Bài giảng môn toán 5 xác xuất thống kê - ts nguyễn hữu thọ

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


1
Bài số 15
TỔNG KẾT MÔN TOÁN 5
I. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN. BIẾN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

1 Nhắc lại và bổ xung kiến thức về giải tích tổ hợp
a.Quy tắc cộng. Giải sử một công việc nào có
k
trường hợp để thực hiện:
Trường hợp 1 có
1
n
cách thực hiện
Trường hợp 2 có
2
n
cách thực hiện …
Trường hợp
k
có
k
n
cách thực hiện
Khi đó ta có:

1 2

k
n n n n
= + + +
cách thực hiện công việc đã cho.
b.Quy tắc nhân.Giải sử một công việc nào đó được chia thành
k
giai đoạn:
Có
1
n
cách thực hiện giai đoạn thứ nhất
Có
2
n
cách thực hiện giai đoạn thứ hai…
Có
k
n
cách thực hiện giai đoạn thứ
k

Khi đó ta có:
1 2
.
k
n n n n
=
cách thực hiện công việc đã cho.

c. Hoán vị
Định nghĩa: Hoán vị của
n
phần tử là một bộ có thứ tự gồm
k
phần tử khác nhau chọn từ
n
phần tử
đã cho hoặc gồm đúng
n
phần tử đã cho.
Công thức 1: Số các hoán vị của
n
phần tử phân biệt là
!
n
P n
=
.

Công thức 2: Số những hoán vị của
n
phần tử phân biệt được lấy
k
lần liên tiếp là
!
( )!
k
k r n
n

P A
n k
= =
−
(còn gọi là chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử)

Công thức 3: Số những hoán vị của
n
phần tử phân biệt được sắp xếp theo một vòng tròn là :
( 1)!
n
−
.



Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


2
Công thức 4: Số những hoán vị phân biệt của
n

phần tử mà trong đó
1
n
phần tử thuộc kiểu thứ nhất,
2
n
phần tử thuộc kiểu thứ hai, ,
k
n
phần tử thuộc kiểu thứ
k
k là:
1 2
!
! ! !
k
n
n n n

.

d.Phân hoạch. Tổ hợp.

Công thức 1: Ta phân hoạch một tập gồm
n
phần tử thành
k
ngăn sao cho:
có
1

n
phần tử trong ngăn thứ nhất,
có
2
n
phần tử trong ngăn thứ hai,
có
k
n
phân tử trong ngăn thứ
k

Khi đó số cách phân hoạch là:
1 2
1 2
!
, , ,
! ! !
r
k
n
n
n n n
n n n
 




=







 


trong đó
1 2

k
n n n n
+ + + =
.

Công thức 2: Số các tổ hợp của
n
phần tử phân biệt được tạo ra khi lấy
r
phần tử cùng một lúc là
!
!( )!
k
n
n
n
C
r

r n r
 




= =




−


 


2. Biến cố
a. Định nghĩa. Các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố. Như vậy biến cố của một
phép thử chính là mỗi tập con của không gian mẫu.

Ký hiệu biến cố : Dùng các chữ in hoa như A, B, C…

Chú ý
• Mỗi điểm mẫu là một biến cố và được gọ là biến cố sơ cấp.
• Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu là ∅.
• Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với chính
không gian mẫu
S
(hay

Ω
) nên ký hiệu là
S
(hay
Ω
).

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


3
b. Quan hệ giữa các biến cố. Cho
A
và
B
là hai biến cố của một phép thử với không gian mẫu
S
. Khi
đó :

•
Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.

•
Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và
ngược lại.

•
Biến cố đối của biến cố A, ký hiệu
A
, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
•
Hợp (tổng) của hai biến cố
A
và
B
, ký hiệu là
A B
∪
(hoặc
A B
+
) là biến cố xảy ra nếu có ít
nhất một biến cố nào đó trong các biến cố
A
hoặc
B
xảy ra. Nói cách khác :
A B
∪
là biến cố gồm các
điểm mẫu hoặc thuộc
A
hoặc thuộc
B
.

Định nghĩa hợp của
n
biến cố cũng được định nghĩa tương tự :
1 2

n
A A A
∪ ∪ ∪



•
Giao (tích) của hai biến cố
A
và
B
, kí hiệu
A B
∩
(hoặc
AB
) là biến cố xảy ra nếu cả
A
và
B
cùng xảy ra. Nói cách khác
A B
∩
là biến cố gồm các điểm mẫu thuộc cả
A

và
B
.
Nếu A
1
, A
2
, …, A
n
là các biến cố liên quan đến cùng một phép thử, thì giao (hay tích) của chúng, ký
hiệu là
1 2

n
A A A
∩ ∩ ∩
.

•
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu
A B
∩ = ∅
.
3. Xác xuất của của một biến cố
Xét phép thử với không gian mẫu
{
}
1 2
, ,
k

S s s s
= Ω =
.
Khi đó, với mỗi điểm mẫu (biến cố sơ cấp)
i
s
được gán tương ứng với một số thực
i
p
thỏa mãn
1
0;1
1
i
k
i
i
p
p
=

 

∈

 
 





=




∑
, số thực
i
p
được gọi là xác suất của điểm mẫu (biến cố sơ cấp)
i
s
.
Định nghĩa. Xét phép thử với không gian mẫu
S
và
A
biến cố trong phép thử đó. Khi đó xác suất của
biến cố
A
là tổng xác xuất của tất cả các diểm mẫu trong
A
, ký hiệu là
( )
P A
.

Các bước tìm xác suất(theo lối cổ điển) của một biến cố
A

:
1.Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong không gian mẫu:
N

2. Đếm số biến số sơ cấp đồng khả năng trong biến cố
:
A

n

3. Từ đó
( ) .
n
P A
N
=


a.Công thức cộng.
Trường hợp các biến cố xung khắc.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


4
Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc (tức là
A B AB

∩ = = ∅
) trong một phép thử thì ta có:
P(A
∪
B) = P(A) + P(B)

Trường hợp tổng quát.
Nếu A và B là hai biến cố tùy ý trong một phép thử thì ta có
P(A
∪
B) = P(A) + P(B) – P(AB)

b.Xác suất có điều kiện. Công thức nhân

Xác suất có điều kiện.

Định nghĩa: Xác suất của biến cố B được tính khi biết biến cố A nào đó đã xảy ra được gọi là xác suất
có điều kiện và được ký hiệu là P(B|A). Ký hiệu P(B|A) thường được đọc là “ xác suất để B xảy ra với
điều kiện A đã xảy ra” hoặc đơn giản là “xác suất của B với điều kiện A”.

