Skkn phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải bài toán điểm trong chương trình thpt

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Chương Tổ hợp và xác suất được Bộ Giáo Dục và Đào đưa vào chương
trình tốn đại số và giải tích lớp 11 nhằm cung cấp kiến thức và hình thành, phát
triển kỹ năng giải các bài toán đếm, tổ hợp, xác suất thống kê cũng như phát
triển các phẩm chất tư duy khác cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy với
nhiệm vụ là tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng, tôi nhận thấy
đa số học sinh chỉ tiếp nhận được những bài toán đếm cơ bản và thường gặp khó
khăn, sai lầm trước những bài tốn phức tạp hơn do chưa hình thành được các
phương pháp đếm, kỹ thuật đếm và tư duy giải quyết vấn đề.
Hơn thế nữa, việc dạy - học về “ Các phương pháp đếm” và “bài tốn tổ
hợp xác suất” khơng chỉ củng cố các kiến thức tốn học có liên quan mà còn
giúp học sinh gắn học với hành, gắn nhà trường với thực tế cuộc sống lao động
và sản xuất của xã hội. Đặc biệt là theo yêu cầu đổi mới, mơn tốn được thi dưới
hình thức trắc nghiệm, số câu hỏi về vận dụng thực tế cũng nhiều hơn và nội
dung hỏi cũng phong phú hơn. Nếu giáo viên, học sinh dạy và học qua loa phần
này sẽ khiến các em học sinh gặp khơng ít trở ngại trong việc vận dụng toán
học vào thực tế.
Đặc trưng của mơn học là tính logic cao đem lại nhiều khó khăn thách thức
cho thầy và trò nhưng cũng chứa đựng nhiều cơ hội cho quá trình rèn luyện phát
triển tư duy, trí tưởng tượng, khả năng tìm tịi, óc sáng tạo và nhiều kỹ năng
khác. Bài toán đếm là bài toán cơ bản và quan trọng trong chương Tổ hợp và
xác suất. Nếu học sinh đếm sai sẽ không làm được bài tốn tính xác suất. Chỉ
cần học sinh lơ là, khơng tập trung hoặc giáo viên khơng có phương pháp truyền
thụ kiến thức một cách hấp dẫn, khoa học sẽ khiến các em học sinh khó hiểu và
khơng tiếp thu được phần kiến thức này. Vì vậy để học sinh học tốt được mơn
học này địi hỏi người giáo viên phải say mê, nhiệt huyết đồng thời có phương
pháp truyền thụ khoa học, hấp dẫn, sinh động nhằm thu hút sự tập trung và đam
mê của học sinh vào mơn học nói chung và khoa học nói riêng.
Khi giảng dạy và nghiên cứu sách giáo khoa cũng như các tài liệu giảng
dạy về phần này, tôi nhận thấy các phương pháp tư duy và kỹ thuật đếm cịn ít

và chưa được đưa ra thành hệ thống mà nằm giải rác trong các bài học, các bài
tập cụ thể.
Từ những lí do trên tơi thấy rất cần thiết nhìn nhận vấn đề: “dạy và học bài
toán đếm” một cách khoa học nhất, hiệu quả nhất và dễ hiểu nhất với từng đối
tượng học sinh. Tôi chọn đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông
qua việc xây dựng phương pháp giải bài tốn đếm trong chương trình THPT” vì
mong muốn làm được một tài liệu giá trị, hỗ trợ học sinh trong quá trình tự học,
đồng thời chia sẻ kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy được trong suốt thời gian
qua với bạn bè và đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trước những hiện tượng và mâu thuẫn đang tồn tại trong thực tiễn giáo dục
trên, tôi đã tìm tịi và nghiên cứu đề tài nhằm đạt được các mục đích sau.
Thứ nhất: Giúp các em nắm vững lí thuyết về quy tắc đếm, về hốn vị tổ
hợp, chỉnh hợp và trang bị cho các em phương pháp giải bài tốn này. Đờng thời
1

skkn


phân loại bài tập nhằm hình thành các phương pháp giải chung và xây dựng
được một hệ thống kiến thức tổng hợp, vững chắc.
Thứ hai: Củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số, hình học có liên quan.
Rèn luyện kỹ năng tính tốn, lập luận.
Thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo; tư duy giải quyết vấn đề, tư
duy biện chứng; xây dựng và phát triển lịng say mê và u thích tốn học nói
riêng và khoa học nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Bài tốn đếm số phần tử của một tập hợp xuất hiện khá phổ biến trong khoa
học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số phần tử của
một tập hợp hoặc phải tính tốn xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu

nhiên là bao nhiêu. Nếu sô phần tử của một tập hợp khơng nhiều thì ta có thể
đếm trực tiếp bằng cách liệt kê. Tuy nhiên nếu số phần tử của một tập hợp rất
lớn thì cách đếm trực tiếp khơng cịn khả thi. [1]
Khi đã chiếm lĩnh được kiến thức, kỹ năng này rồi thì tư duy học sinh trở
nên linh hoạt, sáng tạo hơn, tạo cho các em một tâm thế chủ động, thoải mái
trước các bài tốn khó và các tình huống trong thực tế cuộc sống. Chính vì thế
trong các đề thi tốt nghiệp THPT, xét tuyển đại học, thi học sinh giỏi thì các bài
tốn đếm, tổ hợp, xác suất ln có mặt để góp phần đánh giá phẩm chất năng lực
học sinh.
Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ nghiên cứu và tổng kết về các phương pháp
giải bài toán đếm nhằm phát triển năng lực và phẩm chất tư duy cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Với mục đích nhiệm vụ đặt ra như trên, sau nhiều năm nghiên cứu và thực
nghiệm, tơi đã hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Phát triển năng
lực tư duy học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải bài toán đếm
trong chương trình THPT” bằng việc phối hợp các phương pháp nghiên cứu
sau.
1.4.1. Nghiên cứu lí luận
Hình thức chủ yếu tơi dùng là nghiên cứu tài liệu lí luận và phân tích tiên
nghiệm. Sử dụng các kiến thức có trong sách giáo khoa theo chương trình của
Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các kết quả đã có trong một số tài liệu có liên quan
trên cơ sở kế thừa những cái hay, phê phán những cái dở, bổ sung và hoàn chỉnh
những tri thức đã đạt được. Đồng thời dựa vào những yếu tố lịch sử, những cách
tiếp cận khác nhau về bài tốn đếm để hình thành cho học sinh nhiều cách giải
khác nhau.
1.4.2 Quan sát điều tra
Qua thực tế giảng dạy của bản thân; qua các tiết dự giờ đồng nghiệp; qua
các bài kiểm tra viết, bài kiểm tra định kỳ, sổ học bạ, sổ ghi điểm của học sinh
để tiến hành theo dõi quá trình phát hiện lĩnh hội kiến thức của các em rồi từ đó
nghiên cứu, thiết lập ra các phương pháp tư duy, các tác động sư phạm phù hợp,

kịp thời.
1.4.3 Tổng kết kinh nghiệm
Với những kết quả thu được trong quá trình thực hiện nghiên cứu lí luận và
điều tra, tơi tiến hành tổng kết, đánh giá và khái quát thành kinh nghiệm, đúc rút
2

skkn


ra những phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán đếm một cách khoa học
phù hợp với các mối liên hệ có tính quy luật trong tư duy của học sinh.
1.4.4 Thực nghiệm giáo dục
Cụ thể hoá những kinh nghiệm, kiến thức đã đúc rút được thành một loạt
những tác động sư phạm lên một lớp đối tượng gồm các em học sinh lớp11
trường THPT nhằm xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó. Lấy
học sinh các lớp không được thực nghiệm để so sánh hiệu quả của tác động giáo
dục này lên phẩm chất trí tuệ và năng lực tư duy của các em khi giải quyết các
vấn đề này và các vấn đề khác có liên quan. Từ đó tổng kết đánh giá và khái
quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiện nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy
luật của vấn đề. Cuối cùng là bổ sung và hoàn thiện các tri thức đã đạt được và
tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Là một phân mơn quan trọng trong chương trình tốn học THPT, bài tốn
đếm, tổ hợp và xác suất thống kê đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng
nhiều kiến thức đã được học từ cấp 2 và lớp 10 như: Số học, bài toán lập số, bài
toán chia hết, các ước số, tập hợp… và các bài tốn hình học về đa giác, đa
diện... Ngoài ra học sinh cần phải nắm vững các kiến thức mới sau.
2.1.1 Quy tắc đếm
a. Quy tắc cộng

Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành
động này có
cách thực hiện, hành động kia có cách thực hiện khơng trùng
với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có
cách thực
hiện.
Về mặt bản chất thì quy tắc cộng cho ta cơng thức tính số phần tử của hai
tập hợp hữu hạn không giao nhau:
.
Quy tắc cộng mở rộng:
.
[2]
Đối với n tập hợp

bất kỳ ta có nguyên lý bù trừ sau:
[9]

b. Quy tắc nhân
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có cách
thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có cách thực hiện hành
động thứ hai thì có
cách hồn thành cơng việc. [1]
Về mặt bản chất thì quy tắc nhân cho ta cơng thức tính số phần tử của tập
tích Descartes của hai tập hợp A,B ký hiệu bởi
.
Định nghĩa: Tích Descartes của hai tập hợp
ký hiệu bởi
là tập hợp
tất cả các cặp thứ tự
với

.
Nguyên lý nhân: Nếu và là hai tập hợp hữu hạn thì
cũng hữu hạn
và ta có:
. [3]
2.1.2 Hốn vị
3

skkn


a. Định nghĩa: Cho tập
gồm phần tử
Mỗi kết quả của sự sắp
xếp thứ tự phần tử của tập hợp được gọi là một hốn vị của phần tử đó.
b. Định lí: Số các hốn vị của phần tử, kí hiệu là
Chứng minh: Mục đích hình thành cho học sinh phương pháp tư duy đếm
theo từng vị trí.
Vị trí 1 có n cách xếp
Vị trí 2 có n-1 cách xếp
…
Vị trí n có 1 cách xếp
Vậy theo quy tắc nhân có:
[1]
2.1.3 Chỉnh hợp
a. Định nghĩa: Cho tập hợp gồm phần tử
Kết quả của việc lấy
phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp
và sắp xếp chúng
theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho.

b. Định lí: Số các chỉnh hợp chập của một tập hợp có phần tử là

Chứng minh: Mục đích cho học sinh thực hành phương pháp đếm theo
từng vị trí.
Vị trí 1 có n cách xếp
Vị trí 2 có n-1 cách xếp
…
Vị trí k có n-k+1 cách xếp
Vậy theo quy tắc nhân có

[1]

c. Một số qui ước
[1]
2.1.4 Tổ hợp
a. Định nghĩa: Giả sử tập
có
phần tử
Mỗi tập con gồm
phần tử của được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho.
b. Định lí: Số các tổ hợp chập của một tập hợp có phần tử là

Chứng minh: Mục đích hình thành phương pháp tư duy chọn trước xếp sau.
Để tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta có thể chia cơng việc thành
hai cơng đoạn.
Công đoạn 1: Chọn k phần tử trong n phần tử, số cách chọn là:
Công đoạn 2: Xếp k phần tử đã chọn theo một trình tự nhất định có:
cách.
Theo quy tắc nhân, số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
4

skkn


[1]
c. Một số quy ước
Với qui ước này ta có

ln đúng

d. Tính chất
Tính chất 1.
Tính chất 2.
[1]
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận thấy đối với các khóa học sinh
chưa được áp dụng sáng kiến kinh nghiệm phần lớn các em đều có chung một
nhận định là: “Tổ hợp và xác suất quá khó, rắc rối, khi làm hay bị thiếu trường
hợp, liên quan nhiều đến nhiều kiến thức số học và hình học”. Chính tâm lí
hoang mang ban đầu của các em đã là một trong những trở ngại lớn cho quá
trình tiếp thu và lĩnh hội nó.
Hơn nữa với đặc trưng trừu tượng và logic cao của bài toán, nhiều giáo
viên đã dạy qua loa và thậm chí khơng dạy cho các em học sinh mà họ cho là
“có lực học yếu kém” do bị rỗng và quên kiến thức cũ. Đây là một quan niệm sai
lầm của một số giáo viên nhằm biện minh cho việc làm sai trái của họ là cắt xén
chương trình do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định và đồng thời trốn tránh trách
nhiệm bồi dưỡng học sinh yếu kém của mình. Khiến cho các em đã yếu nay lại
càng yếu vì khơng hiểu biết gì về chuyên đề này, làm mất đi cơ hội rèn luyện tư
duy và phát triển phẩm chất năng lực trí tuệ của học sinh khi cịn ngồi ở trường
THPT.

Bên cạnh đó, tơi nhận thấy bài tốn đếm và tổ hợp xác suất thống kê trong
chương trình phổ thơng là một trong những đề tài mà nhiều người quan tâm
nhưng chưa xây dựng được thành một hệ thống đầy đủ và cũng chưa phân loại
được các dạng bài tập nhằm hình thành các phương pháp giải chung tương ứng.
Các phương pháp tư duy và kỹ thuật đếm trong sách giáo khoa cũng như các tài
liệu giảng dạy này cịn ít và chưa được đưa ra thành hệ thống mà nằm giải rác ở
các bài học cũng như các bài tập cụ thể.
Trước thực trạng trên, một giả thuyết khoa học được đặt ra: Nếu được ôn
tập các kiến thức về số học, hình học và được trang bị đầy đủ các phương pháp
đếm, kỹ thuật đếm một cách hệ thống, khoa học thì học sinh có thể đưa ra nhiều
lời giải cho bài toán tổ hợp và xác suất thống kê.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm về phát triển năng lực tư duy cho học
sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải bài tốn đếm trong chương
trình THPT
Sau khi trang bị cho học sinh các kiến thức cơ sở có kèm cả những chứng
minh giải thích như đã nêu ở phần cơ sở lý luận. Tơi từng bước hình thành cho
các em các phương pháp đếm từ dễ đến khó thơng qua việc chọn lọc, phân loại,
hệ thống bài tập và hướng dẫn các em biết cách phân tích tìm lời giải cho các bài

5

skkn


tốn cụ thể. Đối với bài tốn khó, học sinh dễ mắc sai lầm, tơi kiên trì giúp học
sinh phân tích tìm ra sai lầm để có hướng khắc phục.
2.3.1 Phương pháp đếm trực tiếp
Phương pháp giải: Liệt kê các trường hợp cụ thể có thể xảy ra rồi dùng quy
tắc cộng. Phương pháp này chỉ áp dụng cho các bài tốn đơn giải và cho các tập
hợp có số phần tử ít. Thơng thường ta có thể dùng thêm các công cụ hỗ trợ để dễ

dàng thống kê như: Bảng hai chiều, sơ đồ cây…
Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra khi lần lượt gieo ba đồng
xu cân đối đồng chất và phân biệt ?
Phân tích tìm hướng giải: Đồng xu có hai mặt nên ta có thể quy ước một
mặt là sấp, mặt còn lại là ngửa. Do ba đồng xu độc lập nhau nên sự xuất hiện
mặt sấp (S) hay ngửa (N) của đồng này là không liên quan đến sự xuất hiện của
các đồng cịn lại do đó ta có hai cách đếm trực tiếp sau:
Cách 1: Lập sơ đồ hình cây.

