đặc số của phân phối nhị thức
Giả sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số ngun thỏa

np – q knp – q 1≤≤ +

b) Kỳ vọng:
M(X) np=

c) Phương sai:
D(X) npq=

Ví dụ. Một lơ hàng chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%.
Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 5 sản
phẩm chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.
Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu?
Lời giải

Ta thấy X có phân phối nhị thức X
∼ B(n,p) với n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhận 6
giá trị ngun 0,1,…, 5 với các xác suất được tính theo theo Cơng thức Bernoulli:
.)4,0()6,0()(
5
5
kk
k
knk
k
n
CC
qpkXP
−−
===
Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304;
P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776.
Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4 5
P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776


- Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3.

- Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2.

- Giá trị tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là số
ngun thỏa

np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


22
⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6
⇔ k = 3.
Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3.

4.3. Định lý. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N,
N
A
, n). Giả sử rằng n rất nhỏ so với N. Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu
nhiên Y có phân phối nhị thức X ≈ Y, trong đó Y ∼ B(n,p) với
A
N
p
N
=
, nghĩa là

k
knk
n
P(X k) pq
C
−
==
(k = 0, 1, …)

Ví dụ: Một lơ hàng chứa 10000 sản phẩm, trong đó có 8000 sản phẩm tốt và 2000 sản
phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 10 sản phẩm. Tính xác suất chọn được 7 sản
phẩm tốt.

Lời giải

Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 10 sản phẩm chọn ra. Khi đó X có phân phối
siêu bội X ∼ H(N, N
A
, n) với N = 10000; N
A
= 8000; n =10. Vì n = 10 rất nhỏ so với N
= 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p =
N
A
/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn được 7 sản phẩm tốt là:

7
73
10
P (X 7) (0, 8) (0, 2) 0, 2013.
C
== ≈


§5. PHÂN PHỐI POISSON
5.1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson, kí
hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vơ hạn đếm được các giá trị
ngun k = 0,1,…, với các xác suất định bởi:

ak
ea
P(X k)
k!
−
==

5.2. Các đặc số của phân phối Poisson
Giả sử X có phân phối Poisson X ∼ P(a). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Kỳ vọng:
M(X) a=

b) Phương sai
D(X) a=


5.3. Tính chất. Giả sử X
1
, X
2
độc lập, có phân phối Poisson X
1
∼ P(a
1
),
X
2
∼ P(a
2
). Khi đó X

1
+ X
2
cũng có phân phối Poisson X
1
+ X
2
∼ P(a
1
+ a
2
).

5.4. Định lý Poisson. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thơng thường p < 0,1). Khi đó có thể
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


23
xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y ∼ P(a)
với a = np, nghĩa là:

ak
ea
P(X k)
k!
−
=≈
(k = 0, 1, …)

Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động có 1
ống sợi bị đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có khơng q 2 ống sợi bị đứt.

Lời giải

Gọi X là tổng số ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có phân
phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 1000, p = 0,002. Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,002
khá bé nên ta có thể xem X có phân phối Poisson:

X
∼ P(a) với a = np = 1000.0,002 = 2.

Xác suất để có khơng q 2 ống sợi bị đứt trong một giờ hoạt động của máy là:
20 21 22
P (0 X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2)
e2 e2 e2
0, 6767.
0! 1! 2!
−−−
≤≤==+=+=
≈++ ≈


§6. PHÂN PHỐI CHUẨN
6.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn, kí
hiệu X ∼ N(μ, σ
2
), trong đó μ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X liên tục và có hàm mật
độ xác định trên R định bởi:

