Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2
Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC .......................... 3
2.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................ 3
2.2. Kết quả tồn tại (I) ................................................................................. 7
2.3. Kết quả tồn tại (II) .............................................................................. 20
Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS ....................................................... 28
3.1. Nghiệm tuần hồn dương của hệ phương trình vi phân hàm
nonautonomous ............................................................................................... 28
3.2. Một số áp dụng ......................................................................................... 44
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 50


-1-

LỜI MỞ ĐẦU
Lí thuyết phương trình vi phân đã có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa học
và xã hội như trong vật lí, sinh học... Luận văn này trình bày lại toàn bộ nội dung
của bài báo [6],[7]. Bao gồm trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hồn dương của hệ
động lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder
nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder và sự tồn tại nghiệm tuần
hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm tuần hồn nonautonomous dựa trên
vấn đề về giá trị riêng của tốn tử hồn tồn liên tục trên nón trong khơng gian
Banach. Các kết quả trên được mở rộng nghiên cứu trong lí thuyết như trong mơ
hình tốn sinh học, động lực học dân số. Như phương trình vi tích phân Volterra,
mơ hình tổng qt n loài cạnh tranh Gilpin – Ayala.

Luận văn được chia thành các chương như sau
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai
Chương 3: Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm
nonautonomous


-2-

Chương 1:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lí Ascoli – Arzela. Cho X là không gian mêtric compact. Tập A ⊂ CK ( X )
là compact tương đối khi và chỉ khi A bị chặn đều và đẳng liên tục.
Định lí Schauder. Cho C là tập lồi đóng trong khơng gian Banach E và

f : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compắc tương đối. Thì f có điểm bất
động trong C .
Định lí. (Leray-Schauder nonlinear alternative)
Cho E là không gian Banach, D là tập mở, bị chặn trong E , 0 ∈ D . Cho

T : D → E là ánh xạ compắc. Khi đó
• Hoặc tồn tại x ∈∂D và λ ≥ 1 sao cho Tx = λ x .
• Hoặc T có điểm bất động trong D .
Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và P là một tập đóng, khơng rỗng của

X . P là nón nếu
(i) x, y ∈ P và α , β ∈  + thì

αx + β y∈P.

(ii) x ∈ P và − x ∈ P thì x = 0 .
Mỗi nón P ⊂ X cảm sinh một thứ tự riêng trong X . Ta xác định” ≤ ” trong P bởi

x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P .
Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và D ⊂ X , 0 ∈ D . Toán tử L : D → X
thỏa L0 = 0 , xλ ≠ 0 được gọi là véctơ riêng của giá trị riêng

Lxλ = λ xλ .

λ của L nếu


-3-

Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI
2.1. Giới thiệu bài toán
Chúng ta sẽ nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm dương tuần hoàn chu kì T của hệ
động lực non-autonomous bậc hai


x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1)

(

Trong đó a ( t ) , e ( t ) ∈  / T , 

N

) , f ( t , x ) ∈  (  / T  ×  \ {0},  )
N

N

lim fi ( t , x ) = +∞ đều theo t, i = 1,2,..., N

x →0 +

Ta cần=
tìm hàm x ( t )

( x ( t ) ,..., x ( t ) ) ∈ (  / T ,  )
2

1

N

thỏa (2.1) sao cho

N

xi ( t ) > 0, ∀t , i =
1,2,..., N .

(

a (t ) (a1 , a2 ,..., aN ) ∈  / T , 
Chúng ta kí hiệu=

N

)

=
e(t ) (e1 , e2 ,..., eN ) ∈ (  / T ,  N )
Với mỗi i = 1,2,..., N , ta xét phương trình scalar (vơ hướng)

x "+ ai ( t ) x =
ei ( t ) (2.2)
Với điều kiện biên tuần=
hoàn x ( 0 ) x=
(T ) , x ' ( 0 ) x ' (T ) .(2.3)
Trong mục 2 này, ta giả sử rằng các giả thiết sau thì thỏa mãn
(A) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) luôn dương với mọi

( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2,..., N
Trong mục 3, ta giả sử rằng


-4-

(B) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) không âm với mọi

( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2,..., N
Nói cách khác, ngun lí anti-maximum áp dụng cho (2.2), (2.3). Với điều kiện
T

(A),(B) nghiệm của (2.2),(2.3) cho bởi x ( t ) = Gi ( t , s ) ei ( s ) ds .