Vậy ta có thể liệt kê đầy đủ các kết quả có thể xảy ra như sau:
Suy ra số các kết quả là: 8.
Ưu điểm của cách đếm này là: Chỉ ra cụ thể, rõ ràng từng kết quả xảy ra.
Nhược điểm là: Cách làm dài và chỉ có thể đếm khi số đồng xu đem gieo là
nhỏ.
Cách 2: Dùng quy tắc nhân.
Đồng xu 1 có 2 cách xuất hiện là mặt sấp hoặc mặt ngửa
Đồng xu 2 có 2 cách xuất hiện là mặt sấp hoặc mặt ngửa
Đồng xu 3 có 2 cách xuất hiện là mặt sấp hoặc mặt ngửa
Theo quy tắc nhân có:
kết quả.
Ưu điểm: Ngắn gọn, có thể đếm khi số đồng xu đem gieo là rất lớn.
Nhược điểm: Không thể chỉ ra cụ thể, rõ ràng từng kết quả xảy ra.
Ví dụ 2: Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra khi lần lượt gieo hai con
súc sắc cân đối đồng chất và phân biệt? [1]
Phân tích tìm hướng giải: Mỗi con súc sắc có sáu mặt nên ta có thể gọi tên
mỗi mặt theo số chấm có trên mặt đó. Do hai con súc sắc là độc lập nhau nên sự
xuất hiện mặt mỗi mặt của con này là không liên quan đến sự xuất hiện của con
cịn lại do đó ta có hai các đếm trực tiếp sau:
Cách 1: Lập bảng hai chiều.
Con 1

1
2
3
4
5
6
Con 2
1
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
2
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
3
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
4
(4;1)

(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
6

skkn


5
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
6
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
Ưu điểm của cách đếm này là: Chỉ ra cụ thể, rõ ràng từng kết quả xảy ra.
Nhược điểm: Cách làm dài và chỉ đếm được khi số con súc sắc là 2.
Cách 2: Dùng quy tắc nhân.
Con súc sắc 1: Có 6 cách xuất hiện.
Con súc sắc 2: Có 6 cách xuất hiện.
Theo quy tắc nhân có:

kết quả.
Ưu điểm: Ngắn gọn, có thể đếm khi số con súc sắc đem gieo lớn.
Nhược điểm: Không thể chỉ ra cụ thể, rõ ràng từng kết quả xảy ra.
Ví dụ 3: Cho tập hợp
hỏi có bao nhiêu tập con gồm ba
phần tử của có tổng bằng 10?
Phân tích tìm hướng giải: Ta cần chọn ra 3 số khác nhau sao cho có tổng
bằng 10. Để q trình lựa chọn khơng bị lặp và không thiếu trường hợp nào ta
nên làm theo kỹ thuật sau mà tôi tạm gọi là “lùa cừu vào chuồng” cho học sinh
dễ nhớ. Nguyên tắc của kỹ thuật là ta sẽ đếm từ những phần tử đầu tiên của dãy
và lùa về phía sau để chọn được bộ số thoả mãn đề ra; tuyệt đối không quay
ngược về phía trước nữa. Làm tương tự cho các phần tử liền kề phía sau cho đến
hết.
Lời giải
Ta bắt đầu từ số 0 sẽ có các bộ:

Bắt đầu từ số 1 ta có các bộ:
Số 2 đứng đầu ta có bộ
Vì tổng của ba số bất kỳ kể từ số 3 trở đi đều lớn hơn 10 nên công việc kết
thúc. Như vậy có tổng cộng 8 tập con thoả mãn đề ra là:
Ưu điểm của phương pháp đếm trực tiếp là có thể chỉ ra hết tất cả các
thường hợp có thể xảy ra một cách cụ thể, rõ ràng. Song nhược điểm là chỉ đếm
được những tập hợp có kích thước nhỏ.
Thơng qua việc hình thành phương pháp đếm này tôi giúp các em rèn luyện
các phẩm chất chung như: chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm cũng như phát triển
các năng lực tư duy logic, sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề.
2.3.3 Phương pháp đếm theo vị trí
Phương pháp này đã được hình thành từ khi trang bị kiến thức cơ sở, từ đó
tơi u cầu học sinh tự khái quát thành phương pháp chung nhất nhằm phát triển
tư duy khái quát hoá, tổng quát hoá cho các em. Các em đã tự đưa ra được

phương pháp giải như sau:
7

skkn


Phương pháp giải: Xét sự phù hợp của phần tử cần xếp với mỗi vị trí trong
dãy để xem có bao nhiêu cách thiết lập rồi dùng quy tắc nhân. Có hai cách xét:
Cách 1: Xét xem vị trí thứ nhất trong dãy có thể xếp được bao nhiêu phần
tử thoả mãn yêu cầu bài toán rồi suy ra số cách xếp cho các vị trí tiếp theo.
Cách 2: Đếm số vị trí mà phần tử thứ nhất có thể được xếp vào rồi từ đó
đếm các vị trí có thể sắp xếp các phần tử còn lại thoả mãn yêu cầu đề ra.
Ví dụ 1: Biển số xe máy của tỉnh (nếu khơng kể mã số tỉnh) có kí tự,
trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng
cái tiếng Anh), kí tự
ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập
mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo
là một chữ số thuộc tập
Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh
có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau? [2]
Phân tích tìm hướng giải: Sáu ký tự đề cho tương ứng với sáu vị trí. Mỗi
vị trí trong sáu vị trí này đều đã có những yêu cầu cụ thể về các phần tử được
phép xếp vào. Vì vậy ta nên chọn cách 1 là đếm số cách xếp phần tử cho mỗi vị
trí để giải bài tốn.
Lời giải
Giả sử biển số xe là
.
Có
cách chọn
Có cách chọn

Có
cách chọn
Có
cách chọn
Có
cách chọn
Có
cách chọn
Vậy theo qui tắc nhân ta có
biển số xe.
Ví dụ 2: Số
có bao nhiêu ước số tự nhiên? [5]
Phân tích tìm hướng giải: Để làm được bài này, học sinh phải nắm vững
khái niệm ước số và biết cách phân tích một số thành các thừa số nguyên tố. Khi
đó mỗi số mũ của một luỹ thừa ứng với một vị trí.
Lời giải
Ta có
nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có
dạng
trong đó
sao cho
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Vậy theo qui tắc nhân ta có
ước số tự nhiên.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số
sao cho
là độ dài
3 cạnh của một tam giác cân. [5]

Phân tích tìm hướng giải: Học sinh phải nắm vững tính chất tam giác cân
là có hai cạnh bằng nhau và tổng hai cạnh lớn hơn cạnh cịn lại. Khi đó coi mỗi
cạnh là một vị trí, ta phải lựa chọn các số sao cho phù hợp cho mỗi vị trí.
Lời giải
TH1:
là độ dài 3 cạnh của một tam giác đều
có 9 số
thỏa mãn TH2 :
là độ dài 3 cạnh của một tam giác cân và không đều.
8

skkn


Khơng làm mất tính tổng qt, giả sử
.
Khả năng 1:
Chọn
Chọn
Chọn
………..
Chọn
Có :
số thỏa mãn bài tốn.
Khả năng 2:
Do
Với
Chọn
Chọn
Chọn