2
2
(x )
2
,
1
f(x) e
2
−μ
−
σ
μσ
=
σπ


6.2. Các đặc số của phân phối chuẩn
Giả sử X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
). Khi đó X có các đặc số như sau:
a) Mode:
Mod(X) =μ

a) Kỳ vọng:
M(X) =μ

b) Phương sai:
2
D(X) =σ

6.3. Hàm Gauss. Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1):
2
x
2
1
f(x) e
2
−
=
π

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


24
Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghĩa là f(−x) = f(x)), liên tục trên R.
Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trị f(x) trên đoạn
[0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ:
∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.
Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Gauss ta có
f(1,14) ≈ 0,2083;
f(− 2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396.
f(− 6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

6.4. Hàm Laplace. Hàm laplace ϕ(x) là hàm số xác định trên R định bởi:
2
x

t
2
0
1
(x) e dt
2
−
φ=
π
∫

Hàm Laplace y = ϕ(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ϕ(−x) = −ϕ(x)), liên tục trên R. Người
ta đã lập bảng giá trị của hàm Laplace, trong đó ghi các giá trị ϕ(x) trên đoạn [0; 5].
Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xấp xỉ:

∀x > 5, ϕ(x) ≈ ϕ(5) ≈ 0,5.

Ví dụ. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có:
ϕ (1,14) ≈ 0,3729;
ϕ (− 2,15) = − ϕ(2,15) ≈ − 0,4842.
ϕ (− 6,12) = − ϕ(6,12)
≈ − ϕ(5) ≈ − 0,5.


6.5. Cơng thức tính xác suất của phân phối chuẩn
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
). Khi đó,
xác suất để X lấy các giá trị thuộc [a;b] là

ba
P(a X b) ( ) ( )
−μ −μ
≤≤=ϕ −ϕ
σσ
(1)
trong đó ϕ(x) là hàm Laplace.

Ví dụ. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg
2
. Một sản phẩm được xếp vào
loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại sản
phẩm trên.

Lời giải

Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra X có phân
phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
) với μ = 50, σ
2
= 100 (σ = 10). Vì một sản phẩm được xếp
vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác
suất P(45 ≤ X ≤ 55).
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


25

Ap dụng cơng thức trên ta có

55 50 45 50
P(45 X 55) ( ) ( ) (0, 5) ( 0,5)
10 10
2 (0, 5) 2.0,1915 0, 383.
ϕϕϕϕ
ϕ
−−
≤≤ = − = −−
== =

(Tra bang giá trị hàm Laplace ta được ϕ(0,5) = 0,1915). Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A là
38,3%.

6.6. Định lý Moivre-Laplace. Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
nhị thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khơng q gần 0 cũng khơng q
gần 1 (thơng thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên
Y có phân phối chuẩn: X ≈ Y, trong đó Y ∼ N(μ, σ
2
) với μ = np, npq=
σ
(q =
1− p) nghĩa là:
a)
1k
P(X k) f( )
−
μ
=≈

σσ
(k = 0,1,2,…)
b)
21
12
kk
P(k X k) ( ) ( )
−μ −μ
≤≤ ≈φ −φ
σσ
( k
1
< k
2
)
trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace.

Ví dụ. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm
10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách hàng chọn cách
kiểm tra như sau: Từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2
sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện
đó. Kiểm tra 140 kiện trong rất
nhiều kiện. Tính xác suất để có:
a) 93 kiện được nhận.
b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận.

Lời giải

Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận khi khách hàng kiểm tra kiện
đó. Theo giả thiết mỗi kiện chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu,

khách hàng chọn ngẫ
u nhiên ra 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì chọn
kiện.Do đó theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn ta có xác suất để một kiện được
nhận là:

.
3
2
)3()2()32(
3
10
0
4
3
6
3
10
1
4
2
6
333
=+=+=≤≤=
C
CC
C
CC
PPkPp
Gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X có phân
phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và p = 2/3 khơng

q gần 0 cũng khơng q gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối chuẩn như sau:
X ∼ N(μ, σ
2
)
với μ = np = 140.2/3 = 93,3333,
.5777,53/1.3/2.140 === npq
σ

a) Xác suất để có 93 kiện được nhận là:
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


