Mô hình toán học tiền tệ pdf

Lời mở đầu
Toán học tài chính ra đời hơn 100 năm nay nhưng đặc biệt phát triển trong
khoảng ba, bốn thập kỷ nay và ngày càng tỏ ra hữu ích trong thực tiễn đời
sống kinh tế của quốc gia và các cộng đồng kinh tế thế giới. Nó gắn liền với việc
phân tích một cách khoa học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng
hoảng tài chính và bảo hiểm vốn là những vấn đề tài chính, thời sự nhất là
trong cơn suy thoái nền kinh tế toàn cầu hiện nay. Mục đích của toán học tài
chính là dùng các công cụ toán học để nghiên cứu về thị trường tài chính, giúp
ta đưa ra các cách định giá các sản phẩm tài chính. Các thị trường tài chính
quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, các thị trường
hợp đồng quyền chọn, thị trường hợp đồng giao sau và thị trường tiền tệ trong
đó thị trường tiền tệ là lớn nhất. Giá trị buôn bán trao đổi trong thị trường này
trên toàn thế giới là hơn 300 tỷ USD mỗi ngày.
Vì lý do quan trọng của thị trường tiền tệ nên đã có nhiều phương pháp
toán tài chính định giá các hợp đồng về tiền tệ, tỷ giá hối đoái vì các hợp đồng
quyền chọn tính theo nhiều chỉ tệ. Trong luận văn này chúng tôi tổng hợp một
số phương pháp toán học để nghiên cứu thị trường tiền tệ. Luận văn gồm 3
chương:
Chương I: Trình bày một số khái niệm cơ bản về toán tài chính.
Chương II: Nêu các phương pháp toán trong hợp đồng ký kết trước; các
quyền chọn ngoại tệ, Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi, mô hình lãi suất
ngoại tệ.
Chương III: Dành nghiên cứu một loại hợp đồng đặc biệt trong thị trường
tiền tệ. Loại hợp đồng này có tên là hợp đồng chuyển đổi giá hay hợp đồng
1
Quanto.
Cuối cùng trong phần phụ lục, tôi nêu một số kiến thức cơ sở về lý thuyết
xác suất như kỳ vọng toán có điều kiện, martingale và ứng dụng của martingale
trong tài chính.
Qua đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trần Hùng
Thao, người đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm

luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học trường
Đại học Khoa Học Tự Nhiên - ĐH Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp của tôi đã động
viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2009
Phạm Thị Yến
2
Mục lục
1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 7
1.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . 9
1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán . . . . . . . 11
1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn
mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO . . . . . 18
1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy đủ . . 19
1.6.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá . . . . . . . 21
3
1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale . . . . . . 23
2 CÁC HỢP ĐỒNG VỀ TIỀN TỆ 25
2.1 Khái niệm về thị trường, cơ chế, lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Thị trường tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao ngay . . . 26
2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Tính lãi suất định trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Sự trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la . . . . . . . . . 30
2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ) . . . . . 30
2.2.5 Những chứng khoán có thể buôn bán được . . . . . . . . . 31
2.2.6 Giá thị trường tổng quát của rủi ro . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Các điều kiện của hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Mối liên hệ giữa giá định trước và giá hiện tại . . . . . . . 34
2.3.4 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman-Kohlhagen . . . . . . 36
2.4.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Ta sử dụng các ký hiệu sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3 Ta sử dụng các giả thiết sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.4 Thiết lập các phương trình giá quyền chọn . . . . . . . . . 38
2.4.5 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.6 Công thức Garman-Kohlhagen . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1 Lý do phải có sự phối hợp giữa hợp đồng quyền chọn bán
và hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4
2.5.2 Tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.3 Phân tích tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.4 Công thức cặp đôi mua bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.5 Công thức Black-Scholes cho quyền chọn bán châu Âu . . 42
2.6 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân (hay số hóa) . . . . . . . . . . 43
2.7 Tỷ giá hối đoái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.1 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guarauteed Exchange
Rates) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.2 Định giá hợp đồng ký kết trước về tỷ giá hối đoái đảm
bảo viết trên một cổ phiếu (GER Forward on a Stock) . . 46
2.8 Mô hình lãi suất ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 CÁC HỢP ĐỒNG CHUYỂN ĐỔI GIÁ (QUANTO) TRONG
THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ 53
3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá (quanto) . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Các sản phẩm tài chính buôn bán được . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Bảo hộ trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.1 Tình huống và biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2 Bảo hộ giá bằng các “ Bảo đảm lãi suất bị chặn” . . . . . . 59
3.6.3 Bảo hộ giá bằng biện pháp “ Mua bán cổ phần cặp đôi” . 60
3.6.4 Bảo hộ giá bằng hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . 60
3.6.5 Bảo hộ tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.6 Định nghĩa và lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.7 Vấn đề bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo 71

5
Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ
ĐẦU
Trong chương này chúng tôi nêu ra một số khái niệm cơ bản, cần thiết để
nghiên cứu các thị trường tiền tệ như: hợp đồng quyền chọn, hợp đồng ký kết
trước, hợp đồng giao sau và lý thuyết về độ lệch chênh thị giá.
1.1 Thị trường tài chính
Hầu như ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán New
York, London và Tokyo. Các báo cáo về hoạt động buôn bán tại các thị trường
này thường xuất hiện trên trang nhất của các tờ báo hàng ngày và trên các bản
tin thời sự buổi tối tại các quốc gia có nền kinh tế thị trường. Có rất nhiều thị
trường tài chính trước nữa. Mỗi thị trường đều có một đặc trưng xác định bởi
loại hàng hóa tài chính được mang ra trao đổi.
Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu (stock
market), các thị trường trái phiếu (bond market), các thị trường tiền tệ (currency
market), các thị trường hợp đồng sau và hợp đồng quyền chọn (future and option
market).
Hàng hóa mua bán có thể là một tài sản cơ sở (basic equity) như: một cổ
phiếu, một trái phiếu, một đơn vị tiền tệ. Tài sản cơ sở cũng được gọi là tài sản
6
nguyên khởi (Primitve equity) hay tài sản nền tảng (underlyring equity) còn lại
các loại hàng hóa khác gọi là phái sinh tài chính (financial derivative) hay tài
sản phụ thuộc (contigent asset; contigent claim) tức là hàng hóa mà giá trị của
nó rút ra được từ giá trị của các tài sản cơ sở. Phái sinh tài chính là đối tượng
nghiên cứu chính của Toán học tài chính.
1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính
Một công ty cần có tiền có thể bán các cổ phiếu của họ cho các nhà đầu tư.
Những người này sở hữu cổ phần hoặc những chứng từ tài sản và có thể nhận
được cổ tức hoặc không, phục thuộc vào công ty đó làm ăn có lãi hay không và