Chọn
Chọn
Chọn
Chọn
khơng có a tương ứng.
Có :
số thỏa bài tốn.
Trong trường hợp
, có :
số thỏa mãn.
Tương tự, mỗi trường hợp
,
đều có 52 số thỏa mãn.
Theo quy tắc cộng ta có:
số thỏa mãn yêu cầu bài tốn bài
tốn.
Phân tích sai lầm thường gặp khi học sinh làm bài: Đa số sai lầm là do
đếm thiếu trường hợp. Khắc phục: hướng dẫn học sinh dùng kỹ thuật “lùa cừu
vào chuồng” để chọn các kết quả cho từng vị trí.
2.3.3. Phương pháp buộc phần tử
Sử dụng thành thạo được phương pháp này các em sẽ rèn luyện được tính
cẩn thận và sự linh hoạt, sáng tạo trong tuy duy.
Phương pháp giải: Khi cần đếm một tập hợp mà có hai hoặc nhiều đối
tượng ln đứng cạnh nhau trong một phần tử của tập hợp thì ta có thể coi các
đối tượng đó là một, cùng chiếm một vị trí trong số các vị trí cấu tạo nên phần
tử, rồi sắp xếp các đối tượng theo yêu cầu đề ra.
Bước 1: Buộc các đối tượng thỏa mãn yêu cầu bài toán thành một đối
tượng kèm theo việc sắp xếp vị trí của các đối tượng khi buộc chúng vào với
nhau.
Bước 2: Sắp xếp đối tượng theo yêu cầu đề ra.

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân.
Chú ý: Thường dùng cho những bài tốn có sự sắp xếp, cạnh nhau, có
mặt…
9

skkn


Ví dụ: Một tổ học sinh lớp 11A1 có
bạn, trong đó có bạn Minh Đức và
bạn Trung Hiếu, xếp thành một hàng dọc để tập thể dục giữa giờ. Hỏi tổ học
sinh đó có bao nhiêu cách xếp hàng, sao cho hai bạn Minh Đức và Trung Hiếu
luôn đứng cạnh nhau? [6]
Phân tích tìm hướng giải: Coi hai bạn Minh Đức và Trung Hiếu là một
phần tử vì ln đứng cạnh nhau nên có cách xếp 2 bạn gần nhau. Lúc này hai
bạn chiếm một vị trí trong hàng. Khi đó ta cần sắp xếp cho 9 đối tượng thành
một hàng dọc để được cách xếp thoả mãn đề ra. Có 2 cách sắp xếp như sau.
Lời giải
Cách 1: Xếp 2 bạn Minh Đức, Trung Hiếu luôn đứng cạnh nhau có
cách.
Xếp cặp Đức – Hiếu cùng 8 bạn cịn lại thành một hàng có cách.
Theo quy tắc nhân có
cách xếp thoả mãn đề ra.
Cách 2: Có cách xếp 8 bạn (khơng có Minh Đức và Trung Hiếu) thành
một hàng dọc. Khi đó 8 bạn đó tạo ra 9 khoảng trống, ta chọn 1 khoảng trống để
xếp Minh Đức và Trung Hiếu vào có 9 cách. Có 2 cách để đổi chỗ hai bạn Minh
Đức và Trung Hiếu.
Vậy ta có
cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2.3.4. Phương pháp chọn trước xếp sau

Phương pháp giải: Để đếm số phần tử của một số tập hợp ta có thể xem xét
q trình hình thành, thiết lập mỗi phần tử trong tập hợp bằng cách chọn ra đủ
số lượng theo yêu cầu rồi sắp xếp theo yêu cầu đề ra.
Bước 1: Chọn ra cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất bài toán yêu cầu
Bước 2: Sắp xếp
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân.
Chú ý: Thường dùng cho những bài tốn có sự sắp xếp, cạnh nhau, có
mặt…
Ví dụ 1: Cho các chữ số
lập thành một số tự nhiên có dạng
biết rằng mỗi chữ số được sử dụng tối đa lần. Có bao nhiêu số lập
được từ các chữ số trên thỏa mãn đề bài? [5]
Phân tích tìm hướng giải: Do số có 5 chữ số và mỗi chữ số được dùng tối
đa hai lần nên xảy ra ba trường hợp là: Khơng có số nào lặp lại, có 1 số lặp lại
2 lần và có hai số lặp lại hai lần. Do đó ta phải chọn ra các số thoả mãn yêu
cầu rồi sắp xếp chúng theo một trình tự. Ta có lời giải sau
Lời giải
Trường hợp 1: Khơng có số nào lặp lại. Số các số thoả mãn là
.
Trường hợp 2: Có 1 số lặp lại hai lần.
Chọn 4 số trong 8 số không lặp . Chọn 1 số trong 4 số này để lặp .
Xếp 5 số vừa chọn được có:
Theo quy tắc nhân ta có:

cách (Vì có đổi chỗ hai số giống nhau)
.

Trường hợp 3: Có 2 số lặp lại hai lần.
Chọn 3 số trong 8 số không lặp . Chọn 2 số trong 3 số này để lặp

.
10

skkn


Xếp 5 số vừa chọn được:

.

Theo quy tắc nhân ta có:

.

Vậy theo quy tắc cộng số các số có chữ số lập được thỏa mãn đề bài là
.
Ví dụ 2: Có tất cả bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho máy tính nếu mật khẩu
có dạng
trong đó ,
là các ký tự trong bảng chữ cái tiếng anh và
là các ký tự số từ các chữ số từ 0 đến 9 thỏa mãn

? [5]

Phân tích tìm hướng giải: Nhận thấy việc chọn các ký tự là chữ cái khơng
mấy khó khăn. Xét các ký tự số, để thoả mãn đề bài cần chọn được ba số từ các
chữ số từ 0 đến 9 có tổng bằng 10. Do đó ta có lời giải sau
Lời giải
Bước 1: Chọn
mỗi kí tự có 26 cách chọn. Chọn

là chọn 1 bộ
trong số 8 bộ:
Bước 2: Xếp các số trong mỗi bộ theo một thứ tự tăng dần có cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả
cách
Phân tích sai lầm thường gặp khi học sinh làm bài: Đa số học sinh sai
lầm trong cách chọn và xếp bộ
như đếm thiếu bộ và xếp sai. Khắc phục:
hướng dẫn học sinh đếm bằng kỹ thuật lùa cừu vào chuồng vừa vét hết trường
hợp vừa đảm bảo các chữ số đã được xếp theo chiều tăng dần từ trái qua phải.
Ví dụ 3: Có 12 chiếc áo khác nhau và 10 cái cà vạt khác màu. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra ba bộ, mỗi bộ gồm 1 áo và 1 cà vạt?
Phân tích tìm hướng giải: Để giải quyết bài tốn này ta có thể chọn ra đủ
số áo, số cà vạt thoả mãn đề ra và tiến hành ghép đơi. Do đó ta có lời giải sau
Lời giải
Bước 1: Số cách chọn 3 cái áo trong 12 áo là
. Số cách chọn 3 cái cà vạt
trong 10 cà vạt là
.
Bước 2: Cái áo thứ nhất có 3 cách xếp cà vạt; cái áo thứ hai có 2 cách xếp
và áo thứ ba có 1 cách xếp cà vạt nên có cách xếp.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu là
.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài: Học sinh thường sai
khi ghép đôi áo với cà vạt.
Sai lầm số 1: Thiếu sắp xếp áo với cà vạt thành bộ dẫn đến kết quả:
Sai lầm số 2: Hiểu lầm sang bài toán sắp xếp thứ tự dẫn đến kết quả:
Khắc phục bằng cách: Chọn 3 áo có
rồi chọn 3 cà vạt để ghép đôi với 3
áo vừa chọn được: . Do đó số cách chọn là