∫
0

π 
Khi ai ( t ) = k , điều kiện (A) tương đương với 0 < k < λ1 =
  và điều kiện (B)
T 
2

2

2

π 
tương đương với 0 < k ≤ λ1 =
 
T 

2

2

Hàm Green liên quan đến (2.2), (2.3) có dạng


 g1i ( t , s )
Gi ( t , s ) = 


 g 2i ( t , s )

,0 ≤ s ≤ t ≤ T
,0 ≤ t ≤ s ≤ T

Ta có
T

T

T

∫ x′′ ( s ) G ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) G ( t , s )ds =
∫ e ( s ) G ( t , s ) ds
2

i

i

0

0

T

T

i

i

0

T

T

∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds
2

1i

0

2i

0

T

= ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds
0

2

1i

0

2i

0


-5-

⇒ x ( t )  g 2′ i ( t , t ) − g1′i ( t , t )  − x′ ( t )  g1i ( t , t ) − g 2i ( t , t ) 
+ x′ (T )  g 2i ( t , T ) − g1i ( t ,0 )  + x ( 0 )  g1′i ( t ,0 ) − g 2′ i ( t , T ) 
T

T

0

0

+ ∫ x ( s )  g1′′i ( t , s ) + k 2 g1i ( t , s )  ds + ∫ x ( s )  g 2′′i ( t , s ) + k 2 g 2i ( t , s )  ds
T

= ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds
0

 g1′′i ( t , s ) + k 2 g1i ( t , s ) =
0  g1i ( t , s ) = A sin ks + B cos ( −ks )
Ta cần 
⇒
2
′′

g
t
,
s
+
k
g
t
,
s
=
0
(
)
(
)

 2i
2i
 g 2i ( t , s ) = C sin ks + D cos ( −ks )
1
 g 2is ( t , t ) − g1is ( t , t ) =

 g1i ( t , t ) = g 2i ( t , t )
Mặt khác 
 g 2i ( t , T ) = g1i ( t ,0 )
 g ( t ,0 ) = g ( t , T )
2 is
 1is
1

−kA cos ( kt ) − kB sin ( −kt ) + kC cos ( kt ) + kD sin ( −kt ) =

−kt ) C sin ( kt ) + D cos ( −kt )
 A sin ( kt ) + B cos (=
⇔
B
C sin ( kT ) + D cos ( −kT ) =
kC cos ( kT ) + kD sin ( −kT ) =
A


cos k (T − t ) − cos kt

A =
2k (1 − cos kT )


sin k (T − t ) + sin kt
B =
2k (1 − cos kT )

⇔
C = cos kt − cos k (T + t )

2k (1 − cos kT )

sin k (T + t ) − sin kt

D
=


2k (1 − cos kT )



-6-

Do đó g1i ( t , s ) =

g 2i ( t , s ) =

sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s )
2k (1 − cos kT )

sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t )
2k (1 − cos kT )

Trong trường hợp này ta có

 sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s )
, 0≤ s ≤t ≤T

2
k
1
−
cos
kT
(
)


Gi ( t , s ) = 
 sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) , 0 ≤ t ≤ s ≤ T

2k (1 − cos kT )

kT
1
1
cot
≤ Gi ( t , s ) ≤
kT
2k
2
2k sin
2
Cho hàm a ( t ) khơng là hàm hằng. Có tiêu chuẩn trong Lp được chứng minh trong
bài báo [8] nó đưa đến bổ đề sau. Cho K ( q ) kí hiệu là hằng số Sobolev trong bất
đẳng thức sau

∀u ∈ H 01 ( 0, T )

C u q ≤ u′ 2 ,
2



 2π 2
 1+ q
K ( q ) =  qT


4

T
ở đây Γ là hàm Gamma.

