LUẬN VĂN THẠC SỸ " ĐANG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN THỨC " ppt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THÙY LINH
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ
CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THÙY LINH
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ
CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu i
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Không gian phức hyperbolic đầy . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Giả metric vi phân Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN
TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15
2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ chuẩn tắc . . . . . . . . 21
2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact . . . . . 24
2.5 Một số tính chất mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc . . . . . . . 29
2.6 Dáng điệu tiệm cận của ánh xạ Bloch . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận 39
Tài liệu tham khảo 40
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
Mở đầu
Một họ các ánh xạ liên tục giữa hai đa tạp M và N được gọi là chuẩn
tắc nếu nó chứa một dãy con hoặc là compact tương đối trong C(M, N)
hoặc là phân kỳ compact. Việc sử dụng các họ chuẩn tắc để nghiên cứu
tính hyperbolic của các đa tạp phức đã và đang được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu như S. Kobayashi, S. Lang, P.J. Kiernan, T.J. Barth,
P.Gauthier, Nhiều kết quả đẹp đẽ về họ chuẩn tắc đã được chứng minh.
Bằng việc tổng quát các khái niệm cổ điển về các hàm chuẩn tắc, các hàm
Bloch, các dãy chính quy và các dãy P - điểm trong giải tích phức một
biến lên trong trường hợp các ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức,
K.T. Hahn [6] đã chứng minh được mối liên hệ giữa các khái niệm trên và
từ đó đưa ra được các kết quả thú vị về dáng điệu tiệm cận của các ánh
xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch và tổng quát hơn là ánh xạ chỉnh hình không
chuẩn tắc dọc theo các dãy P - điểm, các dãy chính quy và quỹ đạo tiệm
cận tới biên của đa tạp phức M.
Mục đích của luận văn là học tập, nghiên cứu và trình bày lại các kết
quả trên của K.T. Hahn.
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về giả khoảng cách Kobayashi,
không gian phức hyperbolic, không gian phức hyperbolic đầy đủ và giả
metric vi phân Kobayashi.

Chương 2 là nội dung chính của Luận văn, trình bày một số kết quả về
ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact, một số
tính chất cơ bản, mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc và cuối cùng là dáng điệu
tiệm cận của các ánh xạ Bloch.
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Để hoàn thành được bản Luận văn này, trước hết tôi xin bày tỏ
lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người thầy
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thành
Luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán
học Việt Nam, Trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và
giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và làm Luận văn tốt nghiệp.
Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất
mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Học viên
Nguyễn Thị Thùy Linh
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi
Trên đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré
ρ
∆

= ln
1 + |a|
1 − |a|
với a ∈ ∆.
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X.
Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X, được trang
bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p
0
= x, p
1
, , p
k
= y của X, dãy
các điểm a
1
, a
2
, , a
k
của ∆ và dãy các ánh xạ f
1
, , f
k
trong Hol(∆, X)
thỏa mãn
f
i
(0) = p
i−1

, f
i
(a
i
) = p
i
, ∀i = 1, , k.
Tập hợp α = {p
0
, , p
k
, a
1
, , a
k
, f
1
, , f
k
} thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
d
X
(x, y) = inf
α

k

i=1

ρ
∆
(0, a
i
), α ∈ Ω
x,y

,
trong đó Ω
x,y
là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong
X.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Khi đó d
X
: X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
Tổng

k
i=1
ρ
∆
(0, a
i
) được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh
hình α.
Nhận xét: Nếu X là liên thông thì với mọi x, y ∈ X, luôn tồn tại dây
chuyền chỉnh hình trong X nối x với y.

Thật vậy, lấy x ∈ X và gọi Z là tập gồm tất cả các điểm trong X mà
có thể nối với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Ta sẽ chứng minh Z vừa
là tập mở vừa là tập đóng.
Nếu X là đa tạp phức thì hiển nhiên Z = X.
Nếu X là không gian phức. Lấy z ∈ Z. Theo định lý Hironaka về giải
kỳ dị, tồn tại lân cận U của z và một ánh xạ chỉnh hình toàn ánh, riêng
π : M → U,
với M là đa tạp phức có hữu hạn thành phần liên thông và π là đẳng cấu
chỉnh hình bên ngoài tập các điểm kỳ dị của X trong U. Vì X là đa tạp
phức, và vì π là toàn ánh nên Z là mở.
Để chứng minh Z đóng ta lấy một dãy {y
n
} trong Z và
y
n
→ z ∈ X.
Ta lại lấy một lân cận U của z và giải kỳ dị
π : M → U.
Với n đủ lớn ta có y
n
∈ U. Vì π là toàn ánh, ta có thể nâng {y
n
} thành
{u
n
} ⊂ M. Do {y
n
, z} là tập compact và π là ánh xạ riêng nên
{π
−1

