De khao sat toan 12 lan 1 nam 2022 2023 truong chuyen lam son thanh hoa

SỞ GD-ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 MƠN TỐN
Khối 12-Năm học 2022-2023
Thời gian: 90 phút
Họ tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SBD: . . . . . . . . .Lớp: . . .

Mã đề: 162
Câu 1. Cho hàm số y  x  3 x  2023 có đồ thị  C  . Hệ số góc của tiếp tuyến của  C  tại điểm có hồnh
độ bằng 1 là
A. 10.
B. 2.
C. 10.
D. 2.
Câu 2. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:
4

2

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
A. x  1.
B. x  3.

C. x  1.

D. x  2.

C. .

D.  \ {2}.

1
5

Câu 3. Tập xác định của hàm số y  ( x  2) là
A.  2;   .

B. (2;  ).

Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Cạnh bên SA  a 6 và vng góc với

đáy  ABCD  . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A.  a 2 2.
B. 2 a 2 .
Câu 5. Đạo hàm của hàm số y  ln(3 x  1) là
A. y 

3
.
(3 x  1)2

C. 8 a 2 .

D. 4 a 2 .

3
ln 3
1
.
.

.
C. y 
D. y 
3x  1
3x  1
3x  1
có u1  2, cơng bội q  3. Hỏi u100 bằng bao nhiêu?
B. y 

Câu 6. Cho cấp số nhân  un 

A. 2.399.
B. 3.2100.
C. 3.299.
D. 2.3100.
Câu 7. Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng 3a và bán kính đáy bằng a là
A. 9 a 3 .
B.  a 3 .
C. 6 a 3 .
D. 3 a 3 .
Câu 8. Đặt log 2 3  a, log 2 5  b. Khi đó log 5 3 bằng

b
a
.
D. .
a
b
2
Câu 9. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  4  với mọi x  . Hàm số g  x   f   x  có bao

A. a  b.

B. ab.

C.

nhiêu điểm cực đại?
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
Câu 10. Xét a, b là các số thực dương thỏa mãn 4 log 2 a  2 log 4 b  1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a 4 b  2.
B. a 4b  1.
C. a 4 b 2  2 .
D. a 4b 2  4.
Câu 11. Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
A.  sin 2 xdx  cos 2 x  C.
B.  sin 2 xdx   cos 2 x  C.
2
1
C.  sin 2 xdx   cos 2 x  C .
D.  sin 2 xdx  2cos 2 x  C.
2
2

Câu 12. Biết



1

f ( x)dx  2,

2

2

 g ( x)dx  3. Khi đó

  f ( x)  2 g ( x) dx

1

1

bằng

A. 1.
B. 8.
C. 4.
D. 1.
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng, cạnh huyền BC  a. Hình chiếu vng góc của S

lên mặt  ABC  trùng với trung điểm BC. Biết SB  a. Số đo của góc giữa SA và mặt phẳng  ABC  bằng
Trang 1/4 - Mã đề: 162


A. 60 .
B. 45 .

C. 30 .
Câu 14. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?

x 1
.
x2
4
2
C. y  x  4 x  1.
A. y 

D. 90 .

B. y  x3  12 x  1.
4
2
D. y   x  4 x  1.

Câu 15. Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị

của ba hàm số y  a x , y  b x , y  c x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. c  b  a.
B. c  a  b.
C. a  c  b.
D. a  b  c.

Câu 16. Hàm số nào trong các hàm số sau có bảng biến thiên như hình

bên?
x

1
y  log 1 x.
A. y    . B.
3
2

C. y  log 2 x.

x
D. y  2 .

Câu 17. Cho khối lăng trụ tam giác ABC . ABC . Biết thể tích khối chóp A.BAC  bằng 12, thể tích khối lăng

trụ đã cho bằng
A. 18.
B. 72.
C. 24.
Câu 18. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  \ 1 và có
bảng biến thiên như hình bên. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 2.
B.1.
C. 3.
D. 4.

D. 36.

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình log 3 (2 x  1)  log 3 ( x  2) là
4

 1 
A.   ;1 .
B. 1;   .
 2 
Câu 20. Nghiệm của phương trình 3x 1  9 2 x là

4

C.  2;1 .

 1
 2




D.   ;   .

1
1
.
D. x  .
4
3
2
Câu 21. Cho hàm số y  f  x  có f   2   3. Đặt g  x   f  x  1 , giá trị g  1 bằng
A. 3.
B. 6.
C. 1.

D. 12.
Câu 22. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  1; 2  thì hàm số y  f  x  2  đồng biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau đây?
A.  1; 2  .
B.  3;0  .
C.  2; 4  .
D. 1; 4  .
A. x  1.

B. x  1.

C. x 

Câu 23. Thể tích của khối cầu có bán kính 2a bằng

32 3
4 3
a .
C.  a .
D. 4 a 3 .
3
3
Câu 24. Cho hình nón có độ dài đường sinh l  6, bán kính đáy r  4 . Diện tích xung quanh của hình nón đã
cho bằng
A. 36 .
B. 48 .
C. 12 .
D. 24 .
x2
. Chọn khẳng định đúng:

Câu 25. Cho hàm số y 
x 1
A. Hàm số đồng biến trên  .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  1 .
A. 32 a 3 .

B.

C. Hàm số nghịch biến trên .
Câu 26. Đồ thị hàm số y 
A. 3.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  1 .

2 x 3  x 2 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x2  x  2
B. 1.
C. 4.

D. 2.
Trang 2/4 - Mã đề: 162


Câu 27. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình

 f ( x) 

2

 4 có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 4.
B. 5.
C. 2.

D. 3.

9 
1
 phương trình sin x  có bao nhiêu nghiệm?
4 
5
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Câu 29. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chỉ có chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
A. 840.
B. 4536.
C. 756.
D. 5040.
3x  1
Câu 30. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
trên đoạn  0; 2 bằng
x3
16
14
16
14
.
A.  .

