ứng dụng phương pháp bậc tôpô trong nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân, chương 1

CHUaNG I :

B~C TOPO CUA NHUNG TOAN TV
L - Hoan toaD lien t.,.c
I. TOAN TV L - HoAN ToAN LIEN T1)C :

1.1.Tmin tii Fredholm va bai tmin ghi tri bien tuye'ntinh.
D;nh nghia 1.1 :
Cho X, Z la nhung khong gian dinh chuftn th1!c,va ky hi~u \. I
chuftn tu'dng ling cua chung.

la

MOt anh x~ tuye'n tinh :

L : domL c X ~ Z
Voi
..;.1

KerL

= L {a} va.lmL = L (domL)

du'QcgQi la mOt anh x~.Fredholm, ne'u hai di~u ki~n sail xay ra :
(i) KerL co s6 chi~u hOOh~n.
(ii) ImL la dong va co s6 d6i chi~u hOOh~n. (So' d6i chi~u cua ImL la
s6 chi~u cua ZhmL, nghla Ia so' chi~u cua d6i h~ch CokerL cua L).
Khi L la anh x~ Fredholm, chi s6 cua no ky hi~u IndL la s6 nguyen,
du'Qcxac dinh bai.
IndL

= dimKerL

- CodimlmL

Tinh cha't 1.2 :
Tli dinh ilghla tren va til' nhii'ng ke"t qua cd ban cua giai tich ham
tuye"n tinh, t6n t~i nhung phep chie'u lien tl}c

P : X ~ X,

Q:Z~Z

5


SaD cho
Imp

= KerL,

KerQ

= ImL

VI the'
x = KerL EE>
Kerp
Z = ImL EE>
ImQ

la t6ng tn!c tie'p tapa. Khi d6 slf thu hyp Lp cua L tren domL n KerP la anh
x~ 1 - 1 va anh x~ daD (d~i so')
Kp : ImL ~ domL n KerP
duQc xac dinh
Ky hit$u :

Kp,Q: Z ~ domL n KerP
duQcgQila t6ng quat h6a nguQccua L, dinh nghla bdi
Kp,Q

= Kp (I -

Q)

X6t bai toan vi phan thuong
(*)

d day

x'(t)

= (d/dt)

X1(t)=f(t), tEI=[O,l]

{ Mx(o) +Nx(l) = C

x(t), f ELI (I, Rn) khong gian cua nhii'ng anh x~

kha tich Lebesgue tu 1 vao Rn, cERn,

va M, N la nhii'ng ma tr~n thlfc

vuong cgp n.
Ta d~t :
X = C (I, Rn) khong gian cua nhii'ng anh x~ lien t1;lctu I vao R n,

domL = {x EX: x lien t1;lCtuyt$t do'i tren I},
L: x ~ (x', M XeD) + N xCI)),
Z = L 1 (I, Rn) x Rn

g = (f, c)
6


Thl bai loan (*) tuong duong vdi phuong trlnh thu gQn Lx
Ngoai ra

= g.

=

{x EX: x la anh XC;lh~ng va (M + N) x(0) = O}, do d6
dimKerL = dim Ker (M + N)
KerL

N6i mQt cach khac, phuong trlnh dftu trong (*) tuong duong vdi
t
x(t)=x(o)+

ff(s)ds,

tEl,

0

VI the- phuong trinh thli' hai trong (*) duQc vie-t
1
(*.1) (M+N) x(o)

=c -

N ff(s)ds,

, ta suy ra duQc

0

ImL

= {(f'C) EZ:c-N
= A-I

!fEIm(M+N)}

(Im-(M+N))

Vdi A duQc dtnh nghla bdi anh XC;l
tie-ptuye-n

A : Z ~ Rn
1
A(f,c)

=c -

f

N f(s)ds,
0

Vdi chu~n thuong dung tren L\1, Rn) va Rn va chu~n tich tuong ling
tren A, thl A lien tl;1C,
ta suy ra ImL la d6ng trong Z.
Ta chli'ngminh L la mQtanh XC;l
Fredholm chi s6 zero.
Ta c6 kerA la d6ng va loan anh tren Rn, VIthe-codim KerA

Z =Ker

A E9 U (t6ng tOpo).

