Skkn toán học thpt (18)

MỤC LỤC
I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN…………………………..2
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mơ tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến ……………………………………..2
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến…………………………………………….3
2.1. Vấn đề cần giải quyết..........................................................................................3
2.2. Biện pháp thực hiện.............................................................................................3
2.2.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và ghi nhớ kiến thức cơ bản .............................3
2.2.2. Rèn cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học .......................3
2.2.3. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá .......................................................................4
2.3. Nội dung giải pháp...............................................................................................4
2.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.........................................................................................4
2.3.2.1. Sử dụng định nghĩa..........................................................................................4
2.3.2.2. Tính góc giữa hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp...............................8
III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
1. Hiệu quả kinh tế………………………………………………………………….. 54
2. Hiệu quả xã hội....................................................................................................... 54
IV. CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN………...56


2

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Trong nhà trường phổ thơng mơn Tốn giữ một vị trí quan trọng và phần nội
dung kiến thức về “Góc và khoảng cách trong hình học khơng gian ” là một trong
những nội dung khó khơng chỉ đối với học sinh mà cịn cả khơng ít giáo viên. Học
sinh có tư tưởng ngại và sợ bài tập hình khơng gian. Học sinh thường gặp khó khăn
khi phải tư duy tưởng tượng không gian, tư duy logic, chưa biết vận dụng lí thuyết
đã học để giải quyết các bài tập…. Giáo viên thiếu sách tham khảo, tài liệu hướng
dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy, phương tiện giảng dạy chưa đáp ứng đủ và khơng

có quy trình giảng dạy cụ thể mà chủ yếu là do kinh nghiệm giảng dạy của bản thân
giáo viên.
Học sinh khó tiếp thu kiến thức đó và vận dụng nó để giải bài tập vì lượng
bài tập nhiều và rất phong phú nhưng thường nằm trong các bài tập lớn, các cách
giải đa dạng. Trong các kì thi đề thường hay có nội dung “Các bài tốn về góc,
khoảng cách” trong hình học khơng gian, dẫn đến nhiều học sinh khi gặp bài tập
dạng này thường là các em nản chí bỏ qua, cịn có một số em làm nhưng khơng
hồn chỉnh, rất ít các em được điểm tối đa ở Ví dụ này. Trong kì thi tốt nghiệp
THPT dù đề ra dưới dạng hình thức trắc nghiệm nhưng nếu học sinh không nắm
được bản chất, khơng hiểu sâu sắc thì khó có thể đưa ra được đáp án đúng bởi lẽ
riêng nội dung này không có cách nào “mị” hay có một cơng thức tổng quát nào
cả. Thực tiễn dạy học cho thấy nếu học sinh khơng có phương pháp để xác định,
tính góc giữa hai mặt phẳng thì học sinh khó có thể vận dụng vào giải tốn được,
nhất là những học sinh khơng tưởng tượng được hình hay cảm thấy khó khăn với
hình học khơng gian. Chính vì vậy, việc xây dựng “Một số phương pháp tính góc
giữa hai mặt phẳng” áp dụng trên các mơ hình từ các mơ hình cơ bản thường gặp
đến một số mơ hình phức tạp hơn sẽ giúp học sinh hiểu, nắm chắc các phương pháp
là điều rất cần thiết. Từ đó khi gặp những bài tốn liên quan đến góc giữa hai mặt
phẳng học sinh cũng không quá lo ngại, dè dặt, gạt bỏ được tư tưởng ngại và sợ
hình học khơng gian làm cho hình học không gian trở thành một môn học gần gũi
và thiết thực đối với học sinh.
II. Mô tả giải pháp
2. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn Tốn ở trường phổ thơng, tơi nhận thấy kiến
thức về góc và khoảng cách, thể tích khối đa diện là các bài tốn thường gặp trong
các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia . Trong đó, rèn luyện cho học sinh có kỹ năng
xác định góc và tính góc giữa hai mặt phẳng là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng.
Trong quá trình dạy học hình học khơng gian nói chung và dạy bài tập về tính góc
giữa hai mặt phẳng trong chương trình tốn 11 nói riêng học sinh thường lúng túng,