có quyết định chia lãi cho cổ đông hay không.
Giá của cổ phiếu công ty là gì? Giá trị đó phản ánh cách nhìn và dự đoán
của nhà đầu tư về các chi trả cổ tức, về khoản kiếm được trong tương lai và
nguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát. Việc kiểm soát những điều không chắc
chắn ấy được giải quyết trong từng ngày giao dịch bởi người mua và người bán
các cổ phiếu trong các thị trường chứng khoán. Cho một chứng khoán, tức là
một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu. Khi đó một phái sinh chứng khoán là một
hợp đồng đặc biệt mà giá của nó vào một ngày nào đó trong tương lại phụ thuộc
hoàn toàn vào giá trị trương lai của chứng khoán đó.
1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua
1.3.1 Định nghĩa
Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương
lai với một giá đảm bảo trước". Cái quyền cho phép có thể mua như vậy trong
tương lai được gọi là Quyền Chọn Mua.
7
1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua
∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng (người mua) có thể trả cho người
viết hợp đồng (người bán) số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng.
∙ Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì
người viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo
hạn.
1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn
Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng sẽ được đặt sao cho người viết trả cho
người giữ khoản chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi giá cổ phiếu và giá
thực thi.
Điều đó cho phép ta mô tả khoản chi trả có thể theo giá 𝑆
𝑇
của cổ phiếu và
giá thực thi 𝑋 vào ngày đáo hạn.
Ta có thể nói:

Số tiền chi trả = max {𝑆
𝑇
− 𝑋, 0}
= (𝑆
𝑇
− 𝑋)
+
1.3.4 Ví dụ
Một hợp đồng quyền chọn mua 100 cổ phần X sẽ cho người mua hợp đồng
này cái quyền mua 100 cổ phiếu với giá 100 đôla/1cổ phần bất cứ lúc nào trong
3 tháng tới. Người mua phải trả phí mua quyền chọn là 2 đô la/1cổ phần. Nếu
giá chứng khoán tăng 120 đô la/1cổ phần trong 3 tháng người mua hợp đồng có
thể thực hiện hợp đồng là mua 100 cổ phần với giá 100 đô la/1cổ phần( người
bán hợp đồng quyền chọn trước đây phải bán 100 cổ phần với giá là 100 đô
la/1cổ phần) sau đó đem bán ra thị trường với giá 120 đôla/cổ phần. Như vậy
người mua sẽ kiếm được một khoản lợi nhuận (sau khi đã trả phí mua quyền
chọn) là. (120x100) – (100x100) – (100x2) = 1800 đô la.
Ngược lại nếu giá chứng khoán X trên thị trường sụt giá dưới 100 đô la và
đứng yên trong đó 3 tháng thì người mua sẽ không thực hiện được hợp đồng(vì
8
không có lãi mà lại bị lỗ) thì người mua phải mất 200 đô la phí mua quyền chọn.
Người giữ hợp đồng quyền chọn mua có một quyền chọn đầu tư nếu người
này không muốn có một cổ phần thì người đó sẽ tránh không trả khoản giá thực
thi của hợp đồng điều này xảy ra nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn thấp hơn
giá thực thi.
Nếu người giữ hợp đồng thấy giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn cao hơn giá thực
thi thì người đó sẽ trả giá thực thi của hợp đồng và có được một cổ phần có giá
trị (quyền chọn được thực thi).
1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán
1.4.1 Định nghĩa

Người ta có thể "mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán
trong tương lai với một giá đảm bảo", ngay cả khi mà người ta không sở hữu
bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay
gọi tắt là Quyền Chọn Bán.
1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán
∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết hợp
đồng một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị
trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán.
∙ Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương
đương do người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta phải trả chi phí thực thi
cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng.
1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn
Thông thường thì với hợp đồng Quyền Chọn Bán này thì hoặc là hợp đồng
không được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng
một khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào lúc đáo hạn.
9
Ký hiệu giá chứng khoán lúc đáo hạn là
𝑆
𝑇
còn giá thực thi là
𝑋
thì ta có thể
nói rằng thu hoạch của người giữ quyền chọn bán này là:
Thu hoạch quyền chọn bán = max {𝑋 − 𝑆
𝑇
; 0}
= (𝑋 − 𝑆
𝑇
)
+

quyền chọn bán có hạn chế là chỉ được thực thi vào lúc đáo hạn.
1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes
1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả
Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán
học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng
về định giá Quyền Chọn. Từ đó ra đời Mô hình Blacks – Scholes để định giá tài
sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Ngay lập tức, mô
hình đó cùng với công thức Blacks – Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã
có một tác động có tính chất cách mạng đến các thị trường chứng khoán Mỹ lúc
đó. Người ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của mô hình này để định giá
chứng khoán và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên
tác động lên thị trường. Năm 1996, Scholes đã nhận được giải thưởng Nobel về
kinh tế học nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác của R.C. Merton,
một chuyên gia lão luyện về Tài chính tại Viện Công nghệ Massachusetts
Gọi 𝑆 = 𝑆
𝑡
là giá cổ phiếu tại thời điểm 𝑡. Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác
động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi 𝑆
𝑡
là một quá trình ngẫu nhiên với
thời gian liên tục 𝑆
𝑡
= 𝑆(𝑡, 𝜔).
1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes
Mô hình Blacks – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên
tuyến tính như sau:
𝑑𝑆
𝑡
= 𝜎𝜇𝑆
𝑡