B.
C. .
D.  .
3
3
3
3
Câu 31. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh
huyền bằng a 6 . Thể tích của khối nón đó bằng



Câu 28. Trên khoảng  0;

 a3 6
 a3 6
 a3 6
 a3 6
.
B. V 
.
C. V 
.
D. V 
.
3
2
4
6
1

1


Câu 32. Biết   2
 dx  a ln 2  b ln 3 với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

x

3
x

2

0
A. a  2b  0.
B. a  b  2.
C. a  2b  2.
D. a  b  2.
Câu 33. Năm 2022, một hãng cơng nghệ có 30 triệu người dùng phần mềm của họ. Hãng đặt kế hoạch, trong
3 năm tiếp theo, mỗi năm số lượng người dùng phần mềm tăng 8% so với năm trước và từ năm thứ 4 trở đi, số
lượng người dùng sẽ tăng 5% so với năm trước. Theo kế hoạch đó, hỏi bắt đầu từ năm nào số lượng người
dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 50 triệu người?
A. Năm 2029.
B. Năm 2028.
C. Năm 2031.
D. Năm 2030.
x
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 2  9  2   3  x là
A. 3.
B. 0.

C. 4.
D. 2.
A. V 

n

 x2 1 
  , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  Cn3  0.
Câu 35. Tìm hệ số của x trong khai triển 
 2 x
5

35
35
35
35
.
.
B. .
C.  .
D.
2
16
16
2
Câu 36. Phương trình log x 5.log 5 x  1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn  10;10  ?
A. 10.
B. 8.
C. 9.
D. 21.

Câu 37. Diện tích của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  3 bằng
1
A. .
B. 1.
C. 2 .
D. 4.
2
Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và
A. 

 SCD  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tan   6.

B. tan  

2.

C. tan  

1 
2

2
.
2

Câu 39. Cho hàm số f  x  xác định trên  \   , thỏa mãn f   x  

D. tan  

3
.
2

2
, f  0   1 và f 1  3. Giá trị
2x 1

của biểu thức f  1  f  4  bằng
A. 5  ln 21.
B. 5  ln12.
C. 4  ln12.
D. 4  ln 21.
Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn
(b  2)(b  6  log 2 a )  0?
A. 67.
B. 64.
C. 65.
D. 66.
Trang 3/4 - Mã đề: 162


Câu 41. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên. Hỏi
2
hàm số g  x   f  3  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. 1; 2  .

B.  3; 2  .

C.  1; 0  .

D.  2;3  .

f ( x)  f (2) thì max f ( x) bằng
Câu 42. Cho hàm số f ( x)  ax3  4( a  2) x  1 với a là tham số. Nếu max
 ;0
 0;3
A. 4.
B. 1.
C. 8.
D. 9.
Câu 43. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên  và f ( x)  ( x  1)( x  2) với mọi x. Số các giá trị nguyên





m sao cho hàm số y  f 2 x 3  3 x 2  12 x  m có 11 điểm cực trị là
A. 23.

B. 27.

C. 24.

D. 26.

Câu 44. Cho hình lăng trụ đứng ABC . AB C  có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, AB  a, AA  a 2 .

Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC bằng

a
2a
3a
A.
B. .
C.
D. 2a .
.
.
2
2
4
Câu 45. Cho hình trụ có chiều cao bằng a 2. Trên đường trịn đáy thứ nhất của hình trụ lấy hai điểm A, B,
trên đường trịn đáy thứ hai của hình trụ lấy hai điểm C , D sao cho ABCD là hình vng và mặt phẳng
( ABCD) tạo với đáy của hình trụ góc 45. Thể tích khối trụ đã cho bằng

3 2 a 3
B. 6 2 a 3 .
C. 3 2 a 3 .

2
Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:
A.

D.

3 2 a 3
.
8

2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 4 f  x  4 x   m có ít nhất ba nghiệm dương phân biệt?

A. 19 .

B. 21 .

C. 20 .

D. 18 .

Câu 47. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB  3, AC  7, SA  1. Hai mặt bên

 SAB 

và  SAC  lần lượt tạo với đáy các góc bằng 450 và 60 0. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
1
7
3
7 7
A. .
B.
C. .
D.
.
.
2
6
2
6

Câu 48. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  0; 2023 để hàm số

y

mf  x   100
có đúng 5 điểm cực trị?
f  x  m
A. 1974.

B. 1923.

C. 1973.

D. 2013.

Câu 49. Kí hiệu S là tập tất cả số nguyên m sao cho phương trình 3x

2

 mx 1

 (3  mx)39 x có nghiệm thuộc

khoảng 1;9  . Số phần tử của S là
A. 11.
B. 3.
C. 9.
D. 12.
(

a
;
b
)
Câu 50. Xét tất cả các cặp số nguyên dương
, ở đó a  b sao cho ứng với mỗi cặp số như vậy có đúng
x
ln
a

ln
x

ln
b
.
50 số nguyên dương thỏa mãn
Hỏi tổng a  b nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. 22.
B. 36.
C. 11.
D. 50.
----------------HẾT--------------Trang 4/4 - Mã đề: 162


TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN- ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL LẦN 1 MƠN TỐN K12 NĂM HỌC 2022-2023

