Tuyển tập bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8,9 có đáp án

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;
b) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3
c)x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Câu 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức :

2 +x
4x2
2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Câu 5.(0,5 điểm)

Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
…………….….. Hết…………………….
-1-


HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án

Điểm

Câu 1
a
2

0,5
0,25
0,25

2

3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2
= 3x(x -2) – (x - 2)= (x - 2)(3x - 1).
b

0,75
3
3
3
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z 


 
2
2
2
2
= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )



2
= ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 


3

= 3 ( x + y) ( y + z) ( z + x ) .
c

4
2
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 )
2
2
= x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1)

0,25
0,25
0,25
0,75
0,25
0,25

2
2
= ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) .

0,25
2,5
1,0

Câu 2
a
ĐKXĐ :
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2 x 2 − x3 ≠ 0


A=(

0,25

2+x
4x2
2−x
x 2 − 3x
(2 + x ) 2 + 4 x 2 − (2 − x ) 2 x 2 (2 − x)
− 2
−

):( 2
)=
.
=
2− x x −4 2+ x
2 x − x3
(2 − x)(2 + x)
x( x − 3)

0,25

4 x2 + 8x
x (2 − x )
.
=
(2 − x )(2 + x) x − 3
=

0,25

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =

4x 2

.
x −3

b

0,75
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔
⇔ x −3 > 0
⇔ x > 3(TMDKXD )

-2-

2

4x
>0
x −3


Vậy với x > 3 thì A > 0.
c

0,75
x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD )
⇔
 x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A =

121
2

Câu 3
a

2
1
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

b

0,25
0,25
0,25
0,25
1

Từ :
Ta có :

a b c
ayz+bxz+cxy

+ + =0 ⇔
=0
x y z
xyz
⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2

=1
a
b
c
abc
x2 y2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c

0,25
0,25
0,25

0,25

Câu 4
H

C

B
F
O

A

E
D

a

K

1
-3-


Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
b
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC
Chứng minh : ∆CBH ∆CDK (g-g)
⇒

CH CK
=
⇒ CH .CD = CK .CB
CB CD

b,

0,25

0, 5
0,25
0,75
0,25
0,25
0,25
1,25
0,25

Chứng minh : ∆AFD ∆AKC (g-g)
AF AK
=
⇒ AD. AK = AF . AC
AD AC
Chứng minh : ∆CFD ∆AHC (g-g)
CF AH
⇒
=
CD AC
CF AH
=
⇒ AB. AH = CF . AC
Mà : CD = AB ⇒
AB AC
⇒

0,25
0,25
0,25

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(đfcm).
Câu 5

0,25
0,5

(a

2001

+b

2001

).(a+ b) - (a

2000

+b

2000

2002

).ab = a

+b

2002

⇒ (a+ b) – ab = 1

0,25

⇒ (a – 1).(b – 1) = 0 ⇒ a = 1 hoặc b = 1
Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 – 2014
MƠN TỐN

Thời gian 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
-4-

0,25


x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+

= 10 .
17
19
21
23
Bài 3: (1,5 điểm)
Tìm x biết:
2
2
( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

( 2009 − x )

2

− ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

Bài 4: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2

=

19
.
49

2010x + 2680
.

x2 + 1

Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vng góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vng.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (2 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao
·
·
·
·
·
·
cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF .
·
·
a) Chứng minh rằng: BDF = BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

-5-


ĐÁP ÁN
Câu

Than
g
điểm

Nội dung-Hướng dẫn
3
3
3
3
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z 


 
2
2
2
2
= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )



0,5

2
= ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 



Bài
1:

= 3( x + y) ( y + z) ( z + x ) .

0,5

4
2
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 )

0,25

2
2
= x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1)
2
2
= ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) .