26
1 93 1 93 93, 33
P(X 93) f( ) f( )
5,5777 5,5777
110,3982
f ( 0,06) f (0, 06) 0,0714.
5,5777 5,5777 5, 5777
−
μ−
== =
σσ
=−= ==

(Tra bảng giá trị hàm Gauss ta được f(0,06) = 0,3982).

b) Xác suất để có từ 90 đến 110 kiện được nhận là:

110 90

P (90 X 110) ( ) ( )
110 93, 3333 90 93,3333
()()
5,5777 5,5777
(2,99) ( 0,6) (2,99) (0,6)
0,498625 0, 2257 0,724325.
−
μ−μ
≤≤ =ϕ −ϕ
σσ
−−
=ϕ −ϕ
=ϕ −ϕ− =ϕ +ϕ
=+=

(Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ (2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257).


TĨM TẮT PHẦN II

1) Cơng thức tính xác suất lựa chọn (đi với phân phối siêu bội)

C
CC
p
n
N
kn
NN
k

N
n
AA
k
−
−
=)(
Điều kiện áp dụng: Có tổng số N phần tử, trong đó có N
A
loại A và N − N
A
loại B.
Dùng tính xác suất để trong n phần tử chọn ra có đúng k phần tử loại A.

2) Cơng thức Bernoulli (đi với phân phối nhị thức)

.)(
knk
k
n
n
qpkP
C
−
=

Điều kiện áp dụng: Có n phép thử độc lập, được lặp đi lặp lại trong những điều kiện
như nhau; ở mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất p khơng đổi và khơng xảy ra
với xác suất q = 1 − p. Dùng tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng
k lần.

3) Cơng thức Cộng và Nhân xác suất:

• Cơng thức Cộng xác su
ất:
- Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có:
P(A
1
+ A
2
+ …+ A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) +…+ P(A
n
).
- Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
• Cơng thức Nhân xác suất:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

27
- Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố độc lập từng đơi, ta có:
P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
)… P(A
n
).
- Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố bất kỳ, ta có:

P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1
)… P(A
n
/ A
1
A
2
…A
n-1
).

Ta thường sử dụng các cơng thức trên khi có thể phân tích biến cố đã cho dưới dạng
tổng của nhiều biến cố xung khắc từng đơi, mỗi biến cố là tích của một số biến cố.

4) Cơng thức Xác suất đầy đủ và Cơng thức Bayes:

Với A
1
, A

2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi, ta có:

- Cơng thức xác suất đầy đủ:


n
jj
j1
P(A) P(A )P(A/A ).
=
=
∑

- Cơng thức Bayes: Với 1 ≤ k ≤ n,

∑
=
==
n
1j
jj
kkkk
k
))P(A/AP(A
))P(A/AP(A
P(A)
))P(A/AP(A

/A)P(A
Ta thường sử dụng các cơng thức trên khi có thể tính xác suất của biến cố A đã cho
nếu cho biết thêm một số điều kiện. Dựa vào các điều kiện đó để xây dựng một hệ đầy
đủ và xung khắc từng đơi.

5) Xác suất có điều kiện:
Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xả
y ra, kí hiệu P(A/B), là xác
suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Để tính
xác suất có điều kiện P(A/B) thường có 2 cách:
Cách 1: Dùng cơng thức Nhân xác suất P(AB) = P(B)P(A/B), suy ra
P(AB)
P(A/B) .
P(B)
=

Trong trường hợp này, ta cần tính P(AB) và P(B) để tìm được P(A/B).
Cách 2: Dùng cơng thức Bayes bằng cách xây dựng một hệ biến cố đầy đủ, xung
khắc từng đơi sao cho A= A
k
với k nào đó. Khi đó
kk
k
P(A )P(B/A )
P(A/B)=P(A /B) .
P(B)
=

