Tai lieu on thi DH 2010 Toán _ Lý
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.85 MB, 204 trang )
ŀ
Bộ Giáo Dục và Đào tạo
ĐỀ THAM KHẢO
Email:
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN - khối A.
Ngày thi : 07.03.2010 (Chủ Nhật )
ĐỀ 02
I. PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
3 2
3 9y x x x m= − − +
,
m
là tham số thực .
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
0m =
.
2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt có hoành độ
lập thành cấp số cộng.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình
( ) ( ) ( )
8
4 8
2
1 1
log 3 log 1 3 log 4
2 4
x x x+ + − =
.
2.
Giải phương trình:
2 2
1 1
cos sin
4 3 2 2
x x
+ =
.
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân:
4
2
6
t n
cos 1 cos
a x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
.
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện
ABCD
có
2
2 , 0
2
AB CD x x
= = < <
và
1AC BC BD DA= = = =
. Tính
thể tích tứ diện
ABCD
theo
x
.Tìm
x
để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Câu V: ( 1 điểm ) Tìm các giá trị của tham số thực
m
để phương trình
2 3 2
3 1 2 2 1x x x m− − + + =
có
nghiệm duy nhất thuộc đoạn
1
;1
2
−
.
II. PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm )
1.
Tìm tham số thực
m
sao cho đường thẳng
( ) ( )
: 2 1 1d x y z= − = +
cắt mặt cầu
2 2 2
( ) : 4 6 0S x y z x y m+ + + − + =
tại
2
điểm phân biệt
,M N
sao cho độ dài dây cung
8
MN =
.
2.
Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
( )d
có phương trình:
2 5 0x y− − =
và hai điểm
( )
1;2A
,
( )
4;1B
.
Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
( )d
và đi qua hai điểm
,A B
.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Với
n
là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
( ) ( )
0 1 2 3 1 1
2. 3. 4. ... . 1 . 2 .2
n n n
n n n n n n
C C C C n C n C n
− −
+ + + + + + + = +
.
2.
Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1.
Tìm tham số thực
m
sao cho đường thẳng
( ) ( )
: 2 1 1d x y z= − = +
tiếp xúc mặt cầu
2 2 2
( ) : 4 6 0S x y z x y m+ + + − + =
.
2.
Tìm trên đường thẳng
( )d
:
2 5 0x y− − =
những điểm
M
sao cho khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
2 5 0x y
+ + =
bằng
5
.
Câu VII.b ( 1 điểm ) Với
n
là số tự nhiên, giải phương trình:
( ) ( )
0 1 2 3 1
2. 3. 4. ... . 1 . 128. 2
n n
n n n n n n
C C C C nC n C n
−
+ + + + + + + = +
.
..........................................................Cán Bộ coi thi không giải thích gì thêm.......................................................
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
3 2
3 9y x x x m= − − +
,
m
là tham số thực .
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
0
m =
.Học sinh tự làm .
2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt có hoành độ
lập thành cấp số cộng.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
3 2
3 9 0x x x m− − + =
có
3
nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
( )
3 2
3 9 0 *x x x m− − + =
có
3
nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn :
( )
1 3 2
2 1
x x x+ =
mà
( )
1 3 2
3 2x x x
+ + =
. Từ
( )
1
,
( )
2
suy ra
2
1x
=
.
2
1x• =
là nghiệm phương trình
( )
*
nên ta có :
3 2
1 3.1 9.1 0 11m m− − + = ⇔ =
11m• =
phương trình
( )
3 2
* 3 9 11 0x x x⇔ − − + =
có
3
nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
luôn thỏa điều kiện
1 3 2
2
x x x+ =
.
Vậy
11m =
là tham số thực cần tìm .
Ngoài cách giải trên hs có thể lựa chọn phương pháp cấp số cộng thuộc chương trình giải tích lớp 11
Chú ý : Do chương trình mới giảm tải bài điểm uốn của chương trình ban cơ bản , sự giảm tải này đã dẫn đến các
bài toán về cấp số cộng , cấp số nhân khá hạn chế trong mỗi đề thi . Nếu xuất hiện bài toán về cấp số thì việc lựa
chọn phương pháp giải liên quan điểm uốn đều không chấp nhận. Do đó học sinh cần lưu ý điều này.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình
8
4 8
2
1 1
log ( 3) log ( 1) 3 log (4 )
2 4
x x x+ + − =
Điều kiện :
3
1 0 1
0
x
x x
x
> −
≠ ⇔ < ≠
>
Phương trình :
( )
8
4 8 2 2 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) 3 log (4 ) log ( 3) log 1 log (4 ) *
2 4
x x x x x x+ + − = ⇔ + + − =
TH1:
0 1x< <
Phương trình :
( ) ( )( ) ( )
2 2
* ... log 3 1 log 4x x x
⇔ ⇔ + − + =
. Hs tự giải
TH2:
1x >
Phương trình :
( ) ( )( ) ( )
2 2
* ... log 3 1 log 4x x x
⇔ ⇔ + − =
( )
2
1 l
2 3 0 3.
3
x
x x x
x
= −
⇔ − − = ⇔ ⇔ =
=
2.
Giải phương trình:
2 2
1 1
cos sin
4 3 2 2
x x
+ =
.
2 2
2
1 cos
1 1 1 1 cos 2
3
cos sin 1 2 2 cos 1 cos
4 3 2 2 4 2 4 3
x
x x x x
x
+
−
+ = ⇔ + = ⇔ + + = −
2 3
2 2 cos 2 cos 3 2 2 2 cos 1 4 cos 3 cos
3 3 3 3 3
x x x x x
⇔ + = − ⇔ + − = − −
2 3 2
2 4 cos 2 4 cos 3 cos 0 cos 4 cos 4 cos 3 0
3 3 3 3 3 3 3
x x x x x x x
⇔ + − + − = ⇔ + − =
( )
cos 0
3
cos 0
3
1
33
3 2
cos
2
3 2
6 .
2
cos cos
3 3
3
3 3
cos
3 2
x
x
x
k
x
x k
x
x
x k
k
x
l
π
π
π
π
π
π
π π
π
=
=
= +
= +
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔
= ± +
= ± +
=
= −
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện
ABCD
có
2
2 , 0
2
AB CD x x
= = < <
và
1AC BC BD DA= = = =
. Tính
thể tích tứ diện
ABCD
theo
x
.Tìm
x
để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Đây là dạng toán trong
sách bài tập hình học 12 .
Học sinh tự vẽ hình
Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,AB CD
Dễ thấy
1 1
, . , .
3 3
ABCD AICD BICD AICD ICD BICD ICD
V V V V AI dt V BI dt= + = =
Hay :
( )
1 1
, . .
3 2
ABCD ICD ICD
V dt AI BI dt IJ CD= + =
Dễ dàng chứng minh được
IJ
là đoạn vuông góc chung của
,AB CD
Ta có :
2 2 2 2
1 2 ,IJ CI CJ x AI BI x= − = − = =
2 2
1 1
. . . 1 2 .2 . 1 2
2 2
ICD
dt IJ CD x x x x⇒ = = − = −
(đvdt).
( ) ( )
2
2 2
1 1 2
. 1 2 . 1 2
3 3 3
ABCD ICD
x
V dt AI BI x x x x x= + = − + = −
(đvtt).
( )
( )
3
2 2 2
2
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
. 1 2 . . 1 2 .
3 3 3 3
9 3
x x x
x
x x x x
+ + −
− = − ≤ =
Đẳng thức xảy ra khi :
2 2 2
3
1 2
3
x x x x= = − ⇔ =
Vậy
2
max
9 3
ABCD
V =
(đvdt) khi
3
3
x =
.
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân:
4
2
6
t n
cos 1 cos
a x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
.
4 4 4
2 2 2
2
6 6 6
2
t n t n t n
1
cos 1 cos cos t n 2
cos 1
cos
a x a x a x
I dx dx dx
x x x a x
x
x
π π π
π π π
= = =
+ +
+
∫ ∫ ∫
.
Đặt
2
1
t n .
cos
u a x du dx
x
= ⇒ =
.
Đổi cận :
1
6
3
1
4
x u
x u
π
π
= ⇒ =
= ⇒ =
Do đó
(
)
1 1
1
2 2
1
2
1 1
3
3 3
3 7
2 2
3
2
u
I du d u u
u
−
= = + = + =
+
∫ ∫
Học sinh yếu hơn có thể đặt
2
2
2
2
u
t u dt du
u
= + ⇒ =
+
.
Câu V: ( 1 điểm ) Tìm các giá trị của tham số thực
m
để phương trình
2 3 2
3 1 2 2 1x x x m− − + + =
có nghiệm
duy nhất thuộc đoạn
1
;1
2
−
.
