Skkn một số giải pháp hướng dẫn học sinh vẽ thêm tam giác đều, tam giác vuông cân để giải một số bài tập hình học lớp 7

1
MỤC LỤC
Phần
1.Mở đầu

2. Nội dung
SKKN

3. Kết luận,
kiến nghị

Nội dung

Trang

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3.Đối tượng nghiên cứu

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu

1

2.1. Cơ sở lí luận của SKKN

2

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng
SKKN
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
2.3.1.Vẽ thêm tam giác đều

2

2.3.2. Vẽ thêm tam giác vuông cân

14

2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà
trường
3.1. Kết luận

16

3.2. Kiến nghị

17

skkn

3

3

17


2
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học ln là lĩnh vực có vẻ đẹp và sự hấp dẫn rất riêng. Trong q trình
tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay cho một bài
tốn hình học, việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến
kết luận của bài toán được dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Song việc vẽ thêm yếu tố
phụ như thế nào để có được lời giải đẹp là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy
nghĩ.
Trong quá trình dạy học, tơi nhận ra số lượng HS u thích, say mê mơn hình
học rất ít, ngay cả với các em HS trong đội tuyển học sinh giỏi. Hầu hết các em
đều nhận xét mơn hình học khó. Các em chỉ dừng lại ở việc vận dụng kiến thức, kĩ
năng cơ bản, thuần túy. Gặp vấn đề trong giải toán cần có sự liên hệ kiến thức, cần
sự tư duy, cần tạo ra các yếu tố phụ, rất ít em tự mình tìm tịi được, hầu hết phụ
thuộc vào sự dẫn dắt, gợi ý của giáo viên (GV).
Tôi đặt ra câu hỏi: Ngun nhân do đâu ? Do mơn hình học khó như học
sinh(HS) nhận xét ? Do HS khơng hứng thú, hay do GV chưa có cách thức giảng
dạy hiệu quả phù hợp? Do HS không được luyện tập kĩ qua giải toán, hay do GV
chưa chú trọng xây dựng hệ thống lí thuyết và bài tập phù hợp ?
Trong q trình tìm hiểu và tích lũy kiến thức chun mơn, tơi nhận thấy để
làm tốt được bài hình học, HS cần được trang bị không chỉ kiến thức, kĩ năng cơ
bản mà phải được tích lũy, rèn luyện các kĩ thuật vẽ đường phụ. Trải qua quá trình
luyện tập, rèn luyện như thế các em sẽ tự mình trang bị một tư duy nhạy bén khi
phân tích, định hướng lời giải.
Đối với mơn Hình học 7, việc vẽ thêm tam giác đều, tam giác vng cân

trong giải tốn hình học nhằm làm xuất hiện các cạnh bằng nhau, các góc bằng
nhau, góc có số đo
(vẽ thêm tam giác vng cân), góc có số đo
(vẽ thêm
tam giác đều),… sẽ giúp HS giải được nhiều bài tốn hay và khó về tính số đo góc
và các bài tốn liên quan.
Với mong muốn giúp các em HS có một nền tảng kiến thức cũng như phương
pháp giải tốn hình học tốt; giúp các em tự tin trong quá trình học tập,vì những lí
do đó, tơi chọn đề tài “ Một số giải pháp hướng dẫn học sinh vẽ thêm tam giác
đều, tam giác vng cân để giải một số bài tập hình học lớp 7”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xuất phát từ thực tế giảng dạy và chất lượng HS thi học sinh giỏi các cấp;
nhằm giúp HS có được những kĩ năng cơ bản, linh hoạt, tư duy lôgic trong việc
giải các bài tập hình học cần phải vẽ thêm đường phụ mà cụ thể là vẽ thêm tam
giác cân, tam giác đều.
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Hướng dẫn HS lớp 7 vẽ thêm tam giác cân, tam giác đều khi giải một số bài
tập hình học
1.4.Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp

skkn


3
- Phương pháp điều tra giáo dục.
- Phương pháp thực nghiệm giáo dục.
- Phương pháp tổng kết.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài
Trong khi tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp một số bài tốn mà nếu
khơng vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp
tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải tốn sẽ trở nên thuận lợi, dễ
dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên
vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải tốn là điều khó khăn và
phức tạp. Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng khơng có phương pháp chung nhất
cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán. Và điều
này lại rất phù hợp với đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm
người lớn, muốn tự minh khám phá, tìm hiểu trong q trình nhận thức. Các em có
khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập
khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ
thuật của thầy, cơ giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo
cho học sinh là một q trình lâu dài.
Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo được thể hiện ở một số mặt sau:
- Có óc hồi nghi, ln biết tự đặt các câu hỏi: Tại sao ? Vì sao ? Do đâu?
- Biết nhìn nhận và giải quyết vấn đề.
- Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng
rập khn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan nhau, nhìn nhận một vấn đề
ở nhiều khía cạnh khác nhau.
- Có khả năng khai thác vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Qua kết quả khảo sát và thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một số vấn đề:
- Về kĩ năng phân tích dữ kiện của bài tốn: HS mất rất nhiều thời gian cho
việc phân tích, định hướng cách giải. Mặc dù nhiều em định hướng được cần vẽ
thêm đường phụ, nhưng do kiến thức, phương pháp, kĩ thuật giải toán hình học
chưa vững vàng nên các em vẽ rất nhiều đường mà trong nhiều đường đó khơng
dẫn đến lời giải cho bài tốn.

- Về kĩ năng trình bày lời giải: Nhiều lời giải trình bày chưa khoa học, thiếu ý
giải thích. Có lời giải chứng minh dài dịng, lập luận chưa chặt chẽ, thiếu tính khoa
học.
Bên cạnh đó, đa số học sinh thường lúng túng, không biết phải chứng minh
một bài hình học như thế nào, bắt đầu từ đâu. Khâu quan trọng là khâu vẽ hình rồi
chắt lọc lý thuyết và vận dụng vào thực tế để chứng minh.
Không ít học sinh thật sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên kết quả học tập chưa cao.
Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ các bài toán với nhau, phát triển
một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức. Quan trọng là nâng cao
được tư duy cho các em học sinh, giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán.

skkn


4
Việc vận dụng yếu tố trung gian của học sinh cịn lúng túng, chưa nhận biết
và biết khi nào thì cần vận dụng vào chứng minh bài tốn hình.
Khi học sinh thắc mắc: làm thế nào để vẽ được đường phụ như vậy, ngồi
cách vẽ này cịn cách vẽ nào khác không ?, hay tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới
giải được bài tốn ? Gặp phải những tình huống như vậy giáo viên cũng gặp nhiều
khó khăn để giải thích cho học sinh hiểu.
Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để,
mặt khác lại nâng cao năng lực giải tốn
Trước khi triển khai nội dung sáng kiến, tơi tiến hành khảo sát 15 HS khá giỏi
ở khối 7 mà tôi trực tiếp giảng dạy. Nội dung bài khảo sát tôi đưa ra nhằm khảo sát
vấn đề vẽ thêm tam giác đều, tam giác vng cân trong giải tốn. Tơi xin giới thiệu
bài khảo sát như sau:
ĐỀ BÀI KHẢO SÁT
Câu 1: Tính độ dài x trên hình vẽ sau:

A
x

3
120o

5

B

C

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E nằm trong tam giác sao
cho

. Tính

.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A,

. Trên tia BA lấy điểm O sao

cho BO = 2AC. Chứng minh tam giác OBC cân.
THỐNG KÊ KẾT QUẢ KIỂM TRA
Số

Yếu, kém

Trung bình

Khá

Giỏi

HS

Số
lượng

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng

Tỉ lệ
(%)