1
2
3

4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

162

196

230

264

298

332

B
C
B
C
B
A
D
D
C
A
C
C
A
C
B
A
D
C
A
D
B
B
B
D
B
B
A
B
B
D

C
A
C
A
C
C
B
B
D
D
D
B
C
B
A
C
A
C
A
A

C
A
B
C
C
B
D
C
A

A
D
C
A
A
C
D
D
D
B
A
C
B
C
A
D
A
C
B
D
D
A
C
A
D
B
D
D
D
C

B
B
A
A
B
D
D
D
A
C
B

D
B
A
A
B
B
C
D
C
B
C
B
A
A
B
D
A
A

B
C
C
B
B
A
A
A
D
C
C
A
C
A
D
A
A
B
B
C
C
A
B
B
A
C
D
C
C
D

D
C

C
C
B
B
D
C
B
B
B
C
A
A
B
B
B
A
C
A
D
C
D
B
A
C
C
B
C

B
D
D
A
D
C
A
A
A
D
A
A
D
A
D
C
B
D
D
A
C
B
D

B
B
D
C
B
D

A
D
B
B
D
A
C
D
D
B
A
A
D
C
A
B
D
C
D
B
C
D
D
C
A
D
C
A
C
B

B
D
A
B
D
B
B
B
A
C
A
B
D
B

D
B
A
A
B
B
C
C
C
A
B
C
C
B
B

B
A
B
C
B
A
A
D
A
A
B
A
A
B
A
C
A
C
D
A
C
A
A
B
B
A
B
A
C
C

B
B
A
D
C

1


BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

B
2

6
B

C
2
7
A

B
2
8
B

C
2
9
B

B
3
0
D

A
3
1
C

D
3

2
A

D
3
3
C

C
3
4
A

1
0
A
3
5
C

1
1
B
3
6
C

1
2
C

3
7
B

1
3
A
3
8
B

1
4
C
3
9
D

1
5
B
4
0
A

1
6
A
4
1

D

1
7
D
4
2
B

1
8
C
4
3
C

1
9
A
4
4
A

2
0
D
4
5
A

2
1
B
4
6
C

2
2
B
4
7
A

2
3
B
4
8
A

2
4
D
4
9
A

2
5

B
5
0
A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho hàm số y =x 4 − 3 x 2 + 2023 có đồ thị ( C ) . Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị ( C ) tại điểm có
hồnh độ bằng −1 là:
A. −10 .

B. 2 .

C. 10 .
Lời giải

D. −2 .

Chọn B
Ta có: y = x 4 − 3 x 2 + 2023 ⇒ y′ = 4 x3 − 6 x ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị ( C ) tại điểm có
hồnh độ bằng −1 là: y′ ( −1) =−4 + 6 =2 .
Câu 2:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm
A. x = 1 .

B. x = −3 .

C. x = −1 .
Lời giải

D. x = 2 .

Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy y′ đổi dấu từ âm sang dương khi x qua −1 nên x = −1 là điểm cực
tiểu của hàm số.
Câu 3:

A. [ 2; +∞ ) .

1

( x − 2)5
B. ( 2; +∞ ) .

y
Tập xác định của hàm số =

là.
C.  .

D.  \ {2} .

Lời giải

Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi x − 2 > 0 ⇔ x > 2. .

Suy ra tập xác định của hàm số là ( 2; +∞ ) .
Câu 4:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a 6 và vng
góc với đáy ( ABCD ) . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A. π a 2 2 .

B. 2π a 2 .

C. 8π a 2 .
Lời giải

D. 4π a 2 .

Chọn C
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC . Mà AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB .




= 900 ; SDC
= 900 ⇒ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Chứng minh tương tự DC ⊥ SD . Vậy SBC
S . ABCD có đường kính SC .

SC
= 2a .
2
Nên diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng 4π R 2 = 8π a 2 . .

SC =

Câu 5:

SA2 + AC 2 = 2 2a ⇒ R =

Đạo hàm của hàm =
số y ln ( 3 x + 1) là
A. y′ =

3

( 3x + 1)

2

.

B. y′ =

3
.
3x + 1

C. y′ =

D. y′ =

1
.

3x + 1

Lời giải

Chọn B

=
y ln ( 3 x + 1) ⇒ =
y′
Câu 6:

ln 3
.
3x + 1

( 3x + 1=
)′
3x + 1

3
..
3x + 1

Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2 , cơng bội q = 3 . Hỏi u100 bằng bao nhiêu?
A. 2.399 .

B. 3.2100 .

C. 3.299 .

D. 2.3100 .

Lời giải
Chọn A
99
Ta có=
u100 u=
2.399 .
1 .q

Câu 7:

Thể tích của khối trụ có chiều cao bằng 3a và bán kính đáy bằng a là
A. 9π a 3 .
B. π a 3 .
C. 6π a 3 .
D. 3π a 3 .
Lời giải
Chọn D
2
Thể tích của khối trụ là
=
V π=
r 2 h π a=
.3a 3π a 3 .

Câu 8:

log 2 3 a=
, log 2 5 b . Khi đó log 5 3 bằng

Đặt=
A. a − b .

B. ab .

C.

b
.
a

D.

a
.
b

Lời giải
Chọn D
Ta có log
=
53
Câu 9:

log 2 3 a
.
=
log 2 5 b

(

)

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 − 1 ( x − 4 ) với mọi x ∈  . Hàm số g ( x=
) f (−x)
có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3 .
B. 4 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C

(

)

Ta có g ′ ( x ) =− f ′ ( − x ) =− x 2 − 1 ( − x − 4 ) .

D. 2 .


x = 1
Khi đó g ′ ( x ) = 0 ⇔ − ( x 2 − 1) ( − x − 4 ) = 0 ⇔  x = −1 .
 x = −4
Bảng biến thiên

Hàm số g ( x=
) f ( − x ) có 1 điểm cực đại.

Câu 10: Xét a, b là các số thực dương thỏa mãn 4log 2 a + 2log 4b =
1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a 4b = 2 .

B. a 4b = 1 .

C. a 4b 2 = 2 .

D. a 4b 2 = 4 .

Lời giải
Chọn A
Ta có 4log 2 a + 2log 4b =
1 ⇔ 4log 2 a + log 2b =
1 ⇔ log 2 a 4 + log 4b =
1 ⇔ log 2 a 4b =
1 ⇔ a 4b =
2.
Câu 11: Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. ∫ sin
2 xdx
cos 2 x + C .
=
2
1
C. ∫ sin 2 xdx =
− cos 2 x + C .
2

− cos 2 x + C .
B. ∫ sin 2 xdx =
2 xdx 2 cos 2 x + C .
=
D. ∫ sin
Lời giải

Chọn C

1
1
Ta có ∫ sin 2 xdx =
− cos 2 x + C .
sin 2 xd2x =
∫
2
2
2

2

=
∫1 f ( x ) dx 2,=
∫1 g ( x ) dx 3
Câu 12: Biết
. Khi đó
A. 1.
B. 8.

