Một số phương pháp giải bài toán liên quan đến cực trị của hàm số trong chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC
----------

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài: Một số phương pháp giải bài tốn
liên quan đến cực trị của hàm số trong
chương trình toán THPT.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thuý Loan. Lớp 18ST
Giáo viên hướng dẫn: Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ

--- Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 ---


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài: Một số phương pháp giải bài toán
liên quan đến cực trị của hàm số trong
chương trình tốn THPT.

Nguyễn Thuý Loan

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022

LỜI CẢM ƠN

Khố luận tốt nghiệp này được hồn thành tại Trường đại học Sư Phạm – Đại
học Đà Nẵng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Th.S Ngơ Thị Bích Thuỷ,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cơ giáo trong
Khoa Tốn, Trường đại học sư phạm Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo em trong suốt
thời gian học tập.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên,
tạo điều kiện cho em hồn thành khố luận tốt nghiệp này.
Sinh viên

Nguyễn Thuý Loan


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 1
5. Bố cục của khoá luận ..................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................ 3
1.1 Định nghĩa cực trị của hàm số. ...................................................................... 3
1.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị ................................................................ 3
1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị ................................................................. 3
1.4 Chú ý .............................................................................................................. 3
CHƯƠNG 2.......................................................................................................... 6
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT ........................... 6
2.1 Dạng 1. Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y  f  x  ........................... 6
2.2 Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên. .......................... 15
2.3 Dạng 3. Tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d * ......................................................................................... 20
2.4 Dạng 4. Bài tốn tham số có liên quan đến đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d * ....................................................... 29
2.5 Dạng 5. Bài tốn tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị hàm số
y  ax 4  bx 2  c .................................................................................................... 34
2.6 Dạng 6. Tìm tham số thảo mãn điều kiên cực trị của những hàm số khác…..
………………………………………………………………………………...42
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 53


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cực trị của hàm số là một khái niệm rất quen thuộc trong toán học. Tìm cực
trị của hàm số là một dạng tốn hay của chương trình giải tích lớp 12 và thường
gặp trong các kì thi THPT quốc gia. Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi
tìm hướng giải quyết dạng tốn này. Các cuốn sách tham khảo hiện có, chưa
cung cấp đầy đủ các phương pháp giải và hướng dẫn chi tiết cho mỗi dạng tốn
tìm cực trị.
Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức cho bản thân nói
riêng và các bạn sinh viên sắp ra trường nói chung về bài tốn cực trị của hàm
số trong chương trình giải tích lớp 12, tơi đã chọn đề tài nghiên cứu '' Một số
phương pháp giải bài toán liên quan đến cực trị của hàm số trong chương trình
tốn THPT " .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến cực trị của hàm số để rút ra phương

pháp giải cho bài toán liên quan đến cực trị của hàm số trong chương trình tốn
THPT.
3. Phạm vi nghiên cứu
Các bài toán cực trị nằm trong chương 1, giải tích lớp 12.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các tài liệu liên quan tới bài toán liên
quan đến cực trị và ứng dụng để phân loại và hệ thống hoá các kiến thức.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng
dẫn và các giáo viên dạy lớp 12 để hoàn thiện về mặt nội dung của khoá luận.
5. Bố cục của khoá luận

1


Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khố
luận gồm 2 chương.
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.

Định nghĩa cực trị của hàm số

1.2.

Điều kiện cần để hàm số có cực trị

1.3.

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1.4.

Chú ý

CHƯƠNG 2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN
THPT
2.1. Dạng 1. Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y  f  x 
2.2. Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
2.3. Dạng 3. Tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d *

2.4. Dạng 4. Bài tốn tham số có liên quan đến đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số y  ax3  bx 2  cx  d *
2.5. Dạng 5. Bài tốn tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị hàm số
y  ax 4  bx 2  c

2.6. Dạng 6. Tìm tham số thảo mãn điều kiên cực trị của những hàm số
khác.

2


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Định nghĩa cực trị của hàm số.
Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  ( có thể a là  ;
b là  ) và điểm x0   a; b  .

a) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và
x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại x0 .

b) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và
x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x0 .