3

dễ nhầm lẫn và mất thời gian khi xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng. Vì vậy,
để giúp các em tự tin hơn, tơi có rút ra “Một số phương pháp tính góc giữa hai
mặt phẳng” áp dụng trong một số trường hợp từ những mơ hình cơ bản đến một
số mơ hình phức tạp hơn nhằm giúp các em học sinh lớp 11 xác định góc và tính
góc giữa hai mặt phẳng dễ dàng và nhanh chóng hơn. Đồng thời là nền tảng cho
việc tính thể tích khối đa diện trong chương trình tốn 12 ở một số bài tốn thường
gặp. Vì nếu các em khơng xác định được góc giữa hai mặt phẳng thì có thể dẫn tới
khơng giải quyết được bài tốn thể tích khối đa diện trong một số trường hợp.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Vấn đề cần giải quyết
Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp một số phương pháp xác định
và tính góc giữa hai mặt phẳng giúp học sinh nắm vững một số phương pháp tính
góc giữa hai mặt phẳng từ các mơ hình cơ bản và một số mơ hình phức tạp hơn.
2.2. Biện pháp thực hiện
2.2.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và ghi nhớ kiến thức cơ bản
- Học sinh vẽ được các mơ hình cơ bản và một số mơ hình phức tạp.
- Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng từ các mơ
hình cụ thể.
- Giáo viên đưa ra các bài toán áp dụng cho mỗi phương pháp.
- Học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến
góc giữa hai mặt phẳng.
- Giúp đỡ, hướng dẫn cho học sinh khi học sinh gặp khó khăn trong khi vận
dụng giải quyết bài toán.
2.2.2. Rèn cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học
- Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh,...
- Kỹ năng:
+ Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng.

+ Sau mỗi phương pháp, giáo viên cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài
toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và
sáng tạo cho các bài toán khác.


4

+ Học sinh nắm vững các phương pháp để giải tốn và tự tập hợp thêm các
bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng để củng cố kiến thức.
2.2.3. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Ra đề với 4 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng
cao, trong đó có sử dụng các bài tốn về xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
2.3. Nội dung giải pháp
Sau đây tơi xin đề xuất một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng tôi đã tổng
hợp, sưu tầm được và đã áp dụng cho học sinh có hiệu quả.
2.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng
góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý:
- Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
bằng 00.
- Nếu hai mặt phẳng vng góc thì góc giữa chúng bằng 900.
2.3.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
2.3.2.1. Sử dụng định nghĩa
Muốn sử dụng phương pháp này thì ta phải xét xem hai mặt phẳng có rơi vào
trường hợp song song hay vng góc hay khơng? Nếu khơng rơi vào hai trường
hợp đó ta phải quan sát, phán đốn xem với đặc điểm đã cho của bài tốn thì ta
có thể xác định được hoặc dựng được hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai

mặt phẳng mà bài tốn u cầu tính góc giữa chúng hay khơng?
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
a,  ABCD  và  ABCD  ;
b,  ABCD  và  ACC A  .
Hướng dẫn:


5

a, Ta thấy hai mặt phẳng  ABCD  và ( ABC D) là
hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song
song với nhau.
Vậy góc giữa  ABCD  và ( ABC D) bằng 00 .
b, Do AA   ABCD    ACC A    ABCD  nên
góc giữa  ABCD  và  ACC A  bằng 90 .

D

A

C

B

D'

A'

C'

B'

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa hai mặt phẳng
 ABCD  và  ABCD .
Hướng dẫn:
B

A

Ta có CD   ADDA   CD  AD
 AD  AD
 AD   ABCD 

CD  AD

D

Mà AD   ABC D    ABC D    ABCD 
Do đó, góc giữa ( ABCD ) và ( ABC D) bằng 90 .

C

A'

D'

B'

C'

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các mặt bên là các tam giác đều có
3a 2 3
diện tích bằng
. Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua A và vng góc với SC . Tính
4
góc giữa hai mặt phẳng ( P) và ( ABCD) .
Hướng dẫn:
S

A

D

O
B

Gọi O  AC  BD , ta có: SO  ( ABCD) .

