Tài liệu luyên thi ĐH môn toán docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.53 MB, 120 trang )
TT Luyeän thi
ÑC: 50 – Ywang - Tp. BMT
ÑT: 0500 393 41 21 – 01 686 070 686
Website: www.luyenthikhtn.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2013
MÔN TOÁN
TẬP 1
Họ và tên:……………………… …………
Buôn Ma Thuột, 2012
MỤC LỤC
Chuyển đề 1: Đại số sơ cấp 1
Chuyên đề 2: Phương trình lượng giác 9
Chuyên đề 3: Tích phân 17
Chuyên đề 4: Số phức 29
Chuyên đề 5: Tổ hợp - Xác suất 38
Chuyên đề 6: Hàm số và các bài toán liên quan 55
Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 70
Chuyên đề 8: Phương pháp tọa độ trong không gian 83
Chuyên đề 9: Hình học không gian 108
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
1
Chun Đề 1: Đại Số Sơ Cấp
BÀI 1: PT VÀ BẤT PT CHỨA CĂN THỨC
I) PHƯƠNG TRÌNH CÓẨN TRONG CĂN THỨC
A. Phương Pháp Giải Tốn
I.Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương
Dạng 1 : Phương trình
(*)
0
x D
A B A B
A B
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thc vào độ phức tạp của
0
A
hay
0
B
Dạng 2: Phương trình
2
0
B
A B
A B
Dạng 3: Phương trình
+)
0
0
2
A
A B C B
A B AB C
(chuyển về dạng 2)
+)
3 3 3 33 3
3 .
A B C A B A B A B C
và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C
ta được phương trình :
3
3 . .
A B A B C C
II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường.
Ngun tắc chung khi đặt ẩn phụ :
Nếu đặt
( )t f x
(với điều kiện tối thiểu là
0t
(thầy tạm gọi là giới hạn tương đối ). đối với các
phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Nói cách khác
các em phải dùng đạo hàm tìm GTLN-GTNN của t nếu có
B-Các Phương Pháp Giải Hay Gặp
I. Phương Pháp Biến Đổi Tương Đương
Bài 1: Giải phương trình(Dạng Cơ Bản)
1)
2
4 2 2x x x
Đs: 2 ; 2)
2
6 6 2 1x x x
Đs: 1
3)
2
2 8 3( 4)
x x x
Đs: 4, 7 4)
2
7 7
x x
Đs:
1 29
2,
2
5)
17 17 2
x x
Đs: 8 6)1 1 6
x x
Đs: 2
7)
5 1 3 2 1 0
x x x
Đs: 2
Bài Tập Luyện Tập
a)
2
1 1x x
b)
2 3 0
x x
c)
2
1 1
x x
d)
3 2 1x x
e)
3 2 1 3
x x
f
9 5 2 4
x x
g)
3 4 2 1 3
x x x
h)
2
1 2x x
i)
2
1 3 3 1x x
k)
3 2 1 3
x x
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
2
Bài 2: Giải Phương Trình ( Dạng Nâng Cao)
1)
2
( 1) ( 2) 2
x x x x x
Đs:
9
0,
8
2)
2 2
3 1 ( 3) 1
x x x x
Ñs:
2 2
3)
2
1 1
x x x x
Ñs: 0, 1 4)
2 2
3 10 12
x x x x
Ñs:
3
5)
2
7 4
4
2
x x
x
x
Ñs: 1, 4 6)
1 2 2 1 2 2 1
x x x x
Ñs:
9
4
7)
2 1 3 4 1 1
x x x x
Đ/s
52
x
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1 Giaûi phöông trình (Dạng Cơ Bản)
1)
2 2
11 31
x x
Ñs:5, -5 2)
2 2
3 2 1
x x x x
Ñs:
1 5
2
3)
2 2
2 5 2 2 2 5 6 1
x x x x
Ñs:
7
1,
2
4)
3
4 1 3 2
5
x
x x
Ñs: 2
5)
1 4 ( 1)(4 ) 5
x x x x
Ñs: 0, 3 6)
3(2 2) 2 6
x x x
Ñs:
11 3 5
3,
2
Bài Tập Luyện Tập
1.
2 2
3 3 3 6 3
x x x x
2.
2
1 2 1 2 2x x x x
3.
2 2
3 2 2 2 6 2 2
x x x x
4.
2 2
11 31
x x
5.
2
5 2 3 3x x x x
6.
2 2
3 2 1
x x x x
7.
2 2
15 2 5 2 15 11
x x x x
8.
2
( 5)(2 ) 3 3x x x x
9.
2
(1 )(2 ) 1 2 2x x x x
10
2 2
17 17 9
x x x x
Bài 2 Giaûi phöông trình (Dạng Nâng Cao)
1)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
x x x x x
Ñs: 2 2)
2
2 2 2 4 2 2
x x x x
Ñs: 2
3)
2
2
1 1
3
x x x x
Ñs: 0, 1 4)
2 2
4 2 3 4
x x x x
Ñs:
2 14
0,2,
3
5)
3 3
2 2 3 1
x x
Ñs: 2 6)
3 3 3
1 2 3 0
x x x
Ñs:
2
7)
2 2
3 3
3
2 7 7 2 3
x x x x
Ñs:
1, 6
8)
3
2 1 1x x
Ñs: 1, 2, 10
9)
2
2 1 ( 1) 0
x x x x x x
Ñs: 2 10)
2
4 1 4 1 1
x x
Ñs:
1
2
Bài Tập Luyện Tập
1.
1 4 1 4 5
x x x x
2.
3 3
2 2 3 1
x x
3.
2
2 2 2 4 2 2
x x x x
4.
2 1 3 4 1 1
x x x x
5. 16x212x24x4x
2
6.
x 2 5 x x 2 5 x 4
(CÑSPNT.02)
7.
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
8.
2 x 2 2 x 1 x 1 4.
9.
3
9 2 1x x
10.
3
2 3 2 3 6 5 8 0
x x
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
3
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN TRONG CĂN THỨC
1). Dạng cơ bản
2
A 0
A B B 0
A B
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
2)Giải bất phương trình sau:
Bài 1: Dạng 1: Biến đổi tương đương
1)
2
6 5 8 2x x x
Đs:
19 66
( ;3 14)
5
x
2)
5 1 1 2 4
x x x
KA-04 Đs:
2 10
x
3)
2
2( 16)
7
3
3 3
x
x
x
x x
Đs:
10 34
x 4)
2 2 2 1 1 4
x x x
KD-05Đs:
3
x
5)
1 4 2
x x x
Đs:
7
1
2
x
6)
2 2
3 . 2 3 2 0
x x x x
KD-02
1
2 3
2
x x x
7)
5 3 4 4 1
x x x
Đs:
4
5 4
3
x x
8)
2 4 3
2
x x
x
Đs: x<0
1 2
x
9)
2
51 2
1
1
x x
x
Đs:
1 1 2 13
1 2 13 5
x
x
10)
2
3 4 2
2
x x
x
Đs:
1 0
9 4
7 3
x
x
Bài Tập Tương Tự
1.