0,5
0,25

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10
17
19
21
23
⇔
Bài
2:

x − 241
x − 220
x − 195
x − 166
−1+
−2+
−3+
−4=0
17
19
21
23

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258
+
+
+
=0
17
19
21
23
1 
1 1 1
⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ = 0
 17 19 21 23 
⇔ x = 258
⇔

0,5
0,25
0,5
0,25

Bài
3:

( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19
.
2
2
( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 49
2

2

ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 .
Đặt a = x – 2010
(a ≠ 0), ta có hệ thức:
2
( a + 1) − ( a + 1) a + a 2 = 19
a 2 + a + 1 19
⇔
=
2
( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49
⇔ 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 ⇔ 8a 2 + 8a − 30 = 0
-6-

0,25

0,5


Bài
4:

3

a=

2
2
⇔ ( 2a + 1) − 42 = 0 ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + 5 ) = 0 ⇔ 
(thoả ĐK)
5
a = −


2
4023
4015
Suy ra x =
hoặc x =
(thoả ĐK)
2
2
4023
4015

Vậy x =
và x =
là giá trị cần tìm.
2
2
2010x + 2680
A=
x2 + 1
−335x 2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015
x2 + 1
=
335(x + 3) 2
= −335 +
x2 + 1
A ≥ −335
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

0,5

0,25

0,5

0,25
0,25

C

D

F

Bài
5:

0,25

A

E

B

µ µ $
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = A = F = 90o )
Để tứ giác AEDF là hình vng thì AD là tia phân
·
giác của BAC .
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất
⇔ D là hình chiếu vng góc của A lên BC.

0,75

A

0,5

ωβ E

O
ω β

0,5

F

Bài
6:

B

α

α
-7D

C


0,25

s

s

s

·
·

·
·
·
·
a) Đặt AFE = BFD = ω, BDF = CDE = α, CED = AEF = β .
·
Ta có BAC + β + ω = 1800 (*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vng góc với BC, AC, AB
cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác
DEF.
·
·
·
⇒ OFD + OED + ODF = 90o (1)
·
·
·
Ta có OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270o (2)
(1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180o (**)
·
·
(*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
µ
µ
B = β, C = ω
⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC
⇒
5BF
5BF

5BF
 BD BA 5 


 BF = BC = 8  BD = 8
 BD = 8
 BD = 8




7CE
7CE
7CE
 CD CA 7 


=
= ⇒  CD =
⇒  CD =
⇒  CD =

8
8
8
 CE CB 8 


 AE AB 5  7AE = 5AF  7(7 − CE) = 5(5 − BF)  7CE − 5BF = 24
 AF = AC = 7 







⇒ CD − BD = 3 (3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4) ⇒ BD = 2,5.

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn tốn lớp 8
Năm học: 2013-2014
Thời gian làm bài: 150 phút
( không kể thời gian phát đề)
-8-


Bài 1: (2 điểm)

 1 − x3

1 − x2
Cho biểu thức A = 
 1 − x − x  : 1 − x − x 2 + x3



a, Rút gọn biểu thức A.

( với x ≠ 1 và x ≠ −1 )

2
3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2: (2điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x 4 +1
b) x4 + 4
c) x3 – 5x2 + 8x – 4
Bài 3: (3 điểm)
1/ Giải phương trình:
a/ x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0
b/

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+

+
= 10 .
17
19
21
23

1 1 1
+ + = 0.
x y z
yz
xz
xy
+ 2
+ 2
Tính giá trị của biểu thức: A = 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy
Bài 4 (3 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C
qua P
a/ Tứ giác AMDB là hình gì?
b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD.
Chứng minh EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng
c/ Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí của
điểm P.

2/ Cho x, y, z đôi một khác nhau và

d/ Giả sử CP ⊥ BD và CP=2,4 cm;

PD 9
=
. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
PB 16

Đáp án biểu điểm
Câu 1(2 điểm):
a/ Với x ≠ 1 và x ≠ −1 thì

1 − x3 − x + x2
(1 − x)(1 + x)
:
A=
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)

-9-


(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x)
:
=
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
2
= (1 + x ) :
(1 − x )
= (1 + x 2 )(1 − x)

5 2 
5 
2
5

b/ Tại x = − 1 = − thì A = 1 + (− ) .1 − (− )
3 
3
3
3

 25   5 
= 1 +
.1 + 
9  3

34 8 272
2
= . =
= 10
9 3 27
27
c/ / Với x ≠ 1 và x ≠ −1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1)
Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1