(y
n
), π
−1
(z)}
là tập compact.
Từ đó ta có thể trích được dãy con hội tụ cũng kí hiệu là {u
n
}, tới điểm
u ∈ M và π(u) = z. Vì M là đa tạp nên tồn tại dây chuyền chỉnh hình
trong M nối u với u
n
. Vậy qua π, tồn tại dây chuyền chỉnh hình nối y
n
với
z với n đủ lớn. Mà y
n
nối được với x bởi một dây chuyền chỉnh hình, do
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
đó có dây chuyền chỉnh hình nối z với x. Suy ra z ∈ Z. Vậy Z đóng. Mà
X liên thông nên Z = X.
1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
a) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì
f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là
d
X
(x, y) ≥ d
Y
(f(x), f(y)) ∀x, y ∈ X.

Hơn nữa, d
X
là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách.
b) + d
∆
≡ ρ
∆
.
+ d
C
m
≡ 0.
c) Đối với bất kì các không gian phức X, Y, ta có
d
X×Y
((x, y), (x

, y

)) = max{d
X
(x, x

), d
Y
(y, y

)}
với mọi x, x


∈ X và mọi y, y

∈ Y .
d) Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
d
X
: X × X → R là hàm liên tục.
Chứng minh.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
|d
X
(x
n
, y
n
) − d
X
(x, y)| ≤ d
X
(x
n
, x) + d
X
(y
n
, y)
với mọi x
n
, y

n
, x, y ∈ X. Do đó để chứng minh tính liên tục của d
X
ta chỉ
cần chứng minh d
X
(y
n
, y) → 0 khi y
n
→ y.
a) Trường hợp X là đa tạp phức.
Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆
n
,
n = dimX. Ta có
d
∆
n
((x
1
, , x
n
), (y
1
, , y
n
)) = max{d
∆
(x

i
, y
i
), i = 1, , n}.
Vì U song chỉnh hình với ∆
m
nên theo tính chất giảm khoảng cách của
giả khoảng cách Kobayashi ta có d
U
= d
∆
m
liên tục. Do đó, d
X
(y
n
, y) ≤
d
U
(y
n
, y) → 0 khi y
n
→ y. Vậy d
X
liên tục.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
b) Trường hợp y là điểm kỳ dị.
Theo định lý Hironaka về giải kỳ dị, tồn tại lân cận mở U của y trong

X và ánh xạ chỉnh hình riêng, toàn ánh π : M → U, với U là đa tạp
phức. Vì y
n
→ y nên tồn tại lân cận compact tương đối V của y sao cho
V ⊂ V ⊂ U và y
n
∈ V . Do π là toàn ánh riêng nên π
−1
(V ) là compact
tương đối trong M. Vì vậy, tồn tại dãy {z
n
} ⊂ M sao cho π(z
n
) = y
n
và
z
n
→ z ∈ M. Rõ ràng π(z) = y.
Theo a), vì M là đa tạp phức, ta có
d
M
(z
n
, z) → 0 khi n → ∞.
Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi
ta có
d
X
(y

n
, y) ≤ d
U
(y
n
, y) ≤ d
M
(z
n
, z) → 0 khi n → ∞.
Vậy d
X
là hàm liên tục. 
1.2 Không gian phức hyperbolic
1.2.1 Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d
X
là khoảng cách trên X, tức
là
d
X
(p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X.
1.2.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
a) Nếu X,Y là các không gian phức, thì X ×Y là không gian hyperbolic
nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
b) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu Y là
hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con
của không gian hyperbolic là hyperbolic.
c) (Định lý Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là

hyperbolic thì d
X
sinh ra tô pô tự nhiên của X.
Chứng minh.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô đếm được,
do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì vậy có hàm
khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X. Ta phải chứng minh d
X
và
ρ là so sánh được, tức là với {x
n
} ⊂ X ta có
ρ(x
n
, x) → 0 ⇔ d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Do d
X
liên tục nên từ ρ(x
n
, x) → 0 suy ra d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.

Ngược lại, giả sử d
X
(x
n
, x) → 0 mà ρ(x
n
, x)  0 khi n → ∞. Khi đó
tồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {x
n
}) mà các x
n
nằm
ngoài ρ- cầu tâm x, bán kính s.
Nối x
n
với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các trắc
địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X.
Xét hàm t → ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t
0
∈ [a, b]
sao cho ρ(γ(t
0
), x) = s. Vậy điểm y
n
= γ(t
0
) nằm trên mặt cầu tâm x
bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cách
Kobayashi ta có
d

X
(y
n
, x) ≤ d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Do tính compact địa phương, dãy {y
n
} có dãy con {y
n
k
} hội tụ tới y
thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s.
Khi đó,
d
X
(y, x) = lim
n→∞
d
X
(y
n
k
, x) = 0,
mà y = x. Điều này mâu thuẫn tới giả thiết X là không gian hyperbolic.

