GIẢI TÍCH ĐA TRỊ doc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Giáo trình dùng cho sinh viên
Đại học, Cao
đ
ẳng )
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGUYỄN ĐÔNG YÊN
NGUYỄN QUỐC ĐẠI
CĐSTOAN11
GIẢI TÍCH
ĐA TRỊ
Giáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao
đ
ẳng
( In lần thứ 1)
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
711/GD-01/4415/307-00 Mã số: 8L711I9
SÁCH ĐÃ IN TRONG BỘ NÀY:
2000:
Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng
(Tập 1) Trần Đức Vân
2001:
Giáo trình Đại số tuyến tính
Ngô Việt Trung
Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 2) Trần Đức Vân
Nhập môn Lý thuyết ₫iều khiển Vũ Ngọc Phát
2002:
Giải tích các hàm nhiều biến
Đ.T. Lục, P.H. Điển,T.D. Phượng
Lý thuyết Hệ ₫ộng lực Nguyễn Đình Công

2003:
Lôgic toán và Cơ sở toán học
Phan Đình Diệu
Giáo trình Đại số hiện ₫ại Nguyễn Tự Cường
Lý thuyết không gian Orlicz Hà Huy Bảng
Đại số máy tính: Cơ sở Groebner Lê Tuấn Hoa
Hàm thực và Giải tích hàm Hoàng Tụy
Số học thuật toán H.H. Khoái, P.H. Điển
2004:
Mã hóa thông tin: Cơ sở toán học và ứng dụng
P.H. Điển, H.H. Khoái
Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị Ngô Đắc Tân
Xác suất và Thống kê Trần Mạnh Tuấn
2005:
Giải tích Toán học: Hàm số một biến
Đ.T. Lục, P.H. Điển, T.D. Phượng
Lý thuyết Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Toàn tập) Trần Đức Vân
Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trần Đức Vân
Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập Lê Tuấn Hoa
Lý thuyết Galois Ngô Việt Trung
2007:
Lý thuyết tối ưu không trơn
N.X. Tấn, N.B. Minh
Giáo trình Giải tích ₫a trị Nguyễn Đông Yên

Có thể đặt mua sách trực tiếp tại Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội
Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện)
Fax: 84-4-7564303 E-mail:
(VP), (TV)
Lời giới thiệu

rong những năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt về toán
của sinh viên các trường Ðại học, nghiên cứu sinh, cán bộ nghiên cứu
và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt. Bộ sách "Toán cao cấp" của
Viện Toán học ra đời nhằm góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú thêm
nguồn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có.

T
Bộ sách Toán cao cấp sẽ bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết các lĩnh vực
khác nhau của toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hướng
đang phát triển mạnh của toán học hiện đại, có tầm quan trọng trong sự phát triển
lý thuyết và ứng dụng thực tiễn. Các tác giả của bộ sách này là những người có
nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy đại học và sau đại học, đồng thời là
những nhà toán học đang tích cực nghiên cứu. Vì thế, mục tiêu của các cuốn sách
trong bộ sách này là, ngoài việc cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản
nhất, còn cố gắng hướng họ vào các vấn đề thời sự liên quan đến lĩnh vực mà cuốn
sách đề cập đến.
Bộ sách Toán cao cấp có được là nhờ sự ủng hộ quý báu của Viện Khoa học
và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là sự cổ vũ của Giáo sư Ðặng Vũ Minh và Giáo
sư Nguyễn Khoa Sơn. Trong việc xuất bản Bộ sách, chúng tôi cũng nhận được sự
giúp đỡ tận tình của Nhà xuất bản Ðại học quốc gia Hà Nội và của Nhà xuất bản
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ. Nhiều nhà toán học trong và ngoài Viện Toán
học đã tham gia viết, thẩm định, góp ý cho bộ sách. Viện Toán học xin chân thành
cám ơn các cơ quan và cá nhân kể trên.
Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cấp chắc chắn còn rất
nhiều thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để bộ sách
được hoàn thiện hơn.

Chủ tịch Hội ₫ồng biên tập
GS-TSKH Hà Huy Khoái

Mục lục
Lời nói đầu 3
Các ký hiệu và chữ viết tắt 6
1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 9
1.1
ánhxạđatrị 9
1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dới của ánh xạ đa trị 18
1.3 Định lý Kakutani . 27
1.4 Các quá trình lồi . 37
1.5 Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị 45
2 Đạo hàm của ánh xạ đa trị 47
2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 47
2.2 Nón tiếp tuyến . . 53
2.3 Đạohàm 71
3 Tích phân của ánh xạ đa trị 77
3.1
ánh xạ đa trị đo đợc, lát cắt đo đợc 77
3.2 Tích phân của ánh xạ đa trị 91
3.3 Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz . . 95
3.4 Tích phân Aumann của ánh xạ dới vi phân Clarke 98
4 Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị 103
4.1 Sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm 104
4.2 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm 106
4.3 Vấn đề đánh giá dới vi phân của hàm giá trị tối u 116
4.4 Tính compắc pháp tuyến theo dãy . . . 118
4.5 Dới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối u 120
4.6 Dới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối u 136
4.7 Dới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân . . . . . . 148
1