0,5đ

0,5đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ

Câu 2 (2 điểm):

= x5 + x 4 + 1
= x 5 + x 4 + x 3 − ( x 3 − 1)

(0,75điểm)

= x 3 ( x 2 + x + 1) − ( x − 1)( x 2 + x + 1)
= ( x 2 + x + 1)( x 3 − x + 1)
b/

x 4 + 4 = ( x 4 + 4 x 2 + 4) − 4 x 2 = ( x 2 + 2) 2 − (2 x) 2
= ( x 2 − 2 x + 2).( x 2 + 2 x + 2)

(0,75 điểm)

c/ x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4

= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
=(x–1)(x–2)2
Câu 3 (3 điểm):
a/ x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 <=>
(*)
1
3
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0

2
4
Suy ra (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
x − 5 = 0
x = 5
⇔
<=> 
x + 6 = 0
x = − 6
b/

(x

2

− x + 1 ( x − 5) ( x + 6) = 0

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10
17
19
21
23
- 10 -

)

(0,5 điểm)

(1 điểm)


x − 241
x − 220
x − 195
x − 166
−1+
−2+
−3+
−4=0
17
19
21
23
x − 258 x − 258 x − 258 x − 258
⇔
+
+
+
=0
17
19
21
23
1 
1 1 1
⇔ ( x − 258 )  + + + ÷= 0

 17 19 21 23 
⇔ x = 258
( 1 điểm)
⇔

c/

xy + yz + xz
1 1 1
+ + =0⇒
= 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz
x y z
xyz

(0,25đ )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
( 0,25điểm )
2
2
Tương tự: y +2xz = (y–x)(y–z) ; z +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
yz
xz
xy
+
+
Do đó: A =
( 0,25điểm )
( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) ( z − x )(z − y)
Tính đúng A = 1
Bài 4 (3điểm):

D

C
P

M
I

F

O

E
A
B
a/ Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD
⇒ PO là đường trung bình của tam giác CAM
⇒ AM // PO
⇒ Tứ giác AMDB là hình thang
(0,5 điểm)
b/ Do AM // BD suy ra góc OBA= góc MAE ( đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA= góc OAB
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE
cân ở I nên góc IAE= góc IEA
Từ chứng minh trên có góc FEA= góc OAB, do đó EF // AC (1)
(0,5 đ)
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1)&(2) suy ra E,F, P thẳng hàng.
(0,25 đ)
c/ Tam giác MAF đồng dạng với tam giác DBA (g.g) nên

đổi
d/ Nếu

MF AD
=
không
FA AB
(0,5 đ)

PD 9
PD PB
=
=
= k ⇒ PD = 16.k
thì
PB 16
9
16
- 11 -


Nếu CP ⊥ BD thì tam giác CBD đồng dạng với tam giác DCP (g.g)

CP PB
=
PD CP
2
2
Do đó CP 2 = PB.PD hay 2,4 = 9.16.k ⇒ k = 0,2
⇒

PD=9k=1,8 (cm)
PB= 16k= 3,2 (cm)
BD=5(cm)
Chứng minh BC 2 = BP.BD = 16
Do đó BC= 4 (cm), CD= 3(cm)

(0,75đ)

(0,25d)
(0,25d)
ĐỀ HSG KHỐI 8

Bài 1 (4 điểm)
 1 − x3

1 − x2
Cho biểu thức A = 
 1 − x − x  : 1 − x − x 2 + x 3 với x khác -1 và 1.



a, Rút gọn biểu thức A.
2
3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
2
2

2
Bài 2 (3 điểm) Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ) . Chứng minh rằng a = b = c
.
Bài 3 (3 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + y2 − x − y = 8

Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2a 3 + 3a 2 − 4a + 5 .
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo
thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O
và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1
1
2
b, Chứng minh rằng AB + CD = MN .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

