bài tập tự luận hình học 10 chương 2 - trần sĩ tùng

Tích vơ hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng
Trang 12

O x
y
M
x
y

1
-1




1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn a =
·
xOM
. Giả sử M(x; y).
sin
a
= y (tung độ)
cos
a
= x (hoành độ)
tan
a
=
ytungđộ
xhoànhđộ

ỉư
ç÷
èø
(x
¹
0)
cot
a
=
xhoànhđộ
ytungđộ
ỉư
ç÷
èø
(y
¹
0)
Chú ý: – Nếu
a
tù thì cos
a
< 0, tan
a
< 0, cot
a
< 0.
– tan
a
chỉ xác định khi
a

¹
90
0
, cot
a
chỉ xác định khi
a

¹
0
0
và
a

¹
180
0
.
2. Tính chất
· Góc phụ nhau · Góc bù nhau

0
0
0
0
sin(90)cos
cos(90)sin
tan(90)cot
cot(90)tan

aa
aa
aa
aa
-=
-=
-=
-=

0
0
0
0
sin(180)sin
cos(180)cos
tan(180)tan
cot(180)cot
aa
aa
aa
aa
-=
-=-
-=-
-=-

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Các hệ thức cơ bản

sin
tan(cos0)
cos
cos
cot(sin0)
sin
tan.cot1(sin.cos0)
a
aa
a
a
aa
a
aaaa
=¹
=¹
=¹

22
2
2
2
2
sincos1
1
1tan(cos0)
cos
1
1cot(sin0)
sin

aa
aa
a
aa
a
+=
+=¹
+=¹

Chú ý:
0sin1;1cos1
aa
££-££
.


CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
T
Ừ
0
0
Đ
ẾN
0
180

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0

sin
a

0
1
2

2
2

3
2

1 0
cos
a

1
3
2

2
2

1
2
0 –1
tan
a

0
3
3

1
3

||
0
cot
a
||
3

1
3
3

0
||

Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 13

Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
abc
000
sin0cos0sin90
++
b)
abc
000
cos90sin90sin180
++

c)
abc
202020
sin90cos90cos180
++
d)
202020
3sin902cos603tan45
-+-

e) aaa

2200202
4sin453(tan45)(2cos45)
-+
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
xx
sincos
+
khi x bằng 0
0
; 45
0
; 60
0
. b)
xx
2sincos2
+
khi x bằng 45
0
; 30
0
.
Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a)
1
sin
4
b
=

, b nhọn. b)
1
cos
3
a
=-
c)
x
tan22
=

Baøi 4. Biết
0
62
sin15
4
-
= . Tinh
000
cos15,tan15,cot15
.
Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
a) xx
00
1
sin,90180
3
=<< . Tính
xx
A

xx
tan3cot1
tancot
++
=
+
.
b)
tan2
a
=
. Tính B
33
sincos
sin3cos2sin
aa
aaa
-
=
++

Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
xxxx
2
(sincos)12sin.cos
+=+ b)
xxxx
4422
sincos12sin.cos

+=-

c)
xxxx
2222
tansintan.sin
-=
d)
xxxx
6622
sincos13sin.cos
+=-

e)
xxxxxx
sin.cos(1tan)(1cot)12sin.cos
++=+

Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
yyy
cossin.tan
+
b)
bb
1cos.1cos
+- c)
aa
2
sin1tan

+
d)
x
xx
x
2
2
1cos
tan.cot
1sin
-
+
-
e)
xx
xx
22
2
14sin.cos
(sincos)
-
+

f)
xxxxx
00222
sin(90)cos(180)sin(1tan)tan
-+-++-
Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

20202020
cos12cos78cos1cos89
+++
b)
20202020
sin3sin15sin75sin87
+++

Baøi 9.
a)