Sai lầm số 3: Chọn 2 trong 6 chiếc áo và cà vạt được 1 bộ, sau đó chọn 2
trong 4 chiếc còn lại thành 1 bộ, hai chiếc còn lại 1 bộ
kết quả
Cách làm này đếm cả việc xếp 2 áo thành 1 bộ. Hướng
khắc phục: cố định áo, xếp cà vạt vào; hoặc dùng phương pháp đếm loại trừ.
11

skkn


Sai lầm số 4: Số cách chọn bộ thứ nhất là
cách, chọn bộ thứ hai là
cách và chọn bộ thứ ba là
cách. Vậy có
cách. Cách làm này đồng thời sắp xếp số thứ tự của các bộ được chọn. Khắc
phục bằng cách lấy kết quả chia cho số lần sắp xếp:

.

Thơng qua việc hình thành phương pháp giải, phân tích tìm hướng giải,
cũng như phân tích các sai lầm của học sinh như trên tôi đã giúp các em rèn
luyện được tính cẩn thận, chính xác và tư duy linh hoạt sáng tạo, tư duy giải
quyết vấn đề.
2.3.5. Phương pháp đếm loại trừ
Phương pháp giải: Khi cần đếm số phần tử của tập hợp mà có nhiều trường
hợp xảy ra chúng ta nên sử dụng phương pháp đếm loại trừ gồm ba bước sau:
Bước 1: Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả
Bước 2: Đếm số phương án xảy ra khơng thỏa mãn bài tốn được kết quả
Bước 3: Số phương án đúng là:
Ví dụ 1: Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5

nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 1 nam và ít nhất 1
nữ. [3]
Phân tích tìm hướng giải: Nếu đếm trực tiếp ta sẽ có 4 trường hợp là:
trong đồn đại biểu có đúng 1 nam, đúng 2 nam, đúng 3 nam và đúng 4 nam.
Còn đếm số phương án khơng thoả mãn chỉ có 2 là: Khơng có nam và khơng có
nữ.
Lời giải
Chọn 4 bạn bất kỳ:
Chọn đồn đại biểu gồm tồn nam hoặc tồn nữ có
Do đó số cách chọn đoàn đại biểu thoả mãn đề ra là :
cách.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài: Khi làm bài tốn đếm
dạng này nói chung và bài này nói riêng, đa số học sinh thường xác định sai các
phương án khơng thoả mãn đề. Khi đó tôi sẽ hướng dẫn học sinh vận dụng kiến
thức về mệnh đề phủ định mà các em đã được học ở lớp 10 để xử lý. Cụ thể với
bài toán này: khái niệm có ít nhất 1 tương ứng với khái niệm tồn tại
và phủ
định của mệnh đề chứa kí hiệu tồn tại là mệnh đề chứa ký hiệu với mọi
Phương pháp đếm này chứa đựng cơ hội rất tốt cho các em phát triển tư
duy biện chứng và tư duy giải quyết vấn đề cũng như rèn luyện các kỹ năng lập
luận, trình bày.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp các kí tự trong từ “THÀNH TÀI” sao
cho 2 kí tự giống nhau khơng đứng cạnh nhau?
Phân tích tìm hướng giải: Đây là sẽ là bài tốn khó nếu ta giải bằng cách
đếm vị trí vì sẽ dài và nhiều trường hợp. Trong trường hợp này đếm số cách xếp
các chữ cái đứng gần nhau dễ dàng hơn nên ta dùng phương pháp đếm loại trừ.
Lời giải
Từ “THÀNH TÀI” có 2 chữ T, 2 chữ H, 2 chữ A, 1 chữ N, 1 chữ I.
12

skkn


Gọi S là tập hợp các cách sắp xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trên

.

Gọi A là tập hợp các cách xếp sao cho hai chữ A đứng cạnh nhau. Buộc hai chữ
A lại thành một ta có số cách xếp là

. Làm tương tự, với chữ T và H.

Gọi T là tập hợp các cách xếp sao cho hai chữ T đứng cạnh nhau
Gọi H là tập hợp các cách xếp sao cho hai chữ H đứng cạnh nhau

Ta có số cách xếp thỏa mãn đề ra là:

Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài: Làm bằng cách này
học sinh lại hay qn cơng thức tính
do chưa hiểu và nhớ được
nguyên lý bù trừ. Khi đó tơi có thể lấy ví dụ cụ thể và giải thích bằng sơ đồ ven
của các tập hợp mà các em đã được học ở lớp 10. Khi đã hiểu được thì các em
có thể làm được nhiều bài tương tự một cách dễ dàng. Tôi cho học sinh luyện
thêm bài 2.4 trang 62 sách bài tập đại số và giải tích 11 để củng cố vững chắc
hơn.
Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số mà trong mỗi số đó
khơng có chữ số nào lặp lại đúng lần? [5]
Phân tích tìm hướng giải: Nếu sử dụng phương pháp đếm trực tiếp để giải
bài toán này sẽ có rất nhiều trường hợp xảy ra. Vì vậy ta sẽ đi đếm các số tự
nhiên có 5 chữ số mà trong đó có một chữ số lặp lại đúng 4 lần.

Lời giải
Bước 1: Gọi
là số tự nhiên gồm chữ số. Khi đó chữ số có
cách chọn. Các chữ số
mỗi chữ số khác có
cách chọn có
số
Bước 2: Tìm các số tự nhiên có chữ số trong đó có số lặp lại đúng
lần.
Trường hợp 1: chữ số lặp lại lần:
; trường hợp này có số.
Trường hợp 2: chữ số lặp lại lần:
Dạng
: có cách chọn
có số.
Dạng
: có cách chọn và có vị trí
có
số.
Suy ra trường hợp này có
số.
Các trường hợp còn lại: chữ số từ đến lặp lại lần tương tự trường
hợp chữ số 1 lặp lần, mỗi trường hợp đều có
số.
Do đó có
số có 5 chữ số trong đó có đúng 1 chữ số lặp lại 4
lần.
Bước 3: Vậy có
số thỏa u cầu bài tốn.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài: Học sinh thường