Vdi : dim U = n

7

= n va


Do d6, ne'u AU la A thu hyp tren U, thl

A-I (Im(M + N)) = Ker A EBAU1(Im(M +N)) = Ker A EBV
Voi dim V

= dim 1m (M + N)

VI the'
Codim ImL

=n - dimlm (M + N)
= dim Ker (M + N)
= dim Ker L.

V~y L la anh x~ Fredholm chi s6 zero.
Chung ta chi fa cach xfiy dvng nhii'ngphep chi€u P va Q sao cho
ImP = KerL
ImL =kerQ
va t6ng quat h6a ngu'Qctu'dng ung cua chung
f)~t S : Rn ~ Rn
la mQt phep chi€u, sao cho

ImS

=kef

(M + N)

va d~t (M + N)s la sv thu hyp cua (M + N) tren Kers, thl (M + N)s la mQt
song anh tit KerS vao 1m (M + N).
Th~t v~y :
Ta c6:

dim Ker (M + N) + dim 1m (M + N) =dim KerS + dim ImS,

Suy ra

dim KerS =dim 1m (M + N).
f)~ chung minh (M + N)s la mQt song anh, chi c~n chung minh
(M + N)s la ddn anh.

8


Ta co
Ker (M + N)s

= {x EKerS/

(M + N)Sx

= O}

= {x/ x EKerS,(M +N)x = O}

= {x/ x EKerS,x EKer(M +N)}
= -{x/ x EKerS,x ElmS}

= {a}
Ne'u (f, c) E lmL, thl phuong trlnh (* .1) tu'ong du'ong voi.

x(oJ

= S (X(OJ)+(M+N)S{C-Nlf(SJdS)

bi~u thuc tren cho ra nghit%mcua bai loan gia tri bien sail

x(t)

=S (x(o)) + If(S)ds+(M+N)S{C-N

!f(S)dS)

Ngoai fa, ne'u ta dinh nghla
Ps la phep chie'u tren X bdi
Ps(X)

=S(x(o»

Voi ve' phcii la anh X~ hang trong X, nh~n gia tri S(x(o», voi mQi
(f, c) E lmL,
Taco:

(*;2) (Kps (f,C»)(!) = {f(S)ds+

= 1 f(s)ds+

(M + N)S

l(c - N ! f(S)dS)

(M + N)Sl.A(f,c),(t EI)

.E)~tT la mQt phep chi€u trong Rn, sao cho

ImT=Im(M+N)
9


va dinh nghia QTtren Z, bdi
QT (f,c)

= (0, (I -

T)A (f,cn.

Do do
(f, c) E ImL
ne'u va chI ne'u

= Ker QT

ImL

Ngoai ra QT la mQt phep chie'u lien tl;lc,tit (* .2) ta co
(KPs,QT(f,c»)(t)

= 1 f(s)ds+

(M + N)SIT( c - N !f(S)dS]

= If(S)ds+(M+N)slTA(f,C),

tEl

Do do sv bi~u thi cua nhii'ng phep chie'u Ps, QT va t6ng qmit hoa
nguqc KpS' QT trong nhung s6 h,:;mgcua nhung phep chie'u trong Rll vao
Ker(M+N) va 1m(M + N).

= 0,

Khi C

ta xet loan tii' triI'u tuqng cho bai tmin vi phan thuong,

ta d~t
x = {CO,R ll):Mx(o) + Nx(1) = O}
Z = Ll(I,Rn)

dam

L= {x

E~

va dinh nghia

X : x lien tl;lctuy~t

d6i tren I}

L bdi
~

Lx

=x'

Dodo:
Ker

L = { XEdam L : x la anh x';l h~ng gia tri no ph1;}thuQc vao

Ker (M+N)}

10


Luc nay bai toan (*) voi C = 0, tuang duang voi
X(t) = x(o) + {f(S)dS

{ Mx(o) + Nx(l)

=0

Ta c6:

Imi:.={f

EZ:N If(S)dS EIm(M+N)}

= B-1 (1m (M + N))

-

?

d ds.y B : Z ~ Rn
la anh x~ tuy6n tinh lien t\lC,duQcxac dinh bdi
Bf = N 1: f(s)ds
VI v~y :