2 3 2
3 1 2 2 1 ,x x x m m R− − + + = ∈
.
Xét hàm số :
( )
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x= − − + +
xác định và liên tục trên đoạn
1
;1
2
−
.
Ta có :
( )
2
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
'
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
+ +
= − − = − +
− + + − + +
.
;
∀ ∈ −
1
1
2
x
ta có
2 3 2
4 3 3 4
3 4 0 0
3
1 2 1
x
x x
x x x
+
> − ⇒ + > ⇒ + >
− + +
.
Vậy:
( )
' 0 0f x x= ⇔ =
.
Bảng biến thiên:
( )
( )
1
0 1
2
' | 0 ||
1
3 3 22
2
4
x
f x
f x
−
+ −
−
−
Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
1
;1
2
−
3 3 22
4
2
m
−
⇔ − ≤ <
hoặc
1m =
.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Ban cơ bản và nâng cao có cùng đáp án.
Câu VI.a ( 2 điểm )
1.
Tìm tham số thực
m
sao cho đường thẳng
( ) ( )
: 2 1 1d x y z= − = +
cắt mặt cầu
2 2 2
( ) : 4 6 0S x y z x y m+ + + − + =
tại
2
điểm phân biệt
,M N
sao cho độ dài dây cung
8MN =
.
2 2 2 2 2 2
( ) : 4 6 0 ( ) :( 2) ( 3) 13S x y z x y m S x y z m+ + + − + = ⇔ − + − + = −
có tâm
( )
2;3;0I
, bán kính
13 , 13R IN m m= = − <
Dựng
4IH MN MH HN⊥ ⇒ = =
2 2
13 16 3, 3IH IN HN m m m⇒ = − = − − = − − < −
và
( )
( )
;I d
IH d=
( )
d
luôn đi qua
( )
0;1; 1A −
và có vectơ chỉ phương
1 1
1; ; 1 (2; 1; 2)
2 2
u
= =
( 2; 2; 1); [ ; ] (3; 6; 6)AI AI u= − = −
( )
( )
2 2 2
;
2 2 2
[ ; ]
3 6 6 81
3.
9
2 1 2
I d
AI u
d
u
+ +
⇒ = = = =
+ +
( )
( )
;
3 3 3 9 12
I d
IH d m m m= ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = −
Vậy
12m = −
thỏa mãn yêu cầu bài toán .
2.
Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
( )d
có phương trình:
2 5 0x y− − =
và hai điểm
(1;2)A
,
(4;1)B
. Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
( )d
và đi qua hai điểm
,A B
.
Phương trình đường trung trực của
AB
là
3 6 0x y− − =
.
Tọa độ tâm
I
của đường tròn là nghiệm của hệ:
( )
2 5 1
1; 3 5
3 6 3
x y x
I R IA
x y y
− = =
⇔ ⇒ − ⇒ = =
− = = −
Phương trình đường tròn là
( ) ( )
2 2
1 3 25x y− + + =
.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Với
n
là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
0 1 2 3 1 1
2. 3. 4. ... . ( 1). ( 2).2
n n n
n n n n n n
C C C C n C n C n
− −
+ + + + + + + = +
.
Ta có :
( )
0 1 2 2 3 3 1 1
1 ... .
n
n n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x
− −
+ = + + + + + +
Nhân vào hai vế với
x ∈
ℝ
, ta có:
( )
0 1 2 2 3 3 4 1 1
1 ... .
n
n n n n
n n n n n n
x x C x C x C x C x C x C x
− +
+ = + + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế ta được:
( )
0 1 2 2 3 3 1 1
2 3 4 ... 1
n n n n
n n n n n n
C C x C x C x nC x n C x
− −
+ + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1 1 .
n n n
n x x x x nx x
− −
= + + + = + + +
Thay
1x =
, ta được kết quả :
0 1 2 3 1 1
2. 3. 4. ... . ( 1). ( 2).2
n n n
n n n n n n
C C C C n C n C n
− −
+ + + + + + + = +
Một bài toán giải thế này đúng chưa ?
Cho nhị thức
95
2
3
y
x y
x
+
, có bao nhiêu số hạng trong dãy mà số mũ của
x
chia hết số mũ của
y
.
Cho nhị thức
95
2
3
y
x y
x
+
, có bao nhiêu số hạng trong dãy mà số mũ của
x
chia hết số mũ của
y
( )
95
2 2
95 95
95
3 3 3.95 4. 95
95 95
0 0
. , 0 95
i
i
i i i i
i i
y y
x y C x y C x y i
x x
−
− +
= =
+ = = ≤ ≤
∑ ∑
.
Số mũ của của
x
chia hết số mũ của
y
, khi đó tồn tại số nguyên
t
sao cho
( ) ( )
( )
4 95 3 *
t i t
+ = −
4t• = −
thì
( )
*
vô nghiệm .
4t• ≠ −
thì
( )
( )
95 3
* , 0 95 0,1,2,3
4
t
i i t
t
−
⇒ = ≤ ≤ ⇒ =
+
.
95.3
0
4
t i+ = ⇒ =
loại .
95.2
1 38
5
t i+ = ⇒ = =
nhận , số hạng cần tìm là
38 133 133
95
.C x y
.
95
2
6
t i+ = ⇒ =
loại .
3 0t i+ = ⇒ =
nhận , số hạng cần tìm là
0 258 95
95
.C x y
.
Vậy có hai số hạng thỏa mãn bài toán :
0 258 95
95
.C x y
và
38 133 133
95
.C x y
.
ŀ
Bộ Giáo Dục và Đào tạo
ĐỀ THAM KHẢO
Email:
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN - khối A.
Ngày thi : 28.02.2010 (Chủ Nhật )
ĐỀ 01
I. PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
+
=
−
3
1
x
y
x
, có đồ thị là
( )
C
.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số .
2.
Cho điểm
( ) ( )
∈
0 0 0
;
M x y C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
0
M
cắt các đường tiệm cận của
( )
C
tại các điểm
,
A B
. Chứng minh
0
M
là trung điểm của đoạn
AB
.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình :
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+
2.
Giải phương trình :
3 3
sin .sin 3 cos cos 3 1
8
t n t n
6 3
x x x x
a x a x
π π
+
= −
− +
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân
−
=
+ +
∫
3 1
2
0
2 2
dx
I
x x
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện
OABC
có đáy
OBC
là tam giác vuông tại
O
,
,OB a=
( )
3, 0 .
OC a= >
và đường
cao
=
3
OA a
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
,AB OM
.
Câu V: ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn
1 1 1 1
x y z x y z
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2
2 1
1 1 1
y
x z
P
x y z
−
= + +
+ + +
II. PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
1.
Cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;2 , 2; 1;1A B C D
− −
. Tìm vectơ
' 'A B
là hình chiếu của vectơ
AB
lên
CD
.
2.
Cho đường thẳng :
( )
2
:
1 2 2
x y z
d
−
= =
và mặt phẳng
( )
: 5 0P x y z− + − =
. Viết phương trình tham số của đường thẳng
( )
t
đi qua
( )
3; 1;1A −
nằm trong
( )
P
và hợp với
( )
d
một góc
0
45
.
Câu VII.a( 1 điểm ) Một giỏ đựng
20
quả cầu. Trong đó có
15
quả màu xanh và
5
quả màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên
2
quả cầu
trong giỏ.Tính xác suất để chọn được
2
quả cầu cùng màu ?
2.
Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
1.
Cho 3 điểm
( ) ( )
0;1; 0 , 2;2;2A B
và đường thẳng
( )
1 2 3
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
−
. Tìm điểm
( )
∈
M d
để diện tích
tam giác
ABM
nhỏ nhất.
2.
Cho hai đường thẳng
( )
1 1 2
:
2 3 2
x y z
d
+ − −
= =
−
và
( )
2 2
' :
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
. Chứng minh
( )
d
vuông góc với
( )
'
d
, viết
phương trình đường vuông góc chung của
( )
d
và
( )
'd
.
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho khai triển
( )
1
3
1
2
2
8
1
log 3 1
log 9 7
5
2 2
x
x
−
−
− +
+
+
. Hãy tìm các giá trị của
x
biết rằng số hạng thứ
6
trong khai
triển này là
224
.
............…………………………….Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ………………………………………...............
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
+
=
−
3
1
x
y
x
, có đồ thị là
( )
C
.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số .
2.
Cho điểm
( ) ( )
∈
0 0 0
;
M x y C
. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
0
M
cắt các đường tiệm cận của
( )
C
tại các điểm
,A B
.