1.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lý 1: Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f  x  có
đạo hàm tại x0 thì f '  x0   0 .
1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h  và
có đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0 .
a) Nếu f '  x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h 
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  .
b) Nếu f '  x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h 
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
1.4 Chú ý
a) Nếu hàm số f  x  đạt cực đại ( cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm
cực đại (cực tiểu) của hàm số; f  x0  được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
3


của hàm số, kí hiệu là fCĐ  fCT  ,còn điểm M  x0 ; f  x0   được gọi là điểm cực đại
(cực tiểu) của đồ thị hàm số .
b) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực
đại ( giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại ( cực tiểu) và được gọi chung là cực trị
của hàm số.

c) Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trên
khoảng  a; b  và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f '  x0   0 .
d) Hàm số có thể cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
Chẳng hạn, hàm số y  f  x   x xác định trên

. Vì f  0   0 và f  x   0 với

mọi x  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  0 .
Dễ thấy hàm số y  x khơng có đạo hàm tại điểm x  0
Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị một điểm mà tại đó đạo hàm của
hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.

4


e) Giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  của hàm số f  x  nói chung không phải
là GTLN (GTNN) của hàm số f  x  trên tập xác định D.

f) Một hàm số f  x  có thể đạt cực trị tại nhiều điểm trên tập xác định D và
các cực trị nói chung là khác nhau. Hàm số f  x  cũng có thể khơng có cực trị
trên một tập hợp cho trước.

5


CHƯƠNG 2.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN
THPT

2.1 Dạng 1. Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y  f  x 
2.1.1 Phương pháp chung
Quy tắc I

Quy tắc II

Bước 1: Tìm tập xác định ( Học sinh
thường bỏ quên bước này).
Bước 2: Tính y '  f '  x  . Tìm x khi

Bước 1: Tìm tập xác định ( Học sinh
thường bỏ quên bước này).
Bước 2: Tính y '  f '  x  . Giải phương

f '  x   0 hoặc f '  x  khơng xác định.

trình f '  x   0 để tìm các nghiệm

Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.
x1 , x2 ,... (nếu có) của nó.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.( Ở bước Bước 3: Tính f ''  x  và suy ra
này, học sinh thường chỉ biểu diễn
f ''  x1  , f ''  x2  ,...
điểm f '  x   0 mà quên không biểu
+ Nếu f ''  x1   0 thì x1 là điểm cực
diễn f '  x  không xác định ).
tiểu.
Kết luận các điểm cực trị.
+ Nếu f ''  x1   0 thì x1 là điểm cực đại.
Tương tự với f ''  x2  , f ''  x3  ,...
Dựa vào dấu của f ''  x1  , f ''  x2  ,... để
kết luận ( Hs thường nhầm lẫn dấu
f ''  x1   0 thì x1 là điểm cực đại, và
ngược lại).

Ghi nhớ: Quy tắc II không dùng được trong trường hợp f '  x   0 vô nghiệm
 f '  x0   0
 f ''  x0   0

hoặc 

2.1.2 Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x4  2 x2  1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải
6


Cách 1.
Bước 1: Tập xác định D  .
Bước 2: Đạo hàm: y '  4 x3  4 x  4 x  x 2  1
 x  0  y 1
y '  0   x  1  y  0
 x  1  y  0

lim  .
Bước 3: Giới hạn: x

Bước 4: Bảng biến thiên:

Ta thấy: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1, giá trị cực tiểu là yCT  0; hàm số
đạt cực đại tại điểm x  0 , giá trị cực đại là yCT  1. Do đó hàm số có ba
cực trị .
Nhận xét:
Như vậy, với việc sử dụng Quy tắc I ( mục phương pháp), lời giải bài
toán trên trở nên rất đơn giản. Cụ thể :

+ Ở bảng biến thiên, chúng ta cần kiểm tra y ' có đổi dấu hay khơng?
( nếu y ' đổi dấu thì tại điểm đó có cực trị , nếu y ' khơng đổi dấu thì hàm số
khơng có cực trị)
+ Đối với hàm bậc bốn vì đạo hàm là đa thức bậc ba nên hàm chỉ có
thể có một cực trị hoặc ba cực trị. Hàm số có một cực trị khi phương trình
y '  0 có một hoặc hai nghiệm ( 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép), hàm số có