13

skkn


thiếu trường hợp vì qn đi vai trị bìnhh đẳng giữa các chữ số cấu tạo nên số
thoả mãn đề. Khi đó tơi u cầu học sinh dùng kỹ thuật “lùa cừu vào chuồng” để
vét cho hết tất cả các thường hợp có thể xảy ra.
2.3.6. Phương pháp tạo vách ngăn
Rất nhiều bài toán khi sử dụng các phương pháp đếm trên sẽ gặp nhiều
trường hợp khó khăn phức tạp. Nhưng khi sử dụng phương pháp này sẽ có lời
giải hay và ngắn gọn hơn. Từ đó giúp học sinh có được tư duy linh hoạt và sáng
tạo.
Phương pháp giải: Khi cần đếm số phần tử của một tập hợp mà mỗi phần
tử có yêu cầu các đối tượng cấu thành cụ thể nào đó khơng được phép xếp gần
nhau ta chọn phương pháp tạo vách ngăn thông qua các bước sau:
Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí tạo ra
vách ngăn,
chỗ
trống.
Bước 2: Sắp xếp các đối tượng khác theo yêu cầu bài toán vào
chỗ
trống.
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân.
Ví dụ 1: Có học sinh và thầy giáo A, B, C ngồi trên một hàng ngang có
9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó sao cho mỗi thầy giáo
ngồi giữa hai học sinh? [4]
Phân tích hướng giải: Để mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh, ta có thể
sắp xếp 6 học sinh trước để tạo ra 6 vách ngăn rồi xếp mỗi thầy giáo vào giữa.
Lời giải

Bước 1: Xếp vị trí cho học sinh có cách. Tạo ra 6 vách ngăn và 7 chỗ
trống.
Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính
khoảng trống từ 6 vách ngăn được tạo ra giữa 6 học sinh. Số cách xếp thầy
giáo vào vị trí là cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì có
cách.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài: Học sinh thường mắc
sai lầm ở bước 2 như sau: Với 6 học sinh nên tạo ra khoảng trống từ 6 vách
ngăn. Số cách xếp 3 thầy giáo vào vị trí là
cách. Khi đó tơi sẽ giúp học
sinh thấy cách làm này sẽ không đảm bảo yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai
học sinh và cũng mới chọn được vị trí mà chưa xếp các thầy vào.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đơi một khác nhau, trong
đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và
chữ số 7 luôn đứng trước chữ số 6. [7]
Phân tích hướng giải: Vì các chữ số 1,2,3,4,5,6 được xếp cố định theo
chiều tăng dần nên ta sắp xếp các chữ số này trước. Sau đó xếp chữ số 7 theo
yêu cầu đề rồi đến số 8,9 và cuối cùng là số 0 vì số 0 khơng thể đứng đầu. Do đó
ta có lời giải sau.
Lời giải

14

skkn


Bước 1: Xếp 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải ta
có: cách. Sáu chữ số này tạo thành 6 vách ngăn và 7 vị trí trống gồm 5 khoảng
giữa các vách ngăn và 2 vị trí bên ngồi.

Bước 2:Vì chữ số 7 luôn đứng trước chữ số 6 nên khơng thể xếp số 7 vào
vị trí bên ngồi phía sau. Dó đó cách xếp số 7 là:
Bước 3: Sau khi xếp số 7 sẽ tạo được 7 vách ngăn và 8 vị trí trống nên số
cách xếp chữ số 8 là:
Bước 4: Tương tự chữ số 9 có số cách xếp là:
Bước 5: Số cách xếp để chữ số 0 khơng thể đứng ở vị trí đầu tiên là:
Vậy tổng số các số thoả mãn đề là:
cách.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài: Học sinh thường mắc
sai lầm ở bước 3 và bước 5 như sau:
Bước 3: Xếp số 8,9 có
cách. Cách làm này sẽ dẫn đến 2 số 8,9 luôn
không được đứng gần nhau trong dãy số từ đó học sinh sẽ biết cách khắc phục.
Bước 5: Xếp số 0 có
hoặc học sinh làm bài toán bằng cách này mà xếp
số 0 trước hoặc đồng thời cùng các số 7,8,9. Làm như vậy số 0 có thể đứng ở vị
trí đầu tiên của dãy số từ đó học sinh tự biết cách khắc phục.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi xung
quanh một bàn tròn sao cho khơng có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau? [3]
Lời giải
Trước hết ta xếp chỗ cho 6 bạn nam. Vì 2 cách sắp xếp vị trí cho 10 người
với cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước
một vị trí cho một bạn nam nào đó, sau đó xếp 5 người cịn lại có cách, tạo ra
6 khoảng trống.
Xếp 4 bạn nữ vào 6 khoảng trống đó có cách.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là
cách.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm bài
Sai lầm số 1:Khơng tính đến 2 cách sắp xếp vị trí cho 10 người với cùng
một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một

. Khắc phục như trên.
Sai lầm số 2: Chỉ chọn chỗ mà không xếp bạn nữ vào:
Sai lầm số 3: Dùng phương pháp đếm loại trừ dẫn đến thiếu trường hợp.
Xếp cả: 10 người vào bàn trịn có: cách xếp. Xếp sao cho có bạn nữ ngồi
cạnh nhau: Xếp 6 bạn nam có 5! cách xếp vịng trịn tạo 6 khe trống. Chọn 2
trong 4 bạn nữ xếp gần nhau để xếp vào 1 trong 6 khe trống có:
cách. Hai
bạn nữ cịn lại có
cách chọn chỗ. Suy ra số cách xếp là:
cách. Vậy số cách xếp thoả mãn đề là:
cách.
Phân tích: Cách giải trên khá dài, học sinh cần bổ sung trường hợp có hai
cặp bạn nữ ngồi gần nhau, 3 bạn nữ ngồi gần nhau, và 4 bạn nữ ngồi gần nhau.
15

skkn


2.3.7. Phương pháp đặt biến số
Phương pháp giải: Trong những bài tốn đếm phức tạp, các đối tượng đếm
có mối liên hệ chặt chẽ với nhau mà đề lại chưa cho các kết quả cụ thể phục vụ
trực tiếp cho quá trình đếm thì ta phải sử dụng phương pháp đặt biến (giải bài
tốn bằng cách lập phương trình và hệ phương trình) để tìm thêm các dữ kiện rồi
mới thực hiện đếm.
Bước 1: Đặt biến và dựa vào giả thiết để lập các phương thình theo biến đã
đặt. Nếu lập hệ thì đặt bao nhiêu biến phải lập được bấy nhiêu phương trình.
Bước 2: Giải các phương trình, hệ phương trình hoặc phương trình nghiệm
nguyên vừa lập được để tìm ra nghiệm.
Bước 3: Áp dụng các phương pháp đếm để giải quyết bài tốn.
Ví dụ 1: Một giáo viên chuẩn bị 7 cuốn sách tốn, 8 cuốn sách hóa và 9

cuốn sách lý để làm phần thưởng cho 12 học sinh trong đó có hai bạn Hoa và
Lan. Các cuốn sách cùng môn là như nhau. Mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách
khác mơn.
a. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chia phần thưởng cho
học sinh?
b. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chia phần thưởng cho 12 học sinh để
Hoa và Lan nhận được phần thưởng giống nhau?
Phân tích tìm hướng giải: Trước hết xét xem 24 cuốn sách đề cho được
phân thành bao nhiêu cặp (Toán; Hóa), (Tốn; Lý), (Lý; Hóa) rồi chọn số học
sinh tương ứng để trao các cặp sách nói trên.
Lời giải
a. Gọi
lần lượt là số học sinh nhận được các phần thưởng gồm sách
Tốn và Lý, Tốn và Hóa, Lý và Hóa,
.
Theo giả thiết, ta có hệ:

.