2
5 Hệ bất đẳng thức suy rộng 153
5.1 Giới thiệu chung . 154
5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . 155
5.3 Tính ổn định . . . 160
5.4 Quy tắc nhân tử Lagrange . 174
5.5 Tính liên tục và tính Lipschitz của hàm giá trị tối u 178
5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 183
5.7 Dới vi phân Mordukhovich và dới vi phân J-L 186
5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 194
Phụ lục A 201
Phụ lục B 203
Tài liệu tham khảo 205
Danh mục từ khóa 215
3
Lời nói đầu
Giải tích đa trị là một hớng nghiên cứu tơng đối mới trong Toán học, mặc dù
từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu
ánh xạ đa trị, tức là ánh xạ nhận giá trị là các tập hợp con của một tập hợp nào
đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế Set-Valued Analysis vào năm 1993 là một
mốc lớn trong quá trình phát triển của hớng nghiên cứu này. Vai trò của giải
tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng toán học đã đợc công nhận rộng
rãi.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phơng trình vi phân,
phơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phơng trình suy rộng,
lý thuyết tối u, lý thuyết điều khiển, tối u đa mục tiêu, khoa học quản lý, và
toán kinh tế. Hiện nay hầu nh tất cả các kết quả nghiên cứu về tính ổn định và
độ nhạy nghiệm của các bài toán tối u phụ thuộc tham số và của các bài toán
bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đều đợc viết bằng ngôn ngữ giải
tích đa trị.

Những ngời Việt Nam đầu tiên đi sâu nghiên cứu giải tích đa trị là Giáo
s Hoàng Tụy (với những công trình về điểm bất động của ánh xạ đa trị, tính
ổn định của hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo
s Phạm Hữu Sách (với những công trình về ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm của
ánh xạ đa trị và ứng dụng trong lý thuyết tối u và điều khiển) và cố Giáo s
Phan Văn Chơng (với những công trình về ánh xạ đa trị đo đợc, lý thuyết
bao hàm thức vi phân). Sau đây là danh sách không đầy đủ những ngời Việt
Nam đã hoặc đang có công trình nghiên cứu về giải tích đa trị và các ứng
dụng: Th.S. Phạm Ngọc Anh, Th.S. Lâm Quốc Anh, Th.S. Trơng Quang Bảo,
Th.S. Nguyễn Huy Chiêu, TS. Lê Văn Chóng, GS. TSKH. Phan Văn Chơng,
TS. Trịnh Công Diệu, TS. Phạm Cảnh Dơng, PGS. TSKH. Phạm Huy Điển,
TS. Nguyễn Hữu Điển, PGS. TS. Trơng Xuân Đức Hà, Th.S. Nguyễn Xuân Hải,
TS. Trần Ninh Hoa, PGS. TS. Lê Văn Hốt, TS. Nguyễn Đình Huy, TS. Nguyễn
Quang Huy, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh, TS. Bùi Trọng Kiên, GS. TSKH. Đinh
Thế Lục, TS. Lê Minh Lu, TS. Nguyễn Bá Minh, GS. TSKH. Lê Dũng Mu,
TS. Nguyễn Mậu Nam, TS. Huỳnh Văn Ngãi, GS. TSKH. Van Hien Nguyen,
PGS. TS. Trần Huệ Nơng, GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, GS. TSKH. Hoàng Xuân
Phú, PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng, TS. Tạ Duy Phợng, GS. TSKH. Phạm Hữu
Sách, GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn, TS. Nguyễn Năng Tâm, PGS. TSKH. Đỗ
Hồng Tân, PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, GS. TSKH. Nguyễn Hồng Thái,
TS. Hoàng Dơng Tuấn, TS. Lê Anh Tuấn, Th.S. Nguyễn Đình Tuấn, GS. Hoàng
Tụy, PGS. TSKH. Nguyễn Đông Yên.
Giáo trình này đợc soạn trên cơ sở các bài giảng của tác giả về giải tích đa
trị cho học viên cao học và nghiên cứu sinh ở Viện Toán học, cho lớp sinh viên
4
chọn của trờng Đại học S phạm Thành phố Hồ Chí Minh, và cho lớp cao học
ở Khoa Toán ứng dụng thuộc Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (The National
Sun Yat-Sen University), Cao Hùng, Đài Loan. Mục đích chính của chúng tôi
là giới thiệu với các bạn sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh một số
kết quả cơ bản của giải tích đa trị. Ngoài ra, chúng tôi cũng cố gắng trình bày