15

3

20,0

7

46,7

3

20

2

13,3

Triển khai vấn đề vẽ thêm tam giác đều, tam giác vuông cân để giải một số
bài tập hình học lớp 7, tơi thực hiện dạy trong các tiết luyện tập, ôn tập và các buổi
bồi dưỡng học sinh giỏi sau khi học xong bài tam giác cân.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Vẽ thêm tam giác đều
Bài toán 1: Cho tam giác ABC cân tại A,
sao cho AD = BC. Tính

.

skkn

. Trên cạnh AB lấy điểm D


5
Gợi ý: Đề bài cho tam giác ABC cân tại A,

A

. Nhận thấy 80o – 20o =

ra số đo góc ở đáy là

D

, suy

60o là số đo mỗi góc của tam giác đều, do đó ta có thể vẽ
tam giác đều MBC, sao cho điểm M và điểm A cùng
thuộc nửa mặt phẳng bờ BC; hoặc vẽ tam giác đều có
B

C

một góc chung cạnh với góc ABC, hoặc góc ACB, …
Lời giải:

A

ABC cân tại A,

D


Vẽ tam giác đều MBC (Điểm M và điểm A cùng

M

thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)
B

C



và MB = MC = BC

Vì MB = MC = BC, mà BC = AD  MB = MC = BC = AD
Xét AMB và AMC có: AB = AC (ABC cân tại A); MB = MC; AM
là cạnh chung  AMB = AMC (c.c.c) 

(2 góc tương ứng)


Lại có:
Xét ADC và CMA có: AD = CM (chứng minh trên); AC là cạnh chung 
ADC = CMA (c.g.c) 
Do

( hai góc tương ứng).



. Vậy

Nhận xét: Ta cũng có thể tính số đo góc ACD bằng cách vẽ tam giác đều
theo cách khác, ví dụ như:
- Vẽ ABM đều, điểm M và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB.
- Vẽ ACM đều, điểm M và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC.
- Vẽ ACM đều, điểm M và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC.
- Vẽ ADM đều, điểm M và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AD.
Cụ thể, ta xét từng trường hợp như sau:

skkn


6
+ Vẽ tam giác đều ABM (M và C cùng thuộc 1

A

nửa mặt phẳng bờ AB). Khi đó ADC và CBM
D

có:
AD = CB;

M

, và AC = BM (=

AB)
B

C

 ADC = CBM (c.g.c)
Cịn có ACM cân tại A (do AC = AM (= AB)) với
góc ở đỉnh là




+ Vẽ tam giác đều ACM (M và B cùng thuộc

A

một nửa mặt phẳng bờ AC)  AM = AB (=
AC)

D

 AMB cân tại A, có góc ở đỉnh là
M

 góc ở đáy là
B

C

ADC và CBM có: AD = CB; AC = CM và

 ADC = CBM (c.g.c)


+ Vẽ tam giác đều ACM (M và B thuộc 2

A

nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
D
M

Khi đó MAD và ABC có: AD = BC;
và MA = AB (= AC)
 MAD = ABC (c.g.c)

B

C

và cịn có MD = AC  MD = MC  MCD cân tại M

skkn


7

+ Vẽ tam giác đều ADM (M và C thuộc 2 nửa mặt

A

phẳng đối nhau bờ AD). Khi đó CAM và ABC

M
D

(= 80o) và AM = BC

có: AC = AB;

 CAM = ABC (c.g.c)  CM = AC
 CAM cân tại C, mà có góc ở đáy là
B

C

= 80o

 góc ở đỉnh là

Dễ thấy ACD = MCD(c.c.c)
Nhận xét: Như vậy, với bài tốn trên, ta có thể giải bài tốn bằng một trong
số ít nhất 5 cách vẽ tam giác đều như đã trình bày.
Bài tốn 2: Cho ABC, có

, lấy điểm H trên cạnh BC sao cho AH

vng góc với BC. Tính góc ABC nếu AH =

BC

Gợi ý
A

75o

B

H

Tam giác ABC vuông tại H,

C

, suy ra

.