Công thức: Xác suất có điều kiện của B với điều kiện A, ký hiệu P(B|A), được xác định như sau:
( )
( | )
( )
P A B
P B A
P A
∩
= nếu P(A) > 0.

Công thức nhân xác suất.

Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B A P B P A B
∩ = =

Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi
P(A ∩ B) = P(A).P(B).

c.Công thức xác suất đây đủ. Công thức Bayes

Công thức xác suất đầy đủ.

Nếu các biến cố B
1
,B
2
, …, B
k
là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là
1 2
, , ,
k
B B B
là nhóm
các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(B
i
)
≠

0 với mọi i = 1, 2, …, k thì với biến cố A bất
kì của S ta có:
P(A) =
1
( )
k
i
i
P B A
=
∩
∑
=
1
( ) ( | ).
k
i i
i
P B P A B
=
∑


Công thức Bayes. Cho phép tính xác suất có điều kiện
( | )
P B A
khi biết xác suất có điều kiện
( | )
P A B
và một số thông tin khác.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


5
a) Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Với A và B là hai biến cố bất kỳ với xác suất khác không,
khi đó ta luôn có:
( | ) ( )
( | ) .
( )
P A B P B
P B A
P A
=
Định lý (Công thức Bayes tổng quát).
Nếu các biến cố B
1
,B
2
, …, B
k
là một phân hoạch của không gian mẫu S (tức là
1 2
, , ,
k
B B B

là
nhóm các biến cố đầy đủ đôi một xung khắc), trong đó P(B
i
)
≠
0 với mọi i = 1, 2, …, k, thì với biến cố
A bất kì của S mà P(A)
≠
0 ta có:
P(B
r
|A) =
1
( )
( )
r
k
i
i
P B A
P B A
=
∩
∩
∑
=
1
( ) ( | )
( ) ( | )
r r

k
i i
i
P B P A B
P B P A B
=
∑


4. Biến ngẫu nhiên một chiều

a.Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với
duy nhất một số thực.

b. Phân loại biến ngẫu nhiên
Từ tính chất của tập giá trị của biến ngẫu ngẫu nhiên, người ta chia các biến ngẫu nhiên thành hai loại:
Biến ngẫu nhiên
X
được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị của nó là tập đếm được.
Biến ngẫu nhiên
X
được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy
một hay một số khoảng hữu hạn hoặc vô hạn trên trục số.

c. Phân phối xác suất
Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên
X
nhận giá
x
là

X x
=
và xác suất để
X
nhận giá trị
x
là
( )
P X x
=
.

i. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc.
Đặt:
( ) ( )
f x P X x
= =
, khi đó
( )
f x
chính là hàm của các giá trị của
X

Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Cho
X
là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị
{
}

1 2 3
, , ,
x x x
Hàm số thực
( )
f x
xác định trên
»

được gọi là hàm xác suất (hoặc phân phối xác suất) của
X
nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1.
( ) 0
f x
≥
với mọi
x
trong tập giá trị của
X

2.
( ) 1
i
i
x
f x
=
∑

3.
( ) ( )
i i
f x P X x
= =
.

Hàm phân phối tích lũy.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


6

Hàm phân phối tích lũy
( )
F x
của biến ngẫu nhiên rời rạc
X
với phân phối xác suất
( )
f x
là hàm số
được xác định bởi:
( ) ( ) ( )
t x
F x P X x f t

≤
= ≤ =
∑
với
x
−∞ < < +∞
.

ii. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục.

Hàm mật độ xác suất.

Hàm mật độ xác suất
( )
f x
của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm số thực xác định trên tập số thực
»
và thỏa mãn xác điều kiện sau:
1.
( ) 0
f x
≥
, với
x
∀ ∈
»


2.
( ) 1

f x dx
+∞
−∞
=
∫

3. P(a < X < b) =
( )
b
a
f x dx
∫
.

Hàm phân phối tích lũy.

Hàm phân phối tích lũy
( )
F x
của biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ
( )
f x
là hàm thực được
xác định bởi:
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f t dt
−∞
= ≤ =
∫

, với
x
−∞ < < +∞
.

5.Một số hân phối xác suất thường gặp.

a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc

i. Phân phối đều rời rạc

Định nghĩa. Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc
X
với miền giá trị là
{
}
1 2
, , ,
k
x x x
và xác suất để
X
nhận
mỗi giá trị có thể của nó là bằng nhau:
( ) ( ),
i j
P X x P X x i j
= = = ∀ ≠
. Khi đó ta nói rằng biến ngẫu
nhiên

X
có phân phối đều rời rạc, và ta có:
{ }
1 2
1
( ; ) , , , , .
k
f x k x x x x
k
= ∈



Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


7
Tham số đặc trưng:Cho BNN rời rạc
X
với miền giá trị là
{
}
1 2
, , ,
k
x x x

. Giá trị trung bình (kỳ vọng)
và phương sai của phân phối đều rời rạc
( ; )
f x k
là
1
( )
k
i
i
x
E X
k
µ
=
= =
∑
và
2
2
1
( )
.
k
i
i
x
k
µ
σ

=
−
=
∑


ii. Phân phối nhị thức.



Định nghĩa. Phép thử Bernoulli là một quá trình thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:
1. Một thí nghiệm gồm
n
phép thử cùng loại được lặp đi lặp lại.
2. Mỗi biến cố của một phép thử được phân loại theo biến cố thành công hoặc biến cố thất bại.
3. Xác suất thành công trong mỗi phép thử đều bằng nhau và được kí hiệu là
p
.
4. Các phép thử là độc lập.

Định nghĩa. Số lần thành công X trong n phép thử Bernoulli được gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức.
Phân phối xác suất của BNN rời rạc này được gọi là phân phối nhị thức. Xác suất được kí hiệu là b(x;
n; p) - bởi vì nó phụ thuộc vào số phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép thử

Công thức tính: Cho phép thử Bernoulli với xác suất thành công là
p
và thất bại là
1
q p
= −

. Phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức X (số lần thành công trong n phép thử độc lập), là
( ; , ) ( ) , 0,1,2, , .
x x n x
n
b x n p P X x C p q x n
−
= = = =


Chú ý:
1. Do p + q = 1 nên ta được:
0
( ; , ) 1
n
x
b x n p
=
=
∑

2. Nhiều khi ta cần tính P(X < r) và P(a ≤ X ≤ b). Khi đó ta cần các kết quả đã được tính sẵn, các tổng
nhị thức:
0
( ; , ) ( ; , )
r
x
B r n p b x n p
=
=

∑

đã được tính sẵn và ghi trong Bảng A.1 trong phần phụ lục, với
1,2, ,20
n
=
và các giá trị xác suất
p
từ 0,1 đến 0,9.