một vài vấn đề đang đợc quan tâm trong lý thuyết này.
Tập sách gồm 5 chơng: Tính liên tục của ánh xạ đa trị, Đạo hàm của ánh
xạ đa trị, Tích phân của ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và Hệ bất
đẳng thức suy rộng. Ba chơng đầu tơng ứng với 3 phần chính của giải tích đa
trị. Chơng 4 giới thiệu một vài nét về lý thuyết vi phân do B. S. Mordukhovich
đề xuất - một lý thuyết hiện đang thu hút đợc sự quan tâm đặc biệt của nhiều
nhóm nghiên cứu trên thế giới. Chơng 5 đợc dành để nghiên cứu tính ổn
định nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng cho bởi hàm véctơ liên tục, và
các ứng dụng. Công cụ chính ở đây là khái niệm Jacobian xấp xỉ theo nghĩa
V. Jeyakumar và Đinh Thế Lục. Jacobian suy rộng theo nghĩa F. H. Clarke cho
hàm véctơ Lipschitz địa phơng là một trờng hợp riêng của khái niệm này.
(Chúng ta lu ý là các khái niệm đối đạo hàm, Jacobian xấp xỉ, và Jacobian suy
rộng Clarke nằm ngoài khuôn khổ của lý thuyết vi phân trình bày trong Chơng
2.) Trong mỗi mục thờng có một số ví dụ minh họa và bài tập giúp bạn đọc
củng cố kiến thức.
ở cuối sách có hai phụ lục giới thiệu các đề thi hết môn giải
tích đa trị ở hai lớp học. Các đề thi này giúp học viên củng cố kiến thức trong
phạm vi hai chơng đầu của giáo trình. Các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định
lý, nhận xét, ví dụ và bài tập đợc đánh số bằng ba chỉ số. Ví dụ nh Định lý
1.2.3 là định lý thứ 3 ở mục thứ 2 trong Chơng 1. Các công thức đợc đánh
số bằng hai chỉ số. Ví dụ nh (2.5) là công thức thứ 5 ở mục thứ 2 (trong một
chơng nào đó).
Để hiểu sâu hơn lý thuyết ánh xạ đa trị và các ứng dụng, bạn đọc có thể tự
mình nghiên cứu thêm các cuốn sách chuyên khảo của Aubin và Ekeland (1984),
Aubin và Frankowska (1990) - một trong những tài liệu tham khảo chính của
chúng tôi khi soạn các bài giảng về giải tích đa trị, Rockafellar và Wets (1998),
Borwein và Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b). Hy vọng rằng tập sách nhỏ
này có thể giúp bạn đọc có cảm hứng bắt đầu việc tự học gian nan nhng thú
vị đó. Bạn đọc quan tâm đến ứng dụng của giải tích đa trị trong tối u véctơ
có thể tham khảo các cuốn sách chuyên khảo của GS. TSKH. Đinh Thế Lục

(1989), của PGS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn và TS. Nguyễn Bá Minh (2006).
Xin chân thành cám ơn GS. TSKH. Phạm Hữu Sách và PGS. TSKH. Phạm
Huy Điển, những ngời thầy tận tụy đã truyền cho chúng tôi niềm say mê nghiên
cứu giải tích đa trị, giải tích không trơn, lý thuyết tối u và ứng dụng. Xin chân
thành cám ơn GS. TSKH. Trần Đức Vân và GS. TSKH. Lê Tuấn Hoa đã luôn
động viên, khích lệ chúng tôi vợt qua sự trì trệ trong quá trình viết lách kéo
5
dài. Cảm ơn hai Giáo s phản biện đã đọc kỹ bản thảo, góp nhiều ý kiến bổ
ích, và giới thiệu cho cuốn sách đợc xuất bản.
Xin đợc bày tỏ lòng biết ơn các bậc đàn anh cùng các bạn đồng nghiệp ở
Hội Toán học Việt Nam nói chung, và ở Viện Toán học nói riêng, đã chia sẻ với
chúng tôi những nỗi vui buồn của ngời làm toán.
Cảm ơn các bạn sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh đã nhiệt
tình tham dự các bài giảng đợc lấy làm cơ sở để soạn giáo trình này. Cảm ơn
Th.S. Nguyễn Huy Chiêu đã thông báo cho chúng tôi một số kết quả nghiên cứu
để giới thiệu trong hai mục ở Chơng3vàChơng 4.
Tập sách này đợc dành để tởng nhớ Kỹ s kinh tế Nguyễn Thị Minh Tâm
(19632001), biên tập viên Tạp chí Con số và Sự kiện, ngời em gái thân yêu
của tác giả.
Mặc dù chúng tôi đã cố gắng, việc biên soạn chắc chắn không tránh khỏi
thiếu sót. Chúng tôi mong nhận đợc ý kiến phê bình, góp ý của quý bạn đọc
gửi về hộp th email , hoặc gửi về địa chỉ Viện Toán học,
Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội.
Chân thành cám ơn TS. Tạ Duy Phợng, TS. Nguyễn Quang Huy, TS. Nguyễn
Mậu Nam và Th.S. Nguyễn Huy Chiêu đã dành thời gian đọc bản thảo của tập
sách này và góp nhiều ý kiến bổ ích. Đặc biệt, xin cám ơn TS. Nguyễn Quang
Huy đã vẽ lại toàn bộ các hình vẽ bằng chơng trình đồ họa trên máy tính.
Ngày 25 tháng 4 năm 2007 Tác giả
6
Các ký hiệu và chữ viết tắt

TNTA Thuật ngữ tiếng Anh
F : X Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
dom F miền hữu hiệu của F
rge F miền ảnh của F
gph F đồ thị của F
ker F tập các không điểm của F
F
1
: Y X ánh xạ ngợc của F
[x, y] đoạn thẳng {(1 t)x + ty :0 t 1}
nối hai điểm x, y trong không gian véctơ X
IN tập số nguyên dơng
Q tập số hữu tỉ
IR tập số thực
C tập số phức
tập rỗng
IR = IR {, +} tập số thực suy rộng
[0, 1] tập số thực {t IR :0 t 1}
(0, 1) tập số thực {t IR :0<t<1}
IR
n
không gian Euclide n chiều
IR
n
+
tập hợp véctơ với tọa độ không âm trong IR
n
x

véctơ hàng là chuyển vị của véctơ cột x

x chuẩn của véctơ x
x, y tích vô hớng của các véctơ x và y
A

ma trận chuyển vị của ma trận A
A chuẩn của ma trận A
IR
mìn
tập hợp các ma trận thực cấp m ì n
detA định thức của ma trận vuông A
B(x, ) hình cầu mở có tâm x, bán kính