𝑑𝑡 + 𝜎𝑆
𝑡
𝑑𝐵
𝑡
(1.1)
10
trong đó
𝜇, 𝜎
là những hằng số, còn
𝐵
𝑡
là chuyển động Brown lời giải của phương
trình này là một quá trình ngẫu nhiên 𝑆
𝑡
= 𝑆(𝑡, 𝜔) hơn nữa lời giải này là một
chuyển động Brown hình học
𝑆
𝑡
= 𝑆
0
. exp

𝜎𝐵
𝑡
+

𝜇 −
𝜎
2
2


𝑡

(1.2)
Giả sử có một thị trường:
∙ Hoạt động liên tục
∙ Có lãi suất không đổi
∙ Không chia lợi tức cho cổ đông trước khi đáo hạn
∙ Không có phí giao dịch
∙ Không trao đổi chứng khoán
Và ký hiệu:
∙ 𝑆
𝑡
: là giá cổ phiếu tại thời điểm 𝑡 (là một quá trình ngẫu nhiên liên tục vì
chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường).
∙ 𝑑𝑆
𝑡
: là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian [𝑡; 𝑡 + 𝑑𝑡].
∙ 𝜇: là hằng số (biểu thị độ thay đổi tương đối về giá
𝑑𝑆
𝑡
𝑆
𝑡
tỷ lệ với độ dài thời
gian 𝑑𝑡)
∙ 𝜎: là hằng số và được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu 𝑆
𝑡
(vì 𝜎 càng lớn
thì tác động ngẫu nhiên càng lớn).
∙ 𝐵

𝑡
: là chuyển động Brown (quá trình Wiener)
𝑆
0
là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm 𝑡 = 0.
Nhận xét:
Trong chuyển động Brown hình học (1.2) thì 𝜇 và 𝜎 đã biết, vì vậy ta xác
định được 𝑆
𝑡
, nhưng trong thực tế thì 𝜇 và 𝜎 thường là chưa biết mà người ta
phải xác định nó bằng phương pháp thống kê, ước lượng, quan sát như sau.
11
Giả sử ta ghi nhận được một số liệu về giá cổ phiếu trong một khoảng thời
gian [0, 𝑇 ]. Ta chia [0, 𝑇 ] thành 𝑛 khoảng bằng nhau, có độ dài Δ𝑡
𝑖
= 𝑡
𝑖
− 𝑡
𝑖−1
với 𝑖 = 0, 1, , 𝑛. Giả sử ta biết giá chứng khoán tại điểm cuối 𝑡
𝑖
của mỗi khoảng
nhỏ [𝑡
𝑖−1
, 𝑡
𝑖
]. Như vậy ta có 𝑛 + 1 quan sát 𝑆
1
, 𝑆
2

, , 𝑆
𝑛+1
.
Đặt 𝑈
𝑖
= ln(𝑆
𝑖
+ 1) −ln(𝑆𝑖) với 𝑖 = 1, 2, , 𝑛.
Kết hợp với (1.2) ta được
𝑈
𝑖
= 𝜎 (𝐵
𝑡
𝑖+1
− 𝐵
𝑡
𝑖
) +

𝜇 −
𝜎
2
2

Δ
𝑡
(1.3)
Trong đó (𝐵
𝑡
𝑖+1

−𝐵
𝑡
𝑖
) là một biến ngẫu nhiên chuẩn có kì vọng 0 và phương sai
Δ
𝑡
, hơn nữa, các biến ngẫu nhiên (𝐵
𝑡
𝑖+1
−𝐵
𝑡
𝑖
) là các biến ngẫu nhiên độc lập với
𝑖 = 0, 1, , 𝑛. Theo công thức thống kê thì trung bình mẫu 𝑈 và phương sai mẫu
𝑆
2
của dãy số liệu 𝑈
1
, 𝑈
2
, , 𝑈
𝑛
được tính bởi công thức:








𝑈 =
1
𝑛
𝑛

𝑖=1
𝑈
𝑖
𝑆
2
=
1
𝑛 −1
𝑛

𝑖=1

𝑈
𝑖
− 𝑈

2
Đây là những ước lượng trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên
𝑈
0
. Nếu căn cứ vào (1.3) thì phương trình phương sai của 𝑈 là:
𝑈 =

𝜇 −
𝜎

2
2

Δ
𝑡
(1.4)
𝑆
2
= 𝜎
2
Δ
𝑡
(1.5)
Giải hệ phương trình (1.4) và (1.5) ta có:







𝜇 =
𝑈 +
1
2
𝑆
2
Δ
𝑡
𝜎 =

𝑆
Δ
𝑡
1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng
quyền chọn mua
𝑉 = 𝑆
𝑡
𝑁(𝑑
1
) −𝑋.𝑒
−𝑟(𝑇 −𝑡)
𝑁(𝑑
2
) (1.6)
12
Trong đó
(1
.
6)
là công thức Black – Scholes để xác định giá
𝑉
của một quyền
chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm hiện tại 𝑡, trên cơ sở giá cổ phiếu 𝑆
𝑡
tuân
theo mô hình Black – Scholes .
Trong đó 𝑋 là giá thực thi của quyền chọn mua kiểu châu Âu (tại thời điểm
𝑇 ); 𝑇 là thời điểm đáo hạn; 𝑟 là lãi suất không rủi ro 𝑟 = 𝜇; 𝑆
𝑡
là giá cổ phiếu

tại thời điểm 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ]; 𝑁 ký hiệu cho hàm phân phối 𝑁(0, 1)
𝑁(𝑥) =
1
2𝜋