d) ( Bổ đề Eastwood) Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các
không gian phức. Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y ∈ Y có lân

cận U của y sao cho π
−1
(U) là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
1.3 Không gian phức hyperbolic đầy
1.3.1 Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và
đầy đối với khoảng cách Kobayashi d
X
, tức là mọi dãy Côsi đối với khoảng
cách d
X
đều hội tụ.
1.3.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic đầy
a) Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông. Khi đó X là hyperbolic
đầy nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X và mọi r > 0, hình cầu đóng B(x, r) là
compact.
Để chứng minh tính chất trên ta cần các bổ đề sau
Bổ đề 1: Giả sử X là không gian phức, a ∈ X và r, r

> 0. Khi đó
U[U(a, r), r

] = U(a, r + r

),
trong đó U(A, r) = {x ∈ X; ∃y ∈ A, d
X
(x, y) < r} với A là tập con tùy ý

của X.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh U[U(a, r), r

] ⊂ U(a, r + r

).
Lấy x ∈ U[U(a, r), r

], theo định nghĩa tập U, có điểm y ∈ U(a, r) sao
cho
d
X
(x, a) ≤ d
X
(x, y) + d
X
(y, a) < r

+ r.
Do đó, x ∈ U(a, r + r

).
Ngược lại, với bất kỳ x ∈ U(a, r + r

), lấy ε > 0 sao cho
d
X
(a, x) < r + r


− 3ε.
Tồn tại dây chuyền chỉnh hình trong X nối a với x, gọi đường nối
{γ
1
, γ
2
, , γ
m
} là ảnh của dây chuyền đó trong X, thỏa mãn
d
X
(a, x) ≤ tổng Kobayashi < d
X
(a, x) + ε.
Gọi j là số lớn nhất sao cho độ dài của đường nối L{γ
1
, , γ
j−1
} < r−ε.
Chia cung γ
j
thành hai cung γ

j
và γ

j
bởi điểm x
j
trên γ

j
sao cho
L{γ
1
, , γ
j−1
, γ

j
} = r − ε.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Khi đó, d
X
(a, x
j
) < r, tức là x
j
∈ U(a, r). Xét đường nối
{γ
1
, , γ

j
, γ

j
, , γ
m
},

ta có
d
X
(x
j
, x) ≤ d
X
(a, x) + ε − (r − ε) < r + r

− 3ε + 2ε − r = r

− ε.
Vậy tồn tại x
j
∈ U(a, r) sao cho d
X
(x
j
, x) < r

. Từ đó x ∈ U[U(a, r), r

].
Bổ đề được chứng minh. 
Bổ đề 2: Giả sử X là không gian phức compact địa phương với hàm
khoảng cách d thỏa mãn đẳng thức
U[U(a, r), r

] = U(a, r + r


)
với mọi a ∈ X và với mọi r, r

> 0. Khi đó với a ∈ X và r > 0, nếu tồn
tại s > 0 sao cho
U(x, s) là compact với mỗi x ∈ U(a, r) thì U(a, r) là
compact.
Chứng minh.
Vì X là compact địa phương nên có t > 0 sao cho t < r và U(a, t) là
compact. Ta chỉ cần chứng minh U(a, t + (s/2)) là compact. Lấy {x
n
} là
một dãy trong U(a, t). Ta chứng minh {x
n
} có dãy con hội tụ. Theo giả
thiết, với mỗi n tồn tại điểm y
n
∈ U(a, t) sao cho
d(x
n
, y
n
) <
3
4
s.
Vì U(a, t) là compact, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết
{y
n
} hội tụ tới y ∈ U(a, t). Khi đó U(y, s) chứa x

n
với n đủ lớn. Vì
U(y, s) là compact theo giả thiết, nên dãy {x
n
} → x ∈ U(y, s). Rõ ràng
x ∈ U(a, t + (s/2)). Bổ đề được chứng minh. 
Bổ đề 3:Giả sử X là không gian compact địa phương với hàm khoảng
cách d thỏa mãn đẳng thức
U[U(a, r), r