2

∫ ( f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx
1

C. −4 .
Lời giải

Chọn C
Ta có

2

2

2

1

1

1

bằng

D. −1 .

−4 .
2 − 2.3 =
∫ ( f ( x ) − 2 g ( x ) ) dx =
∫ f ( x ) dx − 2 ∫ g ( x ) d x =

Câu 13: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông, cạnh huyền BC = a . Hình chiếu vng góc
của S lên mặt ( ABC ) trùng với trung điểm BC . Biết SB = a . Số đo của góc giữa SA và mặt

phẳng ( ABC ) bằng
A. 60° .
Chọn A

B. 45° .

C. 30° .
Lời giải

D. 90° .


.
Ta có góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng SAH
2

a 3
BC a
a
Mà SH = a 2 −   =
, AH = =
2
2
2
2

a 3
SH
 =°
 = =2 =3 ⇒ SAH
60 .
Trong tam giác vuông SHA , tan SAH
a
AH
2
Câu 14: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình dưới đây?

A. y =

x +1
.
x−2

B. y =x 3 − 12 x + 1 .

C. y =x 4 − 4 x 2 + 1 .

D. y =
− x4 + 4 x2 + 1.

Lời giải

Chọn C
Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương.
Từ đồ thị ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 . Suy ra chọn C .
x →±∞

Câu 15: Cho hàm số a, b, c là các số thực dương khác 1 . Hình vẽ dưới đây là đồ thị của ba hàm số
x
x
=
y a=
, y b=
, y c x . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. c > b > a .

B. c > a > b .

C. a > c > b .
Lời giải

D. a > b > c .


Chọn B

Đường thẳng x = 1 lần lượt cắt các đường đồ thị hàm mũ tại các điểm có tung độ chính là cơ số.
Từ hình ảnh đồ thị ta suy ra c > a > b .
Câu 16: Hàm số nào trong các hàm số sau có bảng biến thiên như hình bên

x

1
A. y =   .
2

B. y = log 1 x .

C. y = log 2 x .

D. y = 2 x .

3

Lời giải
Chọn A
Câu 17: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Biết thể tích khối chóp A.BA′C ' bằng 12, thể tích khối
lăng trụ đã cho bằng
A. 18 .
B. 72 .
C. 24 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn D
1
Ta có: VA.BA′C ' =
VABC . BA′C ' ⇒ VABC .BA′C ' =
3.12 =
36 .
3

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  \ {−1} và có bảng biến thiên như hình bên. Tổng số
đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

B. 1 .

A. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C
Ta có: lim f ( x ) = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+∞


lim f ( x ) = 5 nên đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x →−∞

lim f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x →−1+

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là 3.
Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình log 3 ( 2 x + 1) ≥ log 3 ( x + 2 ) là
4

 1 
A.  − ;1 .
 2 

4

B. [1; + ∞ ) .

C. ( −2;1] .

 1

D.  − ; + ∞  .
 2


Lời giải
Chọn A
1

2 x + 1 > 0
1
x > −
Ta có: log 3 ( 2 x + 1) ≥ log 3 ( x + 2 ) ⇔ 
⇔
2 ⇔ − < x ≤ 1.
2
2 x + 1 ≤ x + 2
4
4
 x ≤ 1

 1 
Tập nghiệm của bất phương trình log 3 ( 2 x + 1) ≥ log 3 ( x + 2 ) là  − ;1 .
 2 

4
4

Câu 20: Nghiệm của phương trình 3x +1 = 92 x là
B. x = −1 .

A. x = 1 .

C. x =

1
.
4

1
D. x = .
3

Lời giải
Chọn D
1
.
3

Ta có: 3x +1 = 92 x ⇔ 3x +1 = 34 x ⇔ x + 1= 4 x ⇔ x=

(

)

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có f ′ ( 2 ) = 3 . Đặt g=
( x ) f x 2 + 1 , giá trị g ′ (1) bằng
B. 6 .

A. 3 .
Chọn B

(

)

C. 1 .
Lời giải

(

D. 12 .

)

Ta có g ( x=
) f x 2 + 1 ⇒ g ′ ( x=) 2 x. f ′ x 2 + 1 .

(

)

Ta có g ′ (1) = 2.1 f ′ 12 + 1 = 2. f ′ ( 2 ) = 2.3 = 6 .

y f ( x + 2 ) đồng biến trên

Câu 22: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1; 2 ) thì hàm số=
khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( −1; 2 ) .
B. ( −3;0 ) .

C. ( −2; 4 ) .
Lời giải

D. (1; 4 ) .

Chọn B
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1; 2 ) ⇒ f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1; 2 ) .
Xét hàm số y= f ( x + 2 ) ⇒ y′= f ′ ( x + 2 ) .
Ta có y′ > 0 ⇔ f ′ ( x + 2 ) > 0 ⇔ x + 2 ∈ ( −1; 2 ) ⇔ x ∈ ( −3;0 ) .

y f ( x + 2 ) đồng biến trên khoảng ( −3;0 ) .
Vậy hàm số=
Câu 23: Thể tích của khối cầu có bán kính 2a bằng


A. 32π a 3 .
Chọn B
Ta =
có V

B.