𝑥
−∞
𝑒
−
𝑢
2
2
𝑑𝑢 (1.7)
𝑑
1
, 𝑑
2
là hai giá trị được xác định bởi:
𝑑
1
=
1
𝜎
√
𝑇 − 𝑡

ln
𝑆
𝑡
𝑋

+

𝑟 +
𝜎
2
2

(𝑇 − 𝑡)

𝑑
2
= 𝑑
1
− 𝜎
√
𝑇 − 𝑡
Nhận xét:
* Nếu chọn thời điểm hiện tại làm thời điểm gốc 𝑡 = 0 thì công thức Black
– Scholes trở thành
𝑉 = 𝑆
𝑡
𝑁(𝑑
1
) −𝑋.𝑒
−𝑟 𝑇 )
𝑁(𝑑
2
)
với
𝑑

1
=
1
𝜎
√
𝑇 − 𝑡

ln
𝑆
0
𝑋
+

𝑟 +
𝜎
2
2

𝑇

𝑑
2
= 𝑑
1
− 𝜎
√
𝑇 − 𝑡
𝑁(𝑥) =
1
2𝜋


𝑥
−∞
𝑒
−
𝑢
2
2
𝑑𝑢
* Nếu kí hiệu thời điểm đáo hạn là 𝑇 ; thời điểm ban đầu là 𝑡 thì chứng khoán
ban đầu sẽ là 𝑆
𝑡
, còn khoảng thời gian từ lúc ban đầu đến lúc đáo hạn sẽ là
𝑇 − 𝑡, lúc này công thức Black – Scholes sẽ viết là :
𝑉 = 𝑆
𝑡
𝑁(𝑑
1
) −𝑋.𝑒
−𝑟(𝑇 −𝑡)
𝑁(𝑑
2
)
Đây là công thức Black – Scholes với :
𝑑
1
=

ln
𝑆

𝑡
𝑋
+

𝑟 +
𝜎
2
2

(𝑇 − 𝑡)

1
𝜎
√
𝑇 − 𝑡
𝑑
2
= 𝑑
1
− 𝜎
√
𝑇 − 𝑡
với 𝑋 là giá thực thi của Quyền Chọn Mua
13
1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá
1.6.1 Các khái niệm chung
1.6.1.1 Phương án đầu tư (portfolio)
Một phương án đầu tư là một tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán
với các trọng số nào đấy. Giả sử có 𝑛 chứng khoán với giá tại thời điểm 𝑡 là:
𝑆

1
(𝑡), , 𝑆
𝑛
(𝑡).
Một phương án đầu tư là một cách chọn ra 𝛼
1
(𝑡) chứng khoán 𝑆
1
, , 𝛼
𝑛
(𝑡)
chứng khoán 𝑆
𝑛
tại mỗi thời điểm 𝑡 để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy tại
thời điểm 𝑡, ký hiệu bởi 𝑉
𝛼
(𝑡) được xác định bởi.
𝑉
𝛼
(𝑡) = 𝛼
1
(𝑡)𝑆
1
(𝑡) + + 𝛼
𝑛
(𝑡)𝑆
𝑛
(𝑡) =
𝑛


𝑖=1
𝛼
𝑖
(𝑡)𝑆
𝑖
(𝑡) (1.8)
Vì các chứng khoán 𝑆
1
(𝑡), , 𝑆
𝑛
(𝑡) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của phương
án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các 𝛼
𝑖
(𝑡) ở đây là các hàm số tất
định của 𝑡. Một phương án đầu tư có thể ký hiệu là (𝛼, 𝑆) hay 𝜙 = (𝛼, 𝑆).
1.6.1.2 Phương án mua và bán
Một phương án đầu tư (𝛼, 𝑆) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán
𝑆
𝑖
(𝑖 = 1, , 𝑛) tại thời điểm 𝑡 nếu 𝛼
𝑖
(𝑡) > 0 và được gọi là phương án mua đối
với chứng khoán ấy nếu 𝛼
𝑖
(𝑡) < 0. Giá của chứng khoán 𝑆
𝑖
tại thời điểm 𝑡 được
ký hiệu là 𝑆
𝑖
(𝑡)

1.6.1.3 Thị trường không có độ chênh lệch thị giá
Ta nói rằng thị trường ℳ = (𝑆, Φ) là một thị trường không có cơ hội chênh
lệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ mà
có độ chênh lệch thị giá.
Giả thiết "không có độ chênh lệch thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence
of Arbitrage Opportunity)
14
1.6.1.4 Cân đối và tự tài trợ
(a) Tại một thời điểm 𝑡, phương án đầu tư có thể được cân đối lại tức là điều
chỉnh lại việc mua và bán chứng khoán 𝑆
𝑖
(𝑖 = 1, 𝑛). Điều đó cũng có nghĩa
là thay đổi các trọng số của chúng từ 𝛼
1
(𝑡), , 𝛼
𝑛
(𝑡) sang 𝛽
1
(𝑡), , 𝛽
𝑛
(𝑡).
(b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức
là:
𝛽
1
(𝑡)𝑆
1
(𝑡) + + 𝛽
𝑛
(𝑡)𝑆

𝑛
(𝑡) = 𝛼
1
(𝑡)𝑆
1
(𝑡) + + 𝛼
𝑛
(𝑡)𝑆
𝑛
(𝑡)
thì ta gọi sự cân đối đó là cân đối tự tài trợ.
Nhận xét: Một phương án đầu tư (𝛼, 𝑆) là một phương án tự tài trợ nếu
và chỉ nếu 𝑑𝑉
𝛼
(𝑡) =
𝑛

𝑖=1
𝛼
𝑖
(𝑡)𝑑𝑆
𝑖
(𝑡)
1.6.1.5 Độ chênh thị giá
Một phương án đầu tư tự tài trợ 𝜙 ∈ Φ được gọi là một cơ hội chênh lệch thị
giá nếu quá trình 𝑉
𝑡
(𝜙) của phương án đầu tư thỏa mãn các điều kiện.
(i) 𝑃 {𝑉
0