] = U(a, r + r

)
với mọi a ∈ X và với mọi r, r

> 0. Khi đó X là đầy đối với hàm khoảng
cách d nếu và chỉ nếu bao đóng U(x, r) là compact với mọi x ∈ X và với
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
mọi số dương r.
Chứng minh.
Nếu mọi hình cầu đóng U(a, r) là compact với mọi a ∈ X, thì hiển
nhiên X là đầy. Thật vậy, giả sử {x
n
} là dãy Cauchy trong X, khi đó {x
n
}
bị chặn, do đó tồn tại r > 0, x ∈ X sao cho {x
n
} ⊂ U(x, r). Theo giả

thiết U(x, r) là compact, nên tồn tại dãy con
{x
n
k
} ⊂ {x
n
}, {x
n
k
} → y ∈ U(x, r).
Mà {x
n
} là dãy cơ bản nên {x
n
} → y ∈ X. Vậy X là đầy.
Ngược lại, giả sử X là đầy. Theo Bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh tồn tại
số s > 0 sao cho với mọi x ∈ X hình cầu đóng U(x, s) là compact. Giả sử
ngược lại, khi đó tồn tại x
1
∈ X sao cho U(x
1
,
1
2
) không là compact. Theo
Bổ đề 2, tồn tại
x
2
∈ U(x
1

,
1
2
) sao cho U(x
1
,
1
2
2
)
không là compact. Lập luận tương tự, tồn tại
x
n
∈ U(x
n−1
,
1
2
n−1
)
sao cho U(x
n
,
1
2
n
) không là compact. (*)
Theo giả thiết, dãy Cauchy {x
n
} hội tụ tới điểm x. Vì X là compact địa

phương, tồn tại hình cầu đóng U(x, t) với t > 0 nào đó thỏa mãn U(x
n
,
1
2
n
)
nằm trong U(x, t) với n đủ lớn, và do đó U(x
n
,
1
2
n
) là compact. Điều này
mâu thuẫn với (*). 
Tính chất a) được suy ra từ các Bổ đề 1 và 3.
b) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
c) Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy.
d) Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là hyperbolic
đầy.
e) Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.
Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi y ∈ Y , tồn tại một lân cận U sao
cho π
−1
(U) là hyperbolic đầy. Khi đó X là hyperbolic đầy.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
f) Giả sử π : X

→ X là ánh xạ phủ chỉnh hình. Khi đó X là hyperbolic

đầy nếu và chỉ nếu X’ là hyperbolic đầy.
1.4 Giả metric vi phân Kobayashi
1.4.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức.
+ Giả sử x là một điểm trong X. Nón tiếp xúc

T
x
X gồm các vectơ có
dạng f
∗
(u), trong đó u ∈ T ∆ và f ∈ Hol(∆, X).
Khi đó, k
X
:

T
x
X → R được định nghĩa bởi:
k
X
(v) = inf{u, u ∈ T∆, f
∗
(u) = v}, v ∈

T
x
X,
trong đó u là độ dài của vectơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré
ds

2
của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆
sao cho f
∗
(u) = v.
Nếu x là điểm chính quy, thì với mỗi v ∈ T
x
X luôn tồn tại vectơ u ∈ T∆
sao cho f
∗
(u) = v, do đó k
X
(v) < ∞.
Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt k
X
(v) =
∞.
Ta gọi k
X
là metric vi phân Kobayashi trên không gian phức X.
+ Ngoài ra k
X
có thể được định nghĩa một cách tương đương như sau:
Giả sử ∆
R
= {z ∈ C; |z| < R} với metric Poincaré
ds
2
R
=

4R
2
dzd¯z
(R
2
− |z|
2
)
2
= j
∗
R
ds
2
trong đó j
R
: ∆
R
→ ∆ là đẳng cấu biến hình z thành
z
R
và
ds
2
=
4dzd¯z
(1 − |z|
2
)
2

.
Nếu kí hiệu e là vectơ tiếp xúc (
∂
∂z
) của ∆
R
tại gốc O thì vectơ f
∗
(e) ∈
T
f(0)
X và được kí hiệu là f

(0).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Vì độ dài của e được đo bởi metric Poincaré ds
2
R
là e =
2
R
nên k
X
có
thể được định nghĩa như sau:
k
X
(v) = inf
2

R
trong đó infimum được lấy với mọi số thực dương R mà tồn tại ánh xạ
chỉnh hình f : ∆
R
→ X sao cho f

(0) = f
∗
(e) = v.
1.4.2 Một số tính chất cơ bản của giả metric vi phân Kobayashi
a) (Tính chất giảm metric) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì
k
Y
(f
∗
(v)) ≤ k
X
(v)
với f ∈ Hol(X, Y ), x ∈

T X.
Đặc biệt dấu bằng xảy ra thì f là song chỉnh hình.
b) + Trong đĩa đơn vị ∆, k
∆
đồng nhất với metric Bergman - Poincaré,
tức là k
2
∆
= ds
2

.
+k
C
m
= 0.
c) Trong không gian phức X ta có
k
X
(f ∗ u) ≤ u, ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T∆.
Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên

T X thỏa mãn
E(f ∗ u) ≤ u
với f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆, thì
E(v) ≤ k
X
(v), ∀v ∈

T X.
d) Giả sử X, Y là các không gian phức, ta có
k
X×Y
(u, v) = max{k
X
(u), k
Y
(v)}
với u ∈