32 3
πa .
3

C.
Lời giải

4 3
πa .
3

D. 4π a 3 .

4
4
32 3
3
=
π R3
π (=
2a )
πa .
3
3
3

Câu 24: Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 6 , bán kính đáy r = 4 . Diện tích xung quanh của hình
nón đã cho bằng
A. 36π .
B. 48π .
C. 12π .
D. 24π .
Lời giải

Chọn D
Ta có S=
π=
rl π .4.6
= 24π .
xq
Câu 25: Cho hàm số y =

x−2
. Chọn khẳng định đúng:
x +1

A. Hàm số đồng biến trên  .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) .

C. Hàm số nghịch biến trên  .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1) .
Lời giải

Chọn B
D  \ {−1} .
Tập xác định=

y
Ta có=

x−2
⇒=

y′
x +1

Suy ra, hàm số y =
Câu 26: Đồ thị hàm số y =
A. 3.
Chọn B

3

( x + 1)

2

> 0, ∀x ∈ D .

x−2
đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; − 1) , ( −1; + ∞ ) .
x +1

2 x 3 − x2
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x2 + x − 2
B. 1.
C. 4.
Lời giải

D. 2.

Tập xác định của hàm số là D =  − 3; 3  \ {1} .

Có lim−
x →1

.

2 x 3 − x2
2 x 3 − x2
,
lim
=
−∞
= +∞ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 1
2
x →1+ x + x − 2
x2 + x − 2

Câu 27: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình
nhiêu nghiệm thực?

( f ( x ))

2

= 4 có bao


A. 4.

B. 5.

Chọn A

C. 2.
Lời giải

D. 3.

 f ( x) = 2
2
Phương trình ( f ( x ) ) = 4 ⇔ 
 f ( x ) = −2

Dựa vạo đồ thị, phương trình f ( x ) = 2 có một nghiệm thực, phương trình f ( x ) = −2 có 3
nghiệm thực phân biệt, tất cả các nghiệm trên đều khác nhau nên phương trình đã cho có 4 nghiệm
thực phân biệt.
1
 9π 
Câu 28: Trên  0;  phương trình sin x = có bao nhiêu nghiệm?
5
 4 
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Lời giải
Chọn B
1
 9π 
Biểu diễn cung x ∈  0;  trên đường tròn lượng giác và vẽ đường thẳng y = , ta thấy phương
5

 4 
1
 9π 
trình sin x = có 3 nghiệm trong  0;  .
5
 4 

.
Câu 29: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chỉ có chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
A. 840.
B. 4536.
C. 756.
D. 5040.
Lời giải
Chọn B
Giả sử số cần lập có dạng abcda ( a ≠ 0, b ≠ c ≠ d ) .
Chọn a : Có 9 cách.
Chọn các chữ số b, c, d : Có A93 cách.
Vậy có tất cả 9. A93 = 4536 số thoả mãn bài toán.
Câu 30: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

3x − 1
trên đoạn [0;2] bằng
x −3


A. −

16
.

3

B.

14
.
3

16
.
3
Lời giải

C.

D. −

14
.
3

Chọn D

f ′( x)
Ta có =

−8

( x − 3)

2

<0

∀x ∈ [0;2]

Suy ra f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
max f=
( x ) f=
( 0)
[0;2]

1
3

min f ( x ) = f ( 2 ) = −5
[0;2]

1
14
max f ( x ) + min f ( x ) = − 5 =− .
[0;2]
[0;2]
3
3

Câu 31: Cắt hình nón bởi một hình phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng a 6 . Thể tích của khối nón đó bằng
A. V =

π a3 6
3

B. V =

.

π a3 6
2

C. V =

.

Lời giải

π a3 6
4

.

D. V =

π a3 6
6

.

Chọn C

S

A
Ta có=
h SO
=

O

B

1
6
1
6
,=
.
R OA
=
AB
= a
AB
= a
2
2
2
2
2

1

1 
6
6 π a3 6
=
V =
S .h
π  a
.
 .a=
3
3  2 
2
4
Câu 32: Biết

1

∫x
0

2

1
=
dx a ln 2 + b ln 3 với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng?
+ 3x + 2

A. a + 2b =
0.

B. a + b =−2 .

C. a + 2b =
2.
Lời giải

D. a + b =
2.


Chọn A
Lí thuyết.
1

1

1
1 
x +1
 1
∫0 x 2 + 3x + 2dx =∫0  x + 1 − x + 2 dx =ln x + 2

1
0

2
1
= ln − ln = 2 ln 2 − ln 3 .
3
2

Suy ra a = 2, b = −1 ⇒ a + 2b =
0.
Câu 33: Năm 2022 , một hãng cơng nghệ có 30 triệu người dùng phần mềm của họ. Hãng đặt kế hoạch,
tron 3 năm tiếp theo, mỗi năm số lượng người dùng phần mềm tăng 8% so với năm trước và từ
năm thứ 4 trở đi, số lượng người dùng phần mềm sẽ tăng 5% so với năm trước đó. Theo kế
hoạch đó, hỏi bắt đầu từ năm nào số lượng người dùng phần mềm của hãng sẽ vượt quá 50 triệu
người?
B. Năm 2028 .
C. Năm 2031 .
D. Năm 2030 .
A. Năm 2029 .
Lời giải
Chọn C
3

8 

Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau 3 năm: T1 =30. 1 +
 =37, 79136 .
 100 
5 

=
T2 37, 79. 1 +
Số lượng người dùng phần mềm của công ty sau n năm tiếp theo:

 100 

n

n

5 

Để người dùng vượt quá 50 triệu người thì 37, 79136. 1 +
 > 50 ⇔ n > 5 , n ∈  nên n = 6
 100 
Suy ra cần ít nhất 3 + 6 =
9 năm.
2022 + 9 =
2031 .

Câu 34: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 2 (9 − 2 x ) =−
3 x bằng
A. 3 .