2
2 1 1x x
2.
5 1 4 1 3x x x
3.
2
1 1 4
3
x
x
4.
2
4 3 2 5x x x
5.
1 4 2
x x x
6.
1 3 4
x x
7. 3 2 8 7
x x x
8.
2 3 5 2x x x
9.
5 1 1 2 4
x x x
10.
2
2 6 1 2 0
x x x
Bài 2: Dạng 2: Đặt Ẩn Phụ , Tổng hợp
11)
2 2
3 6 4 2 2
x x x x
Đs:
2 0
x
12)
2 2
2 5 6 10 15
x x x x
Đs
5 53 5 53
2 2
x x
13)
2
1 4 5 5 28
x x x x
Đs: -9<x<4
14)
2 2
2 4 3 3 2 1
x x x x
Đs:
3 1x
15)
5 1 4 1 3x x x
Đs:
1
4
x
16)
2 3 5 2x x x
Đs:
2 2
x
17)
2
2 2
1 3 2 4
x x x
Đs:
0 2 1
x
18)
2
2
4 4 2 2
x x x x x
Đs:
2 3 2 3
x
19)
2 2
6 6
2 5 4
x x x x
x x
Đs:
2 1 3
x x
20)
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4
x x x x x x
Đs:
1 4
x x
21)
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x
Đs:
1
1
2
x x
22) 1 1
x x x
Đs:
0 1x
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
4
BÀI 2 . HƯ ph¬ng tr×nh ®¹i sè
I) HỆ GỒM 1 PT BẬC NHẤT VÀ 1 PT BẬC HAI
1)Dạng :
(2) 0FEyDxCxyByAx
(1) cbyax
22
2) Phương pháp: - Tính x theo y (y theo x)
- Thế vào (2) để được phương trình bậc 2) theo 1 ẩn duy nhất
Giải hệ phương trình sau:
1)
3 3
6
126
x y
x y
Đs:
5, 1 ; 1, 5
2)
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
Đs:
3 13 3 13
,0 ; , 4
2 2
3)
2 2
1
6
x xy y
x y xy
Đs:
3 17 3 17
,
2 2
4)
2 2 2
2 2
19( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
Đs:
0,0 ; 3,2 ; 2, 3
5)
5
( ) 6
x
x y
y
x
x y
y
Đs:
3 1
, ; 2,1
2 2
6)
2 3
2
12
( ) 6
x x
y y
xy xy
Đs:
2, 1
Bài Tập Luyện Tập
a.
2 2
4 8
2 4
x y
x y
b.
2 2
11
2 13
x xy y
x y xy x y
c.
2 2
4
28
xy
x y
d.
2
2
3 1
5 3
x xy
y xy
e.
3
3
x y xy
x y
g.
3 4
9
x y xy
xy
II)HƯ ®èi xøng lo¹i I
1) D¹ng: HƯ ph¬ng tr×nh
0);(
0);(
yxg
yxf
lµ hƯ ®èi xøng lo¹i I nÕu
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)C¸ch gi¶i : - §Ỉt
x y S
xy P
. §K:
2
4S P
.
- BiĨu thÞ hƯ qua S vµ P . - T×m S ; P tho¶ m·n ®iỊu kiƯn PS 4
2
.
Khi ®ã x; y lµ 2 nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh : 0
2
PStt . Tõ ®ã cã nghiƯm cđa hƯ ®· cho.
BÀI TẬP : Giải hệ phương trình sau:
1)
2 2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
Đs:
3, 7 ; 7, 3 ; 2,3 ; 3,2
2)
2 2
11
30
xy x y
x y xy
Đs:
1,5 ; 5,1 ; 2,3 ; 3,2
3)
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
Đs:
1, 2 ; 2, 1
4)
3 3
2
26
x y
x y
Đs:
3, 1 , 1,3
5)
3 3
8
2 2
x y
x y xy
Đs:
0,2 ; 2,0
6)
2 2 3 3
4
( )( ) 280
x y
x y x y
Đs:
3,1 ; 1,3
7)
3 3
6 6
3 3
1
x x y y
x y
Đs:
6 6
1 1
,
2 2
8)
2 2
3 3
1
1
x y
x y
Đs:
1,0 ; 0,1
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
5
Bài Tập Luyện Tập
a.
2 2
3 3
7
3
3
x y
x y
b.
2 2
5
5
x y xy
x y
c.
2 2
14
84
x y xy
x y xy
d.
2 2
7
133
x y xy
x y xy
e.
3 4
3 4
x y
y x
f.
30
30
x y y x
x x y y
III) HƯ ®èi xøng lo¹i II
1)HƯ :
0);(
0);(
yxg
yxf
lµ hƯ ®èi xøng lo¹i II nÕu : );();( yxgxyf
2)C¸ch gi¶i :
+)§èi víi hÇu hÕt c¸c hƯ d¹ng nµy khi trõ 2 vÕ ta ®Ịu thu ®ỵc ph¬ng t×nh : (x-y).h(x;y) = 0
Khi ®ã hƯ ®· cho
0 ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
x y h x y
f x y f x y
BÀI TẬP:Giải hệ phương trình sau:
1)
3
3
1 2
1 2
x y
y x
Đs:
1 5 1 5
1,1 ; ,
2 2
2)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
Đs:
1;1 , 2,2
3)
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
Đs
1,1
4)
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
Đs:
1; 1 , 2; 2
�
5)
2
2
1
2
1
2
x y
y
y x
x
Đs:
1,1
6)
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y
Đs:
1,1
Bài Tập Luyện Tập
a.
3
3
2011 2010
2011 2010
x y x
y x y
b.
3
3
x y
y x
c.
2 2
3 3
2 15
8 35
x y xy
x y
d.
5 2 7
2 5 7
x y
x y
e.
2
1
x y x y
y x y x
f.
2
2
280
280
x y xy
y x xy
g.
2 1 3
1 2 2
x y
x y
h.
3
3
4
x y x y
x y x y
(Đặt
0, 4
u x y v x y
)
t.
1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y
(Đặt
1
0, 3 0, 0
u x v x y y
y
)
z.
1
1
x y
x y
(Đặt đk và đặt
0, 0
u x v y
)
H Thng Bi Tp Mụn Toỏn-Luyn Thi i Hc NH 2012-2013
ThS. Phan Vn on - T: 01693548377
6
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
1) Hệ phơng trình
0);(
0);(
yxg
yxf
đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số
hạng tự do) đều có bậc là 2.