7


ba cực trị khi phương trình y '  0 có ba nghiệm phân biệt. Vì vậy, ngay từ
bước tìm y '  0 ta có thể kết luận hàm số có ba cực trị.
Cách 2.
Bước 1 :Tập xác định D  .
Bước 2: Đạo hàm: y '  4 x3  4 x  4 x  x 2  1
 x0
y '  0   x  1
 x  1

Bước 3: Ta có: y ''  12x2  4 .
y ''  0   4  0  x  0 là điểm cực đại của hàm số.
y '' 1  8  0  x  1 là điểm cực tiểu của hàm số.
y ''  1  8  0  x  1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Do đó hàm số có ba cực trị trong có có hai điểm cực tiểu và một điểm cực
đại.
Nhận xét: Ta thấy khi vận dụng quy tắc II vào bài toán trên cũng là một
phương pháp hay và hợp lý. Ở bài toán này không vi phạm vào nội dụng
“ ghi nhớ” trong phần phương pháp.
Nhận xét chung:

Với dạng bài toán này, ta cịn hay gặp những câu hỏi như sau:
+ Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ( hàm bậc ba, hàm bậc
bốn,…).
+ Tìm giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số.
+ Toạ độ điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
+ Tổng số điểm cực đại ( cực tiểu) của các hàm số.
8


Với những câu hỏi trên ta cũng áp dụng quy tắc I hoặc quy tắc II để
giải, sau đó kết luận theo đúng việc đề bài cần tìm. Việc vận dụng những bài
tập trên sẽ đề cập trong phần bài tập tương tự.
1
x

Ví dụ 2. Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x  . Tính
khoảng cách AB .
Lời giải
Tập xác định: D  \{0} .
Đạo hàm: y '  1 

1 x2 1
 2 ; y '  0  x  1 .
x2
x

y  , lim y  , lim y  , lim y  
Giới hạn: xlim

x

x0

x0

Bảng biến thiên:

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số A  1; 2  ; B 1;2  .
 AB  2 5

Vậy khoảng cách AB  2 5 .
Nhận xét: Ở Ví dụ 2, chúng ta sử dụng Quy tắc I( mục phương pháp)
kết hợp với cơng thức tính khoảng cách hai điểm để giải bài toán.

9


+ Ở đây, ta thấy tại tại điểm x  0 hàm số khơng đổi dấu vì vậy
x  0 khơng phải cực trị. Vậy chỉ có hai điểm cực trị là x  1 và
x  1.

+ Ngoài ra, ta cần nhớ cơng thức tính khoảng cách hai điểm
B  xB ; yB  là : AB 

2
2
 xB  x A    y B  y A  .

Với dạng bài tốn này, ta cịn gặp những bài tốn tương tự như:
+ Tính tổng ( hiệu) của điểm cực trị ( giá trị cực trị).
+ Bài tốn tính diện tích liên quan đến cực trị.

+ Bài tốn tính khoảng cách liên quan đến cực trị.
Với những dạng tốn như trên , ngồi việc áp dụng các Quy tắc I hoặc
Quy tắc II, chúng ta còn phải nhớ các cơng thức liên quan đến diện tích,
khoảng cách.
Ví dụ 3. Hàm số y  x 2  4 x  3 có bao nhiêu cực trị ?
Lời giải
Tập xác định: D  .
Áp dụng công thức (| u |) 
'

u
2

'

u 


'





x 2  4 x  3 (2 x  4)
u.u '

, ta có: y 

;

x2  4 x  3
2 u2 | u |
2

 2
x  1 x  2  x  3
( x  4 x  3)(2 x  4)  0 
y'  0   2
 x  1
 x  2.
| x  4 x  3 | 0
x  3



Bảng biến thiên:

10


Ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  2 , đạt cực tiểu tại x  1, x  3 . Do đó
hàm số có ba cực trị.
Nhận xét: Ở Ví dụ 3, chúng ta sử dụng quy tắc I( mục phương pháp)
kết hợp sử dụng công thức y | f ( x) | .
Xây dụng công thức: Đồ thị hàm số y | f ( x) | được hình thành bởi hai
bước:
- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y  f ( x) nằm trên trục hoành Ox .
- Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y  f ( x) nằm dưới Ox qua Ox . Bỏ
phần đồ thị y  f ( x) nằm dưới trục Ox .