B. 0 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn A

9 − 2 > 0
Phương trình log 2 (9 − 2 x ) = 3 − x ⇔ 
x
3− x
=
9 − 2 2

x

D. −2 .

2 x < 9
2 < 9
0
 x
x =
⇔  2x
⇔
⇔

2
1
=


9.2 x + 8 0
2 −=
x = 3
 x
2 = 8
x

Vậy tổng các nghiệm là 3 .
n

 x2 1 
Câu 35: Tìm hệ số của x trong khai triển  −  biết n là số dương thỏa mãn: 5Cnn −1 − Cn3 =

0.
 2 x
35
35
35
35
A. − .
B.
.
C. − .
D.
.
2
16
16
2
Lời giải
5

Chọn C


Ta có : 5Cnn −1 − Cn3 =0 ⇔ 5n −

n(n − 1)(n − 2)
=0 ⇔ 30 − (n − 1(n − 2) =0(do n ≥ 3)
6

 n = 7(tm)
⇔ n 2 − 3n − 28 =0 ⇔ 

 n = −4(l )
7

 x2 1 
Số hạng tổng quát trong khai triển  −  là:
 2 x
 x2 
C  
 2

7−k

k
7

k

 1
1
.  −  = C7k .(−1) k .  
 x
2

7−k

.x14−3k (0 ≤ k ≤ 7)

Số hạng chứa x5 ứng với số tự nhiên k thỏa mãn: 14 − 3k = 5 ⇔ k = 3 .

1

Vậy hệ số của x là: C .(−1) .  
2
5

3
7

7 −3

3

35
=
− .
16

Câu 36: Phương trình log x 5.log 5 x = 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn [ − 10;10] ?
A. 10 .

B. 8 .

Chọn C

C. 9 .
Lời giải

D. 21 .

Điều kiện: x > 0; x ≠ 1 .
1

Với điều kiện trên ta có: log x 5 = ⇒ log x 5.log 5 x =
1.
log 5 x

Vậy Phương trình log x 5.log 5 x = 1 có 9 nghiệm nguyên thuộc đoạn [ − 10;10] .
Câu 37: Diện tích tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y =x 4 − 2 x 2 + 3 bằng
A.

1
.
2

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn B

x = 0
Ta có: y =4 x − 4 x =0 ⇔  x =1 .
 x = −1
'

3

Khi đó 3 điểm cực trị là: A(0;3); B(1; 2);C(−1; 2)

Khoảng cách từ A(0;3) đến BC : y = 2 là hA = 1
Do đó: S=
∆ABC

1
1
hA=
.BC =
.1.2 1 .
2
2

Câu 38: Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( SBD )
và ( SCD ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. tan ϕ = 6 .

B. tan ϕ = 2 .

C. tan ϕ =

2
.
2

D. tan ϕ =

3
.

2

Lời giải
Chọn B

 AC ⊥ BD
Ta có 
⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD .
 AC ⊥ SO
Do đó kẻ OM ⊥ SD ⇒ SD ⊥ ( MOC ) ⇒ ( ( SBD ) , ( SDC )=
)

( MC , MO =)

COM= ϕ .

Vì AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ OM ⇒ ∆MOC vuông ở O .
= SD
= a; BD
= a 2 ⇒ ∆SBD vuông cân tại S .
SB

a
Suy ra M là trung điểm của SD ⇒ OM =
.
2

OC
=
ϕ =

tan
OM

a 2
2
=
a
2

2.

2
1 
Câu 39: Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   , thỏa mãn
, f (0) 1 và f (1) = 3 . Giá trị
=
f '( x) =
2x −1
2
của biểu thức f (−1) + f (4) bằng

A. 5 + ln 21 .

B. 5 + ln12 .

C. 4 + ln12 .
Lời giải

Chọn D
1


ln ( 2 x − 1) + C1 , khi x >

2
2

2 .
⇒ f ( x) = ∫
f '( x) =
dx = 
2x −1
2x −1
 ln (1 − 2 x ) + C , khi x < 1
2

2
f (0) =ln1 + C2 =⇒
1 C2 =
1
f (1) =ln1 + C1 =3 ⇒ C1 =3

D. 4 + ln 21 .


1

−
+
>
x

khi
x
ln
2
1
3,
(
)

2
2 .
Suy=
ra f ( x) ∫=
dx 
2x −1
 ln (1 − 2 x ) + 1, khi x < 1

2
Do đó f (−1) + f (4) = ln 3 + 1 + ln 7 + 3 = 4 + ln 21 .
Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn

( b − 2 )( b − 6 + log 2 a ) < 0 ?

A. 67 .

B. 64 .

C. 65 .

D. 66 .

Lời giải
Chọn A

 b<2
b<2
64


TH1: 
⇔
64 ⇔ log 2
b
−
+
a
>
6
log
0
a
>
b
log
2
2


a


Để có đúng hai số nguyên b thỏa mãn thì −1 ≤ log 2

64
1 64
<0⇔ ≤
< 1 ⇔ 64 < a ≤ 128 .
a
2 a

Có 128 − 63 + 1 =
66 số.

 b>2
b>2
64


TH2: 
.
⇔
64 ⇔ 2 < b < log 2
a
b − 6 + log 2 a < 0
b < log 2 a

Để có đúng hai số nguyên b thỏa mãn thì 5 ≤ log 2

64
64

2.
< 6 ⇔ 32 ≤
< 64 ⇔ 1 < a ≤ 2 ⇒ a =
a
a

Vậy có 67 số thỏa mãn.

(

x ) f 3 − x2
Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Hỏi hàm số g (=
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

B. ( −3; −2 ) .

A. (1; 2 ) .

C. ( −1;0 ) .
Lời giải

Chọn D

(

)

−2 x. f ′ 3 − x 2 .
Ta có g ′ ( x ) =
x = 0

x = 0

2
 x = ±3
x = 0
3− x =
−6

Phương trình g ′ ( x ) =
0⇔
⇔
⇔
2
2

′
 x = ±2
f
3
−
x
=
0
3− x =
−1
)
 (


3 − x 2 =2

 x = ±1.

D. ( 2;3) .

)


Lập bảng xét dấu đạo hàm của hàm số g ( x )

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2;3) .
Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = ax 3 − 4 ( a + 2 ) x + 1 với a là tham số. Nếu max f ( x=
) f ( −2 ) thì max f ( x )
( −∞ ;0]

bằng
A. 4 .

