Chương II: Phép Đếm pdf

Chương II: Phép Đếm. 1
TẬP HỢP
TẬP HỢP

Định nghĩa tập hợp: Các tập hợp dùng để nhóm các
đối tượng lại với nhau. Thông thường, các đối tượng
trong tập hợp có các tính chất tương tự nhau.
Chú ý: thuật ngữ đối tượng được dùng ở đây không
chỉ rõ cụ thể một đối tượng nào, sự mô tả một tập
hợp nào đó hoàn toàn mang tính trực giác về các đối
tượng.
Chương II: Phép Đếm. 2
TẬP HỢP
TẬP HỢP

Các đối tượng trong một tập hợp được gọi là các phần
tử của tập hợp.

Kí hiệu: Các tập hợp thường được ký hiệu bởi những
chữ cái in hoa đậm như A, B, X, Y , các phần tử
thuộc tập hợp hay được ký hiệu bởi các chữ cái in
thường như a, b, c, l, g, t

Ví dụ:
•
Tập MAT04 gồm các sinh viên trong lớp toán rời rạc.
•
Tập A = {a,b,c}.
•
Tập các số tự nhiên N.
•

Tập B = {1, xe hơi, Binladen, mây}.
Chương II: Phép Đếm. 3

Để chỉ a là phần tử của tập hợp A ta viết a A, trái ∈
lại nếu a không thuộc A ta viết a A.∉

Một tập hợp không có bất kì phần tử nào được gọi là
tập hợp rỗng, kí hiệu là
∅
, hay {}.
TẬP HỢP
TẬP HỢP
Chương II: Phép Đếm. 4
TẬP HỢP
TẬP HỢP
Tập Hợp Con

Định nghĩa: Tập A được gọi là một tập con của tập
hợp B khi và chỉ khi mỗi phần tử của A là một phần tử
của B. Hay A B khi và chỉ khi lượng từ :⊆
∀ x ((x A) → (x B)) cho ta giá trị đúng.∈ ∈
Khi đó, ta kí hiệu : A B.⊆

Nếu A là tập con của tập B và tồn tại ít nhất 1 phần tử
b thuộc B mà b không thuộc A thì khi đó A được gọi là
tập con thật sự của B.
Kí hiệu là A B. ⊂
A
B
Chương II: Phép Đếm. 5

TẬP HỢP
TẬP HỢP

Ví dụ:
•
Tập MAT04 gồm các sinh viên trong lớp toán rời rạc là tập
con của tập UIT là tập gồm các sinh viên trong trường.
•
S = {a,b} là tập con của tập P = {a,b,c,l,g,t}.
•
Tập số hữu tỉ Q là tập con của số thực R.
Chương II: Phép Đếm. 6
TẬP HỢP
TẬP HỢP
Tập Hợp Bằng Nhau

Định nghĩa: A và B được xem là 2 tập hợp bằng nhau
nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và ngược lại. Hay
mệnh đề :
∀ x (x A → x B ) x ( x B → x A) cho ta ∈ ∈ ∨ ∀ ∈ ∈
giá trị đúng.
Khi đó, ta kí hiệu : A = B.

Ví dụ:

Tập A = {a,b,c} bằng tập B = {a,b,c} (hay A=B).

Tập hợp các quốc gia tham dự Seagames 26 bằng tập
hợp các quốc gia thuộc khu vực Đông Nam Á.
Chương II: Phép Đếm. 7

TẬP HỢP
TẬP HỢP
Chương II: Phép Đếm. 8
Tập các tập con của một tập hợp

Định nghĩa: Tập các tập con của tập hợp A
được kí hiệu là P(A), tức là:
P(A) = {B | B ⊆ A}

Ví dụ:

P(A = {a, b, c}) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c},
{b, c}, {a, b, c}}.

P(∅) = {∅}.

P(P(∅)) = {∅, {∅}}.
TẬP HỢP
TẬP HỢP
Tính Chất :

Tập rỗng là tập con của A và A cũng là tập con của A với
mọi tập A.

Tập A là con của tập B và tập B là con của tập A thì suy ra
A = B.

Tập A là con của tập B và tập B là con của tập C thì suy ra
A là con C.


Tập A là con của tập B thì P(A) là con của P(B).