Trong trường hợp này, ta cần tính P(B) bằng cách dùng cơng thức xác suất đầy đủ:
n

jj
j1
P(B) P(A )P(B/A ).
=
=
∑

6. Luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên.
7. Các đặc số của đại lượng ngẫu nhiên: Mode, Kỳ vọng, Phương sai.
8. Phân phối siêu bội: X ∼ H(N, N
A
, n) với xác suất định bởi:
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


28
C
CC
n
N
kn
NN
k
N
AA
kXP
−
−
== )(
Khi đó:

- Kỳ vọng:
N
N
pới
A
== vnpXM )( .
- Phương sai:
pqv
N
nN
npqXD −=
−
−
= 1
1
)( ới .
9. Phân phối nhị thức: X ∼ B(n,p) với xác suất định bởi:
.)(
knk
k
n
qpkXP
C
−
==
Khi đó:
- Mode: Mod(X) = k, trong đó k là số ngun thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1.
- Kỳ vọng: M(X) = np.
- Phương sai: D(X) = npq.

10. Phân phối Poisson: X ∼ P(a) với xác suất định bởi:
.
!
)(
k
ae
kXP
ka−
==
Khi đó:
- Kỳ vọng: M(X) = a.
- Phương sai: D(X) = a.
11. Phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ
2
)
Khi đó:
a) Các đặc số:
- Mode: Mod(X) = μ.
- Kỳ vọng: M(X) = μ.
- Phương sai: D(X) = σ
2
.

b) Cơng thức tính xác suất:
).()()(
σ
μ
ϕ
σ
μ

ϕ
−
−
−
=≤≤
ab
bXaP
12. Xấp xỉ phân phối nhị thức X ∼ B(n,p)
Gỉa sử X có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) với n khá lớn.
Có 2 trường hợp:
a) Trường hợp 1: p khá nhỏ (thơng thường p < 0,1).
Khi đó có xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np, nghĩa là:
!
)(
k
ae
kXP
ka−
≈=
(k = 0, 1, …)
(Thay vì tính theo cơng thức Bernoulli
k
knk
n
P(X k) pq
C
−
== )
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

29
b) Trường hợp 2: p khơng q gần 0 cũng như gần 1 (thơng thường 0,1 ≤ p ≤
0,9)
Khi đó có xem X có phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ
2
) với μ = np, npq=
σ

(q = 1 − p), nghĩa là:
-
).(
1
)(
σ
μ
σ
−
≈=
k
fkXP
(k = 0,1,2,…)
-
)()()(
12
21
σ
μ
ϕ

σ
μ
ϕ
−
−
−
≈≤≤
kk
kXkP ( k
1
< k
2
)
trong đó f(x) là hàm Gauss;
ϕ(x) là hàm Laplace.

(Thay vì tính theo cơng thức Bernoulli
k
knk
n
P(X k) pq
C
−
== ).

Chú ý. Ta phải tìm xác suất p trong phân phối nhị thức X ∼ B(n,p). Sau đó, tùy
theo p nhỏ hay lớn, mà ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn.

BÀI TẬP

Bài 1. Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi khẩu bắn 1 viên.
Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác
suất để
a) có 1 khẩu bắn trúng.
b) có 2 khẩu bắn trúng.
c) có 3 khẩu bắn trúng.
d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
e) khẩu thứ hai bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng.

Bài 2. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I g
ồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng;
hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi.
a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ.
b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng.
c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng.
d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng có được của
hộp I.

Bài 3. Một lơ hàng chứa 10 sản ph
ẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Khách
hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì
dừng lại.
a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3.
b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4.
c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Tính xác suất để
ở lần kiểm tra
thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu.

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

30
Bài 4. Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ. Từ hộp ta rút ngẫu
nhiên khơng hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để
a) được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ.
b) khơng có bi trắng nào được rút ra.