2) Cách giải :
- Gii h vi x = 0 ( hoc y = 0)
- Vi x # 0 ( hoc y # 0 ) . t y = tx ( hoc x = ty).
- H vi 2 n x , t. Kh x, gii theo t . Tỡm c t t ú tỡm c x,y
BI TP
1)Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau:
a)
2 2
2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y
b)
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
x xy y
x xy y
c)
2
2 2
3 4
4 1
y xy
x xy y
d)
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
ẹs: a)
1, 2 ; 2, 1
b)
9 17
1, 1 ; ,
161 161
c)
1, 4
d)
4 5
1, 2 ; ,
3 3
Bi Tp Tng T
a)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
ẹs: a)
3, 1
b)
2 2
2 2
2 3 9
4 5 5
x xy y
x xy y
s
5 2 2
3, 2 ; ,
2 2
c)
2 2
2 2
3 8 4 0
5 7 6 0
x xy y
x xy y
d)
2 2
2 2
2 2 2
2 3 9
x xy y
x xy y
e)
2 2
2 2
2 3 12
3 11
x xy y
x xy y
s: c)
2 , ;
t t t R
d)
3 17 8 17
1, 2 ; ,
17 17
e)
5 3 3
1,2 ; 1, 2 ; ,
3 3
V . Một số hệ phơng trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu mực ta thờng áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ) + Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Giaỷi heọ phửụng trỡnh:
1)
3
2
x y x y
x y x y
KB-02 ẹs:
3 1
1,1 ; ,
2 2
2)
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
KA-03ẹs:
1 5 1 5
1,1 ; ,
2 2
3) (K
A
05) :
2x y 1 x y 1
3x 2y 4
s(2 ; -1) 4) (K
A
07) :
4 3 2 2
x x y x y 1
3 2
x y x xy 1
s (1;1) ; (-1;-1)
5) ( K
A
-06)
x y xy 3
x 1 y 1 4
s (3; 3) 6) (K
A
-08):
5
2 3 2
x y x y xy xy
4
5
4 2
x y xy 1 2x
4
S
3 3
( 5/ 4; 25/16),(1; 3/ 2)
7)(K
B
-08):
4 3 2 2
x 2x y x y 2x 9
2
x 2xy 6x 6
s(-4 ;17/4) 8)K
D
-08):
2 2
xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y
s (5;2)
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
7
9) (KB-09)
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
Đs (1;1/3) , (3,1) 10)
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ĐHNN1 2000Đs: (11;11)
11)
1 7 4
1 7 4
x y
y x
ĐH Văn Hoá 2001Đs: (3;3) 12)
2
3 3 4
x y
x y
Đs: (1;1)
*ĐỀ THI ĐẠI HỌC –CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2011
1/( K
D
- 02)
2 2
x 3x 2x 3x 2 0
2) ( K
A
-04)
2
2 x 16
7 x
x 3
x 3 x 3
3) (Khối D-04): CMR: phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 2
x x 2x 1 0
.
4) ( K
B
-04): Xác đònh m để pt sau có
nghiệm:
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
5) ( B-05) :
3x 3 5 x 2x 4
. 6) ( ĐH K
D
-2005)
2 x 2 2 x 1 x 1 4
7) (B 2005) :
2
8x 6x 1 4x 1 0
; 8/ (Dự bò 1 khối D 2005)
2x 7 5 x 3x 2
9/ ( K
A
-05)
5x 1 x 1 2x 4
10) (D - 06)
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1
11) (B-06) :
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
12) (K
D
-2006) :
2
2x 1 x 3x 1 0
,
x R
13) ( ĐH K
B
-2006): Tìm m để pt:
2
x mx 2 2x 1
có 2 nghiệm thực phân biệt
14) (Dự bò 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình:
4
2
x 1 x m
có nghiệm.
15) ( ĐH KA-07) Tìm m để phương trình
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1
có nghiệm thực .
16) ( K
B
-07) CMR
m, phương trình
2
x 2x 8 m(x 2)
có 2 nghiệm thực phân biệt
17) (CĐ KA -2009) 15221 xxx 18) (ĐH KA-2009) 08563232
3
xx
19) (KA-2010)
2
1
1 2( 1)
x x
x x
20)(KB-2010)
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
21)(KD-2010)
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
22) (KA-2011)
2 2 2
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y
23) (KB-2011)
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x
24) (KD-2011) log
2
(8-x
2
)+
1
2
log ( 1 1 ) 2 0
x x
25) (CĐ-2011)
2 2
2 3 1 2 3
4 3.2 4 0
x x x x x x
*Thử Sức Phòng Thi
Bài 1) Giải các pt chứa căn thức
a)
2
2 3 1 3 2 2 5 3 16
x x x x x
b)
2
3
2 9 ( 5)
3
x
x x
x
c)
1x
+ 2
4x
+ 9x2 + 4 1x3 = 25 d)
3
3
1221 xx
Bài 2) Giải các bất phương trình
a)
15.2 1 2 1 2
x x x
b)
5x 1 x 1 2x 4
c)
2 2
3 2 2 3 1 1x x x x x
Bài 3) Tìm m để các pt sau
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
8
a) 2 2 (2 )(2 )
x x x x m
có 2 nghiệm thực phân biệt
b)
2
2 2 1x mx x
có 2 nghiệm thực phân biệt
c)
2
( 1) 6 1x m x x x
có nghiệm thực
d)
mxxxx 352)3)(21(
2
có nghiệm thực
Bài 4) Giải các hệ phương trình sau :
a)
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
( phương pháp thế ) b)
3
4
1 8
( 1)
x y x
x y
( phương pháp thế )
c)
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
( phương pháp thế ) d)
4 2
4| | 3 0
log log 0
x y
x y
( phương pháp thế )
e)
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
( nhóm nhân tử ) f)
2
2 2
(5 4)(4 )
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
( nhóm nhân tử )
g)
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
x y y x y
x y x y
h)
2 2
2
3
4 4( ) 7
( )
1
2 3
xy x y
x y
x
x y
l)
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
( g,hf Đặt ẩn phụ )
Bài 5) Tìm m để hệ sau có nghiệm
a)
2
2 15 0
( 1) 3
x x
m x
b)
2
2
5 4 0
3 ( 3) 5 0
x x
x m x x
(phương pháp hàm số )
Nếu ở gần một người mà bạn thấy thời gian trôi thật nhanh còn
khi xa người đó bạn lại thấy thời gian trôi qua thật chậm thì bạn nên
đem đồng hồ đi sửa.