Tham số đặc trưng: Giá trị trung bình (kỳ vọng) và phương sai của phân phối nhị thức b(x; n, p) được
xác định bởi:
np
µ
=
và
2
npq
σ
=


iii. Phân phối đa thức.

Định nghĩa. Phép thử nhị thức trở thành phép thử đa thức nếu mỗi phép thử có nhiều hơn hai kết quả.
Khi đó phân phối xác suất của phép thử đa thức được gọi là phân phối đa thức.


Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti

ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


8
Công thức tính: Nếu một phép thử có k kết cục E
1
, E
2, …,
E
k
với xác suất tương ứng là p
1
, p
2,…,
p
k
, thì
phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên
1 2
, , ,
k
X X X
biểu thị số lần xuất hiện của E
1
, E
2, …,
E
k

tương
ứng, trong dãy n phép thử độc lập là
1 2 1 2
, , ,
1 2 1 2 1 2
( , , , ; , , , , ) .
k k
x x x x x x
k k n k
f x x x p p p n C p p p
=

trong đó
1 1
, 1
k k
i i
i i
x n p
= =
= =
∑ ∑
.
iv. Phân phối siêu bội.

Định nghĩa. Khi chọn ngẫu nhiên một mẫu cỡ
n
từ
N
phần tử, ta quan tâm đến xác suất để chọn được

x
phần tử thành công. Phép thử kiểu này được gọi là phép thử siêu bội, nếu nó thỏa mãn hai tính chất
sau:
1. Một mẫu cỡ
n
được chọn ngẫu nhiên theo phương thức không hoàn lại từ
N
phần tử.
2. Trong N phần tử đã định rõ k phần tử là thành công và N – k phần tử còn lại là thất bại.
Số phần tử thành công
X
trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội được gọi là phân phối siêu bội và các giá trị của nó
được kí hiệu là
( ) ( ; , , )
P X x h x N n k
= =
.


Công thức tính: Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên siêu bội
X
(biểu thị số thành công trong mẫu cỡ
n
được chọn ngẫu nhiên từ
N
phần tử) trong đó có k phần tử là thành công và N – k phần tử được đặt
thất bại, được xác định bởi công thức:
( ; , , ) , 0,1,2, ,
x n x

k N k
n
N
C C
h x N n k x n
C
−
−
= =
.

Tham số đăc trưng: Trung bình (kỳ vọng) và phương sai của phân phối siêu bội h(x; N, n, k) được xác
định bởi:
nk
N
µ =
và
2
1 .
1
N n k k
n
N N N
σ
 
−



= −






−
 


v. Phân phối nhị thức âm.
Xét một phép thử có các tính chất tương tự như các tính chất của phép thử nhị thức, nhưng số
phép thử được lặp lại (độc lập) cho đến khi số lượng biến cố thành công xuất hiện là một con số được ấn
định trước. Khi đó, ta quan tâm đến xác suất để có được
k
lần thành công và dừng lại ở lần thực hiện
phép thử thứ
x
. Dãy phép thử kiểu này được gọi là dãy phép thử nhị thức âm.

a. Định nghĩa. Số phép thử
X
để có được
k
biến cố thành công trong phép thử nhị thức âm được gọi là
biến ngẫu nhiên nhị thức âm, và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối nhị thức âm, kí
hiệu các xác suất là
*
( ; , )
b x k p
.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


9
b. Công thức. Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập với biến cố thành công xuất hiện
trong một lần thực hiện có xác suất là
p
và biến cố thất bại xuất hiện với xác suất là
1
q p
= −
, thì
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
X
(biểu thị số phép thử cần phải thực hiện để có được lần thứ
k

biến cố thành công xuất hiện) là
* 1
1
( ; , ) , , 1, 2,
k k x k
x
b x k p C p q x k k k
− −

−
= = + +


vi. Phân phối hình học. Trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức âm là phân phối hình học và kí
hiệu các giá trị của nó là
( ; )
g x p
.
Định nghĩa. Nếu một phép thử được lặp đi lặp lại một cách độc lập và xác suất xuất hiện biến cố
thành công trong mỗi phép thử là p và biến cố thất bại là q = 1 – p, thì phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên X (biểu thị số phép thử phải thực hiện đến khi một biến cố thành công xuất hiện) là
1
( ; ) , 1,2, 3,
x
g x p pq x
−
= =


Tham số đặc trưng. Giá trị trung bình (kỳ vọng) và phương sai của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân
phối hình học, là:
2
2
1 1
,
p
p
p
µ σ

−
= =


vii. Phân phối Poisson và quá trình Poisson.

Định nghĩa 1. Các phép thử cho kết quả là các giá trị bằng số của biến ngẫu nhiên
X
, biểu thị số biến
cố sơ cấp xuất hiện trong suốt một khoảng thời gian cho trước (thể có độ dài bất kỳ) hoặc một miền xác
định, được gọi là phép thử Poisson.

Định nghĩa 2. Số biến cố sơ cấp X xuất hiện trong phép thử Poisson được gọi là biến ngẫu nhiên
Poisson và phân phối xác suất của nó được gọi là phân phối Poisson.

Công thức. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Poisson X, biểu thị số biến cố sơ cấp xuất hiện
trong một khoảng thời gian cho trước hoặc một vùng định trước được ký hiệu bởi t, là
(
, 0,1,2,
!
)
( ; )
t x
e
x
x
t
p x t
λ
λ

λ
−
=
=

trong đó
λ
là số biến cố xuất hiện trung bình trong một đơn vị thời gian hoặc vùng, và
2.71828
e
≈


Chú ý. Bảng A.2 chứa các tổng xác suất Poisson :
0
( ; ) ( ; )
r
x
P r t p x t
λ λ
=
=
∑

với một số giá trị của
t
λ
thay đổi từ 0,1 đến 18.

Tham số đặc trưng.

Giá trị trung bình(Kỳ vọng) và phương sai của phân phối Poisson
( ; )
p x t
λ
đều bằng
t
λ
.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


10

b. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục

i. Phân phối liên tục đều.
Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục
X
được gọi là có phân phối liên tục đều trên khoảng
;
a b
 
 
 
nếu

hàm mật độ của nó trên khoảng đó được xác định bởi:
1
khi
( ; , )
0 khi ;
a x b
f x a b
b a
x a b



≤ ≤


=

−

 

∉
 

 




Nhận xét: Nếu BNN liên tục

X
có phân phối đều trên
[ ; ]
a b
, thì hàm phân phối của
X
được xác định
bởi:
0 ,
( ) ( ) ,
1 ,
x
x a
x a
F x f x dx a x b
b a
x b
−∞


<




−

= = ≤ ≤



−



>



∫


Tham số đặc trưng: Kỳ vọng và phương sai của phân phối đều được xác định bởi:

2
2
( )
và .
2 12
a b b a
µ σ
+ −
= =


ii. Phân phối chun.