Từ các bước trên, ta thấy số cực trị ban đầu của hàm y  f ( x) được giữa
nguyên, bên cạnh đó là sự phát sinh của các cực trị tại giao điểm của đồ thị
y  f ( x) với trục hoành.

Kết luận: Số cực trị hàm số y | f ( x) | bằng số cực trị hàm số y  f ( x)
cộng với số giao điểm của hai đồ thị.
Ví dụ 4. Cho hàm số y  cos2x  x . Tìm điểm cực đại của hàm số với hệ số
k  1

Lời giải
11


Tập xác định D  .




2 x   k 2
x   k


1
6
12
y '  2sin 2 x  1; y '  0  sin 2 x   

(k  ) .
2

 2 x  5  k 2
 x  5  k


6
12
y   4 cos 2 x






y   k   4cos   k 2   2 3  0  x   k là điểm cực đại của hàm
12
 12

6


số.
5
 5

 5

y 
 k   4cos 
 k 2   2 3  0  x 
 k là điểm cực tiểu của

12
 12

 6


hàm số.
Điểm cực đại của hàm số là x 


12

 k (k  ) ; với k  1  x 

11
.
12

Nhận xét: Đối với hàm số lượng giác, sự biến thiên của nó ln có tính
chu kỳ, vì vậy mà việc lập bảng biến thiên sẽ trở nên không thuận tiện. Cách
đơn giản nhất để tìm cực trị của chúng là sử dụng Quy tắc II (xem mục
Phương pháp), tức là ta xét dấu đạo hàm cấp hai để suy ra cực trị hàm số.
Ví dụ 5. Do nhu cầu mua sắm cuối năm tăng cao, một doanh nghiệp đã dự
tính sản xuất 20-60 sản phẩm chăn ga gối đệm. Chi phí được tính theo hàm
f  x   x3  77 x 2  1000 x  100 , doanh thu được tính theo cơng thức

g  x   1312 x  2 x 2 . Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản

xuất để lợi nhuận đạt cực đại?
Lời giải

Gọi lợi nhuận mà doanh nghiệp là: h  x 
Lợi nhuận được tính theo cơng thức:
h  x   g  x   f  x   1312 x  2 x 2   x 3  77 x 2  1000 x  100    x 3  75 x 2  312 x  100 .
12


Bài tốn trở thành tìm x để h  x  đạt cực đại.
h '  x   3x 3  150 x  312
h '  x   0  x  2  x  52 ;

h ''  x   6 x  150 .

Tại điểm nghi ngờ x  2
 h ''  x   6.2  150  138  0

h  x  đạt cực tiểu tại x  2 ( khơng phải là mức sản lượng cần tìm)

Tại điểm nghi ngờ x  52
 h ''  x   6.52  150  0

h  x  đạt cực đại tại x  52 ( đây là mức sản lượng cần tìm)

Vậy để có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng
x  52.

Nhận xét: Bài toán này là một bài toán ứng dụng cực trị trong thực tế
sản xuất.
2.1.3 Bài tập tương tự
Dưới đây là hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm được xây dựng theo
chương trình thi THPT quốc gia.

Câu 1. Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y  x3  3x  1 ?
A. x0  2.
Câu 2. Hàm số y 
A.3.

B. x0  1.

C. x0  1.

D. x0  3.

1 2x
có bao nhiêu cực trị ?
x  2

B.0.

C.2.

D.1.

Câu 3. Cho hàm số y  x 2  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đạt cực đại tại

C. Hàm số đạt cực tiểu tại

x0.

13

x0


D. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số khơng có cực trị.

Câu 4. Giá trị cực tiểu của hàm số y  2x3  3x2 12x  2016 là:
A.2006.

B.2007.

C.2008.

D.2009.

Câu 5. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y   x3  3x2  5 là:
A.  0;5  .

B.  0;0  .

C.  2;9  .

D.  2;5  .

Câu 6. Cho hàm số y  x  12  3x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đạt cực đại tại x  1.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1.