Nhận thấy 75o – 15o = 60o là số đo mỗi góc của tam giác đều nên ta có thể vẽ
tam giác đều có cạnh là AC, hoặc có cạnh là BC.
Hướng dẫn giải:
A

M

B

D

skkn

H

C


8
Cách 1: Vẽ tam giác đều MAC sao cho M và B đều thuộc cùng một nửa mặt
phẳng bờ AC 

và MA = MC = AC.

AHC vuông tại H 



, mà


Lại có,
Kẻ MD  BC (D  BC).
Xét AHC và CDM, có:

;

; AC = MC

 AHC = CDM (cạnh huyền- góc nhọn)  AH = CD (2 cạnh tương ứng), mà

AH =

BC  CD =

BC  DB = DC

Xét MDB và MDC, có:

; DB = DC; MD: cạnh chung

 MDB = MDC (c.g.c) 
MBC có
Suy ra
Xét MBC và MBA có: MA = MC;

; MB cạnh chung

 MBC = MBA (c.g.c) 

(2 góc tương ứng)
. Vậy
M

A
D

B

H

C

Cách 2: Vẽ tam giác đều MBC (M và A thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ
BC  MB = MC = BC và
Dễ thấy

.
. Ta đi kẻ AD  MC (D  MC)

skkn


9
Khi đó AHC = CDA (cạnh huyền- góc nhọn)  AH = CD.
BC  CD =

Mà AH =

CM  CD = MD

BC =

Suy ra ADM = ADC (c.g.c)  AM = AC  ABM = ABC (c.c.c)


. Vậy

Nhận xét: Qua hai bài toán trên, các em học sinh phần nào đã định hình
được phương pháp vẽ tam giác đều và đưa ra những lựa chọn về cách vẽ giúp việc
giải toán được dễ dàng. Ta tiếp tục xét một bài tốn điển hình khác, với việc giả
thiết đề bài cho lấy thêm một điểm nằm trong tam giác.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân tại A,

trong tam giác sao cho

,

. Chứng minh CAO cân.

Gợi ý:

A
80o

ABC cân tại A,
góc ở đáy là

O
B

. Gọi O là một điểm nằm

30o

, suy ra số đo các
.Nhận thấy 50o

+10o = 60o, là số đo mỗi góc của tam giác

10o

C

đều. Nếu ta vẽ MBC đều (M và A nằm

cùng một nửa mặt phẳng bờ BC) sẽ tạo được một tam giác có cạnh AC bằng với
tam giác OBC, từ đó có AC = OC suy ra CAO cân.
Lời giải: Ta có ABC cân tại A,

M



A

Vẽ tam giác đều MBC (Điểm M và điểm A
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)

O
B

C



; MB = MC = BC

Xét MAB và MAC có: AB = AC (ABC cân tại A); MB = MC; MA
là cạnh chung  MAB = MAC (c.c.c) 

Lại có

skkn

(2 góc tương ứng)


10
Xét OBC và AMC có:

;

và BC =

MC  OBC = AMC (g.c.g)  CO = CA  CAO cân tại C.
Nhận xét: Cũng như hai bài tốn trước, ta cịn một số cách vẽ tam giác đều
khác cho bài toán 3, chẳng hạn như:
- Vẽ MBC đều, điểm M và A thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC.
- Vẽ MAC đều, điểm M và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC.
Bài tốn 4: Cho ABC vng cân tại A. Điểm O ở trong tam giác sao cho
. Chứng minh các tam giác AOC, AOB cân.
Gợi ý:

A

Tương tự như bài toán 3, ta vẽ tam giác đều
O
B

30o

MBC (Điểm M và điểm A cùng thuộc nửa

15o

C

mặt phẳng bờ BC), ta được COA cân tại C.