C


6

Giả thiết ( P)  SC nên góc giữa hai mặt phẳng ( P) và ( ABCD) là góc giữa SC
.
và SO là góc CSO
Vì các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng

3a 2 3
nên các cạnh của hình

4

chóp có độ dài bằng a 3 .
Trong SCO , ta có:
  OC  2  CSO
  450.
 sin CSO
SC
2
* Nhận xét: Việc đi dựng mặt phẳng ( P) khá phức tạp và mất thời gian, học sinh
chỉ cần chú ý phân tích kĩ giả thiết của bài tốn và từ việc cho hình chóp tứ giác
đều ta dễ tìm được đường thẳng vng góc với mặt đáy. Từ đó áp dụng định nghĩa
có thể giải quyết nhanh bài tốn.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và
SA   ABCD  , SA  x . Xác định x để hai mặt phẳng  SBC  và  SDC  tạo với
nhau một góc 600.
Hướng dẫn:
S

N
x

M

D

A

a
B

C

 SCD    SAD  , kẻ AN  SD tại N  AN   SCD  .
 SAB    SBC  , kẻ AM  SB tại M  AM   SBC  .
Suy ra góc giữa  SBC  và  SDC  là góc giữa AM và AN .
Ta có

Ta có SB  SD  x 2  a 2 , AM  AN 

x

SM 

x2
x a
2

2

 MN 

ax
x a
2

2

,

SM MN
SM .BD

 MN 
SB BD
SB

2

.a 2
x 2a 2
x2  a2
 MN  2
.
2
2
2
x

a
x a


7

Từ giả thiết ta có AMN đều, suy ra MN  AM 


x 2a 2
 2

2
x2  a2 x  a
xa

x2  a2  x 2  x  a .

*Nhận xét: Trong bài toán trên, ta dễ dàng dựng được hai đường thẳng lần lượt
vng góc với hai mặt phẳng  SBC  và  SDC  nên việc sử dụng định nghĩa để
vận dụng giải quyết bài toán này là hợp lý.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  BC  a
  600 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB và
và BAC
SC . Tính cơsin của góc giữa hai mặt phẳng ( AHK ) và ( ABC ) .
Hướng dẫn:

Ta có SA  ( ABC) (1)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD .

 BD  SA
 BD  ( SAB )  BD  AH

 BD  AB
 AH  SB
 AH  ( SBD)  AH  SD

 AH  BD
Chứng minh tương tự, ta có AK  SD . Từ đó suy ra SD  ( AHK ) (2)


Từ (1) và (2), suy ra góc giữa ( AHK ) và ( ABC) là góc giữa SA và SD là DSA

8

Trong ABC , ta có: AD  2R 

BC
a
2a


0
sinA sin 60
3

Trong SAD , ta có: SD  SA2  AD 2 

a 21
.
3

  SA  21 .
Từ đó suy ra cos DSA
SD
7
*Nhận xét: Trong bài toán trên việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
( AHK ) và ( ABC) , từ đó dựng mặt phẳng với giao tuyến là phức tạp. Mặt khác, ta
đã có SA vng góc với mặt phẳng đáy và việc dựng đường thẳng vng góc với
( AHK ) đơn giản hơn.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, SA vng

góc với ( ABC ), SA  AB  a, AC  2a. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên
SB, SC . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( AHK ) và ( ABC) (tương tự như Ví
dụ 5).
2.3.2.2. Tính góc giữa hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp
Phương pháp này gồm một số cách sau
Cách 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc cụ thể giữa hai
mặt phẳng.
Cách này thường sử dụng khi việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
dễ dàng và có các yếu tố vng góc, cụ thể có các bước sau

Bước 1. Xác định ( P)  (Q)  
Bước 2. Dựng ( R)   . Tìm

( R)  ( P)  p, ( R)  (Q)  q
Bước 3. Góc giữa ( P) và (Q) là góc giữa p
và q .
Việc tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian ta thường gặp hai loại cơ bản
sau
LOẠI 1. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp, hình lăng trụ


9

Phân tích: Giao tuyến của mặt bên và mặt đáy là cạnh đáy. Khi đó có ít nhất
một đường thẳng vng góc với cạnh đáy. Dễ dựng được mặt phẳng vng góc với
giao tuyến.
Bài tốn gốc: Cho hình chóp S . A1 A2 ... An có đường cao SH . Xác định góc
giữa mặt bên ( SAi A j ) và mặt đáy.
Hướng dẫn
- Bước 1: Xác định giao tuyến: ( SAi A j )  ( A1 A2 ... An )  Ai A j

- Bước 2: Ta có:
Trong ( A1 A2 ... An ) kẻ HK  Ai A j . Chứng minh được Ai Aj  ( SHK )
- Bước 3: Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (SHK ) với các mặt phẳng
( SAi A j ) và ( A1 A2 ... An ).