Định nghĩa.
Một biến ngẫu nhiên liên tục
X
có phân phối hình quả chuông được gọi là một biến ngẫu nhiên

chun.

Mật độ của
X
được ký hiệu bởi
( ; , ).
n x
µ σ

Phân phối chun: Cho biến ngẫu nhiên chuNn
X
, với kỳ vọng

µ
và phương sai
2

σ
. Khi đó hàm mật
độ của biến ngẫu nhiên
X
được xác định bởi:
2
2
( )
2
1
( ; , ) , , 3.14159 và 2.71828
2
x

n x e x e
µ
σ
µ σ π
σ π
−
−
= − ∞ < < +∞ = =



Tham số đặc trưng.

Nếu
X
là BNN chuNn có hàm mật độ
( ; , )
n x
µ σ
thì
2
( ) ,
X
E X
µ σ σ
= =
.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti

ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


11

a.Công thức xác suất của BNN chun. Cho
X
là BNN chuNn có hàm mật độ
( ; , )
n x
µ σ
khi đó:
2 2
1 1
(1/2)[( )/ ]2
1 2
1
( ) ( ; , )
2
x x
x
x x
P x X x n x dx e dx
µ σ
µ σ
σ π
− −
< < = =

∫ ∫


Nhận xét: Bây giờ ta thực hiện bởi phép chuyển:
.
X
Z
µ
σ
−
=
Khi đó
X
nếu nhận các giá trị trong
khoảng
1 2
( , )
x x
thì biến ngẫu nhiên Z sẽ nhận các giá trị trong khoảng
1 2
1 2 1 2
( , ) : ,
x x
z z z z
µ µ
σ σ
− −
= =
.
Từ đó, chúng ta có thể viết

2
1
2
2 2
1 1
(1/2)[( )/ ]2
1 2
/2
1 2
1
( )
2
1
( ;0,1) ( ),
2
x
x
x
z z
z
z z
P x X x e dx
e dz n z dz P z Z z
µ σ
σ π
π
− −
−
< < =
= = = < <

∫
∫ ∫

ở đó chúng ta thấy
Z
là một phân phối chuNn có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1.

Định nghĩa phân phối chun tắc. Phân phối của biến ngẫu nhiên chuNn có kỳ vọng bằng 0 và phương
sai bằng 1 được gọi là phân phối chun tắc:
2
2
1
( ;0,1) ,
2
x
n x e x
π
−
= − ∞ < < +∞



iii. Phân phối mũ và phân phối gamma

Hàm gamma là hàm thuộc lớp các hàm đặc biệt và được được định nghĩa bởi:
đ
1
0
( ) trong ó 0.
x

x e dx
α
α α
∞
− −
Γ = >
∫


Tính chất của hàm Gamma.
i. Bằng cách tích phân từng phần đặt:
1
và
x
u x dv e dx
α− −
= =
, chúng ta nhận được công thức truy
hồi sau:
( ) ( 1) ( 1).
α α α
Γ = − Γ −


ii. Lặp lại công thức truy hồi chúng ta có:
( ) ( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 3),
α α α α α α α α
Γ = − − Γ − = − − − Γ −

Đặc biệt: khi
,
n
α
=
với n là số nguyên dương thì:
( ) ( 1)( 2) (1).
n n n
Γ = − − Γ

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


12

iii. Ta có :
0
(1) 1
x
e dx
∞
−
Γ = =
∫
.
Do đó:

( ) ( 1)!
n n
Γ = −
.

iv. Một tính chất quan trọng của phân phối gamma đó là:
(1 / 2) .
π
Γ =

Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục
X
có phân phối gamma, với các tham số
và
α β
, nếu hàm mật
độ của nó được cho bởi

đ
1 /
1
, khi x 0
( )
( )
0
trong ó , 0.
x
x e
f x
α β

α
β α
α β
− −



>


=
Γ






>


Tham số đặc trưng. K
ỳ
v
ọ
ng và ph
ươ
ng sai c
ủ
a phân ph

ố
i gamma là
2 2
và
µ αβ σ αβ
= =
.

iv. Phân phối mũ M
ộ
t phân ph
ố
i v
ớ
i
1
α
=
được gọi là phân phối mũ

Định nghĩa. Bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c X có phân phối mũ, với tham số
β
, nếu hàm mật độ của nó được
cho bởi

đ
/
1
, khi x 0
( )
0 , khi 0
trong ó 0.
x
e
f x
x
β
β
β
−



>


=



≤



>

Tham số đặc trưng. Kỳ vọng và phương sai của phân phối mũ là
2 2
và .
µ β σ β
= =


v. Phân phối
2
χ


Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X có phân phối
2
χ
(Khi bình phương) với
ν
bậc tự do nếu hàm mật độ
của nó được cho bởi
/2 1 /2
/2
1
, 0
( )
2 ( / 2)
0 0
v x

v
x e dx x
f x
v
x
− −



>


=
Γ



≤




ở đó v là một số nguyên dương.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012

13

Tham số đặc trưng. Kỳ vọng và phương sai của phân phối
2
χ
là
2
và 2 .
v v
µ σ
= =


II. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU. KỲ VỌNG, PHƯƠNG SAI.

1. Định nghĩa. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y. Cặp (có thứ tự) hai biến ngẫu nhiên (X,Y) được gọi là
một biến ngẫu nhiên hai chiều

Hai trường hợp
i.
X
và
Y
cùng là biến ngẫu nhiên rời rạc: khi đó
( , )
X Y
được gọi là biến ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc.
ii.
X

và
Y
cùng là biến ngẫu nhiên liên tục: khi đó
( , )
X Y
được gọi là biến ngẫu nhiên hai
chiều liên tục.

2. Phân phối xác suất.

a.Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm phân phối xác suất đồng thời của chúng là
một hàm hai biến
( , )
f x y
được xác định bởi:

{
}
( , ) ;
f x y P X x Y y
= = =
.


