Bài tập hình học không gian chọn lọc mới

Trương Quang Phú- />Bài 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp:
• Muốn xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta cầ n xác đị nh được hai
điểm chung của hai mặt phẳng đó.
• Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) ta:
- Tìm trong mặt phẳng (α) đườ ng thẳng ∆ sao cho ∆ cắt d tại điểm I.
Khi đó I chính là giao điểm của mặt phẳng(α)với đường thẳng d.
- Nếu chưa tìm được đường thẳng ∆ thì ta t ìm một mặt phẳng (β) sao
cho (β) chứa d và (β) cắt (α) theo giao tuyến a. Gọi I l à giao điểm
của đường thẳng d với giao tuyến a. Khi đó I chính là giao điểm của
d và (α).
• Muốn chứng minh các đường thẳng đồng quy trong không gian ta chứng
minh:
- Tìm giao điểm của hai đường thẳng trong số đó rồi sau đó chứng minh
giao điểm đó thuộc vào các đường thẳng còn lại.
- Các đường thẳng đó không đồng phẳng và chúng đôi một cắt nhau.
• Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng m inh ba điểm đó nằm
trên giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó. Hay nói cách khác, ta chỉ ra
hai mặt phẳng chứa đồng thời ba điểm trên.
• Muốn chứng minh một đường thẳng d lưu động trong mặt phẳng (α) cố
định luôn đi qua một điểm I cố định:
- Tìm một đường thẳng ∆ cố định sao cho ∆ cắt d tại một điểm I.
- Ta kết luận đường thẳng d đi qua điểm I cố định vì nó là giao điểm của
một đường thẳng cố định với một mặt phẳng cố định.
• Thiết diện của một hình H khi cắt bởi mặt phẳng (α) l à phần chung
của hình H với mặt phẳng (α).
Chú ý:
Cần phối hợp một cách thành thạo h ai phương pháp tìm g i ao điểm và
tìm giao tuyến trong giải toán.
Bài tập:
1

Trương Quang Phú- />1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AC, K là một
điểm bất kì trên BD.
a. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng (AMD) và (AKC).
b. Tìm giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (MNK). Từ đó
nêu tên thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) và tứ diện.
c. G ọi G là trọng tâm ta m giác BCD. Tìm giao điểm AO với m ặt phẳng
(MNK).
d. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) và (ADM).
e. Gọi I là một điểm bất kì nằm ở miền trong của tam giác ACD. Tìm
giao điểm của BI với mặt phẳng (MNK).
f. Gọi G
1
, G
2
, G
3
là trọng tâm các tam giác ABC, ABD, ACD. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng (G
1
G
2
G
3
) với (MNK).
2. Cho tứ diện ABCD. P là một điểm bất kì ở miền trong của tam giác BCD.
Gọi M là một điểm trên đoạn AP.
a. Tìm giao tuyến của (MCD) với (ABC), (ABD).
b. Gọi I, J là hai điểm bất kì tr ên đoạn BC, BD. Tìm giao tuyến (IJM)
với (ACD).
c. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (IJM) với (ACD).

3. Cho tứ diện ABCD. Gọi A
1
, B
1
, C
1
, D
1
là các trọng tâm của tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC.
a. Chứng minh rằng AA
1
, BB
1
đồng phẳng.
b. Gọi G là giao điểm của AA
1
và BB
1
. Chứng minh rằng:
GA
1
GA
=
GB
1
GB
=
1
3

c. Chứng minh rằng AA
1
, BB
1
, CC
1
, DD
1
đồng qui tại điểm G.
Chú ý:
Điểm G như trên được gọi là trọng tâm của tứ diện. Các đường
thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
, DD
1
được gọi là các đường trọng tuyến c ủa tứ diện.
Các tính chất về trọng tâm và trọng tuyến của tứ diện sẽ được đề cập t i ếp
ở các bài tập v ề song song và vuông góc.
2
Trương Quang Phú- />4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I là tr ung điểm AB, M là một điểm bất kì trên
CD. Gọi P là trung điểm BM.
a. Chứng minh rằng IM và AP mỗi đường thẳng nằm trong một mặt
phẳng cố định cố định khi M chạy trên CD.
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cố định nói trên.
5. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy hai điểm A, M
(A=M), trên Oy lấy B, N (B = N), trên Oz lấy C, P (C = P) sao cho AB