H Thng Bi Tp Mụn Toỏn-Luyn Thi i Hc NH 2012-2013
ThS. Phan Vn on - T: 01693548377
9
Chuyờn 2 : Phơng trình lợng giác
A.Mt S Kin thc Cn Nh
Phn I : Cụng Thc Lng Giỏc
2 2
sin cos 1
2 2 2
2 2
2
sin 1 cos sin 1 cos
cos 1 sin
cos 1 sin
1
tan
cot
hay
tan .cot 1
2
2
1
1 tan
cos
2
2
1
1 cot
sin
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,
2 4 2
1
tga
tg a a k a k
tg a
3 3
sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos2 1 cos 2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
d) Công thức chia đôi
Đặt
2
2
x
t tg x k
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1
t t t
x x tgx
t t t
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
* Đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos ;
2 2
cos cos 2sin sin ;
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
1 1
; ;
4 1 4 1
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
10
Phần II. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
a. Pương trình
sin
x a
Nếu
1
a
thì pt vô nghiệm
Nếu
1
a
: TQ:
arcsin 2
sin
arcsin 2
x a k
x a k
x a k
(với a không phải là các giá trò đặc
biệt)
Ta có:
2
sin sin
2
u v k
u v k
v v k
(Đo bằng radian)
0 0
0
0 0 0
360
sin sin
180 360
u k
u k
u k
(Đo bằng độ)
b. Phương trình
cos x a
Nếu
1
a
thì pt vô nghiệm
Nếu
1
a
: TQ
cos arccos 2 ,x a x a k k
(với a không phải là các giá trò đặc biệt)
Ta có:
2
cos cos
2
u v k
u v k
u v k
(Đo bằng radian)
0 0 0
cos cos 360u u k k
(Đo bằng độ)
c. Phương trình
tan x a
(ĐK: ,
2
x k k
)
TQ:
tan arctan ,x a x a k k
(với a không phải là các giá trò đặc biệt)
tan tan ,u v u v k k
(Đo bằng radian);
0 0
tan tan ,u u k k
(Đo bằng độ)
d. Phương trình
cot x a
(ĐK: ,x k k
)
TQ:
cot arccot ,x a x a k k
(với a không phải là các giá trò đặc biệt)
cot cot ,u v u v k k
(Đo bằng radian);
0 0
cot cot ,u u k k
(Đo bằng độ)
Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ,
sin 1 2 ,
2
sin 1 2 ,
2
x x k k
x x k k
x x k k
cos 0 ,
2
cos 1 2 ,
cos 1 2 ,
x x k k
x x k k
x x k k
tan 0 ,
tan 1 ,
4
tan 1 ,
4
x x k k
x x k k
x x k k
cot 0 ,
2
x x k k
cot 1 ,
4
x x k k
cot 1 ,
4
x x k k
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
11
e) Ph¬ng bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx.
asinx + bcosx = c.
C¸ch gi¶i:
+ C¸ch 1: chia c¶ hai vÕ cho
2 2
a b
; ®Ỉt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b
ta ®ỵc PT:
2 2
sin( )
c
x
a b
;
*) Chó ý: Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm
2 2 2
c a b
.
+ C¸ch 2: §Ỉt
b
tg
a
ta ®ỵc ph¬ng tr×nh:
sin( ) cos
c
x
a
.
f) Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx
2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d
C¸ch gi¶i: * C¸ch 1: Thư víi cos
2
x = 0 sinx = 1 nÕu nghiƯm ®óng ph¬ng tr×nh th× ®Ỉt cosx
lµm thõa sè chung.
Víi cos
2
x 0 chia c¶ hai vÕ cho cos
2
x ta ®ỵc: atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
* C¸ch 2: H¹ bËc ®a vỊ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin2x vµ cos2x.
c) Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
* §èi xøng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
§Ỉt sinx + cosx = t, ®iỊu kiƯn
2
t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c
* Gi¶ ®èi xøng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c
§Ỉt sinx - cosx = t, ®iỊu kiƯn
2
t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c
.
B. Hệ Thống Bài Tập
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
Giải các pt sau:
1.
2sin 2 1 0
x
2.
0
2cos 2 25 2 0
x
; 3.
tan 3 2 3 0
x
4.
sin 2 1 sin 3
x x
5.
sin 2 cos 3 0
x x
6.
tan 3 2 cot 2 0
x x
7.
2sin 2 sin 2 0
x x
8.
2 2
sin 2 cos 3 1x x
9.
tan 7 .tan 3 1x x
10.
2 2
2
sin 2 cos 0
3 2
x
x
11.
cos sin 2 0
3 2
x x
12.
tan .tan 2 1
3 3
x x
13.
cos 3 cos 3 1
3 3
x x
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác:
Giải các pt sau:
1.
2
2sin 3sin 1 0
x x
2.
2
3cos 2 7cos 2 4 0
x x
3.
3
2 tan 3tan 0
x x
4.
2
1 2cot 3 3
x 5.
2
cos sin 1 0
x
6.
2
cos2 sin 2 0
x x
7.
2 2
sin 2cos 3 0
x x
8.
2 2
3tan cot 2
x x
; 9.
tan 2 cot3 0
x x
10.
5
3tan 2 3tan 0
2
x x
11.
2 2
6 6
cos sin
4cot 2
cos sin
x x
x
x x
12.
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
x x x
x
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
12
13.
6 6 2
cos sin cos 4x x x
14.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
15.
4 2
2cot 3cot 5 0
x x
16.
3 2
sin 4sin 3sin 0
x x x
17.
4 2
cos 2cos 1 0
x x
18.
4 2
5tan 3tan 2 0
19.
2
cot 3 cot3 6 0
x x
20.
4 2
tan 2 tan 2 12 0
x x
21.
2
sin cos2 1x x
22.
4
1 sin 0
x
23.
4
1 2sin 0
x
24.
3
1 3cos 0
x
25.
2
tan 1
2
1
4
x
26.
2
sin 2 3sin 2 2 0
4 4
x x
27.
2
1 3
cos cos sin 2 0
3 2 2
x x x
28.
3 2
cot 4cot 2cot 1 0
x x x
29.
2
sin 2 4cos 0
x x
30.
2
2
sin cos 3sin 2 1 0
x x x
31.
2
sin 6sin cos 2 0
3 6 6
x x x
32.
2 2
tan cot 2
x x
33.
2
sin 8sin cos 5 0
2 2
x x
x
34.
2 2
1 1
2
sin cosx x
35.
2
1
sin 2 sin cos 0
2
x x x
36.
3
tan 2 3tan2 2 0
x x
3. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng:
sin cos
a x b x c
2 2
0
a b
Giải các pt sau:
1.
3sin 4cos 5
x x
2.
2sin 2cos 2
x x
3.