Tớch vụ hng ca hai vect Trn S Tựng
Trang 14

O
A
B

a
r
b
r
a
r
b
r


1. Gúc gia hai vect
Cho ab
,0
ạ
rr
r
. T mt im O bt kỡ v
OAaOBb
,
==
uuuruuur
r
r
.
Khi ú
(
)
ã
abAOB
, =

r
r
vi 0
0
Ê
ã
AOB
Ê 180
0
.
Chỳ ý:
+
(
)
ab
,
r
r
= 90
0



ab
^
r
r

+
(

)
ab
,
r
r
= 0
0



ab
,
r
r
cựng hng
+
(
)
ab
,
r
r
= 180
0



ab
,
r

r
ngc hng
+
(
)
(
)
abba
,,
=
rr
rr

2. Tớch vụ hng ca hai vect
ã nh ngha:
(
)
ababab
cos,
=
rrr
rrr
.
c bit:
aaaa
2
2
. ==
rrrr
.

ã Tớnh cht: Vi
abc
,,
r
rr
bt kỡ v "k
ẻ
R, ta cú:
+

abba
=
rr
rr
;
(
)

abcabac
+=+
rr
rrrrr
;

(
)
(
)
(
)

kabkabakb
==
rrr
rrr
;
22
0;00
aaa
==
r
rrr
.
+
( )
2
22
2.
abaabb
+=++
rrr
rrr
;
()
2
22
2.
abaabb
-=-+
rrr

rrr
;

(
)
(
)
22
ababab
-=-+
rrr
rrr
.
+
.
ab
r
r
> 0


(
)
,
ab
r
r
nhoùn +
.
ab

r
r
< 0


(
)
,
ab
r
r
tuứ

.
ab
r
r
= 0


(
)
,
ab
r
r
vuoõng.
3. Biu thc to ca tớch vụ hng
ã Cho
a

r
= (a
1
, a
2
),
b
r
= (b
1
, b
2
). Khi ú:
ababab
1122
. =+
r
r
.
ã
aaa
22
12
=+
r
;
abab
ab
aabb
1122

2222
1212
cos(,)
.
+
=
++
r
r
; ababab
1122
0
^+=
r
r

ã Cho
AABB
AxyBxy
(;),(;)
. Khi ú:
BABA
ABxxyy
22
()()
=-+- .


Baứi 1. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = a, BC = 2a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)

ABAC
.
uuuruuur
b)
ACCB
.
uuuruuur
c)
ABBC
.
uuuruuur

Baứi 2. Cho tam giỏc ABC u cnh bng a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)
ABAC
.
uuuruuur
b)
ACCB
.
uuuruuur
c)
ABBC
.
uuuruuur

Baứi 3. Cho bn im A, B, C, D bt kỡ.
a) Chng minh:
DABCDBCADCAB
0

++=
uuuruuuruuuruuruuuruuur
.
b) T ú suy ra mt cỏch chng minh nh lớ: "Ba ng cao trong tam giỏc ng qui".
Baứi 4. Cho tam giỏc ABC vi ba trung tuyn AD, BE, CF. Chng minh:

BCADCABEABCF
0
++=
uuuruuuruuruuuruuuruuur
.
Baứi 5. Cho hai im M, N nm trờn ng trũn ng kớnh AB = 2R. Gi I l giao im ca
hai ng thng AM v BN.
a) Chng minh:
AMAIABAIBNBIBABI
,
==
uuuruuruuuruuruuuruuruuruur
.
II. TCH Vễ HNG CA HAI VECT
Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 15

b) Tính
AMAIBNBI

+
uuuruuruuuruur
theo R.
Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.

a) Tính
ABAC
.
uuuruuur
, rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính
CACB
.
uuruuur
.
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính
CDCB
.
uuuruuur
.
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
ABAC
.
uuuruuur
b)
ABADBDBC
()()
++
uuuruuuruuuruuur
c)
ACABADAB
()(2)

uuuruuuruuuruuur

d)
ABBD
.
uuuruuur
e)
ABACADDADBDC
()()
++++
uuuruuuruuuruuuruuuruuur

HD: a)
a
2
b)
a
2
c)
a
2
2
d)
a
2
-
e) 0
Baøi 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính
ABAC
.

uuuruuur
, rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của DABC. Tính
AGBC
.
uuuruuur
.
c) Tính giá trị biểu thức S =
GAGBGBGCGCGA