B(x, ) hình cầu đóng có tâm x, bán kính
B
X
hình cầu đơn vị mở trong không gian X

B
X
hình cầu đơn vị đóng trong X
S
X
mặt cầu đơn vị trong X
X

không gian đối ngẫu của không gian Banach X

B
X

hình cầu đơn vị đóng trong X

int phần trong của
bao đóng của
biên của
co bao lồi của
co bao lồi đóng (=bao đóng của bao lồi) của
7
d(x, ) khoảng cách từ điểm x đến tập
cone M hình nón sinh bởi tập hợp M
ri D phần trong tơng đối của tập lồi D
aff D bao aphin của D
extr D tập các điểm cực biên của D
0
+
D nón lùi xa của D
T

(x) nón tiếp tuyến Bouligand của tại x ,
hoặc nón tiếp tuyến của tập lồi tại x
T
b

(x) nón tiếp tuyến trung gian (nón kề) của tại x
C

(x) nón tiếp tuyến Clarke của tại x

N

(x) nón pháp tuyến Bouligand của tại x
N

(x) nón pháp tuyến qua giới hạn (nón pháp tuyến
Mordukhovich) của tại x
,
hoặc nón pháp tuyến của tập lồi tại x
N
Cl

(x) nón pháp tuyến Clarke của tại x
dom f miền hữu hiệu của hàm số thực f
f

(x) đạo hàm Fréchet của f tại x
f

(x; v) đạo hàm theo hớng của f tại x theo hớng v
f
0
(x; v) đạo hàm Clarke của f tại x theo hớng v
f

(x; v) đạo hàm Clarke-Rockafellar của f tại x theo hớng v

Cl
f(x) dới vi phân Clarke của f tại x


f(x) dới vi phân Clarke-Rockafellar của f tại x

JL
f(x) dới vi phân J-L (Jeyakumar-Luc) của f tại x
f(x) dới vi phân Mordukhovich của f tại x,
hoặc dới vi phân của hàm lồi f tại x


f(x) dới vi phân suy biến của f tại x

f(x) dới vi phân Fréchet của f tại x
DF
z
(ã) đạo hàm contingent của F tại z
D
b
F
z
(ã) đạo hàm kề của F tại z
CF
z
(ã) đạo hàm Clarke của F tại z
D

F (x, y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x, y)

D

F (x, y) đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, y)
D

C
F (x, y) đối đạo hàm Clarke của F tại (x, y)
J
Cl
f(x) Jacobian Clarke của hàm véctơ f tại x,
Jf(x) Jacobian xấp xỉ của hàm véctơ f tại x
x
k
w
x dãy véctơ x
k
hội tụ đến véctơ x
theo tôpô yếu (đợc ký hiệu bởi w)
x

k
w

x

dãy véctơ x

k
hội tụ đến véctơ x

theo tôpô yếu

(đợc ký hiệu bởi w

)

C
1
(X, Y ) tập hợp các hàm f : X Y khả vi Fréchet liên tục
ở trên X
8
Chơng 1
Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Với đời một thoáng say mê
Còn hơn đi chán về chê suông đời
(Trần Huyền Trân, Uống rợu với Tản Đà, 1938)
Chơng này giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số định lý chính về tính
liên tục của ánh xạ đa trị.
1.1 ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X Y là ánh xạ từ X vào tập hợp
gồm toàn bộ các tập con của Y (đợc ký hiệu là 2
Y
). Ta nói F là ánh xạ đa
trị
1
từ X vào Y .Nh vậy, với mỗi x X, F (x) là một tập hợp con của Y .
Không loại trừ khả năng là với một số phần tử x X nào đó ta có F (x) là tập
rỗng.
Ta sẽ thờng sử dụng ký hiệu F : X Y để chỉ sự kiện X là ánh xạ đa trị
từ X vào Y .
Nếu với mỗi x X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói
F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho ký hiệu F : X Y ngời
ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X Y .
Ví dụ 1.1.1. Xét phơng trình đa thức
(1.1) x
n

+ a
1
x
n1
+ + a
n1
x + a
n
=0,
1
TNTA (Thuật ngữ tiếng Anh): multifunction, set-valued map, set-valued mapping, point-to-set
mapping, correspondence, set-valued operator.
9
10 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
ởđón IN là số nguyên dơng và a
i
IR (i =1, ,n) là các hệ số thực.
Quy tắc cho tơng ứng mỗi véctơ a =(a
1
, ,a
n
) IR
n
với tập nghiệm, ký
hiệu bởi F (a), của (1.1) cho ta một ánh xạ đa trị
(1.2) F : IR
n
C
từ không gian Euclide IR
n

vào tập số phức C. Theo Định lý cơ bản của đại số,
F (a) = với mọi a IR
n
và
|F (a)| n a IR
n
,
ởđó|M| ký hiệu lực lợng của tập hợp M . Nếu ta đồng nhất mỗi số phức
x = u + iv C với cặp số thực (u, v) IR
2
thì, thay cho (1.2), ta có ánh xạ
F : IR
n
IR
2
.
Định nghĩa 1.1.1. Đồ thị gph F, miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F của
ánh xạ đa trị F : X Y tơng ứng đợc xác định bằng các công thức
gph F = {(x, y) X ì Y : y F (x)},
dom F = {x X : F (x) = },
và
rge F = {y Y : x X sao cho y F (x)}.
(Các ký hiệu đó có nguồn gốc từ ba chữ tiếng Anh là graph, domain và
range.)
Với F là ánh xạ đa trị trong Ví dụ 1.1.1, ta có
gph F = {(a, x) IR
n
ì C : x
n
+ a