- Bước 4: Tính góc giữa hai giao tuyến, từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng.
Mơ hình 1: Hình chóp đều
Đối với mơ hình này, học sinh phải nắm vững định nghĩa hình chóp đều là
hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của
đa giác đáy.
Ví dụ 7. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , chiều cao
a 3
hình chóp bằng
. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
2
Hướng dẫn:
S

A

D
I

O
B

C

Vì S . ABCD là hình chóp đều nên góc giữa mặt các mặt bên với mặt đáy bằng
nhau.

Tính góc  là giữa hai mặt phẳng (SCD) và  ABCD  .
HD:


10

 ABCD    SCD   CD
Gọi O là tâm của hình vng ABCD và I là trung điểm của CD
Tam giác có I , O lần lượt là trung điểm của CD, BD nên IO là đường trung
bình của tam giác BCD
 IO / / BC


1
a
IO

BC


2
2
Mà BC  CD  IO  CD
CD  SO

Lại có CD  OI
 CD  ( SIO )
 SO, OI  ( SIO )


 SIO    ABCD   IO
Ta có 
 SIO    SCD   SI


Suy ra góc giữa (SCD) và ( ABCD) là góc giữa IO và SI là góc nhọn SIO
a 3
  SI  2  3  SIO
  600.
Xét SIO vng tại O, ta có: tan SIO
a
IO
2
0
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 .
Mơ hình 2: Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy
Tương tự như trong hình chóp đều, trong hình chóp có cạnh bên vng góc
với mặt đáy khi tính góc giữa mặt bên và mặt đáy ta dễ dàng dựng được mặt
phẳng vng góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ đường thẳng
vng góc với giao tuyến.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABC có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B ,
BA  BC  a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ), SA  a . Tính góc giữa các
mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn:


11
S

C

A

B

- TH mặt bên chứa SA
 SA   ABC 
  SAB    ABC 

 SA   SAB 
 SA   ABC 
  SAC    ABC 

SA

SAC



Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng 900.
- Trường hợp mặt bên khơng chứa SA
Ta có  SBC    ABC   BC
 BC  BA

 BC   SAB 
 BC  SA
 SA, BA  SAB
 


 SAB    ABC   AB
Mà 
 SAB    SBC   SB


Suy ra góc giữa (SBC ) và ( ABC ) là góc giữa AB và SB là góc nhọn SBA
( SAB vng tại A )

  450.
Lại có AB  SA  SAB vng cân tại A  SBA
Vậy góc giữa (SBC ) và ( ABC) bằng 450.
Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O , SA  2 và
SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , biết AC  2 2 . Tính tan góc giữa mặt

phẳng  SOD  và mặt phẳng  BCO  .
Hướng dẫn:


12

 SOD    BCO   BD ,

BD   SAC  .

 ( SAO vuông tại O )
Góc giữa  SOD  và  BCO  là góc nhọn SOA

Ta có tan SOA

SA

 2.
AO

  120 0 , SA
Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, AB  2 a , BAD

vng góc với đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và ( ABCD) bằng 450. Tính góc
giữa các mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn
S

A

D

J
B

I

- TH mặt bên chứa SA
 SA   ABCD 
  SAB    ABCD 

 SA   SAB 

C


13

 SA   ABCD 
  SAD    ABCD 

SA

SAD



Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng 90 0
- Trường hợp mặt bên khơng chứa SA
+ Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD
  1200 nên  BC  BA  2a  ABC đều
Vì ABCD là hình thoi có BAD

0
 ABC  60
Gọi I là trung điểm của BC  AI  BC
 BC  SA

Mà  BC  AI
 BC   SIA 
 SA, AI  SIA
 

( SIA)  ( SBC )  SI

nên góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là góc nhọn SIA


(
SIA
)

(
ABCD
)

AI

  450 nên SAC vuông cân tại A  SA  2a .
Từ giả thiết ta có SCA
Xét ABC đều có trung tuyến AI  AI  a 3
  SA  2 3
Xét SIA vuông tại I , tan SIA
AI
3

2 3
.
3
2 3
.
Tương tự góc giữa (SCD) và ( ABCD) là góc  sao cho tan  
3
Vậy góc giữa (SBC ) và ( ABCD) là góc  sao cho tan  

Ví dụ 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B ,
AB  BC  a , AD  2a ; SA   ABCD  và SA  2a .Tính tan của góc giữa hai mặt
phẳng  SCD  và  ABCD  .

Hướng dẫn:


14
S

M

A

B

D

C

Ta có  SCD    ABCD   CD
Gọi M là trung điểm của AD. Từ giả thiết ta có ABCM là hình vng
Xét ACD có CM là trung tuyến, CM 
đó CD  AD.

AD
nên tam giác ACD vuông tại C. Do
2

CD  AD
 CD   SAC 

CD


SA

 SAC    SCD   SC

 SAC    ABCD   AC


Suy ra góc giữa  SCD  và  ABCD  là góc giữa SC và AC là góc nhọn SCA
  SA  2a  2 .
Ta có tan SCA
AC a 2

Mơ hình 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy – Hình chiếu vng góc
Trong mơ hình này, học sinh phải nắm vững nội dung kiến thức sau
“Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vng góc với giao tuyến thì vng góc với mặt phẳng kia”( Hệ
quả 1 của Định lý 1 bài Hai mặt phẳng vng góc)


15

Như vậy, từ giả thiết mặt bên vng góc với mặt đáy ta dễ dàng dựng được
hình chiếu của đỉnh xuống mặt phẳng đáy, từ đó ta dựng được mặt phẳng vng
góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ vng góc với giao tuyến.
Ví dụ 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với ( ABCD). Tính cơsin của
góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và ( ABCD).
Hướng dẫn:

Gọi H là trung điểm của AB. Ta có SH  AB

( SAB)  ( ABCD)  AB

 SH  ( ABCD )  SH  CD.
( SAB)  ( ABCD )
 SH  AB


Ta có (SCD)  ( ABCD)  CD
Trong ( ABCD) kẻ HK  CD ( K  CD) , suy ra CD  (SHK )
( SHK )  ( ABCD)  HK

( SHK )  ( SCD)  SK
.
Do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và ( ABCD) là góc nhọn SKH
a 3
; HK  a
2
  SH  3  cos SHK
  2 7.
Ta có tan SHK
HK
2
7

Ta tính được SH 

Ví dụ 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 3 , mặt bên
SBC là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

16

 ABCD  , cạnh bên SD tạo với mặt bên  SBC  một góc 600 . Tính
phẳng  SBD  và  ABCD  .

góc giữa hai mặt

Hướng dẫn :
S

B

A
K

H
O
C

D

+)Từ giả thiết ta có DC  (SBC ) nên SC là hình chiếu của SD trên (SBC ) , suy
  600.
ra góc giữa SD và (SBC ) là góc giữa SD và SC bằng DSC
Trong SCD vng tại C  SC  CD. cot 600  a
+)Trong (SBC ) kẻ SH  BC, H  BC  SH  ( ABCD)

SC 2 a 3

Trong tam giác vuông SBC , ta có CH 

BC
3
Trong tam giác vng SHC , ta có SH  SC 2  HC 2 

a 6
3

+) (SBD)  ( ABCD)  BD
Trong ( ABCD), kẻ HK  BD  BD  ( SHK )

(SHK )  ( ABCD)  HK
(SHK )  ( SBD)  SK
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là góc giữa SK và HK là góc


nhọn SKH

Trong ( ABCD), gọi O  AC  BD.
Ta có

HK BH BC  CH 2
a 6


  HK 
CO BC
BC
3
3

17


Do đó tan SKH

SH
  450.
 1  SKH
HK

Ví dụ 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB  a 2, I
là trung điểm của BC. Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm

 
H thuộc AI sao cho IH  2 AH  0 và SH  2a. Tính góc giữa mặt phẳng (SAB)
và ( ABC).
Hướng dẫn:
S

C

A
K

H
I

B

Ta có (SAB)  ( ABC )  AB
Trong ( ABC) kẻ HK / / AC ( K  AB) , suy ra AB  (SHK )
( SHK )  ( ABC )  HK

( SHK )  ( SAB)  SK
.
Do đó góc giữa mặt phẳng (SAB) và ( ABC) là góc nhọn SKH
Từ giả thiết ta tính được AI  a 3  AH 

a 3
.
3

Tam giác AHK vng tại K , ta có HK  AH . cos 450 

a 6
.
6

SH
 2 6.
HK
Mơ hình 4. Hình lăng trụ đứng – Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương

Xét tam giác SHK vng tại H , có tan SKH

+) Vì hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương có cạnh bên vng
góc với đáy nên góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 900.

18

+) Trong hình lăng trụ đứng khi tính góc giữa mặt phẳng nào đó với mặt đáy mà
giao tuyến giữa mặt phẳng đó với mặt đáy là một đường thẳng nằm trong mặt đáy
thì ta cũng làm tương tự như đối với các mơ hình hình chóp.
Ví dụ 15. Cho lăng trụ tam giác đều ABC . ABC  có cạnh đáy bằng a . Gọi M là
3a
điểm trên cạnh AA sao cho AM  . Tính tan của góc hợp bởi hai mặt phẳng
4
 MBC  và  ABC .
Hướng dẫn:
C'

A'

M

B'

C
A
D

B

Ta có  MBC    ABC   BC .
Gọi D là trung điểm của BC .

 BC  AD
 BC   AMD  .


BC

AM

 (vì
Do đó góc giữa  MBC  và  ABC  là góc giữa AD và MD là góc nhọn MDA
tam giác MAD vuông tại A ).


Vậy tan MDA

AM 3a 2
3
 .

.
AD 4 a 3 2


19

Ví dụ 16. Cho hình lăng trụ đứng với đáy ABC là tam giác vng tại C có
  60 0 , diện tích tam giác ACC  là 10cm2 . Tính tan của góc tạo bởi
AB  8cm, BAC

hai mặt phẳng (C AB ) và ( ABC).
Hướng dẫn :
C'

A'

B'

C

A
H
B

Ta có ( ABC )  (C AB )  AB . Kẻ CH  AB . Ta chứng minh được AB  (C CH )
 (C CH )  ( ABC )  CH
Ta có 
.



(
C
CH
)

(
C
AB
)

C
H



HC
Do đó góc giữa (CAB) và ( ABC ) là góc nhọn C

Trong ABC vng có: cos 
CAB 

AC
 AC  4cm.
AB

Trong AHC vng có CH  AC.sin 600  2 3 cm.
Có S ACC  

1
AC .CC   CC   5cm.
2

 
Trong CCH , ta có tan CHC

CC  5 3

.
CH
6

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (CAB) và ( ABC) bằng  với tan  

5 6

.
3


20

Ví dụ 17. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a . Tính sin của góc
giữa hai mặt phẳng ( BDA) và ( ABCD).
Hướng dẫn:

Gọi I  AC  BD . Ta có: BD   BDA    ABCD  .
 BD  AI
 BD   AIA  ;

 BD  AA

Do đó góc giữa hai mặt phẳng ( BDA) và ( ABCD) là góc nhọn 
AIA .
Ta có AAI vng tại A
a 2
a 6
AA
6
AA  a; AI 
 AI  AA2  AI 2 
 sin 
AIA 

.
2

2
AI
3
Mơ hình 5: Hình lăng trụ xiên
Ví dụ 18. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a,
cạnh bên bằng 2a . Hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với
trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc
 giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABBA  .
Hướng dẫn :


21
C'

A'

B'

C

A
G

M
H

K
B

Ta có ( ABC )   ABBA   AB

Gọi H là trung điểm BG , theo giả thiết AH   ABC  .
Gọi M , K lần lượt là trung điểm của AB và BM
CM  AB
 HK  AB   AHK   AB . Từ đó suy ra góc nhọn

HK
/
/
CM


AKH   là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABBA  .
Ta có AB  a , AG  BG 

a 3
3

AB 2  AG 2 BG 2 7a 2
 AH 


2
4
12
41a 2
165a 2
2
2
2
2

2
2
Lại có AH  AA  AH 
 AK  AH  HK 
12
48
1
a 3
HK
165
Ta có HK  GM 
 cos  

.
2
12
AK
165
2

Ví dụ 19. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , và
7
AA  AB  AC  a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABBA) và ( ABC ).
12
Hướng dẫn :


22
A'

C'

B'

C

A
H
I
B

Ta có ( ABBA)  ( ABC )  AB
Gọi H là hình chiếu của A lên ( ABC)
7
và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A '. ABC
12
là hình chóp đều đo đó H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi I là trung điểm của AB
 AH  AB

Ta có  HI  AB
 AB  ( AHI )
 AH , HI  ( AHI )


Vì AA  AB  AC  a

 ( AHI )  ( ABC )  HI
Lại có 

nên suy ra góc nhọn 
AIH là góc giữa hai mặt




(
A
HI
)

(
ABB
A
)

A
I

phẳng ( ABBA) và ( ABC ).

Xét ABC đều tâm H có CI 

a 3
a 3
 IH 
.
2
6

a 3
.
3
IH
3
Xét AHI vuông tại H có: cos 
AIH 


AIH  600.
AI
2

Xét ABA có AI  AA2  AI 2 

LOẠI 2. Góc giữa hai mặt bên của hình chóp, hình lăng trụ
Phân tích: Giao tuyến của hai mặt bên có thể là cạnh bên, đường thẳng song song
với cạnh đáy hoặc đường thẳng nối đỉnh và giao điểm của hai cạnh đáy ở mỗi mặt.


23

- Nếu giao tuyến là đường thẳng song song với đáy thì dựng mặt phẳng vng
góc với giao tuyến hay vng góc với cạnh đáy tương tự như cạnh dựng mặt
phẳng vng góc trong mơ hình góc giữa mặt bên và mặt đáy.
- Nếu giao tuyến là cạnh bên hay đường thẳng nối đỉnh và giao điểm của hai
cạnh đáy ở mỗi mặt thì thường hay dựng mặt phẳng chưa chân đường vng góc
với mặt đáy và vng góc với giao tuyến đó.
Mơ hình 1 : Hình chóp
Bài tốn gốc: Cho hình chóp S . A1 A2 ... An có đường cao SH . Xác định góc giữa

mặt phẳng ( SAi A j ) và mặt phẳng ( SAi Ak ).
Hướng dẫn:
- Bước 1: Xác định giao tuyến ( SAi Aj )  ( SAi Ak )  SAi
- Bước 2: Dựng mặt phẳng ( P) qua H và vuông góc với SAi
- Bước 3 :Tìm giao tuyến của ( P) với ( SAi A j ) và ( SAi Ak ). Sau đó tính góc
giữa hai giao tuyến đó, rồi kết luận.
Ví dụ 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA  a
và SA   ABC  , AB  BC  a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
a, (SAB) và (SAC);
b, (SAC) và (SBC ).
Hướng dẫn :
S

K
F

A

B

a, Ta có (SAB)  (SAC)  SA ; SA  ( ABC)
( SAB )  ( ABC )  AB

( SAC )  ( ABC )  AC

C


24


Suy ra góc giữa (SAB) và (SAC) là góc giữa AB và AC là góc CAB
  450.
Từ giả thiết, ta có CAB

b, Ta có  SAC    SBC   SC.
Gọi F là trung điểm AC thì BF   SAC  .
Dựng BK  SC tại K suy ra SC  ( BKF )

Do đó góc giữa (SAC) và (SBC) là góc giữa KB và KF là góc nhọn BKF
a 2
.a
FK SA
FC .SA
a
2
CFK ∽ CSA 

 FK 


.
FC SC
SC
a 3
6

a 2
FB
  60o.

tan 
BKF 
 2  3  BKF
a
FK
6

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.
Ví dụ 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tam giác
a
SAD đều cạnh a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng . Tính sin
2
của góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  SCD  .
Hướng dẫn:
S

N

H
A

B

(SAD)  (SCD)  SD
Gọi H là hình chiếu của A trên  SCD  .

C

D

25

Vì AB //  SCD  nên AH  d  A,  SCD    d  B,  SCD   
Gọi N là trung điểm của SD  AN 

a
.
2

a 3
và SD  AN (do tam giác SAD
2

đều)
Do đó SD  HN . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  SCD  là góc nhọn

ANH ( vì AHN vng tại H )

a
AH
3
Ta có sin 
ANH 
 2 
.
AN a 3
3
2

Ví dụ 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D ,
AD  DC  a. Biết SAB là tam giác đều cạnh 2a và mặt phẳng  SAB  vng góc
với mặt phẳng  ABCD  . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  .
Hướng dẫn :
S

K

B

A

Cách 1

H

D

C

( SAB )  ( ABCD )  AB

( SAB )  ( ABCD )

Từ S kẻ SH  AB  SH  ( ABCD) . Do đó CH  SH
Ta có H là trung điểm của AB nên ADCH là hình vng, suy ra CH  AB
CH  SH
 CH  ( SAB )  CH  SB

CH  AB