Bài 5. Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và III
sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân xưởng
III chiếm 25%. Tỉ lệ sản phẩm loạ
i A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần lượt là
70%, 50% và 90%.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất.
b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường. Giả sử đã mua được sản phẩm
loại A. Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?
c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị
trường.
1) Tính xác suất để có 80 sản phẩm loại A.
2) Tính xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại A.

Bài 6. Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y. Tỉ lệ sản phẩm loại A
trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và 50%. Một khách hàng chọn
nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm
a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.
b) Giả sử
đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã
chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?

Bài 7. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 12 bi, trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bi trắng;
hộp II gồm 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi rồi bỏ sang hộp II; sau đó

lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi.
a) Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ
và một bi trắng từ hộp II.
b) Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để trong ba bi
lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng.

Bài 8. Có ba hộp mỗi hộp đựng 5 viên bi trong đó hộp thứ nhất có 1 bi trắng, 4 bi đen;
hộp thứ hai có 2 bi trắng, 3 bi đen; hộp thứ ba có 3 bi trắng, 2 bi đen.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộ
p một bi.
1) Tính xác suất để được cả 3 bi trắng.
2) Tính xác suất được 2 bi đen, 1 bi trắng.
3) Giả sử trong 3 viên lấy ra có đúng 1 bi trắng.Tính xác suất để bi trắng đó là của
hộp thứ nhất.
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất được
cả 3 bi đen.

Bài 9. Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộ
p chứa rất nhiều sản phẩm, trong đó có
10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và 4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ phế
phẩm của các xí nghiệp lần lượt là 2%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn
ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 phế phẩm.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đ
úng 2 phế phẩm. Tính xác suất để 2 phế phẩm
đó của xí nghiệp I.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội

31

Bài 10. Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc lọai giỏi, 4 khá và 3 trung bình.
Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời được tất cả, sinh viên khá
trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu. Gọi ngẫu nhiên một sinh viên
và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả lời được cả 4 câu hỏi. Tính xác suất
để sinh viên đó thuộc lọai khá.

Bài 11. Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen; hộp II chứa 8 bi
trắng và 6 bi đ
en. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi, sau đó bỏ tất cả các bi còn lại
của hai hộp vào hộp III (rỗng). Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III. Tính xác suất để trong
2 bi lấy hộp III có 1 trắng, 1 đen.

Bài 12. Có hai hộp cùng cỡ. Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi xanh, hộp thứ hai chứa
5 bi trắng và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi thì được 2
bi trắ
ng. Tính xác suất để viên bi tiếp theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng

Bài 13. Một lơ hàng gồm a sản phẩm loại I và b sản phẩm loại II được đóng gới để
gửi cho khách hàng. Nơi nhận kiểm tra lại thấy thất lạc 1 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên
ra 1 sản phẩm thì thấy đó là sản phẩm loại I. Tính xác suất để sản phẩm thất lạc cũng
thu
ộc loại I.

Bài 14. Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu, hộp II chứa 10
viên tốt và 4 viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt và 10 viên xấu. Ta gieo một con xúc
xắc cân đối. Nếu thấy xuất hiện mặt 1 chấm thì ta chọn hộp I; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc
3 chấm thì chọn hộp II, còn xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp III. Từ hộp được
chọn lấy ng

ẫu nhiên ra 4 viên phấn. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt.

Bài 15. Có hai kiện hàng I và II. Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản
phẩm loại A. Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A. Lấy từ
mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có
đúng 1 sản phẩm loại A.

Bài 16. Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu. Xác suất để 1 viên đạn bắn ra
trúng mục tiêu là 0,8 . Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị diệt.
Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80%. Nếu có 1 viên trúng
thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20%.
a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt.
b) Giả sử
mục tiêu đã bị diệt. Tính xác suất có 10 viên trúng.

Bài 17. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Một lơ hàng
gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại A là 60%. Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ
lơ hàng lấy ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm do máy sản xuất bằng số
sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được lấy ra từ lơ hàng.
b) Giả sử trong 5 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để 2 sản
phẩm loại A đó đều do máy sản xuất.