Chứng minh
0
M
là trung điểm của đoạn
AB
.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải phương trình :
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =
+
Điều kiện :
2 2x− ≤ ≤
2 2
6 4 6 4 6 4
2 4 2 2
2 4 2 2
4 4
x x x
x x
x x
x x
− − −
+ − − = ⇔ =
+ + −
+ +
( )
2
1 1
2 3 2 0
2 4 2 2
4
x
x x
x
⇔ − − =
+ + −
+
2
2
2
3
3
4 2(2 )(2 ) (2 )( 4) 0
2 4 2 2 4
x
x
x x x x
x x x
=
=
⇔ ⇔
+ − + − + =
+ + − = +
2
2
3
3
2
2 (4 2(2 ) ( 4) 2 ) 0
x
x
x
x x x x
=
=
⇔ ⇔
=
− + + + − =
2.
Giải phương trình :
3 3
sin .sin 3 cos cos 3 1
8
t n t n
6 3
x x x x
a x a x
π π
+
= −
− +
Điều kiện : sin sin cos cos 0
6 3 6 3
x x x x
π π π π
− + − + ≠
Ta có : t n t n t n cot 1
6 3 6 6
a x a x a x x
π π π π
− + = − − = −
Phương trình :
3 3
3 3
sin .sin 3 cos cos 3 1 1
sin .sin 3 cos cos 3
8 8
t n t n
6 3
x x x x
x x x x
a x a x
π π
+
= − ⇔ + =
− +
1 cos2 cos 2 cos 4 1 cos2 cos2 cos 4 1
2 2 2 2 8
x x x x x x− − + +
⇔ ⋅ + ⋅ =
3
1 1 1
2(cos2 cos2 cos 4 ) cos 2 cos2
2 8 2
x x x x x⇔ + = ⇔ = ⇔ =
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
M
A
B
(không )
6
6
x k thoa
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= − +
. Vậy phương trình cho có họ nghiệm là
6
x k
π
π
= − +
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân
−
=
+ +
∫
3 1
2
0
2 2
dx
I
x x
− −
= =
+ + + +
∫ ∫
3 1 3 1
2 2
0 0
2 2 1 ( 1)
dx dx
I
x x x
Đặt
π π
+ = ∈ − ⇒ = +
2
1 t n , ; (t n 1)
2 2
x a t t dx a x dt
Đổi cận :
π π
= ⇒ = = − ⇒ =0 , 3 1 .
4 3
x t x t
π π
π π
π π π
+
= = = − =
+
∫ ∫
3 3
2
2
4 4
t n 1
.
3 4 12
1 t n
a t
I dt dt
a t
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện
OABC
có đáy
OBC
là tam giác vuông tại
O
,
( )
= = >
, 3, 0 .OB a OC a
và
đường cao
=
3OA a
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
,AB OM
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0),
(0;0; 3), ( ;0;0), (0; 3;0),A a B a C a
3
; ; 0
2 2
a a
M
,
gọi N là trung điểm của AC ⇒
3 3
0; ;
2 2
a a
N
.
MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN
⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
d(B;(OMN)).
3 3 3
; ; 0 , 0; ;
2 2 2 2
a a a a
OM ON
= =
( )
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
[ ; ] ; ; 3; 1; 1
4 4 4 4 4
a a a a a
OM ON n
= = =
, với
( 3; 1; 1)n =
.
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến
: 3 0n x y z+ + =
Ta có:
3. 0 0
3 15
( ; ( ))
5
3 1 1 5
a
a a
d B OMN
+ +
= = =
+ +
. Vậy,
15
( ; ) .
5
a
d AB OM
=
Câu V: ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
1 1 1 1
x y z x y z
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
2
2 1
1 1 1
y
x z
P
x y z
−
= + +
+ + +
Ta có :
1 1 1 1
. . . 1x y y z z x
x y z x y z
+ + = ⇔ + + =
. Điều này gợi ý ta đưa đến hướng
giải lượng giác . Đặt tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z= = =
Nếu
, , (0; ),A B C A B C
π π
∈ + + =
thì
t n t n t n t n t n t n 1.
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
a a a a a a+ + =
Khi đó
2
sin sin cos 2 cos cos 2 cos 1
2 2 2
C A B C
P A B C
−
= + − = − +
2 2
1 1 3
2(cos cos ) 1 cos
2 2 2 2 2 2
C A B A B
P
− −
= − − + + ≤
Vậy
3
max
2
P =
khi
2
2
2 3
tan
3
12
2 3
3
6
C
x y
A B
z
π
π
π
−
=
= = =
⇔
+
= =
=
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho
( ) ( ) ( )
−0;1; 0 , 2;2;2 , 2; 3;1A B C
và đường thẳng
( )
= +
= − −
= +
1 2
: 2
3 2
x t
d y t
z t
. Tìm điểm
( )
∈M d
để diện tích tam giác
ABN
nhỏ nhất.
∈ ⇒ + − − +( ) (1 2 ; 2 ; 3 2 ).M d M t t t
= = − ⇒ = − − = − − = − = −
(2; 1; 2), ( 2; 2;1) [ ; ] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3. , (1; 2; 2)AB AC AB AC n n
Mặt phẳng
( )
ABC
qua
( )
0;1; 0A
và có vecto pháp tuyến
= −
(1; 2; 2)n
nên có phương trình
+ − − =2 2 2 0x y z
= = − + − + =
2 2 2
1 1 9
[ ; ] ( 3) ( 6) 6 ,
2 2 2
ABC
S AB AC
+ + − − − + − − −
= = =
+ +
1 2 2( 2 ) 2(3 2 ) 2 4 11
( ( ))
3
1 4 4
t t t t
MH d M ABC
+
= ⇔ = = ⇔ + = ⇔ = − = −
4 11
1 9 5 17
3 . . 3 4 11 6 hay .
3 2 3 4 4
MABC
t
V V t t t
Vậy
− − −
3 3 1 15 9 11
; ; hay ; ;
2 4 2 2 4 2
M M
là tọa độ cần tìm.
2.
Cho hai đường thẳngờ
( )
1 1 2
:
2 3 2
x y z
d
+ − −
= =
−
và
( )
2 2
' :
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
. Chứng minh
( )
d
vuông góc với
( )
'd
,
viết phương trình đường vuông góc chung của
( )
d
và
( )
'd
.
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho khai triển
( )
1
3
1
2
2
8
1
log 3 1
log 9 7
5
2 2
x
x
−
−
− +
+
+
. Hãy tìm các giá trị của
x
biết rằng số hạng thứ
6
trong khai triển này là
224
.
Ta có :
( )
8
8
8
8
0
k
k k k
k
a b C a b
=
−
=
+ =
∑
với
( )
( )
( )
1
3
1
2
2
1 1
1
log 3 1
log 9 7
1 1
3 5
5
2 = 9 7 ; 2 3 1
x
x
x x
a b
−
−
−
− +
+
− −
= + = = +
+ Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển là
( ) ( ) ( ) ( )
3 5
1 1
1
5 1 1 1 1
3 5
6 8
9 7 . 3 1 56 9 7 . 3 1
x x x x
T C
− −
− − − −
= + + = + +
+ Theo giả thiết ta có :
( ) ( )
1
1
1 1 1 1
1
9 7
56 9 7 . 3 1 = 224 4 9 7 4(3 1)
3 1
x
x x x x
x
−
−
− − − −
−
+
+ + ⇔ = ⇔ + = +
+
( )
1
2
1 1
1
3 1 1
3 4(3 ) 3 0
2
3 3
x
x x
x
x
x
−
− −
−
= =
⇔ − + = ⇔ ⇔
=
=
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 1
CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12
Chuyên đề 1: Hạt nhân nguyên tử
Dạng 1: Tính năng lượng phản ứng A + B
C + D
* W = ( m
0
– m)c
2
* W =
lksau
W
-
lktr
W
* W =
đtrđsau
WW
Dạng 2: Độ phóng xạ
* H =
A
N
A
m
T
N ..
693,0
(Bq) *
0
H =
A
N
A
m
T
N ..
693,0
0
0
(Bq) * H =
0
H
T
t
t
He
2
0
*
Thời gian tính bằng giây * Đơn vị : 1 Ci = 3,7.
10
10
Bq
Dạng 3: Định luật phóng xạ
* Độ phóng xạ(số nguyên tử, khối lượng) giảm n lần
n
H
H
T
t
2
0
* Độ phóng xạ(số nguyên tử, khối lượng) giảm (mất đi) n%
n
H
H
T
t
21
0
%
* Tính tuổi : H =
T
t
H
2.
0
, với
0
H bằng độ phóng xạ của thực vật sống tương tự, cùng khối lượng.
* Số nguyên tử (khối lượng) đã phân rã :
)21(
0
T
t
NN
, có thể dựa vào phương trình phản ứng để xác
định số hạt nhân đã phân rã bằng số hạt nhân tạo thành.