- 12 -


Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
A=

0,5đ

1− x − x + x
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)
3

2

0,5đ

(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x )
:
=
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
2
= (1 + x ) : (1 − x)

0,5đ
0,5đ

= (1 + x 2 )(1 − x)
b, (1 điểm)
2

5
= − thì A =
3
3
25
5
= (1 + )(1 + )
9
3
34 8 272
2
= . =
= 10
9 3 27
27

Tại x = − 1

0,25đ

5 2 
5 

1 + (− 3 )  − 1 − ( − 3 ) 

 


0,25đ
0,5đ

c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1)
Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1
KL

0,25đ
0,5đ
0,25đ

Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được

0,5đ

a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc
Biến đổi để có (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Biến đổi để có (a − b) 2 + (b − c) 2 + (a − c) 2 = 0 (*)
Vì (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ;
Từ đó suy ra a = b = c

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Bài 3 (3 điểm)
(1) ⇔ 4 x 2 + 4 y 2 − 4 x − 4 y = 32

0,5đ
- 13 -


⇔ (4 x 2 + 4 x + 1) + (4 y 2 − 4 y + 1) = 34
⇔| 2 x − 1 |2 + | 2 y − 1 |2 = 32 + 52

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành
tồng của hai số chính phương 32 ,52 . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả
năng:
| 2 x − 1 |= 3

| 2 x − 1 |= 5
hoặc 

| 2 y − 1 |= 5
| 2 y − 1 |= 3
Giải các hệ trên ⇒ phương trình (1) có bốn nghiệm ngun là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( − 1 ;
− 2), ( − 2 ; − 1)

Bài 4 (2 điểm)
0,5đ

Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3
Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a − 1) 2 ≥ 0∀a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a do đó

0,5đ
0,5đ

(a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1
KL
B
Bài 5 (3 điểm)

0,25đ
0,25đ

N

M

A

D

I

a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
b,(2điểm)
4 3
8 3
cm ; BD = 2AD =
cm
3
3
1
4 3
AM = BD =
cm
2
3
4 3
Tính được NI = AM =
cm
3

Tính được AD =

- 14 -

C

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ


0,5đ

1
8 3
4 3
cm , MN = DC =
cm
2
3
3
8 3
Tính được AI =
cm
3

DC = BC =

0,5đ

B

A
O

M

N

Bài 6 (5 điểm)
C

D

a, (1,5 điểm)
0,5đ

OM OD
ON OC
=
=
,
AB BD
AB AC
OD OC
=
Lập luận để có
DB AC
OM ON
⇒

⇒ OM = ON
=
AB
AB

Lập luận để có

0,5đ
0,5đ

b, (1,5 điểm)
0,5đ

OM DM
OM AM
=
=
(1), xét ∆ADC để có
(2)
AB
AD
DC
AD
1
1
AM + DM AD
+
=
=1
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(

)=
AB CD
AD
AD
1
1
) =1
Chứng minh tương tự ON. ( +
AB CD
1
1
1
1
2
)=2 ⇒
+
=
từ đó có (OM + ON). ( +
AB CD
AB CD MN

Xét ∆ABD để có

0,5đ
0,5đ

b, (2 điểm)
S AOB OB S BOC OB
S
S

=
=
⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
, S
S AOD OD
OD
S AOD S DOC
DOC

0,5đ

Chứng minh được S AOD = S BOC

0,5đ
0,5đ

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD )

2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị
DT)

0,5đ

ĐỀ HSG KHỐI 8
Bài 1(1 điểm): Giải phương trình
a) x2 – 4x + 4 = 25

b)

x − 17 x − 21 x + 1
+
+
=4
1990
1986 1004

1

1

1

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và x + y + z = 0 .
Tính giá trị của biểu thức:

A=

yz
xz
xy
+ 2
+ 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2 xy
2

- 15 -

c) 4x – 12.2x + 32 = 0


Bài 3 (1,5 điểm) :Tìm hai số x, y nguyên thỏa mãn: x − xy = 7x − 2y − 15
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

HA' HB' HC'
+
+
AA' BB' CC'