- =dim Ker (M + N)

dim Ker L

la hUllh~n va 1m1- la d6ng, t~i m6i anh x~
f~

1:f

tu Z vaG Rn la to~m anh,
Ta c6:

Codim1m 1- =dim (lmN/ImN
nay

n1m(M + N)), do d6 trong cong thuc

L khong nhftt thi6t la chi 86 zero, tuy nhien, n6u
del (M + N) "*0,

Thl KerL = {O}

Va

- =dim (ImN limN)

Codim 1m L

=0


VI v~y [, la kha nghich.Ne'u
rank (M, N)

-

= n. L

la chi s6 zero, thl [ cling kha nghich.
Di~u kit$n cu6i cling nay la di:icbit$t thoa man cho tHrong hc;1pnhG'ng

di~u kit$nbien tu~n hoan

..

x(o) - x(1) =0

Vdi

- =n =codim 1m L-

dim Ker L

Ta dinh nghia Ps tren x, vdi S la mQt phep chie'u trong Rn sac cho
ImS

= Ker (M + N)

Bdi

Psx

= S (x(o))

-Xc6 gia tri hiing S(x(o)). Ta c6 mQt

?

0 day ve' phai Ja ph~n td' cua
phep chie'u lien t1;1csac cho

-

-

1m Ps = KerL

N6i cach khac, Iffy V la mQt phep chie'u trong Rn sac cho

ImV =N-l (1m (M + N))
va dinh nghia toan td' Qv trong

Z bdi

QVf

r1

= (I - V) .\/

-

?

-

0 day ve' phai la ph~n td' hiing trong Z, thl Qv la mQt phep chie'u
lien t1;1ctrong

Z sac cho :

KerQv

= {f eZ: £ f(s)ds =V £ f(S)dS}
12


= {f EZ,:£ f(s)ds EW1(Im(M + N))}

{f EZ:N If(S)dS Elffi(M+N)}

;

,..,

=ImL
Ne'u S la phep chie'utrong Rn duQcdinh nghla nhu tren va ne'u fEZ,
thl ta co

(Kps'Qv

f)(t)

= -(M

+N)SlNV

J~ f(s)ds+

+

£(f(S)-(I-

V)

1 f(U)dU)ds, t eI

Trong truong hQp d~c bi~t cua nhung di~u ki~n gia tri bien tuftn
hoan, ta co

M=-N=I
VI the', ta la'y

S = I, V = 0

Ta co
,..,
PIx
,..,

Qof

Vii (K~'Qo f)«()= £(f(8)Khi fEe

= x(o)
r1

= .b f(s)ds
£ f(U)du}S

(1, Rn), ta Iftn lUQtthay Z va

Z bdi C (1, Rn) x Rn va

C (1, Rn) va thay di~u ki~n lien tl,1Ctuy~t d6i trong mi~n cua phftn tuye'n
tinh bdi tinh khii vi lien tl,1cma khong thay d6i ke'tlu~n va c6ng thllc tren.

13


1.2. Tmin tti L - Compact:
Dillh Ilghfa 1.3 ..

Cho L : domL c X ~ Z
la mQt anh x~ Fredholm, E la mQt khong gian metric va G : E ~ Z la illQt
anh x~.
Chung ta noi G la L - compact tren E, ne'u nhung anh x~ :
QG : E ~ Z va Kp, QG : E ~ X
la compact tfen E, nghIa la chung lien tl;1Ctren E va QG(E) va Kp,QG(E)
compact tu'dng dot Ta co th~ chung to ding, dinh nghla nay khong phl;1
thuQc vao sl;1'chQn nhung phep chie'u lien tl;1cP va Q.

Dinh nghfa 1.4 ..
A.nhx~ G: X ~ Z, du'QcgQila L -: hoan loan lien tl;1C,
ne'u no la L compact tren mQit~p bi ch~n E c X
Tinh cha't 1.5 : (nhilng di~u kit$ncaratheodory)
Gia sa :
f : 1 x C ~ RD
(t,
Vdi 1

f (t,
= [0, 1], C =C ([-f,

0], RD)la anh x~ thoa :

(i) Vdi m6i (ii) Hftu he't tEl,

anh x~

(iii) Vdi m6i p> 0, t6n t~i illQi I

Taco

va vdi

I

If(t,
Ne'u f lien tl;1Cva bie'n nhung t~p bi ch~n thanh nhung t~p bi ch~n, thl
di~u ki~n san du'Qcsuy fa tit di~u kit$ntru'dc khi f 0, tfong tfu'ong hQp nay

=

14


C d6ng nha't mQt cach tt! nhien vdi Rn.