Do đó số cách chia 24 cuốn sách gồm 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Hóa
và 9 cuốn sách Lý để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh nhận được
cuốn sách khác môn là:
.
b. Để Hoa và Lan nhận được phần thưởng như nhau có các trường hợp
sau:
Trường hợp 1: Chọn 2 bộ (Toán; Lý) trao cho Lan và Hoa rồi trao 10 bộ
cịn lại cho 10 bạn có:
cách trao.
Trường hợp 2: Chọn 2 bộ (Tốn; Hóa) trao cho Lan và Hoa rồi trao 10 bộ
cho 10 bạn cịn lại có:

cách trao.
Trường hợp 3: Chọn 2 bộ (Lý; Hóa) trao cho Lan và Hoa rồi trao 10 bộ cho
10 bạn còn lại có:
cách trao.
Vậy số cách trao để Lan và Hoa nhận được 2 cuốn sách cùng mơn là:
.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm câu a: Học sinh không
chia được 24 cuốn sách ra thành từng cặp. Cách khắc phục : hướng dẫn học sinh
16

skkn


đặt ẩn hoặc chọn sách từng môn để chia lần lượt cho đến hết, ta có cách làm thứ
2 là :
Lượt 1 : Chọn 7 học sinh để chia toán
, trao 5 hố cho 5 bạn cịn lại.
Lượt 2 : Chọn 3 trong 7 học sinh đã nhận toán để chia nốt 3 cuốn hố , 9
bạn cịn lại nhận 9 cuốn sách lý. Khi đó nhận được kết quả :
.
Phân tích sai lầm học sinh thường gặp khi làm câu b: Học sinh chọn 2 bộ
trong mỗi loại để chia cho 2 bạn Hoa, Lan
Mắc phải sai lầm
này vì các em quên mất giả thiết là các cuốn sách cùng loại thì như nhau nên các
bộ sách được chọn ra cũng như nhau nên việc chia này khơng có nghĩa mà phải
chia cho các bạn cịn lại.
Ví dụ 2: Cho đa giác đều
đỉnh, lập được tất cả bao nhiêu tam giác cân
nhưng không đều có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều này? [8]
Phân tích hướng giải: Đa giác đều thì nội tiếp được một đường tròn nên

ta sẽ chia đường trịn thành 15 cung bằng nhau. Tam giác cân có hai cạnh bằng
nhau nên độ dài mỗi cạnh tương ứng với độ dài cung mà cạnh đó chắn. Do đó
ta có thể lập một phương trình nghiệm ngun để giải quyết bài toán.
Lời giải
Giải sử đa giác đều nội tiếp đường tròn
và số đo mỗi cung căng 1 canh
là 1 đơn vị, ta có 15 cung bằng nhau như vậy.
Xét một đỉnh tam giác cân có 1 đỉnh là 1 đỉnh của đa giác đều thì số đo
cung chứa hai cạnh bên bằng nhau bằng
, cạnh cịn lại là
Ta có :
và
.
Giải phương trình nghiệm nguyên này ta được các nghiệm là:
Vậy có 6 tam giác cân có đỉnh là đỉnh của đa
giác đã cho nên có tất cả
tam giác cân khơng đều thỏa mãn.
2.3.8. Vận dụng các phương pháp đếm để giải bài tốn bằng nhiều
cách
Sau khi đã hình thành được cho học sinh các phương pháp đếm trên, tôi
tiến hành cho học sinh luyện tập ở mức độ cao hơn là: yêu cầu học sinh giải một
số bài toán đếm bằng nhiều cách khác nhau. Nhằm mục đích củng cố vững chắc
kiến thức phương pháp đã được hình thành và rèn luyện kỹ năng một cách thuần
thục cũng như phát triển tư duy linh hoạt sáng tạo cho các em.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp các kí tự trong từ THANHCONG sao
cho 2 kí tự giống nhau không đứng cạnh nhau? [5]
Lời giải
Cách 1: Phương pháp tạo vách ngăn
Trường hợp 1: H không đứng giữa hai chữ N
Xếp 5 ký tự khác nhau ta có: cách.

Chèn 2 chữ N vào các khoảng trống mà các vách ngăn tạo nên có:
cách.
Chèn 2 chữ H vào các khoảng trống mà các vách ngăn tạo nên có:
cách.
Vậy số cách xếp là:
cách.
Trường hợp 2: H đứng giữa 2 chữ N
17

skkn


Coi 2 chữ N là một kí tự ta có số các xếp 2 chữ N và 5 kí tự khác là:
cách. Chèn một chữ H vào giữa 2 chữ N có 1 cách, chèn chữ H cịn lại vào 7
khoảng trống khác có 7 cách. Vậy có cách.
Vậy tổng số cách xếp là:
cách.
Cách 2: Phương pháp đếm loại trừ kết hợp với đếm theo vị trí
Số cách xếp 9 kí tự trên thỏa mãn đề bài ta làm như sau: coi như ta có 9 ơ
trống xếp thành hàng ngang. Do kí tự N và H được lặp lại 2 lần nên ta sẽ xếp 5
kí tự cịn lại trước thì số cách xếp là 9.8.7.6.5, sau đó ta xếp 2 kí tự N vào 4 chỗ
cịn lại ta có 6 cách.
Khi hai kí tự N đứng cạnh nhau ta có thể coi đó là kí tự NN và số cách xếp
là 8.7.6.5.4.3 và tương tự với HH. Ta nhận thấy hai trường hợp này bị trùng
nhau trường hợp xuất hiện đồng thời NN và HH và số cách xếp đó là 7! Vậy
tổng số cách xếp thỏa mãn đề bài là:
Cách 3: Phương pháp đếm loại trừ kết hợp với buộc phần tử
Số cách sắp xếp ngẫu nhiên 9 chữ cái là

cách.

Số cách xếp cho hai chữ H hoặc hai chữ N đứng cạnh nhau đều là
Xếp cho hai chữ H đứng cạnh nhau, 2 chữ N đứng cạnh nhau là
Ta có số cách xếp thỏa mãn đề ra là:

cách.
cách.

.

Các sai lầm thường gặp của học sinh:
Trong cách 1: Khi tách các ký tự NN và HH bởi 5 ký tự khác nhau, học
sinh quên mất trường hợp 2 là H có thể đứng giữa hai chữ N hoặc N đứng giữa
hai chữ H. dẫn đến kết quả là
Trong cách 2: học sinh không nhận thấy hai trường hợp NN, HH đứng gần
nhau bị trùng nhau trường hợp xuất hiện đồng thời NN và HH và dẫn đến kết
quả:
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đơi một, trong
đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? [5]
Lời giải
Cách 1: Phương pháp đếm theo vị trí
TH1: Nếu số
đứng đầu thì có
số.
TH2: Nếu số
đứng đầu thì có
số.
TH3: Nếu số
khơng đứng đầu
Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu (khác

), cịn lại 6 vị trí có 4 cách
xếp 3 số
hoặc
, cịn lại 3 vị trí có
cách chọn các số cịn lại. Do đó
trường hợp này có
Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là
.
Cách 2: Phương pháp buộc phần tử và chọn trước xếp sau
Trường hợp 1: Khơng có số 0
Xếp các số 1,2,3 sao cho trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và
3: có cách. Sau đó buộc chúng thành một phần tử.
18

skkn


Chọn 4 số còn lại:
cách. Xếp 5 phần tử: cách
Theo quy tắc nhân có:
cách.
Trường hợp 2: Có số 0
Xếp các số 1,2,3 sao cho trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và
3: có cách. Sau đó buộc chúng thành một phần tử.
Chọn 3 số cịn lại:
cách. Xếp 5 phần tử để số 0 không đứng đầu:
cách. Theo quy tắc nhân có:
cách.
Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là
.