(𝜙) = 0} = 1
(ii) 𝑃 {𝑉
𝑇
(𝜙) ≥ 0} = 1, 𝑇 là thời điểm đáo hạn của hợp đồng.
(iii) 𝑃 {𝑉
𝑇
(𝜙) > 0} > 0
Điều kiện (𝑖) nói lên rằng hầu chắc chắn tại thời điểm bán đi vốn đầu tư là
bằng không, điều kiện (𝑖𝑖) có nghĩa là hầu chắc chắn đến lúc kết thúc hợp đồng,
phương án đầu tư có lợi nhuận ≥ 0; điều kiện (𝑖𝑖𝑖) nói rằng có khả năng kiếm
lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng. Cả ba điều kiện có nghĩa là phương
án 𝜙 là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận.
1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO
1.6.2.1 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá
Xét một mô hình thị trường ℳ gồm các chứng khoán 𝑆 và một họ các phương
án đầu tư tự tài trợ Φ = {𝜙 = (𝛼, 𝑆)}
15
Ta ký hiệu
ℳ
= (
𝑆,
Φ)
Các giá chứng khoán 𝑆
𝑡
trong 𝑆 được xem là các quá trình ngẫu nhiên xem
xét trong một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱ
𝑡
), 𝑃 ) với (ℱ
𝑡
) là một họ

tăng các 𝜎−trường con của ℱ và thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức là
một họ tăng theo 𝑡, liên tục phải và chứa mọi tập ℱ-đo được và 𝑃 -bỏ qua được,
đồng thời ℱ = {Ω, 𝜙} (theo định nghĩa). Họ (ℱ
𝑡
) chính là luồng thông tin về thị
trường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường.
1.6.2.2 Tài sản phái sinh kiểu Châu Âu
Gọi 𝑋 là biến ngẫu nhiên bất kỳ ℱ−đo được. Một hợp đồng tài chính chỉ
thực thi tại thời điểm đáo hạn 𝑇 với giá trị là 𝑋
𝑇
được gọi là một tài sản phái
sinh kiểu Châu Âu và được ký hiệu là 𝑋.
Tài sản phái sinh Châu Âu cũng được gọi là một quyền tài chính Châu Âu.
Nếu không nói gì thêm từ nay ta gọi tắt một phái sinh hay một quyền.
1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy
đủ
1.6.3.1 Định nghĩa chiến lược đáp ứng
Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn 𝑋
𝑇
tại thời điểm
đáo hạn 𝑇 là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho
𝑉
𝑇
(𝜙) = 𝑋
𝑇
tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá
trị tự đáo hạn 𝑋
𝑇
đã xác định trước và đã ghi trong hợp đồng.
Quá trình 𝑉

𝑡
(𝜙) của phương án đấy được gọi là quá trình đáp ứng.
Ký hiệu Φ
𝑋
là lớp tất cả các phương án đầu tư 𝜙 đáp ứng cho phái sinh 𝑋.
1.6.3.2 Định nghĩa phái sinh đạt được
Một tài sản phái sinh 𝑋 được gọi là đạt được trong thị trường ℳ nếu nó có
ít nhất một phương án đáp ứng cho nó.
16
Tức là
Φ
∕
=
∅
1.6.3.3 Định nghĩa thị trường đầy đủ
Một thị trường ℳ được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh 𝑋 đều đạt
được trong ℳ, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên 𝑋
đo được đối với ℱ
𝑇
thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư 𝜙 ∈ Φ sao cho
𝑉
𝑇
(𝜙) = 𝑋
𝑇
Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao trong thị trường. Với đòi hỏi
này thì mọi tài sản phái sinh kiểu Châu Âu đều có thể định giá bằng phương
pháp độ chênh lệch thị giá và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như phương
án tự tài trợ.
1.6.4 Ví dụ
Xét một hợp đồng cho phép người giữ hợp đồng có quyền mua 1 số cổ phiếu

tại thời điểm 𝑇 với giá thị trường 𝑆(𝑇 ) còn giá của hợp đồng này tại thời điểm
𝑡 = 0 là 𝐶(0)
∙ Nếu 𝐶(0) > 𝑆(0) ta có thể bán hợp đồng với giá 𝐶(0) và mua cổ phiếu với
giá 𝑆(0). Hiệu 𝐶(0) −𝑆(0) có thể đem đầu tư vào một ngân hàng không rủi
ro với lãi suất 𝑟. Vào thời điểm 𝑇 , ta tung cổ phiếu ra và thu được lợi nhuận
là
(𝐶(0) − 𝑆(0)).𝑒
𝑟𝑇
∙ Nếu 𝐶(0) < 𝑆(0) ta mua hợp đồng với giá 𝐶(0) và bán cổ phiếu với giá 𝑆(0).
Hiệu 𝑆(0) −𝐶(0) đem đầu tư vào ngân hàng không rủi ro. Tại thời điểm 𝑇
lợi nhuận là
(𝑆(0) −𝐶(0)).𝑒
𝑟𝑇
∙ Nếu 𝐶(0) = 𝑆(0) thì không có lợi nhuận do sự chênh lệch thị giá.
Nếu 𝑆(𝑡) là một chuyển động Brown hình học 𝑆(𝑡) = 𝑆
0
.𝑒
𝜇𝑡+𝜎𝐵(𝑡)
thì 𝐸.𝑆(𝑡) = 𝑆(0).𝑒
(𝜇+
1
2
𝜎
2
).𝑇
17
1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá
1.6.5.1 Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng
Giả thiết rằng 𝑋 là một phái sinh thực thi tại thời điểm đáo hạn 𝑇 .
Định nghĩa: Ta nói rằng phái sinh 𝑋 được đáp ứng một cách duy nhất

