CHUỖI LŨY THỪA potx

n
n
n
xxa )(
0
1
−
∑
∞
=
)(
0
xxX
−=
n
n
n
Xa
∑
∞
=1
Bằng phép biến đổi
ta đưa chuỗi trên về dạng
IV. CHUỖI LŨY THỪA
Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho
trường hợp chuỗi có dạng
n
n
n
xa
∑

∞
=1
hội tụ tại
Rõ ràng chuỗi
n
n
n
xa
∑
∞
=
1
0
=
x
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
1.Định nghĩa
∗
Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của
chuỗi lũy thừa
2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∗
Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa
n
n
n
xa
∑
∞
=1

Rxx
<
:
hội tụ với mọi
và phân kỳ với mọi
Rxx
>
:
được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
n
n
n
xa
∑
∞
=1
n
n
n
xa
∑
∞
=1
n
n
n
xa
∑
∞
=1

∗
Nếu chuỗi lũy thừa
∗
Nếu chuỗi lũy thừa
phân kỳ ∀x ≠ 0 ta cho R = 0.
hội tụ ∀x
∈
R ta cho R = +∝ .
2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
ρ
=
+
∞→
n
n
n
a
a
1
lim
n
n
n
xa
∑
∞
=1
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
là:






=∞+
∞+<<
∞+=
=
0,
0,
1
,0
ρ
ρ
ρ
ρ
R
a) Định lý Abel:
Giả sử
ρ
=
∞→
n
n
n
alim
n
n
n

xa
∑
∞
=1
b. Định lý Cauchy:
khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
là:





=∞+
∞+<<
∞+=
=
0,
0,
1
,0
ρ
ρ
ρ
ρ
R
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
Giả sử
Chú ý: Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n
n

n
xa
∑
∞
=1
n
n
n
xa
∑
∞
=1
Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán
kính hội tụ R.
∗
Bước 1:
Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là:
-R < x < R
Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút
của khoảng hội tụ.
Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
∗
Bước 2:
∗
Bước 3:
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).
∑
∞
=
1n

n
n
x
1
1
1
1
→
+
=⇒=
+
n
n
a
a
n
a
n
n
n
VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Ta có:
Vậy R = 1
4. Một số ví dụ:
∗
Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 <x <1
∗
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = ± 1

Tại x = 1 ta có chuỗi

∑
∞
=
1
1
n
n
phân kỳ
∑
∞
=
+
1
3.
)2(
n
n
n
n
x
∑
∞
=1
3.
n
n
n
n
X
VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi

Đặt X = (x+2) chuỗi ban đầu trở thành
4. Một số ví dụ - VD 1(tt):
tiêu chuẩn Leibnitz.

Tại x = -1 ta có chuỗi
∑
∞
=
−
1
1
)1(
n
n
n
hội tụ theo
Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x <1
4. Một số ví dụ - VD2(tt):
1 5-
<<⇔
x
Vậy R = 3
∗
Khoảng hội tụ của chuỗi là
3 2)( 3- 3 3-
<+<⇔<<
xX
3
1
3

1
3.
1
→=⇒=
n
n
n
n
n
n
a
n
a
Ta có:
∑
∞
=
−
1
1
)1(
n
n
n
∑
∞
=
1
1
n

n

Tại x = 1 ta có chuỗi
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x <1

Tại x = -5 ta có chuỗi
hội tụ.
phân kỳ.
4. Một số ví dụ - VD2(tt):
∗
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và
x = 1:
∑
∞
=
1
2
9.
n
n
n
n
x
∑
∞
=
1n
n
n
Xa

n
n
n
a
9.
1
=
9
1
9
1
→=
n
n
n
n
a
VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt X = x
2
, chuỗi ban đầu trở thành
Ta có:
Vậy R = 9
4. Một số ví dụ (tt):
3x 3- 3
2
<<⇔<
x
∑
∞

=
1
1
n
n
∗
Khoảng hội tụ của chuỗi là
∗
Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = ± 3:
phân kỳ.
4. Một số ví dụ - VD3(tt):