2
1
sin 2 sin
2
x x
4.
5cos2 12sin 2 13
x x
5.
cos3 3 sin 3 2
x x 6.
3sin 4 4cos4 5
x x
7.
2sin 2 2cos 2 2 0
x x
8.
3 sin cos 2 0
x x
9.
2sin 4cos 1 0
x x
10.
3
3sin 1 4sin 3 cos3x x x
11.
2
2sin cos 1 cos sinx x x x
12.
3 sin cos 2cos 2
3
x x x
13.
3
2cos 4sin
cos
x x
x
14.
2
3 cos2 2sin 1 0
x x
15.
5
3cos 4sin
sin
x x
x
16.
2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x
17. 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin
3
3x
18. 3cosx + 4sinx + 6
1sin4cos3
6
xx
19. cos5x – sin3x = 3 (sin5x-cos3x)
20. 4(sin
4
x + cos
4
x) + 3 sin4x = 2 21. 8sinx =
xx sin
1
cos
3
22. cos7x – sin5x = 3 (cos5x-sin7x) 23. 3sin( 5)
3
sin(4)
6
xx
=0
4. Phương trình đẳng cấp hai:
2 2
sin cos sin cos 0
a x b x c x x d
Giải các pt sau:
1.
2 2
3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0
x x x x
2.
2 2
4sin 3 3sin 2 2cos 4
x x x
3.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x
4.
2 2
2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1
x x x x
5.
2 2
2sin sin cos 3cos 0
x x x x
6.
2 2
3sin 2sin 2 5cos 2
x x x
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
13
7.
2 2
2cos 3 3 sin 2 2sin 4
x x x
8.
2 2
2sin 3cos 5sin cos 2 0
x x x x
9.
2 2
3sin 4sin cos cos 0
x x x x
10.
2 2
2sin 3sin cos 4cos 1x x x x
5. Phương trình đẳng cấp n
3
n
:
Dạng tổng quát:
sin ,cos ,sin cos 0
n n k h
A x x x x
(3) trong đó: ; , ,k h n h h n
�
Giải các pt sau:
1.
3 3
2cos 3cos 8sin 0
x x x
2.
3
5sin 4 cos
6sin 2cos
2cos 2
x x
x x
x
3.
4 4 2 2
2sin cos 2sin cos 0
x x x x
4.
3 2
3sin cos 5sin cos 0
x x x x
5.
3
sin cos 4sinx x x
6.
3
2sin 2sin cos 0
x x x
7.
3 3
sin cos 1x x
8. sin
2
x + 2cos2x – 3 + 7cos
2
x = 0
9. cos
3
x – sin
3
x = sinx+cosx 10. sinx.sin2x+sin3x = 6cos
3
x
11. 3cos
4
x – 2sin
2
2x + sin
4
x = 0 12. tanx.sin
2
x = cos2x+sinx.cosx
6. Phương trình đối xứng loại 1: Có dạng
sin cos sin cos 0
n m
a x x b x x d
(4)
Giải các pt sau:
1.
sin cos 4sin cos 1 0
x x x x
2.
3 sin cos 2sin 2 3 0
x x x
3.
sin 2 12 sin cos 12 0
x x x
4.
4 2 sin cos 3sin 2 11 0
x x x
5.
3
sin cos sin cos 1 0
x x x x
6.
4
sin cos 6sin cos 1 0
x x x x
7.
1 sin 2 sin cosx x x
8.
1 sin cos
sin cos 2 0
sin cos
x x
x x
x x
9.
1 1 10
sin cos
sin cos 3
x x
x x
10.
2
1 2sin sin cos 2cos 1x x x x
11.
3 3
cos sin cos2x x x
12.
2 2 sin 2 3 sin cos 2 0
x x x
13. cos
3
x + sin
3
x = sin2x + sinx +cosx 14. 2cos
3
x + cos2x + sinx = 0
15. 2(tanx-sinx) + 3(cotx-cosx)+5 = 0 16. 2sin3x +
x
x
x cos
1
3cos2
sin
1
16. 4(sinx +cosx) – 2( cos
3
x + sin
3
x) =
2
(2+ sin2x)
17. 1+ cos
3
x + sin
3
x = x2sin
2
3
18. tan
2
x =
x
x
3
3
sin1
cos1
7. Phương trình có điều kiện
1
x
x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot . 2)
xxx 4sin
2
2sin
1
cos
1
3) x
x
xx
sin
cos1
sin2sin
4) xxxx cossin22sin12cos 5) x
x
x
cot2
cos1
sin
6) xx
x
x
x
x
sin.3sin.8
cos
5cos
3cos
cos
8. Phương trình đưa về cùng góc
1)1+ cosx+cos2x+cos3x = 0 2) cos3x-4cos2x+3cosx – 4 = 0 (D-02)
3) sin
2
x + sin
2
2x +sin
2
3x = 3/2 4) sin
2
x – sin
2
3x-6 cos
2
2x = 0
5) sin
4
x + sin
4
(x+
4
1
) sin ( )
4 4 2
x
6) sin
4
2
cos
2
4
xx
= 1 -2sinx
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
14
7) cos(2x+ )
4
+cos(2x- )
4
+4sinx =
2
(1-sinx) 8) 3cos
6
2x+sin
4
2x+cos4x = 0
9) sin
8
x + cos
8
x =
32
17
10) 4cos
2
(x+
3
)+sin2x =1
9. Phương trình đưa về cùng hàm số .
1) sin2x + 2tanx = 3 (BK-2001) 2) tanx + 2cot2x = sin2x
3) 4cos
3
x+ 2sin
3
x-2sinx =0 4) tanx.sin
2
x-2sin
2
x=3(cos2x+sinxcosx)
5) sin
2
x(tanx+1) = 3 sinx(cosx-sinx) + 3 6)
3
)sin1)(sin21(
cos)sin21(
xx
xx
7)sinx+cosx.sin2x+ 3 cos3x = 2(cos4x+sin
3
x)
10. Đưa về phương trình tích
1.
3 3
1 cos sin sin 2x x x
2.
1 1
1 sin sin 2 2cos sin 2 sin 0
2 2
x x x x x
3.
6 4
2cos sin cos 2 0
x x x
4.
2
1 sin 2 cos3 sin3x x x
5) cos
3
x – sin
3
x = cos
2
x-sin
2
x 6) tanx+tan2x = -sin3x.cos2x
7) sinx + sin2x + sin3x = 0 8) 2sin
3
x-sinx = 2cos
3
x – cosx + cos2x
9)
2 2
1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x
( KA-07) 10)
2
2sin 2x sin 7x 1 sin x
(KB-07)
11) 32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
x
x
xx
x (KA-02) 12) 3 (2cos
2
x+cosx-2) + (3-2cosx).sinx = 0
C. MỘT SỐ ĐỀ THI TỪ NĂM 2002-2010
1) (ĐH K
A
-2002). 32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
x
x
xx
x ; với x )2;0(
.