1
x
n1
+ + a
n1
x + a
n
=0},
dom F = IR
n
, rge F = C.
ánh xạ ngợc F
1
: Y X của ánh xạ đa trị F : X Y đợc xác định
bởi công thức
F
1
(y)={x X : y F (x)} (y Y ).
Nếu M X là một tập con cho trớc thì hạn chế của F trên M là ánh xạ đa
trị F
|M
: M Y đợc cho bởi
F
|M
(x)=F (x) x M.
Bài tập 1.1.1. Chứng minh rằng gph F
1
=(gph F ), ởđó:X ìY
Y ìX là song ánh xác định bởi công thức (x, y)=(y, x).
1.1. ánh xạ đa trị 11

Định nghĩa 1.1.2. Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian
tôpô.
1. Nếu gph F là tập đóng trong không gian tôpô tích X ìY , thì F đợc gọi là
ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng).
2. Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gph F là tập lồi trong
không gian tích X ìY , thì F đợc gọi là ánh xạ đa trị lồi
2
.
3. Nếu F (x) là tập đóng với mọi x X, thì F đợc gọi là ánh xạ có giá trị
đóng.
4. Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F (x) là tập lồi với mọi x X,
thì F đợc gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Bài tập 1.1.2. Cho F : X Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không
gian tuyến tính tôpô. Chứng minh rằng:
(a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng.
(b) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi, thì F là ánh xạ có giá trị lồi.
(c) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi
(1 t)F (x)+tF(x

) F ((1 t)x + tx

) x, x

X, t (0, 1).
Chúng ta nhắc lại rằng tập M IR
k
đợc gọi là tập lồi đa diện
3
nếu M có
thể biểu diễn dới dạng giao của của một số hữu hạn các nửa không gian đóng

của IR
k
. Các tính chất của tập lồi đa diện đợc trình bày chi tiết trong cuốn
chuyên khảo của Rockafellar (1970). Ta có định lý biểu diễn sau đây: Tập
M IR
k
là tập lồi đa diện khi và chỉ khi tồn tại các điểm a
1
,a
2
, ,a
p
M
và các phơng v
1
,v
2
, ,v
q
IR
k
sao cho
M =


p
i=1
t
i
a

i
+

q
j=1

j
v
j
: t
1
0, ,t
p
0,

p
i=1
t
i
=1,

1
0, ,
q
0

.
(Xem Rockafellar (1970), Định lý 19.1.) Họ các điểm và các phơng
{a
1

, ,a
p
; v
1
, ,v
q
}
đợc gọi là các phần tử sinh
4
của M.
Lu ý rằng họ các phần tử sinh của một tập lồi đa diện nói chung không là
duy nhất.
2
Các khái niệm và kết quả liên quan đến tập lồi, hàm lồi, dới vi phân của hàm lồi có trong
Rockafellar (1970) - trờng hợp không gian hữu hạn chiều, Ioffe và Tihomirov (1979) - trờng
hợp không gian vô hạn chiều.
3
TNTA: polyhedral convex set.
4
TNTA: generators.
12 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Bài tập 1.1.3. Tìm các phần tử sinh của các tập lồi đa diện sau:
M =

x =(x
1
,x
2
):x
1

0,x
2
0,x
1
+ x
2
1

và
M =

x =(x
1
, ,x
n
):x
i
1 i =1, ,n}.
Bài tập 1.1.4. Cho A IR
mìn
là ma trận thực cấp m ìn, C IR
sìn
là
ma trận thực cấp s ì n. Đặt
(1.3) F (b, d)={x IR
n
: Ax b, Cx = d}(b, d) IR
m
ì IR
s

,
ở đó bất đẳng thức y z giữa hai véctơ y =(y
1
, ,y
m
) và z =
(z
1
, ,z
m
) thuộc IR
m
có nghĩa là x
i
z
i
với mọi i =1,2, ,m.
5
Chứng minh rằng ánh xạ đa trị F : IR
n
ìR
s
IR
n
cho bởi (1.3) có các
tính chất sau:
1. gph F là một nón lồi đa diện trong không gian tích IR
m
ì IR
s