Nhận xét: Hầu hết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương
pháp trên để giải quyết, tuy nhiên chỉ có sự linh hoạt, sáng tạo mới đưa ra được
những lời giải hay và ngắn gọn nhất.
2.3.9. Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải ví dụ 2 mục 2.3.6. Phương pháp tạo vách ngăn bằng phương
pháp chọn vị trí: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đơi một khác nhau,
trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải
và chữ số 7 luôn đứng trước chữ số 6. [7]
Bài 2: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác
nhau mà trong đó hai số chẵn không thể đứng cạnh nhau? Đáp số:
số [5]
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc xây dựng
phương pháp giải bài tốn đếm trong chương trình THPT” đã đưa ra một cách
nhìn nhận khoa học nhất về phương pháp giảng dạy và hướng dẫn học sinh
THPT học tập, vận dụng tổ hợp, xác suất thống kê vào thực tế cuộc sống. Giúp
phát triển các phẩm chất năng lực tư duy của học sinh và bồi đắp sự yêu thích
tốn học nói chung và khoa học nói riêng.
Sáng kiến kinh nghiệm đã chỉ ra các phương pháp giải bài tốn đếm nói
riêng và các bài tốn tổ hợp xác suất nói chung, cùng việc phân loại bài tập kèm
phương pháp giải cụ thể với hệ thống ví dụ điển hình, được đưa ra từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp. Từ đây nó được sử dụng như một bài giảng để
giảng dạy cho tất cả các em học sinh lớp 11 từ học lực yếu, trung bình đến học
sinh khá giỏi. Giúp các em nhận thức đầy đủ về kiến thức, phương pháp cũng
như có nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng giải bài toán xác suất.
Mặt khác sáng kiến kinh nghiệm này còn là tài liệu hữu ích cho các em học
sinh tự học, tự rèn luyện.
2.4.2 Thực nghiệm và kết quả thực nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm được tôi áp dụng vào để dạy trong các tiết dạy tự

chọn, tiết dạy bồi dưỡng và thông qua các tiết ngoại khóa của tổ với chuyên
mục: “Sai ở đâu?”. Để đánh giá hiệu quả sau quá trình giảng dạy và học tập tôi
tiến hành kiểm tra đánh giá bằng các bài kiểm tra chuyên môn sau:
Bài số 1: Lớp 11- Bài kiểm tra chương 2 tiết số 36 theo PPCC.
Lớp 12 - Bài kiểm khảo sát chất lượng các môn học bồi dưỡng lần 1.
Bài số 2: Lớp 11- Bài kiểm khảo sát chất lượng học kỳ 1
Lớp 12 - Bài kiểm khảo sát chất lượng lớp 12 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa.
19

skkn


Kết quả bài kiểm tra ở các lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
Lớp
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
Sĩ số(SS)
11A5 Bài số 2
5%
12 29% 19 45% 5
12% 4
9%
SS 42 1
Bài số 3
7%
12 29% 18 43% 6
14% 3

7%
2
12A7 Bài số 3
7%
15 34% 20 45% 4
9%
2
5%
SS 44 1
Bài số 3
7%
10 22% 21 48% 7
16% 3
7%
2
Kết quả bài kiểm tra ở lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
Lớp
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
Sĩ số(SS)
11A3 Bài số 20 45% 19 42% 6
13% 0 0%
0
0%
SS
1
45

Bài số 16 36% 20 44% 9 20% 0 0%
0
0%
2
12A4 Bài số 18 41% 19 43% 7
14% 0 0%
0
0%
SS
1
44
Bài số 14 32% 19 43% 11 25% 0 0%
0
0%
2
Thông qua hai bảng kết quả trên ta thấy thành tích học tập của các em học
sinh của cả hai khối lớp có thực nghiệm 11A3-K56,12A4-K55 và khơng thực
nghiệm 11A5-K56,12A7-K55 có sự khác biệt rõ rệt. Kết quả thực nghiệm cũng
cho thấy sự tiến bộ rõ rệt của các em học sinh ở lớp thực nghiệm, tỷ lệ học sinh
khá, giỏi cao, khơng có học sinh yếu, kém. Các em giải quyết tốt các bài toán
đặt ra một cách linh hoạt và sáng tạo. Đứng trước các bài toán này các em tỏ ra
tự tin, chủ động và linh hoạt hơn để phân tích và nhận định bài tốn nhằm lựa
chọn cách giải thích hợp và ngắn gọn. Giờ học tốn và các tiết kiểm tra được các
em hào hứng chờ đợi, đặc biệt là trong các giờ luyện tập các em thi đua nhau tìm
ra những lời giải hay, cách giải đẹp làm khơng khí học tập trong lớp rất sôi nổi.
3. Kết luận và kiến ghị
3.1. Kết luận
Trên đây tơi vừa trình bày nội dung sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển
năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải bài
toán đếm trong chương trình THPT”. Tồn bộ kiến thức đã sử dụng trong bài

viết này đều được trang bị rất đầy đủ và chi tiết trong chương trình học tập của
học sinh lớp 10 và lớp 11 theo chương trình sách giáo khoa biên soạn của Bộ
Giáo Dục và đào Tạo. Sau đây là kết quả đạt được của quá trình nghiên cứu.
1. Cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức đầy đủ và chi tiết về quy
tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp.
2. Hình thành cho các em các 7 phương pháp giải bài toán đếm: Đếm trực
tiếp bằng cách liệt kê thông qua sơ đồ cây, bảng hai chiều, kỹ thuật “lùa cừu vào

20

skkn


chuồng”; đếm theo vị trí; buộc phần tử; chọn trước xếp sau; đếm loại trừ; tạo
vách ngăn và phương pháp đặt biến số.
3. Hướng dẫn cho học sinh biết cách phân tích đề để lựa chọn phương pháp
giải và tìm lời giải cho bài toán.
4. Hướng dẫn học sinh cách phân tích lật lại vấn đề để tự kiểm tra, rà soát
bài làm xem đúng hay sai để đưa ra cách khắc phục hiệu quả cho ra lời giải
đúng.
5. Xây dựng được một hệ thống bài tập hồn chỉnh thơng qua các ví dụ
điển hình theo thứ tự từ dễ đến khó. Có nhiều ví dụ là ứng dụng của bài toán trên
vào một số vấn đề của thực tế đời sống.
6. Rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ và năng lực tư duy cho học
sinh như: Tư duy khái quát hoá, tổng quát hoá, tư duy linh hoạt sáng tạo, tư duy
giải quyết vấn đề, tư duy biện chứng… Rèn tính cẩn thận, chắc chắn, xây dựng
và phát triển lịng say mê, u thích tốn học nói riêng và khoa học nói chung.
3.2. Kiến nghị
Đây là đề tài khó, nội dung chuyên đề rộng. Trong khuôn khổ hạn hẹp của
một sáng kiến kinh nghiệm, tôi nghiên cứu ở phạm vi vừa áp dụng cho việc

giảng dạy đại trà vừa ôn thi học sinh giỏi. Đề tài cịn có thể được khai thác, mở
rộng thêm trên lớp các bài toán: Phương pháp đếm nâng cao và các bài tốn ứng
dụng thực tế. Với phạm vi mợt sáng kiến kinh nghiệm, tôi đã phân loại được bài
tập và chỉ ra các ví dụ điển hình cũng như đưa ra các phương pháp giải chung
nhất. Rất mong được sự góp ý của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên
đề này được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
Thanh Hóa ngày 28 tháng 6 năm 2020
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình khơng sao chép nội
dung của người khác.
Người viết

Phạm Thị Nga

21

skkn