T X, v ∈


T Y .
e) Giả sử X là không gian phức và π :

X → X là không gian phủ chỉnh
hình của X. Khi đó k

X
= π
∗
k
X
.
Kết quả sau là một biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
trên đa tạp phức.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.4.3 Định lý
Giả sử X là đa tạp phức, x, y ∈ X. Khi đó
d
X
(x, y) = inf
γ
{

1
0
k
X
( ˙γ(t))dt},

trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc γ :
[0, 1] → X nối x với y và ˙γ(t) = γ
∗
((∂/∂t)
t
).
Chứng minh.
Đặt
d

X
(x, y) = inf
γ
{

1
0
k
X
( ˙γ(t))dt}.
Trước hết ta chứng minh tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ
chỉnh hình của d

X
. Thật vậy, giả sử f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa
các đa tạp phức. Ta chứng minh
d

Y
(f(x), f(y)) ≤ d


X
(x, y) với mọi x, y ∈ X . (1.1)
Giả sử γ : [0, 1] → X là đường cong C
∞
từng khúc nối x và y trong X.
Khi đó f ◦ γ : [0, 1] → Y cũng là đường cong C
∞
từng khúc nối f(x) và
f(y) trong Y. Từ đó áp dụng tính chất a) ở trên ta nhận được (1.1).
Mặt khác, từ k
2
∆
= ds
2
, ta có
d

∆
= ρ
∆
= d
∆
. (1.2)
Từ đó theo định nghĩa của d
X
ta suy ra
d
X
(x, y) ≥ d


X
(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Để chứng minh chiều ngược lại, ta lấy ε > 0 tùy ý. Khi đó có đường
cong C
∞
từng khúc γ : [0, 1] → X từ x tới y sao cho

1
0
k
X
( ˙γ(t))dt < d

X
(x, y) + ε.
Lại có k
X
( ˙γ(t)) là nửa liên tục trên tại t trong đó ˙γ(t) là liên tục. Từ
đó có hàm h : [0, 1] → R
+
thỏa mãn với phép chia
0 = t
0
< t
1
< < t
l
= 1, (1.3)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
ta có
i) h(t) > k
X
( ˙γ(t)) ≥ 0;
ii) h|
[t
j−1,t
j
]
, 1 ≤ j ≤ l là các hạn chế của các hàm liên tục xác định trên
các lân cận của [t
j−1
, t
j
];
iii)

1
0
k
X
( ˙γ(t))dt <

1
0
h(t)dt < d

X
(x, y) + ε.

Do tích phân

1
0
h(t)dt là tích phân Riemann nên tồn tại δ > 0 sao cho
với mỗi phép chia 0 = s
0
≤ s
1
≤ ≤ s
k
= 1 mà
max{s
j
− s
j−1
; 1 ≤ j ≤ k} < δ
và với mỗi p
j
∈ [0, 1]; 1 ≤ j ≤ k mà |p
j
− s
j
| < δ thì ta có
k

j=1
h(p
j
)(s

j
− s
j−1
) < d

X
(x, y) + ε. (1.4)
Lấy tùy ý điểm p ∈ [t
j−1
, t
i
], 1 ≤ j ≤ l. Trước hết giả sử rằng ˙γ(p) =
O
γ(p)
. Lấy (U, φ, ∆
m
) là hệ tọa độ địa phương chỉnh hình quanh γ(p) với
φ(γ(p)) = O, trong đó m = dimX. Khi đó ta đặt
F = φ
−1
: ∆
m
→ U ⊂ X.
Tiếp theo giả sử rằng ˙γ(p) = O
γ(p)
. Khi đó có ánh xạ chỉnh hình f : ∆
r
→
X sao cho
f


(0) + f

(0) = ˙γ(p);
k
X
( ˙γ(p)) = 2k
X
(f

(0));
k
X
(f

(0)) <
1
r
<
1
2
h(p).
Lấy r đủ nhỏ, ta có ánh xạ chỉnh hình F : ∆
r
× ∆
m−1
→ X là song chỉnh
hình địa phương quanh O thỏa mãn
1
r

<
1
2
h(p), F (O) = γ(p),
F
∗
((∂/∂z
1
)
O
) + F
∗
((∂/∂z
1
)
O
) = ˙γ(p). (1.5)
Trong bất kỳ trường hợp nào ta cũng có lân cận I
p
của p và đường cong
C
∞
từng khúc α : I
p
→ ∆
r
× ∆
m−1
sao cho
α(p) = O và F ◦ α = γ|

I
p
.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Với s ∈ I
p
, α(s) = O(|s − p|
2
) hoặc
α(s) = (s − p, 0, , 0) + O(|s − p|
2
).
Từ (1.2) ta có khoảng mở I