* Vận dụng định luật phóng xạ cho nhiều giai đoạn:
1
N
2
N
)1(
1
01
t
eNN
1{
22
NN
- e
- )(
34
tt
}
3
02
t
eNN
Dạng 4 : Định luật bảo toàn năng lượng toàn phần và bảo toàn động lượng
* Động lượng :
DCBA
pppp
* Năng lượng toàn phần : W =
đtrđsau
WW * Liên hệ :
đ
mWp 2
2
* Kết hợp dùng giản đồ vector
Dạng 5 : Năng lượng liên kết, năng lượng liên kết riêng
*
2
)( cmNmZmW
XnplkX
( là năng lượng toả ra khi kết hợp các nucleon thành hạt nhân, cũng là năng lượng để
tách hạt nhân thành các nucleon riêng rẻ)
*
A
W
W
lkX
lkrX
( hạt nhân có năng lượng liên kết riêng càng lớn thì càng bền vững)
Chuyên đề 2 : Hiện tượng quang điện
Dạng 1: Vận dụng phương trình Eistein để tính các đại lượng liên quan
* hf =
2
max0
2
1
mvA
hc
* Điều kiện xảy ra hiện tượng quang điện :
A
hc
0
* Nếu có hợp kim gồm nhiều kim loại , thì giới hạn quang điện của hợp kim là giá trị quang điện lớn nhất của các kim
loại tạo nên hợp kim
* Dạng 2 : Tính hiệu điện thế hãm và điện thế cực đại trên vật dẫn kim loại cô lập về điện
e
A
hc
mvU
h
2
max0
2
1
---
A
hc
mvV
2
max0max
2
1
--- Nếu có 2 bức xạ cùng gây ra hiện tượng quang điện thì
điện thế cực đại của vật dẫn cô lập về điện là do bức xạ có bước sóng nhỏ gây ra.
Dạng 3: Hiệu suất lượng tử(là tỉ số giữa các electron thoát ra khỏi Katod và số photon chiếu lên nó)
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 2
* H =
Pe
I
Pt
e
It
n
n
p
e
, P là công suất nguồn bức xạ , I cường độ dòng quang điện bảo hoà
Dạng 4 : Chuyển động electron trong điện trường đều và từ trường đều
* Trong điện trường đều : gia tốc của electron
ee
m
Ee
m
F
a
* Trong từ trường đều : lực Lorentz đóng vai trò lực hướng tâm, gia tốc hướng tâm a =
ee
m
eBv
m
F
, bán kính quỹ đạo
R =
eB
vm
e
, trong đó v là vận tốc của electron quang điện ,
Bv
.
* Đường đi dài nhất của electron quang điện trong điện trường : 0 -
2
max0
2
1
mv
= -eEd
Chuyên đề 3 : Giao thoa ánh sáng
Dạng 1 : Vị trí vân giao thoa
* Vân sáng bậc k : x = ki = k
a
D
* Vị trí vân tối thứ (k+1) : x = (k +
a
D
ki
)
2
1
()
2
1
* Xác định loại vân tại M có toạ độ
M
x
: xét tỉ số
i
x
M
nếu bằng k thì tại đó vân sáng
nếu bằng (k,5) thì tại đó là vân tối.
Dạng 2 : Tìm số vân quan sát được trên màn
* Xác định bề rộng giao thoa trường L trên màn ( đối xứng qua vân trung tâm)
*
pn
i
L
,
2
số vân sáng là 2n+1 , số vân tối là : 2n nếu p < 0,5 , là 2(n+1) nếu p
5,0
Dạng 3 : Giao thoa với nhiều bức xạ đơn sắc hay ánh sáng trắng
* Vị trí các vân sáng của các bức xạ đơn sắc trùng nhau:
+
nn
kkk
...
2211
+ Điều kiện của
1
1
2i
L
k
+ Với L là bề rộng trường giao thoa
* Các bức xạ của ánh sáng cho vân sáng tại M :
+
đ
M
t
kD
ax
D
ax
k
D
ax
t
M
đ
M
(k là số nguyên)
* Các bức xạ của ánh sáng cho vân tối tại M :
+
đ
M
t
Dk
ax
)12(
2
D
ax
k
D
ax
t
M
đ
M
2
12
2
(k là số nguyên)
Dạng 4 : Sự dịch của hệ vân giao thoa
* Do sự xê dịch của nguồn sáng S : Vân trung tâm dịch ngược chiều 1 đoạn OO
’
=
'
SS
d
D
, d khoảng cách từ S đến khe
* Do bản mặt song song đặt trước 1 trong 2 khe : hệ dịch về phía bản mỏng 1 đoạn OO
’
=
a
eDn )1(
, e bề dày của bản
Dạng 5 : Các thí nghiệm giao thoa
* Khe Young
* Lưỡng lăng kính fresnel : a =
HSAnSS .)1(2
21
* Bán thấu kính Billet : a =
21
'
21
).1( OO
d
d
SS
* Gương fresnel : a =
2.
21
OSSS
( Khi nguồn S dịch trên đường tròn tâm O, bán kính OS thì hệ vân dịch
OS
s
llx
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 3
Chuyên đề 4 : Dao động điều hoà (BIẾN SIN THÀNH COS TRỪ
2
BIẾN COS THÀNH SIN THÊM
2
)
Dạng 1: Viết phương trình dao động : x = Acos(
)
t
+ Tìm A =
2
2
2
v
x
(hay từ cơ năng E =
2
2
1
kA
) + Tìm
=
m
k
(con lắc lò xo) ,
l
g
(con lắc đơn)
+ Tìm
từ điều kiện ban đầu :
cos
0
Ax
và
sin
0
Av
0
0
tan
x
v
Thường dùng x
0
và v
0
>0 (hay v
0
<0)
+ Trường hợp đặc biệt:
- Gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì
2
- Gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thì
2
- Gốc thời gian khi vật ở biên dương thì
0
- Gốc thời gian khi vật ở biên âm thì
+ Lưu ý : Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t
0
tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó theo t sẽ dương và
ngược lại. x π/2
+ Cách xác định pha của x, v, a trong dao động điều hoà : v π
Dạng 2: Liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều a π/2
* Xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian xác định t :
+ Xác định toạ độ và vận tốc ban đầu ( thay t = 0 vào phương trình x và v) để xác định chiều di chuyển của vật
+ Xác định toạ độ vật ở thời điểm t
+ Chia t = nT + t
’
, dựa vào 2 bước trên xác định đường đi .
* Xác định khoảng thời gian ( ngắn nhất ) khi chất điểm di chuyển từ x
M
đến x
N
:
+ Vẽ quỹ đạo tròn tâm O , bán kính A ,tốc độ góc bằng
. Chọn trục toạ độ Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo
+Xác định vị trí M và N , thời gian cần tìm bằng thời gian bán kính quét góc
MON
=
+Thời gian cần tìm là t =
2
T
Dạng 3 : Vận dụng các công thức định nghĩa, công thức liên hệ không có t
+ Li độ x = Acos(
)
t
- Vận tốc v = -A
sin(
)
t
- Gia tốc a = -
x
2
+ Hệ thức độc lập :
1
22
2
2
2
A
v
A
x
v =
22
xA
và A =
2
2
2
v
x
+ Lực kéo về F = ma = m(-
x
2
) , tuỳ theo hệ cụ thể và toạ độ vật thay vào biểu thức .
Dạng 5 : Bài toán về đồ thị dao động điều hoà
+ Xác định được chu kỳ T, các giá trị cực đại , hai toạ độ của điểm trên đồ thị
+ Kết hợp các khái niệm liên quan , tìm ra kết quả .
Dạng 6 : Chứng minh vật dao động điều hoà
+ Cách 1: Đưa li độ về dạng x = Acos(
)
t
, (dùng phép dời gốc toạ độ)
+ Cách 2: Phân tích lực ( xét ở vị trí cân bằng , và ở vị trí có li độ x , biến đổi đưa về dạng a = -
x
2
+ Cách 3: Dùng định luật bảo toàn năng lượng ( viết cơ năng ở vị trí x , lấy đạo hàm
0
dt
dE
)
Chuyên đề 5 : Con lắc lò xo
Dạng 1: Viết phương trình dao động ( giống như dao động điều hoà)
Dạng 2: Tính biên độ ,tần số , chu kỳ và năng lượng
+ Dùng A =
2
2
2
v
x
, hay từ E =
2
2
1
kA
+ Chu kỳ T =
f
12
,
0
l
là độ dãn của lò xo( treo thẳng đứng) khi vật cân bằng thì
0
l
g
m
k
+ Lò xo treo nghiêng góc
, thì khi vật cân bằng ta có mg.sin
= k.