2

1−

 2 


2+q

2
q


1 
 Γ  
 q  , 1 ≤ q < ∞

 1 1
 Γ 2 + q  

 
,q = ∞

-7-

Chuẩn trong Lp kí hiệu là . p . Số mũ liên hợp của p kí hiệu là p sao cho

1 1
+ =
1
p p
Bổ đề. 2.1: Với mỗi i = 1,2,..., N , giả sử rằng ai ( t ) > 0 và ai ∈ Lp [ 0, T ] cho bất kì

1≤ p ≤ ∞
Nếu ai

p

< K ( 2 p ) thì giả thiết (A) thỏa mãn.

Hơn nữa, điều kiện (B) thỏa mãn nếu ai

p

≤ K ( 2 p ) .

Trong giả thiết (A) ta ln kí hiệu

=
=
=
mi min
Gi ( t , s ) , M i max

Gi ( t , s ) , σ i
0≤ s ,t ≤T

0≤ s ,t ≤T

mi
Mi

(2.4)

Khi đó M i > mi > 0 và 0 < σ i < 1
Ta xác định hàm γ :  →  N
T

γ i ( t ) = ∫ Gi ( t , s ) ei ( s ) ds ,

i = 1,2,..., N

0

ei ( t ) .
là nghiệm tuần hồn chu kì T của x "+ ai ( t ) x =
Trong chương 2, ta sử dụng các kí hiệu sau

γ * = min γ i ( t ) γ * = max γ i ( t )
i ,t

i ,t

2.2. Kết quả tồn tại (I)

Trong mục này, ta trình bày và chứng minh kết quả tồn tại đầu tiên. Chứng minh
được dựa trên định lí Leray-Schauder nonlinear alternative.


-8-

=
X  [ 0, T ] × ... ×  [ 0, T ] và kí hiệu
Trong áp dụng sau, ta xét
xi = sup xi ( t ) , i = 1,2,..., N .
t∈[ 0;T ]

x = max xi với x = ( x1 , x2 ,..., xN )
i

Xác định toán tử T : X → X bởi Tx = (T1 x, T2 x,..., TN x ) trong đó
T

=
(Ti x ) ( t )

T

∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds , i = 1,2,..., N
i

(2.5)

i

0

là ánh xạ compắc.
Chứng minh
Kiểm tra Ti ( x ) liên tục theo

t.

Với x ∈ X cố định, B ={ x ( s ) + γ ( s ) : s ∈ [ 0;T ]}
Do f i liên tục nên fi ([ 0, T ] × B ) bị chặn tức là tồn tại M 1 > 0 sao cho

f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ M 1
Với

ε > 0 do Gi liên tục trên [ 0, T ] × [ 0, T ] tồn tại δ > 0 sao cho t − t ′ < δ
Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) <

ε
M 1T

, ∀s ∈ [ 0;T ]

T

T

0

0

Ti x ) ( t ′ ) ∫ Gi ( t , s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds − ∫ Gi ( t ′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds
(Ti x ) ( t ) − (=

<ε .


-9-

Chứng minh T ( x ) liên tục theo biến x

{

Đặt G = sup Gi ( t , s )
i

}

Xét dãy { xm }m trong X sao cho lim xm = x .
m→∞

{ x ( s ) : s ∈ [0;T ]; m ∈  } thì C là tập compắc .

Đặt C =
Với

+

m

ε > 0 vì fi liên tục trên [ 0;T ] × C nên tồn tại số δ > 0 sao cho

x ( s ) − y ( s ) < δ ⇒ f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) − f i ( s, y ( s ) + γ ( s ) ) ≤

ε
GT

.

Vì lim xm = x trong X nên
m→∞

∃mo : ∀m ≥ mo ⇒ xm ( s ) − x ( s ) < δ , ∀s ∈ [ 0;T ] ⇒ xm − x < δ
T

(Ti xm ) ( t ) − (Ti x ) ( t ) ≤ G ∫ fi ( s, xm ( s ) + γ ( s ) ) − fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds ≤ ε
0

Suy ra Txm − Tx < ε
Vậy T liên tục.
Chứng minh T ( x ) liên tục đồng bậc.
Cho A là tập bị chặn trong X , nên có M > 0 sao cho x ≤ M , ∀x ∈ A .