Nhận xét.
Hàm
( , )
f x y
là phân phối xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y nếu:

1. f(x, y) ≥ 0,
∀
(x, y)
2.
( , ) 1
x y
f x y
=
∑∑

3. Với miền A tùy ý trong mặt phẳng
Oxy
ta có P[(X, Y)
∈
A] =
( , )
A
f x y
∑∑
.
Tương tự như đối với biến ngẫu nhiên một chiều, khi
( , )
X Y
là biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (tức là
X
và
Y
là các biến ngẫu nhiên rời rạc), ta thường biểu diễn phân bố xác suất dưới dạng Bảng phân
phối xác suất (đồng thời) như sau:

Y
X
1
y

2
y

…
k
y

…
1
x

1 1
( , )
f x y

1 2
( , )
f x y

…
1 2
( , )
f x y

…

2
x

2 1
( , )
f x y

2 2
( , )
f x y

…
2
( , )
k
f x y

…
… … … …
k
x

1
( , )
k
f x y

2
( , )
k

f x y

…
( , )
k k
f x y

…
…

… … … … …


Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


14

b. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục.


3.Phân phối biên duyên.

Bây giờ nếu đã biết phân phối xác suất đồng thời
( , )
f x y

của biến ngẫu nhiên hai chiều
( , )
X Y
,
liệu ta có thể xác định được phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên thành phần hay không?

Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên hai chiều
( , )
X Y
rời rạc có hàm phân phối xác suất đồng thời là
( , )
f x y
.
Khi đó: phân phối biên duyên của X và Y được xác định bởi:
g(x) =
( , )
y
f x y
∑
và h(y) =
( , )
x
f x y
∑
.
Biến ngẫu nhiên hai chiều
( , )
X Y
liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời là
( , )

f x y
. Khi đó: phân
phối biên duyên của X và Y được xác định bởi
g(x) =
( , )
f x y dy
∞
−∞
∫
và h(y) =
( , )
f x y dx
∞
−∞
∫
.

Mô tả đối với biến ngẫu nhiên rời rạc:
Từ Bảng phân phối xác xuất đồng thời:

Y
X
1
y

2
y

…
k

y

…
Tổng theo hàng
1
x

1 1
( , )
f x y

1 2
( , )
f x y

…
1 2
( , )
f x y

…
1
p

2
x

2 1
( , )
f x y

2 2
( , )
f x y

…
2
( , )
k
f x y

…
2
p


…
… … …
k
x

1
( , )
k
f x y

2
( , )
k
f x y

…
( , )
k k
f x y

…
k
p

…

… … … … …
Tổng theo cột

1
q

2
q


k
q

1


Định nghĩa. Hàm f(x, y) được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên liên tục
X và Y nếu:

1. f(x, y) ≥ 0,
( , )
x y
∀

2.
( , ) 1
f x y dxdy
+∞ +∞
−∞ −∞
=
∫ ∫

3.
[( , ) ]
P X Y A
∈
( , )
A
f x y dxdy
=
∫∫
với
A
là miền tùy ý trong mặt phẳng
Oxy
.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


15


X
1
x

2
x

…
k
x

…
( ) ( , )
j
j
g x f x y
=
∑

( )
i
P X x
=

1
p

2
p


k
p


i
i
p
∑


Y
1
y

2
y

…
k
y

…

( ) ( , )
i
i
h y f x y
=
∑

( )
j
P Y y
=

1
q

2
q


k
q


j
j
q
∑


4.Phân phối xác suất coa điều kiện

Với hai biến cố ngẫu nhiên một chiều
A
và
B
ta đã có công thức tính xác suất có điều kiện như sau:
P(B | A) =
( )
( )
P A B
P A
∩
, P(A) > 0

O
Nếu coi A là biến cố X = x, B là biến cố Y = y trong đó X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc thì ta
có:
P(Y = y | X = x) =
( , )
( , )
( ) ( )
P X x Y y
f x y
P X x g x
= =
=
=
, g(x) > 0

O

Hàm
( , )
( )
f x y
g x
được gọi là phân phối xác suất có điều kiện. Ta có thể dùng nó để tính các xác suất
có điều kiện.

Định nghĩa. Giả sử
( , )
X Y
biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc hoặc liên tục.
Phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X = x được xác định bởi:
(
)
( , )
, ( ) 0
( )
f x y
f y x g x
g x
= >
.
Phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với điều kiện Y = y được xác định bởi:
f(x | y) =
(
)
( , )
, ( ) 0.
( )

f x y
f x y h y
h y
= >


Khi đó:
O
Xác suất để biến ngẫu nhiên rời rạc X lấy giá trị trong khoảng (a,b) khi đã biết biến ngẫu
nhiên rời rạc Y = y là:
P(a < X < b | Y = y) =
( | )
x
f x y
∑
,
trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị của X nằm giữa a và b.
O
Khi X và Y liên tục thì: P(a < X < b | Y = y) =
( | )
b
a
f x y dx
∫
.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


16

5. Kỳ vọng.
Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên gọi là kỳ vọng của của nó.

a. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa.
a. Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm phân phối xác suất là
( )
f x
. Khi đó kỳ vọng
(giá trị trung bình) của
X
là một số thực ký hiệu là
( )
E X
( hoặc
µ
) được xác định bởi
( ) ( )
x
E X xf x
µ
= =
∑

b. Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x). Khi đó kỳ vọng (giá
trị trung bình) của X là một số thực ký hiệu là E(X) được xác định bởi:
( ) ( ) .
E X xf x dx
µ
+∞
−∞
= =
∫


b.Kỳ vọng của hàm các biến ngẫu nhiên.

Như ta đã biết, khi X là một biến ngẫu nhiên và
( )
g g t
=
là một hàm nào đó thì
( )
g X
cũng là một
biến ngẫu nhiên. Khi đó
( )
g X
có kỳ vọng là bao nhiêu?

Định lí 1. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là
( )
f x
và

( )
g g t
=
là hàm số xác định trên
miền giá trị của biến ngẫu nhiên
X
. Khi đó kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
( )
g X
được xác định bởi:
( )
[ ( )] ( ) ( )
g X
E g X g x f x
µ
= =
∑

, nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc,
và
( )
[ ( )] ( ) ( )
g X
E g X g x f x dx
µ
+∞
−∞
= =
∫

, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.

Sau đây, ta sẽ mở rộng cho trường hợp các biến ngẫu nhiên
X
và
Y
có phân phối xác suất đồng thời
( , )
f x y
.

Định lý 2. Cho
X
và
Y
là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là
( , )
f x y
, hàm số
( , )
g g t u
=
xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên hai chiều
( , )
X Y
. Khi đó kỳ vọng của biến
ngẫu nhiên
( , )
g X Y
được xác định bởi:

( , )
x
[ ( , )]= ( , ) ( , )
g X Y
y
E g X Y g x y f x y
µ
=
∑∑
, nếu
X
và
Y
là các BNN rời rạc,
và:
+ +
( , )
- -
[ ( , )]= g(x,y)f(x,y)
g X Y
E g X Y dxdy
µ
∞ ∞
∞ ∞
=
∫ ∫
nếu
X
và
Y

là các BNN liên tục.


Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


17

6. Phương sai và độ lệch chun

a. Phương sai và độ lệch chun của biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất
( )
f x
và kỳ vọng là
µ
. Phương sai của X
là một số thực được xác định bởi:
2 2 2
[( - ) ] ( - ) ( )
x
E X x f x
σ µ µ
= =
∑

,nếu X là rời rạc,
và
2 2 2
[( - ) ] ( ) ( )
E X x f x dx
σ µ µ
+∞
−∞
= = −
∫

,nếu X liên tục.
Căn bậc hai của phương sai là
σ
và được gọi là độ lệch chun của biến ngẫu nhiên X.

Định lí . Phương sai của biến ngẫu nhiên
X
có thể đươc xác định bởi công thức:
2 2 2
( ) .
E X
σ µ
= −


b. Phương sai của hàm các biến ngẫu nhiên

Ta sẽ mở rộng khái niệm phương sai của một biến ngẫu nhiên cho hàm của biến ngẫu nhiên

X
.
Giả sử
( )
g g t
=
là hàm số xác định trên miền giá trị của biến ngẫu nhiên
X
, khi đó
( )
g X
cũng là một
biến ngẫu nhiên và phương sai của nó sẽ được kí hiệu là
2
( )
g X
σ
.

Định lý 4. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là
( )
f x
. Phương sai của biến ngẫu nhiên
g(X) là:
{
}
2 2 2
( ) ( ) ( )
[ ( ) - ] [ ( ) ] ( )
g X g X g X

x
E g X g x f x
σ µ µ= = −
∑
, nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc,
và
{
}
2 2 2
( ) ( ) ( )
[ ( ) - ] [ ( ) - ] ( )
g X g X g X
E g X g x f x dx
σ µ µ
+∞
−∞
= =
∫

, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.

7.Covariance và hệ số tương quan

a. Covariance
Định nghĩa.

Cho
X
và
Y

là các BNN với phân phối xác suất đồng thời f(x, y). Khi đó Covariance của
X
và
Y
là
một đại lượng mà giá trị của nó được xác định bởi:
[( - )( )] ( )( ) ( , )
XY X Y X Y
x y
E X Y x y f x y
σ µ µ µ µ
= − = − −
∑∑
, nếu
X
và
Y
là các BNN rời rạc,
và
- -
[( - )( )] ( )( ) ( , )
XY X Y X Y
E X Y x y f x y dxdy
σ µ µ µ µ
+∞ +∞
∞ ∞
= − = − −
∫ ∫
, nếu
X

và
Y
là các BNN l/ tục.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


18

b. Hệ số tương quan.

Cho
X
và
Y
là các BNN với covariance
XY
σ
và các độ lệch chuNn tương ứng là
X
σ
và
Y
σ
. Hệ số
tương quan của
X

và
Y
là một số thực được xác định bởi:
.
XY
XY
X Y
σ
ρ
σ σ
=

Ý nghĩa của hệ số tương quan.
Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của hai BNN
X
và
Y
:
+ Khi
XY
ρ
càng gần 1 thì tính chất quan hệ tuyến tính càng chặt.
+ Khi
XY
ρ
càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng ít, càng lỏng lẻo.
+ Khi
0
XY
ρ

=
ta nói X và Y là không tương quan.


Một số tính chất của phương sai:

Cho
X
là BNN, và các hằng số
1 2
, , , ,
a b a a
Khi đó ta có
i.
2 2 2 2 2
aX+b
.
X
a a
σ σ σ
= =


ii. Khi a = 1, ta được:
2 2 2
.
X b X
σ σ σ
+
= =

iii. Khi b = 0, ta được
2 2 2 2 2
aX X
a a
σ σ σ
= =

iv. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là
( , )
f x y
thì:
2 2 2 2 2
2
aX bY X Y XY
a b ab
σ σ σ σ
+
= + +

v. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì ta có:
2 2 2 2 2
.
aX bY X Y
a b
σ σ σ
+
= +

2 2 2 2 2

.
aX bY X Y
a b
σ σ σ
−
= +

vi. Nếu
1 2
, , ,
n
X X X
là các biến ngẫu nhiên độc lập, thì
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2
.
n n n
a X a X a X X X n X
a a a
σ σ σ σ
+ +
= + + +




III.BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

1.Mẫu ngẫu nhiên.

a. Tổng thể.


Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


19

Định nghĩa.
Khi nghiên cứu về một vấn đề người ta thường khảo sát trên một dấu hiệu nào đó, các dấu hiệu
này thể hiện trên nhiều phần tử. Tập hợp các phân tử mang dấu hiệu được quan tâm được gọi là một
tổng thể.
Số lượng các phần tử trong một tổng thể được gọi là cỡ tổng thể.
Mỗi phần tử có mặt trong tổng thể được gọi là một cá thể của tổng thể đó.

b. Mẫu.

Định nghĩa.
Việc từ tổng thể ta lấy ra một tập con nào đó được gọi là phép lấy mẫu.
Mỗi tập con được lấy ra gọi là một mẫu.
Số phần tử của mẫu được gọi là kích thước của mẫu.

c. Mẫu ngẫu nhiên.
Giả sử
1 2
, , ,

n
X X X
là
n
biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác suất
( )
f x
. Khi
đó chúng ta gọi
1 2
( , , , )
n
X X X
là một mẫu ngẫu nhiên có cỡ
n
từ tổng thể
( )
f x
và hàm phân phối
xác suất đồng thời của chúng là:
1 2 1 2
( , , , ) ( ) ( ) ( )
n n
f x x x f x f x f x
=
.

c. Thống kê

Định nghĩa

Một hàm của biến ngẫu nhiên trong mẫu ngẫu nhiên được gọi là một thống kê.

2. Một số thống kê quan trọng.

i.Trung bình mẫu ngẫu nhiên.