trong thị trường ℳ nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với 𝑋. tức
là nếu có hệ thức:
𝑉
𝑡
(𝜙) = 𝑉
𝑡
() ∀𝑡 ≤ 𝑇
với hai phương án đầu tư bất kỳ 𝜙 và  thuộc về Φ
𝑋
.
Định lý sau đây nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không có độ chênh thị
giá (AAO) và nguyên lý đáp ứng.
Định lý: Giả sử ℳ là một thị trường không có độ chênh thị giá. Khi đó mọi
tài sản phái sinh đạt được 𝑋 đều được đáp ứng duy nhất trong thị trường ℳ.
1.6.5.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh
thị giá
Gọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựa
vào nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng để tính ra giá của một tài sản phái
sinh tại một thời điểm 𝑡 trước lúc đáo hạn 𝑇 , đặc biệt là tính ra được giá ban
đầu 𝑉
0
của phương án cần đầu tư để đạt được giá trị đáo hạn 𝑋 đặt ra trước của
hợp đồng. Công cụ để thực hiện phương pháp này là một độ đo xác suất mới
mà ta sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale. Vì thế phương
pháp này cũng được gọi là phương pháp rủi ro trung tính.
Giả sử 𝑉
𝑡
là giá của một phương án đầu tư tại thời điểm 𝑡 nhằm thực hiện
một hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn là 𝑋 đó là một quá trình ngẫu nhiên
xét trên một không gian được lọc (Ω, ℱ, (ℱ

𝑡
) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑃 ), trong đó (ℱ
𝑡
) là luồng
thông tin về thị trường với ℱ
0
= {Ω, ∅} và 𝑃 là xác suất ban đầu.
Nói chung dưới độ đo ban đầu 𝑃 thì (𝑉
𝑡
) không phải là một martingale đối
với ℱ
𝑡
. Người ta đi tìm một độ đo xác suất 𝑄 mới và một hệ số tất định 𝑘(𝑡) sao
cho:
18
(a)
𝑄
tương đương với độ đo xác suất
𝑃
(b) Dưới độ đo 𝑄 thì quá trình

𝑉
𝑡
= 𝑘(𝑡).𝑉
𝑡
là một martingale đối với luồng
thông tin thị trường ℱ
𝑡
, tức là
𝐸

𝑄
(

𝑉
𝑡
∣ℱ
𝑠
) =

𝑉
𝑠
với mọi 𝑠 ≤ 𝑡
Đặc biệt nếu 𝑠 = 0 và 𝑡 = 𝑇 thì hệ thức trên cho ta:
𝐸
𝑄
(

𝑉
𝑡
∣ℱ
0
=

𝑉
0
nhưng vì ℱ
0
= {Ω, ∅} nên 𝐸
𝑄
(.∣ℱ

0
) = 𝐸
𝑄
(.), tức là kỳ vọng có điều kiện ℱ
0
cũng
như không có điều kiện. Vậy ta có:
𝐸
𝑄
(

𝑉
𝑇
) =

𝑉
0
hay
𝐸
𝑄
(𝑘(𝑇 )𝑉
𝑇
) = 𝑘(0)𝑉
0
Vì 𝑘(𝑡) là một hàm tất định nên ta rút ra
𝑉
0
=
𝑘(𝑇 )
𝑘(0)

.𝐸
𝑄
(𝑉
𝑇
)
Vì giả thiết có nguyên lý AAO nên tồn tại một phương án đáp ứng 𝜙 với giá
𝑉
𝑡
= 𝑉
𝑡
(𝜙) sao cho 𝑉
𝑇
= 𝑋
𝑇
. Cuối cùng ta có
𝑉
0
=
𝑘(𝑇 )
𝑘(0)
𝐸
𝑄
(𝑋
𝑇
)
Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng 𝑉
0
như trên để đạt được
giá trị của hợp đồng bằng 𝑋
𝑇

như mong muốn. Ngoài ra, ta cũng biết được giá
của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm 𝑡 bất kỳ
𝑉
𝑡
=
𝑘(𝑇 )
𝑘(𝑡)
𝐸
𝑄
(𝑋
𝑇
)
1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale
Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu 𝑋 có giá trị đáo hạn là 𝑋
𝑇
, được
viết trên tài sản cơ sở 𝑆
𝑆 = (𝑆
𝑡
, 0 ≤≤ 𝑇 )
19
có thời gian đáo hạn là
𝑇
.
Giả thiết rằng 𝑆 là một chiều (ví dụ như là một cổ phiếu), các giá của 𝑆 đều
là một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱ
𝑡
), 𝑃 )
trong đó ℱ
𝑡

là bộ lọc mang thông tin về thị trường.
Giả sử hệ số chiết khấu là 𝑘(𝑡) =
1
𝛽(𝑡)
trong đó 𝛽(𝑡) cũng là một quá trình
ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nói trên. Thông thường
ta hay chọn 𝛽(𝑡) = 𝑒
𝑟 (𝑇 −𝑡)
, do đó hệ số chiết khấu là 𝑒
−𝑟(𝑇 −𝑡)
; nếu lãi suất không
có rủi ro thì 𝑟 là tất định và hệ số chiết khấu là tất định.
1.6.6.1 Định nghĩa
Một độ đo xác suất 𝑄 trên (Ω, ℱ) sẽ được gọi là xác suất rủi ro trung tính
nếu:
(i) 𝑄 tương đương với 𝑃
(ii) Hầu chắc chắn có
𝐸
𝑄

𝑆
𝑡
𝛽(𝑡)
∣ℱ
𝑠

=
𝑆
𝑠
𝛽(𝑠)

với mọi 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
1.6.6.2 Chú ý
∙ Tính chất (ii) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu. Do
đó xác suất 𝑄 được gọi là độ đo martingale.
∙ Giả sử 𝑄 là một độ đo martingale. Gọi 𝑉
𝑡
là quá trình giá của một chiến
lược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở 𝑆. Người ta đã chứng
minh được rằng khi đó quá trình giá chiếu khấu