Xet roan tll'f: F : C (Ir, Rn) ~ L 1 (I, Rn)xac dinh bdi
(Fx) (t)

= fer, Xl)'

tEl

Vdi Xt E C, du'Qcxac dinh bdi :

Xt(S) = x (t + s), S E [-r, 0], Ir

= [-r,

1]

f)~t g : C x C ~ C,
la illQt anh

XC;t
hoan roan lien t1;lCva xem xet anh XC;t
lien ke't dinh nghla tren

C (In Rn), bdi
G : X H g(xo, Xl)

Ta xet bai tmin gia tri bienkhong tuy€n tinh
(**)

x1(t) = f(t,Xt), t EI

{ Mxo + NXI = g(Xo,Xl)
Vdi M, N la nhung rOan tll' tuy€n tinh bi ch~n trong C~
Ta dinh nghla :

x = C (InRn) , Z =L 1 (I, Rn) xC
R: C (In Rn) ~

C(I, Rn)

la roan tll'thu h~p tu Ir vao I
domL

= {x

EX:

Rx la lien t1;lCtuy~t d6i tren I}

Lx =((Rx)', Mxo + NX1)
Va dinh nghla anh XC;t
A tren X bdi

Ax

=(Fx, Gx)

thl bai roan (**) tu'dng du'dng vdi bai tOaDthu gQn
Lx

=Ax

Ta c~n chang minh Ala L - hoan roan lien t1;lC
tren X. La'y E la ffiQt

15


t~p con bi ch~n cua X. Dftu lien ta chung minh QTA(E) va Kp s' QT A (E)
la compact tu'dng dot VI

1m (M + NTl)
C6 s6 chi~u hU'uh(;ln,nen
(1 - T)
C6 s6 chi~u hU'uh(;ln,suy fa
QTA(E) la compact tu'dng d6i,

d day Tt va

St du'<;Jcxac dinh nhu' sail

Vdi m6i tEl
Tt : C

C

~

(Tt
=Z (t + s),

-f ~ s ~ 0,

- { 0)

Ne'u - f ~t+s~O
,

Ne'u 0 < t + s ~ 1, S E [-f, 0]

?

d day:

Z(u)

=


{
Ne'u -f~U~O
Ne'u

o
St : L 1 (1,Rn) ~ C
rt+s

(Stf)(s)

= F0
{

f(u)du d Ne'u

0 ~ t+ s ~ 1

, Ne'u -f~t+S~O,s

0

E[-f,O]

Tac6

)

-

I(Stf)(O)+( Tt((M+NTd;I(C-NSlf)))
leI

( K Ps 'QT (f,c) (t) -

I(M +NTl);l(C - NSlf)(t),

16

- f ~t~0


Ta guyra :
_1(StFX)(O)+(Tt((M+NTl);l(GX-NSlFX)))(O),OStSl

( Kps,QTA )(t)-

I

(M+NTl);l(Gx-NSlFx)(t)

l-rstso

Neu p > 0 sao cho E c B [0, p] c X, tITdinh nghla cua St va nhii'ng
di~u kit%ncaratheodory, ta co
(S.F(E))(o) eX

Va

SIF (E) c C

1a nhii'ng t~p compact tu'dng d6i, (dinh ly Arzela - Ascoli), tIT G 1a hoan
toan lien tl;!c,guy ra
K PS' QT A(E) hoan

toan

lien

tl;!c trong X. Ta chung

minh

Kp s' QTA lien tl;!c.L~y (xn) la mQt day trong X hQi tl;!den x, bdi tinh chfit
compact nhu' tren.