Định nghĩa.
Nếu
1 2
( , , , )
n
X X X
là một mẫu ngẫu nhiên có cỡ
n
, khi đó trung bình mẫu được xác định bằng
thống kê:
1
n
i
i
X
X
n
=
=
∑

ii.Median mẫu (trung vị mẫu)

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


20

Định nghĩa. Nếu
1 2
( , , , )
n
X X X
là một mẫu ngẫu nhiên cỡ
n
, được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của
độ lớn, khi đó median mẫu được xác định bởi thống kê:

1
2
1
2 2
, khi le
, khi chan
2
n
n n

X n
X
X X
n
+
+






=
 +








iii. Mode

Định nghĩa. Nếu
1 2
, , ,
n
X X X
không nhất thiết khác nhau hoàn toàn, biểu diễn một mẫu ngẫu nhiên có

cỡ
n
. Khi đó mode
M
là giá trị của mẫu mà xảy ra thường xuyên nhất hoặc có tần số lớn nhất.
Mode có thể không tồn tại và khi nó tồn tại không nhất thiết là giá trị duy nhất.

iv. Phương sai mẫu.

Định nghĩa. Cho
1 2
( , , , )
n
X X X

là mẫu ngẫu nhiên cỡ
n
với trung bình mẫu là
X
. Khi đó phương sai
mẫu được xác định bởi thống kê:
2
2
1
( )
1
n
i
i
X X

S
n
=
−
=
−
∑


Với mỗi mẫu cụ thể thì
2
S
sẽ nhận giá trị
2
2
1
( )
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−
∑
.

Định lý. Nếu
2
S
là phương sai của một mẫu ngẫu nhiên cỡ
n
, khi đó:
2
2
1 1
2
( 1)
n n
i i
i i
n X X
S
n n
= =
 



−





 
=

−
∑ ∑


3.Phân phối của các thống kê cơ bản.

a.Phân phối của trung bình mẫu. Trung bình mẫu:
1 2

n
X X X
X
n
+ + +
=

có kỳ vọng:

X
n
µ µ µ
µ µ
+ + +
= =

và phương sai:
2 2 2 2
2
2

x
n
n
σ σ σ σ
σ
+ + +
= =


Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


21

Định lý giới hạn trung tâm. Nếu
X

là giá trị trung bình của một mẫu ngẫu nhiên có kích thước
n

lấy từ tổng thể có giá trị trung bình
µ
và phương sai hữu hạn
2
σ
, khi đó giới hạn phân phối

dạng của
/
X
Z
n
µ
σ
−
=

là phân phối chuNn
( ;0,1)
n z

khi
n
→ ∞
.


b. Phân phối của hiệu hai trung bình mẫu.

Định lý. Nếu các mẫu độc lập có kích thước
1
n
và
2
n
được lấy ngẫu nhiên từ hai tổng thể, rời rạc hoặc
liên tục, có các giá trị trung bình

1
µ
và
2
µ
, các phương sai
2
1
σ

và
2
2
σ
, khi đó phân phối của các thống
kê mẫu của các sự sai khác giữa hai giá trị trung bình:
1 2
X X
− , được phân phối xấp xỉ chuNn có
giá trị trung bình và phương sai bằng:
1 2
X X
µ µ µ
−
= −
và
1 2
2 2
2
1 2

1 2
X X
n n
σ σ
σ
−
= +

Do đó
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2
( ) ( )
( / ) ( / )
X X
Z
n n
µ µ
σ σ
− − −
=
+

có phân phối xấp xỉ phân phối tiêu chuNn
( ;0,1)
n z
.

c. Phân phối của phương sai mẫu.

Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối
2
χ
(Khi bình phương) với
ν
bậc tự do nếu hàm
mật độ của nó được cho bởi
/2 1 /2
/2
1
, 0
( )
2 ( / 2)
0 0
v x
v
x e dx x
f x
v
x
− −



>


=
Γ




≤




ở đó v là một số nguyên dương.


Định lý. Nếu S
2
là phương sai của mẫu ngẫu nhiên có kích thước
n
được rút ra từ một tổng thể có
phân phối chuNn có phương sai σ
2
, khi đó thống kê
2
2
2
2 2
1
( )
( 1)
n
i
i
X X
n S

χ
σ σ
=
−
−
= =
∑

có phân phối
2
χ
( Khi bình phương) với
1
n
υ
= −
bậc tự do.

d. Phân phối t.
Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


22


Định nghĩa. Giả sử

Z
là một biến ngẫu nhiên tiêu chuNn và
V
là biến ngẫu nhiên
2
χ
có v bậc tự do.
Nếu
Z
và
V
độc lập, khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên
T
, trong đó
/
Z
T
V v
=

được xác định bởi:
2
( 1)/2
( 1) / 2
( ) (1 ) , - 1
( / 2)
v
v
t
h t

v
v v
π
− +
 
Γ +
 
 
= + ∞ < < ∞
Γ

Phân phối này được gọi là phân phối t có v bậc tự do.

e. Phân bố
F
:
Phân bố F có nhiều ứng dụng rộng rãi trong so sánh các phương sai mẫu. Các ứng dụng
của phân bố F có trong các bài toán gồm hai mẫu trở lên.

Định nghĩa. Giả sử
U
và
V
là hai biến ngẫu nhiên độc lập có các phân bố
2
χ
với
1
υ
và

2
υ
các bậc tự
do tương ứng. Khi đó phân bố của biến ngẫu nhiên
1
2
U
F
V
υ
υ
=

được xác định bởi:
1
1
1 2
/2
/2 1
1 2 1 2
( )/2
2 2
1 2
( ) / 2 ( / )
; 0
( )
( / 2) ( / 2)
(1 / )
0
v

v
v v
v v v v
f
f
h f
v v
v f v
−
+

 

Γ −

 
 

< < ∞


=
 Γ Γ
+







Phân bố này được gọi là phân bố F với
1
υ

và
2
υ
bậc tự do.


Định lý. Nếu
2
1
S
và
2
2
S
là các phương sai của các mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước
1
n
và
2
n

được lấy từ các tổng thể chuNn có các phương sai
2
1
σ

và
2
2
σ
tương ứng, khi đó
2 2 2 2
1 1 2 1
2 2 2 2
2 2 1 2
/
/
S S
F
S S
σ σ
σ σ
= =

có phân bố F với
1 1
1
n
υ
= −
và
2 2
1
n
υ
= −

bậc tự do.

4.Bài toán ước lượng trung bình ( kỳ vong).

a.Ước lượng một trung bình.
Giả sử trung bình của tổng thể
( )
E X
µ
=
chưa biết. Ta tìm khoảng
1 2
( , )
µ µ
chứa
µ
sao cho:
1 2
( ) 1
P
µ µ µ α
< < = −
với
1
α
−
là độ tin cậy cho trước.