(

Do f i liên tục trên [ 0, T ] × BN 0, M + γ

*

) ,trong đó B ( 0, M + γ )
*

N

đóng tâm O bán kính M + γ * trong  N nên tồn tại α i > 0 sao cho

{

}

=
α i max fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) , s ∈ [ 0, T ]

là quả cầu


-10-

α = max {α i }
i

fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ α , ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A .
T

(

)

Do đó (Ti x ) ( t ) ≤ Gi ( t , s ) f i s, x ( s ) + γ ( s ) ds ≤ Gα T ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A .

∫
0

Suy ra Tx ≤ Gα T , ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A
Vậy T ( A ) bị chặn đều.
Với ε > 0 cho trước do Gi liên tục trên [ 0, T ] × [ 0, T ] nên có δ > 0 sao cho khi

t , t ′ ∈ [ 0;T ] : t − t ′ < δ , ∀x ∈ A ,
ta có Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) <

ε
, ∀s ∈ [ 0, T ]
αT

T

(Ti x ) ( t ) − (Ti x ) ( t′) ≤ ∫ Gi ( t , s ) − G i ( t′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds
0

≤ ε , ∀x ∈ A .
T ( A ) liên tục đồng bậc.
Do đó theo định lí Ascoli-Arzela. T ( A ) compắc tương đối trong X .
Vậy T là ánh xạ compắc.□
Định lí 2.1 : Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (A). Hơn nữa ta có
(H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Tồn tại một hàm liên tục φL > 0 sao cho mỗi thành
phần f i của f thỏa mãn f i ( t , x ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]


-11-

(H 2 ) Với mỗi thành phần f i của f , tồn tại hàm không âm liên tục

gi ( x ) , hi ( x ) , ki ( t ) sao cho
0 ≤ fi ( t , x ) ≤ ki ( t ){ gi ( x ) + hi ( x )} , ∀ ( t , x ) ∈ [ 0;T ] ×  N+ \ {0} ,
Và gi ( x ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x ) / gi ( x ) là hàm không giảm theo biến x .
(H 3 ) Tồn tại số r > 0 sao cho

r

 hi ( r + γ ,..., r + γ ) 
gi ( γ * ,..., γ * ,σ i r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
*
* 
g
r
r
+
+
γ
,...,
γ
(
) 
i

*

*

> K i* , i = 1,2,..., N

T

Trong đó K = max K i ( t ) , K i ( t ) = Gi ( t , s ) ki ( s ) ds .
*
i

i

∫
0

Nếu γ * ≥ 0 thì (2.1) có ít nhất một nghiệm x dương tuần hồn chu kì T với

x ( t ) > γ ( t ) với mọi t và 0 < x − γ < r .
Chứng minh
Đầu tiên ta chỉ ra rằng x′′ + a ( t ) x=

f ( t , x ( t ) + γ ( t ) ) (2.6)

có một nghiệm x dương tuần hồn chu kì T thỏa mãn x ( t ) + γ ( t ) > 0, ∀t ∈ [ 0;T ]
và 0 < x < r .
Từ (H 3 ),ta chọn n0 ∈ {1,2,...} sao cho

1
< σ r + γ * và
n0

 hi ( r + γ * ,..., r + γ * )  1
+ K gi ( γ * ,..., γ * ,σ i r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
*

* 
+
+
g
r
γ
,...,
r
γ
(
)
i

 n0
*
i

i = 1,2,..., N . Trong đó σ = min {σ 1 ,σ 2 ,...,σ N }


-12-

{n0 , n0 + 1,...} . Cố định n ∈ N 0 . Xem xét họ hệ

=
N0
Chọn

x′′ + a (=
t ) x λ f n (t, x (t ) + γ (t )) +

a (t )
, λ ∈ [ 0;1]
n

(2.7)