ì IR
n
(do đó F là một ánh xạ đa trị lồi).
2. dom F là tập lồi đa diện.
3. rgeF = IR
n
.
4. Với mỗi (b, d) IR
m
ì IR
s
, F (b, d) là tập lồi đa diện trong IR
n
(có
thể là tập rỗng).
Hãy lấy một ví dụ đơn giản để chứng tỏ rằng nói chung thì dom F =
IR
m
ì IR
s
.
Nhận xét rằng tập F (b, d) trong Bài tập 1.1.3 là tập nghiệm của hệ phơng
trình và bất phơng trình tuyến tính
(1.4) Ax b, Cx = d.
Liên quan đến ánh xạ đa trị F cho bởi (1.3), ta có định lý sau đây.
Định lý 1.1.1 (Walkup-Wets, 1969; xem Walkup và Wets (1969), Mangasarian
và Shiau (1987), Lee, Tam và Yen (2005)). Với mỗi cặp ma trận (A, C)
IR
mìn
ì IR

sìn
tồn tại một hằng số >0 sao cho
(1.5) F (b

,d

) F(b, d)+(b

,d

) (b, d)

B
IR
n
với mọi (b, d) và (b

,d

) thuộc tập lồi đa diện
dom F = {(b, d):F (b, d) = } ,
5
Trong công thức (1.3) cũng nh trong các phép tính ma trận sẽ gặp về sau, véctơ thuộc các
không gian Euclide hữu hạn chiều đợc biểu diễn nh những cột số thực. Tuy thế, để cho đơn
giản, trên các dòng văn bản thông thờng chúng ta sẽ biểu diễn các véctơ cột đó nh những véctơ
hàng.
1.1. ánh xạ đa trị 13
ởđó
(b

,d

) (b, d) =(b

b
2
+ d

d
2
)
1/2
=


m
i=1
(b

i
b
i
)
2
+

s
j=1
(d

j
d
j
)
2

1/2
với mọi b =(b
1
, ,b
m
), d =(d
1
, ,d
s
),và

B
IR
n
=



x =(x
1
, ,x
n
) IR
n

: x =

n

i=1
x
2
i

1/2
1



là hình cầu đơn vị đóng trong IR
n
.
Tính chất (1.5) cho thấy rằng F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên dom F với
hằng số >0. Hằng số này phụ thuộc vào cặp ma trận (A, C) đã cho. Các tính
chất liên tục Lipschitz của ánh xạ đa trị sẽ đợc khảo sát chi tiết hơn ở trong
Mục 5.
Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô, F : X Y là ánh xạ đa trị,
thì ta dùng các ký hiệu

F và co F để chỉ các ánh xạ đa trị đợc cho bởi các
công thức

F (x)=
F (x) x X
và

(co F )(x)=co (F (x)) x X,
ởđó
M là bao đóng tôpô của M và co M là bao lồi của M . (Tức là co M là
tập lồi nhỏ nhất chứa M.)
Hiển nhiên

F là ánh xạ đa trị có giá trị đóng và co F là ánh xạ đa trị có
giá trị lồi. Tuy thế,

F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể
không là ánh xạ đa trị lồi!
Ví dụ 1.1.2. Cho
F (x)={sin x, cos x} (x IR).
Ta có
(co F )(x)=co {sin x, cos x}
là ánh xạ đa trị không lồi từ IR vào IR với đồ thị là tập có gạch sọc trong Hình
1.
Ví dụ 1.1.3. Cho
F (x)=

(0, 1) nếu x =0
{0} nếu x =0.
14 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Rõ ràng

F (x)=

[0, 1] nếu x =0
{0} nếu x =0
không phải là ánh xạ đa trị đóng.

Hình 1
Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X Y ,ởđóX và Y là các không
gian tuyến tính tôpô, là các ánh xạ cl F và conv F đợc cho tơng ứng bởi các
công thức sau
cl F(x)={y Y :(x, y)
gph F}x X
và
conv F(x)={y Y :(x, y) co (gph F )}x X.
Dễ thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.2 thì
(cl F )(x)={sin x, cos x} và (conv F )(x)=[1, 1] (x IR).
Với F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 ta có
(cl F)(x)=[0,1] (x IR)
và
(conv F)(x)=

(0, 1) nếu x =0,
[0, 1) nếu x =0.
Định nghĩa 1.1.3. Cho F : X Y và G : Y Z là hai ánh xạ đa trị. ánh xạ
đa trị
G F : X Z
1.1. ánh xạ đa trị 15
cho bởi công thức
(G F )(x)=

xX
G(F (x)) =

xX

yF (x)
G(y)


,
với mọi x X,đợc gọi là ánh xạ hợp (hay tích) của F và G.
Bài tập 1.1.5. Cho X, Y , Z là các không gian tuyến tính, F : X Y
và G : Y Z là hai ánh xạ đa trị lồi. Chứng minh rằng G F là ánh xạ
đa trị lồi.
ứng với mỗi hàm số thực : X IR,ởđó
IR =[, +]=IR {}{+}
là tập số thực suy rộng, ta có hai ánh xạ đa trị sau đây:
(1.6) epi : X IR, (epi )(x)={à IR : à (x)}x X,
và
(1.7) hypo : X IR, (hypo )(x)={à IR : à (x)}x X.
Nhắc lại rằng đợc gọi là hàm lồi nếu nh
((1 t)x
1
+ tx
2
) (1 t)(x
1
)+t(x
2
)
với mọi x
1
,x
2

dom := {x X : (x) < }. Ta nói là hàm lõm nếu
nh là hàm lồi. (Theo định nghĩa, ()(x)=(x) với mọi x X.)
Bài tập 1.1.6. Cho X là không gian tuyến tính. Chứng minh rằng hàm
số : X