2) (ĐH K
B
-2002)
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
3)(ĐH K
D
-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ; x
0;14
4) (ĐH K
A
-2003)
cos2x 1
2
cot gx 1 sin x .sin 2x
1 tgx 2
5) ( ĐH K
B
-2003)
x
xtgxgx
2sin
2
2sin4cot
6)( ĐH K
D
-2003)
x x
2 2 2
sin .tg x cos 0
2 4 2
7) (KB 2004)
2
5sin 2 3 1 sin t
x x g x
8) (KB 2004)
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x
9) (DB1KA-2004) 4(sin
3
x + cos
3
x) = cosx + 3sinx
10) (DB2KA-2004)
1 sin 1 cos 1
x x
11) (DBKB-2004) )
4
cos(22
sin
1
cos
1
x
xx
12) (DBKD-2004) 2sinxcos2x + sin2xcosx = sin4xcosx
13 ) (Dự bò 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng
0;
của phương trình :
x 3
2 2
4sin 3 cos2x 1 2cos x
2 4
14) (A -05) :
3
2 2 cos x 3cosx sin x 0
4
15)(B-05)
2 2 3
sinx.cos2x cos x tan x 1 2sin x 0
.
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
15
16)(B-05) :
cos2x 1
2
tan x 3tan x
2
2
cos x
. 17) (D-05) :
3 sinx
tan x 2
2 1 cosx
.
18) (Döï bò 2 khoái D 2005) :
sin2x cos2x 3sinx cosx 2 0
.
19) (D- 06) :
3 3 2
cos x sin x 2sin x 1
20) ( ĐH K
D
-2006 ) cos3x + cos2x-cosx – 1 =0
21) (D-06) :
3 2
4sin x 4sin x 3sin2x 6cosx 0
. 22) (B-06) :
2 2 2
2sin x 1 tan 2x 3 cos x 1 0
.
23) (A-06) :
2sin 2x 4sinx 1 0
6
. 24) (A-06) :
2 3 2
3 3
cos3x.cos x sin3x.sin x
8
.
25) (B-07) :
cos2x 1 2cosx sinx cosx 0
. 26) (B-07) :
5x x 3x
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
27) (A-07) :
2
2cos x 2 3sinx.cosx 1 3 sinx 3 cosx
.
28) (A-07) :
1 1
sin2x sin x 2cot2x
2sin x sin2x
. 29) (K
B
-2007)
2
2sin 2x sin 7x 1 sin x
.
30)( K
D
-2007)
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
31)(K
A
-2007)
2 2
1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x
32)(CÑ- 2008) :
sin3x 3 cos3x 2sin2x
. 33)(ÑH D-08):
2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx
.
34)(ÑH K-B-2008):
3 3 2 2
sin x 3 cos x sin x.cos x 3 sin x.cosx
.
35)(ÑH K-A-2008):
1 1 7
4sin x
3
sin x 4
sin x
2
. 36)(KA-2009):
3
)sin1)(sin21(
cos)sin21(
xx
xx
37) ( KD-2009): (1+2sinx)
2
cosx = 1+sinx+cosx
38) ( KB-2009): sinx+cosx.sin2x+ 3 cos3x = 2(cos4x+sin
3
x)
39) (KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
40) (KA-2010)
(1 sin x cos 2x)sin x
1
4
cos x
1 tan x
2
41) (KD-2010) sin2x-cos2x+3sinx-cosx-1=0
42) (KA-2011)
2
1 sin 2 os2x
2 sinxsin2x
1 cot
x c
x
43)(KB-2011) sin2xcosx+sinxcosx=cos2x+sinx+cosx
44)(KD-2011)
sin 2 2cos s nx-1
0
t anx+ 3
x x i
45) (CĐ-2011) cos4x+12sin
2
x-1=0
46)(CĐ-2012) 2cosx+sinx=sin3x 47)(KA-2012) 3 sin2x+cos2x=2cosx-1
48)(KB-2012)2(cosx+ 3 sinx)cosx=cosx- 3 sinx+1
49)(KD-2012) sin3x+cos3x-sinx+cosx=
2
cos2x
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
16
*THỬ SỨC PHÒNG THI
Bài 1) Giải các phương trình sau ( Biến đổi tổng hợp )
a) 3+cot
2
x=
os2x sin 2
3( )
sinx osx
c x
c
b)
2sin 2 2cos 2sin 1
os2x+ 3(sinx+1)
2cos 1
x x x
c
x
c)
2
1 sinx
tan ( )
2 sinx
x
d)
3sin 3tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
e)
2 sin( )
4
(1 sin 2 ) 1 tan
cos
x
x x
x
f)
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
g)
2 2
2 2
(1 cos ) (1 cos ) 1 sin
tan sin tan
4(1 sin ) 2
x x x
x x x
x
h)
1
2 tan cot 2 2sin 2
sin 2
x x x
x
l)
4
1 3 7
4cos cos2 cos4 cos
2 4 2
x
x x x
Bài 2) Giải các phương trình ( Nhận dạng phương trình quen thuộc( dạng tích, dạng đẳng cấp)
a)
3 3
3
sin o s (1 s in 2 )( osx-sin x)
2
x c x x c
b) cos2x-1)(sin2x+cosx+sinx)=sin
2
2x
c)
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
d) 4(cos
3
x+sin
3
x)=cosx+3sinx
e)
2
3cos (1 sin ) cos 2 2 sin sin 1x x x x x
f)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
g)
2
2
2 2
sin 2
tan
2
sin 4cos
2
x x
x
x
h)
(sin 2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
x x x
x
l) 3(cotx-cosx)-5(tanx-sinx)=2 m) 2sin
3
x+cos2x+cosx=0
i)
os2x- 3sin 2 2 3sinx-2cosx+1=0
c x k) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Người thầy giống như một ngọn lửa. Nếu bạn tới quá gần, bạn sẽ bị thiêu cháy. Nếu bạn ở
quá xa sẽ không thấy đủ ấm. Chỉ nên tiếp cận một cách vừa phải .