và cho mỗi i = 1,2,..., N ,

1

,
,
f
t
x
x
≥
(
)
i
i

n
fi n ( t , x ) = 
 fi  t , x1 ,..., xi −1 , 1 , xi +1 ,..., xN  , xi ≤ 1
 
n
n


Giải (2.7) thì tương đương với vấn đề tìm điểm bất động sau
T

1
1
=
xi ( t ) λ ∫ Gi ( t , s ) fi n ( s, x ( s ) + γ ( s ) )=
ds +
λ (Ti n x ) ( t ) + , i = 1,2,..., N (2.8)
n
n
0
Chúng ta chứng minh rằng bất kì điểm bất động x của (2.8)với bất kì λ ∈ [ 0;1] phải
thỏa mãn x ≠ r . Giả sử trái lại x là điểm bất động của (2.8) ứng với λ ∈ [ 0;1] sao
cho x = r . Không mất tổng quát, ta giả sử rằng x j = r cho một j = 1,2,...N . Vì
vậy ta có
T

1
=
x j (t ) −
λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) )ds
n
0
T

≥ λ m j ∫ f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds
0

T

∫ (

)

= σ j M j λ f jn s, x ( s ) + γ ( s ) ds
0


-13-

T

≥ σ j max { λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) )ds
t

=σ j x j −

}

0

1
.
n

Do đó, với mọi t , ta có

x j (t ) ≥ σ j x j −
Vì thế x j ( t ) + γ j ( t ) ≥ σ j r + γ * >

Từ

1 1
1 1

+ ≥ σ j  x j − +  ≥ σ jr
n n
n n


1
n

1 1
≤ < σ r + γ*
n n0

Vì có điều kiện (H 2 ), cho tất cả t
T

x j ( t ) λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds +
=
0

T

(

)

= λ G j ( t , s ) f j s, x ( s ) + γ ( s ) ds +

∫
0

T

≤ ∫ G j ( t , s ) f j ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds +
0

1
n

1
n

1
n


1
 hj ( x ( s ) + γ ( s )) 

≤ ∫ G j ( t , s ) k j ( s ) g j ( x ( s ) + γ ( s ) ) 1 +
 ds +
n

0
 g j ( x ( s ) + γ ( s )) 


T

 h j ( r + γ * ,..., r + γ * )  1
≤ K g j ( γ * ,..., γ * ,σ j r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
+
*
* 
+
+
g
r
γ
r
γ
,...,
(
)
j

 n0
*
j


-14-

Vì xi ( t ) ≥

1

, ∀i ∈ {1,2,..., N } \ { j} và γ * ≥ 0 .
n

Do đó,

 h j ( r + γ * ,..., r + γ * )  1
r = x j ≤ K g j ( γ * ,..., γ * ,σ j r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
+
*
* 
+
+
γ
γ
g
r
r
,...,
(
)
j

 n0
*
j

Mâu thuẫn với chọn n0 và khẳng định được chứng minh
Từ chứng minh trên, Định lí Leray- Schauder cơng nhận rằng

=

x (t )

(T x ) ( t ) + 1n
n

{

(2.9)

}

x X : x có một điểm bất động, kí hiệu x , trong Br =∈
n

x′′ + a ( t=
) x f n (t, x (t ) + γ (t )) +

a (t )
(2.10)
n

có một nghiệm x tuần hồn chu kì T với x < r .Từ xin ( t ) ≥
n

n

1
> 0 . i = 1,2,..., N
n

và t ∈ [ 0;T ] , x là nghiệm tuần hồn dương chu kì T của (2.10).
n

Tiếp theo ta khẳng định tồn tại một hằng số

δ > 0 , độc lập với n ∈ N 0 , sao cho

min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , ∀n ∈ N 0 (2.11)
i .t

Từ (H 1 ) được thỏa mãn, tồn tại một hàm liên tục φr +γ * ( t ) > 0 sao cho mỗi thành
phần f i của f thỏa mãn f i ( t , x ) ≥ φr +γ * ( t ) với mọi t và x ≤ r + γ * . Cho

x r +γ ( t ) là nghiệm tuần Chu kì T duy nhất của
*


-15-

x′′ + a ( t ) x =
φ (t )

(

)