B. Hàm số đạt cực đại tại x  1.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1.

Câu 7. Tổng các điểm cực tiểu của hàm số y  f  x   x 4  x 2  3 và
y  g  x    x 4  x 2  2 là:

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

Câu 8. Hàm số có hai điểm cực trị là A và B . Một nửa độ dài đoạn thẳng
AB là:

A. 4 65 .

B. 2 65 .

C.1040.

D.520.

Câu 9. Cho hàm số y   x3  2x2  x  4 . Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của
hàm số là:
A.

212
.
27

B.

1
.
3

C.

121
.
27

D.

212
.
72

Câu 10. Gọi A, B lần lượt là hai toạ độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số y   x3  3x2  9x  1 . Giá trị của biểu thức T 
A. 

7
.
13

B.

7
.
13

C.

14

6
.
13

x1 x2

bằng:
y2 y1

D. 

6
.
13


Câu 11. Cho hàm số y  x3  3x 2  4  C  . Gọi là A và B toạ độ hai điểm cực
trị của  C  . Diện tích tam giác OAB bằng:
A.4.

B.8.

C.2.

D. 3 .

Câu 12. Cho hàm số f  x   x3  2 x 2  2 . Số điểm cực trị của hàm số
y  f  x   1 là :

A. 5.

B.4.

C.3.

D.2.

Câu 13. Cho hàm số f  x   x 4  4 x 2  3 . Số điểm cực trị của hàm số
y  f  2 x  1 là:

A. 7.

B.5.

C.3.

D.6.

x3 x 1
Câu 14. Hàm số y     sin 2 x có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

3 2 4

 
 0,  ?
 2

A. Vô số.

B.1.

C.0.

D.2.

2.2 Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
2.2.1 Phương pháp chung
Bước 1: Đặt g  x  là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g '  x  .
Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng ( hiệu ) các
biểu thức để có được bảng xét dấu cho g '  x  .
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu dành cho g '  x  để kết luận về cực trị của
hàm số.
( Ở phương pháp này, chúng ta có thể linh hoạt trong việc tiến hành
các bước làm . Ví dụ: Nếu đề bài đã cho bước 1, thì chúng ta sẽ làm từ
bước 2).
15


 Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng( hiệu) các biểu thức:
f  x

+



+



g  x

+





+

f  x  .g  x 

+

+





f  x : g  x

+

+





f  x  g  x

+



Chưa biết

Chưa
biết

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:
Cho hàm số f  x  , g  x  cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó:
 k . f  x   '  k . f '  x  với k là hằng số

 f  x   g  x   '  f '  x   g '  x 

 f  x  .g  x   '  f '  x  .g  x   f  x  .g '  x 

 f  x 
f '  x  .g  x   f  x  .g '  x 


' 
2
 g  x  
 g  x 

 f  u   '  u '. f '  u 

y  f  x   Thay x bởi u  y  f  u 

2.2.2 Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên
thiên

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm nào?

16

và có bảng biến


Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1.
Tại x  0 mặc dù đạo hàm f '  x  không tồn tại nhưng hàm số f  x  vẫn xác
định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x  0 .
Nhận xét: Ở bài toán trên, chúng ta có thể dễ dàng thực hiện bằng cách
áp dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Với dạng bài toán này, ta cịn gặp những bài tốn tương tự như:
+ Tìm số cực trị (hoặc số cực đại, số cực tiểu ) của hàm số dựa vào
đạo hàm ( cho sẵn).
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên

và có bảng xét dấu f '  x 

như sau

Hỏi hàm số y  f  x 2  2 x  có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Lời giải
Đặt g ( x)  f  x 2  2 x  . Ta có g  ( x)  (2 x  2) f   x 2  2 x  .
Xét
2 x  2  0
2 x  2  0
g  ( x)  0  (2 x  2) f  x 2  2 x  0    2
(1)    2
2
 f x  2 x  0
 f x  2 x  0













x  1

x  1
 2

(1)   x  2 x  2   x 
 1  x  3  *
 x2  2x  3
1  x  3




x  1

x  1

x  1
 2
 x 
(2)    2
  x  2 x  2  
**
[
x


1

x



1
f
(
x

2
x
)