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


32
Bài 18. Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lơ I chứa 15 sản
phẩm, lơ II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lơ II lấy ra 3 sản phẩm bỏ vào lơ I, sau đó từ

lơ I lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I.
b) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I, trong đó sp tốt có trong lơ I từ trước.
c) Giả sử đã lấ
y được 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I. Tính xác suất đã lấy được 2sp tốt, 1sp
xấu từ lơ II.

Bài 19. Nước giải khát được chở từ Sài Gòn đi Vũng Tàu. Mỗi xe chở 1000 chai bia
Sài Gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây. Xác suất để 1 chai mỗi loại bị bể
trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3%. Nếu khơng q 1 chai bị bể thì lái
xe được thưởng.
a) Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bị bể.
b) Tính xác suất để lái xe được thưởng.
c) Lái xe phải chở ít mất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến được thưởng
khơng nhỏ hơn 0,9?

Bài 20. Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B và 2000 linh kiện C.
Xácsuất hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02%; 0,0125% và 0,005%. Máy tính
ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1. Các linh kiện hỏng độc lập với
nhau.
a) Tính xácsuất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng.
b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động.
c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng. Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt
động.

Bài 21. Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là một đại lượng ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg
2
. Những sản phẩm có
trọng lượng từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm

(trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để
a) có đúng 70 sản phẩm loại A.
b) có khơng q 60 sản phẩm loại A.
c) có ít nhất 65 sản phẩm loại A.

Bài 22. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 14 sản
phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Khách hàng chọn cách
kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A
nhiều hơn số sản phẩm thuộc loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó.
Kiểm tra 100 kiện (trong rất nhiều kiện). Tính xác suất để
a) có 42 ki
ện được nhận.
b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận.
c) có ít nhất 42 kiện được nhận.

Bài 23. Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản
phẩm Số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối như sau:
X6 8
P 0,9 0,1
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


33
Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu thấy cả 2
sản phẩm đều loại A thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 144
kiện (trong rất nhiều kiện).
a) Tính xác suất để có 53 kiện được nhận.
b) Tính xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận.
c) Phải kiểm tra ít nhấ

t bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện được nhận khơng
nhỏ hơn 95%?

Bài 24. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một
máy khác cũng sản xuất loại sản phẩm này với tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%.
Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 100 sản phẩm. Tính xác suất để
a) có 70 sản phẩ
m đạt tiêu chuẩn.
b) có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
c) có khơng ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.

Bài 25. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 1% và một máy khác cũng
sản xuất loại sản phẩm nầy với tỉ lệ phế phẩm là 2%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho
sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất để

a) có 14 phế phẩm.
b) có từ 14 đến 20 phế phẩm.

Bài 26. Một xí nghiệp có hai máy I và II. Trong ngày hội thi, mỗi cơng nhân dự thi
được phân một máy và với máy đó sẽ sản xuất 100 sản phẩm. Nếu số sản phẩm loại A
khơng ít hơn 70 thì cơng nhân đó sẽ được thưởng. Giả sử đối với cơng nhân X, xác
suất sản xuất được 1 sản phẩm loại A với các máy I và II lần lượt là 0.6 và 0,7.
a) Tính xác su
ất để cơng nhân X được thưởng.
b) Giả sử cơng nhân X dự thi 50 lần. Số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?

Bài 27. Trong ngày hội thi, mỗi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại súng và
với khẩu súng chọn được sẽ bắn 100viên đạn. Nếu có từ 65 viên trở lên trúng bia thì
được thưởng. Giả sử đối với chiến sĩ A, xác suất bắn 1 viên trúng bia bằng khẩu súng
loại I là 60% và bằng khẩ

u súng loại II là 50%.
a) Tính xác suất để chiến sĩ A được thưởng.
b) Giả sử chiến sĩ A dự thi 10 lần. Hỏi số lần được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?
c) Chiến sĩ A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một
lần được thưởng khơng nhỏ hơn 98%?