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
(AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
AA' 2 + BB' 2 + CC' 2

Câu
1

ĐÁP ÁN
Nội dung
a) Tính đúng x = 7; x = -3
b) Tính đúng x = 2007
c)
4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0
⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0
⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0

⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2

Bài (3 điểm):
(điểm )
(điểm )
- 16 -

Điểm
1
1
0,25
0,25
0,25
0,25


( 0,25điểm )
• Bài 2(1,5 điểm):
1 1 1
xy + yz + xz
+ + =0⇒
= 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x y z
xyz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó: A =

yz

xz
xy
+
+
( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) ( z − x )(z − y)

Tính đúng A = 1

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,5 điểm )

• Bài 3(1,5 điểm):
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S HBC 2
HA'
=
=
a)
;
S ABC 1
AA'
.AA'.BC
2
(0,25điểm)
Tương tự:

S HAB HC' S HAC HB'
=
=
;
S ABC CC' SABC BB'

(0,25điểm)
HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC
+
+
=
+
+
=1
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
=
;
=
;
=
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.
=
. . =
. =1

IC NB MA AC BI AI AC BI
⇒ BI .AN.CM = BN.IC.AM
c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
- 17 -

(0,25điểm)

(0,5điểm )
(0,5điểm )
(0,5điểm )
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)


Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2
⇔
≥ 4 (0,25điểm)
AA'2 + BB'2 + CC'2
Đẳng thức xảy ra ⇔ = AC, AC = AB, AB = BC
BC

⇔ = AC =BC ⇔ABC đều
∆
AB
Kết luận đúng
(0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
MƠN: TỐN 8
Thời gian làm bài: 150 phút
( Khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :


x2 −1
1 

− 2
4
2

 x − x + 1 x + 1

M= 


 4 1 − x4
x +


1+ x2







a) Rút gọn
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
4 x 3 − 3x 2 + 2 x − 83
A=
x−3

Bài 3 : 2 điểm
Giải phương trình :
a) x2 - 2005x - 2006 = 0
b) x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9
Bài 4 : (3đ) Cho hình vng ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vng
góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng
qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
b) ∆ AKF ~ ∆ CAF và AF2 = FK.FC
c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không
đổi .
Bài 5 : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120
chia hết cho 24
- 18 -

..................................................................

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
MƠN: TỐN 8

Bài 1 :
a) M

( x 2 − 1)( x 2 + 1) − x 4 + x 2 − 1 4
x 4 −1 − x 4 + x 2 −1 x 2 − 2
( x +1-x2) =
= 2
=
( x 4 − x 2 + 1)( x 2 + 1)
x 2 +1
x +1

b) Biến đổi : M = 1 -

3
3
. M bé nhất khi 2
lớn nhất ⇔ x2+1 bé nhất ⇔ x2 = 0 ⇔
x +1
x +1
2

x = 0 ⇒ M bé nhất = -2
Bài 2 : Biến đổi A = 4x2+9x+ 29 +

4
4
⇔ A ∈Z ⇔
∈ Z ⇔ x-3 là ước của 4
x −3
x −3

⇔ x-3 = ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ⇔ x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7

Bài 3 : a) Phân tích vế trái bằng (x-2006)(x+1) = 0
⇔ (x-2006)(x+1) = 0 ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2006
c) Xét pt với 4 khoảng sau :
x< 2 ; 2 ≤ x < 3 ; 3 ≤ x < 4 ; x ≥ 4
Rồi suy ra nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 5,5
Bài 4 :
a) ∆ ABE = ∆ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF
∆ AEF vuông cân tại tại A nên AI ⊥ EF .
∆ IEG = ∆ IEK (g.c.g) ⇒ IG = IK .
Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường và
vuông góc nên hình EGFK là hình thoi .
b) Ta có :
- 19 -


KAF = ACF = 450 , góc F chung
AF KF

=
⇒ AF 2 = KF .CF
∆ AKI ~ ∆ CAF (g.g) ⇒
CF AF
d) Tứ giác EGFK là hình thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE

Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) .
Bài 5 : Biến đổi :
B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120
Suy ra B  24
================================
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN: TỐN 8
Thời gian làm bài: 150 phút ( khơng kể giao đề)
Bài 1: (2đ)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x3 + 3x - 4
b, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +1
Bài 2: (2đ)
Cho biểu thức: P =

2  x2
x2 − y2
y 2  x 2 − xy + y 2
− 2
+
− 2
(với x ≠ 0, y ≠ 0 & x ≠ y )
÷:
x  x − xy

xy
x− y
y − xy 

a, Rút gọn P
b, Biết x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 – 8xy - 2x + 5y2 - 2y + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức
P
Bài 3: (2đ)
Giải các phương trình sau:
a, 2x2 + 5x + 3 = 0
b,

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x
+
+
+
= 10
25
23
21
19

Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi D và E theo
thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.
a, Chứng minh rằng AD.AB = AE.AC.
b, Chứng minh rằng AM vng góc với DE.
c, Tam giác ABC phải có điều kiện gì để diện tích tứ giác ADHE bằng nửa diện tích tam
giác ABC
- 20 -

Bài 5: (1đ)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz.
Chứng minh rằng x = y = z.

ĐÁP ÁN :
Bài 1:
a, x3 + 3x - 4 = x3– x2 + x2 – x + 4x – 4

0,25đ

= (x3– x2) + (x2 – x) + (4x – 4)

0,25đ

= x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1)

0,25đ

= (x – 1)(x2 + x + 4)

0,25đ

b, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +1 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) +1

0,25đ

Đặt y = x2 + 5x + 4 ta được: y(y + 2) + 1 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2

0,5đ

Suy ra (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +1 = (x2 + 5x + 4)2

0,25đ

Bài 2:
2  x2
x2 − y2
y 2  x 2 − xy + y 2
− 2
+
− 2
a, P =
(với x ≠ 0, y ≠ 0 & x ≠ y )
÷:
x  x − xy
xy
x− y
y − xy 
2  x2
x2 − y2
y 2  x 2 − xy + y 2
= −
+
+
:
x  x(x − y )
xy
y( x − y) 

x− y
=

0,25đ

2 x 2 y + (x 2 − y 2 ) − xy 2 x 2 − xy + y 2
−
:
x
xy(x − y )
x− y

2 ( x + y )(x 2 − xy + y 2 )
x− y
−
. 2
x
xy(x − y )
x − xy + y 2
2 x + y 2y − x − y y − x
= −
=
=
x
xy
xy
xy
=

0,25đ

0,5đ

b, Ta có: 5x2 – 8xy - 2x + 5y2 - 2y + 2 = 0
⇔ (4x2 – 8xy + 4y2) + (x2 - 2x + 1) (y2 - 2y + 1) = 0

- 21 -


⇔ 4(x – y)2 + (x – 1)2 + (y – 1)2 = 0

0,25đ

⇔ x – y = 0, x – 1 = 0 và y – 1 = 0
⇔x=y=1

0,25đ

Thay vào biểu thức P ta được:
P=

1−1
=0
1.1

0,25đ

Vậy với x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 – 8xy - 2x + 5y2 - 2y + 2 = 0 thì P = 0

0,25đ

Bài 3:
a, 2x2 + 5x + 3 = 0
⇔ (x + 1)(x + 2) = 0

0,25đ

⇔ x + 1 = 0 hoặc x + 2 = 0

0,25đ

⇔ x = -1 hoặc x = - 2

0,25đ

Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {-2; -1}

0,25đ

b,

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x
+
+
+
= 10
25
23
21
19

 148 − x   169 − x
  186 − x
  199 − x

− 1÷ + 
− 2 ÷+ 
− 3 ÷+ 
− 4÷= 0

 25
  23
  21
  19


0,25đ

123 − x 123 − x 123 − x 123 − x
+
+
+
=0
25
23
21
19
1
1
1
 1

⇔ (123 − x)  +
+ + ÷= 0
 25 23 21 19 
1
1
1
1
⇔ 123 − x = 0.(vì +
+ +
≠ 0)
25 23 21 19

0,25đ

⇔ x = 123

0,25đ

Vậy phương trình cú tp nghim: S = {123}
Bi 4:

0,25



A
1

E

K
D

1

1
1

B

H

ả
ả
à
a, à = D = C = 900 ⇒ AEHD là hình chữ nhật ⇒ D1 = H1 = C
A µ µ

- 22 -

M

C

0,5đ


⇒ ∆ADE : ∆ACB( g .g ) ⇒

AD AE

=
⇒ AD. AB = AE. AC
AC AB

0,5

ả
Ã
A à ả
A Ã
b, Ta cú D1 = µ1 (= C ), D1 + DAK = µ1 + DAK = 900

0,5đ

⇒·
AKD = 900 ⇒ AM ⊥ DE

0,5đ

1
2

1
4

1
2

c, S ADHE = S ABC ⇔ S ADE = S ACB (vì S ADE = S ADHE )
2

⇔

S ADE 1
1
 DE 
= ⇔
(vì ∆ADE : ∆ACB )
÷ =
S ACB 4
4
 BC 

DE 1
1
= ⇔ DE = AM (vì AM = BC)
BC 2
2

0,5đ

⇔ AH = AM ( vì DE = AH)
⇔ AH, AM trùng nhau
⇔ Tam giác ABC vuông cân tại A

0,5đ

Bài 5
Ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz ⇔ (x + y)(y + z)(z + x) - 8xyz= 0
⇔ xy2 + xz2 + yz2 + y x2 + zx2 + zy2 – 6xyz = 0

⇔ ( xy2 - 2xyz + xz2) + (yz2 – 2xyz + y x2) + (zx2 – 2xyz + zy2) = 0
⇔ x(y – z)2 + y(z – x)2 + z(x – y)2 = 0

0,25đ

Vì x, y, z là các số dương nên (y – z)2 + (z – x)2 + (x – y)2 = 0

0,25đ

⇔x=y=z

0,5đ

(Chú ý: Các cách giải khác nếu đúng cho điểm tương ứngvới từng phần)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2013 – 2014
Mơn: Tốn 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2đ)
- 23 -


Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x 4 + 4
b, ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) − 24
Bài 2: (2đ)
Cho biểu thức :

A =(

2 +x
4x2
2 −x
x 2 −3 x
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3

d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
e) Tìm giá trị của x để A > 0?
f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Bài 3: (2đ)
Giải các phương trình sau:
a, x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0
b,

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
2

Bi 4: (3)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay
quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E . Chứng
minh :
a) BD.CE = BC

2

4

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Bi 5: (1)
a. Cho 3 s dng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011

ĐÁP ÁN :
- 24 -

1 1 1
+ + ≥9
a b c


Bài 1: 2 đ
a, x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

0,25đ
0,25đ
0,5đ

b, ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) – 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) – 24

0,25đ
0,25đ

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] – 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52

0,25đ

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

0,25đ

Bài 2: 2đ
A=(

2+ x
4x2
2− x
x 2 − 3x
− 2
−

):( 2
)
2− x x −4 2+ x
2 x − x3

a, ĐKXĐ :
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2
3
2 x − x ≠ 0

A=(
=

0,25đ

2+ x
4x2
2− x

x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
− 2
−
):( 2
)=
.
2− x x −4 2+ x
(2 − x)(2 + x)
x( x − 3)
2 x − x3

0,25đ

4 x2 + 8x
x(2 − x )
4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
.
=
=
(2 − x)(2 + x) x − 3
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3
4x 2
.
x −3

0,25đ

4x2

>0
x −3

0,25đ

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =
b, Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

0,25

0,25đ

⇔ x − 3 > 0 ⇔ x > 3(TMDKXD)

Vậy với x > 3 thì A > 0.
x − 7 = 4
 x = 11(TM )
⇔
 x − 7 = −4
 x = 3( KTM )

c, x − 7 = 4 ⇔ 

Với x = 11 thì A =

4.112 121
=
11 − 3
2

0,25đ
0,25đ

- 25 -