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
17
Chuyên Đề 3: TÍCH PHÂN
I.Phương pháp đổi biến số:
Bài toán : Tính
( )
b
a
I f x dx
Dạng 1: x =u(t) có đạo hàm liên tục trên
; và u(
)=a; u(
)=b thì:
b
a
dttutufdxxf
)(')).(()(
Dạng 2: t = v(x) có đạo hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì:
b
a
bv
av
dttgdxxf
)(
)(
)()(
Ví dụ: Tính tích phân sau:
a)
1
2 3
0
5I x x dx
b)
2
4
0
(sin x+1)cos
J xdx
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
3 2 2
1
5 3
3
t x dt x dx dt x dx
:
Đổi cận
0 5
1 6
x t
x t
1
1
1 6
1
2
2 3 6
2
5
0 5
1 1
5 ( )
1
3 3
1
2
t
I x x dx t dt
b) Đặt
sinx cos
t dt xdx
Đổi cận:
0 0
1
2
x t
x t
1
2
4 4 5 1
0
0 0
1
(sin 1)cos ( 1) ( )
5
I x xdx t dt t t
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
4
I x dx
b)
1
2
0
1
dx
J
x
Hướng dẫn giải: a)
Hệ Thống Bài Tập Mơn Tốn-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đồn - ĐT: 01693548377
18
Đặt
2sin , ; 2cos
2 2
x t t dx tdt
Đổi cận:
0 0
2
2
x t
x t
2
2 2
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin 2cos 4 os
x dx t tdt c tdt
b) Đặt
tan , ( ; )
2 2
x t t
Ta có
2
tan
os
dt
x t dx
c t
1
4 4
4
0
2 2 2
0 0 0
1
1 1 tan os
dx dt
dt t
x t c t
Chú ý:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng qt.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng
2 2 2 2 2 2
; ;
a x a x x a
(Trong đó a là hằng số dương) mà khơng có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang dạng lượng giác
để làm mất căn thức , Cụ thể :
Với:
2 2
a x
đặt
sin , ; cos
2 2
x a t t dx a tdt
hoặc
os , 0;
x ac t t
Với
2 2
a x
đặt
tan , ;
2 2
x a t t
hoặc
cot , 0;
x a t t
* Với
2 2
x a
đặt
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
hoặc
, 0; \
os 2
a
x t
c t
II.Phương pháp tích phân từng phần
Nếu
( )u x
và
( )v x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
;a b
thì:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
hay
b b
b
a
a a
udv uv vdu
(1)
Các bước thực hiện:
Bước 1:
( ) ( ) ( )
Đặt
( ) ( ) (nguyên hàm)
u u x du u x dx Đạohàm
dv v x dx v v x
Bước 2: Thế vào cơng thức (1), đưa về tích phân đơn giản hơn
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
19
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1
ln
e
I x xdx
Hướng dẫn :
Đặt :
lnu x
dv xdx
2
2
dx
du
x
x
v
2
1
1 1
1
ln ln
2 2
e e
e
x
x xdx x xdx
Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần.
Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
mà
( )P x
là các đa thức còn
( )Q x
là một trong các hàm số
ax
,cos ,sine ax ax
Đặt :
'( )
( )
( )
( )
du P x dx
u P x
v Q x dx
dv Q x dx
Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx
mà
( )P x
là các đa thức còn
( )Q x
là hàm số
ln(ax)
Đặt :
'( )
( )
( )
( )
du Q x dx
u Q x
v P x dx
dv P x dx
Nếu tính tích phân
ax
cos
I e bxdx
hoặc
ax
sin
J e bxdx
Đặt :
ax
ax
1
cos
sin
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
Hoặc đặt
ax
ax
1
sin
os
du ae dx
u e
dv bxdx
v c bx
b
Trong trường hợp này ta phải tích tích phân hai lần sau đó trở lại tích phân ban đầu.Từ đó suy ra kết
quả tích phân cần tính.
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
20
III) Hệ Thống Bài Tập
A. Tích Phân Đổi Biến Số
1, Tính các tích phân sau ( Lưu ý các dấu hiệu)
1)
1
0
2
1 dxxI
2)
1
0
2
1 x
dx
I
3)I =
dxxx
2
1
22
4
4)
1
2 2
0
4 3
I x x dx
5)I =
2
1
2
2
2
1 x
dx
x
6)
1
2
2
0
1 3
dx
I
x
7) I =
dxxx
2
1
22
4
8)I =
2
3
2
2
0
x
dx
1 x
2, Tích phân hàm phân thức, đa thức
1)
4
3
2
23
43
dx
xx
x
I
2)
1
0
3
)1(
dx
x
x
I
3)
1
2
2
3
45
dx
xx
x
I
4)
1
0
2
1xx
dx
I
5)I =
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
6) I =
1
5 2
0
x 1 x dx
7) I =
1
3 2
0
x 1 x dx
8) I =
1
0
x
dx
2x 1
9)
3/1
1
2
3
1
dx
x
x
I 10)
2
3/2
2
1xx
dx
I 11)
3
0
2
3
3
1
dx
x
x
I 12) I =
2
3
2
0
(x 3) x 6x 8 dx
13)
3
1
313
3
dx
xx
x
I
14) I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2
15)I =
2
2 3
0
x (x 4) dx
16)I =
1
2 3
0
(1 x ) dx
17) I=
2
2 2
0
1
dx
(4 x )
18)I =
2
1
3
0
3x
dx
x 2
19)
8
3
2
1xx
dx
I
20) I =
2
2
2
3
1
dx
x x 1
21)
dx
x
x
I
2004
2
)1(
22)
1
0
28
3
)4(
dx
x
x
I
23)
dx
x
x
I
10
3
)1(
24)
2
1
3
xx
dx
I
3) Tích phân Hàm lượng giác
1)
2/
0
4cos2sin
xdxxI
2) I =
π
2
0
sin x.sin 2x.sin 3xdx
3) I =
π
2
3
0
cos xdx
4)
dxxI
4/
4/
4
sin
5)
xdxxI
3
2/
4/
2
cossin
6)
2/
4/
3
3
sin
cos
dx
x
x
I
7)
6/
0
22
3
sincos
sinsin
dx
xx
xx
I
8)
dx
xx
dx
I
22
sincos
9)
dx
x
x
I
2sin1
sin
10)
2/
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
I
11)
4/
0
)cossin1(22sin
)4/sin(
dx
xxx
x
I
12)
6/
0
4
2cos
tan
dx
x
x
I
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
21
13) I=
3
3
0
cos
tgxdx
x
14).I=
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x
15) .I=
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x
16)I =
π
3
2
0
cos x
dx
1 sin x
17)I =
π
2
3
6
0
sin x
dx
cos x
18)I =
π
3
6
0
sin x sin x
dx
cos 2x
19)I =
π
2
2
0
sin x
dx
cos x 3
20)I =
2
π
0
sin x
dx
x
22)I =
π
2
0
cos x
dx
7 cos 2x
23)I =
π
3
π
4
cos x sin x
dx
3 sin 2x
24)I =
π
2
3
π
2
cos x cos x cos xdx
25)I=
π
2
4 4
0
cos2x(sin x cos x)dx
26) I =
π
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
27)
2/
0
66
)cos(sin
dxxxI
28)
dx
x
x
I
4
4
cos
sin
4) Tích phân Hàm số mũ và lôgarit
a)
3ln
0
3
)1(
dx
e
e
I
x
x
b)
3ln
0
2
2
1
)1(
dx
e
e
I
x
x
c)
2ln
0
2
2
23
3
dx
ee
ee
I
xx
xx
d)
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
I
e)
5ln
2ln
2
1
dx
e
e
I
x
x
f)
3
1
2
1ln
ln
e
dx
xx
x
I
g)I =
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)
h)I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x
dx
x
i)I =
e
1
sin(ln x)
dx
x
B. Tích Phân Từng Phần
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
0
2 1 sin
x xdx
b.