(p) trong I
p
sao cho p ∈ I

p
, độ dài của
p ∈ I

p
nhỏ hơn δ và
d

∆
r
×∆

m−1
(α(s), α(s

)) ≤ (1 + ε)
2
r
|s − s

|
với s, s

∈ I

p
. Theo tính chất d) và định nghĩa của d ta có
d
∆
r
×∆
m−1
= d

∆
r
×∆
m−1
.
Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình của d
X
và (1.5) nhận được

d
X
(γ(s), γ(s

)) = d
X
(F (α(s)), F (α(s

)))
≤ d
∆
r
×∆
m−1
(α(s), α(s

)) ≤ d

∆
r
×∆
m−1
α(s), α(s

)
≤ (1 + ε)|s − s

|h(p). (1.6)
Vì [t
j−1

, t
j
] là compact với 1 ≤ j ≤ l, có số dương η < δ sao cho với
bất kỳ s, s

∈ [t
j−1
, t
j
] mà |s − s

| < η, ta có p ∈ [t
j−1
, t
j
] với s, s

∈ I

p
.
Thực hiện phép chia đoạn [0, 1] như sau: 0 = s
0
< s
1
< < s
k
= 1 mà
là làm mịn của (1.3) và s
j

− s
j−1
< η với mọi j. Lấy p
j
∈ [0, 1] sao cho
s
j−1
, s
j
∈ I

p
j
. Khi đó từ (1.4) và (1.6) ta có
d
X
(x, y) = d
X
(γ(0), γ(1)) ≤
k

j=1
d
X
(γ(s
j−1
), γ(s
j
))
≤

k

j=1
(1 + ε)(s
j
− s
j−1
)h(p
j
) ≤ (1 + ε)(d

X
(x, y) + ε).
Cho ε → 0, ta nhận được
d
X
(x, y) ≤ d

X
(x, y). 
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
1.4.4 Hệ quả
Giả sử X là không gian phức và H là một hàm độ dài trên X. Khi đó
X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p ∈ X, có các lân cận U của p và
hằng số C > 0 sao cho k
X
(ξ
x
) ≥ CH(ξ

x
) với mọi ξ
x
∈ T
x
X với x ∈ U.
Chứng minh.
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa: Giả sử X là không gian phức với hàm
khoảng cách d. Một cặp (X, d) được gọi là tight nếu họ Hol(M, N) là đồng
liên tục đối với d, và với mọi đa tạp phức M.
Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p. Vì X là hyperbolic, (X, d
X
) là
tight [3] và do đó họ Hol(∆, X) là họ liên tục đồng đều. Từ đó có đĩa ∆
δ
quanh 0 và một lân cận U của p sao cho nếu Φ(0) = x ∈ U thì Φ(∆
δ
) ⊂ D.
Vì vậy với x ∈ U, ta có δk
D
(ξ
x
) ≤ k
X
(ξ
x
).
Ta có thể giả sử U là tập con compact của D. Khi đó với x ∈ U, ξ
x
∈

T
x
X, ta có k
X
(ξ
x
) ≥ δk
D
(ξ
x
) ≥ CH(ξ
x
) với hằng số dương C nào đó.
Ngược lại, gọi d
CH
là khoảng cách trên X sinh bởi CH. Theo giả thiết,
f
∗
(CH) ≤ ds
2
với mọi f ∈ Hol(∆, X), trong đó ds
2
là metric Bergman -
Poincaré trên ∆. Từ đó ta có
d
CH
(x, y) ≤ d
X
(x, y) với x, y ∈ X.
Điều này kéo theo X là hyperbolic. 

19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Chương 2
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
NHIỀU BIẾN PHỨC
2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu
Giả sử M và N là các đa tạp Hermit liên thông có số chiều là m và n
với metric Hermit tương ứng là h
M
và h
N
. Kí hiệu C(M, N) là không gian
các ánh xạ liên tục giữa M và N.
2.1.1 Định nghĩa
Dãy {f
n
} trong C(M, N) được gọi là dãy phân kỳ compact nếu với mỗi
tập compact K trong M và tập compact K

trong N, tồn tại n
0
> 0 sao
cho f
n
(K) ∩ K

= ∅ với mọi n ≥ n
0
. Đặc biệt, dãy {p

n
} các điểm trong
N là dãy phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K trong N tồn tại
n
0
> 0 sao cho p
n
/∈ K với mọi n ≥ n
0
.
Nhận xét: Nếu metric h
N
là đầy đủ trong N thì dãy {p
n
} là phân kỳ
compact tương đương với
lim
n→∞
d
N
(p
0
, p
n
) = ∞,
trong đó p
0
là điểm cố định trong N và d
N
là hàm khoảng cách trên N