Nếu A có n phần tử thì P(A) có 2
n
phần tử.
Chương II: Phép Đếm. 9
BIỂU DIỄN TẬP HỢP
BIỂU DIỄN TẬP HỢP
Chương II: Phép Đếm. 10
Các cách biểu diễn tập hợp:

Xác định bằng lời:

Tập hợp A gồm các giáo viên trong trường UIT.

Tập hợp B gồm 4 số nguyên tố đầu tiên.

Liệt kê các phần tử trong cập dấu {}

Tập hợp C = {4, 2, 1, 3}.

Tập hợp D = {đỏ, trắng, xanh}.
Với các tập có nhiều phần tử có thể chỉ liệt kê một số phần tử.

E = {1, 2, 3, …, 1000}.

Nêu đặc trưng của các phần tử:

F = {x | x ∈ Z ∧ “x chia hết cho 2”}.
BIỂU DIỄN TẬP HỢP

BIỂU DIỄN TẬP HỢP
Chương II: Phép Đếm. 11
Các cách biểu diễn tập hợp:

Biểu diễn dưới dạng ảnh của một tập hợp khác:

A = { f(x) | (x ∈ A’) }.

Với f là một ánh xạ f : A’ -> A.

VD: G = {x
2
| x ∈ Z và -10 < x < 10}.

Xác định bằngđệ quy:

Tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau:
•
1 ∈ L
•
Nếu n ∈ L thì n + 2∈ L

Dùng Giản đồ Venn: những hình tròn hoặc các hình học khác
được dùng để biểu diễn một tập hợp, các chấm được dùng để biểu
diễn các phần tử đặc biệt của tập hợp, phù hợp để biểu diễn trực
quan mối quan hệ của tập hợp.
LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP
LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP
Lực lượng của tập hợp:


Định nghĩa:
Lực lượng của một tập hợp A được kí hiệu là |A| là số
lượng các phần tử của tập hợp A.

Ví dụ:

Tập {a, b, c} có lực lượng là 3.

Tập rỗng có lực lượng là 0.

Tập A có n phần tử thì tập P(A) có 2
n
phần tử.
Chương II: Phép Đếm. 12


CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH
CHẤT
CHẤT
Chương II: Phép Đếm. 13
1. Phép giao:

Định nghĩa: Phép giao của 2 tập hợp A và B kí hiệu là
A
∩
B là tập hợp tất cả các phần tử mà vừa thuộc A
vừa thuộc B.
Công thức : A
∩

B = {x | x
∈
A
∧
x
∈
B}.

Nếu A
∩
B =
∅
thì A và B gọi là 2 tập rời nhau.

Tổng quát: cho n tập hợp A
1
, A
2
, …, A
n
. Giao của tất
cả các tập hợp trên được kí hiệu là là tập chứa
các phần tử thuộc tất cả các tập hợp đó.
Công thức: = A
1
∩
A
2

∩

…
∩
A
n.


CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH
CHẤT
CHẤT
Chương II: Phép Đếm. 14
1. Phép giao:

Ví dụ:

A = {a, b, c} B = {b, c, d, e, f}. Khi đó ta có:
A ∩ B = {b, c}

Giao của tập hợp các số tự nhiên N và tập các số chia
hết cho 2 là tập các số chẵn không âm.

Tập hợp sinh viên nam và tập hợp sinh viên nữ là 2
tập hợp rời nhau vì giao của chúng bằng rỗng.
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
Chương II: Phép Đếm. 15
2. Phép hợp:

Định nghĩa: Phép hợp của 2 tập hợp A và B kí hiệu là
A

∪
B, là tập hợp tất cả các phần tử sao cho nó thuộc
tập A hay tập B.
Công thức : A
∪
B = {x | x
∈
A
∨
x
∈
B}.

Tổng quát: cho n tập hợp A
1
, A
2
, …, A
n
. Hợp của tất cả
các tập hợp trên được kí hiệu là là tập chứa các phần
tử thuộc ít nhất một trong tất cả các tập đó.
Công thức: = A
1
∩
A
2

∩
…

∩
A
n.
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
Chương II: Phép Đếm. 16
2. Phép hợp:

Ví dụ:

A = {1,2,3} và B = {a,b,c,d}. Khi đó, ta có:
A ∪ B = {1, 2, 3, a, b, c, d}.

Hợp của tập các số hữu tỉ Q và tập các số vô tỉ I là tập
các số thực R.