𝑉
𝑡
=
𝑉
𝑡
𝛽(𝑡)
cũng là một martingale đối với (𝑄, ℱ
𝑡
)
∙ Người ta đã chứng minh được kết quả quan trọng được gọi là định lý cơ
bản để định giá tài sản:
Một thị trường là không có độ chênh thị giá (AAO) nếu và chỉ nếu tồn tại
một xác suất rủi ro trung tính 𝑄 (hay độ đo martingale 𝑄)
20
Chương 2
CÁC HỢP ĐỒNG VỀ
TIỀN TỆ
Trong chương này chúng tôi trình bày các loại hợp đồng quan trọng trong thị
trường tiền tệ là hợp đồng ký kết trước, hợp đồng quyền chọn ngoại tệ, quyền
chọn mua bán tiền tệ cặp đôi sau khi giới thiệu các cơ chế buôn bán tiền tệ và

lãi suất định trước.
2.1 Khái niệm về thị trường, cơ chế, lãi suất
2.1.1 Thị trường tiền tệ
Thị trường tiền tệ hay thị trường buôn bán ngoại tệ là nơi diễn ra các giao
dịch, trao đổi, mua bán một số mặt hàng nhất định. Thị trường tiền tệ là thị
trường lớn nhất trong các thị trường tài chính. Hiện nay các trung tâm buôn
bán ngoại tệ hàng đầu thế giới phải kể đến như: trung tâm buôn bán ngoại tệ
Luân Đôn, New York, Tokyo,
Thị trường tiền tệ nước ngoài hay thị trường tiền gửi là nơi diễn ra các hoạt
động cho vay, và vay bằng ngoại tệ với những thời hạn xác định kèm theo một
khoản tiền lời thể hiện qua lãi suất (giá của tiền). Các mức lãi suất này xác định
chi phí hay mức thu nhập có liên quan đến việc sẽ sử dụng tiền trong một thời
21
gian nhất định.
Thị trường tiền tệ trong nước là nơi giao dịch các nguồn vốn bằng đồng bản
tệ và hoạt động theo các quy định của quản lý thị trường trong nước. Khi có
một giao dịch được thực hiện bằng bất cứ đồng tiền nào vượt ra ngoài quy định
quản lý thị trường trong nước đối với đồng tiền này khi đó xuất hiện đồng tiền
nước ngoài.
2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ
Người ta dùng 2 công thức định giá sau đây trong giao dịch trao đổi ngoại
tệ đó là công ước Mỹ và công ước Châu Âu.
a. Công ước Mỹ: Sự trao đổi ngoại tệ thể hiện theo công thức
Số đơn vị tiền trong nước = 1 đơn vị ngoại tệ
b. Công ước Châu Âu: Sự trao đổi ngoại tệ thể hiện theo công thức
Số đơn vị ngoại tệ = 1 đơn vị nội tệ
2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao
ngay
* Lãi suất định trước: Giả sử thời điểm hiện tại 𝑡 = 0, ta định trước lãi
suất tại thời điểm 𝑡 > 0 trong thời điểm hiện tại 𝑡 = 0 được gọi là lãi suất định

trước.
* Lãi suất giao ngay: (còn được gọi là lãi suất tại chỗ) là lãi suất được
tính cho một công cụ tài chính hay lãi suất thanh toán trong giao dịch tài chính.
Lãi suất giao ngay phản ánh lãi suất thị trường trong khoảng 2 ngày từ thời
điểm buôn bán.
2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi
Hoa lợi (yeild), kí hiệu là 𝑌 (𝑇 ) , chỉ lãi suất tính theo năm mà ta phải trả
hôm nay cho một trái phiếu đáo hạn trong vòng 𝑇 năm nữa. Đó là lãi suất trung
bình hàng năm cho thời kì [0, 𝑇]. Với những trái phiếu không phải trả lãi trước
22
ngày đáo hạn thì hoa lợi được tính theo tỉ lệ giữa giá hiện tại và giá lúc đáo hạn
của trái phiếu. Nếu kí hiệu tỉ lệ đó là 𝑃 (0, 𝑇 ) thì
𝑃 (0, 𝑇 ) = 𝑒
−𝑇.𝑌 (𝑇 )
nếu đặt 𝑇 = 𝑛 là số năm đến lúc đáo hạn thì ta có thể viết lại công thức trên
dưới dạng gần đúng sau:
𝑃 (0, 𝑛) = [1 + 𝑌 (𝑛)]
˘𝑛
đường hoa lợi biểu thị lãi suất hiện tại hoặc chi phí về tiền vay do thị trường
xác lập nên. Người môi giới hoặc người buôn bán trái phiếu muốn mua hoặc bán
với giá đó cộng thêm với một chút chi phí bao tiêu (spread). Suốt cả ngày họ
chỉ lo điều chỉnh giá lên hoặc xuống, đáp ứng với những điều kiện kinh tế thay
đổi. Giá cả đó một phần phụ thuộc vào viêc cung và cầu về tiền tệ hàng ngày,
và cũng phụ thuộc vào dự đoán của người buôn bán về triển vọng tương lai của
các trái phiếu. Nếu người đó đánh giá đúng thị trường thì hãng của anh ta sẽ
có lãi nhiều, nếu đánh giá nhầm thì sẽ bị thua lỗ nặng.
2.1.5 Tính lãi suất định trước
Ta ký hiệu:
𝑃 (0, 𝑇 ) là tỷ lệ giữ giá trị hiện tại (𝑡 = 0) và giá trị lúc đáo hạn 𝑡 = 𝑇 của
một trái phiếu.