Tại x = ± 3 ta có chuỗi
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x < 3
(
)
∑
∞
=
+
−
⋅
+
−
1
1
1
12
)1(
n

n
n
x
x
n
x
x
X
+
−
=
1
1
∑
∞
=
+
−
1
12
)1(
n
n
n
X
n
12
)1(
+
−

=
n
a
n
n
11
32
12
1
=⇒→
+
+
=
+
R
n
n
a
a
n
n
VD4: Tìm miền hội tụ của chuỗi
Đặt
Chuỗi ban đầu trở thành
Ta có:
4. Một số ví dụ (tt):
0 1
1
1
1- 1 1-

>⇔<
+
−
<⇔<<
x
x
x
X
∑
∞
=
+
−
1
12
)1(
n
n
n
∗
Khoảng hội tụ của chuỗi là
Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 0 ≤ x < +∝
4. Một số ví dụ - VD4 (tt):
∗
Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0:
Tại x = 0 ta có chuỗi
chuẩn Leibnitz.
hội tụ theo tiêu
∑∑
∞

=
−
∞
=
=
′






1
1
1 n
n
n
n
n
n
xnaxa
∑
∞
=
−
1
1
n
n
n

xna
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa:
khi đó chuỗi
cũng có bán kính hội tụ là R.
a) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục trên
miền hội tụ của nó.
b)Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm từng số
hạng của từng chuỗi lũy thừa, nghĩa là
∑∑
∫∫
∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
==






1
1
1
00

1
1
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
n
x
n
a
dttadtta
∑
∞
=
+
+
1
1
1
n
n
n
x
n

a
c) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy tích phân từng số
hạng của chuỗi lũy thừa, nghĩa là:
khi đó chuỗi cũng có bán kính hội
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt):
tụ là: R

12
)1(
53
)(
1253
+
+
−+−+−=
+
n
xxx
xxS
n
n
12
)1()(
12
0
+
−=
+
∞
=

∑
n
x
xS
n
n
n
2
1
1
)(
x
xS
+
=
′
VD1: Hãy tính tổng của chuỗi
trong miền hội tụ của chúng.
có bán kính hội tụ là R=1
Ta có:
. Vậy
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt):
∑∑
∞
=
∞
=
−=−=⇒
0
2

0
2
)(.)1()('
n
n
n
nn
xxxS
cũng có bán
kính hội tụ là R=1
)1(
32
)(
1
32
+−+−+−=
−
n
xxx
xxS
n
n
VD2: Hãy tính tổng của chuỗi
trong miền hội tụ của chúng.
∫∫
+
=
′
=−⇒
xx

dt
t
dttSSxS
0
2
0
1
1
)()0()(
Mà S(0)= 0 nên S(x) = arctgx
0arctgarctg −= x
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD1 (tt):
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
−=−=
′
0
1
1
1
)()1()(
n
nn
n
n

xxxS
x
xS
+
=
′
1
1
)(
bán kính hội tụ là R = 1.
Vậy
cũng có
Cho nên
n
x
xS
n
n
n
∑
∞
=
−
−=
1
1
)1()(
có bán kính hội tụ là R=1
Ta có:
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt):

321)(
12
+++++=
−n
nxxxxS
VD3: Hãy tính tổng của chuỗi
trong miền hội tụ của chúng.
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt):
Mà S(0) = 0 nên S(x) = ln(1+x)
)1ln(
1
1
)()0()(
00
xdt
t
dttSSxS
xx
+=
+
=
′
=−⇒
∫∫
(
)
′
−
−
=

′








=⇒
∫
1
1
1
)()(
0
x
dttSxS
x
( )
2
1
1
)(
x
xS
−
=⇒
1
1

1
)(
0
−
−
=
∫
x
tS
x
Vậy
1
1
)(
−
∞
=
∑
=
n
n
xnxS
có bán kính hội tụ là R=1
Ta có:
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD3 (tt):
∑
∫
∞
=
=⇒

1
0
)(
n
n
x
xdttS
cũng có bán kính hội tụ là R=1
6. Chuỗi Taylor
6. Chuỗi Taylor (tt)
7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông
dụng
7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng
(tt)