Với φ ( t ) = φr +γ * ( t ) ,...,φr +γ * ( t ) , thì ta có
T

=
x (t ) + γ i (t )
r +γ *
i

T

∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds + γ ( t ) ≥ φ
r+

i

*

*

i

+ γ * > 0 , cho mỗi i = 1,2,..., N

0

T

φi ( t ) ,
φi ( t )
=
=
Ở đây φ* min

∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds
i

i ,t

r+

*

0

Tiếp theo ta chỉ ra rằng (2.11) thỏa δ = φ* + γ * > 0 . Để có điều này, với mỗi

1
i = 1,2,..., N , từ xin ( t ) + γ i ( t ) ≤ r + γ * và xin ( t ) + γ * ≥ , ta có
n

=
x (t ) + γ i (t )
n
i

T

1
∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds + γ ( t ) + n
n

i

n

i

i

0

T

≥ ∫ Gi ( t , s )φr +γ * ( s ) ds + γ i ( t )
0

≥ φ* + γ * =
δ

{

}

Do đó min xin ( t ) + γ i ( t ) ≥ δ
i .t

{ }

Chúng ta chứng minh xin

n∈N 0

là họ bị chặn và liên tục đồng bậc trên

n
Ta cần x ≤ H với hằng số H > 0 , với mọi n ≥ n0 .

Bởi điều kiện biên tuần hoàn , x n ( t0 ) = 0 với một vài t0 ∈ [ 0, T ] .
Tích phân hai vế (2.10) từ 0 đến T , ta có

[0,T ]


-16-

T

( t ) dt
∫ a (t ) x=
n

0

a (t ) 
 n
n
f
t
x
t
t
+
+

,
γ
(
)
(
)
(
)
dt
∫0 
n 

T

Do đó, với mỗi i = 1,2,..., N
t

x = max ∫ 
xin ( s ) ds
n
i

t

t0

a (s)


= max ∫  fi n ( s, x n ( s ) + γ ( s ) ) + i

− ai ( s ) xin ( s )  ds
t
n

t0 
t

T
ai ( s ) 
 n
n
≤ ∫  fi ( s, xn ( s ) + γ ( s ) ) +
ds + ∫ ai ( s ) xi ( s )ds
n 
0
0
T

T

= 2 ∫ ai ( s ) xin ( s ) ds =
≤ 2r ai 1 H1
0

T

n
Ở đây ai 1 = max ai ( s ) ds . Thì x ≤ H được thỏa mãn với H = max { H i }

∫

i

0

{ }

Từ x < r và x ≤ H chỉ ra rằng với mỗi i = 1,2,..., N , xin
n

n

n∈N 0

là họ bị chặn và

{ }

liên tục đồng bậc trên [ 0,T ] . Theo định lí Ascoli-Arzela xin

{x }
nk
i

k∈

n∈N 0

có dãy con

hội tụ đều trên [ 0,T ] về hàm liên tục xi ∈  ( 0, T ) . Lấy x = ( x1 ,..., xN ) , từ

x n < r và min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , x thỏa mãn δ ≤ xi ( t ) + γ i ( t ) ≤ r + γ * , ∀t và
i .t

i = 1,2,..., N .
Hơn nữa xink thỏa mãn phương trình tích phân


-17-

=
x (t )
nk
i

T

(

)

1
nk
,
,
, i 1,2,..., N
G
t
s

f
s
x
s
+
γ
=
s
ds
+
(
)
(
)
(
)
i
∫0 i
nk

Cho k → ∞ ,

=
xi ( t )

T

) ) ds, i
∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s=
i

1,2,..., N

i

0

*
( f i ( t , x ) liên tục đều trên [ 0, T ] × δ , r + γ  ).

Do đó x′′ + a ( t ) x=

f ( t , x ( t ) + γ ( t ) ) (2.6) có một nghiệm x dương tuần hồn chu

kì T thỏa mãn x ( t ) + γ ( t ) > 0, ∀t ∈ [ 0;T ] và 0 < x ≤ r .
Nếu x = r tương tự như chứng minh trên ta có điều mâu thuẫn.
Khi đó u=
( t ) x ( t ) + γ ( t ) là một nghiệm x dương tuần hồn chu kì T của


x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1) với 0 < u − γ < r vì
u′′ + a ( t ) u = x′′ + γ ′′ + a ( t ) x + a ( t ) γ = f ( t , x + γ ) + e ( t ) = f ( t , u ) + e ( t ) .
Ta có điều phải chứng minh. □
Xét hệ phương trình