Bài 28. Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có độ dày từ
0,118cm đến
0,112cm. Có hai cửa hang cùng bán loại gioăng này với độ dày có phân phối chuẩn với
các đặc số trong bảng sau:

Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Giá bán
Cửa hàng A 0,12 0,001 3USD/hộp/1000 cái
Cửa hàng B 0,12 0,0015 2,6USD/hộp/1000 cái

Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào?

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


34
Bài 29. Tuổi thọ của một bóng đèn là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với tuổi thọ trung bình là 1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ.Nếu thời gian sử dụng
khơng q 1251 giờ thì bảo hành miễn phí.
a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành.
b) Phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành chỉ
còn 1%?

Bài 30. Tuổi thọ của một máy đ
iện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm, độ lệch chuẩn là 1,5 năm. Bán được 1 máy thì lời
100 ngàn đồng, nhưng nếu máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi
trung bình khi bán một máy là 30 ngàn đồng thì phải qui định thời gian bảo hành trong
bao lâu?

Bài 31. Thời gian cần thiết để một sinh viên đi từ ký túc xá đến trường là một đại
lượng ng
ẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 60 phút, độ lệch chuẩn là 15
phút.
a) Sinh viên xuất phát từ ký túc xá trước giờ học 72 phút. Tính xác suất sinh viên đó bị
trễ học.
b) Sinh viên phải xuất phát từ ký túc xá trước giờ học bao nhiêu phút để xác suất bị trễ
học chỉ còn 5%.

Bài 32. Một thành phố có 54% là nữ.
a) Chọn ngẫu nhiên 450 người. Tính xác suất để trong dó số nữ ít hơn số nam.
b) Phải chọn ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu người
để trong đó với xác suất 99% ta có số
nữ khơng ít hơn số nam?

Bài 33. Có hai lơ hàng I và II, mỗi lơ chứa rất nhiều sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại A
có trong hai lơ I và II lần lượt là 70% và 80%. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lơ 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lơ I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lơ
II.
b) Gọi X là số
sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. Tìm kỳ vọng và
phương sai của X.

Bài 34. Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng
và hộp II gồm 7 bi đỏ, 3 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai bi.

a) Tính xác suất để được hai bi đỏ và hai bi trắng.
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút ra. Tìm luật phân
phối của X.

Bài 35.
Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10%. Một lơ hàng gồm 10 sản
phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm và từ lơ hàng lấy ra 3 sản
phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 6 sản phẩm này.
a) Tìm luật phân phối của X.
b) Khơng dùng luật phân phối của X, hãy tính M(X), D(X).

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


35
Bài 36. Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 2 bi trắng
và hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ hộp I hai bi bỏ sang hộp II, sau
đó rút ngẫu nhiên từ hộp II ba bi.
a) Tính xác suất để được cả ba bi trắng.
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi trắng có trong ba bi được rút ra từ hộp II.
Tìm luật phân phối của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X.

Bài 37. Có ba lơ s
ản phẩm, mỗi lơ có 20 sản phẩm. Lơ thứ i có i + 4 sản phẩm loại A
(i = 1, 2, 3).
a) Chọn ngẫu nhiên một lơ rồi từ lơ đó lấy ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3
sản phẩm được lấy ra có đúng 1 sản phẩm loại A.
b) Từ mỗi lơ lấy ra 1 sản phẩm. Gọi X là tổng số sản phẩm loại A có trong 3 sản
phẩm được lấy ra. Tìm luật phân phối của X và tính Mod(X), M(X), D(X).