∦ MN, BC ∦ NP, CA ∦ PM. Gọi I, J, K là g iao điểm của AB với MN, BC
với NP, CA với PM. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
6. Cho hình chóp S.ABCD.
a. Gọi M, N, P lần lượt là cá c điểm trên cạnh SA, SB, SC sao cho AM
> SM, BN > SN, CP < PS, MN ∦ AB.
• Dựng thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (MNP)
• Gọi Q là trung điểm SD. Tìm giao điểm BQ với (MNP)
• Tìm giao điểm G của (MNP) với AD. Gọi E, F, H lần lượt là giao
điểm của MN với AB, NP với BC, MP với AC. Chứng minh rằng
bốn điểm E, F, G, H thẳng hàng.
b. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của đáy ABCD. Gọi E là điểm
thuộc miền trong của tam giác∆ABC, F là điểm bất kì thuộc m iền
trong ∆ACD sao cho EF ∦ BD. Trên AE lấy I, trên AF lấy J sao cho
IJ ∦ EF. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (OIJ)
và giao điểm BF với (SAC) và (SAD).
c. G ọi M, N lần lượt là trung điểm BC, CD. P là một điểm trên cạnh SA
sao cho SP > PA, Q là một điểm trên cạ nh SC sao cho Q không là
trung điểm của SC. O là giao điểm AC, BD.
• Dựng thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (MNP).
• Tìm giao điểm OQ với (MNP).
• Tìm giao điểm của SB với (NPQ), SD với (MPQ).
d. Gọi I là trung điểm AB, J là đi ểm trên cạnh CD, K là điểm trên cạnh
SC sao cho J, K không là trung điểm CD, SC, IK ∦ SD.
• Tìm giao điểm của SB với (IJK)
• Dựng thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (IJK).
3
Trương Quang Phú- />e. Gọi M, N lần lượ t là trung điểm AB, BC. Gọi P là một điểm thuộc
miền tr ong của tam giác ∆SAD. Dựng thiết diện tạo bởi hình chóp
và mặt phẳng (MNP).
f. Gọi G

1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm tam giác ∆SAB, ∆SBC, ∆SCD.
Tìm giao điểm của (G
1
G
2
G
3
) với SB. Rồi từ đó dựng thiết diện của
hình chóp với mặt phẳng (G
1
G
2
G
3
)
7. Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. Một đường
thẳng d cắ t (α) tại A, cắt (β) tại B. Trên d ta lấy hai điểm S
1
, S
2
cố định.
Gọi M là m ột điểm chạy trên mặt phẳng (β). Giả sử các đường thẳng
MS
1
, MS

2
cắt (α) tạ i M
1
, M
2
.
a. Chứng minh đường thẳng M
1
M
2
luôn luôn đi qua một điểm cố định.
b. Giả sử M
1
M
2
cắt m tại K, khi dó chứng minh ba điểm H, B, M thẳng
hàng.
c. G ọi b là một đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng (β), k hông đi qua
điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M chạy t rên b thì các
điểm M
1
, M
2
chạy trên môt đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng
(α).
8 Cho hình chóp S. ABCDE, tr ong đó ABCDE là ngũ giác lồi. Trên SA, BC,
SD lấy ba điểm bất kì M, N, P sao cho chúng không trùng với các đỉnh
của hình chóp. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
"Gạo đem vào g i ã bao đau đớn
Gạo giã xong rồi trắng tựa bông

Sống ở trên đời người cũng vậy
Gian nan rè n luyện mới thành công"
4