Dễ dành tính được số đo các góc BAO, ABO  AOB cân tại O.
Hướng dẫn giải:

M

ABC vuông cân tại A


A



O
30o

và

15o

C

B

Vẽ MBC đều (M và A cùng thuộc nửa mặt

phẳng bờ BC)

Chứng minh tương tự bài tốn 3 ta được COA cân tại C.
Ta có:

Khi đó

.


Mà

Bài tốn 5: Cho ABC cân tại A,

 AOB cân tại O
. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa

điểm C vẽ tia Bx  BA. Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA.
Hãy tính

.

skkn


11
Gợi ý:

A
30o

ABC cân tại A,
các góc ở đáy là
Nhận thấy 75o

C

B

suy ra số đo


.

15o = 60o, là số đo mỗi

góc của tam giác đều, ta cịn có AB = BN.
N

x

Nếu ta vẽ tam giác MBC đều (M và A nằm
cùng một nửa mặt phẳng bờ BC) sẽ có

được MBA = CBN, hơn nữa dễ dàng chứng minh được MBA = MCA. Từ đó
suy ra được số đo góc BCN.
Lời giải:

A

ABC cân tại A,


M

B

Vẽ tam giác đều MBC (Điểm M và

C

điểm A thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
N

x



và MB =

MC = BC
Ta có
Xét AMB và AMC có: AB = AC (ABC cân tại A); MB = MC; AM là cạnh
chung  AMB = AMC (c.c.c)

MAB có

(hai góc tương ứng)

, mà

(1)

Xét MBA và CBN có: MB = CB;
 MBA = CBN (c.g.c) 

, BA = BN
(hai góc tương ứng)

skkn

(2)


12
Từ (1) và (2) ta có:
Nhận xét: Cách giải khác:
- Vẽ tam giác đều MAB, điểm M và điểm C thuộc cùng một nửa mặt phẳng
bờ AB
- Vẽ tam giác đều MAC, điểm M và điểm B cùng thuộc một nửa mặt phẳng
bờ AC
Bài toán 6: Cho tam giác ABC cân tại A,

. Lấy điểm D nằm ngoài

tam giác ABC sao cho DA = DC và
.
Chứng minh rằng: AB = BC + CD.
Gợi ý:
A
Bài toán yêu cầu chứng minh AB = BC + CD,

40o
mà AD = CD nên ta có thể chứng minh AB =
20o
BC + AD. Một trong những cách chứng minh
D
100o
dạng toán này là ta tạo ra một điểm trên cạnh
AB sao cho điểm đó chia AB thành 2 đoạn lần
lượt bằng BC và AD.
Rất hay ở chỗ AB và AD hợp thành một góc 60o
là số đo góc của tam giác đều. Do đó ta sẽ lấy
B
C
một điểm M trên cạnh AB để MAD là tam giác
đều
Lời giải:
Theo bài ra DAC có DA = DC  DAC cân tại D,

A

lại có
D


Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho AM = AD. Khi

M

đó MAD cân tại M, lại có
B

C

tam giác đều 
= AD = DM.

Do DCM có DM = DC (= DA)  DCM cân tại D.
Khi đó DCM có góc ở đỉnh

Ta có:

skkn

 MAD là
và AM


13
ABC cân tại A,
Xét MBC có:


, mà
 MBC cân tại B  BM = BC.

Do AB = BM + AM, mà BM = BC và AM = CD (= AD)
 AB = BC + CD
Bài toán 7: Cho tam giác ABC vng tại A, có
lượt trên cạnh AB, AC sao cho

. Lấy điểm D và E lần

. Chứng minh rằng:

a) Nếu DE = DB thì CD = 2AD
b) Nếu CD = 2AD thì DE = DB
Hướng dẫn giải:
A

A

E
D

E

20o

D

F
40o

B

40o

C

I

B

I

Do ABC vng tại A,

C

.

Lấy điểm I trên cạnh BC sao cho DI = DB  DBI cân tại D


. Khi đó

 Nếu DE = DB  DE = DI, mà

 EDI là tam giác đều.