0
l
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 4
+ E =
22222
2
1
2
1
2
1
2
1
AmkAkxmvEE
tđ
+ Kích thích bằng va chạm : dùng định luật bảo toàn động lượng, bảo toàn động năng ( va chạm đàn hồi) , xác định vận
tốc con lắc sau va chạm. Áp dụng
đsau
WkA
2
2
1
+ Chu kỳ con lắc vướng đinh : T =
)(
2
1
vk
TT
+
21
21
TT
TT
T
s
khi 2 lò xo ghép song song ,
2
2
2
1
2
TTT
n
khi 2 lò xo ghép nối tiếp
Dạng 3 : Tính lực đàn hồi của lò xo
+ Dùng F = k.
l
, với
l
là độ biến dạng của lò xo . Căn cứ vào toạ độ của vật để xác định đúng độ biến dạng
l
.
max
F khi
max
l ,
min
F
khi
min
l
.
Dạng 4 : Cắt , ghép lò xo
+ Cắt :
nn
lklklk ...
2211
+ Ghép nối tiếp :
21
111
kkk
+ Ghép song song : k =
21
kk
Dạng 5 : Con lắc quay
+ Tạo nên mặt nón có nửa góc ở đỉnh là
, khi
htđh
FFP
+ Nếu lò xo nằm ngang thì
htđh
FF
.
+ Vận tốc quay (vòng/s) N =
cos2
1
l
g
+ Vận tốc quay tối thiểu để con lắc tách rời khỏi trục quay N
l
g
2
1
Dạng 6 : Tổng hợp nhiều dao động điều hoà cùng phương ,cùng tần số
+ Tổng quát : A
X
=
nn
AAA
cos...coscos
2211
, A
Y
=
nn
AAA
sin...sinsin
2211
A
2
=
22
YX
AA
, tan
=
X
Y
A
A
lưu ý xác định đúng góc
dựa vào hệ toạ độ XOY Y
X
Chuyên đề 6 : Con lắc đơn
Dạng 1: Tính toán liên quan đến chu kỳ, tần số , năng lượng , vận tốc , lực căng dây :
+ Chu kỳ T =
f
12
= 2
g
l
+ Tần số góc
l
g
+ Góc nhỏ : 1-cos
2
2
0
+ Cơ năng E = mgl(1- cos
0
) , khi
0
nhỏ thì E = mgl
2
2
0
, với ls /
00
.
+ Vận tốc tại vị trí
là v =
)cos(cos2
0
gl
+ Lực căng dây T = mg(3cos
)cos2
0
+ Động năng
2
2
1
mvE
đ
+ Thế năng )cos1(
mglE
t
+ Năng lượng E
đ
và E
t
có tần số góc dao động là 2
chu kì
2
T
. Trong 1 chu kì
22
4
1
AmWW
tđ
hai lần ( dùng
đồ thị xác định thời điểm gặp nhau). Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp mà động năng bằng thế năng là T/4
Dạng 2 : Sự thay đổi chu kỳ
+ Đưa xuống độ sâu h : đồng hồ chậm , mỗi giây chậm
R
h
T
T
2
+ Đưa lên độ cao h : đồng hồ chậm , mỗi giây chậm
R
h
T
T
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 5
+ Theo nhiệt độ :
2
0
t
T
T
, khi
0
t
tăng thì đồng hồ chậm mỗi giây là
2
0
t
T
T
, khi nhiệt độ giảm đồng hồ
nhanh mỗi giây là
2
0
t
T
T
.
+ Nếu cho giá trị cụ thể của g và l khi thay đổi thì
g
g
l
l
T
T
22
Dạng 3 : Phương pháp gia trọng biểu kiến
+ Con lắc chịu thêm tác dụng của lực lạ
f
( lực quán tính, lực đẩy Archimeder, lực điện trường ) , ta xem con lắc dao
động tại nơi có gia tốc trọng lực biểu kiến
m
f
gg
'
.
+ Căn cứ vào chiều của
f
và
g
tìm giá trị của
'
g
. Chu kỳ con lắc là T = 2
'
g
l
+ Con lắc đơn đặt trong xe chuyển động với gia tốc a = const : T = 2
g
l
g
l
cos
2
'
, với
là vị trí cân bằng của
con lắc tan
=
g
a
+ Con lắc treo trên xe chuyển động trên dốc nghiêng góc
, vị trí cân bằng tan
=
sin
cos.
ag
a
( lên dốc lấy dấu + ,
xuống dốc lấy dấu - ) ,
cos
sin
'
g
g
( lên dốc lấy dấu + , xuống dốc lấy dấu - ) β
x
Dạng 4 : Viết phương trình dao động s =
)cos(
0
ts
hay
)cos(
0
t
+ Tính
0
s
=
2
2
2
v
s
+ Thường chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo
chiều dương thì
0
y
+ Tìm
từ điều kiện ban đầu :
cos
0
As
và
sin
0
Av
0
0
tan
s
v
Thường dùng s
0
và v
0
>0 (hay v
0
<0)
Dạng 5 : Con lắc trùng phùng
+ Hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng cùng chiều sau nhiều lần: thời gian t giữa 2 lần gặp nhau liên tiếp t =
2211
TnTn
21
,nn
lần lượt là số chu kì 2 con lắc thực hiện để trùng phùng n
1
và n
2
chênh nhau 1 đơn vị, nếu
21
TT
thì
1
12
nn
và ngược lại
+ Con lắc đơn đồng bộ với con lắc kép khi chu kì của chùng bằng nhau , lúc đó
Md
I
l
Chyên đề 7 : Sóng cơ học
Dạng 1: Viết phương trình sóng . Độ lệch pha
+ Nếu phương trình sóng tại O là
)cos(
0
tAu
thì phương trình sóng tại M là
)
2
cos(
d
tAu
M
. Dấu
(–) nếu sóng truyền từ O tới M, dấu (+) nếu sóng truyền từ M tới O.
+ Độ lệch pha giữa 2 điểm nằm trên phương truyền sóng cách nhau khoảng d là
d2
- Nếu 2 dao động cùng pha thì
k2
- Nếu 2 dao động ngược pha thì
)12( k
Dạng 2 : Tính bước sóng , vận tốc truyền sóng, vận tốc dao động
+ Bước sóng
f
v
vT
+ Khoảng cách giữa n gợn sóng liên tiếp nhau ( 1 nguồn) là (n-1)
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 6
+ Vận tốc dao động
)sin(
'
tAu
Dạng 3 : Tính biên độ dao động tai M trên phương truyền sóng
+ Năng lượng sóng tại nguồn O và tại M là :
2
00
kAW
,
2
MM
kAW
, với k =
2
2
D
là hệ số tỉ lệ , D khối lượng riêng
môi trường truyền sóng
+ Sóng truyền trên mặt nước: năng lượng sóng giảm tỉ lệ với quãng đường truyền sóng. Gọi W năng lượng sóng cung
cấp bởi nguồn dao động trong 1s. Ta có
A
A
r
kA
2
2
,
M
M
r
kA
2
2
,
M
A
AM
r
r
AA
+ Sóng truyền trong không gian (sóng âm) : năng lượng sóng giảm tỉ lệ với bình phương quãng đường truyền sóng. Ta
có
2
2
4
A
A
r
kA
,
2
2
4
M
M
r
kA
,
M
A
AM
r
r
AA
Chuyên đề 8 : Giao thoa sóng cơ
Dạng 1: Tìm số điểm cực đại , cực tiểu trên đoạn thẳng nối 2 nguồn kết hợp
lSS
21
* Nếu 2 nguồn lệch pha nhau
:
+ Số cực đại
22
l
k
l
+ Số cực tiểu
2
1
22
1
2
l
k
l
Dạng 2 : Tìm số đường hyperbol trong khoảng CD của hình giới hạn
+ Tính d
1
, d
2
+ Nếu C dao động với biên độ cực đại : d
1
– d
2
= k.λ ( cực tiểu d
1
– d
2
= (k+1/2).λ )
+ Tính k =
21
dd
, lấy k là số nguyên
+ Tính được số đường cực đại trong khoảng CD
Dạng 3 : Tìm số đường hyperbol trong khoảng CA của hình giới hạn
+ Tính MA bằng cách : MA – MB = CA – CB