++
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
.
d) Gọi AD là phân giác trong của góc
·
BAC
(D Î BC). Tính
AD
uuur
theo
ABAC
,
uuuruuur
, suy ra
AD.
HD: a) ABAC
3
.
2
=-

uuuruuur
, A
1
cos
4
=-
b) AGBC
5
.
3
=
uuuruuur
c) S
29
6
=-

d) Sử dụng tính chất đường phân giác
AB
DBDC
AC
.
=
uuuruuur

Þ

ADABAC
32
55

=+
uuuruuuruuur
, AD
54
5
=
Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60
0
. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi:
IAIBJBJC
20,2
+==
uuruuruuruur
r
.
HD: a) BC =
19
, AM =
7
2
b) IJ =
2
133
3

Baøi 10. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh
ABBCCDDAACDB

2222
2.
-+-=
uuuruuur
.
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

ABCDBCDA
2222
+=+
.
Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:

MHMABC
2
1
.
4
=
uuuuruuur
.
Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a)
MAMCMBMD
2222
+=+
b)
MAMCMBMD
=
uuuruuuruuuruuuur

c)
MAMBMDMAMO
2
.2.
+=
uuuruuuuruuuruuur
(O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết
CMABAC
23=-
uuuruuuruuur
.
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính
ABAC
.
uuuruuur
. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng
Trang 16

f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.

g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả
TATBTC
230
+-=
uuruuruuur
r

k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của DABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MAMAMB
2
2.
=
uuuruuur
b) MAMBMBMC
()(2)0
=
uuuruuuruuuruuur

c) MAMBMBMC
()()0
++=
uuuruuuruuuruuur
d)
MAMAMBMAMC
2

2
+=
uuuruuuruuuruuur

Baøi 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MAMCMBMDa
2

+=
uuuruuuruuuruuuur
b)
MAMBMCMDa
2
5
+=
uuuruuuruuuruuuur

c)
MAMBMCMD
2222
3++=
d)
MAMBMCMCMBa
2
()()3
++-=
uuuruuuruuuruuuruuur

Baøi 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M

sao cho:
MAMBMCMDIJ
2
1

2
+=
uuuruuuruuuruuuur
.
Baøi 18.
a)

Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 17

A
B CH
O
M
A
B
C
D
T
R


Cho DABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m

a
, m
b
, m
c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h
a
, h
b
, h
c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin

abcbcA
222
2.cos
=+-
;
bcacaB
222
2.cos
=+-
;
cababC
222

2.cos
=+-

2. Định lí sin

abc
R
ABC
2
sinsinsin
===
3. Độ dài trung tuyến

a
bca
m
222
2
2()
4
+-
= ;
b
acb
m
222
2
2()
4
+-

= ;
c
abc
m
222
2
2()
4
+-
=
4. Diện tích tam giác
S =
abc
ahbhch
111
222
==
=
bcAcaBabC
111
sinsinsin
222
==
=
abc
R
4

=
pr

=
ppapbpc
()()()

(công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao.
·
BCABAC
222
=+
(định lí Pi–ta–go)
·
ABBCBH
2
.
=
,
ACBCCH
2
.
=

·
AHBHCH
2

.
=
,
AHABAC
222
111
=+
·
AHBCABAC

=

·
baBaCcBcC
.sin.costancot
====
;
caCaBbCbC
.sin.costancot
====


6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
· Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
P
M/(O)
=
MAMBMCMDMOR
22

==-
uuuruuuruuuruuuur

· Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
P
M/(O)
=
MTMOR
222
=-


III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Baøi 1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a)
abCcB
.cos.cos
=+
b)
ABCCB
sinsincossincos
=+

c)
a
hRBC

2sinsin
= d)
abc
mmmabc
222222
3
()
4
++=++
e)
( )
ABC
SABACABAC
2
22
1

2
D
=-
uuuruuur

Baøi 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu b + c = 2a thì
abc
hhh
211
=+
b) Nếu bc = a
2

thì
bca
BCAhhh
22
sinsinsin,
==

c) A vuông Û
bca
mmm
222
5
+=
Baøi 3. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi a là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: SACBD
1
sin
2
a
= .
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Baøi 4. Cho DABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
a) Chứng minh
AHaBBBHaBCHaB
22
.sin.cos,.cos,.sin===.
b) Từ đó suy ra
ABBCBHAHBHHC
22
.,.