ADE có

.
 EIC cân tại I

Khi đó
 IE = IC  IC = ID  IDC cân ở I
ACD vng tại A, có

ta suy ra CD = 2AD.

 Nếu CD = 2AD, mà ACD vuông tại A 

skkn


14
là góc ngồi của IDC 

. Từ đó suy ra ICD

cân tại I  ID = IC. Do đó

 BDI cân tại D

 DI = DB. Do vậy DE = DB
Bài toán 8: Cho Cho ABC cân tại A,
tia phân giác của góc C sao cho

. Gọi O là một điểm nằm trên

. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng

thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng.
b) Tam giác AOB cân.
Hướng dẫn giải:

M

ABC cân tại A,

A



O
B

C

Do tia CO là tia phân giác của góc ACB


BOC có
Lại có

(BOM đều), mà


Xét OBC và OMC có : OB = OM (BOM đều);
cạnh chung  OBC = OMC (c.g.c)


(hai góc tương ứng), mà

 Hai tia CA và CM trùng nhau. Vì vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng.
b) Do OBC = OMC  CB = CM  CMB cân tại C

Có

(hai góc kề bù)

skkn

và OC là


15
Xét BAM có

 BAM cân tại B  BA = BM (hai cạnh

tương ứng) mà BM = BO  BA = BO  BAO cân tại B.

2.3.2. Vẽ thêm tam giác vng cân
Bài tốn 9:

A

Trên hình bên, cho biết ABC vng cân tại
đỉnh A, MA = 2cm, MB = 3cm,

M
C

B

.

Tính độ dài đoạn thẳng MC.
Gợi ý:
ABC vuông cân tại A có

D

;

A

. Ta có

,

giúp ta nghĩ đến vận dụng định lí Pytago, tam
giác vng cân để tìm tam giác vng có một

M
C

B

cạnh là MC và hai cạnh kia đã tìm được độ dài.

Điểm phụ D sao cho tam giác ADM vuông cân đỉnh A (D nằm trên nửa mặt
phẳng bờ AM khơng chứa điểm B) giúp tìm ra lời giải bài tốn.
Hướng dẫn giải:
Trên nửa mặt phẳng bờ AM khơng chứa điểm B dựng tam giác ADM vuông
cân tại đỉnh A.
Ta có AD = MA = 2cm,

.

Xét ADC và AMB có: AD = AM,

(hai góc cùng phụ với góc

CAM); AC = AB.
Do đó ADC = AMB (c.g.c)  DC = MB
Xét AMD vuông tại A

(định lý Pytago)

skkn


16
Suy ra

.

Xét MDC vng tại M

(định lý Pytago)

Suy ra

(cm).

Bài tốn 10: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. M là điểm nằm trong tam

giác ABC sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính số đo góc AMC.
Gợi ý:
Ta nhận ra rằng đây là bài toán ngược của bài toán 9.
D

Vẽ thêm yếu tố phụ là tam giác ADM

A

vuông cân tại A (D nằm tren nửa mặt
phẳng bờ AM không chứa điểm B) giúp
đến với lời giải bài tốn.

M
C

B

Hướng dẫn giải:
Trên nửa mặt phẳng bờ AM khơng chứa B dựng tam giác ADM vng cân tại
A. Ta có

.

Đặt MC = x. Từ giả thiết có MA = 2x; MB = 3x.
Xét ADC và AMB có AD = AM,

(hai góc cùng phụ với góc

CAM); AC = AB. Do đó ADC = AMB (c.c.c)  DC = MB.