+ Gọi N là điểm trên AB, khi đó :
NA-NB = k.λ, ( cực tiểu (k+1/2).λ )
NA + NB = AB
+ Xác định k từ giới hạn 0 ≤ NA ≤ MA
Dạng 4 : Phương trình giao thoa
+ Hai nguồn :
)cos(
1
tau
,
)cos(
2
tau
+ Phương trình giao thoa :
)
2
cos(2)
2
cos()
2
cos(
1221
dd
a
d
ta
d
tau
M
cos(
)
2
12
dd
t
+ Biên độ giao thoa
)
2
cos(2
12
dd
aA
M
cùng pha
k2
, ngược pha
)12( k
+ Độ lệch pha giữa M với 2 nguồn cùng pha là
=
12
dd
Lưu ý: Tính biên độ giao thoa theo công thức tổng hợp dao động là
2
M
A
=
)cos(2
1221
2
2
2
1
AAAA
Với
1
1
2
d
,
2
2
2
d
+ Nếu 2 nguồn cùng pha thì độ lệch pha giữa sóng giao thoa với 2 nguồn là
21
dd
Dạng 5 : Đồ thị xét trường hợp 2 nguồn kết hợp cùng pha, ngược pha
* Cùng pha:
+ Vân giao thoa cực đại là các đường hyperbol , có dạng gợn lồi , đường trung trực của
21
SS
là vân cực đại k = 0
+ Vân giao thoa cực tiểu các đường hyperbol , có dạng gợn lõm
* Ngược pha : đổi tính chất cực đại và cực tiểu của trường hợp cùng pha
* Khoảng cách giữa các giao điểm của các nhánh hyperbol với
21
SS
luôn bằng nhau và bằng
2/
Chuyên đề 9 : SÓNG DỪNG
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 7
2
A
P
N
N N N
N
B B B B
4
+ Phương trình sóng dừng:
pxMtMM
uuu
. Vật cản cố định (
pxpx
uu
) . Vật cản tự do (
pxpx
uu
)
u
M
= -2sin2π
d
.sin(ωt-2
l
) : vật cản cố định ---- u
M
= 2acos2
d
.cos(ωt-2
l
) : vật cản tự do
A B AB = l , MB = d , B vật cản
+ Điều kiện xảy ra sóng dừng :
-Hai đầu cố định: l = k
2
, k bó , k bụng , (k+1) nút - Một đầu tự do : l =
2
)
2
1
(
k
, k bó, (k +1) nút , ( k+1) bụng
- Vật cản cố định là điểm nút, vật cản tự do là điểm bụng. Khoảng cách giữa 2 nút, 2 bụng là k
2
, khoảng cách từ 1
điểm bụng đến 1 điểm nút là
2
)
2
1
(
k
+ Từ điều kiện xảy ra sóng dừng , tìm tần số các hoạ âm
0
nff
n
1.Hai đầu cố định : f
cb
= v/2l ,các hoạ âm f
n
= nv/2l (n
N)
f
sau
– f
tr
= f
cb
2. Một đầu tự do : f
cb
= v/4l ,các hoạ âm f
n
= (2n+1)v/4l (n
N) . f
sau
– f
tr
= 2f
cb
3.Hai đầu tự do : f
cb
= v/2l ,các hoạ âm f
n
= nv/2l (n
N)
Cách xác định 2 đầu tự do hay cố định :
Tính
f = f
sau
– f
tr
, Lập tỉ số
f
f
n
. Kết quả là các số : 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 … dây có 1 đầu tự do, 1 đầu cố định . Kết
quả là các số : ; 1 ; ; 2 ; ; 3 ; 4 … dây có 2 đầu cố định ( hoặc 2 đầu tự do ).
* Sóng âm :
* Hiệu ứng Doppler: f
thu
=
ph
phphat
tthu
f
vv
vv
cos
cos
,
t
góc hợp bởi
thu
v
với đường thẳng nối nguồn và bộ phận thu ,
ph
góc hợp bởi
phat
v
với đường thẳng nối nguồn và bộ phận thu .
- Lại gần thì lấy (+, -) , tiến xa thì lấy ( - , + )
- Dùng công thức cộng vận tốc ( ví dụ như có gió )
Chuyên đề 10 : MẠCH RLC NỐI TIẾP
Dạng 1 : Viết biểu thức i hay u
Nếu i = tI
cos
0
thì dạng của u là u =
)cos(
0
tU
. Hoặc u = tU
cos
0
thì dạng của i là là i =
)cos(
0
tI
Với
22
00
0
)()(
CL
ZZrR
U
Z
U
I
và tan
rR
ZZ
CL
( Khi đoạn mạch không có phần tử nào thì điện trở của
phần tử đó bằng không)
+ Có thể dùng giản đồ vector để tìm
(
R
U
vẽ trùng trục
I
,
L
U
vẽ vuông góc trục
I
và hướng lên,
C
U
vẽ vuông góc
trục
I
và hướng xuống , sau đó dùng quy tắc đa giác ). Nếu mạch có r ở cuộn dây thì giản đồ như sau:
U
L
U
U
R
U
r
+ Lưu ý : Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t
0
tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó theo t sẽ dương và
ngược lại.
Dạng 2 : Tính toán các đại lượng của mạch điện
+ I =
2
0
I
, U =
2
0
U
, P = UIcos
, nếu mạch chỉ có phần tử tiêu thụ điện năng biến thành nhiệt thì P = R
2
I
+ Hệ số công suất cos
22
)()(
CL
ZZrR
rR
Z
rR
M
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 8
+ Chỉ nói đến cộng hưởng khi mạch có R+r = const và lúc đó :
rRZ
min
,
0
,
rR
U
I
max
,
rR
U
P
2
max
+ Dùng công thức hiệu điện thế :
222
)(
CLR
UUUU
, luôn có U
R
≤ U
+ Dùng công thức tan
để xác định cấu tạo đoạn mạch 2 phần tử :
- Nếu
2
mạch có L và C - Nếu
0
và khác
2
mạch có R,C - Nếu
0
và khác -
2
mạch có R,C
+ Có 2 giá trị của (R ,
f,
) mạch tiêu thụ cùng 1 công suất , thì các đại lượng đó là nghiệm của phương trình P = R
2
I
Dạng 3 : Cực trị
+
R
ZRU
U
U
L
C
22
'
max
cos
khi
L
L
C
Z
RZ
Z
22
+
R
ZRU
U
U
C
L
22
'
max
cos
khi
C
C
L
Z
RZ
Z
22
+ Tổng quát : Xác định đại lượng điện Y cực trị khi X thay đổi
- Thiết lập quan hệ Y theo X - Dùng các phép biến đổi( tam thức bậc 2 , bất đẳng thức, đạo hàm…) để tìm cực trị
+
R
U
P
AB
2
2
max
khi R =
CL
ZZ
với mạch RLC có R thay đổi
+
)(2
2
max
rR
U
P
AB
khi R + r =
CL
ZZ
với mạch rRLC có R thay đổi
+
22
2
max
)()(
CL
R
ZZrR
RU
P
khi R =
22
)(
CL
ZZr
với mạch rRLC có R thay đổi
+ Có thể dùng đồ thị để xác định cực trị ( đồ thị hàm bậc 2)
+ Mạch RLC có ω thay đổi , tìm ω để :
1. Hiệu điện thế hai đầu R cực đại : ω =
LC
1
2. Hiệu điện thế hai đầu C cực đại : ω =
2
2
2
1
L
R
LC
3. Hiệu điện thế hai đầu L cực đại : ω =
22
2
2
CRLC
Dạng 4 : Điều kiện để 2 đại lượng điện có mối liên hệ về pha
+ Hai hiệu điện thế trên cùng đoạn mạch cùng pha :
21
21
tantan
+ Hai hiệu điện thế trên cùng đoạn mạch vuông pha :
2
21
2
1
tan
1
tan
+ Hai hiệu điện thế trên cùng đoạn mạch lệch pha nhau góc
:
21
tantan1
tantan
tan
2
2
1
Chuyên đề 11: Dao động điện từ
Dạng 1 : Tính toán các đại lượng cơ bản
+ Chu kỳ T = 2
LC
+ Tần số f =
LC
2
1
. Nếu 2 tụ ghép song song
2
2
2
1
2
11
fff
s
. Nếu 2 tụ ghép nối tiếp
2
2
2
1
2
fff
nt
+ Bước sóng điện từ
LCcTc .2.
. Để thu được sóng điện từ tần số f thì tần số riêng của mạch dao động phải
bằng f
+ Năng lượng điện trường :
C
q
CuW
đ
2
2
2
1
2
1
C
Q
CUW
đ
2
0
2
0max
2
1
2
1
+ Năng lượng từ trường :
2
2
1
LiW
t
2
0max
2
1
LIW
t
+ Năng lượng điện từ : W =
2
2
1
Cu
+
2
2
1
Li
=
C
q
2
2
1
+
2
2
1
Li
=
C
Q
CU
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
LI
. Vậy
maxđ
W
maxt
W
+ Liên hệ
0
00
I
CUQ
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12 9
Dạng 2 : Viết các biểu thức tức thời
+ Phương trình
0
2,,
,
LC
1
, Biểu thức q =
)cos(
0
tq
+ u = e- ri , Hiệu điện thế u = e = -L
,
i
( do r = 0) + Cường độ dòng điện i =
)sin(
0
,
tqq
+ Năng lượng:
tWt
C
q
C
q
CuW
đ
)(cos)(cos
22
1
2
1
22
2
0
2
2
, tần số góc dao động của
đ
W
là 2
chu kì
2
T
.
t
W = )(sin)(sin
22
1
22
2
0
2
tWt
C
q
Li , tần số góc dao động của
t
W là 2
, chu kì
2
T
Trong 1 chu kì
C
q
WW
tđ
4
2
0
hai lần ( dùng đồ thị xác định thời điểm gặp nhau). Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp
mà năng lượng điện bằng năng lượng từ là T/4
Chuyên đề 12 : Máy phát điện , máy biến áp , truyền tải
Dạng 1 : Máy phát điện
+ Từ thông :
)cos(
tNBS
= )cos(
0
t (Wb) với
NBS
0
+ Suất điện động : e = -
)sin(
tNBS
dt
d
=
)sin(
0
tE
với
00
NBSE ( nếu có n cuộn dây
mắc nối tiếp thì suất điện động cực đại là n
0
E
+ Tần số của dòng điện do máy phát tạo ra là : f = np , n tốc độ quay của roto đơn vị vòng/s , p là số cặp cực từ
+ Mạch điện 3 pha : Nguồn và tải có thể mắc sao hay tam giác ( nguồn ít mắc tam giác vì dòng điện lớn)
- Tam giác : (
pd
UU
,
pd
II 3
) - Hình sao : (
pd
UU 3
,
pd
II
) - Điện áp mắc và tải là
p
U
- Nếu dùng giản đồ vector thì mỗi đại lượng điện trong mạch 3 pha đối xứng có cùng độ lớn nhưng lệch pha
3
2
Dạng 2 : Máy biến áp
+ Liên hệ hiệu điện thế :
2
1
2
1
N
N
U
U
( N
2
<N
1 :
giảm áp , N
2
>N
1 :
tăng áp )
+ Mạch thứ cấp kín và bỏ qua hao phí điện năng thì
2
1
1
2
I
I
U
U
+ Tổng quát hiệu suất MBA là H =
111
222
1
2
cos
cos
sIU
IU
P
P
+ Nếu điện trở thuần các cuộn dây nhỏ thì
2
1
2
1
N
N
e
e
2
1
2
1
N
N
E
E
+ Nếu các cuộn dây có điện trở thuần :
1
e
xem như nguồn thu
1111
riue
,
2
e
xem như nguồn phát
2222
riue
.
Vậy
2
1
222
111
2
1
N
N
riu
riu
e
e
. Công suất 2 nguồn cảm ứng là như nhau
2211
ieie
Dạng 3 : Truyền tải điện năng
+ Công suất hao phí trên đường dây :
2
2
)cos(
U
P
RP với cos
là hệ số công suất của mạch điện , nếu u và i cùng
pha thì
2
2
U
P
RP
( P không đổi)
1
u
2
u
iR
+ Độ giảm thế trên đường dây u = iR (R điện trở của 2 dây) . Ta có
1
u
= iR +
2
u
, nếu hiệu điện thế và cường độ dòng
điện cùng pha thì RI =
21
UU
+ Hiệu suất truyền tải
ph
tth
tt
P
P
H
=
ph
ph
P
PP
.
Chuyên đề 13 : Thuyết tương đối
Phương Uyên CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ 12
10
+ Khối lượng tương đối tính m =
0
2
2
0
1
m
c
v
m
( là khối lượng tĩnh)
+ Năng lượng nghỉ E
0
= m
0
c
2
, năng lượng toàn phần E = mc
2
=
2
2
2
0
1
c
c
v
m
+ Hệ thức giữa năng lượng và động lượng E
2
=
2
0
m
224
cpc
+ Động năng W
đ
= mc
2
– m
0
c
2
= m
0
c
2
1
1
1
2
2
c
v
.
Khi v
c
thì năng lượng toàn phần gồm năng lượng nghỉ và động
năng , động năng là (
2
1
m
0
v
2
)
+ Hệ quả của thuyết tương đối hẹp :
- Chiều dài co theo phương chuyển động l = l
0
0
2
2
1 l
c
v
- Thời gian dài hơn
0
2
2
0
1
t
c
v
t
t
ThS. Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009
Trang 1
PHẦN I. TĨM TẮT GIÁO KHOA
A. ðẠI SỐ
I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai
2
ax bx c 0 (a 0)+ + = ≠
(3) có
2
b 4ac∆ = −
.
1)
0∆ <
: (3) vơ nghiệm. 2)
0∆ =
: (3) có nghiệm kép
b
x
2a
= −
.
3)
0∆ >
: (3) có hai nghiệm phân biệt
2
1,2
b b b 4ac
x
2a 2a
− ± ∆ − ± −
= =
.
ðịnh lý Vi–et (thuận và đảo)
1) Cho phương trình
2
ax bx c 0+ + = có hai nghiệm
1 2
x , x thì
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x .x
a
= + = −
= =
.
2) Nếu biết
S x y
P x.y
= +
=
thì
x, y
là nghiệm của phương trình
2
X SX P 0− + =
.
2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c
1) a 0, 0 :> ∆ >
2) a 0, 0 :< ∆ >
x
−∞
x
1
x
2
+∞
x
−∞
x
1
x
2
+∞
f(x) + 0 – 0 + f(x) – 0 + 0 –
3) a 0, 0 :> ∆ =
4) a 0, 0 :< ∆ =
x
−∞
x
kép
+∞
x
−∞
x
kép
+∞
f(x) + 0 + f(x) – 0 –
5) a 0, 0 :> ∆ <
6) a 0, 0 :< ∆ <
x
−∞
+∞
x
−∞
+∞
f(x) + f(x) –
3. Bảng biến thiên của hàm số bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c
1) a > 0: 2) a < 0:
x
−∞
b
2a
−
+∞
x
−∞
b
2a
−
+∞
f(x) +∞
+∞
f(x)
Cð
CT
−∞
−∞
4. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c với một số
1)
1 2
af( ) 0 x xα < ⇔ < α <
3)
1 2
0
af( ) 0 x x
S
2
∆ >
α > ⇔ α < <
> α
2)
1 2
1 2
x x
f( ).f( ) 0
x x
< α < < β
α β < ⇔
α < < β <
4)
1 2
0
af( ) 0 x x
S
2
∆ >
α > ⇔ < < α
< α
7. Phương trình đại số bậc cao
Phương trình bậc n tổng qt có dạng
n n 1
0 1 n 1 n 0
a x a x ... a x a 0 (a 0)
−
−
+ + + + = ≠
.
Thơng thường ta chỉ giải được phương trình bậc 3 trở lên bằng cách nhẩm nghiệm.
7.1. Phương trình bậc ba: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (
a 0≠
) (4)
1) Phương pháp giải
Bước 1. Nhẩm 1 nghiệm
x = α
của (4) (bấm máy tính).
Bước 2. Chia
3 2
ax bx cx d+ + +
cho (
x − α
) (dùng sơ đồ Horner), đưa (4) về phương trình tích:
2
(x )(ax Bx C) 0− α + + =
.
2) Sơ đồ Horner
a b c d
α
a
α
a + b = B
α
B + c = C
α
C + d = 0
ThS. Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009
Trang 2
7.2. Phương trình bậc bốn đặc biệt
a) Phương trình trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (
a 0≠
) (5)
Phương pháp giải: ðặt t = x
2
,
t 0≥
. (5)
⇔
at
2
+ bt + c = 0.
b) Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + c = b + d (6)
Phương pháp giải: ðặt t = (x + a)(x + c), đưa (6) về phương trình bậc 2 theo t.
c) Phương trình có dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c (7)
Phương pháp giải: ðặt
a b
t x
2
+
= +
, đưa (7) về phương trình trùng phương theo t.
d) Phương trình trùng phương ax
4
+ bx
3
+ cx
2
±
bx + a = 0 (
a 0≠
) (8)
Phương pháp giải
Bước 1. Chia 2 vế cho x
2
,
2
2
1 1
(8) a x b x c 0
x
x
⇔ + + ± + =
.
Bước 2. ðặt
1
t x
x
= ±
, đưa (8) về phương trình bậc hai theo t.
8. Bất phương trình hữu tỉ
P(x)
0
Q(x)
>
Bước 1. Lập trục xét dấu chung cho P(x) và Q(x).
Bước 2. Dựa vào trục xét dấu để kết luận nghiệm.