==.
Baøi 5. Cho DAOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a,
·
AOH
a
=
.
a) Tính các cạnh của DOAK theo a và a.
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và a.
c) Từ đó tính
sin2,cos2,tan2
aaa
theo
sin,cos,tan
aaa
.
Baøi 6. Giải tam giác ABC, biết:
a)
µ
µ
cAB
00
14;60;40
=== b)
µ
µ
bAC
00
4,5;30;75
===

c)
µ
µ
cAC
00
35;40;120
=== d)
µ
µ
aBC
00
137,5;83;57
===
Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết:
a)
µ
abC
0
6,3;6,3;54
=== b)
µ
bcA
0
32;45;87
===
c)
µ
abC
0
7;23;130

=== d)
µ
bcA
0
14;10;145
===
Baøi 8. Giải tam giác ABC, biết:
a)
abc
14;18;20
===
b)
abc
6;7,3;4,8
===

c)
abc
4;5;7
===
d) abc
23;22;62
===-
Baøi 9.
a)

Trn S Tựng Tớch vụ hng ca hai vect
Trang 19

BI TP ễN CHNG II

Baứi 1. Chng minh cỏc ng thc sau:
a)
xx
xxx
sin1cos2
1cossinsin
+
+=
+
b)
xx
xx
xx
33
sincos
1sin.cos
sincos

+
=-
+

c)
x
x
xx
2
2
22
tan11
1
2tan
4sin.cos
ổử
-
-=-
ỗữ
ốứ
d)
xx
x
xxx
22
2
442
cossin
1tan
sincossin

-
=+
+-

e)
xx
xx
xxxx
22
sincos
sincos
cos(1tan)sin(1cot)
-=-
++

f)
xx
xx
xxxx
cossin1
tan.cot
1sin1cossin.cos
ổửổử
++=
ỗữỗữ
++
ốứốứ

g) xxxxx
22222

cos(cos2sinsintan)1
++=

Baứi 2. Bit
0
51
sin18
4
-
= . Tớnh cos18
0
, sin72
0
, sin162
0
, cos162
0
, sin108
0
, cos108
0
, tan72
0
.
Baứi 3. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc:
a) A =
xxx
422
coscossin
-+

b) B =
xxx
422
sinsincos
-+

Baứi 4. Cho cỏc vect
ab
,
r
r
.
a) Tớnh gúc
(
)
ab
,
r
r
, bit ab
,0
ạ
rr
r
v hai vect
uabvab
2,54
=+=-
rr
rrrr

vuụng gúc.
b) Tớnh
ab
+
r
r
, bit abab
11,23,30
==-=
rr
rr
.
c) Tớnh gúc
(
)
ab
,
r
r
, bit
abababab
(3)(75),(4)(72)
+^ ^-
rrrr
rrrr
.
d) Tớnh
abab
,23
-+

rr
rr
, bit abab
0
3,2,(,)120
===
rr
rr
.
e) Tớnh
ab
,
r
r
, bit
abababab
2,4,(2)(3)
+=-=+^+
rrrr
rrrr
.
Baứi 5. Cho tam giỏc ABC cú AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tớnh
ABAC
.
uuuruuur
v cosA.
b) M, N l hai im c xỏc nh bi
AMABANAC
23

,
34
==
uuuruuuruuuruuur
. Tớnh MN.
Baứi 6. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB =
3
, AD = 1,
ã
BAD
0
60
=
.
a) Tớnh
ABADBABC
.,.
uuuruuuruuruuur
.
b) Tớnh di hai ng chộo AC v BD. Tớnh
(
)
ACBD
cos,
uuuruuur
.
Baứi 7. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhn. V phớa ngoi tam giỏc v cỏc tam giỏc vuụng cõn
nh A l ABD v ACE. Gi I l trung im ca BC. Chng minh AI ^ DE.
Baứi 8. Cho t giỏc ABCD cú hai ng chộo ct nhau ti O. Gi H, K ln lt l trc tõm
ca cỏc tam giỏc ABO v CDO. Gi I, J ln lt l trung im ca AD v BC. Chng

minh HK ^ IJ.
Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 1, M l trung im cnh AB. Trờn ng chộo
AC ly im N sao cho
ANAC
3
4
=
uuuruuur
.
a) Chng minh DN vuụng gúc vi MN.
b) Tớnh tng
DNNCMNCB