Xét ADM vuông cân tại A nên

(định lí Pytago)

.
Ta có
MDC có

, theo định lí Pytago đảo ta có MDC

vng ở M
Bằng việc vẽ hình phụ là tam giác đều, tam giác vng cân và sử dụng tính
chất đặc trưng của nó, chúng ta đã tìm được lời giải cho một số bài tốn. Sau đây
là một số bài tập dành cho HS tự luyện.

skkn


17
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A,
sao cho

. Lấy điểm D nằm trong tam giác

. Tính

.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A,

AD = BC. Tính

. Trên tia AC lấy điểm D sao cho

.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A,
phân giác của góc C sao cho

. Gọi O là một điể nằm trên tia
. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng

thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO).
Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng
b) Tam giác AOB cân.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trước khi triển khai chuyên đề, các em học sinh tỏ ra lúng túng, thiếu chắc
chắn trong giải toán bao nhiêu thì sau khi đón nhận chun đề, các em lại tự tin,
làm tốt việc giải toán hơn rất nhiều. Các em đón nhận chuyên đề với sự say mê và
hứng thú học tập. Các em được thỏa sức suy luận, sáng tạo, phát kiến các cách giải
quyết một bài toán theo cách riêng của mình.
Sau khi triển khai nội dung sáng kiến tới học sinh, tôi đã tiến hành khảo sát
nhóm HS tơi dạy để đánh giá khả năng lĩnh hội và vận dụng kiến thức của
các em. Tôi xin giới thiệu nội dung khảo sát như sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A,
phân giác của góc C sao cho

. Gọi O là một điểm nằm trên tia

. Tính

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A,
sao cho

. Tính

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A,
AD = BC. Tính

.
. Lấy điểm D nằm trong tam giác

.
. Trên tia AC lấy điểm D sao cho

.
THỐNG KÊ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

skkn


18
Số

Yếu, kém

Trung bình

HS

Số
lượng

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng

15

0

0

2

Tỉ lệ
(%)

13,3

Khá

Giỏi

Số
lượng

Tỉ lệ
(%)

Số
lượng

4

26,7

9

Tỉ lệ
(%)

60

Khi chưa được hướng dẫn phương pháp, chỉ một số rất ít HS xuất sắc làm
được, cịn lại các em đều khơng giải được bài tốn. Tuy nhiên, khi được gợi ý,
cung cấp thơng tin về phương pháp làm, các em nhanh chóng tiếp cận giải được
bài tốn và cịn đưa ra nhiều hướng vẽ khác nhau.
Qua bài khảo sát trên, tôi nhận thấy những tiến bộ rõ rệt của học sinh:
- HS nắm chắc việc vẽ thêm tam giác đều, tam giác vuông cân tạo yếu tố
thuận lợi trong giải tốn.
- HS có tư duy nhạy bén hơn, khả năng phân tích bài tốn, kết nối thơng tin
có chiều sâu hơn; rút ngắn thời gian định hướng cách làm bài toán.
- Kĩ năng trình bày của học sinh cũng được nâng lên rõ rệt.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3. 1. Kết luận
Phương pháp vẽ hình phụ tam giác đều là một phương pháp có ý nghĩa quan

trọng trong việc giải tốn. Khơng hàm chứa kiến thức mới nâng cao, phát triển,
nhưng đòi hỏi người học phải có tư duy logic tốt, biết phân tích vấn đề và suy luận
vấn đề. Ở đây, học sinh còn được thể hiện và rèn luyện kĩ năng giải tốn, trình bày
lời giải.
Trong quá trình dạy học cũng như quá trình nghiên cứu. Tôi đã tích lũy được
một số kinh nghiệm giúp ích cho bản thân, dạy học sinh ham thích học tâp, góp
phần nâng cao chất lượng dạy học toán, hy vọng góp phần giúp học sinh có kĩ năng
tốt để giải các bài toán hình học nói chung và các bài tập hình đặc biệt mà phải vẽ
thêm hình phụ mới giải được; và nếu được sẽ là đề tài tham khảo cho các thầy cô
quan tâm đến công việc giảng dạy của mình
Sáng kiến là tài liệu thiết thực, hữu ích giúp GV nâng cao chất lượng dạy bồi
dưỡng đội tuyển HS giỏi mơn Tốn. Tôi nhận thấy rõ hiệu quả sáng kiến đem lại,
HS khơng cịn lúng túng, phân vân khơng biết vẽ thêm hình phụ như thế nào.
Ngược lại, các em đều sử dụng thành thạo phương pháp vẽ thêm hình phụ là tam
giác đều, tam giác vng cân và cịn đưa ra được nhiều cách vẽ khác nhau cho
cùng một bài toán với tính chính xác cao.
Trong q trình nghiên cứu đề tài, tôi cũng trao đổi với đồng nghiệp và được
đồng nghiệp hưởng ứng nhiệt tình, cũng đã học tập và cùng nhau triển khai đề tài
một cách rộng rãi trong các tiết dạy hình học.
Qua việc nghiên cứu và áp dụng đề tài, cũng nhận thấy rằng bộ mơn tốn do
nhóm chun mơn Tốn phụ trách cũng đã làm thay đổi đáng kể chất lượng chung
của nhà trường, giữ vững được thứ hạng cao trong ngành giáo dục huyện nhà.
3. 2. Kiến nghị

