Bài tập Hình học không gian tọa độ

Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),
D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD,
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết
1
cos
6
α =
(Đại học khối A – 2006)
Giải
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ
các điểm là: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0;
1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1;
1), M(
1
2
; 0; 0), N(
1
2
; 1; 0)
Ta có
( ) ( )
1
A'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A'M ;0; 1
2
 
= − = = −
 ÷

 
uuuur uuuur uuuuur
( )
( )
2 2 2
A'C,MN 1;0;1
1
1
A'C,MN .A'M
1
2
d A'C,MN
2 2
1 0 1
A'C,MN
 
=
 
−
 
 
⇒ = = =
 
+ +
 
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur

1

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos
6
α α =
1
z
A
B(1; 0; 0)
C
D(0; 1; 0)
A’(0; 0; 1)
B’
C’
D’
y
x
M
N
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
A'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1)
x -y 0
x y z 1
nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là
y z 1 0
1 1 1
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng
= −
=

−
= = ⇒


+ − =
−

uuuur
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
Oxy
2
2 2
2 2 2 2 2
1
A x -y B y z -1 0 A B 0 Ax B A y Bz B 0
Mp Oxy có pt là z 0 n 0;0;1
B
1
Ycbt cos cos (P),(Oxy)
6
A B A B
A 2B
6B 2A 2AB 2B A AB 2B 0
A B
A 2B. Chọn B 1,A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0
A B.
+ + = + ≠ ⇔ + − + − =

= ⇒ =
⇒ α = = =
+ − +
=

⇔ = − + ⇔ − − = ⇔

= −

− = = = ⇒ − + − =
− = −
uuuur
2
Chọn B 1,A 1 pt mp (P ) :x 2y z 1 0= − = ⇒ − − + =
2
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : và d : y 1 t
2 1 1
z 3
= − +

− +

= = = +

−


=

a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
. (Đại học khối A – 2007)
Giải
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
( )
( )
1 2
d qua A(0;1; 2) có VTCP là a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) có VTCP là b (2;1;0)
Ta có : a,b 1;2;4 0 a và b không cùng phương (1)
AB -1;0;5 , a,b .AB 1 0 20 21 0 3 vectơ a, b
− = − − =
 
= − ≠ ⇒
 
 

= = + + = ≠ ⇒
 
r r
r r r r r
uuur r r uuur r
1 2
, AB không đồng phẳng (2)
Từ (1) & (2) d và d chéo nhau⇒
r uuur
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d
1
và d
2
.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1
2 2
x 2y 2 0 x 2y 3 0

Ta có PTTQ của d : ,d :
y z 1 0 z 3 0
chứa d chứa d
Ta có d mp : ,d mp :
P P
Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
A x 2y 2 B y z 1 0 A B 0 Ax 2A B y Bz 2A B
+ − = − + =
 
 
+ + = − =
 
α β 
 
⊂ α ⊂ β
 
α ⊥ β ⊥
 
 
− α α α
+ − + + + = + ≠ ⇔ + + + − + =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
P
2
2 2
P
0

Ycbt n .n 0 7A 2A B 4B 0 9A 3B 0 B 3A
Chọn A 1 B 3: pt : x 5y 3z 1 0
Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0
Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0
Chọn
α
β
⇒ = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
= ⇒ = α + + + =
− β β β
− + + − = + ≠ ⇔ − + + − =
⇒ = ⇔ − − = ⇔ − =
uur uur
uur uur
( )
( ) ( )
1 2
M 4 N 5: pt : 4x 8y 5z 3 0
x 5y 3z 1 0
Vậy ptđt d:
4x 8y 5z 3 0
Ro õ ràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên
= ⇒ = β − + − =
+ + + =


− + − =

− − −

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
1 2
x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1
d : ,d :
2 1 1 1 2 1
− + − − − +
= = = =
− −
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
(Đại học khối D – 2006)
3
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
Giải
a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
( )
1
1 P d1
Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuông góc của A lên d
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d thì (P) có VTPT là n =a = 2; 1;1
Vậy pt mp (P) dạng : 2x y z m 0. Vì (P) q
−
− + + =

uur uur
( )
( )
A A' H
A A' H
A A' H
ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3
2x y z 3 0
Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa H 0; 1;2
x 2 y 2 z 3
2 1 1
x x 2x
H là trung điểm của AA' nên y y 2y A' 1; 4;1
z z 2z
− + + = ⇔ = −
− + − =


− + − = ⇒ ⇔ −
 − + −
= =

 −
+ =


+ = ⇔ − −


+ =


b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
( )
( ) ( )
( )
( )
2
1
2
2 2
2
(P) qua A (Q) chứa d
mp P , mp(Q)
(P) d
(Q) qua A
2x y 3 0
Viết pt mp (Q) : Ta có PTTQ của d :
x z 0
Vì (Q) chứa d nên pt mp (Q) dạng : A 2x y 3 B x z 0 A B 0
2A B x Ay Bz 3A 0
(Q) qua A(1;2;
 
∆ ⊂ ∆ ⊂
 
⊥
 

+ − =


+ =

+ − + + = + ≠
⇔ + + + − =
( )
2
3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0
Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0
2x y z 3 0
Vậy pt đt :
7x 4y z 12 0
Ro õ ràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên
+ + + − = ⇔ + =
= − = + − − =
− + − =