+
uuuruuuruuuuruuur
.
Baứi 10. Cho tam giỏc ABC. Tỡm tp hp cỏc im M sao cho:
a)
ABAMACAM
0
-=
uuuruuuruuuruuur
b)
ABAMACAM
0
+=
uuuruuuruuuruuur

c) MAMBMAMC
()()0

++=
uuuruuuruuuruuur
d) MAMBMCMAMBMC
(2)(2)0
++++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuur

Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng
Trang 20

Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a)
bcabCcB
22
(.cos.cos)
-=- b)
bcAacCbB
22
()cos(.cos.cos)
-=-
b)
ABCCBBC
sinsin.cossin.cossin()
=+=+

Baøi 12. Cho DABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
abcbcabc
()()3
+++-=

thì
µ
A
0
60
=
.
b) Nếu
bca
a
bca
333
2
+-
=
+-
thì
µ
A
0
60
=
.
c) Nếu
ACB
cos()3cos1
++=
thì
µ
B

0
60
=
.
d) Nếu
bbacac
2222
()()
-=- thì
µ
A
0
60
=
.
Baøi 13. Cho DABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
ba
bAaB
c
22
coscos
2
-
=- thì DABC cân đỉnh C.
b) Nếu
B
A
C
sin

2cos
sin
= thì DABC cân đỉnh B.
c) Nếu
abC
2.cos
=
thì DABC cân đỉnh A.
d) Nếu
bca
BCBC
coscossin.sin
+= thì DABC vuông tại A.
e) Nếu
SRBC
2
2sin.sin
=
thì DABC vuông tại A.
Baøi 14. Cho DABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông
góc với nhau là:
bca
222
5
+=
.
Baøi 15. Cho DABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM
= 2, BK = 2. Tính MK.
b) Có A

5
cos
9
=
, điểm D thuộc cạnh BC sao cho
·
·
ABCDAC
=
, DA = 6, BD
16
3
=
. Tính
chu vi tam giác ABC.
HD: a) MK =
830
15
b) AC = 5, BC =
25
3
, AB = 10
Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: xxxx
22
1;21;1
+++-
.
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng
0

120
.
Baøi 17. Cho DABC có
µ
B
0
90
<
, AQ và CP là các đường cao,
ABCBPQ
SS9
DD
=.
a) Tính cosB.
b) Cho PQ =
22
. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp DABC.
HD: a) B
1
cos
3
=
b) R
9
2
=

Baøi 18. Cho DABC.
a) Có
µ

B
0
60
=
, R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp DACI.
b) Có
µ
A
0
90
=
, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp DBCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp DBCM.
Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 21

HD: a) R = 2 b) R
513
6
= c) R
823
330
=
Baøi 19. Cho hai đường tròn (O
1
, R) và (O
2

, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng
tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa
A và N). Đặt
·
·
AOCAOD
12
,
ab
==
.
a) Tính AC theo R và a; AD theo r và b.
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp DACD.
HD: a) AC = R
2sin
2
a
, AD = r
2sin
2
b
b)
R
r
.
Baøi 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a,
·
CAB
a
=

,
·
CAD
b
=
.
a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, a, b.
HD: a) AC =
a
sin()
ab
+
b)
a
S
2
cos()
2sin()
ba
ab
-
=
+
.
Baøi 21. Cho DABC cân đỉnh A,
µ
A
a
=
, AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC =

3BD.
a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosa
để bán kính của chúng bằng
1
2
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp DABC.
HD: a) BC = m
2sin
2
a
, AD =
m
54cos
3
a
+ b)
11
cos
16
a
=-
.
Baøi 22.
a)