skkn


19
- Đối với giáo viên: Để đạt được hiệu quả cao trong giảng dạy, ngoài việc
thường xuyên nghiên cứu tài liệu, tích lũy, nâng cao kiến thức chun mơn, biên

soạn các chun đề của bộ mơn, giáo viên cần tích cực trao đổi cùng đồng nghiệp,
học hỏi và bồi dưỡng về phương pháp giảng dạy. Qua đó giúp học sinh nắm kiến
thức một cách hệ thống, tiếp thu bài học một cách nhẹ nhàng, tự nhiên mà hiệu
quả.
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về cơ sở vật chất như: bổ sung nhiều
đầu sách nâng cao, tham khảo, chuyên đề ở thư viện; tổ chức sinh hoạt chuyên
môn tổ, nhóm chun mơn nhằm thống nhất và xây dựng có hệ thống các phương
pháp kĩ thuật kẻ thêm hình phụ là tam giác đều, tam giác vuông cân trong giải tốn
hình học cùng hệ thống bài tập phù hợp với học sinh ở các lớp khác nhau. Đồng
thời mở rộng đối với các kĩ thuật kẻ đường phụ khác.
- Đối với Phòng giáo dục: Cần tổ chức thường xuyên các chuyên đề hội thảo
để giáo viên có thể trao đổi, học hỏi chuyên môn nghiệp vụ cũng như thống nhất
chung trong toàn huyện những chuyên đề cần trang bị trong q trình dạy học tốn.
Trên đây là một số những kinh nghiệm nhỏ mà tơi đã tích lũy được trong
q trình tự học cũng như tích lũy trong q trình giảng dạy. Tôi hi vọng sáng kiến
này phần nào cung cấp thêm một hướng dạy hình học, một tư liệu nhỏ tới các đồng
nghiệp. Rất mong nhận được những đóng góp ý kiến từ quý đồng nghiệp giúp cho
nội dung sáng kiến được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Phú Lộc, ngày 25 tháng 3 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác
Người viết

Nguyễn Thị Hào

skkn

1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
T
T

Tên sách

1

Sách giáo khoa Toán 7

2

Sách bài tập Toán 7
Vẽ thêm yếu tố phụ để
giải một số bài tốn
hình học 7
Tốn 7 cơ bản và nâng
cao
Nâng cao và phát triển
Toán 7
Bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán 7

3
4
5
6

Tác giả

Nhà xuất bản

Bộ giáo dục và đào tạo Giáo dục Việt Nam
Bộ giáo dục và đào tạo Giáo dục Việt Nam
Nguyễn Đức Tấn

Giáo dục Việt Nam

Vũ Hữu Bình

Giáo dục Việt Nam

Vũ Hữu Bình

Giáo dục Việt Nam

Nguyễn Đức Tấn cùng Đại học Quốc gia
nhiều tác giả
Hà Nội

skkn