∆

+ − − =

∆ − − ∆
4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0),
C(0;1;0), B
1
(-a;0;b), a>0, b>0
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a và b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn a+ b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
1
C và
AC
1
đạt giá trò lớn nhất. (Đại học khối D – 2004)
Giải
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
( )
( ) ( )
1 1 1 1 1
B1 B C1 C C1
B1 B C1 C C1 1
B1 B C1 C C1
1 1 1 1
ABC.A B C là hình lăng trụ đứng nên ta có : BB CC
x x x x x 0
y y y y y 1 C 0;1;b

z z z z z b
B C a;1; b ,AC a;1;b , B C,AC 2b;0;
=
− = − =
 
 
⇔ − = − ⇔ = ⇒
 
 
− = − =
 
 
= = − =
 
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
( ) ( )
( )
1 1
1 1
2 2 2 2
1 1
2a ,AC a;1;0
B C,AC .AC
2ab
ab
d B C,AC
4a 4b a b
B C,AC
= −

 
−
 
= = =
 
+ +
 
uuur
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
4
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
b) Tìm a và b để khoảng cách giữa hai đường thẳng trên đạt giá trò lớn nhất
2 2
2 2
max
Áp dụng BĐT Cau chy : a b 2 ab
ab ab 1 1 a b
nên a b 2ab ab 2(Vì a b 4)
2
2ab 2 2
a b
Vậy d 2 khi a b 2
+ ≥
+
+ ≥ ⇒ ≤ = ≤ = + =
+
= = =
5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng
x 2y z 9 0

d
2y z 5 0
− + − =


+ + =

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R
AB
Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB. Vậy R IA IH HA với HA 8;IH d I,d
2
x z 9 x 14
Trong đt d cho y 0, ta được M 14
z 5 z 5
− + − + − =
⊥ = = + = = =
+ = =
 
= ⇔ ⇒
 
= − = −
 
( ) ( )

( )
( )
( )
( )
1
d 1 2 d
2
d d
d
;0; 5 d IM 13; 1; 6
n 1; 2;1
d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 4; 1;2 a 16 1 4 21
n 0;2;1
a ,IM 8; 2; 17 a ,IM 64 4 289 357
a ,IM
IH
− ∈ ⇒ = − −

= −

 
⇒ = = − − ⇒ = + + =

 
=


   
= − − − ⇒ = + + =
   

=
uuur
uur
uur uur uur uur
uur
uur uuur uur uuur
uur u
( ) ( ) ( )
2
d
2 2 2
357
17 R 17 64 81
21
a
Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81
 
 
= = ⇒ = + =
− + − + − =
uur
uur
6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 100. Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S)

theo dây AB thỏa MA = MB.
Giải
( )
( )
= < ⇒
⊂ =
= ⊥ =
=
uur
uuuur
uur uur
P
d P
Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính là 10, OM 3 R M ở trong mặt cầu
Vì d mp(P) nên n 1;2;3 là 1 VTPT của d
MA MB nên OM AB nên OM 1;1;1 là 1 VTPT của d
Vậy d có VTCP là a n
( ) ( )
− − −
 
= − − = =
 
− −
uuuur
x 1 y 1 z 1
,OM 1;2; 1 mà d qua M 1;1;1 nên pt đt d :
1 2 1
7) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng
x 1 y 2 z
:

1 1 2
− +
∆ = =
−
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
(Đại học khối D – 2007)
Giải
5
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy
a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
O A B
G
O A B
G
O A B
G
d
x x x
x 0
3
y y y
G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0;2;2

3
z z z
x 2
3
mp(OAB) có cặp VTCP là OA 1;4;2 ,OB 1;2;4 n 12; 6;6 6 2; 1;1
d mp(P) nên a n 2; 1;1 mà d
+ +

= =


+ +

∆ = = ⇒


+ +

= =


= = − ⇒ = − = −
⊥ = = −
uuur uuur r
uur r
x y 2 z 2
qua G nên pt đt d :
2 1 1
− −
= =

−
b) Tìm M∈∆ để MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
( )
2
2 2 2
2 2
P
AB
Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME
2
Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt
E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a
∆
+ = +
+ ⇔ ⇔ ≡ − ∆
∆ = =
uur uur
( )
( )
1;1;2
pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0
x 1
x y 2z 9 0
Vậy H thỏa y 0 M 1;0;4
x 1 y 2 z
z 4

1 1 2
−
⇒ − + + + = + + = ⇔ = − ⇒ − + + − =
= −

− + + − =

 
⇔ = ⇒ −
 
− +
= =
 
=
−


8) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x 1 t
x 2y z 4 0
: và : y 2 t
x 2y 2z 4 0
z 1 2t
= +

− + − =


∆ ∆ = +

 
+ − + =


= +

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song với đường thẳng ∆
2
.
b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
(Đại học khối A – 2002)
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆
1
và song song với đường thẳng ∆
2
.
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1 1 2
2
1 1

1 1
n 1; 2;1
có cặp VTPT là có VTCP là a = n ,n 2;3;4
n 1;2; 2
x 2y 4 x 0
Trong cho z 0, ta được qua A 0; 2;0
x 2y 4 y 2
Vì mp (P) chứa nên a = 2;3;4 la

= −

 
∆ ⇒ ∆ =

 
= −


− = =
 
∆ = ⇔ ⇒ ∆ −
 
+ = − = −
 
∆
uur
uur uur uur
uur
uur
( )

( )
( )
1 2
2 2
ø 1 VTCP của (P)
(P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1
mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P)
pt mp (P) dạng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 nên m 0.
Vậy pt mp (P) là : 2x z 0


 
⇒ = = −

 
∆


⇒ − + = − =
− =
r uur uur
uur
b) Tìm H ∈ ∆
2

để MH nhỏ nhất.
6