0


 x2  2 x  3



 x  3



17


 x  1
;
1  x  3

Hợp nghiệm của * ** ta có g  ( x)  0  
 1  x  1
x  3

Do đó: g  ( x)  0  

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số y  g ( x)  f  x 2  2 x  có đúng 1 điểm cực tiểu là x  1.
Nhận xét: Để tìm cực tiểu ở hàm số trên, chúng ta áp dụng công thức
 g '  x   0
để tìm ra dấu của
 g '  x   0

tính đạo hàm của hàm hợp và quy tắc xét dấu 

g '  x  trên  ;   , lập bảng biến thiên và kết luận.

Ngoài cách xét dấu này, thì chúng ta có thể xét g '  x   0 khi đó





g  ( x)  (2 x  2) f  x 2  2 x  0 . Chúng ta sẽ sử dụng nguyên tắc xét dấu của tích

các biểu thức để có được bảng xét dấu cho g '  x  .
Với dạng bài tốn này, ta cịn gặp những bài tốn tương tự như:
+ Tìm số điểm cực trị ( hoặc tìm điểm cực đại) của hàm hợp khi đã
cho đạo hàm hoặc bảng biến thiên.
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

1

Đặt g ( x)  f ( x  2)  x3  2 x 2  3x  2019 . Vậy g  x  đạt cực đại tại điểm
3

nào?
18


Lời giải
x  2 1
 x  1

Ta có g  ( x)  f  ( x  2)  x2  4x  3. Xét: f  ( x  2)  0   x  2  3   x  1 ;
 x  2  5  x  3

Xét x2  4x  3  0  x  1 x  3 .
Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng dấu, ta thấy g ( x) đạt cực đại tại x  1.
Nhận xét: Để giải bài tốn trên ta cần tính đạo hàm, kết hợp nguyên tắc
xét dấu tổng ( hiệu ) các biểu thức để có được dấu của g '  x  .
2.2.3 Bài toán tương tự:
Dưới đây là hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm được xây dựng theo
chương trình thi THPT quốc gia.
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  0;4 
B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng  ;0  và  4;  .
19

C. Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại x  0 .
D. Hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên

và có đạo hàm

f '  x   x 2  x  1 2 x  1 . Khi đó hàm số y  f  x 
3

A. Đại cực đại tại điểm x  1.

B.Đạt cực đại tạo điểm x  0 .

C.Đạt cực tiểu tại điểm x  1 .

D.Đạt cực tiểu tại điểm x 

1
2

Câu 3. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  . Bảng xét dấu bên dưới là của đạo hàm
f '  x  . Hàm số g  x   f

A.1.





x 2  2 x  2 có bao nhiêu cực trị ?

B.2.

C.3.

D.4.

Câu 4. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g  x   2 f 3  x   6 f 2  x   1 có bao nhiêu cực đại?
A. 3.

B.4.

C.6.

2.3 Dạng 3. Tìm tham số thoả mãn điều kiện cực trị của hàm số
y  ax3  bx 2  cx  d *

2.3.1 Phương pháp chung
a) Điều kiện để hàm số có n cực trị hoặc khơng có cực trị

20

D.8.


Ta xét bảng sau ( a và  là của đạo hàm y ' ):
Điều kiện của a

Điều kiện đi kèm

Kết luận

a0

b0

Hàm số trở thành
y  bx2  cx  d (

parabol) nên có một cực
trị.
a0

b0

Hàm số trở thành
y  cx  d ( đường

thẳng) nên khơng có
cực trị.
  0(

a0

hoặc

'  0 )

Hàm số có hai cực trị (
một cực đại và một cực
tiểu).

 0(

a0

hoặc

 0)

Hàm số khơng có cực
trị nào.

Từ bảng trên, ta khẳng định:
a  0
. Ta có thể thay   0 bởi   0 .
  0

Hàm số (*) có hai cực trị  

a  0
.
b  0

Hàm số (*) có một cực trị  

a  0 a  0


.
b  0   0

Hàm số (*) có cực trị  

a  0
.
b  0

Hàm số (*) khơng có cực trị  
b) Điều kiện cực trị cơ bản
- Hàm số có cực trị tại x  x0

21