Ta giii sa (neu ~ftnthiet la mQt day con) ((S.FXll)(0)) va (SI Fxn) hQi
t1;Itoi y va z, noi cach khac, voi illQi S E I, (x~) hQi t1;ltr°!1g C den Xs,vi the:
bdi nhii'ng di~u kit%ncaratheodory, ta co (f( s,x~)) hQi tl;!den rex, xs) trong
Rn va bi ch~n bdi mQt ham L 1, dung dinh 1y hQi tl;!Lebesgue, ta co vdi mQi
t E Ir, s E [-r,o],
(StFxn)(o)~

(StFx)(o)

(SIFxn)(s) ~ (SIFx) (8)
VI v~y Y

=(S. Fx) (0), x = SI

Fx va nhii'ng gidi h'.ln thl dQC l~p tITvit%c

chQn day con, do do (S. Fxn) (0) hQi tl;!den (S.Fx) (0) trong X va (SIFxn)

(

hQitl;!den SlFx trong C. Ta co T.(M +NTl);lNSlFxll )(0) hQitv dem

17


(T.(M +NTd;lNSIFX)

(0) trong X.

Khi ( T.(M +NTl);lGxll )(0) hQi tl;!de'n

(T.(M+NTd;lGXll))

(0)

Va tinh cha't hoan toan lien Wc cua G cling vdi s1;1'
lien tl;!ccua nhii'ng
anh x~ tuye'n tinh khac, ta suy ra Kps,QT A la lien tl;!c, tu'dng t1;1'
ta cling
chung minh du'QcQTA lien tl;!Ctren X. V~y Ala L - hoan toan lien tl;!c.

II. B~C Tapa CUA TOANTV L - HOA.NToANLIENTQC.
Btnh nghia 1.6 :
Gielsa L : domL c X ~ Z la mQtanh x~ Fredholm, vdi chI s6 zero,
va Q la mQtt~p can, IDa,bi ch~n cua X. Ta ky hi~u CdO) la lOpcua nhii'ng
anh x~ F: domLn 0 ~ Z, co d~ng
F = L + G, vdi G : 0

~

Z la L - compact, va thoa di€u ki~n.

(1.1) 0 ~ F (domLn a 0).
Chung ta mu6n dinh nghla mQt anh x~ tITCL(O) vao Z (t~p nhii'ng s6
nguyen), ky hi~u bai : DL (., 0), va du'Qc gQi la b~c cua F trong 0, lien
quail tdi L, ne'u no khong d6ng nha't bang 0 va thoa hai tinh cha't sail :
Tinh chat 1.7 : (Hnh chat cQng tmh)

Ne'u 01 va O2 la nhii'ngt~p con, ma, roi nhau cua 0 , sao cho
0 ~ F (dom Ln 0 \(01 U O2)),
thl DL (F, 0)

=DL (F, 01)

+ DL (F, O2)

Tinh chat 1.8 : (Hnh chat bat bie-n qua d6ng luan)
Ne'u F : (domL

n0 ) x [0, 1] ~

Z, co d~ng

F= (x, A) =Lx + G (x, A),vdi G : 0

18

x [0, 1]~ Z la L - compact,va


ne'u

0 ~ F((domLnaO)x[O,IJ),

thl anh X(;l'AH DL(F(.,'A),O) la h~ng tren [0,1] (chung ta se chi ra s11xfiy
d11ngDL (., 0) sau).
Tinh cha't 1.7.1 :

Ne'u F E CL(0) va 01 c 0, la md va thoa
0 ~ F (dom L n (0 \ 01)),

Thl

DL (F, 0)

=DL (F, 01)

Tinh cha't 1.7.2 :

Ne'u F E CL (0) va DL (F, 0) :1;0,
thl

0 E F (domL no)

di~u nay, noi rang phuong trlnh Fx
domL

nO.

= 0,

co it nha't mQt nghi~m trong

Tinh cha't 1.9 :
Ne'u F E CL (0) va G E CL (0) sao cho

Fx =Gx, vdi m6i x E domL

nan, thl

DL (F, 0)

=DL (G, 0)

So hf~Cv~ cach xfiy dt;lng cua ly thuye't b~c :
B~c Brouwer:
£)~u lien chung ta chQnX va Z co cimg s6 chi~u va chQn s\)'dinh hudng tren

chung. Chung ta co
0 : X
CoKerO

~

.