2
0
2 cos
x x xdx
c.
4
2
0
cos
x xdx
d.
4
2
0
cos
xdx
x
e.
1
2
2
0
1
x
x e dx
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
g.
1
0
3 2( )
x
x dx
h.
1
2
0
x
x e dx
Bài 2. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1. xdxx sin)2(
2
0
2. xdxx cos)1(
2
0
3. xdxx 3sin
2
0
4.
dx
x
x
2
cos)1(
5.
dxex
x2
1
0
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
7. xdxe
x
cos
2
0
8.
dxex
x2
0
sin
9.
e
xdx
1
ln
10.
1
0
)3ln( dxx
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
22
11.
e
xdx
1
ln
12.
0
1
)31ln( dxx
13.
e
dxx
1
2
)(ln
14.
e
dxxx
1
)ln2(
15.
2
0
2
cos
1
dx
x
x
16. xdxe
x
2sin
2
sin
2
4
17.
e
dxxx
1
23
)(ln
18.
dxxcos
4
0
19.
e
e
dx
x
x
1
2
)1(
ln
20.
dxe
x
4
0
.
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN
1
2 2
0
1
I x x dx
1
3 2
0
1
I x x dx
1
4
3 4
0
1
I x x dx
1
33 4
0
1
I x x dx
1
3
2
0
1
I x dx
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
2
5
0
sin
I xcoxdx
12
4
0
tan
I xdx
2
5
0
I cos xdx
4
4
0
1
I dx
cos x
3
2
2
6
s
cos x
I dx
in x
2
2
0
sin 2
1
x
I dx
cos x
1
0
1
1
I dx
x
1
1 ln
e
x
I dx
x
2
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
2
3 3
0
sin
I xcos xdx
4
3
0
tan
I xdx
2
3
0
sin
I xdx
2
3
2
0
sin 2 1 sin
I x x dx
2
3
6
I cos xdx
0
2
1
1
2 4
I dx
x x
1
3
8
0
1
x
I dx
x
1
0
ln 2
2
x
I dx
x
2
2
0
1 sin
cosx
I dx
x
2
3
1
sin
I dx
x
1
1
1 ln
e
I dx
x x
3
1
5
0
x
I x e dx
1 5
22
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
2
3
1
1
dx
I
x x
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x
ln 2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e
4
1
1
dx
I
x x
4
4 4
0
sin 4
sin
x
I
x cos x
3
2
4
1 sin
cos x
I dx
x
2
4
sin
sin
x cosx
I dx
x cosx
3
sin
cos x
I dx
x
s 3
sin
in x
I dx
x
1
4 2
0
1
x
I dx
x x
1
2
0
2 1
x
I dx
x
0
9
2
1
1
I x x dx
1
15 8
0
. 1 3 .I x x dx
2
2
0
sin 1
I xcosx cosx dx
1
0
sin
I xdx
1
3
2
0
1
x
I dx
x x
2
0
1
dx
I
cosx
4
2
0
sin 4
1
x
I dx
cos x
2
4
1 sin 2
dx
I
x
4
3
0
s2
sin 2
co x
I dx
x cosx
4
0
s 2
sin 2
co x
I dx
x cosx
2
2 2 2 2
0
sin
sin
xcosx
I dx
a cos x b x
2
3
0
1
3 2
x
I dx
x
4
2
7
9
dx
I
x x
Hệ Thống Bài Tập Môn Toán-Luyện Thi Đại Học NH 2012-2013
ThS. Phan Văn Đoàn - ĐT: 01693548377
23
4
0
1 tan
dx
I
x
1
2
0
sin
x x
I dx
cos x
1
1
5 4
x
I dx
x
9
3
1
1
I x xdx
1
2
0
3
x
dx
I
e
1
2
2
11 5
dx
I
x
1
sin ln
e
x
I dx
x
3
6
sin sin
6
dx
I
x x
4
2
12
1
sin
I dx
x cosx
dx
x
x
I
7
0
3
1
2
3
0
2
sin
xtgxdxI
4
0
sin
cos.
dxxetgxI
x
e
xdxxI
1
2
ln
3
1
313
3
dx
xx
x
I
dxxxI
1
0
25
1
2
0
3
5sin
xdxeI
x
dxxxI
5
3
0
3
.1
4
0
2
2sin1
sin21
dx
x
x
I
0
1
2
42xx
dx
I
e
dx
x
x
I
1
2
ln
dx
x
x
I
3
7
0
3
13
1
2
0
1sin
3cos
dx
x
x
I dxxxI sin
4
0
2
dx
x
xxx
I
2
0
2
23
4
942
1
0
3
1x
xdx
I
e
xx
dx
I
1
2
ln1
2
0
20042004
2004
cossin
sin
dx
xx
x
I
2
0
3
cos1
sin4
dx
x
x
I
1
2
0
I xln 1 x dx
2
4
sinx cosx
I dx
1 sin2x
2
3
0
cos2x
I dx
sinx cosx 3
4
0
cos2x
I dx
1 2sin2x
3
2
0
4sin x
I dx
1 cosx
3
1
x 3
I dx
3 x 1 x 3
1
3
0
I x cos x sinxdx
4
8
0
I 1 tg x dx
4
2
3
4x 3
I dx
x 3x 2
4
4 4
0
I cos x sin x dx
2
3
2
0
I sin2x 1 sin x dx
e
0
lnx
I dx
x
1
2
0
1
I dx
x 2x 2
Bài Tập Tự Luyện
1.
2
3 2
3
sin
xcos xdx
2.
2
2 3
3
sin
xcos xdx
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
4.
4
0
tgxdx
5.
4
6
cot
gxdx
6.
6
0
1 4sin
xcosxdx
7.
1
2
0
1x x dx
8.
1
2
0
1
x x dx
9.
1
3 2
0
1x x dx
10.
1
2
3
0
1
x
dx
x
11.
0
22
sin xdxe
x
12.
2
3
1
1
1
dx
x x