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti

ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


23

Trường hợp 1. Khoảng tin cậy của
µ
; khi biết
σ

Nếu
x

là số trung bình của một mẫu ngẫu nhiên kích thước
n
trong một tổng thể có phương sai đã biết
2
σ
, một khoảng tin cậy
(
)
1 %
α
−
đối với
µ
được xác định bằng
/2 /2

,
x z x z
n n
α α
σ σ
µ− < < +
trong đó
/2
z
α
là giá trị tạo nên một diện tích
/ 2
α
sang bên phía phải của nó, tức
2
( )
2
P Z z
α
α
> =
.

Định lý 1. Nếu
x
được sử dụng để ước lượng
µ
, khi đó với độ tin cậy
(
)

1
α
−
ta có sai số sẽ không
vượt quá
/2
/
z n
α
σ
.
Định lý 2. Nếu
x
được sử dụng là một ước lượng của
µ
, khi đó với độ tin cậy
(
)
1
α
−
ta nói rằng sai số
sẽ không vượt quá một lượng cụ thể e khi kích thước là:
/2
2
( )
z
n
e
α

σ
=
theo quy tắc làm tròn đến toàn bộ
số tiếp theo.


Trường hợp 2: Khoảng tin cậy cho
µ
khi chưa biết
σ

Nếu
x
và
s
là số trung bình và độ lệch chuNn của mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ biến ngẫu nhiên của
chuNn có phương sai
2
σ
chưa xác định, khoảng tin cậy
(
)
1
α
−
cho
µ
là:
/2 /2
s s

x t x t
n n
α α
µ− < < +
trong đó
/2
t
α
là giá trị
t
với
1
v n
= −
bậc tự do, sinh ra một diện tích bằng
/ 2
α
bên phía phải của
nó, tức là tức
2
( )
2
P T t
α
α
> =
.


b. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng.

Nếu chúng ta có hai tổng thể có các giá trị trung bình
1
µ
và
2
µ
, các phương sai
2
1
σ
và
2
2
σ
, ước
lượng điểm về hiệu giữa
1
µ
và
2
µ
được sinh ra bởi thống kê
1 2
X X
− .
Mục tiêu ta cần thiết lập được khoảng tin cậy
(1 )%
α
−
đối với

1 2
.
µ µ
−




Trường hợp 1: Khoảng tin cậy cho
1 2

µ µ
−
khi biết
2
1
σ
và
2
2
σ

Bài giảng Môn Toán 5- Xác suất Thống kê
Ti
ến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ

2011 -2 012


24

Nếu
1
x
và
2
x
là các giá trị trung bình của các mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước
1
n
và
2
n
từ các
tổng thể có các phương sai đã biết
2 2
1 2
và
σ σ
, khoảng tin cậy
(
)
1
α
−
đối với
1 2

µ µ
−

là:
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 1 2
/2 1 2 /2
1 2 1 2
( ) ( )x x z x x z
n n n n
α α
σ σ σ σ
µ µ− − + < − < − + +

trong đó
/2
z
α
được xác định bởi
2
( )
2
P Z z
α
α
> =
.

Trường hợp 2: Khoảng tin cậy cho
2 2
1 2 1 2
;

µ µ σ σ
− =

chưa biết
1 2
;
σ σ
.
Nếu
1 2
à
x v x
là các giá trị trung bình của các mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước
1
n
và n
2
, từ các tổng
thể chuNn ước lượng có các phương sai chưa biết nhưng cân bằng, một khoảng tin cậy (1-α)% cho
1 2
µ µ
−
được xác định bằng
1 2 1 2
/2 1 2 /2
1 2 1 2
1 1 1 1
( ) ( )
p p
x x t S x x t s

n n n n
α α
µ µ− − + < − < − + +

trong đó
/2
t
α
là giá trị t với
1 2
2
v n n
= + −
bậc tự do, sinh ra một diện tích
/ 2
α
sang bên phải, và
2 2
1 1 2 2
1 2
( 1) ( 1)
2
p
n s n s
s
n n
− + −
=
+ −
.

Trường hợp 3: Khoảng tin cậy µ
1
-µ
2
với
σ σ


≠
1 2
và chưa biết
1 2
,
σ σ

Nếu
2
1 1
và s
x
,
2
2 2
và s
x
là các số trung bình và phương sai của các mẫu độc lập kích thước nhỏ n
1
và n
2

rút ra từ các phân phối xấp xỉ chuNn với các phương sai chưa biết và không bằng nhau, khoảng tin cậy
xấp xỉ
(
)
1
α
−
ước lượng cho
1 2
-
µ µ
là
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
/2 1 2 /2
1 2 1 2
( ) - ( )
s s s s
x x t x x t
n n n n
α α
µ µ− − + < < − + +

trong đó
/2
t
α
là giá trị t với

2 2 2
1 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
( / / )
[(s /n ) /(n -2)]+[((s /n ) /(n -2)]
s n s n
v
+
=

bậc tự do, sinh ra một diện tích α/2 bên phía phải.





6. Bài toán ước lượng tỷ lệ

Bi ging Mụn Toỏn 5- Xỏc sut Thng kờ
Ti
n s: Nguyn Hu Th

2011 -2 012


25

nh ngha. Gi s tng th c chia lm hai loi phn t. T l phn t cú du hiu

l
p
cha bit.
c lng t l l ch ra khong
1 2
( , )
p p
cha
p
sao cho
1 2
( ) 1
P p p p

< < =
.

a.c lng mt t l.
Khong tin cy i vi
p
khi mu c ln.

nh lý 1.
Nu

p
l t l ca cỏc thnh cụng trong mt mu ngu nhiờn cú kớch thc
n
v

1
q p
=
, khong tin
cy
(1 )


cho tham s
p
c xỏc nh bi
/2 /2


pq pq
p z p p z
n n

< < +

trong ú
/2
z

l giỏ tr sao cho:
2
2
P Z z

> =





.
Định lý 2.
Nếu

p
là một ớc lợng của
p
, vi tin cy (1-

) chúng ta có thể khẳng định rằng sai số của ớc
lợng không vợt quá
/2

pq
z
n

, tc l
/2

pq
p p z
n


.
Bây giờ cn xác định một mẫu cần có độ lớn là bao nhiêu để đảm bảo sai số
p p

khi ớc
lợng
p
sẽ không nhỏ hơn giá trị e.
Định lý 3.
Nếu

p
là ớc lợng của p vi tin cy
1


, sai s
p p

sẽ nhỏ hơn giá trị xác định
e
khi
kích thớc mẫu gần bằng
2
2

.
pq
n z
e

=

Định lý 4.
Nếu

p
l mt ớc lợng của
p
vi tin cy
(1 )


, khi ú sai số
p p e

khi kích thớc mẫu là
2
/2
2
.
4
z
n
e

=


b.c lng hiu hai t l