9. ðiều kiện để phương trình có nghiệm trong khoảng (a; b)
a) ðịnh lý 1
Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thỏa
f(a).f(b) 0<
thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (a; b) (ngược lại khơng đúng).
b) ðịnh lý 2
Hàm số
f(x)
liên tục trên [a; b] và có
/
f (x) 0>
(hoặc
/
f (x) 0<
) trong khoảng
(a, b)
thì phương trình
f(x) 0=
có khơng
q 1 nghiệm trong
(a, b)
.
II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ.
1. Các hằng đẳng thức cần nhớ
1)
2
A, A 0
A A
A, A 0
≥
= =
− <
; 2)
2
2
2 2
B 3B
A AB B A
2 4
± + = ± +
;
3)
( )
3 3 3
(A B) A B 3AB A B± = ± ± ±
; 4)
2
2
b
ax bx c a x
2a 4a
∆
+ + = + −
.
2. Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
1)
2 2
A B A B A B= ⇔ = ⇔ = ±
; 2)
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
= ±
; 3)
A B B A B< ⇔ − < <
;
4)
B 0
A B
B A B
>
< ⇔
− < <
; 5)
A B> B 0⇔ <
B 0
A B A B
≥
∨
< − ∨ >
.
3. Phương trình và bất phương trình vơ tỉ
1)
A 0 B 0
A B
A B
≥ ∨ ≥
= ⇔
=
; 2)
2
A B B 0 A B= ⇔ ≥ ∧ =
; 3) A B 0 A B 0+ = ⇔ = = ;
4)
( )
2
A 0 B 0 C 0
A B C
A B C
≥ ∧ ≥ ∧ ≥
+ = ⇔
+ =
đưa về dạng
A B=
; 5)
B 0
A B
A B
≥
> ⇔
>
;
6)
2
A 0 B 0
A B
A B
≥ ∧ >
< ⇔
<
; 7)
2
B 0
B 0
A B
A 0
A B
≥
<
> ⇔ ∨
≥
>
; 8)
3 3
A B A B< ⇔ <
;
9)
2n 1
2n 1
A B A B
+
+
= ⇔ =
; 10)
2n 2n
A 0 B 0
A B
A B
≥ ∨ ≥
= ⇔
=
; 11)
2n
2n
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
=
.
III. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1. Hàm số mũ y = a
x
(a > 0)
1) Miền xác định
D = ℝ
2) Miền giá trị
G (0; )= +∞
3) 0< a< 1: Hàm nghịch biến trên
ℝ
x x
x x
lim a , lim a 0
→−∞ →+∞
= +∞ =
4) a > 1: Hàm số đồng biến trên
ℝ
x x
x x
lim a 0, lim a
→−∞ →+∞
= = +∞
ThS. Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009
Trang 3
Một số cơng thức cần nhớ (giả sử các điều kiện được thỏa)
1)
0
a 1 (a 0)= ≠
; 2)
n
n
1
a
a
−
=
; 3)
m n m n
a .a a
+
=
; 4)
m n m n
a : a a
−
=
;
5)
( )
n
m m.n
a a=
; 6)
m m m
(ab) a .b=
; 7)
m
m
m
a a
b
b
=
; 8)
m
n
m
n
a a=
.
2. Hàm số logarit y = log
a
x
(0 a 1)< ≠
: y = log
a
x
⇔
x = a
y
1) Miền xác định
D (0; )= +∞
2) Miền giá trị
G = ℝ
3) 0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên D
x
x 0
lim y , lim y
+
→+∞
→
= +∞ = −∞
4) a > 1: Hàm số đồng biến trên D
x
x 0
lim y , lim y
+
→+∞
→
= −∞ = +∞
Một số cơng thức cần nhớ (giả sử các điều kiện được thỏa)
1)
a
log x
a x=
; 2)
ln x
e x=
; 3)
b b
log c log a
a c=
; 4)
2n
a a
log x 2n log x=
;
5)
a
a
log b log b
α
β
β
=
α
; 6)
a
b
1
log b
log a
=
; 7)
c
a
c
log b
log b
log a
= ; 8)
a b a
log b.log c log c= ;
9)
a a a
log (bc) log b log c= + ; 10)
a a a
b
log log b log c
c
= −
.
3. Phương trình và bất phương trình mũ cơ bản
1)
f(x)
a
b 0
a b
f(x) log b
0 a 1
>
=
⇔
=
< ≠
; 2)
f(x) g(x)
a a= ⇔
a 1
x : f(x), g(x)
0 a 1
f(x) g(x)
=
∀ ∈ ∈
< ≠
=
ℝ ℝ
;
3)
f(x)
a
b 0
f(x) log b
a b
b 0
0 a 1
x : f(x)
>
<
>
⇔
≤
< <
∀ ∈ ∈
ℝ ℝ
; 4)
f(x)
a
b 0
f(x) log b
a b
b 0
a 1
x : f(x)
>
>
>
⇔
≤
>
∀ ∈ ∈
ℝ ℝ
;
5)
f(x) g(x)
a a
f(x) g(x)
0 a 1
>
⇔ <
< <
; 6)
f(x) g(x)
a a
f(x) g(x)
a 1
>
⇔ >
>
.
4. Phương trình và bất phương trình logarit cơ bản
1)
a
b
log f(x) b
f(x) a
0 a 1
=
⇔ =
< ≠
; 2)
a a
log f(x) log g(x) f(x) 0
0 a 1 f(x) g(x)
= >
⇔
< ≠ =
;
3)
a
b
log f(x) b
0 f(x) a
0 a 1
>
⇔ < <
< <
; 4)
a
b
log f(x) b
f(x) a
a 1
>
⇔ >
>
;
5)
a a
log f(x) log g(x)
0 a 1
>
< <
⇔
0 < f(x) < g(x); 6)
a a
log f(x) log g(x)
a 1
>
>
⇔
f(x) > g(x) > 0.
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nhắc lại:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên 15 Bộ đề toán cấp tốc năm 2009
Trang 4
ðặt
1 1
2 2
a b
D
a b
=
,
1 1
x
2 2
c b
D
c b
=
,
1 1
y
2 2
a c
D
a c
=
.
1)
D 0≠
: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x
y
x D / D
y D / D
=
=
.
2)
x
D 0, D 0= ≠
hoặc
y
D 0≠
: Hệ phương trình vơ nghiệm.
3) D = D
x
= D
y
= 0: Hệ có vơ số nghiệm thỏa a
1
x + b
1
y = c
1
hoặc a
2
x + b
2
y = c
2
.
1. Hệ phương trình đẳng cấp
Phương pháp chung
1) Nhận xét y = 0 có thỏa hệ phương trình khơng, nếu có tìm x và thu được nghiệm.
2) Với
y 0≠
, đặt
x ty=
thay vào hệ phương trình giải tìm t, y và x.
3) Thử lại nghiệm.
Ví dụ:
2 2
2 2
x xy y 1
2x xy y 2
+ + =
− + =
,
3 3
2 2
y x 7
2x y 3xy 16
− =
+ =
.
2. Hệ phương trình đối xứng loại I (cả 2 phương trình đều đối xứng)
Phương pháp chung
1) Xét điều kiện, đặt S = x + y, P = xy
2
(S 4P)≥
.
2) Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y.
Ví dụ:
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
+ =
+ =
.
3. Hệ phương trình đối xứng loại II
a. Dạng 1 (đổi vị trí x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp chung
Cách 1. Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai
phương trình của hệ.
Ví dụ:
3
3
x 2x y
y 2y x
+ =
+ =
,
2x 3 4 y 4
2y 3 4 x 4
+ + − =
+ + − =
.
Cách 2 (nếu cách 1 khơng thực hiện được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ mới tương đương gồm hai phương trình tích (thơng thường tương đương với 4
hệ mới).
Ví dụ:
3
3
x 2x y
y 2y x
− =
− =
.
Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y.
Ví dụ:
2x 3 4 y 4
2y 3 4 x 4
+ + − =
+ + − =
,
x sin y
y sin x
=
=
.
b. Dạng 2 (chỉ có 1 phương trình đối xứng)
Cách 1
ðưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ:
2
1 1
x y
x y
2x xy 1 0
− = −
− − =
.
Cách 2
Thường đưa về dạng
f(x) f(y) x y= ⇔ =
với hàm f(x) đơn điệu.
Ví dụ:
x y
2
e e y x
x y 3y 18 0
− = −
− − =
.
4. Hệ phương trình chứa mũ – logarit và dạng khác
Tùy từng trường hợp cụ thể chọn phương pháp thích hợp (thường dùng phương pháp thế).
V. BẤT ðẲNG THỨC CAUCHY
1. Bất đẳng thức Cauchy hai số
Cho hai số khơng âm a và b, ta có:
a b
ab.
2
+
≥
ðẳng thức xảy ra khi a = b.