 ′′
 x + a1 ( t ) x =

 y′′ + a ( t ) y =
1



(x

2

(x

2

+ y2 )

−α

+ y2 )

−α

+µ

(x

+µ

(x

2

+ y 2 ) + e1 ( t )

2

β

+ y 2 ) + e2 ( t )
β

(2.12)

Với a1 , a2 , e1 , e2 ∈ C [ 0, T ] ,α , β > 0 và µ ∈  là tham số cho trước.
Hệ quả 2.1: Giả sử rằng a1 ( t ) , a2 ( t ) thỏa mãn (A) và α > 0, β ≥ 0 .thì với mỗi

e1 ( t ) , e2 ( t ) ∈ C (  / T ,  ) với γ * ≥ 0 chúng ta có


-18-

(i)

Nếu β < 1 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hồn chu kì T
với mỗi µ > 0 .

(ii)

Nếu β ≥ 1 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệm dương tuần hồn chu kì T
với mỗi 0 < µ < µ1 , ở đây µ1 là hằng số dương bất kì.

Chứng minh: Chúng ta áp dụng định lí 2.1 với

f i ( t , x, y ) =

(x

2

+ y2 )

g1 ( x=
, y ) g 2 ( x=
, y)
h1 =
( x, y ) h2 =
( x, y ) µ

−α

(x

+µ

2

(x

(x

+ y2 )
2

2

+ y2 )

β

−α

k=
+ y 2 ) và k=
1 (t )
2 (t ) 1
β

(H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục
=
φL ( t )

(

2L

)

−α

> 0 khi đó

fi ( t , x, y ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]
(H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục

gi ( x, y ) , hi ( x, y ) , ki ( t ) Và gi ( x, y ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x, y ) / gi ( x, y )
là hàm không giảm.Thỏa mãn

0 ≤ fi ( t , x, y ) ≤ ki ( t ){ gi ( x, y ) + hi ( x, y )}, ∀ ( t , x, y ) ∈ [ 0;T ] ×  2+ \ {0} ,
(H 3 ) Tồn tại số r > 0 sao cho

 (σ i r + γ * ) 2 + γ * 2 



−α
2

r
1, 2
> ωi* , i =
α +β
α +β 

*
1 + µ 2 2 ( r + γ ) 


α

2
r (σ i r + γ * ) + γ *2  2 − ωi*

,i =
1,2 với r > 0 bất kì

⇒µ< 
α +β
α
β
+
2 2 (r + γ * )


-19-

T

Trong đó ωi ( t ) = Gi ( t , s ) ds .

∫
0

Vì vậy, (2.8) có ít nhất một nghiệm tuần hồn chu kì T dương với
α

2
r (σ i r + γ * ) + γ *2  2 − ωi*

0 < µ < µ1 min=
sup 
, i 1,2
=
α
β
+

i =1,2 r >0
* α +β
2
2 (r + γ )

Nếu β < 1 thì µ1 = ∞ , nếu β ≥ 1 thì µ1 < ∞ . Ta có kết quả (i),(ii). □
Bổ đề 2.2: Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (A). tổng quát hơn ở đây tồn tại hàm liên tục

b, bˆ > 0 và α > 0,0 ≤ β < 1 sao cho mỗi thành phần fi của f thỏa mãn
(F )

0≤

bˆ ( t )
x

α

≤ fi ( t , x ) ≤

b (t )
x

α

+ b ( t ) x , ∀t
β

Nếu γ * ≥ 0 , thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hồn chu kì T .
Chứng minh: Ta áp dụng định lí (2.1), với

=
ki ( t ) b ( t=
) , gi ( x )

1
β
=
hi ( x ) x
α ,
x

Theo giả thiết
(H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục φL=
(t )

bˆ ( t )
>0
Lα

khi đó f i ( t , x ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]
(H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục

gi ( x ) , hi ( x ) , ki ( t ) Và gi ( x ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x ) / gi ( x ) là hàm