𝑌 (𝑇 ) là đường hoa lợi, 𝑃 (0, 𝑇 ) = 𝑒
−𝑇.𝑌 (𝑇 )
𝑓(0, 𝑡) là lãi suất định trước.
Ta có 𝑌 (𝑡) =
1
𝑡

𝑡
0
𝑓(0, 𝑠)𝑑𝑠
𝑃 (𝑡, 𝑇 ) là giá của trái phiếu 0 tại thời điểm đáo hạn 𝑇 và định trước tại thời
điểm 𝑡.
𝑓(𝑡, 𝑠) là lãi suất tại thời điểm 𝑠 và được tính từ thời điểm 𝑡, 𝑡 < 𝑠
Ta có 𝑃(0, 𝑇 ) = 𝑒
−𝑇.𝑌 (𝑇 )
= 𝑒
−
∫
𝑇
0
𝑓(0,𝑠)𝑑𝑠
Do đó 𝑓(0, 𝑇 ) =
𝑑 ln 𝑃
𝑑𝑡
(0, 𝑇 )
Tổng quát 𝑃(𝑡, 𝑇 ) = 𝑒
−
∫
𝑇
𝑡

𝑓(𝑡,𝑠)𝑑𝑠
23
thì
𝑓(𝑡, 𝑇 ) = −
∂ ln 𝑃
∂𝑡
(𝑡, 𝑇 ) (2.1)
Ta tính lãi suất định trước theo công thức 𝑓 (0, 𝑡) = 𝑌 (𝑡) + 𝑡.𝑌
′
(𝑡) hoặc
𝑓(0, 𝑡) = −
𝑑 ln 𝑃
𝑑𝑡
(0, 𝑡)
Chú ý: Khi thực hành tính lãi suất định trước thông thường ta chỉ biết một
số giá trị rời rạc của 𝑌 (𝑡) và 𝑃 (0, 𝑡) tại một số điểm rời rạc 𝑡
1
, 𝑡
2
, , 𝑡
𝑛
cho nên ta
không thể tính ngay được đạo hàm mà phải sử dụng phương pháp nội suy tuyến
tính để được các đường gấp khúc tại 𝑡
1
, 𝑡
2
, , 𝑡
𝑛
sau đó làm trơn các đường ấy

để có hàm trơn 𝑌 (𝑡).
2.2 Sự trao đổi ngoại tệ
Trong thị trường trao đổi ngoại tệ, cũng giống như thị trường cổ phiếu, việc
nắm giữ tài sản cơ bản, tiền tệ là việc mạo hiểm. Giá trị bằng đô la của một
bảng Anh biến đổi liên tục cũng giống như cổ phiếu của nước Mỹ. Nó dẫn tới
yêu cầu phái sinh tài chính; khoản tiền thanh toán dựa trên giá trị trong tương
lai của một đơn vị tiền tệ này theo một đơn vị tiền tệ khác.
2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước
Ta hãy xét một giao dịch định trước. Một nhà đầu tư đô la muốn chấp thuận
giá trị về mặt đô la của một bảng Anh tại một thời điểm 𝑇 trong tương lai.
Cũng giống với cổ phiếu, chiến lược tái tạo để đảm bảo phái sinh tài chính định
trước là cố định. Bây giờ chúng ta mua bảng Anh và bán đồng đô la. Nhưng
tiền mặt trong cả hai đơn vị tiền tệ đều thu được lãi suất. Và cũng như trong
mô hình Black-Scholes đơn giản, việc nắm giữ tiền mặt của chúng ta không còn
là tiền mặt mà là trái phiếu.
Chúng ta sẽ thực hiện cụ thể: giả sử lãi suất của đồng đô la là hằng số 𝑟, lãi
suất đồng bảng Anh là 𝑢 và hiện tại 𝐶
0
đô la mua được 1 bảng Anh. Xét chiến
luợc tái tạo cố định sau. Tại thời điểm 𝑡, chúng ta:
∘ Sở hữu 𝑒
−𝑢𝑇
đơn vị trái phiếu đồng bảng Anh.
24
∘
Sở hữu ngắn hạn
𝐶
0
.𝑒
−𝑢𝑇

đơn vị trái phiếu đồng đô la.
Tại thời điểm 𝑡 = 0, phương án đầu tư có giá trị không và tại thời điểm 𝑇
việc nắm giữ đồng bảng Anh sẽ là một bảng Anh như yêu cầu, và việc nắm giữ
đồng đô la ngắn hạn sẽ là 𝐶
0
.𝑒
(𝑟 − 𝑢)𝑇
giá định trước mà ta mong muốn. So sánh
với giá cổ phiếu định trước 𝑆
0
.𝑒
𝑟𝑇
. Chúng ta phải thận trọng khi mở rộng mô
hình đơn giản cho trao đổi ngoại tệ.
2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes
Giả sử 𝐵
𝑡
là trái phiếu đồng đô la, 𝐷
𝑡
là trái phiếu bằng đồng bảng Anh và
𝐶
𝑡
đô la = 1 bảng Anh.
Khi đó mô hình là
Trái phiếu đô la 𝐵
𝑡
= 𝑒
𝑟 𝑡
Trái phiếu bảng Anh 𝐷
𝑡

= 𝑒
𝑢𝑡
Tỷ suất trao đổi 𝐶
𝑡
= 𝐶
0
. exp(𝜎.𝑊
𝑡
+ 𝜇.𝑡)
(2.2)
Với 𝑊
𝑡
là 𝑃 −chuyển động Brown, 𝑟, 𝑢, 𝜎, 𝜇 là các hằng số.
2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la
Tài chính cơ sở chỉ ra rằng có 2 hình thức buôn bán được dành cho nhà
đầu tư đồng đô la. Một hình thức không phức tạp trái phiếu đô la buôn bán
được dễ dàng bằng đô la cũng giống như trái phiếu trong tài khoản cơ bản của
Black-Scholes. Hình thức còn lại thì không đơn giản. Chúng ta thường coi tỷ
suất trao đổi ngoại tệ 𝐶
𝑡
là có thể kinh doanh được nhưng không phải vậy. Quá
trình 𝐶
𝑡
biểu diễn giá trị bằng đô la của 1 bảng Anh, nhưng tiền bảng Anh
không phải là một đối tượng mua bán được trong thị trường của chúng ta.
2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ)
1. Tìm 1 độ đo 𝑄 sao cho trái phiếu đồng bảng Anh được chiết khấu bởi trái
phiếu đô la 𝑍
𝑡
= 𝐵

−1
𝑡
.𝑆(𝑡) = 𝐵
−1
𝑡
.𝐶
𝑡
.𝐷
𝑡
là một martingale.
25