Bài 38. M
ột người có 5 chìa khóa bề ngồi rất giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở
được cửa. Người đó tìm cách mở cửa bằng cách thử từng chìa một cho đến khi mở
được cửa thì thơi (tất nhiên, chìa nào khơng mở được thì loại ra). Gọi X là số chìa khóa
người đó sử dụng. Tìm luật phân phối của X. Hỏi người đó thường phải thử bao nhiêu
chìa mới mở được cửa? Trung bình người đó phải thử bao nhiêu chìa mớ
i mở được cửa?

Bài 39. Một người thợ săn có 5 viên đạn. Người đó đi săn với ngun tắc: nếu bắn
trúng mục tiêu thì về ngay, khơng đi săn nữa. Biết xác suất trúng đích của mỗi viên
đạn bắn ra là 0,8. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng
trong cuộc săn.
a) Tìm luật phân phối của X.
b) Tìm kỳ vọng và phươ
ng sai của X.

Bài 40. Một người thợ săn có 4 viên đạn. Người đó đi săn với ngun tắc: nếu bắn 2
viên trúng mục tiêu thì về ngay, khơng đi săn nữa. Biết xác suất trúng đích của mỗi
viên đạn bắn ra là 0,8. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn người ấy sử dụng
trong cuộc săn.
a) Tìm luật phân phối của X.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

ĐÁP SỐ

1: a) 0,22 b) 0,28 c) 0,97 d) 0,851
2: a) 0,2667 b) 0,2133 c) 0,4933 d) 0,1352
3: a) 0,1667 b) 0,2857 c) 0,3333
4: a) 0,0455 b) 0,5556

5: a) 0,66 b) II, III c1) 0,076 c2) 0,3925
6: a) 0,65 b) II
7: a) 0,2076 b) 0,5030
8: a1) 0,048 a2) 0,464 a3) 0,1034 b) 0,1667
9: a) 0,33954% b) 0,1732
10: 0,3243 11: 0,5080 12: 0,2766
13: (a − 1)/(a + b − 1) 14: 0,9334. 15: 0,5687.
16: a) 0,8215 b) 0,1307
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


36
17: a) 0,3293 b) 0,0508
18: a) 0,5035 b) 0,4235. c) 0,4318
19: a) 0,8647 b) 0,0103 c) 223
20: a) 0,0952 b) 0,0615 c) 0,3297
21: a) 0,0681 b) 0,0721 c) 0,6554
22: a) 0,0779 b) 0,3597 c) 0,3859
23: a) 0,0684 b) 0,2650 c) 7
24: a) 0,000727 b) 0,50413 c) 0,5072
25: a) 0,0454 b) 0,3135
26: a) 0,2603 b) 13
27: a) 0,0776 b) 0 c) 49
28: Cửa hàng A.
29: a) 0,0485 b) 1152 giờ.
30: 3,195 năm.
31: a) 0,2119 b) 84,75 phút
32: a) 0,0446 b) 8,36.
33: a) 0,1932 b) M(X) = 3; D(X) = 0,74.
34: a) 1/3

b)
X 0 1 2 3 4
P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45
35: a)
X 0 1 2 3 4 5 6
P 1/120000 1/2500 291/40000 473/7500 10521/40000 576/1250 1701/8000
b) M(X) = 4,8; D(X) = 0,76.
36: a) 73/2475
b)
X 0 1 2 3
P 179/825 223/450 1277/4950 73/2475
M(X) = 1,1; D(X) = 0,5829.
37. a) 0,4728
b)
X 0 1 2 3
P 273/800 71/160 151/800 21/800
M(X) = 1; D(X) = 0,9.
38:
X 1 2 3 4
P 2/5 3/10 1/5 1/10

Mod(X) = 2; M(X) = 2.
39: a)
X 1 2 3 4 5
P 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,0016
b) M(X) = 1,2496; D(X) = 0,3089.
40: a)
X 2 3 4
P 0,64 0,256 0,104

b) M(X) = 2,464; D(X) = 0,456704.

*

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội


37

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com