Z la anh X(;lFredholm vdi chi s6 zero, vdi Kero

= Z, va n€u 0

c X Ia md va bi ch~n,ro rang Co (0) la lop cua

nhung anh x(;llien tl}CF : 0 ~ Z sao cho
( 1.2)

= X,

0 ~ F (a Q)

19

Gia sa F la thuOclOpCl tren 0 va d~o ham F'x la phep d~ng ca'utli'
X vao Z, t~i m6i XE F-l

{o};duQcsuy ra tUdinhly ham ifnr~ngF1

{o}la

mOtt~p can hU'uh~n cua 0; ta dinh nghia Do (F, 0), bdi
( 1.3)

Do (F, Q)

L

=

signdetF'x

XEP-l{O}

Va duQCgQila b~c Brouwer cua F tren 0 t~i 0 va du'QCky hi~u bdi
cleF,0, 0) hay dB(F, 0, 0). Ne'u di~u ki~n (1.2) du'Qcthay bdi y ~ F(a 0),
vdi Y E Z, thl dinh nghia
cleF,0, y)

= d (F(.) -

y, 0, 0).

Tinh cha't 1.10.

Ne'u X, Z, U la nhung khong gian vectd tht;tc,co cung s6 chi~u hU'u
h~n, F E Co (0) va A : Z ~ U Ia tuye'n tinh va song anh, thl:
AF: 0

~

Do (AF, 0)

U trong Co (0) va

=(sign detA)

Do (F, 0)

Tinh cha't 1.11.

Ne'u A: X ~ Z la tuye'n tinh va song anh, 0 ~ a 0,
thi

Do(A,Q)=

o,

niu O~Q

signdetA,

lieU 0 EO

t

,

B~c Leray - Schauder:

Bay giG,gia sa r~ng X =Z Ia mOt kh6ng gian vectd dinh chuifn, thtfc
tuy y thl L = I la mOt anh x~ Fredholm vdi chI s6 zero, va CI (0) la lOp cua
nhung anh x~, co d~ng 1- G, d day G : 0 ~ X, la compact, sao cho
(1.4)

0 ~ (1- G) (B 0),

nghia la G khong co di~m ba't dOng tren a O. MOtb~c co th~ dinh nghia
tren CI (0), dung ly thuye'tb~c Brouwer, bdi

20


(1.5)

DI (F, 0)

= n~CX)
lim Do(Fn,OnXn)

= lim dB(Fn,OnXn,O),
n~CX)

--

?

d day Fn la s\( thu h~p lIen Xn no cua 1 - Gn, vai Gn : 0 ~ Xn la
anh Xi:;llien tl,lCva hi:;lngcua no chua trong kh6ng gian vectd con hii'u hi:;ln

chi~u Xn cua X va thoa n ~

00,

Gn hQi W d~u de'n G lIen 0, stf t6n ti:;limQt

day (Gn) la do tinh compact cua G lIen 0, va stf t6n ti:;licua giai hi:;lntrong
(1.5) dQc l~p vai stf chQn day (Gn), ta guy ra ding

inf!x - G(x)!> o.

xE8Q

D1 (F, 0) gQi la b~c Leray - Schauder cua F lIen 0 ti:;li0, va duQCky
hi~u bdi d(l - G, 0, 0) hay dLs (1 - G, 0, 0). Ne'u (1.4) duQc thay bdi y !2:
(1 - G) (80), vai y EX, thl b~c Leray - Schauder cua F = 1- G vai stfxem

xet 0 va y, co th~ duQcdinh nghla bdi
dLs (1 - G, 0, y) =dLS (1 ~ G(.) - y, 0, 0)

Bay gio, ne'u chung ta c6 dinh huang lIen KerL va CokerL, va chi
chQn J la thu h~p lIen ImQ, cua nhung anh Xi:;l,co di:;lngAil, vai IT :
Z ~ CokerL la loan anh chinh Hieva A : CokerL ~ KerL la phep d~ng ca"u

bao loan huang, DI (RI, P, Q, 0), vai
RI, P, Q

=1-

P + (JQ + Kp,Q)G, se duQc xac dinh duy nha"tbdi F, 0,

va nhung stf dinh huang tren KerL va CokerL, di~u nay cho phep, chung
ta dinh nghla DL (F, 0) bdi
DL (F, 0)

=DI (RI, P, Q, 0),

DL (F, 0) duQcgQi la b~c trimg cua L va - G trong 0, va duQCky
hi~u bdi d[(L, - G), 0]
Binh nghia 1.12.
Gia sa : F =L - N , H =L - K

Vdi:
N, K : X ~ Z

la L - hoan loan lien tl,lc.