sinh bởi h
N
.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
2.1.2 Định nghĩa
Họ F ⊂ C(M, N) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy của F đều
chứa dãy con hoặc là compact tương đối trong C(M, N) hoặc là phân kỳ
compact.
Họ F được gọi là họ đồng liên tục nếu với mỗi ε > 0 và p ∈ M, tồn tại
δ > 0 sao cho d
M
(p, q) < δ kéo theo d
N
(f(p), f(q)) < ε với mọi f ∈ F.
Nhận xét: Tính chuẩn tắc của F không kéo theo tính đồng liên tục trong
khi tính đồng liên tục của F cùng với tính đầy đủ của N kéo theo tính
chuẩn tắc. Nếu N là compact thì F là chuẩn tắc khi và chỉ khi F đồng
liên tục [10].
2.1.3 Định nghĩa
Giả sử M là thuần nhất, tức là nhóm Aut(M) các tự đẳng cấu của M
là bắc cầu. Ánh xạ f ∈ Hol(M, N) được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu họ
{f ◦ ϕ; ϕ ∈ Aut(M)} là họ chuẩn tắc.
Kí hiệu N (M, N) là tập tất cả các ánh xạ chuẩn tắc f : M → N.
2.1.4 Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp phức hyperbolic. Ánh xạ f ∈ Hol(M, N) được gọi
là ánh xạ Bloch nếu
Q
f
≡ sup{Q

f
(p)|p ∈ M} < ∞,
trong đó
Q
f
(p) = sup
|ξ|=1
h
N
(f(p), df(p)ξ)
K
M
(p, ξ)
là đạo hàm cực đại của f ứng với K
M
tại p.
Chúng ta gọi hằng số Q
f
là bậc chuẩn tắc của f và kí hiệu B
Ω
là tập
các ánh xạ Bloch mà có bậc nhỏ hơn hoặc bằng Ω. Khi đó
B = B(M, N) =

Ω>0
B
Ω
(M, N)
là tập tất cả các ánh xạ Bloch f : M → N.
Nhận xét: a) Khái niệm đạo hàm cực đại là bất biến qua ϕ ∈ Aut(M)

21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
theo nghĩa: với bất kỳ ϕ ∈ Aut(M) ta có
Q
f◦ϕ
(p) = Q
f
(ϕ(p)), p ∈ M.
b) Giả sử M là đa tạp phức hyperbolic đầy. Khi đó M có vét cạn compact
M =
∞

n=1
M
n
M
n
= {p ∈ M : k
M
(p
0
, p) ≤ n}, n = 1, 2,
trong đó p
0
là điểm cố định của M.
Giả sử M, N là các đa tạp phức. Với mỗi p ∈ M, ξ ∈ C
m
và f ∈
Hol(M, N), ta định nghĩa
R

M
(p) = sup
|ξ|=1
R
M
(p, ξ)
r
M
(p) = inf
|ξ|=1
R
M
(p, ξ)
trong đó
R
M
(p, ξ) = sup{|ϕ

(0)| : ∃ϕ ∈ Hol(∆, M), ϕ(0) = p, ϕ

(0)a = ξ, ∀a > 0}.
Ngoài ra, ta định nghĩa
∧
f
(p) = sup
|ξ|=1
h
N

f(p), df(p)ξ


λ
f
(p) = inf
|ξ|=1
h
N

f(p), df(p)ξ

.
2.1.5 Định lý
Ta có
|ξ|
R
M
(p)
≤ K
M
(p, ξ) ≤
|ξ|
r
M
(p)
(2.1)
và
λ
f
(p)r
M

(p) ≤ Q
f
(p) ≤ ∧
f
(p)R
M
(p). (2.2)
Hơn nữa, các khẳng định sau là đúng:
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
(a) Nếu M là hyperbolic thì với mỗi p ∈ M tồn tại một lân cận W của
p và số R
M
(W ) ∈ (0, ∞) sao cho
|ξ|
R
M
(W )
≤ K
M
(q, ξ) với q ∈ W. (2.3)
(b) Giả sử M là hyperbolic. Nếu M là đầy đủ thì
lim
n→∞
r
M
(p
n
) = 0
với bất kỳ dãy phân kỳ compact {p

n
} trong M. Ngược lại, nếu
lim
n→∞
R
M
(p
n
) = 0
với bất kỳ dãy phân kỳ compact {p
n
} trong M, thì M là đầy đủ đối với
k
M
.
(c) Nếu M là taut, tức Hol(∆, M) là chuẩn tắc thì Q
f
là hàm liên tục
trong M. Đặc biệt, Q
f
là liên tục trên đa tạp hyperbolic đầy đủ M.
Chứng minh.
Bất đẳng thức (2.1) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa giả metric vi
phân Kobayashi
K
M
(p, ξ) = inf{a > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, M), ϕ(0) = p, ϕ