B. 1 .

C. −8 .
Lời giải

[0;3]

D. −9 .

Chọn B
TXĐ D = , f ′ ( x ) = 3ax 2 − 4 ( a + 2 )
max f ( x ) = f ( −2 ) ⇒ f ′ ( −2 ) = 0 ⇔ 12a − 4 ( a + 2 ) = 0 ⇔ a = 1 .
( −∞ ;0]

Suy ra f ( x ) =x 3 − 12 x + 1

f ′( x) =
3 x 2 − 12; f ′ ( x ) =
0⇔ x=
±2 .

Vậy với a = 1 thì hàm số đạt max f ( x=
) f ( −2 ) và khi đó max f ( x ) = 1 .
( −∞ ;0]

[0;3]

Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và f ′ ( x ) =
( x − 1)( x + 2 ) với mọi x. Số các giá trị

(

)

nguyên m sao cho hàm số =
y f 2 x3 + 3 x 2 − 12 x − m có 11 điểm cực trị là
A. 23.

B. 27.

C. 24.

D. 26.

Lời giải
Chọn B
Ta có:

(

)

=
y f 2 x + 3 x − 12 x − m ⇒ y=′
3

2

( 2x

x = 1
f ′ ( x ) =( x − 1)( x + 2 ) =0 ⇔ 
 x = −2

3

+ 3 x 2 − 12 x − m )( 6 x 2 + 6 x − 12 )
3

2

2 x + 3 x − 12 x − m

(

. f ′ 2 x3 + 3 x 2 − 12 x − m

)


6 x 2 + 6 x − 12 =
0
Ta có: y′= 0 ⇔  3
và y′ không xác định 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x − m =
0.
2
1
 2 x + 3 x − 12 x − m =
x = 1
6 x 2 + 6 x − 12 =0 ⇔ 
 x = −2

1 phải
Theo yêu cầu bài tốn thì phương trình 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x − m =
0 và 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x − m =
có 9 nghiệm phân biệt.
Khảo sát hàm số y = 2 x3 + 3 x 2 − 12 x ta có được bảng biến thiên:

 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x =
m
 3
m + 1 < 20
2

Dựa vào bảng biến thiên:  2 x + 3 x − 12 x =m + 1 có 9 nghiệm: 
⇔ −6 < m < 19
m − 1 > −7
 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x =m − 1

Vậy có 24 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân tại A=
, AB a=
, AA′ a 2.
Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B′C bằng
A.

2
a.
2

B.

a
.
2

C.
Lời giải

Chọn A

3a
.
4

D.

2a .


 AM ⊥ BC
Hạ MH ⊥ B′C . Ta có: 
⇒ AM ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇔ AM ⊥ MH
 AM ⊥ BB′
 AM ⊥ MH
Nên: 
⇒ d ( AM , B′C ) =
MH
′
⊥
B
C
MH

Có: ∆ABC vng cân tại A nên AM
= CM
=
Và: CB′ =

BC a 2
=
2
2

BB′2 + BC 2 = 2a

MH CM
CM .BB′
=
⇒ MH =
=
Do ∆CMH đồng dạng ∆CB′B nên:
BB′ CB′
CB′

a 2
.a 2
a
2
=
2a
2

a
Vậy: d ( AM , B′C ) = . .
2

Câu 45: Cho hình trụ có chiều cao bằng a 2 . Trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ lấy hai điểm
A, B ; trên đường trịn đáy thứ hai của hình trụ lấy hai điểm C , D sao cho ABCD là hình vng
và mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy của hình trụ góc 45o . Thể tích khối trụ đã cho bằng:
A.

3 2π a 3
.

2

B. 6 2π a 3 .

C. 3 2π a 3 .

D.

3 2π a 3
.
8

Lời giải
Chọn A

Giả sử tâm của đáy thứ nhất và đáy thứ hai của hình trụ lần lượt là O và O′ .
Gọi H là hình chiếu của A trên đường trịn đáy thứ hai của hình trụ.
Ta có: CD ⊥ AD, AH ⇒ CD ⊥ DH , tức là CH là đường kính đáy thứ hai của hình trụ.


CD ⊥ ( ADH ) ;

)

(

AD ;
( ADH ) ∩ ( ABCD ) =

DH

( ADH ) ∩ ( CDH ) =


= DH
= OO
=′ a 2 ,
45o ⇒ ∆ADH vuông cân tại H có AH
ABCD ) , ( CDH ) =
ADH =
⇒ (

′ 2 2a ⇒ CD =
=
=
AD AH
=
2 OO
=
2a ⇒ CH

( CD ) + ( DH =
)
2

2

a 6.

2

3π a 3 2
 CH 
′
.
OO
=
Vậy thể tích khối trụ bằng: π 
.

2
 2 
Câu 46: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

(

)

m có ít nhất ba nghiệm dương
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 4 f x 2 − 4 x =
phân biệt?
A. 19.

B. 21.

C. 20.

D. 18.

Lời giải
Chọn C

(

)

m ⇔ 4 f (u ( x )) =
m , với u ( x=
Ta có: 4 f x 2 − 4 x =
) x2 − 4 x .
Đặt g ( x ) = 4 f ( u ( x ) ) .
Phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm dương phân biệt khi đô thị hàm số y = g ( x ) trên
khoảng ( 0; + ∞ ) và đường thẳng y = m có ít nhất ba điểm chung phân biệt.

(

)

m có ít nhất ba nghiệm dương phân biệt khi −12 < m ≤ 8 , mà
Vậy phương trình 4 f x 2 − 4 x =

m nguyên nên m =
−11, − 10,...,8 .
Câu 47: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng tại A và AB = 3 , AC = 7 , SA = 1 . Hai mặt
bên ( SAB ) và ( SAC ) lần lượt tạo với mặt đáy các góc bằng 45° và 60° . Thể tích của khối chóp
đã cho bằng


A.

1

.
2

B.

3
.
2

C.
Lời giải

7
.
6

D.

7 7
.
6

Chọn A

Gọi H là hình chiếu của S trên

( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .

Kẻ HE ⊥ AB, E ∈ AB và

HF ⊥ AC , F ∈ AC .

 AB
= ( SAB ) ∩ ( ABC )

SH ⊥ AB

 =°
=
⇒ ( ( SAB ) , ( ABC ) ) =
HES
45 SHE
90°
Ta có 
( EH , ES ) =
HE
⊥
AB


⇒ SE ⊥ AB

(

)

⇒ ∆SHE vuông cân ⇒ EH =
SH .

 AC= ( SAC ) ∩ ( ABC )


SH ⊥ AC

=
=
HFS
60° SHF
90°
⇒ ( ( SAC ) , ( ABC ) ) =
Ta có 
( SF , FS ) =
HF
AC
⊥

⇒ SF ⊥ AC


(

=
HF
∆SHF vuông nên

HS
HS
HS
= =
.


3
tan SHF tan 60°

Mà tứ giác HEAF là hình chữ nhật AH = EF 2 = HE 2 + HF 2 =
Ta có tam giác SHA vuông tại H SA2 = SH 2 + HA2 =
Vậy
=
VS . ABC

2 SH 3
.
3

7
SH 2 ⇒ SH =
3

1
1
1 21
1
.
=
SH .S ABC
SH
=
. AB. AC
=
3 7
3

6
6 7
2

21
SA =
7

21
.
7

)


Câu 48: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Có bao giá trị ngun của tham số m ∈ [ 0; 2023] để hàm số y =

mf ( x ) + 100
có đúng 5 điểm
f ( x) + m

cực trị?
A. 1974 .

B. 1923 .

C. 1973 .
Lời giải

D. 2013

Chọn A
Xét hàm số g ( x ) =
Ta có g ′ ( x ) =

mf ( x ) + 100
f ( x) + m

m 2 − 100
 f ( x ) + m 

2

f ′( x)

Với m = ±10 thì hàm số g ( x ) là hàm hằng nên y = g ( x ) là hàm hằng nên loại m = ±10 .
 x =1
.
Với m ≠ ±10 , ta có g ′ ( x ) =
0 ⇔ f ′( x) =
0⇔
 x = −1
Do đó g ( x ) có hai điểm cực trị. Nên để hàm số y = g ( x ) có đúng 5 điểm cực trị thì phương

0 có ba nghiệm phân biệt.
trình g ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ mf ( x ) + 10 =
Với m = 0 , phương trình vơ nghiệm nên loại m = 0 .
−100

Với m ≠ 0 , phương trình ⇔ f ( x ) =.
m

Để f ( x ) =

−100
−100
có ba nghiệm ⇔ −2 <
< 2 , mà m ∈ [ 0; 2023] nên m > 50 .
m
m

⇒ m ∈ {51;52;...; 2023} .
Câu 49: Kí hiệu S là tập tất cả số nguyên m sao cho phương trình 3x
khoảng (1;9) . Số phần tử của S là?

2

+ mx +1

=

( 3 + mx ) 39 x có nghiệm thuộc


A. 11.

B. 3.

C. 9.

Lời giải

Chọn A

3x

2

+ mx +1

= ( 3 + mx ) 39 x ⇔ 3x

2

+ mx +1−9 x

− ( 3 + mx ) = 0 (1)

Để phương trình có nghiệm 3 + mx > 0 (do 3x
Khi đó, 3 + mx > 0 ⇔ m >

f ( x ) 3x
Xét hàm số =

2

D. 12.

2

+ mx +1−9 x

> 0, ∀x ∈  )

−3
⇔ m > −3 (do 1 < x < 9)
x

+ mx +1−9 x

− ( 3 + mx )

' ( x ) ln 3. ( 2 x + m − 9 ) 3x
Đạo hàm: f =
=
Đạo hàm cấp
2: f '' ( x ) ln 3.2.3x

2

2

+ mx +1−9 x

+ mx +1−9 x

−m

+ ( ln 3. ( 2 x + m − 9 ) ) 3x
2

2

+ mx +1−9 x

>0

0 có nhiều nhất một nghiệm ⇒ f ( x ) =
0 có nhiều nhất
Do đó f ' ( x ) đồng biến trên  ⇒ f ' ( x ) =
hai nghiệm.
Mặt khác x = 0 là một nghiệm của phương trình (1) nên để phương trình này có nghiệm x ∈ (1;9 )
thì (1) phải có đúng một nghiệm x ∈ (1;9 )

⇒ f (1) . f ( 9 ) < 0 ⇔ ( 3m −7 − 3 − m )( 31+ m − 3 − 9m ) < 0
Giải ra ta được m ∈ {−2; −1;1;....;9} có 11 giá trị.
Câu 50: Xét tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) , ở đó a ≥ b sao cho ứng với mỗi cặp số như vậy có
đúng 50 số nguyên dương x thỏa mãn ln a − ln x < ln b . Hỏi tổng a + b nhỏ nhất bằng bao
nhiêu?
A. 22 .

B. 36 .

C. 11 .
Lời giải

D. 50 .

Chọn A
Khi b = 1 ⇒ bất phương trình vơ nghiệm ⇒ b ≥ 2

Ta có ln a − ln x < ln b ⇔ − ln b < ln a − ln x < ln b ⇔ ln a − ln b < ln x < ln a + ln b
⇔ ln

a
a
< ln x < ln ab ⇔ < x < ab .
b
b

Nhận xét: Nghiệm nguyên dương lớn nhất của bất phương trình là =
x ab − 1 khi đó u cầu bài
tốn trở thành nghiệm ngun dương bé nhất của bất phương trình là =
x ab − 50 hay
a
50b < a ( b 2 − 1)
 b < ab − 50
a < ab 2 − 50b

⇔
⇔

2
2
a ≥ ab − 51b
 a ≥ ab − 51
51b ≥ a ( b − 1)
 b
Do a ≥ 1 ⇒ 51b ≥ b 2 − 1 ⇒ 2 ≤ b ≤ 50 (1)