21


Ta noi nhung nghi<%mcua hQ phuong trlnh
(1.6)

AFx+(1-A)Hx=O,

AE [0, 1]

la ti~n bi ch~n n€u co r > 0 sao cho voi m6i A E [0, 1] va m6i nghi<%m(co
th~ co) x E domL cua phuong trlnh (1.6), thl x < r.
I

So r

I

du'Qc gQi la mQt ti~n ch~n cho nhung nghi<%mco th~ co cua (1.6).

N€u ta bi€t mQtti~n ch~n r thIliy
0

=B(r)

nhit thi€t ta co
AFx + (1 - A)Hx =/;0
Vex, A) E [domL (\ a B(r) x [0, 1]]
bdi VI khong co nghi<%mco th~ thoa

Ix I =r
Tinh cha't 1.13 :

Ghi sa : F =L + G

E

CL(O)

Voi G (0) c Y, Y la khong gian vectd con hii'u h(;lnchi~u cua Z, sao
cho:

Z =ImL EBY (t5ng d(;liso).
Thl n€u GKerLla s1;1'
thu hyp cua G tren KerL

nKerL)

GKerL E Co (0

va \DL(F,O)I = \Do( GKerL,onKerL

~

Tinh cha't 1.14 (dinh Iy Rothe)

Giii sa : ~ =/; 0

C

X

0 la md, bi ch~n va "hinh sao quanh 0", (nghia la x E 0 va
A E [0, 1] suy ra Ax EO).

22

D~t

F=I-G
V di G
compact

:

0

~

X

va thoa :

G (80) cO
Thl

FE

Tinh cha't

C1(0)

1.15

va D1 (F, 0) = 1

:

"
G la su V : Rll~ R thUQC
'?

?

(1) V(x) ~

00 ntu

I

x

I

"
1
?
op C va thoa
...

1

~oo,

(2) T6n t(;li
r1 > 0 saD cho grad

V(x) =/;0, vdi m6i x,

I

x ~ r1 thl vdi
I

m6i r > r1>
Do (gradV, B(r))

a day

=1

B(r) la qua c~u ma tam 0, ban kinh r.

Tinh cha't 1.16 (dinh If Borsuk md rQng)
Ntu Z la khong gian Hilbert vdi tich vo huang

(,)

va n€u F = L + H,

G=L+K
V di :H, K:

0 c X ~

L

Z

- compact,

(Fx, Gx)

Vdi mQi x E domL

> 0

n 80, thl
F, G

DL

E CL (0) va

(F, 0) = DL

Dinh If 1.17 :
Gia sa H E CL(0) va F = L - N

23

(G, Q)

saD cho

vdi N : 0

~

Z hi L - compact, thoa man:

(i) A Fx + ( 1 - A)Hx * 0, vdi mQi (x, A) E (domL naO) x] 0,1 [,
(ii) DL (R, 0) * 0
thl bai toan Lx

=Nx co it nhfftmQtnghi~m trong domL no.

Tinh cha't 1.17' :
Ne'u F

=1-

B

Vdi B : X ~ X tuye'ntinh, compact
F 1a anh x~ 1 - 1, thl vdi m6i t~p ma bi ch~n Q c X sao cho 0 ~ a Q,
F E Cl(O) va
Dl (F, 0)

.

=

O,

ne'u 0 ~ 0

{ (-l)ll, ne'u 0 EO

d day m 1at6ng cua nhfi'ngtich bQinhfi'nggia tri d~c tntng cua B ph1.;1
thuQc vao ] 0,1 [.
Cac tinh chfft va dinh 1y a chuang 1 da duQcchung minh trong tai
1i~uthalli khao [l]~ [2] va.[3].

24