IR là lồi khi và chỉ khi epi : X IR là ánh xạ đa trị lồi,
là hàm lõm khi và chỉ khi hypo : X IR là ánh xạ đa trị lồi.
Chúng ta kết thúc mục này với một vài ví dụ về các ánh xạ đa trị liên quan
đến các bài toán tối u.
Ví dụ 1.1.4. Cho X, Y, Z là các không gian định chuẩn. Cho f : X ì Z
IR {+} là hàm số thực, g : X ìZ Y là hàm véctơ, K Y là hình nón
lồi, đóng; X là tập hợp bất kỳ. Xét bài toán tối u phụ thuộc tham số
(P
z
)min{f(x, z):x ,g(x, z)
K
0},
ởđó
y
1

K
y
2
y
2
y
1
K.
16 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Tập hợp
G(z):={x X : x ,g(x, z)
K
0}
đợc gọi là tập ràng buộc (hay tập hạn chế, tập chấp nhận đợc) của (P
z
).
Hàm số
(z):=inf{f(x, z):x G(z)}
đợc gọi là hàm giá trị tối u (hay hàm marginal) của (P
z
). Tập
F (z):={x G(z):f(x, z)=(z)}
đợc gọi là tập nghiệm của (P
z
). Tập hợp các nghiệm địa phơng của (P
z
)
đợc ký hiệu là F
0
(z).Nh vậy, x F
0
(z) khi và chỉ khi tồn tại >0 sao
cho f (x, z) f(x, z) với mọi x G(z) B(x, ),ởđóB(x, ):={x X :
x x <} ký hiệu hình cầu mở có tâm tại x và bán kính . Hàm giá trị
tối u (ã), ánh xạ G(ã), và các ánh xạ nghiệm F(ã),F
0
(ã) là những đối tợng
nghiên cứu chính trong lý thuyết ổn định trong tối u hoá; xem Bonnans và
Shapiro (2000) và những tài liệu dẫn trong đó. Trong lý thuyết đó ngời ta đa

ra những điều kiện cần và đủ để , G, F và F
0
liên tục (theo một nghĩa nào
đó) hoặc khả vi (theo một nghĩa nào đó), tùy thuộc vào cấu trúc cụ thể của lớp
bài toán (P
z
) đợc xét. Trong các chơng sau chúng ta sẽ khảo sát một số điều
kiện kiểu đó.
Một trờng hợp riêng của bài toán tối u phụ thuộc tham số xét trong Ví dụ
1.1.4 là bài toán quy hoạch toàn phơng phụ thuộc tham số.
Ví dụ 1.1.5. Cho các ma trận A IR
mìn
, C IR
sìn
và ma trận đối xứng
D IR
nìn
. Xét bài toán quy hoạch toàn phơng
(1.8) min

1
2
x

Dx + c

x : x IR
n
,Ax b, Cx = d

phụ thuộc vào tham số z =(c, b, d) IR
n
ìIR
m
ìIR
s
. ở đây

ký hiệu phép
chuyển vị ma trận và véctơ. Ký hiệu hàm giá trị tối u, tập hạn chế, tập nghiệm
và tập nghiệm địa phơng của (1.8) tơng ứng bởi (c, b, d), G(b, d), Sol(c, b, d)
và loc(c, b, d). Tính chất của hàm và các ánh xạ đa trị Sol(ã), loc(ã) phụ thuộc
khá nhiều vào tính chất của ma trận D.Vídụnh, nếu D là ma trận xác định
dơng (tức là v

Dv > 0 với mọi v IR
n
\{0}) thì Sol(ã) là ánh xạ đơn trị,
liên tục trên tập
dom G = {(b, d) IR
m
ì IR
s
: G(b, d) = }.
Ngoài ra, loc(c, b, d)=Sol(c, b, d) với mọi (c, b, d) IR
n
ì IR
m
ì IR
s

. Chúng
ta lu ý rằng tính chất Lipschitz của ánh xạ G(ã) đã đợc chỉ ra trong Định lý
1.1.1. Có thể đọc một cách có hệ thống các kết quả về tính ổn định nghiệm của
bài toán quy hoạch toàn phơng trong Lee, Tam và Yen (2005).
1.1. ánh xạ đa trị 17
Trong ví dụ sau đây chúng ta xét bài toán quy hoạch lồi.
Ví dụ 1.1.6. Cho X là một tập lồi và : X IR {}là một hàm lồi,
ởđóX là không gian định chuẩn. Xét bài toán quy hoạch lồi
(P )min{(x):x }.
Nón tiếp tuyến T

(x) của tại x đợc định nghĩa bởi công thức
T

(x)={t(x x):x ,t 0}.
Nón pháp tuyến N

(x) của tại x đợc định nghĩa nh sau
N

(x)={x

X

: x

,v 0 v T

(x)}
= {x

X

: x

,x x 0 x },
ởđóX

ký hiệu không gian đối ngẫu của X và x

,v ký hiệu giá trị của
phiếm hàm tuyến tính x

X

tại v X. Nếu x/ , thì ta đặt N

(x)=.
Có thể chứng minh rằng x là nghiệm của (P ) khi và chỉ khi
(1.9) 0 (x)+N

(x),
ởđó
(x):={x

X

: x

,x x (x) (x) x X}

là dới vi phân (subdifferential) của tại x dom = {x X : (x) IR};
xem Ioffe và Tihomirov (1979). Đặt
(1.10) F(x)=(x)+N