(0)a = ξ}
= |ξ|/R

M
(p, ξ), p ∈ M, ξ ∈ C
m
.
Bất đẳng thức (2.2) được suy ra từ (2.1) và định nghĩa của Q
f
.
(a) là kết quả của H.L.Royden, chỉ ra rằng M là hyperbolic khi và chỉ
khi với mỗi p ∈ M, tồn tại lân cận W của p và số R
M
(W ) > 0 sao cho
(2.3) đúng.
(b) là hệ quả trực tiếp của (2.1).
Bằng các lập luận tiêu chuẩn về các họ chuẩn tắc ta có metric vi phân
K
M
là hàm liên tục của (p, ξ) ∈ M × C
m
khi M là taut [3]. Do đó, khẳng
định đầu tiên của (c) là hiển nhiên. Khẳng định thứ hai của (c) được suy
ra từ kết quả đa tạp phức hyperbolic đầy đủ luôn là taut [7]. 
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
2.1.6 Định lý
Giả sử M là đa tạp phức hyperbolic và N là compact. Họ F ∈ Hol(M, N)
là chuẩn tắc khi và chỉ khi với mỗi tập compact E ⊂ M, tồn tại hằng số
C(E) > 0 sao cho
sup{Q
f
(p) : f ∈ F} ≤ C(E) (2.4)

với mọi p ∈ E.
Chứng minh.
Giả sử (2.4) đúng. Khi đó F là đồng liên tục và từ đó F là chuẩn tắc
do tính compact của N.
Ngược lại, giả sử F là chuẩn tắc nhưng (2.4) không đúng. Khi đó phải
có một tập con compact E của M, một dãy {p
n
} các điểm trong E với
p
n
→ p ∈ E, một dãy các vectơ đơn vị {ξ
n
} trong C
m
thỏa mãn ξ
n
→
ξ
0
, |ξ
0
| = 1, và một dãy {f
n
} các hàm trong F sao cho
h
N

f
n
(p

n
), df
n
(p
n
)ξ
n

> nK
M
(p
n
, ξ
n
) với n = 1, 2, (2.5)
Do F là chuẩn tắc, bằng cách trích ra dãy con {f
ν
}, ta có thể giả sử
rằng p
ν
→ p
0
∈ E, ξ
ν
→ ξ
0
∈ C
m
và {f
ν

} hội tụ đều tới f ∈ Hol(M, N)
trên các tập con compact của M và thỏa mãn (2.5).
Vì N là compact nên vế trái của (2.5) dần tới một số hữu hạn
h
N

f
0
(p
0
), df
0
(p
0
)ξ
0

.
Trong khi đó, vế phải của (2.5), do (2.3), có thể dần tới một số lớn tùy
ý khi ν → ∞. Điều này là mâu thuẫn.
Vậy định lý được chứng minh. 
2.2 Một số trường hợp đặc biệt
Cho M là hình cầu đơn vị mở
B = {z ∈ C
m
: |z| < 1}
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
trong đó
|z|

2
= (z, z) =
m

ν=1
z
ν
z
ν
.
Khi đó Aut(B) tác động bắc cầu trên B và là tập hợp các phép biến đổi
có dạng
ϕ
a
(z) = Γ(a)
z − a
1 − (z, a)
; (a ∈ B, z ∈ B),
trong đó
Γ(a) = (1 − aa
∗
)
1
2
(1 − a
∗
a)
−
1
2

, (z, a) = za
∗
,
a
∗
là liên hợp phức của a và 1 là toán tử đồng nhất trên C
m
.
Metric vi phân Kobayashi trùng với metric Poincaré - Bergman và được
xác định bởi
K
B
(z, ξ) =

(1 − |z|
2
)|ξ|
2
+ |(z, ξ)|
2

1
2
(1 − |z|
2
)
;

z ∈ B, ξ ∈ C
m


. (2.6)
Ta có bất đẳng thức
|ξ|

1 − |z|
2
≤ K
B
(z, ξ) ≤
|ξ|
1 − |z|
2
,

z ∈ B, ξ ∈ C
m

.
Lấy tích phân hai vế của (2.6) dọc theo đoạn thẳng z = at, a ∈ B, t ∈ [0, 1],
ta có
k
B
(0, a) =
1
2
log
1 + |a|
1 − |a|
= tan h

−1
|a|,
và với hai điểm a và b bất kì trong B,
k
B
(a, b) = k
B

0, ϕ
a
(b)

= tan h
−1
|ϕ
a
(b)|,
trong đó
|ϕ
a
(b)| =
[|(a, b)|
2
− |a|
2
|b|
2
+ |a − b|
2
]

1
2
|1 − (a, b)|
.
Giả sử N là không gian Euclide phức C
n
với metric chuẩn tắc. Khi đó,
không gian B(B, C
n
) là không gian Banach. Chính xác hơn, ta có:
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên