200 câu bài tập tích phân - Trần Sỹ Tùng pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.05 MB, 44 trang )
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 1
TP1: TCH PHN HM S HU T
Dng 1: Tỏch phõn thc
Cõu 1.
x
Idx
xx
2
2
2
1
712
=
-+
ũ
ã
Idx
xx
2
1
169
1
43
ổử
=+-
ỗữ
ốứ
ũ
=
( )
xxx
2
1
16ln49ln3+ = 125ln216ln3+
Cõu 2.
dx
I
xx
2
53
1
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
x
xxxx
3232
111
(1)1
=-++
++
ị
Ixx
x
2
2
2
11313
lnln(1)ln2ln5
2228
1
2
ộự
= ++=-++
ờỳ
ởỷ
Cõu 3.
x
Idx
xxx
5
2
32
4
31
256
+
=
+
ũ
ã
I
2413714
lnlnln2
331565
=-++
Dng 2: i bin s
Cõu 4.
x
Idx
x
2
4
(1)
(21)
-
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
fx
xx
2
111
()
32121
Â
ổửổử
=
ỗữỗữ
++
ốứốứ
ị
x
IC
x
3
11
921
ổử
-
=+
ỗữ
+
ốứ
Cõu 5.
( )
( )
x
Idx
x
99
1
101
0
71
21
-
=
+
ũ
ã
( )
xdxxx
Id
xxx
x
9999
11
2
00
7117171
2192121
21
ổửổửổử
==
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ
+
ũũ
x
x
100
100
11711
1
21
0
910021900
ổử
-
ộự
=ì=ở-ỷ
ỗữ
+
ốứ
Cõu 6.
x
Idx
x
1
22
0
5
(4)
=
+
ũ
ã
t tx
2
4=+
ị
I
1
8
=
Cõu 7.
Idx
xx
4
3
4
1
1
(1)
=
+
ũ
ã
t tx
2
=
ị
t
Idt
t
t
3
2
1
1113
ln
242
1
ổử
=-=
ỗữ
+
ốứ
ũ
Cõu 8.
dx
I
xx
3
62
1
(1)
=
+
ũ
www.
laisac.
pag
e.
tl
2
2
0
0
0
0
C
C
U
U
T
T
C
C
H
H
P
P
H
H
N
N
Trn
S
Tựn
g
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 2
ã
t : x
t
1
=
ị
t
Idtttdt
tt
3
1
6
3
42
22
1
3
3
1
1
11
ổử
=-=-+-
ỗữ
++
ốứ
ũũ
=
117413
13512
p
-
+
Cõu 9.
dx
I
xx
2
102
1
.(1)
=
+
ũ
ã
xdx
I
xx
2
4
5102
1
.
.(1)
=
+
ũ
. t
tx
5
=
ị
dt
I
tt
32
22
1
1
5
(1)
=
+
ũ
Cõu 10.
x
Idx
x
1
7
25
0
(1)
=
+
ũ
ã
t txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idt
t
2
3
55
1
1(1)11
.
24
2
-
==
ũ
Cõu 11.
x
Idx
xx
2
7
7
1
1
(1)
-
=
+
ũ
ã
xx
Idx
xx
2
76
77
1
(1).
.(1)
-
=
+
ũ
. t
tx
7
= ị
t
Idt
tt
128
1
11
7(1)
-
=
+
ũ
Cõu 12.
x
Idx
x
2
2001
21002
1
.
(1)
=
+
ũ
ã
x
Idxdx
xx
x
x
22
2004
3210021002
11
3
2
1
(1)
1
1
==
+
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũũ
. t
t dtdx
xx
23
12
1=+ị=-
.
Cỏch 2: Ta cú:
xxdx
I
xx
1
2000
2200022
0
1.2
2
(1)(1)
=
++
ũ
. t
txdtxdx
2
12=+ị=
ị
t
Idtd
tt
tt
1000
22
1000
100021001
11
1(1)1111
11
22
2002.2
ổửổử
-
== =
ỗữỗữ
ốứốứ
ũũ
Cõu 13.
Ixxdx
1
536
0
(1)=-
ũ
ã
t
dttt
txdtxdxdxIttdt
x
1
78
326
2
0
111
13(1)
3378168
3
ổử
-
=-ị=-ị=ị=-=-=
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 14.
xdx
I
x
1
03
(1)
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
xx
xx
23
33
11
(1)(1)
(1)(1)
+-
==+-+
++
Ixxdx
1
23
0
1
(1)(1)
8
ộự
ị=+-+=
ởỷ
ũ
Cõu 15.
x
Idx
x
2
2
4
1
1
1
+
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
. t
txdtdx
x
x
2
11
1
ổử
=-ị=+
ỗữ
ốứ
ị
dt
Idt
tt
t
33
22
2
11
111
2222
2
ổử
==-
ỗữ
-+
-
ốứ
ũũ
t
t
3/2
12121
.lnln
1
2222221
ổử
==
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 3
Câu 16.
x
Idx
x
2
2
4
1
1
1
-
=
+
ò
·
Ta có:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
-
-
=
+
+
. Đặt
txdtdx
x
x
2
11
1
æö
=+Þ=-
ç÷
èø
Þ
dt
I
t
5
2
2
2
2
=-
+
ò
.
Đặt
du
tudt
u
2
2tan2
cos
=Þ=
; uuuu
12
55
tan2arctan2;tanarctan
22
=Þ==Þ=
Þ
u
u
Iduuu
2
1
21
2225
()arctanarctan2
2222
æö
==-=-
ç÷
èø
ò
Câu 17.
x
Idx
x
1
4
6
0
1
1
+
=
+
ò
·
Ta có:
xxxxxxxx
xxxxxxxx
44224222
66242626
1(1)11
11(1)(1)111
+-++-+
==+=+
+++-++++
Þ
dx
Idxdx
xx
11
3
232
00
11()1
34343
1()1
ppp
=+=+=
++
òò
Câu 18.
x
Idx
xx
2
2
3
1
1-
=
+
ò
·
Ta có:
x
Idx
x
x
2
2
1
1
1
1
-
=
+
ò
. Đặt
tx
x
1
=+
Þ
I
4
ln
5
=
Câu 19.
xdx
I
xx
1
42
0
1
=
++
ò
.
·
Đặt tx
2
=
Þ
dtdt
I
tt
t
11
22
2
00
11
22
63
1
13
22
p
===
++
æö
æö
++
ç÷
ç÷
èøèø
òò
Câu 20.
x
Idx
xx
15
2
2
42
1
1
1
+
+
=
-+
ò
·
Ta có:
x
x
xx
x
x
2
2
42
2
2
1
1
1
1
1
1
+
+
=
-+
+-
. Đặt
txdtdx
x
x
2
11
1
æö
=-Þ=+
ç÷
èø
Þ
dt
I
t
1
2
0
1
=
+
ò
. Đặt
du
tudt
u
2
tan
cos
=Þ=
Þ
Idu
4
0
4
p
p
==
ò
Câu 21.
x
Idx
x
3
2
3
4
0
1
=
-
ò
·
x
Idxdx
xxxx
33
2
33
2222
00
1111
ln(23)
2412
(1)(1)11
p
æö
==+=-+
ç÷
-+-+
èø
òò
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
Idx
xx
2
391
=
+-
ò
·
x
Idxxxxdxxdxxxdx
xx
222
2
(391)391
391
== =
+-
òòòò
+IxdxxC
23
11
3==+
ò
+
Ixxdx
2
2
91=-
ò
xdxxC
3
222
2
2
11
91(91)(91)
1827
= =-+
ò
Þ
IxxC
3
23
2
1
(91)
27
=-++
Câu 2.
xx
Idx
xx
2
1
+
=
+
ò
·
xx
dx
xx
2
1
+
+
ò
xx
dxdx
xxxx
2
11
=+
++
òò
.
+
x
Idx
xx
2
1
1
=
+
ò
. Đặt t= xxtxx
2
11+Û-= xt
322
(1)Û=- xdxttdt
22
4
(1)
3
Û=-
Þ
tdtttC
23
444
(1)
393
-=-+
ò
=
( )
xxxxC
3
1
44
11
93
+-++
+
x
Idx
xx
2
1
=
+
ò
=
dxx
xx
2(1)
3
1
+
+
ò
=
xxC
2
4
1
3
++
Vậy:
( )
IxxC
3
4
1
9
=++
Câu 3.
x
Idx
x
4
0
21
121
+
=
++
ò
·
Đặt tx21=+. I =
t
dt
t
3
2
1
2ln2
1
=+
+
ò
.
Câu 4.
dx
I
xx
6
2
2141
=
+++
ò
·
Đặt tx41=+. I
31
ln
212
=-
Câu 5.
Ixxdx
1
32
0
1=-
ò
·
Đặt: tx
2
1=-
Þ
( )
Ittdt
1
24
0
2
15
=-=
ò
.
Câu 6.
x
Idx
x
1
0
1
1
+
=
+
ò
·
Đặt tx=
Þ
dxtdt2.= . I =
tt
dt
t
1
3
0
2
1
+
+
ò
= ttdt
t
1
2
0
2
22
1
æö
-+-
ç÷
+
èø
ò
=
11
4ln2
3
- .
Câu 7.
x
Idx
xx
3
0
3
313
-
=
+++
ò
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 5
·
Đặt txtdudx12=+Þ=
Þ
tt
Idttdtdt
t
tt
222
3
2
111
281
(26)6
1
32
-
==-+
+
++
òòò
3
36ln
2
=-+
Câu 8.
Ixxdx
0
3
1
1
-
=+
ò
·
Đặt
tt
txtxdxtdtItdt
1
1
74
323
3
0
0
9
1133(1)3
7428
æö
=+Þ=+Þ=Þ=-=-=-
ç÷
èø
ò
Câu 9.
x
Idx
xx
5
2
1
1
31
+
=
+
ò
·
Đặt
tdt
txdx
2
31
3
=+Þ=
Þ
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3
æö
-
+
ç÷
ç÷
èø
=
-
ò
dt
tdt
t
44
2
2
22
2
(1)2
9
1
=-+
-
òò
t
tt
t
3
44
2111009
lnln.
931275
22
æö
-
=-+=+
ç÷
+
èø
Câu 10.
xx
Idx
x
3
2
0
21
1
+-
=
+
ò
·
Đặt xtxt
2
11+=Û=-
Þ
dxtdt2=
Þ
ttt
Itdt ttdtt
t
2
22
2225
423
1
11
2(1)(1)1454
22(23)2
55
æö
-+
==-=-=
ç÷
èø
òò
Câu 11.
xdx
I
xx
1
2
0
2
(1)1
=
++
ò
·
Đặt txtxtdtdx
2
112
=+Þ=+Þ=
tt
Itdttdtt
tt
t
2
2
22
223
3
1
11
(1)1116112
.2222
33
æö
æö
Þ==-= =
ç÷
ç÷
èøèø
òò
Câu 12.
( )
x
Idx
x
4
2
0
1
112
+
=
++
ò
·
Đặt
dx
txdtdxtdt
x
112(1)
12
=++Þ=Þ=-
+
và
tt
x
2
2
2
-
=
Ta có: I =
tttttt
dtdttdt
t
ttt
444
232
222
222
1(22)(1)1342142
3
222
æö
-+ +-
==-+-
ç÷
èø
òòò
=
t
tt
t
2
12
34ln
22
æö
-++
ç÷
ç÷
èø
=
1
2ln2
4
-
Câu 13.
x
Idx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ò
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 6
ã
x
Idx
xx
8
22
3
1
11
ổử
=-
ỗữ
ỗữ
++
ốứ
ũ
=
( )
xxx
8
22
3
1ln1
ộự
+-++
ởỷ
=
( ) ( )
1ln32ln83++-+
Cõu 14. Ixxxdx
1
32
0
(1)2=
ũ
ã
Ixxxdxxxxxxdx
11
3222
00
(1)2(21)2(1)= =-+
ũũ
. t txx
2
2=-
ị
I
2
15
=- .
Cõu 15.
xxx
Idx
xx
2
32
2
0
23
1
-+
=
-+
ũ
ã
xxx
Idx
xx
2
2
2
0
()(21)
1
=
-+
ũ
. t
txx
2
1=-+ Itdt
3
2
1
4
2(1)
3
ị=-=
ũ
.
Cõu 16.
xdx
I
x
2
3
3
2
0
4
=
+
ũ
ã
t txxtxdxtdt
3
2232
4423=+ị=-ị=
ị
Ittdt
3
2
4 3
4
338
(4)42
225
ổử
=-=-+
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 17.
dx
I
xx
1
2
1
11
-
=
+++
ũ
ã
Ta cú:
xxxx
Idxdx
x
xx
11
22
22
11
1111
2
(1)(1)
+-++-+
==
+-+
ũũ
x
dxdx
xx
11
2
11
111
1
22
ổử
+
=+-
ỗữ
ốứ
ũũ
+
Idxxx
x
1
1
11
1
111
1ln|1
22
-
-
ổử
ộự
=+=+=
ỗữ
ởỷ
ốứ
ũ
+
x
Idx
x
1
2
2
1
1
2
-
+
=
ũ
. t
txtxtdtxdx
222
1122=+ị=+ị=
ị
I
2
=
tdt
t
2
2
2
2
0
2(1)
=
-
ũ
Vy:
I 1= .
Cỏch 2
: t txx
2
1=++.
Cõu 18.
( )
xx
Idx
x
1
3
3
1
4
1
3
-
=
ũ
ã
Ta cú: Idx
xx
1
1
3
23
1
3
11
1.
ổử
=-
ỗữ
ốứ
ũ
. t
t
x
2
1
1=-
ị
I 6= .
Cõu 19.
x
Idx
x
2
2
1
4 -
=
ũ
ã
Ta cú:
x
Ixdx
x
2
2
2
1
4 -
=
ũ
. t t =
xtxtdtxdx
222
44-ị=-ị=-
ị
I =
ttdttt
dtdtt
t
ttt
0
000
2
222
3
333
()42
(1)ln
2
444
ổử
==+=+
ỗữ
+
ốứ
ũũũ
=
23
3ln
23
ổử
-
ỗữ
-+
ỗữ
+
ốứ
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 7
Cõu 20.
x
Idx
xx
25
22
2
(1)5
=
++
ũ
ã
t tx
2
5=+
ị
dt
I
t
5
2
3
115
ln
47
4
==
-
ũ
.
Cõu 21.
x
Idx
xx
27
3
2
1
2-
=
+
ũ
ã
t tx
6
=
ị
tt
Idtdt
t
tttt
33
3
222
11
2221
551
(1)11
ộự
-
==-+-
ờỳ
+++
ởỷ
ũũ
25
531ln
312
p
ổử
=-+-
ỗữ
ốứ
Cõu 22.
Idx
xx
1
2
0
1
1
=
++
ũ
ã
t txxx
2
1=+++
ị
dt
It
t
13
13
1
1
2323
ln(21)ln
213
+
+
+
==+=
+
ũ
Cõu 23.
x
Idx
xx
3
2
22
0
(11)(21)
=
++++
ũ
ã
t xt21++=
ị
Itdt
t
t
4
2
3
42364
2161242ln
3
ổử
=-+-=-+
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 24.
x
Idx
xxxx
3
2
0
2(1)211
=
+++++
ũ
ã
t tx1=+
ị
ttdt
Itdt
tt
22
22
2
2
11
2(1)
2(1)
(1)
-
==-
+
ũũ
t
2
3
1
22
(1)
33
=-=
Cõu 25.
xxx
Idx
x
3
22
3
4
1
2011-+
=
ũ
ã
Ta cú:
x
IdxdxMN
xx
3
2222
2
33
11
1
1
2011
-
=+=+
ũũ
x
Mdx
x
3
22
2
3
1
1
1-
=
ũ
. t t
x
3
2
1
1=-
ị
Mtdt
3
7
3
2
3
0
3217
2128
-
=-=-
ũ
Ndxxdx
xx
22
2222
3
32
11
1
2011201114077
2011
16
2
-
ộự
===-=
ờỳ
ởỷ
ũũ
ị
I
3
14077217
16128
=
Cõu 26.
dx
I
xx
1
3
33
0 (1).1
=
++
ũ
ã
t tx
3
3
1=+
ị
tdt
Idt
tttt
33
22
2
22
11
4323
33
.(1).(1)
==
ũũ
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 8
dtdt
t
dt
t
t
tt
t
t
333
2
3
222
3
224
111
33
4
23
3
3
1
1
1
1
1
.1
-
ổử
-
ỗữ
ốứ
===
ộựổử
ổử
-
-
ỗữ
ờỳ
ỗữ
ốứ
ốứ
ởỷ
ũũũ
t
dt
udu
tt
34
13
1=-ị=
ị
uu
Iduuduu
1
1
11
21
2
21
2
22
33
33
3
00
0
0
111
1
333
2
3
-
-
ổử
ỗữ
=====
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ũũ
Cõu 27.
x
Idx
xx
x
22
4
2
3
1
1
=
ổử
-+
ỗữ
ốứ
ũ
ã
t tx
2
1=+
ị
t
Idt
t
3
22
2
2
(1)
2
-
=
-
ũ
=
tt
dttdtdt
tt
333
42
2
22
222
21119242
ln
34
42
22
ổử
-++
=+=+
ỗữ
ỗữ
-
ốứ
ũũũ
Dng 2: i bin s dng 2
Cõu 28.
( )
x
Ixxdx
x
1
0
1
2ln1
1
ổử
-
ỗữ
=-+
ỗữ
+
ốứ
ũ
ã
Tớnh
x
Hdx
x
1
0
1
1
-
=
+
ũ
. t
xttcos;0;
2
p
ộự
=ẻ
ờỳ
ởỷ
ị
H 2
2
p
=-
ã
Tớnh Kxxdx
1
0
2ln(1)=+
ũ
. t
ux
dvxdx
ln(1)
2
ỡ
=+
ớ
=
ợ
ị
K
1
2
=
Cõu 29.
Ixxxdx
2
522
2
()4
-
=+-
ũ
ã
I = xxxdx
2
522
2
()4
-
+-
ũ
=
xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
+
xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
= A + B.
+ Tớnh A =
xxdx
2
52
2
4
-
-
ũ
. t tx=- . Tớnh c: A = 0.
+ Tớnh B = xxdx
2
22
2
4
-
-
ũ
. t xt2sin= . Tớnh c: B = 2
p
.
Vy:
I 2
p
= .
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 9
Cõu 30.
(
)
xdx
I
x
2
2
4
1
34
2
=
ũ
ã
Ta cú:
x
Idxdx
xx
22
2
44
11
34
22
-
=-
ũũ
.
+ Tớnh I
1
=
dx
x
2
4
1
3
2
ũ
=
xdx
2
4
1
37
216
-
=
ũ
.
+ Tớnh
x
Idx
x
2
2
2
4
1
4
2
-
=
ũ
. t
xtdxtdt2sin2cos=ị= .
ị
tdt
Itdttdt
tt
2
222
22
2
42
666
1cos1113
cotcot.(cot)
8888
sinsin
ppp
ppp
ổử
===-=
ỗữ
ốứ
ũũũ
Vy:
( )
I
1
723
16
=
Cõu 31.
xdx
I
x
1
2
6
0
4
=
-
ũ
ã
t txdtxdx
32
3=ị=
ị
dt
I
t
1
2
0
1
3
4
=
-
ũ
.
t
tuudtudu2sin,0;2cos
2
p
ộự
=ẻị=
ờỳ
ởỷ
ị
Idt
6
0
1
318
p
p
==
ũ
.
Cõu 32.
x
Idx
x
2
0
2
2
-
=
+
ũ
ã
t xtdxtdt2cos2sin=ị=-
ị
t
Idt
2
2
0
4sin2
2
p
p
==-
ũ
.
Cõu 33.
xdx
I
xx
1
2
2
0
32
=
+-
ũ
ã
Ta cú:
xdx
I
x
1
2
22
0 2(1)
=
ũ
. t xt12cos-= .
ị
tt
Idt
t
2
2
2
2
3
(12cos)2sin
4(2cos)
p
p
+
=-
-
ũ
=
( )
ttdt
2
3
2
34cos2cos2
p
p
++
ũ
=
33
4
22
p
+-
Cõu 34. xxdx
1
2
2
0
121
ũ
ã
t xtsin=
ị
Itttdt
6
0
31
(cossin)cos
1288
p
p
=-=+-
ũ
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 10
Dng 3: Tớch phõn tng phn
Cõu 35. Ixdx
3
2
2
1=-
ũ
ã
t
x
dudx
ux
x
dvdx
vx
2
2
1
1
ỡ
ỡ
=
ùù
=-
ị
ớớ
-
=
ù
ợù
=
ợ
x
Ixxxdxxdx
xx
33
22
22
22
3
1
1.521
2
11
ộự
ị= = +
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũũ
dx
xdx
x
33
2
2
22
521
1
=
-
ũũ
Ixx
23
2
52ln1= +-
ị
( )
I
521
ln21ln2
24
=-++
Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x
t
1
cos
= vỡ
[ ]
2;31;1
ộự
ẽ-
ởỷ
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 11
TP3: TCH PHN HM S LNG GIC
Dng 1: Bin i lng giỏc
Cõu 1.
xx
Idx
xx
2
8cossin23
sincos
=
-
ũ
ã
( )
xxx
Idxxxxxdx
xx
2
(sincos)4cos2
sincos4(sincos
sincos
-+
ộự
== +
ởỷ
-
ũũ
xxC3cos5sin=-+.
Cõu 2.
xxx
Idx
x
cottan2tan2
sin4
=
ũ
ã
Ta cú:
xxxx
IdxdxdxC
xxx
x
2
2cot22tan22cot4cos41
2
sin4sin42sin4
sin4
-
====-+
ũũũ
Cõu 3.
x
Idx
xx
2
cos
8
sin2cos22
p
ổử
+
ỗữ
ốứ
=
++
ũ
ã
Ta cú:
x
Idx
x
1cos2
1
4
22
1sin2
4
p
p
ổử
++
ỗữ
ốứ
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
ũ
x
dx
dx
x
xx
2
cos2
1
4
22
1sin2
sincos
4
88
p
p
pp
ổ
ử
ổử
ỗ
ữ
+
ỗữ
ỗ
ữ
ốứ
=+
ỗ
ữ
ổử
ộự
ổửổử
ỗ
ữ
++
ỗữ
+++
ỗữỗữ
ờỳ
ữ
ốứ
ỗ
ốứốứ
ởỷ
ứ
ố
ũũ
x
dx
dx
xx
2
cos2
11
4
2
3
22
1sin2sin
48
p
pp
ổ
ử
ổử
+
ỗ
ỗữ
ữ
ốứ
ỗ
ữ
=+
ổửổử
ỗ
ữ
+++
ỗữ
ỗữ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
ứ
ố
ũũ
xxC
13
ln1sin2cot
48
42
pp
ổ
ử
ổửổử
=++-++
ỗ
ữ
ỗữ
ỗữ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
ứ
ố
Cõu 4.
dx
I
xx
3
23sincos
p
p
=
+-
ũ
ã
dx
I
x
3
1
2
1cos
3
p
p
p
=
ổử
-+
ỗữ
ốứ
ũ
=
dx
I
x
2
3
1
4
2sin
26
p
p
p
=
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũ
=
1
43
.
Cõu 5.
Idx
x
6
0
1
2sin3
p
=
-
ũ
ã
Ta cú: Idxdx
xx
66
00
1
11
2
2
sinsinsinsin
33
pp
pp
==
ũũ
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 12
xx
dxdx
xx
x
66
00
cos
cos
2626
3
sinsin
2cos.sin
3
2626
pp
pp
p
p
pp
æö
æöæö
+
ç÷
ç÷ç÷
èøèø
èø
==
æöæö
-
+-
ç÷ç÷
èøèø
òò
xx
dxdx
xx
66
00
cossin
2626
11
22
sincos
2626
pp
pp
pp
æöæö
-+
ç÷ç÷
èøèø
=+
æöæö
-+
ç÷ç÷
èøèø
òò
xx
66
00
lnsinlncos
2626
pp
pp
æöæö
= +=
ç÷ç÷
èøèø
Câu 6. Ixxxxdx
2
4466
0
(sincos)(sincos)
p
=++
ò
.
·
Ta có: xxxx
4466
(sincos)(sincos)++ xx
3373
cos4cos8
641664
=++Þ I
33
128
p
= .
Câu 7. Ixxxdx
2
44
0
cos2(sincos)
p
=+
ò
·
Ixxdxxdx
22
22
00
111
cos21sin21sin2(sin2)0
222
pp
æöæö
=-=-=
ç÷ç÷
èøèø
òò
Câu 8.
Ixxdx
2
32
0
(cos1)cos.
p
=-
ò
·
A =
( )
xdxxdx
22
2
52
00
cos1sin(sin)
pp
=-
òò
=
8
15
B = xdxxdx
22
2
00
1
cos.(1cos2).
2
pp
=+
òò
=
4
p
Vậy I =
8
15
–
4
p
.
Câu 9.
2
2
0
Icoscos2
x
xdx
p
=
ò
·
Ixxdxxxdxxxdx
222
2
000
11
coscos2(1cos2)cos2(12cos2cos4)
24
ppp
==+=++
òòò
xxx
2
0
11
(sin2sin4)
448
p
p
=++=
Câu 10.
x
Idx
x
3
2
0
4sin
1cos
p
=
+
ò
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 13
ã
xxx
xxxxx
x
x
33
2
4sin4sin(1cos)
4sin4sincos4sin2sin2
1cos
sin
-
==-=-
+
Ixxdx
2
0
(4sin2sin2)2
p
ị=-=
ũ
Cõu 11.
Ixdx
2
0
1sin
p
=+
ũ
ã
xxxx
Idxdx
2
22
00
sincossincos
2222
pp
ổử
=+=+
ỗữ
ốứ
ũũ
x
dx
2
0
2sin
24
p
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ
ũ
xx
dxdx
3
2
2
3
0
2
2sinsin
2424
p
p
p
pp
ộự
ờỳ
ổửổử
=+-+
ờỳ
ỗữỗữ
ốứốứ
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũũ
42=
Cõu 12.
dx
I
x
4
6
0
cos
p
=
ũ
ã
Ta cú: Ixxdx
4
24
0
28
(12tantan)(tan)
15
p
=++=
ũ
.
Dng 2: i bin s dng 1
Cõu 13.
xdx
I
xx
sin2
34sincos2
=
+-
ũ
ã
Ta cú:
xx
Idx
xx
2
2sincos
2sin4sin2
=
++
ũ
. t txsin=
ị
IxC
x
1
lnsin1
sin1
=+++
+
Cõu 14.
dx
I
xx
35
sin.cos
=
ũ
ã
ũ ũ
==
x
x
dx
x
x
x
dx
I
23233
cos.2sin
8
cos.cos.sin
t txtan= . ItttdtxxxC
t
x
3342
2
3131
3tantan3lntan
42
2tan
-
ổử
=+++=++-+
ỗữ
ốứ
ũ
Chỳ ý:
t
x
t
2
2
sin2
1
=
+
.
Cõu 15.
dx
I
xx
3
sin.cos
=
ũ
ã
dxdx
I
xxxxx
22
2
sin.cos.cossin2.cos
==
ũũ
. t txtan=
dxt
dtx
xt
22
2
;sin2
cos1
ị==
+
dtt
Idt
t
t
t
2
2
1
2
2
1
+
ị==
+
ũũ
tx
tdttCxC
t
22
1tan
()lnlntan
22
=+=++=++
ũ
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Câu 16.
xx
Ixdx
x
2011
20112009
5
sinsin
cot
sin
-
=
ò
·
Ta có:
x
x
Ixdxxdx
xx
2011
2011
2
2
44
1
1
cot
sin
cotcot
sinsin
-
-
==
òò
Đặt
txcot=
Þ
IttdtttC
240248046
2
201120112011
20112011
t(1)
40248046
=+=++
ò
= xxC
40248046
20112011
20112011
cotcot
40248046
++
Câu 17.
xx
Idx
x
2
0
sin2.cos
1cos
p
=
+
ò
·
Ta có:
xx
Idx
x
2
2
0
sin.cos
2
1cos
p
=
+
ò
. Đặt tx1cos=+
Þ
t
Idt
t
2
2
1
(1)
22ln21
-
==-
ò
Câu 18.
Ixxdx
3
2
0
sintan
p
=
ò
·
Ta có:
xxx
Ixdxdx
xx
2
33
2
00
sin(1cos)sin
sin.
coscos
pp
-
==
òò
. Đặt txcos=
Þ
u
Idu
u
1
2
2
1
13
ln2
8
-
=-=-
ò
Câu 19.
Ixxdx
2
2
sin(21cos2)
p
p
=-+
ò
·
Ta có: IxdxxxdxHK
22
22
2sinsin1cos2
pp
pp
=-+=+
òò
+
Hxdxxdx
2
22
2sin(1cos2)
22
pp
pp
pp
p
==-=-=
òò
+ Kxxxxdx
222
22
sin2cos2sincos
pp
pp
==-
òò
xdx
2
2
2
2sin(sin)
3
p
p
=-=
ò
I
2
23
p
Þ=-
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 15
Câu 20.
dx
I
xx
3
24
4
sin.cos
p
p
=
ò
·
dx
I
xx
3
22
4
4.
sin2.cos
p
p
=
ò
. Đặt txtan=
Þ
dx
dt
x
2
cos
=
.
tdtt
Itdtt
t
tt
3
33
223
2
22
1
11
(1)11834
22
33
æö
æö
+-
==++=-++=
ç÷
ç÷
èø
èø
òò
Câu 21.
( )
2
2
0
sin2
2sin
x
I
dx
x
p
=
+
ò
·
Ta có:
xxx
Idxdx
xx
22
22
00
sin2sincos
2
(2sin)(2sin)
pp
==
++
òò
. Đặt tx2sin=+ .
Þ
t
Idtdtt
tt
tt
3
33
22
22
2
2122
222ln
æöæö
-
==-=+
ç÷ç÷
èøèø
òò
32
2ln
23
=-
Câu 22.
x
Idx
x
6
0
sin
cos2
p
=
ò
·
xx
Idxdx
x
x
66
2
00
sinsin
cos2
2cos1
pp
==
-
òò
. Đặt
txdtxdxcossin=Þ=-
Đổi cận:
xtxt
3
01;
62
p
=Þ==Þ=
Ta được
t
Idt
t
t
3
1
2
2
3
1
2
1122
ln
2222
21
-
=-=
+
-
ò
=
1322
ln
22526
-
-
Câu 23.
x
Iexx dx
2
2
sin3
0
.sin.cos.
p
=
ò
·
Đặt tx
2
sin=
Þ
I =
t
etdt
1
0
1
(1)
2
-
ò
= e
1
1
2
- .
Câu 24. Ixxdx
2
1
2
sinsin
2
6
p
p
=×+
ò
·
Đặt txcos= . I
3
(2)
16
p
=+
Câu 25.
x
Idx
xx
4
66
0
sin4
sincos
p
=
+
ò
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 16
·
x
Idx
x
4
2
0
sin4
3
1sin2
4
p
=
-
ò
. Đặt tx
2
3
1sin2
4
=- Þ I = dt
t
1
4
1
21
3
æö
-
ç÷
èø
ò
=
t
1
1
4
42
33
= .
Câu 26.
( )
x
Idx
xx
2
3
0
sin
sin3cos
p
=
+
ò
·
Ta có: xxxsin3cos2cos
6
p
æö
+=-
ç÷
èø
;
xxsinsin
66
pp
æö
æö
=-+
ç÷
ç÷
èø
èø
= xx
31
sincos
2626
pp
æöæö
-+-
ç÷ç÷
èøèø
Þ
I =
xdx
dx
xx
22
32
00
sin
6
31
1616
coscos
66
pp
p
pp
æö
-
ç÷
èø
+
æöæö
ç÷ç÷
èøèø
òò
=
3
6
Câu 27.
xx
Idx
x
2
4
2
3
sin1cos
cos
p
p
-
-
=
ò
·
xx
Ixdxxdx
xx
44
2
22
33
sinsin
1cos.sin
coscos
pp
pp
=-=
òò
xx
xdxxdx
xx
0
4
22
0
3
sinsin
sinsin
coscos
p
p
-
-
=+
òò
=
xx
dxdx
xx
0
22
4
22
0
3
sinsin
coscos
p
p
-
-+
òò
7
31
12
p
=
Câu 28.
Idx
xx
6
0
1
sin3cos
p
=
+
ò
·
Idx
xx
6
0
1
sin3cos
p
=
+
ò
=
dx
x
6
0
11
2
sin
3
p
p
æö
+
ç÷
èø
ò
=
x
dx
x
6
2
0
sin
1
3
2
1cos
3
p
p
p
æö
+
ç÷
èø
æö
-+
ç÷
èø
ò
.
Đặt
txdtxdxcossin
33
pp
æöæö
=+Þ=-+
ç÷ç÷
èøèø
Þ
Idt
t
1
2
2
0
111
ln3
24
1
==
-
ò
Câu 29.
Ixxdx
2
2
0
13sin22cos
p
=-+
ò
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 17
·
Ixxdx
2
0
sin3cos
p
=-
ò
=
Ixxdxxxdx
3
2
0
3
sin3cossin3cos
p
p
p
=-+-
òò
33=-
Câu 30.
xdx
I
xx
2
3
0
sin
(sincos)
p
=
+
ò
·
Đặt xtdxdt
2
p
=-Þ=-
Þ
tdtxdx
I
ttxx
22
33
00
coscos
(sincos)(sincos)
pp
==
++
òò
Þ
dxdx
2Ix
xx
x
22
4
2
2
0
00
11
cot()1
224
(sincos)
sin()
4
pp
p
p
p
===-+=
+
+
òò
Þ
I
1
2
=
Câu 31.
xx
Idx
xx
2
3
0
7sin5cos
(sincos)
p
-
=
+
ò
·
Xét:
( ) ( )
xdxxdx
II
xxxx
22
12
33
00
sincos
;
sincossincos
pp
==
++
òò
.
Đặt xt
2
p
= Ta chứng minh được I
1
= I
2
Tính I
1
+ I
2
=
( )
dxdx
x
xx
x
22
2
2
00
1
tan()1
2
24
sincos
0
2cos()
4
pp
p
p
p
==-=
+
-
òò
Þ
II
12
1
2
==
Þ
III
12
7–51==.
Câu 32.
xx
Idx
xx
2
3
0
3sin2cos
(sincos)
p
-
=
+
ò
·
Đặt xtdxdt
2
p
=-Þ=-
Þ
ttxx
Idtdx
ttxx
22
33
00
3cos2sin3cos2sin
(cossin)(cossin)
pp
==
++
òò
Þ
xxxx
IIIdxdxdx
xxxxxx
222
332
000
3sin2cos3cos2sin1
21
(sincos)(cossin)(sincos)
ppp
=+=+==
+++
òòò
Þ
I
1
2
= .
Câu 33.
xx
Idx
x
2
0
sin
1cos
p
=
+
ò
·
Đặt
ttt
xtdxdtIdtdtI
tt
22
00
()sinsin
1cos1cos
pp
p
pp
-
=-Þ=-Þ==-
++
òò
Bi tp Tớch phõn Trn S Tựng
Trang 18
tdt
IdtI
tt
2
22
00
sin(cos)
2
448
1cos1cos
pp
ppp
ppp
ổử
ị==-=+ị=
ỗữ
ốứ
++
ũũ
Cõu 34.
xx
Idx
xx
4
2
33
0
cossin
cossin
p
=
+
ũ
ã
t xtdxdt
2
p
=-ị=-
ị
ttxx
Idtdx
ttxx
0
44
2
3333
0
2
sincossincos
cossincossin
p
p
=-=
++
ũũ
ị
xxxxxxxx
Idxdxxdx
xxxx
4433
222
3333
000
cossinsincossincos(sincos)11
2sin2
22
sincossincos
ppp
++
====
++
ũũũ
ị
I
1
4
= .
Cõu 35.
Ixdx
x
2
2
2
0
1
tan(cos)
cos(sin)
p
ộự
=-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
ã
t xtdxdt
2
p
=-ị=-
ị
Itdt
t
2
2
2
0
1
tan(sin)
cos(cos)
p
ộự
=-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
xdx
x
2
2
2
0
1
tan(sin)
cos(cos)
p
ộự
=-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
Do ú:
Ixxdx
xx
2
22
22
0
11
2tan(cos)tan(sin)
cos(sin)cos(cos)
p
ộự
=+
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ũ
=
dt
2
0
2
p
p
=
ũ
ị
I
2
p
= .
Cõu 36.
xx
Idx
x
4
0
cossin
3sin2
p
-
=
-
ũ
ã
t uxxsincos=+
du
I
u
2
2
1
4
ị=
-
ũ
. t
ut2sin=
tdt
Idt
t
44
2
66
2cos
12
44sin
pp
pp
p
ị===
-
ũũ
.
Cõu 37.
x
Idx
xx
3
2
0
sin
cos3sin
p
=
+
ũ
ã
t tx
2
3sin=+ = x
2
4cos- . Ta cú: xt
22
cos4=-v
xx
dtdx
x
2
sincos
3sin
=
+
.
I =
x
dx
xx
3
2
0
sin
.
cos3sin
p
+
ũ
=
xx
dx
xx
3
22
0
sin.cos
cos3sin
p
+
ũ
=
dt
t
15
2
2
3
4 -
ũ
=
dt
tt
15
2
3
111
422
ổử
-
ỗữ
+-
ốứ
ũ
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 19
=
t
t
15
2
3
12
ln
42
+
-
=
115432
lnln
4
15432
ổử
++
ỗữ
-
ỗữ
ốứ
=
( ) ( )
(
)
1
ln154ln32
2
+-+.
Cõu 38.
xxxx
Idx
xx
2
3
32
3
(sin)sin
sinsin
p
p
++
=
+
ũ
ã
xdx
Idx
x
x
22
33
2
33
1sin
sin
pp
pp
=+
+
ũũ
.
+ Tớnh
x
Idx
x
2
3
1
2
3
sin
p
p
=
ũ
. t
ux
dudx
dx
dv
vx
x
2
cot
sin
ỡ
=
ù
ỡ
=
ị
ớớ
=
=-
ợ
ù
ợ
ị
I
1
3
p
=
+ Tớnh
dxdxdx
I=
x
x
x
222
333
2
2
333
423
1sin
1cos2cos
242
ppp
ppp
pp
===-
+ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
ũũũ
Vy: I 423
3
p
=+- .
Cõu 39.
x
dx
xx
I
2
22
0
sin2
cos4sin
p
+
=
ũ
ã
xx
dx
x
I
2
2
0
2sincos
3sin1
p
=
+
ũ
. t ux
2
3sin1=+ ị
udu
du
u
I
22
11
2
22
3
33
===
ũũ
Cõu 40.
x
Idx
x
6
0
tan
4
cos2
p
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
=
ũ
ã
x
x
Idxdx
x
x
2
66
2
00
tan
tan1
4
cos2
(tan1)
pp
p
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
==-
+
ũũ
. t
txdtdxxdx
x
2
2
1
tan(tan1)
cos
=ị==+
ị
dt
I
t
t
1
1
3
3
2
0
0
113
12
(1)
-
=-==
+
+
ũ
.
Cõu 41.
x
Idx
xx
3
6
cot
sin.sin
4
p
p
p
=
ổử
+
ỗữ
ốứ
ũ
ã
x
Idx
xx
3
2
6
cot
2
sin(1cot)
p
p
=
+
ũ
. t xt1cot+=
dxdt
x
2
1
sin
ị=-
ị
( )
t
Idttt
t
31
31
31
31
3
3
12
22ln2ln3
3
+
+
+
+
ổử
-
==-=-
ỗữ
ốứ
ũ
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 20
Câu 42.
dx
I
xx
3
24
4
sin.cos
p
p
=
ò
·
Ta có:
dx
I
xx
3
22
4
4.
sin2.cos
p
p
=
ò
. Đặt
dt
txdx
t
2
tan
1
=Þ=
+
Þ
tdtt
Itdtt
t
tt
3
223
33
(1)11834
2
(2)(2)
22
33
11
1
+-
==++=-++=
òò
Câu 43.
x
Idx
xxx
4
2
0
sin
5sin.cos2cos
p
=
+
ò
·
Ta có:
x
Idx
xxx
4
22
0
tan1
.
5tan2(1tan)cos
p
=
++
ò
. Đặt
txtan= ,
Þ
t
Idtdt
tt
tt
11
2
00
12112
ln3ln2
322123
252
æö
==-=-
ç÷
++
++
èø
òò
Câu 44.
xdx
xxx
I
2
4
42
4
sin
cos(tan2tan5)
p
p
-
-+
=
ò
·
Đặt
dt
txdx
t
2
tan
1
=Þ=
+
Þ
tdtdt
I
tttt
2
11
22
11
2
2ln3
3
2525
==+-
-+-+
òò
Tính
dt
I
tt
1
1
2
1
25
-
=
-+
ò
. Đặt
t
uIdu
0
1
4
11
tan
228
p
p
-
-
=Þ==
ò
. Vậy I
23
2ln
38
p
=+
Câu 45.
x
Idx
x
2
2
6
sin
sin3
p
p
=
ò
.
·
xx
Idxdx
xxx
2
22
32
66
sinsin
3sin4sin4cos1
pp
pp
==
òò
Đặt txdtxdxcossin=Þ=-
Þ
dtdt
I
t
t
3
0
2
2
2
0
3
2
11
ln(23)
1
44
41
4
=-==-
-
-
òò
Câu 46.
xx
Idx
x
2
4
sincos
1sin2
p
p
-
=
+
ò
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 21
ã
Ta cú: xxxxx1sin2sincossincos+=+=+ (vỡ x ;
42
pp
ộự
ẻ
ờỳ
ởỷ
)
ị
xx
Idx
xx
2
4
sincos
sincos
p
p
-
=
+
ũ
. t
txxdtxxdxsincos(cossin)=+ị=-
Idtt
t
2
2
1
1
11
lnln2
2
ị===
ũ
Cõu 47. Ixxxdx
2
6
35
1
21cos.sin.cos=-
ũ
ã
t
tdt
txtxtdtxxdxdx
xx
5
6
36352
2
2
1cos1cos63cossin
cossin
=-=-ị=ị=
tt
Ittdt
1
1
713
66
0
0
12
2(1)2
71391
ổử
ị=-=-=
ỗữ
ốứ
ũ
Cõu 48.
xdx
I
xx
4
2
0
tan
cos1cos
p
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xdx
I
xx
4
22
0
tan
costan2
p
=
+
ũ
. t
222
2
tan
2tan2tan
cos
=+ị=+ị=
x
txtxtdtdx
x
ị
33
22
32===-
ũũ
tdt
Idt
t
Cõu 49.
x
Idx
xx
2
3
0
cos2
(cossin3)
p
=
-+
ũ
ã
t txxcossin3=-+
ị
t
Idt
t
4
3
2
31
32
-
==-
ũ
.
Cõu 50.
x
Idx
xx
4
24
0
sin4
cos.tan1
p
=
+
ũ
ã
Ta cú:
x
Idx
xx
4
44
0
sin4
sincos
p
=
+
ũ
. t txx
44
sincos=+ Idt
2
2
1
222ị=-=-
ũ
.
Cõu 51.
x
Idx
x
4
2
0
sin4
1cos
p
=
+
ũ
ã
Ta cú:
xx
Idx
x
2
4
2
0
2sin2(2cos1)
1cos
p
-
=
+
ũ
. t tx
2
cos =
ị
t
Idt
t
1
2
1
2(21)1
26ln
13
-
=-=-
+
ũ
.
Cõu 52.
x
Idx
x
6
0
tan()
4
cos2
p
p
-
=
ũ
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 22
·
Ta có:
2
6
2
0
tan1
(tan1)
p
+
=-
+
ò
x
I
dx
x
. Đặt txtan=
Þ
1
3
2
0
13
(1)2
-
=-=
+
ò
dt
I
t
.
Câu 53.
3
6
0
tan
cos2
p
=
ò
x
I
dx
x
·
Ta có:
33
66
tantan
2222
cossincos(1tan)
00
pp
==
òò
xx
I
dxdx
xxxx
.
Đặt
txtan=
Þ
3
3
3
112
ln
2
623
1
0
==
ò
-
t
Idt
t
.
Câu 54.
x
Idx
x
2
0
cos
7cos2
p
=
+
ò
·
xdx
I
x
2
22
0
1cos
262
2sin
p
p
==
-
ò
Câu 55.
dx
xx
3
4
35
4
sin.cos
p
p
ò
·
Ta có: dx
x
x
x
3
3
8
4
4
3
1
sin
.cos
cos
p
p
ò
dx
x
x
3
2
4
3
4
11
.
cos
tan
p
p
=
ò
.
Đặt
txtan=
Þ
( )
Itdt
3
3
8
4
1
431
-
==-
ò
Câu 56.
3
2
0
coscossin
()
1cos
xxx
I
xdx
x
p
++
=
+
ò
·
Ta có:
xxxxx
IxdxxxdxdxJK
xx
2
22
000
cos(1cos)sin.sin
.cos.
1cos1cos
ppp
æö
++
==+=+
ç÷
ç÷
++
èø
òòò
+ Tính
J
xxdx
0
.cos.
p
=
ò
. Đặt
uxdudx
dvxdxvxcossin
ìì
==
Þ
íí
==
îî
J
2Þ=-
+ Tính
xx
Kdx
x
2
0
.sin
1cos
p
=
+
ò
. Đặt xtdxdt
p
=-Þ=-
ttttxx
Kdtdtdx
ttx
222
000
().sin()().sin().sin
1cos()1cos1cos
ppp
pppp
p
Þ===
+-++
òòò
xxxxdxxdx
KdxK
xxx
222
000
().sinsin.sin.
2
2
1cos1cos1cos
ppp
pp
p
+-
Þ==Þ=
+++
òòò
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân
Trang 23
Đặt txcos=
dt
K
t
1
2
1
2
1
p
-
Þ=
+
ò
, đặt
tudtudu
2
tan(1tan)=Þ=+
udu
Kduu
u
22
44
4
2
4
44
(1tan)
.
2224
1tan
pp
p
p
pp
pppp
-
+
Þ====
+
òò
Vậy
I
2
2
4
p
=-
Câu 57.
2
2
6
cos
I
sin3cos
p
p
=
+
ò
x
dx
xx
·
Ta có:
2
22
6
sincos
sin3cos
p
p
=
+
ò
xx
I
dx
xx
. Đặt tx
2
3cos=+
Þ
( )
dt
I
t
15
2
2
3
1
ln(154)ln(32)
2
4
==+-+
-
ò
Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58. Ixxdx
2
1
2
sinsin.
2
6
p
p
=×+
ò
·
Đặt xtt
3
cossin,0
22
p
æö
=££
ç÷
èø
Þ
I = tdt
4
2
0
3
cos
2
p
ò
=
31
242
p
æö
+
ç÷
èø
.
Câu 59.
2
22
0
3sin4cos
3sin4cos
p
+
=
+
ò
xx
I
dx
xx
·
222
222
000
3sin4cos3sin4cos
3cos3cos3cos
ppp
+
==+
+++
òòò
xxxx
I
dxdxdx
x
xx
22
22
00
3sin4cos
3cos4sin
pp
=+
+-
òò
xx
dxdx
xx
+ Tính
2
1
2
0
3sin
3cos
p
=
+
ò
x
I
dx
x
. Đặt cossin=Þ=-txdtxdx
Þ
1
1
2
0
3
3
=
+
ò
dt
I
t
Đặt
2
3tan3(1tan)=Þ=+tudtudu
Þ
2
6
1
2
0
33(1tan)3
3(1tan)6
p
p
+
==
+
ò
udu
I
u
+ Tính
2
2
2
0
4cos
4sin
p
=
-
ò
x
I
dx
x
. Đặt
11
sincos=Þ=txdtxdx
1
1
21
2
1
0
4
ln3
4
==
-
ò
dt
Idt
t
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 24
Vậy:
3
ln3
6
p
=+I
Câu 60.
x
Idx
xx
4
2
6
tan
cos1cos
p
p
=
+
ò
·
Ta có:
xx
Idxdx
xx
x
x
44
22
2
2
66
tantan
1
costan2
cos1
cos
pp
pp
==
+
+
òò
Đặt
uxdudx
x
2
1
tan
cos
=Þ=
Þ
u
Idx
u
1
2
1
3
2
=
+
ò
. Đặt
u
tudtdu
u
2
2
2
2
=+Þ=
+
.
Idtt
3
3
7
7
3
3
737
3.
33
-
Þ===-=
ò
Câu 61.
x
Idx
xx
2
4
sin
4
2sincos3
p
p
p
æö
+
ç÷
èø
=
-
ò
·
Ta có:
( )
xx
Idx
xx
2
2
4
1sincos
2
sincos2
p
p
+
=-
-+
ò
. Đặt txxsincos=-
Þ
Idt
t
1
2
0
11
2
2
=-
+
ò
Đặt
tu2tan=
Þ
u
Idu
u
1
arctan
2
2
2
0
12(1tan)11
arctan
2
22
2tan2
+
=-=-
+
ò
Trn S Tựng Bi tp Tớch phõn
Trang 25
Dng 4: Tớch phõn tng phn
Cõu 62.
xx
Idx
x
3
2
3
sin
cos
p
p
-
=
ũ
.
ã
S dng cụng thc tớch phõn tng phn ta cú:
xdx
IxdJ
xxx
33
3
3
33
14
,
coscoscos3
pp
p
p
pp
p
-
ổử
==-=-
ỗữ
ốứ
ũũ
vi
dx
J
x
3
3
cos
p
p
-
=
ũ
tớnh J ta t txsin.= Khi ú
dxdtt
J
xt
t
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1123
lnln
cos21
23
1
p
p
-
-
-
===-=-
+
+
-
ũũ
Vy I
423
ln.
3
23
p
-
=-
+
Cõu 63.
x
x
Iedx
x
2
0
1sin
.
1cos
p
ổử
+
=
ỗữ
+
ốứ
ũ
ã
Ta cú:
xx
xx
xx
x
22
12sincos
1sin1
22
tan
1cos2
2cos2cos
22
+
+
==+
+
ị
x
x
edxx
Iedx
x
22
2
00
tan
2
2cos
2
pp
=+
ũũ
= e
2
p
Cõu 64.
( )
xx
Idx
x
4
2
0
cos2
1sin2
p
=
+
ũ
ã
t
ux
dudx
x
dvdx
v
x
x
2
cos2
1
1sin2
(1sin2)
ỡ
=
ỡ
=
ùù
ị
ớớ
=
=-
ùù
+
+
ợ
ợ
ị
Ixdxdx
xx
x
44
2
00
1111111
4
21sin221sin2162
2
0
cos
4
pp
p
p
p
ổử
=-+=-+
ỗữ
++ổử
ốứ
-
ỗữ
ốứ
ũũ
( )
x
11122
.tan.01
4
16241622416
2
0
p
pppp
ổử
=-+-=-++=-
ỗữ
ốứ