(x) x dom ,
và F (x)= với mọi x/ dom . Khi đó bao hàm thức (1.9) trở thành 0 F (x).
Vậy việc giải bài toán (P ) đợc quy về việc tìm những điểm x X thỏa mãn
bao hàm thức 0 F (x), tức là việc tìm các điểm cân bằng (các không điểm)
của ánh xạ F cho bởi (1.10).
Hiển nhiên (1.10) là ánh xạ đa trị có giá trị lồi. Tuy thế, nó không nhất thiết
là ánh xạ đa trị lồi.
18 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Ví dụ 1.1.7. Cho X = IR, =[1, 1], (x) 0. Khi đó ánh xạ đa trị
F (x):=(x)+N

(x)=N

(x)=







nếu x/
(, 0] nếu x = 1
{0} nếu x =(1, 1)
[0, ) nếu x =1
có đồ thị là tập điểm tô đậm trong Hình 2. Hiển nhiên gph F không phải là tập

lồi.
Hình 2
1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dới của
ánh xạ đa trị
Nhắc lại rằng một họ các tập con 2
X
của tập hợp X đợc gọi là một tôpô
trong X nếu
(i) , X ;
(ii) giao của một họ hữu hạn tuỳ ý các tập thuộc lại là một tập thuộc ;
(iii) hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc là một tập thuộc .
Các tập thuộc đợc gọi là các tập mở. Phần bù trong X của một tập mở
đợc gọi là tập đóng. Tập X đợc trang bị một tôpô đợc gọi là một không
gian tôpô,vàđợc ký hiệu bởi (X, ). Thay cho (X, ), để cho đơn giản, nhiều
khi ta chỉ viết X, nếu tôpô đã đợc xác định theo một cách nào đó. Nếu
(X, d) là một không gian mêtric thì ta ký hiệu bởi B họ các hình cầu mở
B(x, ):={y X : d(y, x) <} (x X, > 0).
1.2. Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dới 19
Xét các tập là giao của một số hữu hạn các tập thuộc B, và ký hiệu bởi họ
các tập có thể biểu diễn dới dạng hợp của một họ tuỳ ý các tập giao nh vậy.
Ta có là một tôpô trên X; đó chính là tôpô tơng ứng với mêtric d đã cho trên
X.
Nếu (X, ) là một không gian tôpô và M X là một tập con tùy ý thì

M
:= {U M : U }
là một tôpô trên M . Tôpô
M
đợc gọi là tôpô cảm sinh của M. Tập U
M

:=
U M đợc gọi là vết
6
của U trên M.
Ta đã biết rằng nếu f : X Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào
không gian tôpô Y , thì f đợc gọi là liên tục tại x X nếu với mỗi tập mở V
chứa f (x) (V là lân cận mở của f(x) trong tôpô của Y ) tồn tại lân cận mở U
của x sao cho
f(x) V x U.
Ta nói f là liên tục ở trên X nếu nó là liên tục tại mọi điểm thuộc X. Dễ thấy
rằng f là liên tục ở trên X nếu, với mỗi tập mở V Y , ảnh ngợc
f
1
(V ):={x X : f (x) V }
của V là tập mở trong X.
Có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị theo
hai cách khác nhau. Kết quả là ta thu đợc hai khái niệm có nội dung hoàn toàn
khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên tục dới.
Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã đợc B. Bouligand và
K. Kuratowski đa ra năm 1932. Ngày nay, nhiều khi ngời ta dùng các cụm từ
ánh xạ đa trị nửa liên tục trên theo Berge và ánh xạ đa trị nửa liên tục dới
theo Berge để chỉ hai khái niệm này, vì chúng đợc khảo sát khá kỹ trong một
cuốn chuyên khảo của C. Berge (1959).
Cho F : X Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô
Y .
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói F là nửa liên tục trên tại x dom F nếu với mọi tập
mở V Y thỏa mãn F(x) V tồn tại lân cận mở U của x sao cho
F (x) V x U.
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F, thì F đợc gọi là nửa
liên tục trên ở trong X.

6
TNTA: trace.
20 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.2.2. Ta nói F là nửa liên tục dới tại x dom F nếu với mọi tập
mở V Y thỏa mãn F(x) V = tồn tại lân cận mở U của x sao cho
F (x) V = x U dom F.
Nếu F là nửa liên tục dới tại mọi điểm thuộc dom F , thì F đợc gọi là nửa
liên tục dới ở trong X.
Định nghĩa 1.2.3. Ta nói F là liên tục tại x dom F nếu F đồng thời là nửa
liên tục trên và nửa liên tục dới tại x. Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc
dom F, thì F đợc gọi là liên tục ở trên X.
Ví dụ 1.2.1.
ánh xạ đa trị
F (x)=



{0} nếu x<0
[1, 1] nếu x =0
{1} nếu x>0
từ IR vào IR là nửa liên tục trên ở trong IR,nhng không là nửa liên tục dới
tại x =0.Nh vậy, F không phải là ánh xạ liên tục ở trên IR.
Hình 3
Ví dụ 1.2.2.
ánh xạ đa trị
F (x)=

[0, 1] nếu x =0
{0} nếu x =0
không phải là ánh xạ liên tục ở trên IR,vìF chỉ là nửa liên tục dới tại x =0,

chứ không là nửa liên tục trên tại điểm đó.