Tập hợp các giáo viên dạy môn Toán và tập các giáo
viên dạy môn Tin là tập các giáo viên thuộc khoa
Toán Tin.
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
Chương II: Phép Đếm. 17
3. Phép hiệu:

Định nghĩa: Hiệu của 2 tập hợp A và B được kí hiệu là
A \ B hay A – B là tập gồm tất cả các phần tử thuộc A
nhưng không thuộc B.
Công thức : A - B = {x | x
∈
A

∧
x
∉
B}.

Ví dụ:

A = {a, b, c,d} và B = {a, e, f}. A-B = {b, c, d}.

C = {x∈N | x chia hết cho 2} và D = {x∈N | x>5}.
C-D = {0, 2, 4}

Hiệu của tập các quốc gia Đông Nam Á và tập các
quốc gia WTO là tập {Lào, Đông-Timo}
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
4. Phần bù:

Định nghĩa: Phần bù của tập A kí hiệu là Ā là tập các
phần tử x không thuộc A.
Công thức: Ā = {x | x ∉ A}.

Ví dụ:

Cho A={a, b, c, x, y, z}. Phần bù của A là Ā = {d, e, f,
g, h, i, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, }. (với tập vũ trụ là
tập các chữ cái tiếng Anh)

Phần bù của tập các số âm là tập các số dương và số 0.
(với tập vũ trụ là tập các số thực)

Chương II: Phép Đếm. 18
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
Tính chất của các phép toán trên tập hợp
Chương II: Phép Đếm.
19
Tính chất Tên gọi
A ∪ ∅ = A
Tính đồng nhất
A ∩ ∅ = ∅
Tính nuốt
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Tính luỹ đẳng
= A
Tính bù
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Tính giao hoán
A
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT
Tính chất của các phép toán trên tập hợp
Chương II: Phép Đếm.
20
Tính chất Tên gọi
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Tính kết hợp
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪

C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩
C)
Tính phân phối
Công thức De Morgan

BAB A =

BABA =
Tích Descartes
Tích Descartes
Tích Descartes của 2 tập hợp:

Định nghĩa: Cho 2 tập hợp A và B tích Descartes
của 2 tập hợp A và B ký hiệu là A x B. Là tất cả
các cặp (a, b) sao cho a thuộc A và b thuộc B.

Công thức: A x B = {(a, b) | a
∈
A
∧
b
∈
B}

Trong trường hợp tập A bằng tập B thì ta ký
hiệu :
A x B = A x A=A
2
.

Chương II: Phép Đếm. 21
Tích Descartes
Tích Descartes
Tích Descartes của nhiều tập hợp:

Định nghĩa: Cho n tập hợp A
1
A
2
… A
n
. (n>1). Tích Descartes
của n tập hợp A
1
A
2
… A
n
được ký hiệu A
1
x A
2
x … x A
n
. Là tập
gồm tất cả các bộ phần tử (a
1
,

a

2
,

…, a
n
) với a
i
thuộc A
i
với mọi i
từ 1 đến n.

Công thức : A
1
x A
2
x … x A
n
= {(a
1
,

a
2
,

…, a
n
) | a
i

∈
A
i
, i = }.
Trong trường hợp: A
1
= A
2
= … = A
n
= A thì tập hợp tích A
1
x A
2
x … x A
n
= A x A x … x A = A
n
.
Chương II: Phép Đếm. 22
n,1
Tích Descartes
Tích Descartes

Tính chất:

Với A , B là tập hữu hạn. |A x B| = |A| x |B| . Tương
tự, với A
1

, A
2
, … , A
n
là các tập hữu hạn thì :

|A
1
x A
2
x … x A
n
| = |A
1
| x |A
2
| x … x |A
n
|.

|A
n
| = |A|
n
.
Chương II: Phép Đếm. 23
CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM
CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM
Chương II: Phép Đếm. 24


Nguyên lý cộng.

Nguyên lý nhân.

Nguyên lý chuồng bồ câu.


NGUYÊN LÝ CỘNG
NGUYÊN LÝ CỘNG
Chương II: Phép Đếm. 25
Cơ sở tập hợp:

Cho A và B là 2 tập hữu hạn sao cho A∩B =
∅

khi đó |A
∪
B| = |A|+|B|.

Tổng quát: Nếu A
1
, A
2
, …, A
n
là các tập hữu hạn
nhau tức là giao của 2 tập hợp rời bất kỳ trong n
tập hợp đó thì đều bằng
∅
thì ta có:

|A
1

∪
A
2

∪
…
∪
A
n
| = |A
1
| + |A
2
| + … + |A
n
|